Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Паранепротиворечивые логики . Предисловие: закон непротиворечия
1.1 Предыстория
1.2 Классическая логика и основные паранепротиворечивые системы
1.2.1. Н.А. Колмогоров и И. Йохансон
1.2.1.1. Семантика
1.2.2. Логика Яськовского D2
1.2.3. Не истинностно-функциональные логики Н. да Косты С.
1.2.4. Паранепротиворечивая экстенсиональная логика Д.Батенса
1.2.5. Бивалентная (bivalence) семантика
1.3. Трехзначные паранепротиворечивые системы
1.3.1. Система Асеньо и Тамбурине
1.3.2. Система Розоноэра PCont
1.3.3. Максимальная логика Сетте Р1
1.3.4. Логика Арруды VI
1.3.4.1. Интерпретация VI в духе В.А. Смирнова
1.3.5. Логика Приста LP без modus ponens
1.3.6. Логика Д'Оттавиано J3
1.4. Соотношения паранепротиворечивых систем
1.4.1. J3, L3 и классическая логика С2
1.4.2. Р1 и VI
1.4.3. PCont, Си и PI
1.4.4. PIL, инверсная логика Попова и VI
1.5. Некоторые выводы и проблемы
Глава 2. Паранепротиворечивость и релевантность. Проблема дуальности .
2.1. Современные определения паранепротиворечивых систем
2.2.1. Отрицание в паранепротиворечивых логиках
2.2.2. Свойства отрицания
2.3. Семантические истоки паранепротиворечивости
2.4. Релевантные логики как паранепротиворечивые
2.4.1. Сильные релевантные системы
2.4.2. Слабые релевантные системы
2.4.3. О соотношении терминов «релевантность» и «паранепротиворечивость»
2.5. Проблема дуальности
Заключение
Приложение
Литература
- Классическая логика и основные паранепротиворечивые системы
- Паранепротиворечивая экстенсиональная логика Д.Батенса
- Семантические истоки паранепротиворечивости
- О соотношении терминов «релевантность» и «паранепротиворечивость»
Введение к работе
Актуальность темы. На современном этапе развития научного знания логика оказалась востребованной в новой сфере научного знания - исследований в области компьютерных наук. Основанием актуальности работы в неклассических логиках является факт достаточно успешного практического применения неклассических логик в рамках различных проектов ведущих компьютерных компаний мира. Неклассические логики, а, в частности паранепротиворечивые и релевантные системы, представляют в этой связи особый интерес, поскольку применение их в компьютерных технологиях открывает новые возможности в создании искусственного интеллекта. Связано это, прежде всего с тем, что, в отличие от классической логики, которая взята за основу при создании современных языков программирования, исследуемые неклассические системы дают возможность работать с противоречивыми данными, что позволит в дальнейшем использовать программы, действующие по тому же принципу, что и человеческий мозг. Первым шагом к этому является всестороннее изучение существующих па-ранепротиворечивых систем и, по возможности, их оптимизация.
Помимо столь далеко идущих перспектив стоит отметить и популярную в мире тенденцию систематизации логик, попытки создания иерархии логических систем и установления отношений между различными классами логик. Существует несколько различных методов систематизации логических систем, однако ни г один из них не является универсальным. Мьг пользуемся самым простым способом, не претендуя на всеохватность, -исходим из аксиом классической логики и путем некоторых модификаций получаем различные системы. Это дает большую наглядность и возможность установить взаимоотношения между системами. Такая парадигма до сих пор полностью не реализована и, таким образом, имеет научную ценность. Паранепротиворечивые логики и их подкласс, релевантные системы, как формальные исчисления тщательно изучены на Западе. Но в русле традиций отечественной логической, науки, предполагающей не просто формальный результат, но и, философский анализ данного результата, представляется интересным дать содержательную характеристику понятий, па-ранепротиворечивости и релевантности.
Такой комплексный подход является, во-первых, достаточно обоснованным и, во-вторых, многообещающим, учитывая и теоретические моменты, и практические возможности применения паранепротиворечивых логик. В этой связи предпринятое в данной1 диссертационной работе направление исследований приобретает дополнительную значимость.
