Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Радиационно-индуцированные поляризационные эффекты в политетрафторэтилене 10
1.1. Общие сведения о радиационно-индуцированной электрической поляризации полимерных диэлектриков 10
1.2. Поляррізационньте эффекты в ПТФЭ в процессе воздействия ионизирующего излучения 17
1.3. Поляризационные эффекты в ПТФЭ после облучения 35
Глава II. Экспериментально-методические подходы к исследованию эффектов объемной электрической поляризации в политетрафторэтилене ...44
2.1 Методика эксперимента 44
2.1.1. Измерение диэлектрических характеристик 44
2.1.2. Измерение токов поляризации и деполяризации в постоянном электрическом поле 45
2.1.3. Методика облучения образцов 47
2.1.4. Исследование надмолекулярной структуры ПТФЭ 48
2.2. Объект исследования 48
2.3. Методические подходы к различению объемной и приэлектродной поляризации 50
Глава III. Исследование эффектов объемной электрической поляризации в облученном ПТФЭ 56
3.1. Временные зависимости тока поляризации и деполяризации в изотермических условиях 56
3.2. Роль молекулярного кислорода в возникновении поляризационных эффектов 63
3.3. Температурные зависимости поляризационных эффектов 67
3.4. Влияние поглощенной дозы на поляризационные свойства в облученном ПТФЭ 75
3.5. Полевые зависимости поляризационных эффектов 78
Глава IV. Анализ механизма электрической поляризации в облученном политетрафторэтилене 83
4.1. Модель стабилизации квазисвободных зарядов с учетом особенностей надмолекулярной структуры политетрафторэтилена 83
4.2. Расчет параметров электрической поляризации в облученном ПТФЭ 93
Заключение 105
Выводы 108
Список литературы ПО
- Поляррізационньте эффекты в ПТФЭ в процессе воздействия ионизирующего излучения
- Измерение токов поляризации и деполяризации в постоянном электрическом поле
- Роль молекулярного кислорода в возникновении поляризационных эффектов
- Расчет параметров электрической поляризации в облученном ПТФЭ
Введение к работе
Актуальность.
Изучение воздействия ионизирующего излучения на свойства твердых диэлектриков является особенно актуальным в связи с развитием современных радиационных технологий и широким использованием изоляционных материалов в ядерных исследованиях и других сферах, связанных с сильными радиационными полями. Настоящая работа посвящена исследованию природы поляризационных эффектов, возникающих в политетрафторэтилене подвергнутом воздействию ионизирующего излучения. В качестве объекта изучения политетрафторэтилен интересен в связи с тем, что является полимером, обладающим уникальным комплексом физико-технических свойств (химической и биологической стойкостью, прекрасными диэлектрическими и антифрикционными свойствами, эластичностью в области криогенных температур), что обеспечивает его широчайшее применение в различных отраслях промышленности, науки и техники.
Общей чертой эффектов, индуцированных воздействием на политетрафторэтилен ионизирующего излучения, является возрастание на несколько порядков параметров, характеризующих диэлектрические свойства этого материала (s, tgS, Р). Учитывая то обстоятельство, что исходный политетрафторэтилен - превосходный диэлектрик (из всех известных изоляционных материалов он обладает самыми низкими значениями диэлектрической постоянной и потерь) этот факт уже более 40 лет вызывает внимание исследователей. За это время было выдвинуто несколько различных объяснений эффекта аномальной поляризации, однако единого непротиворечивого взгляда на этот вопрос до сих пор выработано не было. К моменту постановки данной работы систематические исследования радиационно-индуцированной электрической поляризации в ПТФЭ проводились в основном в процессе облучения образца, однако имелся ряд литературных данных о том, что и после воздействия ионизирующего излучения, в образце сохраняется аномальный диэлектрический эффект. Все сказанное определило актуальность постановки и проведения систематического исследования поляризационных эффектов в ПТФЭ после радиационного воздействия.
Цель работы.
