Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Геометрия поверхностей и эксплуатационные свойства деталей машин 8
1.1. Геометрические характеристики качества поверхностей 8
1.2. Методы описания шероховатости деталей машин 14
1.3. Основные модели контактного взаимодействия шероховатых поверхностей 27
1.4. Эксплуатационные свойства соединений деталей машин 40
1.5. Постановка задач исследований 47
ГЛАВА 2. Фрактальная модель шероховатости 51
2.1. Общие сведения о фрактальной геометрии 51
2.2. Модели фрактальных статистических самоаффинных процессов ..54
2.2.1. Фрактальное броунское движение 54
2.2.2. Фрактальный гауссовыйшум 56
2.3. Методы определения фрактальной размерности профиля шероховатой поверхности 57
2.4. Классификация профилей шероховатых поверхностей 62
2.5. Моделирование изотропных самоаффинных шероховатых профилей и поверхностей 65
2.5.1. Моделирование фрактальных шероховатых поверхностей с помощью функции Вейерштрасса-Мандельброта 65
2.5.2. Моделирование фрактальных шероховатых поверхностей методом фильтрации Фурье. 68
2.5.3. Моделирование фрактальных шероховатых поверхностей методом срединного смещения 71
2.5.4. Анализ методов моделирования фрактальных шероховатых поверхностей 73
ГЛАВА 3. Компьютерное моделирование фрактальных шероховатых профилей и поверхностей по задан ным параметрам шероховатости 74
3.1. Математическая постановка задачи 74
3.2. Определение оптимальных значений фрактальных параметров 82
ГЛАВА 4. Контактные характеристики фрактальных шероховатых поверхностей 95
4.1. Параметры эквивалентной шероховатой поверхности 95
4.2. Влияние фрактальных параметров на топографические характеристики фрактальных шероховатых поверхностей ...97
4.2.1. Разработка программного комплекса «FD contact» 97
4.2.2. Размерное распределение пятен контакта 105
4.2.3. Определение формы и числа неровностей 106
4.2.4. Распределение вершин, впадин и высот неровностей 107
4.3. Контакт отдельной неровности шероховатой поверхности с упругим полупространством... 109
4.4. Контакт жесткой фрактальной шероховатой поверхности с упругим полупространством 111
4.4.1. Влияние распределения радиусов неровностей 111
4.4.2. Контактирование фрактальных1 шероховатых поверхностей 114
4.4.3. Влияние числа гармоник и фрактальной размерности 119
4.5. Сравнение полученных результатов с результатами других
исследователей 122
Заключение 125
Список литературы
- Методы описания шероховатости деталей машин
- Модели фрактальных статистических самоаффинных процессов
- Определение оптимальных значений фрактальных параметров
- Влияние фрактальных параметров на топографические характеристики фрактальных шероховатых поверхностей
Введение к работе
Многие эксплуатационные свойства соединений деталей машин и аппаратов: износостойкость, контактная жесткость, коррозионная стойкость, усталостная прочность, герметичность, электро- и термоконтактное сопротивление и другие - зависят от топографических параметров микрогеометрии, свойств материалов и приложенной нагрузки.
Обеспечение надежности соединений деталей машин и аппаратов закладывается еще на стадии проектирования. Исследования показывают, что более 80% случаев выхода из строя машин и механизмов обусловлено процессами, происходящими в зоне контакта деталей. Из общего числа отказов, связанных с нарушением функционирования соединений деталей, 2/3 обусловлено конст-рукторско-технологическими дефектами, остальные - производственными дефектами и нарушением режимов эксплуатации.
Основными контактными характеристиками, обеспечивающими эксплуатационные свойства соединений деталей машин, являются сближение шероховатых поверхностей, относительная площадь контакта и объем зазоров в стыке, которые находятся в определенной взаимозависимости и определяются параметрами микрогеометрии и величиной сжимающих напряжений.
