Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Состояние вопроса 10
1.1. Точность в технологии машиностроения и пути ее развития 10
1.2. Методы исследования точности обработки 13
Выводы по главе 1 17
Глава 2. Общие вопросы моделирования технологических процессов 18
2.1. Понятие о модели сложных процессов 18
2.2. Классификация моделей технологических процессов 19
2.3. Методы получения математических моделей 21
2.4. Отбор входных параметров, влияющих на точность обработки 22
2.5. Определение вида зависимости между входными и выходными параметрами процесса 24
2.6. Преобразование нелинейных математических моделей в линейные 26
2.7. Определение коэффициентов уравнений связи математических моделей 31
2.8. Статистическая оценка полученных математических моделей и исключение несущественных входных параметров 32
Выводы по главе 2 34
Глава 3. Построснне математических моделей точности технологи ческих процессов механической обработки деталей 36
3.1. Модель точности одномерной операции 36
3.2. Модель точности простейшей многомерной операции 43
3.3„ Модель точности многомерной операции в общем случае 46
3.4. Модель точности технологического процесса, состоящего из 52
3.5. Модель точности технологического процесса, состоящего из одномерных операций 57
3.6. Модель точности многооперационного технологического процесса, состоящего из п многомерных операций 63
Выводы по главе 3 66
Глава 4, Оптимальные входные параметры технологического процесса критериям 68
4.1. Выбор критерия оптимальности 69
4.2. Оптимизация допусков для технологической операции со многими входными и одним выходным параметрами 72
4.3. Оптимизация допусков для технологической операции со многими входными и выходными параметрами 79
4.4. Геометрическая интерпретация определения допусков по способу равного влияния 91
4.5. Сравнение двух критериев оптимизации допусков по критериям миешмальной себестоимости и равного влияния 94
Выводы по главе 4 97
Глава 5. Экспериментальные исследования и построение модели точности процесса шлифовании колец подшипников 99
5.1. Цель и последовательность исследований. Контролируемые параметри 99
5.2. Определение формы и тесноты взаимосвязи между входными и выходными параметрами операции шлифования 107
5.3. Анализ результатов эксперимента 120
5.4. Оценка точности и настроенности операции шлифования посадочного отверстия колец 122
Выводы по главе 5 127
Общие выводы и рекомендации 130
Список литературы 133
Приложение 141
- Методы исследования точности обработки
- Определение вида зависимости между входными и выходными параметрами процесса
- Модель точности технологического процесса, состоящего из одномерных операций
- Оптимизация допусков для технологической операции со многими входными и одним выходным параметрами
Введение к работе
Качество машин в значительной степени определяется точностью их изготовления - одной из основных характеристик современного машиностроения. Необходимость обеспечения точности изготовления машин, механизмов, сборочных единиц и отдельных деталей обусловлена повышением нагрузок и скоростей машин, а также возрастанием требований к их надежности. Для выявления и изучения точностных закономерностей сложных проиессов необходимо получить математическую модель, которая обеспечит условия для ускоренной разработки и внедрения новых технологических процессов. Модель позволяет прогнозировать точность обработки, оценить степень влияния различных факторов на суммарную погрешность с целью разработки системы контроля и управления для обеспечения заданной' точности, а также осуществить оптимизацию технологического процесса.
В связи с тем, что современные процессы представляют собой сложные системы, входные и выходные параметры которых, а также параметры, характеризующие внутреннее состояние технологических систем, зависят от многочисленных факторов, применение детерминированных методов для построения математической, модели не дает требуемой точности, а в некоторых случаях становится невозможным. Поэтому для получения математической модели сложных процессов в последние годы интенсивно разрабатываются и внедряются статистические методы. Научные исследования в данной области ориентированы в основном на построение математических моделей отдельных операций. Методы построения моделей многооперационных процессов, предложенные ранее, трудоемки, предполагают наличие сложных корреляционных связей и не позволяют рассчитывать поля рассеянии и координаты середин полей рассеяния погрешностей обработки. Недостаточно изучена оптимизация параметров технологического процесса, что '.: ;."!чг:<": >;.-:..<';:;_::; , : у;\< г -r/s-.v.wyi го"носгг.'.!.> и минимальной себестоимостью обработки. Поэтому разработка методики много фактори ого
анализа, моделирования и оптимизации технологических процессов с целью повышения точности изготовления колец подшипников является актуальной задачей как в научном, так и в практическом смысле.