Степень разработанности проблемы. И о релевантных, и о паранепротиворечивых логиках в мире существует огромное количество литературы. Классическими трудами по релевантным логикам являются моно-графии А. Андерсона и Н. Белнапа , их же совместный труд с М. Данном , а на русском языке книги Е.К. Войшвилло3 и Е.А. Сидоренко4. По паране-противоречивым логикам существует множество статей, в основном принадлежащих создателям и разработчикам той или иной системы. В обзорном виде паранепротиворечивые логики довольно полно представлены в англоязычном сборнике под редакцией Г. Приста, Р.Раутли и Дж. Нормана5. На русском языке имеется несколько статей6, частично это переводы зарубежных авторов, но нет ни одной работы, где бы систематически описывались паранепротиворечивые системы.
По ключевой для нас теме соотношения, релевантных и паранепротиворечивых систем имеются работы А. Аврона, где разработан семантиче 1 A.R. Anderson, N. D. Belnap. Entailment: The logic of relevance and necessity. Vol. 1. Princeton, 1975. Munchen, 1989. ский критерий для сравнения паранепротиворечивых и релевантных систем и где основной акцент сделан на дизъюнктивный силлогизм. Также попытки сравнить различные системы предпринимались Ж.-И. Безъю, Р. Бреди, Г. Ресталом, но все они носили частный характер.
Научная новизна исследования. Как было отмечено, компаративистика неклассических логических систем является мало разработанной областью. Недостаток внимания, уделяемого паранепротиворечивым логикам, обусловлен некоторым скептицизмом, порожденным несовершенством большинства паранепротиворечивых систем, проявляющимся, прежде всего, в отсутствии необходимого свойства отрицания — контрапозиции. В связи с этим представляется заманчивая возможность реабилитировать па-ранепротиворечивые логики либо найдя і среди них системы, отвечающие требованиям, предъявляемым к логическим системам, либо построить новую паранепротиворечивую логику. Не желая; упускать из виду ни одну возможность, мы сначала рассматриваем те системы, которые изначально строились как паранепротиворечивые, затем подкласс паранепротиворечивых систем - релевантные логики, и, наконец, используем метод конструирования систем, который пока мало применяется - построение дуала некоторой системе. В нашем случае паранепротиворечивая логика получается как дуал суперинтуиционистской. И, как оказалось, такая система обладает некоторыми весьма интересными свойствами.
Цель и; задачи исследования. Основной целью диссертационного исследования является выявление критерия паранепротиворечивости, выработка принципов построения паранепротиворечивых систем, наиболее оптимальных для дальнейшего использования в логике и смежных областях.
Для реализации этого нам потребовалось решить следующие задачи: провести систематический анализ паранепротиворечивых логик; выявить наиболее общий критерий паранепротиворечивости; продемонстрировать паранепротиворечивость релевантных логик; дать философскую интерпретацию паранепротиворечивости и релевантности. Методологической основой исследования является аппарат современной формальной логики и логической семантики, а также подходы, разрабатываемые в современной философии логики применительно к трактовке логического знания. Автор опирается на современные данные, относящиеся к паранепротиворечивым и релевантным логикам. Основные положения, выносимые на защиту: Дан структурно-аналитический обзор основных систем паранепро-тиворечивой логики. В рамках этого подхода удалось выявить некоторые особенности соотношения паранепротиворечивых систем:. показано, что логика Сетте является подсистемой логики VI А. Арруды; логика Д Оттавиано, на самом деле, есть не что иное, как расширение классической логики, содержащее достаточно унарных операторов, чтобы в ней можно было выразить все паранепротиворечивые системы; и, наконец, было выяснено, что логика Д. Батенса PI является подсистемой Сп Н. да Косты. Был предложен новый вариант интерпретации логики А. Арруды в духе комбинированной логики событий и высказываний В;А. Смирнова. При сравнении логик выделены некоторые специфические характеристические черты паранепротиворечивых логик, а именно: выявлены основные свойства отрицания, характеризующие паране-противоречивые логики; показаны возможности построения паранепротиворечивых логик с минимальным отрицанием и отрицанием де Моргана (которые оказались не чем иным, как релевантными логиками); проанализировано соотношение понятий «релевантность» и «пара-непротиворечивость»
Сформулирована: паранепротиворечивая система, являющаяся дуалом трехзначной логики Гейтинга. Последний результат представляет особый интерес в силу необычности свойств полученной системы.