Стык соединений деталей машин является сложной технической системой как с точки зрения описания шероховатых поверхностей, так с точки зрения механики контактного взаимодействия. Поэтому для определения эксплуатационных показателей используется основной метод исследования сложных систем - метод математического моделирования.
Для решения контактных задач в трибологии широко используется дискретная модель шероховатости, в которой для описания шероховатости используется начальная часть кривой опорной поверхности. Однако ее применение при высокой плотности пятен контакта, где необходимо учитывать взаимное влияние неровностей, приводит к значительным погрешностям. Кроме того, при применении дискретной модели используются параметры шероховатости, значения которых зависят от разрешающей способности измерительного прибора и длины выборки, хотя в последнее время для описания микрогеометрии поверхностей часто используют фрактальную модель, параметры которой постоянны для всех масштабов микронеровностей. Но при этом при определении контактных характеристик получены результаты, противоречащие дискретной модели шероховатости и положениям механики контактного взаимодействия, на которых она основывается: малые пятна контакта деформируются пластически, большие — упруго.
В этой связи представляет интерес использование более точной фрактальной модели шероховатости для определения распределений неровностей по высоте и размерам с их дальнейшим применением для определения контактных характеристик при взаимном влиянии неровностей.
Таким образом, цель работы - совершенствование методов расчета характеристик стыка шероховатых поверхностей соединений деталей машин при высокой плотности пятен контакта путем применения фрактальной модели шероховатой поверхности для определения размеров неровностей и функций их распределения по высоте шероховатого слоя.
Для достижения цели в работе поставлены и решены следующие задачи:
• анализа основных моделей фрактальных процессов и методов определения фрактальных характеристик;
• моделирования фрактальных шероховатых профилей и поверхностей по заданным параметрам шероховатости;
• моделирования взаимодействия шероховатых поверхностей при высокой плотности пятен контакта.
Научная новизна заключается в разработке:
• методики эффективного моделирования шероховатых профиля и поверхности на основе функции Вейерштрасса-Мандельброта путем варьирования фрактальных параметров с использованием ЛПт-последовательностей;
• математической модели фрактальной шероховатой поверхности и исследования ее основных характеристик в зависимости от числа гармоник;
• методики определения закона распределения вершин и впадин неровностей, их высот и формы, распределения сечений неровностей на разных уровнях;
• математической модели контакта жесткой шероховатой поверхности с упругим полупространством.
Работа предназначена для создания на базе проведенных теоретических исследований современных инженерных методов моделирования фрактальных шероховатых профилей и поверхностей по заданным параметрам шероховатости и расчета относительной площади контакта шероховатых поверхностей, используемых при проектировании соединений деталей машин.
Методы описания шероховатости деталей машин
Вначале шероховатость рассматривали как детерминированную совокупность одинаковых по размерам и форме неровностей. Начиная с 1940-х гг. для описания шероховатости активно используются методы теории вероятностей. Впервые этот подход был применен В.А. Журавлевым в 1940г. [33]. Несколько позднее И.В. Крагельским был произведен расчет контактного взаимодействия шероховатых поверхностей в предположении, что высоты неровностей распределены по нормальному закону [35]. Большое влияние на развитие механики контакта шероховатых поверхностей оказала работа Дж. Гринвуда и Дж. Уильямсона [86], где авторами были сделаны допущения: высоты и пики неровностей имеют гауссово распределение; пики неровностей имеют сферическую форму с постоянным радиусом кривизны г.
В случае представления шероховатости случайным полем предполагается, что поверхность является однородной:и изотропной. Модель шероховатой поверхности в виде случайного поля нашло применение во многих работах отечественных и зарубежных авторов [1, 59, 96 и других].
