Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Основные уравненш теории высокочастотных электромагнитных явлений в металлах
1.1 Постановка задач о поверхностном импедансе и волнах в металле 19
1.2 Основные соотношения квантовой теории электро- магнитного отклика электронной.жидкости металла ..27
1.3 Уравнения теории волн в электронной.жидкости... металла в квантующем магнитном поле 40
1.4 Квантовый интеграл столкновений для электронов, рассеивающихся на поверхности металла и граничное условие к квазиклассическому кинетическому уравнению 49
ГЛАВА. 2 Поверхностный
2.1 Высокочастотная поверхностная.проводимость.ме- таллической пластины.. 71
2.2 Влияние поверхностного рассеяния электронов проводимости на частотные и размерные зависимости импеданса простого металла при низких частотах ...82
2.3 Резонансное возбуждение волн в пластинах... 97
2.4 Связь сигнала ядерного.магнитного.резонанса в металле с поверхностным импедансом.и.возможности...
изучения импеданса с помощью ЯМР 107
ГЛАВА.3 Поверхностные плазменные волны
3.1 Спектр поверхностных плазмонов в металле.с плавным профилем электронной плотности 117
3.2 Общее дисперсионное уравнение для длинноволновых потенциальных поверхностных плазменных волн 132
3.3 Собственные колебания приповерхностного слоя электронной плотности в металле с резкой границей 140
ГЛАВА 4 Квантовые волны в металлах
4.1 Общие уравнения теории квантовых волн 153
4.2 Квантовые спиново-акустические волны 167
4.3 Квантовые спиновые волны 191
ГЛАВА 5 Ферми квантовые эффекты при распространении звука в металлах
5.1 Уравнения ферми-жидкостной квантовой теории взаимодействия звука с электронами проводимости 199
5.2 Квантовые осцилляции скорости распространения низкочастотного звука в условиях влияния магнитострикции и большой.амплитуды.осцилляции.. плотности состояний 210
5.3 Взаимодействие высокочастотного.звука квантовыми.волнами: 219
Заключение 234
Литература
- Основные соотношения квантовой теории электро- магнитного отклика электронной.жидкости металла
- Влияние поверхностного рассеяния электронов проводимости на частотные и размерные зависимости импеданса простого металла при низких частотах
- Общее дисперсионное уравнение для длинноволновых потенциальных поверхностных плазменных волн
- Квантовые спиново-акустические волны
Введение к работе
В последние два десятилетия в физике чистых нормальных металлов при низких температурах сложилась обширная область исследований, связанных с воздействием на металл высокочастотного электромагнитного поля. В этой области изучается скин-эффект и ряд размерных и резонансных эффектов, вызываемых проникающими в металл полями радиочастотного, СВЧ и отчасти инфракрасного диапазонов. Все такие эффекты обусловлены электронами проводимости, энергия которых, как правило, мало меняется при взаимодействии с полем, оставаясь близкой к энергии Ферми. Основные интересные особенности высокочастотных явлений возникают как пезультат того, что длина свободного пробега электронов оказывается сравнимой с масштабом неоднородности переменного поля в металле (глубиной скин-слоя, длиной волны) или превышает его, и поэтому на само распределение поля может существенно влиять характер движения электронов между столкновениями.
Величиной, характеризующей свойства металла по отношению
к.воздействию высокочастотного поперечного электромагнитного поля, является поверхностный импеданс [I] , для краткости называемый иногда просто импедансом. Зависимости импеданса от частоты-,, размеров образца, напряженности постоянного магнитного поля определяются структурой поля внутри металла, которая в свою очередь, задается электронами проводимости и отражает характер их движения, механизмы рассеяния и т.п. Такие зависимости и являются предметом изучения.
Значительного развития достигли сейчас исследования ела-
5 бозатухающих волн в металлах [2] . Известен ряд типов таких волн, различающихся по своей природе и виду спектра. Их существование может проявляться как в импедансе, так и в других характеристиках металла.
К физике волн и других высокочастотных явлений тесно примыкают проблемы, связанные с изучением ультразвука в металлах [3J. Дело в том, что при низких температурах скорость распространения и затухание звука в чистом металле определяется в основном электронами проводимости. Возмущение системы электронов ультразвуковой волной по существу во многом аналогично возмущению высокочастотным полем, и поэтому реакция электронов на оба типа возмущения описывается подобным образом.
Задачи теории высокочастотных явлений в металлах состоят в описании реакции электронов проводимости на переменное неоднородное поле, в расчете поверхностного импеданса и спектра слабозатухающих волн. Общую основу для изучения кинетики электронов при этом составляют положения теории электронной ферми-жидкости[4], которые строго применимы для решения указанных задач. Кинетическое уравнение для электронов, уравнения Максвелла для поля в металле и уравнение движения ионной решетки образуют исходную систему уравнений, служащую для теоретического анализа высокочастотных эффектов.
Такова вкратце общая характеристика той области физики
металлов, к которой относится тематика настоящей диссертации.
Опишем теперь состояние теоретических исследований в этой об
ласти к началу выполнения наших работ.
