Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Полупроводниковые структуры в электрическом поле 7
1. Одномерные неупорядоченные структуры в электрическом поле 7
2. Вертикальный транспорт в слоистых структурах 20
3. Заключение 26
Глава 2. Туннелирование и рассеяние носителей заряда 27
1. Выбор модели транспорта 27
2. Механизмы рассеяния носителей заряда в полупроводниках 28
3. Время резонансного туннелирования 31
Глава 3. Туннельный транспорт 35
1. Модель 35
2. Описание модельной структуры 40
3. Расчет спектров прохождения и вольт-амперных характеристик 41
4. Периодическая сверхрешетка 48
5. Неупорядоченные сверхрешетки 57
Глава 4. Прыжковый транспорт 72
1. Модель 72
2. Электростатика сверхрешетки 74
3. Кинетические уравнения для тока через сверхрешетку 79
4. Свойства системы уравнений 85
5. Темпы перехода между соседними ямами 95
6. Расчет вольт-амперных характеристик 108
7. Прыжковые вольт-амперные характеристики 112
8. Приближенный анализ задачи 119
Основные результаты и выводы 130
Литература 131
- Вертикальный транспорт в слоистых структурах
- Механизмы рассеяния носителей заряда в полупроводниках
- Описание модельной структуры
- Кинетические уравнения для тока через сверхрешетку
Введение к работе
Полупроводниковые сверхрешетки, то есть структуры, образованные чередующимися слоями двух различных полупроводниковых материалов толщиной порядка нескольких нанометров, привлекают внимание исследователей с 1970 г., когда Есаки и Цу [1] впервые высказали идею о возможности создания искусственных квазипериодических структур. В настоящее время имеется возможность выращивать слоистые структуры, строго контролируя ширину и состав каждого слоя. Это дает возможность управления зонной структурой, проводимостью и другими свойствами материала, что крайне привлекательно с точки зрения практического применения полупроводниковых слоистых материалов при создании объектов с заданными свойствами.
В 1982 г. Доу с соавторами [2] предложили использовать нерегулярные сверхрешетки с беспорядком, преднамеренно внесенным в параметры слоев. Оказалось, что такие структуры обладают рядом интересных оптических и электрических свойств при низких температурах. Например, интенсивность люминесценции в сверхрешетках на основе арсенида галлия-алюминия при внесении искусственного беспорядка в ширины квантовых ям существенно возрастает по сравнению с периодическими структурами [3, 4]. В сверхрешетках с контролируемым беспорядком наблюдается необычная температурная зависимость вертикальной электропроводности [5].
Идея конструирования периодических и неупорядоченных сверхрешеток послужила мощным стимулом в развитии не только техники получения слоистых полупроводниковых материалов, но и теоретических представлений о свойствах периодических и почти периодических структур. Однако сложность и разнообразие коллективных явлений в непериодических сверхрешетках затрудняют понимание физических процессов в них. Это демонстрирует актуальность дальнейшего развития теории электрических свойств неупорядоченных слоистых полупроводниковых структур и необходимость построения теоретических моделей влияния параметров структуры на ее электрические свойства, прежде всего, на проводимость.
Цель настоящей работы состоит в выяснении характера влияния различных параметров слоистых полупроводниковых структур на вертикальный электронный транспорт и разработке методов расчета вольт-амперных характеристик таких систем без предположения об их квазипериодическом строении. Это требует решения ряда вспомогательных проблем, например, таких, как моделирование проводящих свойств контактов при протекании тока через сверхрешетку и разработка устойчивых алгоритмов расчета при заданной модели проводимости.
Структура диссертации такова. В обзорных главах 1 и 2 рассмотрены электрические свойства полупроводниковых сверхрешеток и суммированы сведения о характерных временах рассеяния и туннелирования носителей заряда в слоистых полупроводниковых структурах. В третьей главе обсуждается изоэнергетическое туннелирование в коротких сверхрешетках и обсуждается влияние беспорядка на их электронные спектры прохождения и вольт-амперные характеристики. В четвертой главе описана модель и результаты численных экспериментов по анализу прыжкового механизма вертикального транспорта. Далее следуют выводы и список цитированной литературы.