Целью настоящей работы являлось установление природы объемной электрической поляризации в ПТФЭ, подвергнутом воздействию ионизирующего излучения, и построение непротиворечивой модели поляризации, описывающей основные эмпирические закономерности, на основе решения следующих задач:
- исследование температурных, дозовых и барических зависимостей
диэлектрических параметров;
- установление кинетических, дозовых, полевых и температурных
закономерностей величины поляризации;
- анализ влияния особенностей надмолекулярной структуры ПТФЭ на наблюдаемые эффекты.
Научная новизна.
Впервые проведено систематическое исследование поляризационных эффектов в политетрафторэтилене после воздействия на него ионизирующего излучения методом изотермического спада тока (ИСТ). Получены временные, полевые и температурные зависимости токов в режиме поляризации и деполяризации образца.
Показано, что поляризуемость облученных на воздухе пленок политетрафторэтилена достигает значений, на три порядка превышающих поляризуемость необлученных образцов. Аномальная поляризуемость ПТФЭ необратимо исчезает при температуре гибели полярных продуктов радиолиза -пероксидных макрорадикалов.
Энергия активации поляризационного процесса, найденная из аррениусовскои зависимости характерного времени установления поляризации, а также величина и температурная зависимость поляризуемости, не укладываются в рамки представлений о поляризации «жестких» диполей.
На основании анализа совокупности экспериментальных данных сделан вывод о том, что аномальный диэлектрический эффект в облученном политетрафторэтилене обусловлен наличием в объеме образца квазисвободных зарядов (электронов и дырок), стабилизированных в процессе облучения.
Предложена модель радиационно-индуцированной поляризации, основанная на описании процесса диффузии и дрейфа дырок в поле неподвижных электронов, локализованных на глубоких ловушках вблизи флуктуации плотности (пор). В приближении первого порядка по Е найдено аналитическое решение для стационарной плотности распределения положительного заряда вокруг отрицательно заряженной сферической поры при наличии внешнего поля. В рамках рассмотренной модели получены выражения для стационарных значений поляризуемости и диэлектрической проницаемости. Численно решена нестационарная задача и получены временные и частотные зависимости параметров поляризации. Показана связь параметров поляризации с параметрами, характеризующими структуру ПТФЭ.
Практическая значимость.
Развитые в работе представления о связи поляризационных свойств политетрафторэтилена с особенностями его надмолекулярной структуры и технологии производства фторопласта-4 открывают возможности прогнозирования воздействия радиации на диэлектрические свойства различных марок этого материала.
При дальнейшей разработке и детализации модели поляризации в политетрафторэтилене измерение структурно-зависимых параметров поляризации может лечь в основу одной из методик исследования надмолекулярной структуры ПТФЭ, которая на данный момент изучена недостаточно.
Основные защищаемые положения.
1. Результаты исследования эффектов объемной электрической поляризации
в облученном ПТФЭ методами изотермического спада тока и диэлектрической
релаксации, кинетические, дозовые, барические, полевые и температурные
зависимости величины поляризации.
2. Механизм объемной радиационно-индуцированной электрической
поляризации в ПТФЭ, связанный с накоплением и стабилизацией в объеме
полимера долгоживущих заряженных частиц (электронов и дырок).
3. Модель объемной поляризации, основанная на описании процесса
диффузии и дрейфа квазисвободных положительных носителей заряда (дырок) во
внешнем электрическом поле в присутствии отрицательно заряженных областей с
пониженной плотностью (пор) и результаты ее исследования.
Достоверность результатов и выводов.
Достоверность результатов и выводов работы обеспечивается
информативностью и адекватностью использованных экспериментальных
методик, хорошей воспроизводимостью экспериментальных результатов, а также
интерпретацией данных с использованием современных представлений о
надмолекулярной структуре политетрафторэтилена, радиационно-
индуцированных процессах в полимерных системах, и электрических свойствах полимерных диэлектриков.
Апробация результатов исследования.
Основные результаты работы докладывались на Международной конференции «Ionizing Radiation and Polymers» (Дрезден, 1998), VII Международной конференции «Physics and Chemystry of Elementary chemical Processes» (Черноголовка, 2007), Международном симпозиуме «Physics and Chemistry of Processes, Oriented toward Development of New High Technologies, Materials and Equipment» (Черноголовка, 2007) и неоднократно обсуждались на научных семинарах лаборатории РСПМ НИФХИ им. Л.Я. Карпова.