Развитие физики высокочастотных явлений в. металлах-по существу началось с обнаружением аномального скин-эффекта, де-
тальная теория которого была построена в работе [5j . Затем к особенно значительному прогрессу привели работы по высокочастотным эффектам в сильном магнитном поле, в которых, в частности, были предсказаны циклотронный резонанс в параллельном поле [б] , волны в металлах [7-9] ^высокочастотные размерные эффекты [10,II] , допплер-сдвинутый циклотронный резонанс и доплероны [12, 13] . Обнаруженные экспериментально , эти эффекты открыли многие принципиально новые возможности для выявления свойств электронной системы металла, для определения параметров, характеризующих детали поверхности Ферми, для нахождения длины свободного пробега электронов и т.п. В связи с этим в 60-е годы было выполнено очень большое число экспериментальных и теоретических работ в данной области, содержание которых отражено в книгах и обзорах [2,4, 14-16] .
Оценивая ситуацию, сложившуюся к.началу 70-х годов, можно констатировать, что в выполненных к тому времени работах по указанной тематике были детально исследованы такие закономерности в высокочастотных явлениях, которые определяются характером поверхности Ферми металла (ее геометрией, наличием различных групп носителей тока и т.п.) и вообще такими свойствами электронов проводимости, в которых они проявляют себя как газ квазичастиц в безграничном кристалле. Поэтому в последующий период выдвинулись на первый план и стали более актуальными задачи иного рода.
Серьезные проблемы в физике высокочастотных явлений связаны с установлением роли межэлектронного (ферми-жидкостного) взаимодействия электронов проводимости. Принципиальная важность этих проблем обусловлена, в частности, тем обстоятель-
7 стйвом, что согласно теории ферми-жидкостных эффектов в металлах [2, 4] такие эффекты могут приводить к качественно новым наблюдаемым свойствам металла по сравнению с моделью газа электронов при достаточно высокой частоте и сильной неоднородности возмущения системы электронов. Но рассмотрение такого рода возмущений (переменных неоднородных электромагнитных полей в металле) как раз и относится к обсуждаемому здесь кругу задач. Поэтому прежде всего в данной области следует искать эффекты, целиком обусловленные ферми-жидкостным взаимодействием. Два такого рода эффекта были предсказаны еще в 1958 году Силиным [7] - это существование спиновых волн в нормальном металле и циклотронных волн со спектром, определяемым ферми-жидкостным взаимодействием. Экспериментальное подтверждение [17, 18] результатов Силина привело к резкому увеличению числа работ по ферми-жидкостной теории волн в металлах. Особое значение исследований в этом направлении состоит в том, что они открывают уникальные возможности для прямого определения из эксперимента параметров ферми-жидкостного взаимодействия. Некоторые из таких параметров для щелочных металлов были найдены в работах [17, 18] . Однако дальнейший прогресс в изучении спиновых и циклотронных волн с целью выявления ферми-жидкостных эффектов оказался затрудненным из-за экспериментальных сложностей, а также из-за неполноты теоретического описания роли границ металла (см ниже). Поэтому осталась очень актуальной задача обнаружения новых эффектов, обусловленных ферми-жидкостным взаимодействием.
. - Другая группа проблем, которая привлекла наибольшее внимание , связана с анализом проявлений структуры поверхности в высокочастотных свойствах металла. Уже в первых работах по
аномальному скин-эффекту, начиная с работы [б] , была выяснена зависимость импеданса от характера отражения электронов проводимости от границы. При этом использовались простые представления о том, что электроны, подлетающие к границе, отражаются зеркально или диффузно с определенной вероятностью. Эти представления выражались в граничном условии для функции распределения электронов, которое было сформулировано Фуксом [19] в теории проводимости металлических пленок. Свойства поверхности металла (ее способность рассеивать электроны проводимости) описывается в подходе Фукса одной константой - коэффициентом зеркальности отражения электронов. Именно в рамках такого подхода и выполнялись первоначально все теоретические: работы по высокочастотным свойствам. Однако к началу 70-х годов стала ясной необходимость более детального учета поверхностного рассеяния электронов.
Прежде всего это было связано с определенным прогрессом в понимании самого процесса отражения электрона от границы -(обзор см в [20, 21] . Например, с помощью квантовомеханиче-ских соображений было показано,, что электроны, подлетающие к. границе под малым углом ("почти скользящие" электроны), должны отражаться практически зеркально. Это означает, что предельное значение импеданса при аномальном скин-эффекте (определяемое почти скользящими-электронами) не должно зависеть от коэффициента зеркальности, а такой вывод противоречит результату, получающемуся в подходе Фукса. .. _
Затем, следовало принимать во внимание, что амплитуда и форма резонянсов и размерных осцилляции импеданса зависит от коэффициента зеркальности, и поэтому для их детального изучения с целью получения информации о поверхности Ферми, ферми-
9 жидкостном взаимодействии, длине свободного пробега и т.п. нужно строгое описание роли поверхностного рассеяния. И наконец, что самое главное, с помощью наблюдения высокочастотных эффектов можно изучать само поверхностное рассеяние (то есть свойства поверхностных дефектов, структуры границы кристалла), а для этого тем более необходима теория, последовательно учитывающая характер отражения электронов от границ. В силу изложенных обстоятельств последовательный и строгий учет поверхностного рассеяния электронов стал в последнее десятилетие одной из основных задач теории высокочастотных эффектов.