Научная новизна данной работы заключается в развитии эффективных методов моделирования вертикального электронного транспорта в слоистых полупроводниковых структурах при туннельном и прыжковом характере проводимости. В работе впервые систематически исследовано влияние основных типов беспорядка на электронные спектры прохождения в электрическом поле и вольт-амперные характеристики структуры; для неупорядоченных структур показана возможность совпадения в поле энергий уровней, относящихся к одной минизоне; изучено происхождение особенностей на туннельных вольт-амперных характеристиках; развита модель прыжковой проводимости, учитывающая пространственное перераспределение носителей заряда, и предложены методы качественного анализа влияния строения слоистой структуры на вертикальный транспорт; изучены механизмы появления N- и Z-образных участков вольт-амперных характеристик;
6. развитые методы расчета реализованы в виде программ, предназначенных для компьютерного моделирования проводимости слоистых полупроводниковых структур.
Результаты настоящей работы могут быть использованы при разработке новых материалов и принципов функционирования устройств на основе слоистых полупроводниковых структур.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах:
Пупышева О.В. Спектры пропускания неупорядоченных сверхрешеток в электрическом поле.// Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-99". Секция "Физика". Сборник тезисов. Москва, 21 апреля 1999 г. С.С. 181-182.
Пупышева О.В., Дмитриев А.В. Туннельная прозрачность неупорядоченных сверхрешеток в электрическом поле.// Всероссийская молодежная научная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и нано-электронике. Тезисы докладов. С.-Петербург, 30 ноября - 3 декабря 1999 г. С. 79.
Дмитриев А.В., Пупышева О.В. Туннельная прозрачность сверхрешеток с контролируемым беспорядком в электрическом поле.// Вестник Московского Университета. Серия 3 "Физика. Астрономия". 2000. № 1. С.С. 39-43.
Пупышева О.В. Вертикальный электронный транспорт в сверхрешетках с искусственным беспорядком в электрическом поле.// VII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2000". Секция "Физика". Сборник тезисов. Москва, 14 апреля 2000 г. С.С. 81-82.
Пупышева О.В., Дмитриев А.В. Расчет электронных спектров пропускания и вольт-амперных характеристик сверхрешеток с контролируемым беспорядком.// 32 Всероссийское совещание по физике низких температур. Секция NS "Наноструктуры и низкоразмерные системы". Тезисы докладов. Казань, 3-6 октября 2000 г. С.С. 90-91. Dmitriev А.V., Pupysheva O.V., Thomas P. I-V curves of short intentionally disordered superlattices in vertical direction.// "Physics, Chemistry and Application of Nanostructures". Reviews and Short Notes to "Nanomeeting-2001". Minsk, Belarus, May 22-25, 2001. Ed. by Borisenko V.E., Gaponenko S.V., and Gurin V.S. World Scientific, Singapore. P.P. 122-125. Dmitriev A.V., Pupysheva O.V., Thomas P. Effect of the disorder on the vertical electron transport in short semiconductor superlattices subject to an elec- trie field.// School and Workshop "Nanotubes and Nanostructures 2001". Book of Abstract. Frascati, Roma, Italy, October 18-27, 2001. P. 103. Dmitriev A.V., Pupysheva O.V., Thomas P. Vertical electron transport in short intentionally disordered superlattices in finite electric field.// Physics of Low-Dimensional Structures. 2001. V. 9/10. P.P. 169-185. Dmitriev A.V., Pupysheva O.V. Electron tunneling in short intentionally disordered superlattices in a finite electric field.// XXVI Workshop on Compound Semiconductor Devices and Integrated Circuits held in Europe. Abstracts. Chernogolov-ka, Russia, May 21-25, 2002. P.P. 55-56. Pupysheva O.V., Dmitriev A.V. Disorder and its effect on the electron tunneling and hopping transport in semiconductor superlattices.// The 23rd International Conference on Low Temperature Physics. Program and Abstracts. Hiroshima, Japan, August 20-27, 2002. P. 103.