Цель и задачи исследования. Целыо диссертационной работы является многофакторньш анализ и моделирование точности технологических процессов обработки деталей машин по числовым характеристикам входных и выходных параметров и параметров, характеризующих технологическую систему.
Для достижения поставленной цели в диссертации решались следующие задачи:
разработка математической модели точности многомерной технологической операции по числовым характеристикам входных и выходных параметров и параметров, характеризующих технологическую систему;
разработка математической модели точности технологического процесса, состоящего из ряда линейных и линейно-связанных операций с учетом действия технологической наследственности;
определение допусков на входные параметры технологической операции, обеспечивающих заданную точность и минимум себестоимости обработки;
построение статистической модели точности шлифовальной обработки колец подшипников по заданным погрешностям входных и выходных параметров и передаточным коэффициентам технологической системы;
определение степени влияния технологических факторов на точность размеров и формы посадочных отверстий колец подшипников.
Методы исследования. Работа содержит теоретические' и экспериментальные исследования.
В теоретических исследованиях использованы методы математического моделирования, теории вероятностей и математической статистики, методы дифференциального исчисления и матричной алгебры, теории точности -. \ :; \-' "-; ; \:-!/'\v:4Y "'.'м- ,:';:":;: = ^."= і:;:-"^і:-"хр-г L4;: ;i.
Основные теоретические положения, полученные в диссертационной
б работе, подвергались экспериментальной проверке в производственных условиях на ОАО «ГПЗ-2». Статистическая обработка материалов экспериментальных исследований проводилась с использованием многофакторного корреляционно-регрессионного анализа.
Научная новизна. Впервые получены следующие результаты:
предложена математическая модель точности многомерной техііологическои операции по числовым характеристикам входных и выходных параметров и параметров, характеризующих технологическую систему;
предложена. математическая модель точности многомерного технологического процесса, состоящего из ряда взаимосвязанных операций, с ; учетом действия технологической наследственности;
разработана методика расчета допусков на входные параметры технологической операции, обеспечивающих заданную точность и минимальную себестоимость обработки;
разработан общий алгоритм расчета допусков для технологической операции со многими входными и выходными параметрами по заданной точности обработки на основе критерия минимума себестоимости.
Практическая значимость состоит в следующем:
разработана методика расчета точности технологической операции со многими входными и выходными параметрами;
разработана методика расчета точности многомерного технологического процесса, состоящего из ряда взаимосвязанных операций, с учетом технологической наследственности;
составлены справочные данные по точностным и Передаточным характеристикам процесса шлифовальной обработки колец подшипников
предложен метод расчета оптимальных допусков на входные параметры технологической операции по заданной точности обработки на основе критерия минимума себестоимости
.-. '-] vv.i;'.' ."у.: ".. л;-.:-:-'.-"'!-: :\ !,"/:';;;.>:;::,cxyh процесса
шлифования колец подшипников, характеризующие относительные величины
случайных и систематических погрешностей
установлено, что обеспечение точности размеров посадочного отверстия необходимо проводить за счет повышения точности шлифования желоба и уменьшения влияния термической операции на диаметр отверстия заготовок, а точности формы посадочного отверстия колец путем сокращения ошибок, возникающих в самой технологической системе
внедрение полученных в результате экспериментальных исследований уточненных требований к точности обработки внутренних колец подшипников 206 на желобошлифовальной операции приводит к снижению технологической себестоимости изготовления колец с годовым экономическим эффектом 362100 руб.
результаты исследования используются в учебном процессе при изучении дисциплины «Технология машиностроения» и при выполнении выпускных квалификационных работ.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы доложены и получили положительную оценку:
на международной научно-технической конференции «Современные наукоемкие технологии и перспективные материалы текстильной и легкой промышленности» (ПРОГРЕСС-2006) (г. Иваново) в 2006г.;
на межвузовской научно-технической конференции аспирантов и студентов «Молодые ученые - развитию текстильной и легкой промышленности» (Поиск - 2006) (г. Иваново) в 2006г.;
на заседаниях кафедры технологии текстильного машиностроения и конструкционных материалов в МГТУ им. А.Н. Косыгина в 2002-2006г.