Кроме рассеяния электронов на поверхностных дефектах, которое описывается в квазиклассической кинетической теории граничным условием для функции распределения, существует другой аспект влияния поверхностной структуры на кинетические явления, происходящий от чисто квантовомеханических закономерностей. Волновые Функции стационарных состояний электронов в металле с границей представляют собой вдали от границы совокупность согласованных по фазе падающих и отраженных волн, а вблизи границы изменяются сложным образом, определяемым формой поверхностного потенциального барьера.. Вся система электронов . проводимости образует на границе. приповерхностный слой, внутри которого электронная плотность изменяется от нуля-вне металла до.постоянного значения, в объеме. Этот слой толщиной, в несколько- межатомных расстояний может участвовать, в кинетике и приводит к эффектам, не описываемым квазиклассической-картиной. Именно на проблемах, связанных с проявлением того
или иного распределения электронной плотности, на границе.,
сконцентрировались в основном проводимые в последнее время ис-
10 следования поверхностных плазменных волн в металлах (см обзоры [22-25] ). Интерес к этим проблемам обусловлен, в частности, тем, что имеющаяся теория предсказывает чувствительность дисперсии частоты длинноволновых поверхностных волн к форме профиля электронной плотности и возможность существования собственных колебаний приповерхностного слоя, целиком определяемых его формой. Однако эти и другие результаты, относящиеся к описанию электронной плотности на границах, получены на основе крайне упрощенных моделей. Поэтому наиболее актуальные задачи в изучении высокочастотной кинетики электронов у поверхности в рамках указанного выше второго аспекта состоят в разработке более адекватного теоретического описания свойств приповерхностного слоя.
Итак, в ходе развития исследований в области физики высокочастотных явлений в нормальных металлах наиболее актуальными стали проблемы обнаружения новых ферми-жидкостных эффектов и последовательного описания роли структуры поверхности. Это определило основные задачи теории к моменту выполнения наших работ, которые посвящены решению именно указанного круга проблем.
Задачи-, решенные-в настоящей диссертационной работе, состояли: в предсказании новых Ферми-жидкостных, электромагнитных и акустических эффектов в металлах в квантующем магнитном поле; в разработке строгого общего описания вклада поверхностного шссеяния электронов проводимости в высокочастотных явлениях и выявлении закономерностей, к которым такой вклад приводит; в анализе возможности существования новых типов поверхностных волн, целиком обусловленных электронной приповерхностной структурой.'
Эти задачи объединены одной методической основой, которую составляет существенно квантовомеханическое рассмотрение кинетики взаимодействующих электронов проводимости, являющееся более общими, чем широко распространенный в теории высокочастотных явлений квазиклассический подход. Необходимость использовать квантовую теорию обусловлена характером задач: при изучении свойств системы электронов в квантующем магнитном поле нужно учитывать квантование орбитального движения электронов в магнитном поле ( это и отмечается термином "квантующее"), а при детальном исследовании поверхностных проблем следует принимать во внимание характер электронных состояний ограниченного металла (в частности, существование переходного слоя электронной плотности на границе), что возможно только в рамках квантовой механики. Формулировка также существенно квантового интеграла столкновений электронов в поверхностными дефектами является исходной в проведенном нами выводе граничного условия для квазиклассической функции распределения. С использованием такого граничного условия в работе решался ряд вопросов и с помощью квазиклассического кинетического уравнения. Однако большая часть результатов, как и упомянутый вывод граничного условия, получена непосредственно исходя из квантового кинетического сравнения для электронной жидкости. При этом нами решались и методические вопросы, касающиеся учета ферми-жидкостного взаимодействия в квантовой теории и вывода квантового кинетического уравнения в ограниченном металле..
Согласно изложенному основным направлением, в котором выполнена данная диссертационная работа, является предсказание и теоретическое исследование высокочастотных эффектов в
12 металлах, обусловленных ферми-жидкостным взаимодействием электронов и структурой поверхности, на основе квантовой теории электронной жидкости.
Первые работы по теме диссертации были посвящены ферми-жидкостной теории квантовых волн в металлах. До этих работ роль ферми-жидкостного взаимодействия при изучении высокочастотных явлений в условиях квантования орбитального движения электронов в магнитном поле не рассматривалась. В то же время для газа электронов был известен ряд квантовых эффектов, среди которых волны, существующие только в условиях квантования - квантовые волны. Исследование спектра таких волн при учете ферми-жидкостного взаимодействия в рамках простой модели и было целью работ П.ЦЗырянова, В.П.Оилина и автора [26-28] . Затем в работах автора и Е.А.Памятных [29;- 30].была развита общая теория квантовых волн в простых металлах. П.С.Зыряновым, В.П.Силиным и автором [31] предсказан и изучен эффект сильной связи продольных квантовых волн с колебаниями решетки металла при учете, обменного взаимодействия.электронов...Другой кванто-. вый ферми-жидкостный. эффект. при распространении звука, в. металлах рассмотрен в-раб.оте.Н.А.Зимбовской,. Е.А.Памятных, и автора [32].... В ходе проведенных исследований. нами разработана общая. методика-изучения квантовых Ферми-жидкостных эффектов в металлах, которая изложена, в статье .автора и Е.А.Памятных [33] ,. .. а также в обзорных статьях. [34,..35] , написанных автором совместно, с .В..П..СИЛИНЫМ.и Н..П.Зыряновой. . . .. -.. Изучение, роли-.поверхностного, рассеяния в. высокочастотных явлениях .был-начата.выводом квантового.кинетического уравне--ния и граничного условия для функции распределения электронов,
рассеивающихся на дефектах поверхности. Такая задача решена в работах автора и В.В.Устинова [36] , до выполнения которой выводы граничного условия проводились только без связи с кинетическим уравнением для сугубо частных моделей поверхностных дефектов. Затем также совместно с В.В.Устиновым [37, 38] анализировалось влияние поверхностного рассеяния электронов на частотную зависимость импеданса и на форму пиков импеданса в особом случае резонансного возбуждения волн. В работе М.И.Кацнельсона, В.В.Устинова и автора [39] рассматривалась частотная зависимость импеданса пленки металла при аномальном скин-эффекте с учетом вклада поверхностного рассеяния. Обзор результатов, относящихся к граничному условию и роли поверхностного рассеяния электронов в различных явлениях, сделан в статье автора и В.В.Устинова [40] .