Дмитриев А.В., Пупышева О.В. Влияние беспорядка в полупроводниковых сверхрешетках на вертикальное туннелирование в электрическом поле.// Физика электронных материалов: материалы Международной конференции. Калуга, 1-4 октября 2002 г. С.С. 256-257. Dmitriev А.V., Pupysheva O.V. Modelling vertical tunneling in semiconductor multiple quantum well structures: effect of the disorder in layer parameters.// "Physics, Chemistry and Application of Nanostructures". Reviews and Short Notes to "Nanomeeting-2003". Minsk, Belarus, May 20-23, 2003. Ed. by Borisenko V.E., Gaponenko S.V., and Gurin V.S. World Scientific, Singapore. P.P. 198-200.
Дмитриев А.В., Пупышева О.В. Влияние беспорядка на прыжковый транспорт и перераспределение носителей в полупроводниковых сверхрешетках.// XXXIII Совещание по физике низких температур. Секция N "Наноструктуры и низкоразмерные системы". Тезисы докладов. Екатеринбург, 17-20 июня 2003 г. С. 244. Pupysheva O.V., Dmitriev A.V. Disorder and its effect on the electron tunneling and hopping transport in semiconductor superlattices.// Physica E. 2003. V. 18. No. 1-3. P.P. 290-291.
Вертикальный транспорт в слоистых структурах
В трехмерных слоистых структурах состояния электрона описываются фак-торизованной волновой функцией, пропорциональной плоской волне с волновым вектором кц, описывающей движение в плоскости слоев, и стационарной волновой функции одномерной задачи вдоль оси роста сверхрешетки. Энергия в этом случае складывается из продольной и поперечной компонент: где ЕІА — а-ый уровень размерного квантования в г-ой квантовой яме. В задачах о вертикальном транспорте это позволяет рассматривать такие системы как квазиодномерные.
Как отмечалось выше, внешнее поле или беспорядок приводят к локализации состояний в направлении оси роста структуры, а в направлении вдоль слоев сверхрешетки электроны можно считать свободными. Отметим, что степень де-локализованности состояний связана с возможностью туннелирования между разными ямами, как обсуждается в [59].
Существует несколько основных подходов к описанию вертикального транспорта в слоистых структурах. В обзоре Вакера [8] обсуждаются минизонный транспорт, прыжковые переходы между уровнями Ваннье-Штарка и их частный случай, названный последовательным туннелированием, реализующийся при большой ширине квантовых барьеров, когда возможны переходы только между соседними ямами. Поскольку эта работа ориентирована на сверхрешетки с большим числом периодов, в ней не рассматриваются короткие структуры с высокой прозрачностью, в которых имеет место изоэнергетическое туннелирование сквозь всю систему. Минизонный транспорт (см., напр., [60]) возможен только в периодических или почтипериодических структурах в слабом электрическом поле, поэтому для настоящей работы он не представляет интереса. Общую теорию явлений переноса в сильном поле и обзор методов, разработанных к 1971 году для полупроводниковых материалов, можно найти в работах [61, 62]. Эффекты рассеяния на примесях и их влияние на вольт-амперные характеристики обсуждались в [63]. Электронный транспорт как при резонансном туннелировании через двойные квантовые ямы, так и в присутствие рассеяния обсуждался, например, в [64].
Одной из самых подробных работ по туннельной прозрачности в неупорядоченных структурах является статья [65], в которой рассмотрено резонансное и нерезонансное туннелирование как в одномерных, так и в трехмерных системах (в рамках модели 5-образных потенциалов). Кроме того, в [65] описан метод матрицы переноса в наиболее удобном для использования виде (см. также [66, 67, 68]).