Публикации.
Основное содержание работы отражено в 6 печатных работах.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из четырех глав, введения и заключения. Содержит 48 рисунков, 9 таблиц, 119 библиографических ссылок и изложена на 120 страницах.
Поляррізационньте эффекты в ПТФЭ в процессе воздействия ионизирующего излучения
Политетрафторэтилен - отличный диэлектрик. Среди всех известных твердых изоляционных материалов ПТФЭ имеет самые низкие диэлектрическую постоянную и тангенс угла диэлектрических потерь. На эти показатели, как и на остальные диэлектрические характеристики, мало влияют температура, давление, частота. Электрическая прочность практически не зависит от молекулярной массы и степени кристалличности полимера, но значительно падает (рис. 1.3) при увеличении пористости образца [72, 73]. В таблицах 1.1 и 1.2 приведены показатели электрических свойств фторопласта-4 - технической марки политетрафторэтилена, повсеместно использующейся в отечественной промышленности. Диэлектрическая проницаемость фторопласта-4 вплоть до 10 Гц не зависит от частоты, а зависит от плотности. Тангенс угла диэлектрических потерь остается постоянным при температуре от -60 до 250С. Прогрев при 300С в течение 6 месяцев не влияет на диэлектрические свойства фторопласта -4. В то же время для политетрафторэтилена характерна низкая радиационная стойкость. Исследования по действию ионизирующих излучений на ПТФЭ проводились начиная с 1950-х годов [74 - 77]. Было установлено, что при небольшой дозе излучения происходит некоторое упрочнение образцов, которое по мере увеличения дозы сменяется снижением прочности. ПТФЭ легко деструктирует при комнатной и повышенной (вплоть до 320С) температурах. Облучение сопровождается эффективным разрывом С - С - связи в основной цепи и быстрым падением молекулярной массы и возрастанием плотности. Факторами, препятствующими рекомбинации макрорадикалов с образованием сшивок, являются затрудненность внутри и межмолекулярной миграции валентности ввиду высокой прочности CF-связи и значительные стерические и кулоновские затруднения, связанные с относительно большим, по сравнению с атомами углерода, радиусом электроотрицательных атомов фтора, экранирующих неспаренный спин [19].
Начиная с 60-х гг. проводилось систематическое изучение радиационно-индуцированной электропроводности (РЭ) пленок ПТФЭ в широком диапазоне варьирования условий эксперимента [28, 56, 78 — 85]. Общим результатом этих исследований явилось установление факта значительного возрастания электропроводности в поле излучения и ее спад после прекращения облучения. Для пленочных образцов ПТФЭ при стационарном облучении экспериментально определенные параметры А и А в формуле (1.1) в зависимости от условий облучения варьируются в широких интервалах (табл. 1.3.) [56]. Была выявлена чувствительность РЭ ПТФЭ к толщине образца [81], предварительной физической обработке [76], предварительно поглощенной дозе [76 - 78]. В области больших мощностей дозы РЭ ПТФЭ проходит через максимум, в котором А = 1 [56]. Температурная зависимость РЭ имеет перегиб, ниже температуры которого наблюдается плато [86]. После прекращения облучения происходит спад радиационного тока в ПТФЭ (по данным [28] по закону t 0 44 при комнатной температуре). Наблюдаемые результаты при импульсном и непрерывном облучении авторы [25, 28] интерпретировали в рамках модели Роуза-Фаулера; выдвинув предположение о реализации неланжевеновской рекомбинации квазисвободных носителей в ПТФЭ. Это обстоятельство отражает тот факт, что константа рекомбинации носителей заряда в ПТФЭ, удовлетворяющая экспериментальным данным, оказалась на 3 - 4 порядка ниже, чем предсказываемая классической теорией Онзагера [22]. В [56] показано влияние на транспорт зарядов молекулярной подвижности; дозовые эффекты РЭ в ПТФЭ и экстремальный характер РЭ при больших мощностях дозы объясняются изменением спектра времен молекулярной релаксации.