В этом случае координаты поверхности задаются случайной функцией [1] z(x У) = сп cos(x „ + укуп + о„ ) 1 п со, п где кхп, куП - волновые числа; „ - случайная фаза. Распределение высот является нормальным (гауссовым) 2ІУ q (z) = yV2p где ст - среднеквадратическое отклонение (Rq). Однако распределение максимумов неровностей имеет другое распределение (не гауссово) [1,96] где z-zly - относительная высота вершины неровности; Z, где w0 = о , m„ - момент функции спектра мощности профилограммы Р(со).
Параметр am [96] определяет плотность неровностей шероховатой поверхности и принимает значения от 1,5 (что соответствует группе волн с близкими частотами) до бесконечности (в случае широкополосного спектра). Чем больше а, тем больше вероятность появления высоких вершин. Значение данного параметра легко определить из профилограммы [1] В этом случае минимальное значение сст равно 1.
Одной из важнейших характеристик случайного процесса является ее автокорреляционная функция (отражает связь между значениями ординат) 1 L К( } = E[Z(X)Z(X + $] = — jz(x)z(x + $dx, L0 где L — длины выборки, Е(х) — означает математическое ожидание случайной величины. Как показал анализ, проведенный в [56], корреляционные функции реальных профилей могут быть трех типов: монотонно убывающие, в виде за a тухающих колебаний или с гармоническими колебаниями. В общем случае их можно аппроксимировать выражением [56] K{l)=HRqcie l COS СО/Т, І=\ где а,, со, - параметры аппроксимации; ch к — коэффициенты (А=1, 2, ...). Для определения ch а,, со,- используют число пересечений профиля со средним значением No на единицу длины, число максимумов профиля Np на единицу длины и число перегибов профиля Ns на единицу длины (таблица 1.1). Числа iVo и Np связаны с шаговыми параметрами " N0- . Np
Выражения для определения параметров аппроксимации а,-, со,- в зависимости от параметра Х = S/Sm приведены в [56].
Для гауссовых поверхностей К(т) с увеличением т медленно убывает (что говорит о преобладании длинных длин волн) и часто следует соотношению X K(x) = Rq2e \ где те - интервал корреляции, расстояние при котором автокорреляционная функция уменьшится в е раз (рис. 1.3а).
Модели фрактальных статистических самоаффинных процессов
Фрактальная геометрия была основана французским математиком польского происхождения Бенуа Мандельбротом в 1967 году. Слово «фрактал» произошло от латинского слова fractus и переводится как дробный, ломанный [5]. Фрактальная геометрия используется для описания неправильных форм, которые с помощью объектов евклидовой геометрии (линий, окружностей и т.д.) не описываются. Естественные структуры, такие как горы, береговые линии, облака, шероховатые поверхности - всем им свойственно фрактальное поведение.
Объекты евклидовой геометрии имеют целочисленную размерность: размерность точки равна 0, линии - 1, плоскости - 2, куба - 3 и т.д. Размерность фракталов не является целым числом и состоит из двух частей: целая часть равна их евклидовой размерности, а дробная часть, называемая фрактальным инкрементом, изменяется в от 0,00.. до 0,99.. [78]. Чем больше значение фрактальной размерности, тем больше места занимает фрактал. Таким образом, фрактальная размерность профилей шероховатых поверхностей будет изменяться в пределах от 1 до 2, а поверхностей - от 2 до 3.
В качестве примера простого фрактала рассмотрим кривую, которая образуется в результате бесконечного числа итераций. В начале имеется прямой отрезок (номер итерации равен нулю, п=0), затем отрезок делят на три равные части и среднюю часть заменяют на два сегмента одинаковой длины равной одной трети исходного отрезка (и=1). На следующем этапе снова среднюю часть каждого прямого отрезка заменяют двумя сегментами и повторяют процедуру до бесконечности. Кривая Кох, образованная тремя итерациями Приведем основные свойства фрактальных кривых. Достаточно полное их описание приведено в [82,92].