Теоретическая и практическая значимость исследования. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по паранепротиворечивым логикам, они могут быть использованы также в научно-исследовательской работе при построении классификации логик. Большое значение имеют полученные результаты и в педагогической практике при чтении курсов по неклассической, и, в частности, паранепротиво-речивой логике.
Апробация работы.
Основные положения, результаты и выводы диссертационного исследования были опубликованы автором в 3 научных работах (список всех работ прилагается), в том числе в журнале «Философские исследования», а также были представлены диссертантом в виде выступлений и докладов на следующих Всероссийских и Международных научных конференциях и научно-исследовательских семинарах: на II и IV Международных конференциях «Смирновские чтения» (Москва, 1999 и 2003); на VI и VII Международных конференциях «Современная логика» (Санкт-Петербург, 2000 и 2002); на научной конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ, 2000). Тезисы докладов и сообщений опубликованы. Текст диссертации обсуждался на заседании кафедры логики философского факультета МГУ им. М.В. Ломоносова 24 июня 2003 года и по результатам обсуждения был рекомендован к защите.
Классическая логика и основные паранепротиворечивые системы
На вопрос, что такое противоречие, нет единого ответа. Возможные мнения колеблются в диапазоне от утверждения, что противоречие есть единственный способ существования реальности, до убеждения, что противоречие как таковое не существует, есть только наше недостаточная осведомленность в каком-либо вопросе, либо же несовершенство языка. Но большинство исследователей интересует то, что они подразумевают под противоречием, а не само противоречие.
В науке в целом ив логике в частности основным обоснованием правомерности существования противоречивых, но нетривиальных теорий является тот факт, что помимо мира событий и явлений существует еще мир наших знаний и восприятий, наконец, мир искусственного интеллекта, где противоречия далеко не всегда оказываются тотальными разрушителями. Р. Белнап в статье «Как нужно рассуждать компьютеру» писал:
«Именно в тех случаях, когда имеется возможность противоречия, мы хотим, чтобы компьютер был способен продолжать вести рассуждения разумным способом, даже если имеется скрытое или обнаруженное противоречие». [Белнап, 1981, с. 210]
Это же можно сказать и о паранепротиворечивых системах вообще. Если бы каждый раз, натыкаясь на противоречие, человеческий мозг переставал бы функционировать, мы были бы лишены большей части научных открытий, сделанных на основании противоречивости предыдущих научных теорий (об этом говорил еще А. Энштейн).
Г. фон Вршт [1986] предполагал, что проблема противоречия тесно связана с проблемой времени: «...мир иногда должен описываться как существующий в определенном состоянии и вместе с тем существующий і в противоречащем состоянии» (с. 536). Он обратился к модальной? логике как исчислению, которое «должно непосредственно признать противоречия на уровне пропозициональной логики» (с. 537).
Методологическим обоснованием появления идеи паранепротиворе-чивости в начале XX в. явилось осознание того, что принцип непротиворечия не является универсальным.
Вопрос том, противоречив наш мир или нет, является весьма непростым (на это обращается внимание в статье [da Costa, Beziau and; Bueno, 1995, p.612]), тем не менее, на протяжении всей истории западной философии находились мыслители, которые настаивали на положительном ответе, начиная уже с досократиков, включая Гераклита. Конечно, наиболее яркой фигурой в этом отношении является Г. Гегель. В последнее время всё большее внимание привлекает онтология А. Мейнонга (1908), где утверждается существование противоречивых объектов, и всё чаще приводится высказывание Л. Витгенштейна (см. эпиграф). Признание того, что существуют истинные противоречия, т.е. имеются утверждения А такие, что вместе А и не-Л истинны, получило название концепции "диалетизма" (dialetheism). Термин введен в 1981 г. Г. Пристоми Р. Раутли и сама концепция в последнее время усиленно развивается Пристом, одним из наиболее крупных специалистов в области паранепротиворечивых логик.