В диссертации рассматривается построение многофакторных математических моделей точности технологических процессов статистическими методами. Диссертационная работа состоит из пяти глав, в которых
!:'.".-"-.с. .''.;.;. ?:.;.> г.':'.^:-;;т"^ ^гп^сч, ї'-:а;о снт^-тіі':.:.: с 'КсрпоП :: практикой моделирования точности технологических процессов.
В первой главе диссертации рассматривается роль технологии изготовления деталей в обеспечении надежности текстильных машин. Содержится анализ состояния теории точности производства. Показано, что дальнейшее развитие инженерных расчетов точности обработки зависит от степени разработки методов математического описания закономерностей те\'нологических процессов. При этом важнейшее значение приобретает комплексное изучение погрешностей, имеющее целью не только дать анализ погрешностей и вскрыть порождающие их причины, но и найти пути управлення точностью обработки. В конце главы сформулированы цель и задачи исследования.
Во второй главе рассматриваются общие вопросы моделирования. Приводится классификация моделей, описываются методы их получения, способы преобразования нелинейных моделей в линейные, определяются этапы "математического моделирования. При построении математических моделей очень важно правильно выбрать входные параметры, влияющие на точность обработки. Заключительный этап моделирования составляет оценка и интерпретация полученных моделей. Решение этой задачи позволяет ответить на вопрос, можно ли использовать найденную модель или же она не имеет практической ценности.
В третьей главе рассматриваются принципы построения математических
моделей точности технологических процессов, базирующихся на
корреляционно-регрессионных методах. Построение моделей
рассматривается в начале для простейших случаев - одномерных технологи
ческих операций с одним входом и одним выходом и в общем случае - для
многомерных операций со многими входными и выходными параметрами, а
также параметрами, характеризующими внутреннее состояние технологической
системы. ^Методы построения математических моделей точности отдельных
операций распространяются на многооперационные технологические
. ; -.:.' :'; \ _'' -..-;,. , ''' ::.;.,.:::!;' ; ^ерп-д::;';. ] bcrxvr::? моделей
рассматривается для линейных и линейно связанных операций, составляющих
технологический процесс.
В четвертой главе рассматривается оптимизация допусков на параметры технологической операции, обеспечивающая заданную точность и наименьшую себестоимость обработки. Задача оптимизации допусков рассматривается вначале для простейшего случая - технологической операции со многими входными и одним выходным параметрами и в общем случае - для многомерной операции со многими входами и выходами. Приводится блок-схема программы расчета оптимальных допусков на параметры технологического процесса, по критерию минимума себестоимости обработки деталей.
В петой главе рассматривается построение модели точности конкретного процесса обработки внутренних колец подшипников, разработанной по результатам экспериментальных исследований. Получена статистическая модель, которая позволяет установить закономерности изменения погрешностей размеров и формы внутренних колец шарикоподшипников после шлифования.
Поставленные задачи решались путем проведения теоретических и экспериментальных исследований. В основу исследований положены работы отечественных ученых Б.С. Балакшина, Б.М. Базрова, Н.А. Бородачева, A.M. Дальского, B.C. Корсакова, А.А. Маталина, Н.С. Райбмана, Л.К, Сизенова, А.П. Соколовского, Ю.М. Соломенцева, П.И. Ящерицына и др.
Методы исследования точности обработки
Существует два дополняющих друг друга определения точности проектный, выполняемый заблаговременно, и экспериментальный (статистический), применяемый после осуществления процесса в производственных условиях [24]. В то же время, теоретический подход исследования точности может быть проведен расчетно-аналитическим и вероятностным методами. Однозначно определить степень точности обработки в любой момент времени можно при использовании расчстно-аналитпческого метода, путем решения систем алгебраических или дифференциальных уравнений, описывающих взаимосвязи между входными и выходными параметрами процесса. Математически детерминированные процессы описываются в такой последовательности: определяются важнейшие входные параметры; устанавливается влияние их на точность обработки; однозначно решается задача анализа, т.е. выполняется расчет суммарной погрешности обработки по заданным техническим условиям и допускам на входные параметры процесса или задача синтеза, т.е. определяются допуски на входные параметры заготовок и параметры технологической системы по заданной точности обработки. Решение задачи синтеза сложнее задачи анализа.