1. Самоподобие. Рассмотрим одномерную линию (рис. 2.2 а). Каждый ее сегмент размером \1т подобен всей линии. Если увеличить отрезок в т раз, то он станет точной ее копией. Теперь рассмотрим квадрат (рис. 2.2 б). Выделим в нем маленький квадратный сегмент со стороной \1т. Если его увеличить в т раз, то снова сегмент станет подобным исходному квадрату.
Другими словами свойство самоподобия выполняется тогда, когда при увеличении малая часть объекта становится подобной большей части или целому объекту [5,82,92]. Построенная ранее кривая Коха также обладает данным свойством, т.к. ее малые части при увеличении становятся подобными фигуре первого поколения («= 1) кривой.
Если малые части становятся идентичными целому объекту, такие фрак талы называют точными. Если подобие представлено только статистическими характеристиками (например, среднеквадратическим значением), то такие фракталы называют статистическими.
2. Самоаффинность. Описание самоподобия основывается на равном масштабном увеличении во всех направлениях. Однако для многих объектов для получения подобия необходимо применить неодинаковое масштабно увеличение для разных направлений. Профили шероховатых поверхностей являются статистическими самоаффинными объектами (рис. 2.3), так как, во-первых, подобие представлено только в статистических характеристиках (например, среднеквадратическим отклонением), а во-вторых, для достижения подобия требуется неодинаковое увеличение в горизонтальном и вертикальном направлениях.
3. Недифференцируемость. Недифференцируемость следует из того, что при каждом повторном масштабном увеличении будут возникать все новые и новые детали (рис. 2.3), что в свою очередь говорит о невозможности провести касательной в любой точке кривой.
4. Обратная степенная зависимость спектра мощности от частоты. Функция спектра мощности фрактальных кривых имеет обратную степенную зависимость от частоты: где Р(а ) - функция спектра мощности, м3, со - частота, м"1, s - наклон средней линии функции спектра мощности, отложенной в логарифмических координатах.
Основные модели фрактальных статистических самоаффинных процессов
Рассмотрим вначале классическое броунское движение. Гауссовый процесс X(t) называются броунским движением, если он обладает следующими свойствами: 1) Д0)=0 и функция X{i) всегда непрерывна; 2) приращение X(t+At}-X(t) имеет гауссово распределение с нулевым средним и дисперсией Rq At, то есть
Определение оптимальных значений фрактальных параметров
Для большинства реальных профилей удается обнаружить значение уопт, для которого относительные отклонения шаговых параметров лежат в пределах пяти процентов, при округлении до шестой цифры. Тогда количество возможных значений частотного параметра составляет 200001. Пересчет всех вариантов является долговременной задачей.
Следовательно, необходимо проводить случайный поиск оптимального значения среди пробных точек, что можно осуществить с помощью генератора случайных чисел, распределенных по нормальному или равномерному закону вероятности, или применяя ЛПт-последовательности. Последние более равномерно сканируют область допустимых значений [62]. Проекции пробных точек в этом случае на любую координатную ось в пространстве параметров различны и расположены квазиравномерно. Используя N пробных точек, каждому из параметров придают N значений различных и равномерно расположенных во всем диапазоне изменения параметров, т.е. число пробных точек для каждого параметра равно числу испытаний. Данный метод выбора пробных точек обеспечивает равномерный просмотр всего пространства при сравнительно небольшом числе испытаний.
Процесс определения оптимального значения параметра можно разделить + на ряд подэтапов: постановка задачи, составление таблиц испытаний, выбор критериальных ограничений, проверка разрешимости задачи.
Постановка задачи оптимизации заключается в определении пространства параметров. Предположим, что варьируемые параметры изменяются в пределах
Данные ограничения выделяют в пространстве параметров параллелепипед П={А}, «-мерный объем которого vn=fl{a7 a j\ Предположим, что необходимо минимизировать решающий критерий Ф(А) где ФУ{А) - критерии качества, которые желательно уменьшить: Фу (А) - min, а следовательно, желательно уменьшить и Ф(А) ф(л)- тіп.