Подвижность носителей заряда в ПТФЭ исследовалась во времяпролетных экспериментах, проведенных Гроссом [22, 87]. Дырочная подвижность в тефлоне с учетом захвата мелкими ловушками, найденная по данным метода времени пролета по порядку величины оказалась равной 10"9 см /(Вхс). Подвижности же электронов оказались слишком малы, чтобы их значения можно было надежно определить времяпролетным методом. Таким образом, было показано, что проводимость ПТФЭ обусловлена главным образом подвижностью дырок. Результаты исследования диэлектрических характеристик ПТФЭ в процессе рентгеновского облучения были впервые опубликованы Адамеком в 1963 г. [88]. Автор исследовал влияние облучения на проводимость пленок коммерческого политетрафторэтилена толщиной 40 мкм. Было обнаружено, что облучение влияет не только на установившееся значение проводимости, но также и на проводимость образцов в переходном процессе после подачи постоянного напряжения. В этой связи были проведены измерения диэлектрических параметров пленок при облучении их рентгеновскими лучами с мощностью дозы 0,01-100 рад/с. Измерения проводились при комнатной температуре в диапазоне частот со = 50 - 1000 с-1. Параметр tg5 на частоте ш = 50 с-1 начинал расти при мощности дозы 1 рад/с, а на частоте со = 1000 с"1 при 10 рад/с. Диэлектрическая проницаемость с оставалась приблизительно постоянной во всем диапазоне используемых мощностей дозы. Исходя из измерений є и tg5, вычислялся коэффициент потерь s".
Измерение токов поляризации и деполяризации в постоянном электрическом поле
Для изучения эффектов поляризации в постоянном поле использовали метод изотермического спада тока (ИСТ) поляризации и деполяризации. Метод основан на регистрации электрического переходного тока, возникающего в образце в изотермических условиях после подачи/снятия внешнего электрического поля. Для исследования радиационно-диэлектрического эффекта в облученном ПТФЭ метод ИСТ был использован впервые. Измерения методом ИСТ проводили при варьировании температуры образца и напряженности внешнего электрического поля. Температуру варьировали в интервале 77 - 300 К , напряженность поля — в пределах 105 - 2x107 В/м. Схема измерительной установки представлена на рис. 2.1. Для проведения измерений токов поляризации и деполяризации образец (І) с напыленными в вакууме серебряными электродами (напыление электродов осуществляли аналогично вышеописанному методу для измерения диэлектрических характеристик) помещали на металлическую подложку (5). Температура подложки контролировалась медь-константановой термопарой. Для хорошего теплового контакта горячий спай термопары уплотнялся в специальном отверстии в подложке. Поскольку измерение температуры непосредственно тонкой пленки представляется проблематичным, так как помещение спая на пленку, либо между пленкой и подложкой не обеспечивает надежного теплового контакта, за температуру образца принимали температуру подложки. При этом были приняты меры по обеспечению надежного теплового контакта пленки и подложки. С этой целью использовали пружинящие тонкие металлические нити (6), прижимающие пленку по всей поверхности.
Нити закреплялись на прижимном кольце (7), которое одновременно использовали как токосъемный или высоковольтный подвод. Измерительную ячейку помещали в термостабилизируемую камеру ТК-500 (8). Управление работой термокамеры (нагрев или охлаждение, скорость нагрева или охлаждения, значение конечной стабилизируемой температуры) осуществляли с использованием электронного программатора БТП-78 (9). В соответствии с конструкцией ТК-500 охлаждение и нагрев внутреннего объема камеры осуществляется с использованием паров жидкого азота (10) и системы вынужденного теплообмена (обдуваемая электрическая спираль (11). Для подачи электрического напряжения использовали блоки питания (12) типа Б5-50 (до 300 В) и БВ-2-2 (до 10 кэВ). Для измерения токов поляризации и деполяризации использовали электрометрические усилители (13) У5-11 (для измерения токов до 10"14 А с постоянной времени менее 0.1 с) и В7-30 (для измерения токов до 10" Ас постоянной времени более 0.1). Запись токов с аналогового выхода электрометрических усилителей осуществляли на двухкоординатном самописце ПДА-1 (14), позволяющем производить запись с постоянной времени 0.1 с. Постоянная времени электрометрических усилителей (порядка 0,1 с) позволяла надежно регистрировать значения тока начиная с 1 с. Случайная погрешность измерения не превышала 10 %. Величина полной поляризации (деполяризации) определялась посредством интегрирования временной зависимости поляризационного тока. Погрешность измерения не превышала 10%. энергией 1.25 МэВ проводили на установке К-120000 с радиоактивным источником 60Со при мощности поглощенной дозы 2.2 Гр/с и температуре облучения 298 К. Облучение образцов электронами с энергией 9 МэВ проводили на линейном ускорителе ЭЛУ 8-2 при мощности поглощенной дозы 20 Гр/с и температуре облучения 293 К. Поглощенную дозу варьировали в интервале 0.1-10 Мрад. Облучение проводили в вакууме и на воздухе при атмосферном давлении. Для исследования барических зависимостей поляризационных эффектов облучение проводили при повышенном давлении в интервале 0.1 — 100 МПа. С этой целью образцы помещали в цилиндрическую полость металлической ячейки между двумя керамическими цилиндрами-пуансонами.