Она не имеет однозначного решения, так как заданные допуски на обработку можно обеспечить несколькими путями. Поэтому задача синтеза требует применения методов математического программирования для отыскания оптимального варианта [64]. Применение расчетно-аналитического метода вызывает определенные трудности: невозможность учета всех факторов, влияющих на точность технологического процесса; трудность решения системы большого количества алгебраических или дифференциальных уравнений, связывающих входные и выходные параметры, невозможность судить о точности партии деталей по точности изготовления одной из них. Расчетно-аналитический метод анализа точности применяют для оценки влияния на суммарную погрешность обработки одного или нескольких отдельно взятых входных параметров. Но с оценку всею множества технологических параметров, вызывающих погрешности обработки. В противовес расчетно-аиалитическому методу, применяющемуся для расчета погрешностей детерминированного технологического процесса, используется вероятностный метод, служащий для анализа точности квазидетермииированиого, или стохастического, процесса, т.е. для расчета точности изготовления партии деталей или выполнения процесса в целом, с учетом практически нсех возможностей и комбинаций важных условий хода технологического процесса. Вероятностный метод расчета точности обработки чаще всего используют при серийном и массовом производстве изделий, основываясь на том, что входные и выходные параметры технологического процесса, о общем случае, являются случайными величинами (случайными функциями). Исчерпывающей характеристикой точности выполнения технологического процесса является закон распределения суммарной погрешности обработки, для установления которого опираются на законы распределения или момента высших порядков входных случайных параметров.
В связи с трудностью определения закона распределения суммарной погрешности на практике пользуются более простыми числовыми характеристиками точности. В простых случаях для установления линейных зависимостей между входными параметрами и погрешностями обработки пользуются аналитическими способами расчета, в сложных применяют ЭВМ. В настоящее время аналитические способы решения нелинейных задач точности обработки еще не разработаны и, в общем случае, вероятностные характеристики точности обработки могут быть получены лишь приближенными методами [48,51 и др.]. Одним из наиболее универсальных . приближенных методов является метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) [15,32 и др.], требующий предварительного математического описание процесса, зп которым следует определение связи между каждым входным параметром и соответствующей погрешностью на выходе операции. Далее: случайные значения каждого из учитываемых параметров, и законы значений погрешности обработки, аналогичную той, которую дает экспериментальное исследование партии деталей. По результатам полной статистической обработки полученной совокупности случайных погрешностей па ЭВМ устанавливается закон распределения суммарной погрешности выходного параметра, лежащего в основе получения всех необходимых характеристик. исследование точности технологических процессов может быть осуществлено экспериментальным методом, путем пассивного, активного или смешанного (активно-пассивного) эксперимента [38,40,47,64 и др.]. Основным недостатком пассивного эксперимента, при котором модель процесса строится по данным, полученным в условиях нормального функционирования технологического процесса [38,64 и др.], является наличие корреляции между коэффициентами регрессии, т.е. исключение из модели одного незначимого коэффициента приведет к изменению значения всех остальных коэффициентов регрессии, и все вычисления нужно будет выполнять заново. В активном эксперименте по заранее спланированной программе вводятся искусственные возмущения [3,40,47 и др.].
Основные особенности активного эксперимента, имеющего ортогональную матрицу планирования: простота всех расчетов; независимость друг от друга всех коэффициентов регрессии; одинаковая и минимальная дисперсия всех коэффициентов регрессии. Однако при активном эксперименте математическое описание технологического процесса составляется только для относительно изменяемых (неслучайных) переменных, тогда как влияние неуправляемых (случайных) переменных не учитывается, что является его существенным недостатком. Кроме того активный эксперимент обычно значительно сложнее выполнить, чем провести пассивные наблюдения.