В отличие от простой теории резонансного туннелирования невзаимодействующих электронов сквозь одномерный случайный потенциал, описанной, например, в [11], в более полном подходе работы [69] учитывалось влияние неупру того рассеяния. Рассматривался одномерный рассеиватель с крайне малым пропусканием из резонансного состояния. Было показано, что резонансное туннелирование возможно только тогда, когда ширина упругого резонанса не меньше ширины неупругого резонанса, что может быть выполнено либо при сверхнизких температурах, либо при малой длине образца.
Интересно, что в отсутствие рассеяния в квантовой яме последовательное туннелирование неотличимо от резонансного, так как оба механизма приводят к одинаковым выражениям для постоянного тока при транспорте через двухба-рьерный диод [70]. Эта работа была продолжена и для других гетероструктур и двойных квантовых ям, как при параллельном, так и при перпендикулярном к границе гетеропереходов (вертикальном) транспорте [10]. Проводился анализ туннелирования с участием продольных оптических фононов.
Допустимость различных приближений при расчетах электронных спектров прохождения в системах с небольшим числом ям и их влияние на рассчитанные энергии уровней обсуждаются в статье [71].
Туннельные вольт-амперные характеристики периодических сверхрешеток были впервые рассчитаны еще в работах Есаки и Цу [1, 72, 73]. Там использовался стандартный подход, описанный, например, в сборнике [74].
В работах, посвященных моделированию туннельных вольт-амперных характеристик, типично использование простых модельных оценок. Так, в [75] исследована система с 10 квантовыми ямами. Коэффициент прохождения оценивался квазиклассически, а уширение уровней описывалось лоренцианой, параметры которой подбирались из согласия с экспериментальными данными.
Из наиболее интересных для нас работ укажем [76], где на качественном уровне обсуждается усиление туннелирования при совпадении уровней из разных квантовых ям, особенно заметное в случае малой прозрачности разделяющего их барьера.
Большое число работ, например, [77, 78, 79], выполнено для двух- и трехба-рьерных диодов в связи с интерпретацией полученных экспериментально вольт-амперных характеристик решением задачи о системе прямоугольных потенциальных барьеров в отсутствие поля. Особо отметим статью [79], в которой в результате анализа двойных квантовых ям на основе Ino.53Gao.47As/AlAs высказана мысль о важности резонансов между квазилокализованными состояниями в яме и уровнем Ферми в контакте. Эту работу можно рассматривать как экс периментальное подтверждение некоторых наших результатов, обсуждаемых в главе 3. Отметим также анализ экспериментальных данных, полученных для так называемой сверхрешетки с базисом, проведенный в работе [80], и модель [81], опирающуюся на представления о трехмерном резонансном туннелировании при использовании приближения типа Брейта-Вигнера.
Из близких работ укажем на статьи [82, 83, 84], в которых вольт-амперные характеристики двухбарьерных диодов были рассчитаны с помощью известного интегрального соотношения. В частности, в [84] предложена оригинальная конечно-разностная схема для расчета коэффициента прохождения при анализе резонансного туннелирования. Интересно, что авторы этой статьи дают собственный вывод упомянутого соотношения для плотности туннельного тока т = W?n Jdk" J dEt{kt Е-v) [/()" /(+eV)] так как, по их мнению, ранее он не был опубликован. Отметим в связи с этим, что в более удобной форме это выражение было выведено еще в 70-е годы (например, см. сборник [74]) и с тех пор интенсивно применяется при анализе высокопрозрачных структур. В нашей работе оно используется в главе 3. Проблемы, связанные с нестационарностью тока, например, гистерезис вольт-амперных кривых, обсуждаются в работе [85] на основе оригинальных конечно-разностных методов решения уравнений для неравновесной вигнеров-ской функции распределения.