Сжатие образца осуществляли с использованием гидравлического пресса. С помощью манометра фиксировали давление, развиваемое прессом на пуансоны. Давление на образец рассчитывали с учетом соотношения площадей рабочей поверхности пресса и образца. Специальные накидные гайки, навинчиваемые на корпус ячейки, фиксировали положение цилиндров-пуансонов и, соответственно, внешнее давление, прилагаемое к исследуемому образцу. Давление на образец в процессе и после облучения контролировали. Исследование морфологии ПТФЭ проводили с использованием рентгеноструктурного анализа и электронной микроскопии. Электронные микрофотографии блочного ПТФЭ (с увеличением до 45000 раз) на сколах, сделанных на образцах при температуре жидкого азота, получены на растровом электронном микроскопе высокого разрешения JSM-7500 FA (фирмы JEOL, Япония). Исследовали стандартные пленочные образцы ПТФЭ марок Ф-4ИО и Ф-4ЭО (ГОСТ 24222), получаемые из блочного политетрафторэтилена методом строжки (ТУ 6-05-986-79).
Роль молекулярного кислорода в возникновении поляризационных эффектов
Существенной особенностью изучаемых аномальных поляризационных свойств является то, что их появление однозначно связано со средой облучения. Как уже было показано в работах [95 - 99], аномальный диэлектрический эффект имеет место только после облучения ПТФЭ в присутствии молекулярного кислорода и отсутствует, если облучение проводилось в вакууме. В связи с этим был сделан вывод, что наблюдаемые поляризационные эффекты в ПТФЭ связаны с продуктами его радиолиза, образующимися именно в присутствии кислорода. Такими продуктами в ПТФЭ являются концевые и срединные пероксидные макрорадикалы (ПМР). Известно, что в ПТФЭ при отрыве атома фтора образуются фторалкильные CF2CFCF2 , а при разрыве С - С -связи концевые F2CF2C радикалы. При облучении ПТФЭ в вакууме при 300 К в интервале доз 0.1 — 1 МГр концевых радикалов образуется в 10 раз меньше, чем срединных, а концентрация радикалов пропорциональна поглощенной дозе [19]. Основными продуктами при облучении ПТФЭ на воздухе являются ПМР, причем количество образующихся концевых CF2CF202-H срединных - CF2CF(O )CF2CF, ПМР при комнатной температуре, атмосферном давлении, относительно небольших дозах 1-10 Мрад и типичных толщинах образцов (до 5 мм) приблизительно одинаково. Общая концентрация ПМР, а так же доли концевых и срединных ПМР могут изменяться в зависимости от условий облучения (температуры, концентрации кислорода, давлениям поглощенной дозы). Концентрация других продуктов радиолиза, образующихся с участием и без участия кислорода (срединные и концевые двойные связи, концевые карбонильные группы), существенно ниже, чем ПМР. В настоящей работе было проведено исследование в рамках метода ИСТ величины полной поляризации Отах Ро от условий, при которых был облучен образец ПТФЭ (механическое сжатие, воздух, вакуум). На рис. 3.9 приведены типичные зависимости Q(f), наблюдаемые в образцах, облученных в различных режимах.