Наличие противоречивых, но нетривиальных теорий и концепция диалетизма являются философской основой для изучения паранепротиво-речивости. Примерами таких теорий является наивная теория множеств с парадоксом Рассела, классическая теория истинности, порождающая семантические парадоксы типа "Лжец". Примеры противоречивых, но нетривиальных теорий можно найти в истории науки: аристотелевская теория движения, первоначальное исчисление бесконечно малых, теория атома Бора и т.д. Интересные примеры имеются в юриспруденции, в частности, различные билли о правах и тексты конституций. Противоречивой является теология (парадокс всемогущества). Также неоспоримым фактом является то, что большинство людей, не осознавая этого, имеют противоречивые убеждения (верования). Вообще, по-видимому, имеет веские основания тезис, что любая достаточно сложная и интересная философия будет противоречивой. Концепция диалетизма требует применения паране-противоречивых логик для рассуждения о противоречивой, но нетривиальной теории.
Итак, формула (А & —А) может быть истинной и, следовательно, закон непротиворечия —(А & —А) ложен. Но как это возможно в формальнологических теориях?
Мы укажем лишь узловые пункты возникновения идей паранепроти-воречивости. Отказ от закона непротиворечия не является достижением XX века. Еще в древности некоторые мыслители, например Гераклит, не принимали существования этого закона. Сформулировал закон непротиворечия в наиболее известной его форме Аристотель: «Невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и.тому же в одном и том же отношении». [Аристотель. 1976. Т.1, 1005-в]
В логике закон непротиворечия выразим в двух формах: 1) неверно, что х есть Р и не есть Р, 2) неверно, что Л и не-Л, т.е. -і(А& -і Л). При этом, как мы увидим, закон непротиворечия может не действовать в каком-либо частном случае. В 1906 г. Дж. Гусик предположил, что силлогистика может существовать и без закона непротиворечия, тем более что в силлогистике Аристотеля нет такого закона в явном виде. В 1910 г. выходит прекрасная работа Я. Лукасевича о принципе непротиворечия у Аристотеля (см. [Lukasiewicz, 1971]). Согласно Лукасеви-чу, у Аристотеля не было твердой уверенности в абсолютной значимости принципа непротиворечия. Более того, Лукасевич детально анализирует аргументы,. сформулированные Аристотелем в поддержку принципа непротиворечия, и показывает, что они неудовлетворительны. В это же время идейное обоснование паранепротиворечивым системам дал русский ученый Н.А.Васильев (см. [Васильев, 1989]). Н.А. Васильев, приват-доцент Казанского университета, в 1910 т. публикует в трудах Казанского университета статью, посвященную возможности построения неаристотелевской силлогистики. В статье «Воображаемая (неаристотелева) логика» Васильев обосновывает возможность существования такой логики. Законы силлогистики не всегда тождественны законам мышления, примером тому служит закон непротиворечия. Этот закон имеет две различных интерпретации: 1) «Невозможно утверждать, что одно и то же суждение является одновременно истинным и ложным».
Паранепротиворечивая экстенсиональная логика Д.Батенса
Несмотря на популярность паранепротиворечивых логик в мире, до сих пор не существует единого определения паранепротиворечивости: И хотя различия в имеющихся формулировках в большинстве случаев не существенны, каждая вносит свой нюанс в понимание термина, что может оказаться решающим в причислении тех или иных релевантных систем к классу паранепротиворечивых. Поэтому мы приведем некоторые дополнительные определения паранепротиворечивых логик и их классификации.