Механизмы рассеяния носителей заряда в полупроводниках
Основными механизмами рассеяния электронов в полупроводниках являются рассеяние на фононах и на заряженных примесях. Их характеристики в массивных полупроводниках, в частности, интересующие нас характерные времена свободного пробега, хорошо известны из литературы — см., например, учебник [90] и [107]. Мы не будем рассматривать другие процессы рассеяния, имеющие, как правило, существенно меньшие вероятности.
При рассмотрении рассеяния оказывается существенной размерность изучаемых структур и наличие размерного квантования. Аппе2 Т — температура, измеряемая в энергетических единицах, — диэлектрическая проницаемость, Z — заряд примесных атомов, далее всюду полагаемый равным единице, па — их концентрация, п — концентрация электронов, m — эффективная масса и е — модуль заряда электрона. Здесь и далее будем говорить только о примесных атомах, являющихся донорами электронов; тогда п = и. Объединяя все записанные выражения и учитывая (2.3), получаем характерное время рассеяния на заряженных примесях в сверхрешетке с потенциальными ямами ширины d: тс2Пъе2 т . / пеТ \ л ТСои = 2 4 С \м&) " ( -5) Для массивных трехмерных полупроводников в качестве средней энергии носителей в выражении (2.4) можно использовать температуру, и, следовательно, в них TQOUI ОС T3 2/LQ. Отличие низкоразмерных структур состоит в том, что при достаточно низких температурах, обеспечивающих заполнение только основного уровня размерного квантования, время кулоновского рассеяния в них слабо зависит от Т.
Заметим также, что характерное время электрон-электронного взаимодействия обычно имеет тот же порядок величины, что и для рассеяния на заряженной примеси с той же концентрацией.
Здесь, как и в предыдущем случае, вид температурной зависимости времени рассеяния различен для случаев объемных полупроводников с непрерывным спектром и структур с Однако возможно испускание фононов за счет переходов между энергетическими уровнями с разностью энергией Д Ьи о (см. формулу (2.9)). Если уровни размерного квантования в изучаемой системе расположены ближе друг от друга, чем на энергию LO-фонона, то испускание делается возможным только при наложении электрического поля или при внесении в параметры слоев структуры (напр., в ширины квантовых ям) сильного беспорядка: тогда возможен переход между состояниями, локализованными или квазилокализованными в разных потенциальных ямах сверхрешетки, в частности, вблизи катода и анода.
Определим время резонансного туннелирования сквозь сверхрешетку как наибольшее из времен жизни электрона в состоянии, квазилокализованном в одной из квантовых ям рассматриваемой структуры. Для его оценки найдем сначала время жизни электрона в квантовой яме, окруженной малопрозрачными барьерами.
Рассмотрим одномерную систему, состоящую из квантовой ямы с потенциалом щ и шириной d, ограниченную слева (в точке х = 0) бесконечной стенкой, а справа — барьером произвольной формы, имеющим ширину Ъ. Пусть справа от барьера потенциал равняется щ. Поместим в яму электрон и найдем среднее время, за которое он протуннелирует под барьером справа. Обратная ему величина равна плотности потока вероятности из данной ямы: 1/Ttunn = Щ, которую можно найти из квантовомеханических соображений.
В выражение (2.14) входит коэффициент прохождения через потенциальный барьер, отделяющий яму с потенциалом щ от пространства справа с потенциалом ui. Найдем величину t, полагая барьер прямоугольным, с шириной d и высотой U, а яму слева от него — бесконечно широкой. Это стандартная учебная задача (см., например, [108, 111]), и здесь мы приводим вывод формул в том виде, в каком они использованы в наших программах. Будем отсчитывать координату от левого края барьера.