Определение вида зависимости между входными и выходными параметрами процесса
Основным этапом построения математической модели технологического процесса является выбор формы связи, характеризующей зависимость точности От правильности этого выбора зависит степень адекватности модели изучаемому процессу, т. е. соответствия исследуемому объекту при заданной точности. Выбранная функция должна отражать наиболее характерные заЕ ономерности данного процесса, аналитическая зависимость, положенная в основу математической модели, должна быть по возможности простой, так как сложные функции создают дополнительные трудности при расчетах, число постоянных параметров, входящих в формулу, должно быть ограничено. Взаимосвязь между точностью обработки и определяющими ее входными параметрами может быть двух основных типов: функциональной и стохастической. Частными случаями последней являются корреляционная и регрессионная зависимости. Две случайные переменные являются корреляционно связанными, если при изменении одной из них меняется условное математическое ожидание другой. Как отмечалось выше, не все входные параметры, определяющие точность обработки, являются случайными величинами, поэтому часто приходится рассматривать называемые регрес-.. сионными зависимости между случайными и неслучайными переменными.
В этом случае, в качестве функции принимается случайная, а аргумента -неслучайная переменная. Как и при выборе входных параметров, в качестве критерия выбора формы связи прежде всего нужно применять результаты теоретического анализа точности технологического процесса, а в ряде случаев использовать известные функциональные и корреляционные модели процессов, аналогичных исследуемым. Если теоретически затруднительно обосновать форму связи, то это можно сделать эмпирически, путем построения нескольких уравнений регрессии, различающихся как алгебраической формой, так и набором входящих в них переменных. Выбор соответствующего уравнения ведется статистическим путем с помощью коэффициента множественной корреляции, множественного корреляционного отношения и критерия Фишера. Очень удобен графический анализ подбора формы зависимости между рименяется на практике и дает хорошие результаты при двух переменных, входящих в модель. По расположению точек на графике можно выбрать линейную или нелинейную форму связи: степенную, логарифмическую, тригонометрическую и т. д. Исследование форм связи при построении многофакторных моделей технологических операций затруднительно, поэтому целесообразно использовать линейные модели, которые просты и требуют относительно меньшего объема вычислений, а методика их решения доступнее.
Так как на практике уравнения связи между точностью обработки и влияющими на нее входными параметрами часто бывают нелинейными, удобно заменить их, если это возможно, на линейные. Преобразование нелинейных моделей в линейные может быть достигнуто следующими способами: 1. С помощью формулы Тейлора, т. е. отбрасыванием нелинейных членов зависимости. Пусть вектор z = (z],z2,...,zm) выходных параметров точности обработки связан с вектором х (х,,х2,...,х,;) входных параметров нелинейной зависимостью: где f = (f\, f2векторозначная функция векторного аргумента. Выбрав центр линеаризации, за который обычно принимается тх = (/7 ,/7 ,...,/ . ) - вектор . математических ожиданий, заменяем зависимость (2.1) следующей линейной моделью: Этот способ имеет своим существенным недостатком уменьшение адекватности модели технологического процесса; 2. представим общую модель (2.1) процесса в виде где ц - столбец размерности wxl, А - матрица порядка тхк, а g(x) = (g\ (x),g2 ( ) -, gk {х)У - функциональный вектор. Произведем замену переменной y g, где у - случайный вектор длины А: превратив уравнение связи (2.1) в линейную модель Рассмотренный способ имеет два ограничения. Во-первых, мы должны по вероятностным характеристикам компонент вектора х уметь вычислять характеристики компонент вектора V, т.е. функшш gjix) (/=!,...,).