Другой аспект влияния структуры поверхности на высокочастотные явления рассматривался Н.П.Зыряновой и автором в работе [41] применительно - к поверхностным волнам... В этой ра-боте, дано общее рассмотрение, как характера зависимости спектра, длинноволновых поверхностных плазменных.волн от.свойств ... приповерхностного слоя электшнной плотности, так-И. возможности существования собственных колебаний, такого слоя. .. -.. Часть-содержания и. результатов упомянутых работ [26-41] составили основу- настоящей диссертации. ... - Первая глава ..диссертации посвящена формулировке основных уравнений квантовой теории, электронной, жидкости металла, и выводу, граничного-условия для квазиклассической функции распределения. После, изложения постановки задач.в теории высокоча-. стотных.свойств металлов..(раздел. І..І) рассмотрены общие .уравнения, описывающие реакцию электронной жидкости на высокоча-
14 стотное поле с учетом квантования орбитального движения квазичастиц (раздел 1.2). Ключевым моментом здесь является введение матричных элементов эффективного оператора плотности тока, уравнение для которого представляет собой обобщение уравнений для эффективной массы и эффективного магнитного момента в квазиклассической теории. В следующем разделе 1.3 развита общая теория колебаний электронной жидкости простого металла в квантующем магнитном поле при высоких частотах. Полученные в результате уравнения справедливы в условиях малости энергии циклотронного кванта по сравнению с энергией Ферми и при учете произвольного числа ферми-жидкостных констант. Квантовый интеграл столкновений электронов с дефектами поверхности металла записан в разделе 1.4. В том же разделе дан вывод общего граничного условия для квазиклассической функции распределения.
Во второй главе рассматривается влияние поверхностного рассеяния электронов проводимости на импеданс металла. Сначала изложена предлагаемая схема расчета поверхностной проводимости пластины (раздел 2.1). Затем дан анализ асимптотик импеданса при нормальном и аномальном скин-эффекте с учетом произвольного упругого механизма поверхностного рассеяния и обсуждается влияние характерных свойств вероятностей поверхностного рассеяния на частотную зависимость импеданса (тэаздел 2.2). В третьем параграфе рассмотрен, вклад, поверхностного рассеяния в ширину пика импеданса пластины при резонансном возбуждении волн. Обоснование способа экспериментального исследования размерной и частотной зависимости импеданса, с помощью наблюдения ядерного магнитного резонанса в пластине приведено в разделе 2.4.
Третья глава диссертации посвящена теории спектра поверхностных плазменных волн в металлах. Дисперсионная зависимость длинноволновых поверхностных плазмонов рассмотрена в модели плавного профиля электронной плотности (раздел 3.1). Затем в разделе '3.2 проводится вывод общего дисперсионного уравнения для длинноволновых потенциальных поверхностных волн. В третьем разделе дано доказательство возможности существования собственных колебаний приповерхностного слоя электронной плотности в
модели резкой границы металла.- .. ..
. В четвертой главе, диссертации изложена теория квантовых волн в электронной жидкости металла в магнитном поле. Первый раздел главы посвящен формулировке общих уравнений и анализу всего спектра квантовых волн. В последующих двух разделах дано детальное рассмотрение двух типов квантовых волн - продольных спиново-акустических (раздел 4.2) и поперечных спиновых (раздел 4.3).
Пятая глава посвящена изучению ферми-жидкостных эффектов при распространении звука в металле в квантующем магнитном поле. В первом разделе главы квантовая теория электронной жидкости обобщена на случай ультразвукового возмущения. Затем во втором разделе рассмотрена электронная часть скорости звука при низких частотах в условиях большой амплитуды квантовых осцилляции плотности состояний и с учетом магнитострикцион-ного вклада. Для высоких же частот в последнем третьем разделе проанализирован эффект взаимодействия звука с продольной квантовой спиново-акустической волной.
Заключение диссертации содержит формулировку некоторых новых актуальных проблем в области теории высокочастотных яв-
лений в металлах, которые могут решаться на основе результатов данной работы.
Основные результаты диссертации, которые выносятся на защиту, состоят в следующем.
В итоге детальной разработки квантовой теории электронной жидкости металла получена система уравнений, описывающая высокочастотные колебания электронов проводимости в квантующем магнитном поле. Примененные аппроксимации функции фер-ми-жидкостного взаимодействия позволяют изучать квантовые эффекты с учетом двух, а для простого металла при большом числе заполненных уровней квантования - с учетом произвольного числа ферми-жидкостных констант.