Отметим симметричность этого выражения относительно перестановки щ и и2у что является общим свойством коэффициента прохождения. 3.3. Время резонансного туннелирования. В описанной выше задаче предположим, что и\ = ui = 0 и прозрачность барьера очень мала, т.е. Е U и 2кЬ » 1. В результате получим из (2.15) упрощенное выражение: 8Е(И-Е) „ 16Е w Подставим в него энергию и волновое число электрона, примерно совпадающие со значениями (2.13). Тогда формула (2.14) преобразуется к виду IA7/1-N hk 16Е -2кЬ 47г37г3 _2кЬ Wf(E) .ї гге jAlTe . (2.16) Напомним, что это выражение было выведено для ситуации, когда туннелирова-ние из ямы происходит только через один квантовый барьер. Если же она окружена двумя конечными барьерами, то плотности вероятностных потоков вправо и влево суммируются. Поэтому для двух одинаковых барьеров получим время жизни электрона в основном состоянии в яме: m2dAU 7rh 87133 Чтобы применить эту формулу к сверхрешетке, рассмотрим центральную яму, туннелирование из которой, очевидно, займет наибольшее время, и подставим вместо ширины барьера Ъ полусумму ширин всех Nf, барьеров в изучаемой системе: т = - (2Л7 8п3Тг При выборе адекватной модели транспорта в сверхрешетке рассчитанную по этой формуле величину TtUnn следует сравнивать со значениями Tscatt, полученными для различных механизмов рассеяния, оценки для которых даются выражениями (2.5), (2.7) и (2.10).
Описание модельной структуры
Чтобы расширить интервал допустимых напряжений, приложенных к системе (см. (3.5)), выберем материал сверхрешетки с большой энергией РО-фононов — нитрид галлия [109]. Его параметры, необходимые для оценки времен рассеяния, приведены в таблице 1. Кроме них, нам понадобятся S и s, значения которых в литературе отсутствуют. Параметр потенциала деформации 3 для большинства полупроводников имеет порядок величины 5 эВ, и мы будем использовать это значение при оценках времен рассеяния. Скорость звука в материале s может быть оценена по температуре Дебая.
Параметрами, варьируя которые, можно изменять свойства структуры, являются ширины и состав ее слоев, а также температура и концентрация заряженных примесей. Как видно из выражения (2.17), параметры квантовых барьеров влияют на время изоэнергетического туннелирования через всю структуру экспоненциально. Для увеличения прозрачности структуры необходимо сократить число барьеров и сделать их ширины и высоту как можно меньше. Основным параметром, влияющим на энергию размерного квантования, является ширина ям. Она входит во все три выражения (2.5), (2.7) и (2.17). Отметим, что ямы не должны быть слишком узкими, т.к. в противном случае в изучаемой системе с относительно низкими барьерами образуется только одна минизона, и невозможно изучение переходов между основными и возбужденными состояниями в ямах.
Как видно из формул (2.5) и (2.7), рассеяние на акустических фононах можно замедлить понижением температуры, а кулоновское взаимодействие с примесями — в первую очередь, уменьшением их концентрации. Напомним, что здесь и далее мы считаем примеси донорами и полагаем, что они являются основным источником электронов, т.е. их концентрация nj определяет концентрацию носителей п.
Для моделирования вертикального туннельного транспорта в сверхрешетках n-типа на основе GaN/AlGaN рассмотрим структуру, состоящую из 5 квантовых ям и 6 барьеров. Ее параметры, а также рассчитанные характерные времена туннелирования и рассеяния приведены в табл. 1. Таким образом, время туннелирования оказывается на порядок ниже времен рассеяния, т.е. требование (2.1) удовлетворяется для двух основных механизмов взаимодействия (с акустическими фононами и заряженными примесями), в то время как рассеяние на РО-фононах исключается ограничением напряжения (см. неравенство (3.5)).
В этом разделе описаны известные из литературы методы расчета (см. главу 1) и разработанные нами на их основе программы. Метод матрицы переноса. Для расчета коэффициента прохождения через сверхрешетку использовался метод матрицы переноса [27, 65]. Пусть к сверхрешетке, имеющей потенциал U(x), приложено напряжение V.