Модель точности технологического процесса, состоящего из одномерных операций
Рассмотрим технологический процесс, состоящий из п одномерных операций (рис. 3.2, б). На входе процесса имеется случайная величина Ха на выходе первой операции Хи являющаяся входом второй операции; на выходе второй операции - случайная величина Х2, являющаяся входом третьей операции, и т.д. На входе последней операции имеем случайную величину Х„.І, а на выходе процесса - Х„. Считаем плотность распределения случайных величин Х„, X/, Хп.{, Х„ нормальной, совместную плотность распределения для любого входа и выхода, а также для всех входов и выходов Множественная регрессия также линейна. Рассмотрим вначале расчетные формулы для первого случая, когда выходные точностные характеристики каждой последующей операции зависят только от выходных параметров одной предыдущей операции и не зависят от характеристик всех ранее выполненных операций. Для первого случая уравнение регрессии выходного параметра Х„ по входным Хп,} ,Х j, Дд имеет следующий вид: Значения коэффициентов регрессии bt характеризуют ту часть случайной погрешности, которая передается со входного параметра на выходной. Значения а,- являются характеристиками постоянной собственной погрешности операции, которая может быть отрегулирована размерной настройкой технологического процесса на соответствующий размер. Общая дисперсия на выходе процесса дисперсиями, характеризующими ту часть случайной погреииюсти на выходе і-й корреляции , равен нулю, то общая погрешность на выходе /-и операции полностью определяется погрешностями, внесенными самой операцией. При этом погрешности входного параметра не оказывают влияние на погрешности выхода. Для второго случая уравнение множественной линии регрессии имеет вид где о,- - коэффициенты множественной регрессии; а„ определяется из тождества Значения коэффициентов регрессии а,- определяются из следующей системы уравнений:
Общая дисперсия на выходе технологического процесса может быть регрессии mXl,ix,}l „л-„и дисперсии поверхности регрессии относительно математического ожидания выходного параметра тХя : Условная дисперсия А-(,/Лм х0 является характеристикой суммарной погрешности, вносимой в выходной параметр конечной операции всеми п операциями технологического процесса, дисперсия же Цр„/ „ ,.„ , „ является характеристикой той части погрешности на выходе конечной операции, которая вызвана входными параметрами от исходной заготовки до п-й операции. Эти дисперсии определяются по формулам: Переходя в уравнении (3.41) от дисперсии к полям рассеяния и принимая во внимание выражение (3.43), получим суммарное поле рассеяния погрешностей выходного параметра х„ по всем входным xrh!, ..., х0 Координата середины суммарного поля рассеяния выходного параметра на конечной операции определяется формулой При выполнении практических расчетов случайные величины Х-{ удобно представлять в стандартизованном масштабе: Тогда формула (3.38) примет вид а коэффициент множественной корреляции (3.44) будет равен Значения В определяют вычислением определителя (3.47) , а А/- заменой /-го столбца в определителе (3.46) столбцом значений г . Оценки коэффициентов регрессии Л! в стандартизованном масштабе связаны со значениями коэффициентов регрессии в натуральном масштабе соотношением рационных технологических процессов и установить влияние отдельных операций на точность готовых деталей. Пусть исследуемый технологический процесс состоит из п многомерных операций (рис. 3.2, в). На входе процесса действует с случайных величин X(i (/ - 1,2,...,с), характеризующих входные точностные параметры исходных заготовок, па выходе первой операции имеем d случайных величин X0J) (j=l,2,...,d), являющихся входами для второй операции, и т.д. На выходе всего процесса имеем случайные величины лп (m=\%2,...,q), характеризующие выходные точностные параметры готовых деталей. Кроме того, для каждой операции рассмотрим входные параметры технологической системы, являющиеся случайными величинами: для первой операции будет s случайных величин Z\ !) (ц = 1,2,..., ), для второго -1 случайных величин Zi1" (// - 1,2,..., t) и т.д. (см.рис.3.2,в). Считаем, что плотность распределения вероятностей каждой из случайных величин нормальная и совместные распределения также нормальны.
Оптимизация допусков для технологической операции со многими входными и одним выходным параметрами
В простейшем случае для определения допусков, обеспечивающих заданную точность и наименьшую себестоимость обработки учитывается всего один выходной случайный параметр Y и влияние на него двух независящих друг от друга входных случайных параметров Х\ и Х2. Пусть выходной параметр является линейной комбинацией входных параметров: Применив операцию дисперсии к выражению (4.1), получим Между дисперсиями ті полями рассеяния погрешностей выходного и входных параметров имеют место соотношения где Av и Дл. - поля рассеяния выходного и входных параметров; kv и kXi - коэффициенты относительного рассеяния законов распределения случайных величин YuXj.