Минимальное условие паранепротиворечивости системы, по мнению Г. Приста [Priest, Routley, 1984], - отсутствие свойства ех contradictione quodlibet. — из противоречия выводимо все что угодно [VaV/?({a,—\Ct} - р), где а и /?- формулы некоторого языка ]. Это условие также указывает на отсутствие свойства взрывоопасности {explosive) у отношения выводимости . Такому критерию удовлетворяет большинство паранепротиворечивых систем - минимальная логика Йохансон J; логики С„ да Косты; логики VI, V2;V3 Васильева в формулировке А. Арруды; логика Сетте Р1. Но на примере логики Йохансон, в которой из A,;.-v4 выводимо -"В, однако не выводимо В, а также на примере логики Сетте, в которой доказуемо утверждение вида v4, - А]- В, становится очевидно, что условие отсутствия explosive не является достаточным для того, чтобы избежать противоречий, тривиализирующих теорию. b) Д. Батенс предлагает называть паранепротиворечивую логику, в которой нарушается принцип ЕС, строгой. Тогда логика с принципом —А, —г-Л \- В не является строго паранепротиворечивой. Т.е. для некоторой формулы А: В выводимо-из А и—лА: С другой стороны, Е.К. Войшвилло предлагает обобщить понятие паранепротиворечивости следующим обра зом: логика является паранепротиворечивой, если она не содержит конеч ного множества формул, из которого произвольная формула В выводима [Войшвилло, 1998, с. 130]. При последнем подходе к паранепротиворечи вым нельзя отнести те логики, которые являются таковыми только на ато марном уровне. c) «Настоящая: паранепротиворечивая логика», по мнению Ж. И. Безъю [Beziau, 1997], должна отвечать следующим требованиям: отрицательный-критерий: неверно, что из лжи следует все что угодно-положительный критерий: паранепротиворечивое отрицание должно обладать свойствами, позволяющими характеризовать его как отрицание (перечень требований к отрицанию мы приведем чуть ниже); наличие интуитивного обоснования системы; красивое математическое оформление. Ж.-И. Безъю считает, что Н.А. Васильев не построил паранепротиво-речивую логику, хотя и дал ее философское обоснование. Условия Безъю, несмотря на их рациональность, требуют дальнейшего уточнения. PL можно классифицировать по нескольким основаниям. Мы показали в первой главе, как строятся PL синтаксически, взяв за точку отсчета классическую логику. Польский логик Роман Тузяк [Tuziak, 1997] в классификации логик исходит из свойств отрицания. Выделяет он 4 свойства: В зависимости от того, какими из этих свойств мы наделим отрицание, мы получим различные логики. За основу взят позитивный фрагмент классической логики. Для определения классической логики достаточно принять одновременно условия Г и 2, а 3 и 4 в таком случае будут выводимы. Таким образом, классическое отрицание обладает всеми четырьмя свойствами. В различных системах неклассической логики отрицание сохраняет только некоторые свойства. Без условия 2 можно получить различные «слабые» PL, всего 7 систем: 1 , 3 , 4 , 13 , 14 , 34 , 134 . Для большинства этих систем нет ни семантики, ни исчисления, но Р. Тузяк их приводит лишь для того, чтобы дать классификацию паранепротиворечивых логик. Отметим; что из реально существующих в этот класс попали только система да Косты, для; которой выполнимы условия 1 и 3, логика PI, соответственно, с условием 1, и система Л.И. Розоноэра, с условиями 1, 3, 4. При таком понимании паранепротиворечивостиР: Тузяк допускает в PL закон введения двойного отрицания. В более «сильных» системах допускается и ограниченное применение условия 2 (например, в VIі оно справедливо для классических формул).
Мы остановились на данной классификации подробно только по двум причинам: хотя она не вносит ясности в само понимание паранепротиворечивости, тем не менее, ход с классификацией: логик на основе свойств отрицания представляется нам перспективным; кроме того, условия, на которые опирается Тузяк, схожи с бивалентной семантикой, уже упомянутой выше.
Теперь дадим определение паранепротиворечивой логики, являющееся сейчас наиболее распространенным [Priest, Routley, 1984]. Пусть = — отношение логического следования, тогда для любых формул А и В, {А, —Л) = В. Логики, в которых отношение логического следования не обладает этим свойством (explosive)15, мы будем считать паранепротиворечи-выми логиками. Логическое следование можно определить в соответствии с Пристом для любой системы, не затрагивая ее постулатов. За такой подход придется расплачиваться тем, что логическое следование не будет эквивалентом импликации для выводимых формул, а следовательно, не будет теоремы дедукции и modus ponens, и при этом можно будет доказать А
Семантические истоки паранепротиворечивости
В заключение мы попытаемся дать ответы на два взаимосвязанных вопроса: 1. Почему современные паранепротиворечивые логики строятся «с оглядкой» именно на релевантные системы? Что такое паранепротиворечи-вость в современном понимании? 2. Как соотносятся понятия «паранепротиворечивость» и «релевантность»?