На самом деле коэффициент прохождения является функцией не только энергии Ех, но и напряжения. Функции распределения справа и слева имеют один и тот же вид, а отличаются только на разность потенциалов между краями структуры. Последовательность параметров слоев, характеризующая рассматриваемую сверхрешетку с определенной реализацией беспорядка, задается с помощью вспомогательной подпрограммы-генератора случайных чисел на основании задаваемых пользователем значений математических ожиданий и максимальных отклонений ширин и потенциалов квантовых барьеров и ям. Распределение случайных величин на заданном отрезке является равномерным.
Программа расчета электронных спектров прохождения состоит из трех блоков. В блоке ввода данных из исходного файла считываются параметры структуры и интервал энергий, для которого следует найти значения t(E). В расчетном блоке находится коэффициент прохождения в зависимости от энергии электрона, причем используются формулы (3.12) и (3.13). В результате работы программой создаются два выходных файла, записью в которые управляет блок вывода. Один из них содержит всю информацию о системе и в дальнейшем может быть использован для повторного ввода данных, а в другой записываются результаты расчетов (энергия электрона и соответствующее ей значение коэффициента прохождения). Работа программы организована таким образом, что возможен последовательный расчет на основании данных, содержащихся в различных исходных файлах, с выводом в файлы с соответствующими именами.
В программе расчета туннельных вольт-амперных характеристик ввод и вывод данных устроены аналогичным образом. В качестве исходных данных должны быть заданы, кроме параметров сверхрешетки, еще и температура, концентрация носителей и интервал напряжений, для которого следует найти плотность тока. Расчет проводится на основании формулы (3.17), причем значение коэффициента прохождения, входящего в подынтегральное выражение, находится так же, как и в программе расчета электронных спектров прохождения. Численное интегрирование. Выберем численный метод для нахождения интеграла Ф= I t(E)e E/TdE. о Основная сложность расчета состоит в том, что значение функции t(E) может изменяться на несколько порядков при слабом изменении энергии. Для интегрирования таких быстроменяющихся функций не подходят простые методы типа Симпсона, а требуется интегрирование с переменным шагом. Другими словами, значение интеграла Ф(оо) определяется решением уравнения йФ{Е)/йЕ = t(E)e E/T при начальном условии Ф(0) = 0. Согласно схеме, приведенной в [112], при решении задачи Коши для быстрого получения достаточно точного результата следует использовать метод Рунге-Кутта с контрольным членом в форме Мерсона. Как известно, он дает четвертый порядок точности при пяти вычислениях правой части. Этот метод и был использован в наших расчетах.
Кинетические уравнения для тока через сверхрешетку
Пусть через сверхрешетку течет фиксированный ток. Его величина не зависит от того, переход через какой именно квантовый барьер структуры, т.е. между какими именно двумя соседними ямами, мы рассматриваем. Выразим ток между z -ой и (г + 1)-ой квантовыми ямами через их параметры. Плотность потока электронов из г-ой ямы в следующую за ней пропорциональна электронной концентрации в исходной яме и темпу перехода электрона из г-ой в (г + 1)-ю яму, который мы обозначим как Рг. Аналогично, плотность потока в обратном направлении пропорциональна концентрации электронов в (і + 1)-ой яме и темпу перехода R, из (г + 1)-ой в г -ю яму структуры. Введенные здесь величины Pi и Rj складываются из вероятностей прыжковых переходов между всевозможными парами уровней в рассматриваемых ямах в направлениях слева направо и справа налево, соответственно. Индекс і соответствует первой из двух рассматриваемых соседних ям и может принимать значения от 1 до N — 1. Очевидно, Рг и R, зависят от энергий уровней в ямах, т.е. в конечном счете от потенциалов исходной и конечной квантовых ям. Их значения будут найдены далее, в разделе 5. Естественно, физически осмысленными являются лишь такие векторы S, все компоненты которых положительны, однако это не гарантировано для произвольного решения, найденного по формуле (4.31), а является дополнительным ограничением.