Подставляя вместо Dv, DXi, Dx их значения из формулы (4.3) в равенство (4.2), получим выражения для поля рассеяния погрешностей выходного параметра Введем обозначения: Тогда вместо (4.4) можно написать Далее величины , 2 /? для краткости . будем называть допусками. Пусть себестоимость изготовления детали зависит от допусков и 2 по закону [29] Если допуск на выходной параметр точности (например, размерный uapaivicip) дошли іадан 0/- 7о). ю допуски i и 4 2 на входные параметры должны удовлетворять неравенству С геометрической точки зрения уравнение (4.5) представляет собой конус, вершина которого находится в начале координат, а ось симметрии совпадает с осью // (рис.4.1), при этом установление допуска на выходной параметр с геометрической точки зрения означает задание плоскости // = щ параллельной плоскости (i, 2) входных параметров. Нахождение точки (,,2»?7) внутри области, опрсделяющсґ: собой четверть конуса OCDE, удовлетворяет заданной точности обработки и обеспечивает допуски на входные факторы. Неравенства (4.7) и (4.8) определяют некоторую область G на плоскости ( ь ). ограниченную осями координат и четвертью эллипса (рис.4.2), имеющего уравнение
Расположение входных параметров внутри области G обеспечивает заданную точность обработки, поэтому она является областью качества или допустимых значений параметров, и наоборот, при нахождении входных параметров вне четверти эллипса, заданная точность обработки не будет обеспечена, т.е. получится брак. Впишем в область G прямоугольник ОАРВ так, чтобы его стороны были параллельны осям координат ,. 2, а вершина р, лежащая против начала координат, принадлежала кривой (4.9). Точку/? будем определять так, чтобы в этой точке функция стоимости (4.6) достигала наименьшего значения в области (7. Так кок функция (4.6) нигде не имеет нулевых частных производных, мінчімуі1.1 r-.Tt п -,г ч;т"у- тс;,г \\ъ пг-ппге области. Нп ог« ; коооднчат тга функция бесконечно велика, поэтому ее минимум достигается в области G на кривой (дуге эллипса (4.9)), ограничивающей данную область. Определим координаты точки р, принадлежащей кривой (4.9), в которой функция стоимости (4.6) достигает наименьшего значения. Эта задача на условный экстремум решается методом неопределенных множителей Лагранжа. Применив этот метод, введем вспомогательную функцию продифференцировав которую, получим систему уравнений оптимизации Решив эту систему, найдем координаты точки р, которые определяют оптимальные допуски на входные параметры Х\ и Х2:
Таким образом, определение допусков на входные технологические параметры X] и Х2 с геометрической точки зрения можно трактовать как построение вписанного в область G, прямоугольника ОАРВ в вершине р которого себестоимость обработки (4.6) достигает наименьшего значения. Координаты (4.11) вершины прямоугольника определяют допуски на каждый входной параметров в отдельности. Рассмотрим теперь случай оптимизации допусков при произвольном конечном числе независимых входных параметров и одном выходном точностном параметре. При наличии п входных параметров уравнение полей рассеяния на основании (4.5) принимает вид Ограничения на входные технологические параметры задаются неравенствами Эти неравенства изображают некоторую область G в «-мерном пространстве переменных ь;, ограниченную координатными гиперплоскостями и поверхностью гиперэллипсоида, имеющего уравнение Функция стоимости, подлежащая минимизации, имеет вид В рассматриваемом случае задача оптимизации допусков сводится к нахождению , Лг 5м удовлетворяющих неравенствам (4.13), при которых себестоимость обработки (4.15) принимает наименьшее значение. С этой целью составим функцию Лагранжа Откуда найдем оптимальное значение допусков на входные параметры заготовок и технологической системы, при которых достигается наименьшее значение функции стоимости обработки Формула (4.17) для произвольного числа независимых входных технологических параметров обобщает результат формулы (4.11).
Аналогично решается задача оптимизации допусков для зависимых параметров, которая не имеет аналитического решения и может быть решена только численными методами. Таким образом, нахождение оптимальных допусков на входные параметры процесса геометрически означает построение гиперпараллелепипеда, вписанного в область G с вершиной, лежащей на поверхности (4.14) и определяемой координатами (4.17), в которой функция стоимости (4.15) минимальна.