Составление таблиц испытаний выполняется ЭВМ. Последовательно выбираются N пробных точек и в каждой из них вычисляются все критерии качества Ф( -4-). Составляется таблица испытаний, в которой значения критерия расположены в порядке возрастания. Таким образом, пробная точка, соответствующая первой строке таблице испытаний и будет являться оптимальной.
Для выбора пробных точек используется ЛПт-последовательности. При этом применяется лемма: если точки Q с декартовыми координатами (qn, qa,---Цір Я in) образуют равномерно распределенную последовательность в К", то точки А с декартовыми координатами (ал, а а, «ш), гдеу—1, 2, ..., п ay=aj+(aj -а, , образуют равномерно распределенную последовательность в параллелепипеде П, состоящем из точек {А\, ..., А„). имеет несколько экстремумов, то поиск Д)пт и Gom- осуществлялся также с помощью ЛПт-последовательностей. Более плавная зависимость Сг(г) от фрактальных параметров позволило несколько ускорить процедуру поиска, разделив ее на три шага: 1) методом золотого сечения при крайних значениях коэффициента амплитуды Gi=0,96GoH G2=l,04Go определялись значения фрактальной размерности D\ и 2, при которых суммарный критерий был минимален; 2) задавалась новая область варьирования фрактальных параметров: тіп(Д, D2) - 0,1 D max(D,, D2)+0,1, 0,94G0 G 1,06G0, в которой поиск продолжался с помощью ЛПт-последовательностей. Из выражений (3.3), (3.4) и (3.5) следует, что суммарный критерий Cr = Cr(s) + Cr(r).
Таким образом, алгоритм повышения эффективности моделирования профиля шероховатости заключается в минимизации сначала шагового, а затем амплитудного критериев, т.е. в отыскании сначала оптимального значения у, а затем - оптимальных значений D и G. Схематично данный алгоритм представлен на рис. ЗЛО. Входными для оптимизации данными являются значения параметров шероховатости, найденные на основе снятых профилей или установленные произвольно. Определяются исходные значения фрактальных параметров - D0 и Go- Пользователем задается количество пробных точек, тип зависимости у(п) и функциональные ограничения (например, значение максимальной относительной погрешности, которой не должны превышать отклонения по всем параметрам шероховатости фрактально модели). С помощью генератора ЛПт-последовательностей формируются и рассчитываются пробные точки, из которых выбираются наиболее оптимальная. Если указанным ограничениям не удовлетворяет ни одна пробная точка (множество Р оказывается пустым), то следует сделать ограничения менее «строгими» и повторить процедуру заново. На основе полученных значений фрактальных параметров - уопт, Dom и GonT — моделируется профиль или шероховатая поверхность. Так как этапы миними зации шаговых и высотных отклонений подобны, на рисунке они объединены в один этап для удобства восприятия представленной схемы алгоритма.
Результаты применения данного алгоритма (количество пробных точек iVp=4096) приведены в табл. 3.2. Как видно из данной таблицы шаговые параметры исходного фрактального профиля (рис. 3.6) значительно отличались от реального профиля. С помощью варьирования частотного параметра и фрактальной размерности (модифицированный фрактальный профиль) относительные погрешности шаговых параметров стали меньше пяти процентов. Суммарный критерий был уменьшен в 11,25 раз.
Влияние фрактальных параметров на топографические характеристики фрактальных шероховатых поверхностей
Как видно из рисунка получено хорошее совпадение с экспериментальной зависимостью Бартенева-Лаврентьева, для Г 0,3 среднее отклонение при определении относительной нагрузки qc для заданного п не превышает 10%. Показаны значительные расхождения (сотни процентов) с моделями, не учитывающими взаимное влияние неровностей. Наиболее хорошее совпадение дает применение модели Огара-Корсака, расхождения от 60% для т]=0,1 до 23% для гр0,8.