В данной записи элементы последней строки матрицы Т, в отличие от всех остальных, являются безразмерными. Хотя это никоим образом не влияет на все выписанные здесь и далее выражения, более корректным было бы умножить их на некий коэффициент а, имеющий, как и темпы перехода Р,- и R,-, размерность тока, например, я = 1 А. Тогда уравнение (4.28) приняло бы вид TS = Ієн + flc fw Будем иметь это в виду, пользуясь, однако, прежней формой записи во избежание излишней сложности. 3.4. Обращение матрицы Т. Представим матрицу Т, входящую в кинетическое уравнение (4.28), в блочном виде.
Итак, двумерные концентрации электронов в квантовых ямах структуры выражаются через плотность электрического тока I, сумму электронных концентраций со, постоянную из-за электронейтральности системы, и темпы переходов между ямами Р,- и Rz-, входящими в компоненты матрицы t_1 и определяющими величину Н. Матричные элементы t_1. Найдем явные выражения для матричных элементов t_1. Блок t матрицы Т является двухдиагональной матрицей ранга N — 1. Так как все вероятности Р, отличны от нуля, можно ввести обозначение 7; = Ri/Pi Д-ля отношения темпов обратного и прямого переходов между соседними ямами.
Таким образом, мы разрешили задачу (4.31) и перешли от рекурсивных формул (4.26) к явным выражениям для электронных концентраций S,-. Хотя их использование затруднительно из-за громоздкости, а входящие в них величины 7; = Ri/Pi зависят от потенциалов квантовых ям щ и тем самым обеспечивают наличие обратной связи, формулы (4.37) полезны в некоторых простейших случаях, когда при суммировании можно пренебречь какими-либо малыми слагаемыми, как обсуждается в разделе 8.
Итак, мы получили выше систему уравнений, в терминах векторов и матриц описываемых формулами (4.22) — N — 1 уравнение, и (4.31) — N уравнений. К неизвестным относятся концентрации электронов в квантовых ямах, т.е. N компонент вектора S, и потенциалы всех ям, кроме первой, дно которой всегда находится при нулевой энергии, т.е. IV— 1 компонента вектора и. Таким образом, общее число неизвестных равно 2N — 1 и совпадает с числом уравнений.
Таким образом, все нелинейные эффекты, и в частности, наиболее интересные с точки зрения применения полупроводниковых сверхрешеток участки отрицательного дифференциального сопротивления на кривых V(I) могут иметь место лишь из-за существенной зависимости матричных элементов f_1 от потенциалов ям сверхрешетки. 4.3. Максимальные значения плотности тока и напряжения. Формулы (4.31) обеспечивают существование вектора S с компонентами, определяемыми величинами Р,- и R,, которые, в свою очередь, зависят от потенциалов квантовых ям щ. Однако рассчитанные таким образом концентрации электронов могут оказаться отрицательными. Для того, чтобы все S,- были положительны, достаточно выполнения неравенства S 0: тогда из соотношения (4.26) следует, что и концентрации во всех предшествующих квантовых ямах также строго положительны.
Из ограниченности концентраций и соотношения (4.23) следует, что максимальное напряжение на сверхрешетке отвечает значению Vmax = V\s =0. Действительно, по аналогии с плоским конденсатором можно предположить, что максимально возможное напряжение на сверхрешетке должно соответствовать наибольшей разности зарядов катода и анода (которые играют роль обкладок конденсатора), т.е. ситуации, когда из последней ямы «уходят» все электроны, так что ее заряд больше невозможно увеличить. Отметим, что при иной постановке задачи, не ограничивающей ширину левого и правого контактов сверхрешетки и позволяющей увеличивать до бесконечности значение 70, ни напряжение на сверхрешетке, ни протекающий через нее ток не были бы ограничены.