На основе использования характерных свойств взаимодействия электронов проводимости с поверхностными дефектами развита методика вывода граничного условия для функции распределения электронов из квантового интеграла столкновений при произвольном упругом механизме поверхностного рассеяния. Получено общее выражение для вероятностей поверхностного рассеяния
в интегральном граничном условии.
С помощью использования общего интегрального граничного условия для функции распределения электронов проводимости найдена зависимость импеданса простого металла при нормальном и аномальном скин-эффекте и при резонансном возбуждении волн в пластине от вероятностей поверхностного рассеяния электронов.
Получены уравнения для определения спектра длинноволновых поверхностных .. плазменных волн в металле при произвольном нелокальном тензоре диэлектрической проницаемости и дока-
17 зана возможность существования собственных колебаний приповерхностного слоя электронной плотности при резкой границе металла. Частоты таких колебаний найдены в приближении самосогласованного поля и высокого потенциального барьера границы в предельных случаях большой и малой плотности электронов. Для металла с плавным профилем электронной плотности исследована возможность возникновения поверхностных мод, обусловленных наличием экстремумов функции профиля.
Изучено влияние ферми-жидкостного взаимодействия электронов проводимости на спектр квантовых волн в простых металлах. Показано, что ферми-жидкостные эффекты приводят к существенному изменению дисперсионных зависимостей квантовых волн, к возникновению спиновых колебаний и к появлению новых типов квантовых волн.
Йзследован спектр предсказываемых квантовых спиновых волн в нормальных металлах. Выявлена существенная зависимость формы дисперсионных кривых таких волн от соотношения энергий ппинового расщепления и циклотронного кванта.
С помощью полученной общей системы уравнений, описывающей взаимодействие звука.о электронной жидкостью металла в квантующем магнитном поле, проанализировано влияние ферми-жидкостного взаимодействия на скорость звука в условиях существенной роли квантовых эффектов. Показано, что в низкочастотной области при большой амплитуде квантовых осцилляции плотности состояний значительный.вклад в скорость звука обусловлен эффектом магнитострикции, который приводит к упругой анизотропии и возможности неустойчивостей в пиках осцилляции. В высокочастотной области предсказано возникновение сильной
18 связи звука с продольными квантовыми спиново-акустическими волнами, которая может приводить к значительному изменению скорости волны.
Общий результат диссертации в целом состоит в теоретическом обосновании возможности проявления в высокочастотных свойствах металлов совокупности предсказанных закономерностей, обусловленных взаимодействием электронов в квантующем магнитном поле и структурой поверхности. Наблюдение таких закономерностей даст новую информацию о параметрах взаимодействия электронов между собой и поверхностью металла. В диссертации проанализированы возможности наблюдения ряда предсказанных эффектов. Предложена также специальная методика экспериментального исследования размерных и частотных зависимостей поверхностного импеданса металла с использованием ядерного магнитного резонанса, которая опробована в лаборатории кинетических явлений Института Физики металлов УНЦ АН СССР (раздел 2.4 главы 2).
Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях и совещаниях: на II Всесоюзной конференции по теории твердого тела (Москва, 1969 г.), на Всесоюзных совещаниях по физике низких температур (їїонецк, 1972 г., Минск, 1976 г., Москва, 1979 г., Харьков, 1980 г.), на Всесоюзных семинарах по низкотемпературной физике металлов (Донецк, 1979 г., Донецк, 1983 г.), а также на научных семинарах Института физики металлов УНЦ АН СССР и Физического института им.П.Н.Лебедева.
Основные соотношения квантовой теории электро- магнитного отклика электронной.жидкости металла
Задачи теории высокочастотных явлений в нормальных металлах состоят в изучении свойств системы электронов проводимости под воздействием поля, сравнительно медленно меняющегося во времени (энергия %Сд мала по сравнению с энергией Ферми) и в пространстве (масштаб изменения велик по сравнению с длиной волны электрона). Общий подход для такого рода исследований развит в теории электронной жидкости, разработанной Силиным [42, 7] и включающей как основные положения теории Ландау нейтральных ферми-жидкостей [43, 44] , так и учет существенного для электронов взаимодействия через самосогласованное поле.. Широко, используемая для изучения равновесных и кинетических явлений ферми-жидкостная схема описания (обзоры см в [2, 4, 45-47 J ) непосредственно применима для электронов проводимости в условиях, когда движение электронов можно рассматривать в рамках квазиклассического подхода (см /іб, 46]). Однако в ряде явдений в металлах существенны квантовые эффекты и необходимо полное квантовомеханическое описание орбитального движения электронов. Даже в сравнительно простом случае массивного металла без внешнего магнитного поля в условиях, когда играют роль состояния электронов в различных энергетических зонах (квантование периодическим полем решетки), требуется иногда обращаться к последовательному кван-товомеханическому рассмотрению. Но особенно необходимо такое рассмотрение для описания квантовых эффектов в сильном (квантующем) магнитном поле, а также для последовательного учета влияния границ металла. В связи с этим в наших работах /28, 33, 34] дана формулировка основных соотношений квантовой теории электронной жидкости, которая применялась для детального изучения различных квантовых эффектов в сильном магнитном поле. Полученные общие соотношения фактически базируются на фундаментальных положениях теории Ландау-Силина, но содержат ряд обобщений квазиклассического рассмотрения. Некоторые из излагаемых ниже результатов имеют аналогию в ферми-жидкоот-ной теории ядра [48 J . В настоящей работе не затрагивается проблема обоснования исходных положений теории электронной жидкости, решение которой в наиболее полном виде (применительно, в частности, и к квантовому случаю) изложено в книге [47J. В электронной системе нормального металла слабовозбужденные состояния имеют одночастичный характер. Этот факт по существу и положен в основу феноменологической микроскопической теории электронной жидкости. Утверждение об одночастич ном характере означает существование для слабовозбужденных состояний эффективного одночастичного гамильтониана электронов Л0 , набора одночастичных квантовых чисел V и соответствующих волновых функций т (г) и собственных значений энергии К . При этом равновесному состоянию системы, мало отли-сающемуся от основного состояния в силу малости тепловой энергии зеТ по сравнению с химическим потенциалом электронов (энергией Ферми), ставится в соответствие равновесная матрица плотности I или отвечающая ей функция распределения Ферми 4 » зависящая от энерии
Слабовозбужденные неравновесные состояния, то есть состояния с энергиями ц. , близкими к энергии Ферми, описываются одночастичной матрицей плотности, имеющей неравновесную добавку р ( p f ), которая удовлетворяет следующему кинетическому уравнению:
Общий вид этого уравнения обычен для одночастичного кинетического уравнения. Здесь }[Р] - квантовый интеграл столкновений. В рассматриваемых условиях наиболее существенны столкновения со статическими дефектами в метаяле, и в разделе 1.4 будет обсуждаться выражение для JiPJ в случае рассеяния на дефектах поверхности. Далее, оператор V » также являющийся функционалом р , описывает взаимодействие электрона с возмущением, вызвавшим отклонение от равновесие. Такое возмущение в электронной системе связано прежде всего с возникновением самосогласованного электромагнитного поля, взаимодействию с которым отвечает гамильтониан где Ф(0 и Д(У) - скалярный и векторный потенциалы переменно-го самосогласованного поля, ек(г) я Г (г) - операторы плотности заряда и тока электронов. Если возникающее в металле возмущение связано также со смещением ионной решетки из положения равновесия, то к гамильтониану V следует в общем случае добавить слагаемое, пропорциональное тензору деформации. Однако в данном разделе движение решетки не рассматривается, его изучению посвящена глава 5.
Другая часть гамильтониана l/v обусловлена корреляционным (ферми-жидкостным) взаимодействием электронов и может быть записана в виде общего линейного функционала Р :
В условиях применимости ферми-жидкостного подхода функция р , не зависит от частоты Со и от пространственных масштабов изменения возмущения, поскольку частота мала по сравнению с S/t, , а характерная длина волны возмущения велика по сравнению с длиной волны алектрона с энергией Именно эти условия, положенные в основу излагаемой теории, ограничивают возможности одночастичного описания. При их вы-полнении матричные элекменты г - это параметры, характеризующие в целом систему электронов в основном состоянии.
Влияние поверхностного рассеяния электронов проводимости на частотные и размерные зависимости импеданса простого металла при низких частотах
Если длина свободного пробега электрона мала по сравнению с толщиной пластины, то S(jO»4 и интегральным слагаемым в уравнении (2.26) можно пренебречь. Тогда функция р равна первоглу слагаемому правой части (2.26), и подставляя такое выражение в (2.25), получим замкнутую формулу для поверхностной проводимости толстой пластины.
Формула для объемной проводимости (2.24) является хорошо известной (см, например, ). Полученное нами выражение (2.25) определяет поверхностную проводимость 5Т,/ при общем интег-. ральном граничном условии для функции распределения электронов.
В приближении коэффициента диффузности ( [Fnl-jl , ) равенства (2.25), (2.26) приводят к формуле для 5„ / , ана-логичной использовавшейся в работе [б9] .
Проводимости пластины с и б" без внешнего магнитного поля для металла с аксиально симметричной поверхностью Ферми могут быть просто найдены из равенств (2.24)-(2.26), если положить --0 . В частности, для толстой пластины простого металла выражение (2.25) эквивалентно формуле, которая получена нами в работе [37J и будет использоваться в следующем разделе.
Итак, в данном разделе развита схема расчета поверхностной проводимости пластины металла при произвольной поверхности Ферми и общем граничном условии для фушщии распределения электронов и приведено конкретное выражение для такой проводимости в случае аксиально симметричной поверхности Ферми и нормального направления магнитного поля.
Развитие теории, последовательно и строго учитывающей роль поверхностного рассеяния электронов в кинетических явлениях, создало основу для детального исследования проявления такого рассеяния в свойствах импеданса металла. Связанные с этим задачи стали особенно актуальными к началу 70-х годов, когда изучение характера отражения электронов от границ стало одной из основных целей экспериментальных работ по высокочастотным свойствам металла. К этому времени подробные теоретические исследования импеданса [5,70-72] были выполнены только с использованием граничного условия Фукса [і9], то есть в приближении постоянного коэффициента диффузности. Однако всегда реально существующая зависимость вероятностей поверхностного рассеяния от угла подлета электронов к поверхности отражается на свойства импеданса, особенно при аномальном скин-эффекте. Существенное значение для теории импеданса имеет также интегральный характер реального граничного условия для функции распределения электронов проводимости.
Впервые исследование импеданса с использованием интегрального граничного условия для рассеяния на шероховатостях малой амплитуды [бб] было проведено в работе [73І . В основу всего рассмотрения в [73] была положена модель, которая имеет довольнаузкую область применимости, поскольку в ней заложено предположение о малости амплитуды шероховатостей по сравнению с длиной волны электрона. Поэтому после работы [73] оставалось необходимым изучение связи импеданса с вероятностями поверхностного рассеяния в реальных условиях. Именно такого рода задачи и решались нами.
Цель наших работ [37,39] состояла в установлении зависимости асимптотик импеданса простого металла при нормальном и аномальном скин-эффекте от вероятностей поверхностного рассеяния на основе общего граничного условия для функции распределения электронов. Наїли анализировались также проявления характерных свойств вероятностей поверхностного рассеяния в частотной зависимости импеданса. Содержание настоящего раздела основано на результатах работ [37,39] .
Рассмотрим здесь импеданс металла со сферической поверх ностыо Ферми без внешнего магнитного поля в низкочастотной области {( % « і ). Пусть сначала толщина пластины металла существенно превышает длину свободного пробега электронов и глубину скин-слоя (массивный металл). Тогда, применяя формулы раздела I главы I и первого раздела настоящей главы, можно считать волновой вектор изменяющемся непрерывно.
Общее дисперсионное уравнение для длинноволновых потенциальных поверхностных плазменных волн
Свойства приповерхностного слоя электронной плотности наиболее существенно проявляется в спектре потенциальных поверхностных волн. Поэтому именно для потенциальных волн прежде всего целесообразно развить общее рассмотрение, учитывающее нелокальность диэлектрической проницаемости электронов в приповерхностном слое. Общее дисперсионное уравнение для длинноволновых потенциальных поверхностных волн без конкретизации нелокальной диэлектрической проницаемости получено нами в работе [41] , на результатах которой основано содержание настоящего параграфа.
Ограничимся формулировкой дисперсионного уравнения в линейном приближении по ял- . Тогда за исходное может быть принято следующее уравнение для компоненты поля Г : к которому сводится система уравнений (1.11)-(1.15) главы I при условиях ее со и і (г% ) = s Ув ) = 0 . При про-ведении расчетов в линейном приближении по QCL можно не учитывать зависимость диэлектрической проницаемости от о , которая дает квадратичные по а добавки.
Для вывода дисперсионного уравнения используем способ, аналогичный изложенному в предыдущем разделе. Прежде всего, учитывая асимптотики записываем уравнение (3.32) внутри и вне металла
Предельные переходы 2-- ±00 здесь, как и ранее, понимаются в смысле выхода за пределы приповерхностного слоя. При этом формальные соотношения (3.33)-(3.36) справедливы при условии, что вне приповерхностного слоя масштаб изменения функции Е (г) (т.е. Q ) настолько велик, что можно пренебречь пространственной дисперсией диэлектрической проницаемости.
Выделим, далее, ту часть уравнения (3.32), которая отлична от нуля лишь в пределах приповерхностного слоя. Для этого введем сначала локальную часть диэлектрической проницаемости:
Вдали от границы имеем Фсо - і при г- и Ф&) і/Со ) при г--»-во . Нетрудно видеть, что в модели плавной границы (формула (3.1)) с учетом (3.2).из (3.45), (3.46) вытекает дисперсионное, уравнение (3.28), обсуждавшееся в разделе 3.1. Полученный здесь результат справедлив при произвольной структуре приповерхностного слоя, которая находит свое отражение в соответствующей форме диэлектрической проницаемости -функций
Частота обычного поверхностного плазмона в нулевом приближении определяется равенством Такую частоту нужно подставить в линейное по Q слагаемое в (3.45) (в частности, в функции / з и fc26M ) для определения . об коэффициента oL в формуле (3.24). Отметим, что аналогичный результат для обычного поверхностного плазмона получался и другими способами (см (25] ). Важно, что разработанный в /4lJ параллельно и независимо от других подходов наш способ вывода дисперсионного уравнения позволил впервые описать в общем виде также и собственные колебания приповерхностного слоя электронной плотности, которым посвящено последующее содержание данной главы. Сначала однако добавим еще, что кроме решения (3.24) уравнение (3.45) может иметь и другие решения, отвечающие новым модам, обсуждавшимся в разделе 3.1. При нахождении спектра таких поверхностных волн, которые обусловлены специфической формой распределения электронной плотности в приповерхностном слое, существенна частотная зависимость функций 1гъ С?,?!) и «.ь (?).
Обратимся теперь снова к уравнениям (3.42), (3.43) и заметим, что они допускают существование еще одного типа поверхностных колебаний, которые не описываются уравнениями (3.45), (3.46). Отличие этого типа колебаний от уже рассмотренных выше заключено в асимптотическом поведении функции
Фактически при выводе уравнений (3.45), (3.46) считалось, что константы A (of) и отличны от нуля в пределе йа-+0 . Рассмотрим другой случай, когда эти предельные значения обращаются в нуль. В таком случае функция А (%") в нулевом приближении по CjCb определяется уравнением с граничными условиями /) (і») - /{ (- ) = О . Равенство (3.43) при этом служит для нахождения линейной по о а, величины Д. (00) :
Таким образом, функция линейного приближения А, б?} » которая находится из уравнения определяется значением интеграла от А0(ъ). Решения интегрального уравнения (3.47) для функции А0 (з ) могут существовать лишь при определенных частотах, которые и являются частотами поверхностных колебаний рассматриваемого типа. Заметим, что зависшость этих частот от волнового вектора будет появляться при учете в уравнении (3.47) зависимости от Q диэлектрической проницаемости ез (Я;?1) и описывается поп-равками, пропорциональными Cj . Что же касается поправок порядка (аеС) в граничном условии (3.43), то они позволяют выразить соответствующую поправочную функцию А. (і) , анало-гично А /г-) через интегралы от Д,Сг).
Квантовые спиново-акустические волны
Полученные формулы (4.27), (4.29) описывают зависимость фазовой скорости самой медленной квантовой волны от \ при малых V . Этому соответствует зависимость от поля о в окрестности пика квантовых осцилляции плотности состояний, отвечающего V. -0. Обменное взаимодействие электронов приводит к перенормировке фазовой-скорости ІЬ При отрицательной и достаточно большой по величине константе Б0 может возникать неустойчивость основного состояния системы электронов в той области изменения v j , в которой согла оно формулам (4.27), (4.28) величина 1л . формально являет ся отрицательной. Это имеет место при условии / 0/ КгУ_/Л&0 , которое при большом числе заполненных уровней сводится
Если условие устойчивости выполнено, то дисперсионная кривая волны, к которой относятся формулы (4.27), (4.29), расположена в лепестковом окне прозрачности на плоскости со , Я . Для описания зависимости & . от Q для всей области внутри окна следует учитывать в уравнении (4.19) слагаемые как с V , так и со следующей по величине за 1 , скоростью 1/Чи?б) , которую обозначим V . Если скорость отвечает уровню с той же проекцией спина, что и VJ , то приближенное дисперсионное уравнение для самой медленной квантовой волны при большом числе заполненных уровней имеет вид:
Это уравнение позволяет получить зависимость it Л в явном виде. При tf/2, 4 дисперсионная кривая оказывается близкой к нижней границе окна прозрачности И-s ЙІ +М/Яі " и экспоненциально приближается к ней, заканчиваясь в точке пересечения нижней границы с верхней
Формулы (4.27)-(4.30) относятся к случаю, когла энергия слабо заполненного уровня квантования отвечает одной проекции спина. Рассмотрим теперь самые медленные квантовые волны в другом предельном случае, когда максимальную поперечную энергию, отвечающую слабо заполненному уровню, имеют электроны с противоположными проекциями спина, то есть близки частоты Я, и 2. . В этом случае оказывается, что могут существовать два типа волн с фазовыми скоростями, близкими к V . На одну из таких-волн взаимодействие электронов не оказывает существенного влияиния, для. нее фактически справедливы фор- . мулы вида. (4.29)., (4.30) при..В0=# , а.другая, наоборот, целиком, обусловлена обменным взаимодействием. Для того, чтобы пояснить природу второй, волны и показать, что ее.существование является достоточно общим фактом, обратимся к дисперсионному уравнению (4.19).. В рассматриваемом случае при. определении дисперсжшой зависимости можно учитывать зависимость. от только в одном слагаемом суммы по К - в. выражении (4.20) для поляризуемости то есть можно записать где Л. .- не..зависит от.К. .и является суммой тех слагаемых в (4.20),.зависимос.ть которых от Я. .несущественна, а _д (и,) -слагаемоег содержащее У .С учетом того чтопреобразуем уравнение (4.19) к виду:
Это уравнение имеет форму, характерную для дисперсионного уравнения двух взаимодействующих волн. При большом числе заполненных уровней JC+2_X" , и связь волн отсутствует. Равенство нулю второй скобки в первом слагаемом дает дисперсионное уравнение для волны, на которую не влияет обменное взаимодействие. Для другой же волны фактически получается следующее уравнение:
Такой же вид имеет дисперсионное.уравнение для продольных спиновых волн.в отсутствие квантования. Волны, описываемые уравнением- (4.-33).,. представляют собой, квантовые продольные спиновые волны. Они создаются колебаниями спинов, связанных обменным.взаимодействием внутри.каждой, из одномерных подсис- . тем, и возможны, без изменения, орбитальной энергяи в. силу того, что. в равновесии- электроны с разными проекциями спина имеют одинаковую энергию.-Шенно спиновый.характер колебаний, отвечающих, волне (4.31.),.может быть.проиллюстрирован сравнением амплитуды колебаний.спиновой плотности для двух типов волн, описываемых уравнением. (4.32).
Таким.образом, упоминавшаяся, выше, волна с. минимальной. . фазовой..скоростью, целиком .обусловленная.обменным взаимодействием - это самая медленная квантовая продольная спиновая волна... Ее. фазовая скорость в пределе малых Q определяется выражением:
Из этого выражения, в частности, вытекает, что при отрицательных Бо фазовая скорость обращается в нуль не при у , =о, а при V n = л) J /(і- Idol) Kf , и в окрестности значения Vm у -0 возможна неустойчивость системы относительно продоль-ных спиновых возмущений.
Дисперсионная кривая самой медленной продольной спиновой волны-при &о 0 находится в параболическом окне прозрачности, и ее форма описывается следующим дисперсионным уравнением решение которого нетрудно найти в явном виде.
Кроме волн с минимальными фазовыми, скоростями, при "большом числе, заполненных, уровней, поперечного-квантования имеется ; ряд .ветвей квантовых волн.с. фазовыми скоростями, которые порядка V 5I/»H и малы.по сравнению с YF