1. Произведен анализ работ в области моделирования шероховатости и контактного взаимодействия шероховатых поверхностей деталей машин. Указано, что основным их недостатком, за небольшим исключением, является неучитывание взаимного влияния неровностей, распределенных по высоте шероховатого слоя.
2. Установлено, что результаты, : полученные при использовании фрактальной модели шероховатости, противоречат моделям GW и D из-за принятых допущений: для вычисления силы микроконтакта используется наибольшее ее исходное сечение, а все меньшие неровности, находящиеся на большей неровности игнорируются, при этом площадь контакта равна половине исходного сечения. Показано, что при взаимном влиянии неровностей площадь контакта состоит из нескольких отдельных площадок, образованных меньшими неровностями, находящимися на большой неровности.
3. Рассмотрены методы определения фрактальной размерности. По точности определения рекомендуется использовать размерность, найденную из функции спектра мощности. Приведена классификация типа профиля шероховатости в зависимости от наклона средней линии функции спектра мощности.
4. Моделирование шероховатого профиля с помощью метода фильтрации Фурье имеет случайный характер, .не позволяющий изменять точность моделируемой поверхности. Процедура генерирования фрактальных кривых методом срединного смещения сложна в реализации, такие профили не являются стационарными и закон дисперсии для них не выполняется. Традиционный подход с использованием функции Вейерштрасса-Мандельброта позволяет моделировать высотные параметры с точностью до 5% и шаговые - с точностью до 30-60%.
5. Разработана методика повышения точности моделирования шаговых параметров шероховатости до 5% путем введения линейной или квадратичной зависимости у(и) с использованием ЛПх-последовательностей для равномерного зондирования области допустимых значений варьируемых фрактальных параметров. При этом значение суммарного критерия для профиля уменьшается в 10...12 раз, а для поверхности - в 5.. .7 раз.
6. С помощью имитационного моделирования впервые получено выражение для определения фрактальной размерности эквивалентной шероховатой поверхности в зависимости от фрактальных размерностей контактирующих поверхностей и максимальных высот неровностей.
7. В результате проведенных исследований по определению влияния распределения радиусов микронеровностей на относительную площадь при упругом контакте, установлено, что с : точностью до 5% расчет можно производить по среднему их значению.
8. Установлено, что для фрактальных поверхностей средняя высота неровностей составляет (0,15...0,25)7?тах. Исходя из описания опорной поверхности отношением неполной бета-функции получено выражение для распределения таких неровностей по всей высоте шероховатого слоя.
9. Контакт отдельной неровности рассмотрен с учетом взаимного влияния остальных контактирующих неровностей. Получена система трансцендентных уравнений, позволяющая определить относительную площадь контакта в зависимости от приложенной нагрузки, числа гармоник моделируемой поверхности и фрактальной размерности.
10. Показано, что при одинаковой нагрузке с ростом числа гармоник и с уменьшением фрактальной размерности, относительная площадь контакта уменьшается. Более универсальным параметром, в меньшей мере зависящим от числа гармоник и фрактальной размерности D, является силовой упругогеометрический параметр Fq.
11. Разработан алгоритм и реализован программный комплекс «FD contact», позволяющий смоделировать фрактальные шероховатые поверхности с заданными параметрами шероховатости, рассчитать размерное распределение сечений неровностей для разных уровней, распределение вершин, впадин и высот неровностей, а также определить контактные характеристики поверхностей.
12. Проведено сравнение полученных результатов с результатами других исследователей. Получено хорошее совпадение с экспериментальной зависимостью Бартенева-Лаврентьева, для т 0,3 среднее отклонение при определении относительной нагрузки qc для заданного Т не превышает 10%. Показаны значительные расхождения (сотни процентов) с моделями, не учитывающими взаимное влияние неровностей. Применение модели Огара-Корсака дает расхождения от 60% для л=0,1 до 23% для г=0,8.