В современном понимании основной чертой паранепротиворечивых логик является возможность использовать противоречивые суждения в теориях. Отсутствие закона непротиворечия из основного критерия превратилось, в следствие, а характеристической чертой стала возможность делать нетривиальные выводы с использованием противоречивых утверждений; отсюда и деление логических систем на системы, обладающие свойством explosive и не обладающие этим свойством. Переосмысление понятия паранепротиворечивости с учетом понятия выводимости позволило соотнести данное понятие именно с релевантностью. Такое смещение акцентов отодвинуло на второй план требования С. Яськовского и Н; да Косты. Но осталась незыблемой другая тенденция: считать, что паранепротиворечивость связана с отрицанием. Это результат синтаксического подхода, который предполагает, что закон непротиворечия связан с отрицанием, и изменение свойств отрицания ведет к отказу от закона непротиворечия. Но если следовать синтаксическому подходу, изменение свойств импликации также может сделать систему не-explosive. Следовательно, проблема не просто в отрицании, и синтаксический подход оказался недостаточным, чтобы выявить суть паранепротиворечивости. На наш взгляд, это понятие выразимо на метатеоретическом уровне, то есть оказывается? онтологическим принципом теории. Паранепротиворечивость является следствием отказа от фундаментальных законов, о которых говорилось в связи с отрицанием.
Второе требование — условие полноты - в синтаксисе соответствует аксиоме v—iA). Так как основная задача логических систем - возможность делать выводы, паранепротиворечивость оказалось целесообразным связать с отсутствием свойства explosive.
В области релевантных логик существует четко сформулированный критерий установления релевантности; связанный с понятиями логического следования и импликации. Принципиальной чертой релевантных систем; дистанцирующей их от всех прочих, является то, что законами;таких систем могут быть только формулы, содержащие импликацию.
В релевантных логиках, как следствие, отсутствуют два онтологических допущения. Однако при таком внешнем сходстве понятия релевантности и паранепротиворечивости оказываются различными по сути. Релевантные логики, в силу своего построения, оказываются паранепротиворе-чивыми, поскольку они свободны от онтологических допущений. Паране-противоречивые логики не будут релевантными, поскольку условие пара-непротиворечивости не накладывает ограничений на понятия вывода и импликации. Иными словами, отказ от требования непротиворечивости предполагает, что система будет паранепротиворечивой, подобно тому, как отказ от требования полноты приводит к интуиционистской логике, но отсутствие обоих законов не дает релевантных систем, хотя в таких системах этих законов нет.
В заключение нашей работы обратим внимание на некоторые современные тенденции и перспективы развития PL, а именно на проблему дуальности, связанную с паранепротиворечивыми логиками. Г.Тенцен [1967] формулирует секвенциальные исчисления логики предикатов LK (классическая логика) и LJ (интуиционистская логика). Нас будет интересовать пропозициональный случай. LJ отличается от LK тем, что сукцеденты секвенций первой могут состоять не более, чем из одной формулы. Генцен пишет: «...Это ограничение является единственным пунктом, отличающим LK-вывод от LJ-вывода". (С. 26 в русском переводе) Однако существует возможность построить дуальное интуиционистскому секвенциальное исчисление - DLJ. Оно отличается от LK тем, что антецедент секвенции первой может состоять не более, чем из одной формулы. В полученной таким образом логике не каждое противоречие А & -пА отбрасывается. Более того, поскольку секвенция А &—А \ В отбрасывается, DLJ может использоваться в качестве базиса для противоречивых, но не тривиальных теорий, и сама оказывается паранепротиворечивой логикой. Впервые подобные секвенциальные исчисления были построены в [Czermak, 1977] и [Goodman, 1978]. Однако в системе Дж. Чермака нет правил для 3 и Z), а Н. Гудман использует &, v, V, 3, связку -г-, представляющую псевдоразность, и константу Т.
О соотношении терминов «релевантность» и «паранепротиворечивость»
В заключение нашей работы обратим внимание на некоторые современные тенденции и перспективы развития PL, а именно на проблему дуальности, связанную с паранепротиворечивыми логиками.
Г.Тенцен [1967] формулирует секвенциальные исчисления логики предикатов LK (классическая логика) и LJ (интуиционистская логика). Нас будет интересовать пропозициональный случай. отличается от LK тем, что сукцеденты секвенций первой могут состоять не более, чем из одной формулы. Генцен пишет: «...Это ограничение является единственным пунктом, отличающим LK-вывод от LJ-вывода". (С. 26 в русском переводе)
Однако существует возможность построить дуальное интуиционистскому секвенциальное исчисление - DLJ. Оно отличается от LK тем, что антецедент секвенции первой может состоять не более, чем из одной формулы. В полученной таким образом логике не каждое противоречие А & -пА отбрасывается. Более того, поскольку секвенция А &—А \ В отбрасывается, DLJ может использоваться в качестве базиса для противоречивых, но не тривиальных теорий, и сама оказывается паранепротиворечивой логикой.