Видно, что в образцах, облученных в вакууме (кривая У), максимум Отах (а, следовательно, Р0) значительно меньше, чем в образцах, облученных на воздухе (кривая 3), и достигается при больших временах. Промежуточный случай реализуется в условиях ограниченного доступа кислорода (кривая 2). Отсюда можно заключить, что величина поляризации в постоянном поле действительно коррелирует с продуктами окислительной деструкции, основными из которых являются перекисные радикалы. Термический отжиг образцов при температурах гибели концевых (100-120 С) и срединных (120-150 С) ПМР приводит к полному исчезновению наблюдаемых поляризационных токов. Известно, что выход перекисных радикалов зависит от давления, при котором был облучен образец (рис. ЗЛО) [19]. Уменьшение выхода радикалов с увеличением давления объясняется тем, что во-первых с увеличением давления затрудняется диффузия кислорода в объеме полимера и, во-вторых, уменьшается выход радикалов из клетки [19]. В соответствии с вышеизложенным можно ожидать, что барические зависимости поляризационных эффектов в облученном ПТФЭ будут иметь сходный характер. На рис. 3.11 показаны диэлектрические спектры ПТФЭ, облученного в невакуумируемой ячейке при давлениях в интервале 0.1 - 100 МПа. Из рисунка видно, что величина максимума диэлектрических потерь в исследованном интервале давлений, также как и выход ПМР (рис. 3.10), уменьшается приблизительно в 2 раза. Полученный экспериментальный результат находится в согласии с выводом об определяющей роли ПМР в возникновении наблюдаемых поляризационных эффектов в облученном ПТФЭ. На рис. 3.12 представлены временные зависимости функции Q(t) (см. раздел 3.1) для облученного ПТФЭ, регистрируемые в постоянном электрическом поле при различных температурах. Видно, что с понижением температуры, характерное время релаксации xw (или время достижения максимума функции (2(0) увеличивается.
Зависимость наиболее вероятного времени релаксации от температуры в аррениусовских координатах имеет явно выраженную точку перегиба в области 253-273 К (рис. 3.13). Ниже этой температуры изменения TW малы, выше точки перегиба наблюдается довольно резкая активация поляризационного процесса, что отражается в увеличении поляризационного тока и укорочении времени установления максимума Qmax. Необходимо отметить, что наблюдаемая точка перегиба в области 253-273 К не может быть отнесена к какому либо релаксационному процессу в ПТФЭ, поскольку известно [73], что а- и (3-процессы релаксации в этом полимере наблюдаются соответственно в области 373- 393 и 173- 183 К. Наиболее близок по температуре к обсуждаемой области фазовый переход, наблюдаемый в ПТФЭ в кристаллической фазе при температуре 292 К, и интерпретируемый изменением симметрии структуры кристаллитов. Переход обусловливается
Расчет параметров электрической поляризации в облученном ПТФЭ
Для определения параметров поляризации облученного ПТФЭ в рамках предложенного механизма стабилизации квазисвободных зарядов необходимо знать, как распределение положительного заряда вокруг поры зависит от заряда поры и внешнего поля. С этой целью была рассмотрена система уравнений, описывающая диффузию и дрейф подвижных носителей в кулоновском поле неподвижного отрицательного заряда и внешнем поле Е. Система уравнений, описывающая процесс дрейфа и диффузии положительного заряда с подвижностью и в суммарном потенциале U, имеет вид: Подобная поставка задачи (уравнение Смолуховского) применялась при анализе кинетики поляризации геминальных электрон-ионных пар, возникающих в процессе облучения низкомолекулярных углеводородных стекол [94]. При решении уравнения Смолуховского полагается, что частица, имеющая некоторое