Впервые подобные секвенциальные исчисления были построены в [Czermak, 1977] и [Goodman, 1978]. Однако в системе Дж. Чермака нет правил для 3 и Z), а Н. Гудман использует &, v, V, 3, связку -г-, представляющую псевдоразность, и константу Т.
На работы Чермака и Гудмана обратил внимание В.А.Смирнов [1984]. В результате строится пропозициональное интуиционистское исчисление со связками {&, v, z , - -, Т, F}, где —J. = AZD F, Щ А = Т -s- А. Также строится "антиинтуиционистское" исчисление с этими же связками, формулируется теорема об устранимости сечения для этих систем, рассматривается связь с релевантными логиками. Заметим, что в книге [Смирнов, 1987, гл.5] рассматривается только исчисление Гудмана в другой формулировке, которое обозначается как GDI. Поэтому особый интерес представляет статья И. Урбаса [Urbas,. 1996], поскольку в предыдущих работах не используются все связки Генцена и, как заметил Урбас, «...не совсем ясно, в каком точном смысле каждая (система, авт.) есть дуал интуиционистской LJ». Именно в работе Урбаса строится дуальная интуиционистской логика DLJ со всеми генценовскими связками. Важно, что в этой работе обсуждаются свойства дуальных интуиционистским систем. В этих системах отбрасываются ASL-A \-В И А I—AzzB.
Несколько слов скажем о дуальной реляционной семантике: Как известно, семантика Крипке для интуиционистской логики; утверждает сохранение истин. Тогда эта же семантика для DL J будет утверждать сохранение лжи. Главным оказывается не получение:нового знания, а создание новых контрпримеров.
Поскольку мы затронули вопрос о семантике, то напомним, что в силу отсутствия контрапозиции в паранепротиворечивых логиках возникают неразрешимые проблемы с построением алгебры Линденбаума. Поэтому стал развиваться категорный подход к подобным логикам. У нас этому подходу посвящена работа В;Л. Васюкова [1993], в которой строится кате-горная семантика для логик да Косты.
Итак, мы проследили, как получаются логики, дуальные интуиционистским. Но можно идти с другой стороны,,то есть строить логики, дуальные паранепротиворечивым - параполные логики. Логика L, содержащая отрицание, называется параполной, если она содержит непустые неполные ко-теории. Ко-теорией называется;множество х формул в теории L, удовлетворяющее условиям:
Любая ко-теория может быть расширена до простой теории. Если L — дистрибутивная логика, то L является параполной, если она содержит неполные простые теории. Параполной логикой является, например, интуиционистская логика. Сейчас развитие парполных логик стало целым направлением в области неклассических логик (см., напр., работу В.М. Попова [2002]; об иерархии определенного класса паранепротиворечивых и параполных систем см. [Carnielly, Lima-Marques, 1999]). Наконец, логика, которая одновременно является паранепротиворечивой и параполной, называется паранормальной (см. [Попов, 2003]). На самом деле дуальность может определяться по-разному. Одним из способов является определение значений логических операций противоположным образом относительно упорядочивания этих самих значений. Рассмотрим логическую матрицу знаменитой трехзначной интуиционистской логики Гейтинга Обозначим эту логику посредством D3. Таким образом дуалом к трехзначной интуиционистской логике Гейтинга G3 является паранепроти-воречивая логика D3. Неожиданно оказалось, что подобная логика в обзоре по трехзначным паранепротиворечивым логикам [Кагрепко, 2000] не встречается. Заметим, что из всех известных трехзначных паранепротиворечивых логик D3 является системой с единственным выделенным значением 1. Полученная система принципиально отличается от уже имеющихся трехзначных паранепротиворечивых систем тем, что в ней есть сильная контрапозиция (и, помимо нее, аксиома приведения к абсурду - (Аг В) з ((Л z —iB) z —іА), нет только введения двойного отрицания). В последнем параграфе мы обрисовали возможные направления дальнейших исследований. Что касается полученных результатов, перечень которых приведен во Введении, с их учетом открываются новые перспективы в исследовании субструктурных логик и построении субструктурных паранепротиворечивых релевантных систем.