начальное пространственное распределение j{r, 9) совершает броуновское движение в поле своего партнера и внешнем поле и рекомбинирует при сближении с противоположно заряженной частицей на расстояние а, приблизительно равное размеру молекулы (граничное условие р{а, 9, t) = 0). В отличие от модели поляризации геминальных пар, в модели, описывающей предложенный выше механизм поляризации, полагается, что отрицательный заряд -q сосредоточен в центре сферического «пузыря» радиуса /. Область распределения положительного заряда — пространство с вырезанным «пузырем». При этом, начальному моменту времени соответствует распределение положительного заряда вокруг поры в нулевом внешнем поле, а граничное условие (условие на границе поры) в данном случае должно иметь вид: jr(rQ)-0. Таким образом, согласно (4.7) имеем уравнение: и граничное условие jr (r0) = 0. В стационарном состоянии системы (- = о ) имеем уравнение
Ниже рассмотрен случай AU = О, что соответствует отсутствию взаимодействия между положительными зарядами. Данное приближение применимо при малом количестве положительных зарядов в «рое». В точности оно описывает случай «один анион - одна дырка» (заряд поры равен элементарному заряду q = ё). В этом случае функция р/е является функцией плотности распределения вероятности положительного заряда в пространстве вокруг поры. В сферической системе координат: Решение (4.11) искалось в виде: р(г,в) = р0е r[l + D(r,0)], где р{г,в) р0е г Фш q 4лє0єг0 Для малых значений напряженности внешнего поля (Е « -) можно ограничиться нахождением решения в приближении первого порядка по Е. Решение для первого порядка по Е D\ представляем в виде D}=Dl0+Du, где D\Q - решение однородного уравнения ЦД0) = 0с граничным условием (4.14), a Dn - частное решение неоднородного уравнения (4.13) с граничным условием 5Д дг = (4.15) (4.16) Ищем решение Ц Д 0) = 0. Поскольку L = Lr+Le, можно разделить переменные: Dw(r,0)= А{г)в{в). Имеем: v дг дг2 ?4 + ctqe+AB = 0 80 дб Уравнение (4.16) является уравнением Лежандра и имеет решение: Я = п(п + 1) В{в) = с, Рп (cos 0)+c2Q„ (cos в) из граничного условия dD]0 дг _dA drг-Гл COS0 хВ(в)= имеем п=1, с2=0 тт 2г (поскольку (cos cos ). В (4.15) замена A = ze zw(z), z = -— приводит к модифицированному уравнению Бесселя: z2w"+2zW - (z2 + x)w = 0, которое имеет решение w = z 2ZL)(iz), где Zv- цилиндрическая функция, 1 3 и = -л/ї+4Я=я + - = - [116,117]. 2 2 2 L Поскольку sin z COS z VZ ZV2 coshz 12 i - sinh z + TV -41Z Таким образом A(z)=z2e zZ%(iz)=z2e Nl{z)=J 3(z) J,(?)=J Jt 1 cosz sinz sinhz - cosh z + Я" sjiz J3 (iz) = . aJ3(iz)+bN3(iz) ; -/3( K 71 J3(iz) = . решение выражается через элементарные функции: coshz - cosh z + A(z) = e-zU l e -2 г = tf, -{l + e--)+ = a, H--1H sinhz z + a2 + a + An - sinli z + 1-е -{l + e-)+ (i-MH В результате, решение однородного уравнения с неоднородным граничным условием можно представить в виде: Dlo(r,0)=U -1 ( 2г Л QC -ег Q +г Q + а. 2г -1 л о. г + ег Q -cosO. (4.17)
Частным решением неоднородного уравнения с однородным граничным условием: (AI) = -—cos0: Фт = о ад, 5г G является функция Dn = - -cos#. Таким образом получаем: 2Фт 1 / —+ — 2 б Л + + С + - -7-(:080. ,2 + 2. Dx{r,e) = \Cx 2фт 2 Є 2 Q. Полное решение в приближении первого порядка по Е имеет вид: p{r,e)=e -\\ + EDx{r,9)] = -е г е r +Ecos0lC, .2 Q. + е Qfx г\ - + — 2 Q. +с, Є 0Ґ 1 + 1 г 2 Є. е - 2А, Из требования ограниченности функции на бесконечности, получаем С2=0. Из граничного условия дЦ дг cos определяем: _ ф Ц тт 2-ї . Таким образом выражение для плотности распределения положительного заряда в поле неподвижного отрицательного заряда и внешнем поле Е в приближении первого порядка по Е имеет вид: