Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Кинетика и перколяция при формировании микроструктуры СК 25
1.1. Теоретические проблемы технологии и прочности СК 25
1.2. ГФП и формирование микроструктуры СК 48
1.3. Связность и перколяция в нерегулярных структурах 70
1.4. Кинетическая концепция формирования микроструктуры и разрушения СК 96
1.4.1 Кинетика уплотнения СК при спекании с постоянной скоростью нагрева 99
1.4.2 Кинетика роста хрупких трещин 102
Глава 2 ГФП При консолидации и разрушении СК
2.1 ГФП при формовании СК ПО
2.1.1 ГФП и эволюция микроструктуры в процессе формования 110
2.1.2 Влияние формы и размеров структурных элементов дисперснокристаллического тела на характер ГФП при формовании СК 127
2.2. ГФП при спекании СК 135
2.3 Кинетика консолидации и разрушения СК 166
2.3.1 Применимость феноменологической теории Ивенсена для спекания СК 166
2.3.2 Исследование особенностей спекания СК методом ГО 170
2.3.3 Физические модели для описания трещиностойкости СК...180
2.3.4 Остаточные механические напряжений в СК 195
2.3.5 Разрушение СК в электрических полях 214
Глава 3 Компьютерное моделирование процессов формирования микроструктуры и разрушения сегнетокерамики 220
3.1 ГФП и теория сложных систем 220
3.2 Компьютерное моделирование формования СК 239
3.3 Компьютерное моделирование спекания СК 258
3.3.1 Особенности различных технологий спекания СК 259
3.3.2 Моделирование различных стадий процесса спекания 275
3.3.3 Компьютерное моделирования всего технологического процесса получения СК 291
3.4 Компьютерное моделирование разрушения СК 295
Заключение 318
Список публикаций автора по теме диссертации 328
Приложения (п) 335
Список литературы 378
- ГФП и формирование микроструктуры СК
- Кинетика уплотнения СК при спекании с постоянной скоростью нагрева
- ГФП и эволюция микроструктуры в процессе формования
- Компьютерное моделирование формования СК
Введение к работе
Актуальность работы.
Широкое применение сегнетокерамических материалов в радиоэлектронике стало в настоящее время столь же привычным как и использование полупроводников и диэлектриков. Сегнетокерамические материалы представляют из себя поликристаллические структуры, обладающие широким спектром различных микроструктурных объектов, находящихся в неравновесном состоянии и характеризующихся фрактальными зависимостями. Формирование иерархии структурных уровней сегнетокерамики (СК) происходит в результате последовательного воздействия различных технологических факторов при ее получении. Характеристики структурных уровней СК оказывают решающее воздействие на формирование электрофизических и прочностных свойств сегнетокерамических материалов. В особенности это касается мезоскопического (микроструктурного) структурного уровня, к которому относятся зерна или конгломераты зерен (КЗ).
Научной основой изучения СК, как явления формирования микроструктуры в различных технологических процессах, является физика реальных кристаллов. В познавательном аспекте элементы структуры поликристаллического материала претендуют на такой же самостоятельный статус как классические объекты физических исследований: атомы или молекулы.
Каждый этап в развитии теоретических представлений о процессах формирования микроструктуры поликристаллических твердых тел связан с достижениями физики реальных кристаллов. Здесь прежде всего следует отметить пионерские работы Я.И. Френкеля [17] и Б.Я, Пинеса [18] с
которых собственно и начались физические исследования процессов формирования керамических материалов. Первоначально главное внимание было уделено последнему технологическому этапу получения керамики - спеканию. Наиболее значительные достижения в описании процессов, происходящих при спекании с позиций физики реальных кристаллов, принадлежат И.М. Лифшицу, работы которого по этому вопросу собраны в [19]. Согласно подходу И.М. Лифшица, спекание есть диффузионное течение вещества при высокой температуре под действием сил поверхностного натяжения. Экспериментальные доказательства этого утверждения собранные в [10], основаны на модельных экспериментах, которые тем точнее описываются теорией, чем менее связаны с собственно процессами спекания. В связи с этим были развиты и другие подходы. Один из них основан на описании процессов формирования керамических материалов с помощь феноменологических уравнений [12, 21]. Целью данного подхода является получение кинетических уравнений процесса спекания (т.е. уравнений, связывающих плотность или усадку образца с температурно-временными характеристиками процесса спекания). Так как феноменологические уравнения получают с использованием экспериментальных данных по спеканию конкретных материалов, то область их применения ограничена, а прогностические возможности невелики. Следует отметить, что наличие большого количества феноменологических уравнений и произвольность их применения вызывают сомнения в существовании единого уравнения спекания, пригодного для всех видов керамических материалов и этапов спекания, хотя попытки получения такого уравнения периодически предпринимались рядом авторов [12, 15, 21, 34-36]. Другой подход описывает все процессы, происходящие при спекании и формовании керамики, как единый процесс консолидации поликристаллического тела
[15]. В данном случае под термином "консолидация порошковых тел" искусственно объединены различные физические и физико-химические процессы - формование и спекание. И если каждый из этих процессов в отдельности поддается в какой-то степени математическому описанию, то к понятию "консолидация" это не применимо.
Следует отметить, что все упомянутые выше теоретические подходы к процессам образования керамики не позволяют в настоящее время заложить научные основы для описания реальных технологических процессов создания сегнетокерамических материалов. Поэтому можно присоединиться к одному авторитетному мнению "... теоретические работы а области формования и спекания пока еще не позволяют применять предложенные уравнения для разработки технологических процессов и в большинстве случаев не приемлемы для решения практических задач." [11]. В тоже время необходимость в такой теории существует. В особенности это касается сегнетоэлектрических керамических материалов, для создания которых необходимы "оптимизированные технологические регламенты" [3], В этом случае необходимо найти способы описания процессов уплотнения и образования контактов между частицами при использовании современных методов получения сегнетокерамических материалов: изостатическое прессование, горячее прессование, экструзия, горячая штамповка, взрывное прессование, где одновременно протекают процессы деформации, уплотнения, контактообразования и спекания, то есть необходим переход от изучения процессов в статических условиях к динамическим условиям.
Известно, что развитие научного знания идет в двух противоположных направлениях. Первое направление является конструктивным и представляет собой переход со все более увеличивающейся сложностью рассмотрения от "целого" к отдельным
частям (переход от твердого тела к молекулам, атомам, элементарным частицам). Другое направление идет через анализ ко все большей абстрактности и логической простоте, путем нахождения общих идей и принципов. Как заметил Б. Рассел различие между этими подходами ".. .не столько в предмете, сколько в состоянии ума исследователя"[1]. Другим важным критерием целесообразности того или иного подхода является стадия изучения вопроса, достигнутая в ходе исследования.
Огромное количество экспериментальных результатов и теорий, накопленных к настоящему времени в области физики и технологии керамических материалов, породило парадоксальную ситуацию: чем больше мы узнаем о процессах образования керамики, тем труднее построить последовательную теорию этих процессов традиционными для физики твердого тела методами; путем обобщения экспериментальных результатов с привлечением теоретических построений, описывающих конкретные механизмы происходящих процессов. Единственным выходом из этой ситуации является попытка создать теорию, являющуюся дедуктивным, сугубо логическим построением, выполненным с помощью системного структурно-генетического анализа хорошо известных фактов. Иными словами, создание общей теории формирования поликристаллических структур не является невыполнимой задачей, если опираться не столько на операционные методы физических наук, сколько на сам принцип построения фундаментальных теорий. В этом случае теория поликристаллических структур должна, как и любая другая физическая теория, оказаться описанием сильно идеализированных или вовсе не существующих в реальном мире объектов, но обладать способностью описывать реальные. Если подобное построение, являющее собой строго логическое развитие некоторых элементарных исходных посылок, может быть согласовано с фактами без введения
дополнительных условий, нарушающих логическую стройность концепции, мы вправе считать его истинным, в противном случае мы должны отказаться от такого построения как от научно несостоятельной гипотезы.
При построении теории таких сложных объектов как СК необходимо учитывать, что фундаментальные физические законы наиболее просто описываются в чисто геометрических терминах. Современные фундаментальные теории убедительно показывают, что только последовательная геометризация делает обозримым все многообразие наблюдаемых явлений [9]. В данной работе предлагается новый подход к описанию процессов формирования микроструктуры СК, основанный на двух фундаментальных геометрических понятиях: связность и перколяция [А32]. В рамках перколяционного представления формирование микроструктуры СК есть серия геометрических фазовых переходов, происходящих на различных структурных уровнях, которые могут быть описаны как появление соединяющих кластеров в соответствующих перколяционных решетках [А25-А29].
Перколяционная теория ведет свое начало от классической работы [134], посвященной диффузии газа через пористые среды. С помощью этой теории были решены важные физические задачи: проводимость полупроводников (прыжковая проводимость [171, 172]), магнитных явлений [43] гелеобразования в полимерах [157, 158], теории фазовых переходов [136], структурный метаморфизм в углях [254]. В этих работах основное внимание уделялось проблеме скейлинга в окрестности перколяционного перехода. По определению Де Жена [157], теории скейлинга строятся на анализе показателей степеней уравнений, описывающих переход от одного режима к другому. При этом оказывается, что многими деталями такого перехода можно пренебречь. В
данном исследовании основное внимание, в рамках перколяционного представления, будет уделено образованию макроскопической связности по некоторым элементам микроструктуры СК.
Для описания формирования микроструктуры СК большое значение играет исследование температурно-временных (кинетических) характеристик этого процесса. В работах [12, 97] показана нечувствительность ряда кинетических параметров процессов спекания и разрушения к выбору частных микроскопических моделей, описывающих эти процессы, что позволяет ввести понятие феноменологически элементарного акта кинетического процесса [А 14]. Это понятие является фундаментальным для данной работы, т.к. оно позволяет связать параметры перколяционных моделей с физическими и микроструктурными свойствами сегнетокерамических материалов и параметрами технологических процессов.
Важнейшим показателем, характеризующим качество
сегнетокерамического материала, служит его прочность. Физические основы прочности сегнетокерамики были созданы в работе [6]. Однако проблема создания сегнетокерамических материалов с заранее заданными прочностными характеристиками еще далека от разрешения. Большую роль в формировании прочностных свойств СК играют особенности технологических режимов ее получения. Следует ожидать, что перколяционное представление микроструктуры СК в сочетании с кинетической концепцией разрушения твердых тел позволят создать реалистические модели разрушения керамических материалов [A3 9].
Цель диссертационной работы: исследовать фундаментальные закономерности "критического" поведения физических характеристик при формировании микроструктуры и разрушении СК, разработать
перколяционное представление микроструктуры СК и создать на этой базе теоретические основы технологии и прочности СК.
Содержание диссертации: В главе 1 детально проанализированы современные теоретические подходы, применяемые для описания процессов формирования микроструктуры СК на различных этапах ее получения. Рассмотрены принципиальные затруднения, возникающие при попытке применить современные теории спекания и формования для разработки технологий создания СК. Приведены основные результаты математической теории перколяциии и рассмотрена ее применимость для описания различных физических объектов и процессов. Показан скейлинговый характер поведения характеристик СК при ее создании и разрушении.
Рассмотрена аналогия между структурными фазовыми переходами, перколяцией и процессами формования, спекания и разрушения. На основе перколяционного представления сформулирована концепция формирования микроструктуры СК как последовательности ГФП. Такой подход позволил создать простые компьютерные программы, описывающие реальные технологические процессы получения СК. Анализ компьютерных экспериментов с этими программами показал, что если изменение "традиционных" характеристик СК, используемых для оценки степени завершенности технологических процессов (плотность, пористость и т.д.), носит монотонный характер, то перколяционные характеристики (средний размер несрединяющих кластеров, вероятность принадлежности к соединяющему кластеру и т.п.) имеют аномальное поведение. На основании этого высказано и проанализировано предположение, что при ГФП в реальных СК структурах возможно
аномальное поведение некоторых физических характеристик (модуль сдвига, электропроводность и др.).
В рамках перколяционной теории обычно рассматриваются регулярные решетки (квадратные, треугольные и т.д.). Реальная микроструктура СК является нерегулярной. Нерегулярная структура моделируется с помощью специально разработанного алгоритма упаковки шаров, когда шары пакуются поштучно в прямоугольный контейнер, путём "бросания" сверху из точек со случайными координатами на уже упакованные шары, либо на дно контейнера. Такой способ упаковки отражает не только реальный процесс засыпки гранул или частиц порошка в пресс-форму для последующего прессования, но и позволяет, в случае шаров разных диаметров, моделировать микроструктуру СК. При анализе перколяции в нерегулярных структурах возникает проблема маркировки кластеров, так как все методы маркировки кластеров разработаны для регулярных решеток. Эта проблема решена в работе с помощью оригинального алгоритма, перестановок в матрице контактов. Компьютерные эксперименты с нерегулярными упаковками показали, что каждая нерегулярная структура является уникальным объектом и для анализа нерегулярных структур плохо применимы подходы, основанные на вычислении средних величин.
Разработана модель кинетических процессов, основанная на понятии феноменологически элементарного акта. Особенностью этой модели является учет вклада диссипативных и релаксационных процессов, происходящих параллельно "основному" процессу. В рамках модели учитывается вклад ОМН, в поле которых протекает "основной" процесс. Показано, что данная модель может быть применена для описания кинетики спекания и разрушения СК.
В главе 2 приведены экспериментальные результаты исследования ГФП, происходящих при формовании, спекании и разрушении СК. Экспериментально обоснована концепция, согласно которой формирование СК есть последовательный переход материала из порошкообразного состояние в дисперсно-кристаллическое состояние, а затем и в поликристаллическое состояние. ГФП разделяют этот процесс на этапы, каждый из которых характеризуется как собственными механизмами формирования микроструктуры, так и доминирующим влиянием определенных микроструктурных элементов. ГФП проявляется в виде аномалий на зависимостях некоторых микроструктурных, механических и физических характеристик СК образца от давления прессования, температуры спекания или механических напряжений. Показано, что изменяя условия появления того или иного ГФП можно целенаправленно изменять характеристики СК на всех этапах ее получения.
Процесс формования СК разделяется на 5 этапов. На 1 этапе происходит скольжение гранул исходного порошка относительно друг друга и их упругое деформирование. На 2 этапе происходит неупругое деформирование гранул и формирование границ между гранулами. На 3 этапе гранулы разрушаются. Далее начинается процесс уплотнения частиц порошка, из которых состояли гранулы. На 5 этапе образуются перепрессовочные трещины. В процессе формования происходит два ГФП (образование каркаса из гранул, с полностью сформированными границами и образование аналогичного каркаса из частиц), которые и определяют кинетику процесса. В районе указанных ГФП имеются аномалии на зависимостях плотности и электропроводности от давления прессования.
В процессе спекания СК происходит три ГФП: образование каркаса из "спеченных" зерен, появление макроскопической связности по прослойкам жидкой фазы и образование каркаса из КЗ с полностью сформированными границами. Каждый из этих ГФП способствует появлению аномалий на зависимостях различных электрофизических и микроструктурных параметров от температуры спекания.
Исследованы кинетические зависимости вязкости разрушения в широком диапазоне скоростей роста трещины (10" - 103 м/с), включающий в себя как быстрый, так и медленный рост трещины. Показано, что переход от режима медленного роста трещины к режиму быстрого роста трещины можно трактовать как ГФП. Кинетика роста трещин в СК удовлетворительно описывается феноменологической моделью разрушения, развитой в данной работе.
Подробно исследованы ОМЫ в СК, вызванные существованием КЗ. Эти напряжения возникают при охлаждении СК вследствие разности величин коэффициентов материала КЗ и окружающей его прослойки стеклофазы. Показана роль ОМН в формировании прочностных свойств СК и композиционных материалов типа "СК-полимер".
Прочностные свойства СК изучались с помощью измерений вязкости разрушения (параметр К1с) с использованием экспериментальных методов механики разрушения. Эти методы оказались очень эффективными и были применены для исследования электрической прочности СК.
В третьей главе проведен анализ ГФП в СК на основе математической теории сложных систем и на его основе созданы реалистические компьютерные модели как для отдельных этапов получения СК, так и для всего технологического процесса в целом.
В данной работе под сложной системой подразумевается конкретный математический объект - перколяционная решетка, а элементами сложной системы являются узлы и связи перколяционной решетки, которые сопоставляются с элементами микроструктуры СК. В рамках такого подхода СК представляет собой конечный вероятностный автомат Мура, в котором возможен фазовый переход. Такое представление позволяет строит имитационные модели формирования микроструктуры СК используя соответствующие разделы теории сложных систем и перколяционное представление.
Проанализированы современные технологии спекания СК: скоростной нагрев и градиентный обжиг. Показана возможность с помощью этих технологий эффективно управлять технологическими параметрами изготовления СК.
Проведены компьютерные эксперименты с перколяционными моделями технологических процессов получения СК. В случае формования наибольшая однородность структуры достигается при первом ГФП (образование каркаса из гранул с сформированными границами). Давление, при котором происходит первый ГФП, является оптимальным давлением прессования. Для случая спекания течение процесса сильно зависит от технологического метода спекания. Для разных методов спекания перколяционные характеристики ведут себя по разному; при этом вид зависимостей "обычных" параметров (плотность и др.) от температуры спекания существенно не меняется.
Предложенные компьютерные модели позволили смоделировать весь технологический процесс получения СК и на этой основе описать так называемый "эффект памяти" дисперсно-кристаллического состояния.
В Заключении приведены основные выводы.
В Приложении 1 приведены все экспериментальные методы и методики, использованные в работе. Необходимо отметить, что некоторые из предложенных методик являются оригинальными. К ним относятся: методики определения вязкости разрушения при скоростях роста трещин 10' - 10 м/с, методика определения Kic с использованием вклинивания, методика определения ОМН в СК типа "СК-полимер", методика комплексного использование химического и термического травления для выявления особенностей межзеренных границ в СК.
В Приложении 2 даны характеристики используемых в работе технологий получения СК: метод скоростного нагрева и метод градиентного обжига.
Список литературы включает 273 наименований.
В диссертационной работе получены новые научные результаты:
Впервые развито перокляционное представление микроструктуры СК, позволяющее с единых (скейлинговых) позиций описать весь процесс формирования микроструктуры СК как последовательность ГФП.
Впервые исследованы нерегулярные перколяционные структуры. Созданы компьютерные модели, реализующие нерегулярные структуры
Разработана единая кинетическая концепция формирования и разрушения СК
Впервые изучено поведение электрофизических и механических характеристик при ГФП в процессе формования, спекания и разрушения.
Исследовано влияние различных факторов на кинетику процессов формирования микроструктуры и разрушения СК
Исследовано влияние микроструктуры на формирование системы ОМН в СК. Впервые обнаружено наличие ОМН, локализованных в области СК размером, соответствующем размеру КЗ. Эти ОМН связаны с
несовместными деформациями, вызванными разностью КТР материала КЗ и окружающей их прослойки стеклофазы, а также спонтанной деформацией, возникающей при охлаждении СК через точку сегнетоэлектрического ФП
Впервые предложен новый параметр, характеризующий электрическую прочность СК, аналогичный параметру вязкости разрушения Кіс в механике разрушения. Введение этого параметра позволяет уменьшить величину электрического поля пробоя при испытаниях, уменьшить разброс значений электрической прочности, использовать образцы без тщательной механической обработки
Впервые рассмотрен процесс формирования микроструктуры СК как функционирование иерархической сложной системы. Показано, что сложную систему сегнетокерамического образца можно представить как вероятностный автомат Мура, в котором возможен ФП.
Разработаны имитационные перколяционные компьютерные модели, позволяющие реалистически описывать технологические процессы формования, спекания и разрушения СК. Проведено большое количество компьютерных экспериментов, моделирующих влияние микроструктурных характеристик и внешних воздействий на ход и результаты технологических процессов получения СК. Результаты компьютерного моделирования не только удовлетворительно согласуются с технологическими экспериментами, но и позволяют прогнозировать и создавать новые технологии.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Процесс формирования микроструктуры сегнетокерамического материала можно описать как переход каждого микроструктурного элемента между двумя или более дискретными состояниями,
отличающимися макроскопическими свойствами. Переход из одного состояния в другое носит вероятностный и необратимый характер. Структура сложной системы сегнетокерамического материала адекватно описывается перколяционной решеткой.
Перколяционное представление микроструктуры СК заключается в установлении соответствия между элементами микроструктуры СК и элементами перколяционных решеток разной геометрии и размерности. Каждому состоянию элемента микроструктуры соответствует особое состояние элемента перколяционной решетки. Вероятность перехода элемента микроструктуры из одного состояния в другое соответствует вероятности заполнения перколяционной решетки. Образование связанного макроскопического каркаса из элементов микроструктуры, находящихся в одинаковом состоянии соответствует появлению БК в перколяционной решетке.
Перколяционное представление микроструктуры позволяет описать процессы формирования микроструктуры как последовательный переход из порошковой фазы в дисперснокристаллическую фазу, а затем в поликристаллическую фазу. Переход из одной фазы в другую является ГФП, который описывается скейлинговыми параметрами. ГФП могут происходить и в пределах одной из перечисленных выше фаз. В этом случае они определяют смену механизма формирования микроструктуры.
Формирование микроструктуры СК есть кинетический процесс, для описания которого достаточно задать эффективную энергию активации и эффективный активационный объемом. Эти параметры зависят от химического состава СК, технологических условий ее получения, механических, тепловых и геометрических свойств материала и определяют вероятность заполнения перколяционной решетки.
При ГФП изменяется характер поведения физических характеристик СК (плотность, электропроводность, модуль сдвига и т.д.) при изменении технологических условий (температура спекания, давление формования), что вызвано появлением макроскопического каркаса, составленного из элементов микроструктуры, находящихся в определенном состоянии.
Перколяционное представление микроструктуры СК позволяет создавать имитационные компьютерные модели, описывающие весь процесс получения СК. В этих моделях учитываются: особенности различных технологий, параметры технологических режимов, физические свойства материала, размеры и геометрия микроструктурных элементов, свойства границ между микроструктурными элементами. Разработанные имитационные модели позволяют проводить компьютерные эксперименты для подбора технологических методов и режимов получения СК с заданными микроструктурными свойствами.
В СК типа ЦТС макроскопические ОМН 1-го рода связаны с наличием КЗ. ОМН возникают при охлаждении СК после спекания из-за несовместности деформаций, вызванной различием в коэффициентах термического расширения материалов КЗ и окружающей их прослойки стеклофазы, а также из-за спонтанной деформации, возникающей в области сегнетоэлектрического ФП.
Физические модели разрушения СК, созданные в работе позволяют учесть влияние на величину прочности СК доменной структуры и ОМН. Доменные переориентации изменяют эффективный активационный объем, а ОМН изменяют эффективную энергию активации разрушения.
Процессы медленного роста хрупких трещин в СК описываются как вероятностный рост клеточного автомата Мура. Это позволяет
смоделировать влияние различных микроструктурных факторов на параметры разрушения СК.
Научная ценность проведенных исследований состоит в том, что развитое в диссертационной работе перколяционное представление микроструктуры СК может быть положено в основу теоретического описания технологии СК. Концепция ГФП, происходящих при формировании микроструктуры СК, позволяет с единых позиций описать процессы формования, спекания и разрушения СК. Развитые в диссертационной работе математические и алгоритмические методы создания нерегулярных упаковок и кластеризации в нерегулярных перколяционных решетках позволяют эффективно моделировать физические процессы в нерегулярных структурах. Обнаруженное в работе аномальное поведение некоторых физических параметров в области ГФП указывает на скеилинговыи характер кинетических зависимостей физических и микроструктурных параметров СК. Созданные в работе имитационные компьютерные модели процессов спекания и формования СК позволяют проводить компьютерные эксперименты для определения оптимальных технологий технологических режимов получения СК с заданными физическими и микроструктурными свойствами. В частности, эти модели позволяют изучать "эффект памяти" СК своего дисперснокристаллического состояния. Разработанные модели роста хрупких трещин в СК на основе вероятностных автоматов Мура позволяют проводить компьютерные эксперименты по влиянию различных физических и микроструктурных факторов на разрушения СК.
Практическая значимость работы состоит в следующем.
Научные результаты, полученные в работе, способствуют накоплению суммы знаний по микроструктурным, электрофизическим и
прочностным свойствам СК, что является важным для дальнейшего развития физики реальных твердых тел и создания научных основ технологии получения керамических материалов. В результате диссертационных исследований созданы компьютерные программы, позволяющие реалистически описывать технологические процессы получения СК и прогнозировать прочностные свойства СК, что может использоваться на производстве для разработки новых сегнетокерамических материалов и подбора технологических режимов получения СК. При выполнении работы созданы методики испытаний на механическую прочность и электрическую прочность, которые могут быть использованы для эффективной оценки прочностных свойств СК.
Результаты диссертационных исследований внедрены в учебный процесс на физико-математическом факультете Ростовского государственного педагогического университета и рекомендуются к использованию на предприятиях электротехнической и химической промышленности, связанных с керамическим производством.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на:
Всероссийской конференции по физике сегнетоэлектриков: 13 (г. Тверь, 1992), 14 (г. Иваново, 1995)
Международной научно-практической конференции "Пьезотехника": г. Томск, 1994, г. Ростов-на-Дону, 1995
Всероссийской школе-семинаре по физике сегнетоэластиков: 2 (г.Харьков, 1985), 4 (г. Днепропетровск, 1988), международном семинаре по релаксорным сегнетоэлектрикам (г. Дубна, 1996)
Международном семинаре по физике сегнетоэлектриков-полупроводников: 5, 6, 7 (г. Ростов-на-Дону, 1987, 1993, 1996)
Всесоюзных конференциях по физико-химическим основам технологии сегнетоэлектриков и родственных материалов: 1, 3 (г. Звенигород, 1980, 1988), актуальным проблемам получения и применения сегнето- и пьезоэлектрических материалов (г. Москва, 1987, 1994)
Всесоюзных конференциях по механике разрушения материалов: 1 (г. Львов, 1987), прочности материалов и элементов конструкций при звуковых и ультразвуковых частотах (г. Киев, 1988), материалам в эксплуатационных условиях (г. Суздаль, 1990), физике разрушения (6, г. Киев, 1989)
Международных семинарах по керамическим конденсаторным сегнето-и пьезоматериалам (г. Рига, 1986), физике прочности сегнетоэлектриков и родственных материалов (Ростов-на-Дону, 1991), сегнетоэлектрики и родственные материалы 6 (Минск, 1987)
Международной конференции по математическим моделям и их свойствам: (г. Таганрог, 1997)
Европейской конференции по сегнетоэлектричеству: б (Польша, 1987), 8 (Нидерланды, 1995)
10. Европейской конференции по применению полярных диэлектриков 1
(Швейцария, 1988), электронной керамики и применению 4, 5
(Германия, 1994, Португалия, 1996), применению сегнетоэлектриков 6
(США, 1994), электронным компонентам и материалам для сенсоров и
актуаторов (Китай, 1995)
Данная работа в виде проекта "Геометрические фазовые переходы
при формировании микроструктуры поликристаллических
сегнетоэлектриков" получила поддержку Международного научного фонда (Фонда Сороса) (гранты NRN000 и NRN300). Проект "Формирование микроструктуры поликристаллических сегнетоэлектриков и перколяция на нерегулярных упаковках" получил поддержку
Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 96-02-19581). Данная работа была включена Научным Советом по физике сегнетоэлектриков и диэлектриков в список лучших работ Российской Академии Наук за 1994 и 1995 годы. Развитые в данной работе математические и алгоритмические методы анализа перколяции в нерегулярных структурах были успешно применены для решения некоторых задач структурной лингвистики. Эти работы также получили поддержку Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №96-06-80396 и №97-06-87078).
Личный вклад автора. Все выносимые на защиту положения диссертации разработаны лично автором или при его непосредственном участии. Представленные в диссертации компьютерные модели и результаты компьютерного моделирования получены лично автором. Экспериментальные исследования выполнены лично автором или совместно с сотрудниками РГПУ. Автору принадлежит формулировка задач исследования, выбор путей решения проблем, формулировка основных положений и выводов, разработка экспериментальных методик. В обсуждении большинства вопросов по теме диссертации приняли участие профессор А.А. Греков и профессор СО. Крамаров, которые являются научными консультантами работы. На отдельных этапах работы при решении конкретных задач принимали участие к.ф.м.н. Л. М. Кацнельсон, к.ф.м.н. Л.Г. Розин, к.ф.м.н. Т.Г. Проценко, ст. пр. Н.Я. Егоров, асп. А.В. Жданов.
По теме диссертационной работы опубликовано свыше 50 научных трудов. Список публикаций автора по теме диссертации представлен на стр. 328 - 334.
ГФП и формирование микроструктуры СК
Для определенности изложение концепции ГФП для описания процессов формирования микроструктуры СК начнем с применения этой концепции для случая спекания СК [А25, А26, А32]. Как было показано выше, спекание порошковых материалов есть сложный физический процесс, являющийся совокупностью большого количества разнородных явлений. Именно поэтому создать последовательную теорию спекания в настоящее время не представляется возможным [11]. Попытки теоретического описания процесса спекания ограничиваются в основном созданием моделей, характеризующих отдельные этапы или механизмы процесса спекания. Например, имеется большое количество моделей, рассматривающих процессы, происходящие при взаимном припекании порошинок [10]. К сожалению, эти модели тем более разработаны, чем менее реалистически описывают собственно процесс спекания. Существуют также феноменологические модели спекания, целью которых, в основном, является получение кинетических уравнений процесса спекания (т.е. уравнений, связывающих плотность или усадку образца с температурно-временными характеристиками процесса спекания) [12, 21]. Так как указанные уравнения получают с использованием экспериментальных данных по спеканию конкретных материалов, то область их применения ограничена, а прогностические возможности не велики. Следует отметить, что наличие большого количества феноменологических уравнений и произвольность их применения вызывают сомнения в существовании единого уравнения спекания, пригодного для всех видов керамических материалов и этапов спекания, хотя попытки получения такого уравнения периодически предпринимались рядом авторов [10,12]. Перечисленные сложности явились основанием для создания иных подходов в теории спекания. В данном разделе предлагается новый подход, основанный на представлении процесса спекания как некоторого ФП от фазы неспеченного материала к фазе спеченного материала. Так как говорить об изменении симметрии кристаллического состояния при спекании не имеет смысла, то трактовка процесса спекания как ФП должна быть отлична от традиционной для физики твердого тела. Само по себе это не может вызывать больших возражений. Например, подобные идеи неоднократно высказывались в теории прочности твердых тел, когда процесс разрушения трактовался как своеобразный ФП [86]. Поэтому необходимо четко определить, какие свойства материала определяют характеристики фазового перехода. Так как излагаемый в данной работе подход был развит при рассмотрении процессов спекания сегнетоэлектрической керамики, то необходимо кратко изложить особенности спекания данного класса материалов.
Во введении уже указывалось, что процесс спекания можно условно разбить на три стадии: начальная, промежуточная и конечная (см. также раздел 2.2 и рис.2.2.1). Основным критерием такого деления является поведение пористости [10, 16]. Наш подход опирается не на закономерностях поведения пористости, а на учете изменения состояния частиц спекаемого тела. На рис. 1.2.1 приведены типичные фотографии микроструктуры образцов СК после процессов формования и спекания. Эти фотографии иллюстрируют тот факт, что процесс спекания можно трактовать как изменение состояния отдельных частиц. Действительно, первоначально бесформенные частицы исходного, спрессованного порошка, обладающие дефектной и шероховатой поверхностью (состояние 1) в результате процессов спекания переходят в зерна с четкой огранкой и совершенными границами (состояние 2).
Важнейшей особенностью перехода частицы из состояния 1 в состояние 2 является локальный характер такого перехода. На рис.2.2.4 приведены фотографии микроструктуры образцов СК, полученных при различных температурах спекания. На этих фотографиях ясно видно, что на промежуточных этапах спекания имеются области, в которых частицы перешли из "неспеченного" состояния в "спеченное". Наряду с этим имеются и области, где такой переход еще не наблюдается. Переход частицы из состояния 1 в состояние 2 определяется в общем случае множеством факторов: ее размером, формой, степенью дефектности, условиями подвода тепловой энергии, локальным окружением (т.е. количеством и свойствами соседних частиц, а так же тем, произошел ли в них или нет рассматриваемый переход), локальными механическими напряжениями, градиентами температур и т.д. При макроскопическом рассмотрении это свойство локальности перехода частиц из одного состояния в другое может быть описано как последовательность случайных событий, происходящих с определенной вероятностью, зависящей от температуры.
Современные СК материалы являются многокомпонентными твердыми растворами, поэтому, имеется большая вероятность образования жидкой фазы при их спекании. Наличие жидкой фазы оказывает большое влияние на кинетику процесса спекания и формирование микроструктуры. В работах [All, А20, А21, 68, 124] показано, что в процессе спекания сегнетоэлектрической керамики образуются новые структурные элементы - КЗ, а наличие жидкой фазы, которая вытесняется на границы конгломератов приводит к появлению двух типов границ: между зернами внутри конгломератов и между КЗ. В свою очередь свойства межзеренных границ, их концентрация, дефектность и т.д. оказывают решительное воздействие на формирование физических и механических свойств многих типов сегнетоэлектрических керамик. Таким образом, структуру СК при спекании можно представить как совокупность зерен, изменяющих свое состояние ("спекание" отдельных зерен) и кластеризующихся (образование КЗ) в присутствии жидкой фазы. Такая структура имеет аналогию с процессами полимеризации частиц в гелях [158]. Как указывалось во введении упомянутые процессы хорошо описываются перколяционными моделями ФП [157]. Это наводит на мысль применить данный подход и для процессов спекания. Другая важная особенность спекания СК материалов проявляется при изучении зависимостей свойств этих материалов от температуры спекания при их изготовлении методом СС (см. Приложение 2). При исследовании этих зависимостей (см. раздел 2.2) нами были получены данные, свидетельствующие о скачкообразном и даже аномальном поведении различных физических параметров (плотность, микротвердость и др.). Ранее (см., например, [68]) такое поведение связывается с наличием КЗ. В работе [242] аномалии в поведении физических характеристик в зависимости от температуры спекания обнаружены и для керамики ВТСП, что свидетельствует об общем характере этих процессов. Наличие аномалий на зависимостях физических параметров от температуры спекания снова наводит на аналогию с ФП.
Кинетика уплотнения СК при спекании с постоянной скоростью нагрева
В связи с тем, что на начальном этапе спекания в заготовке имеется большая открытая пористость [12], то нагрев может осуществляться с весьма высокими скоростями повышения температуры. Ограничение в скорости нагрева на начальной стадии может быть связано только с необходимыми условиями прогрева заготовки. Эти условия подробно рассмотрены в Приложении 2 данной работы, где вводятся понятия оптимальной скорости нагрева для спекания методом СО и оптимальной скорости движения образцов через зону нагрева в печи для метода ГО. Если условия оптимального нагрева выполняются, то можно не учитывать термических напряжений и описывать уплотнение на этом этапе, как процесс течения поликристаллического вещества с высокой концентрацией несовершенств. Известно [10, 19], что процесс высокотемпературного течения вещества обусловлен одновременным действием двух эффектов. С повышением температуры ускоряется течение вещества, за счет активизации диффузионных процессов, и одновременно активизируются процессы устранения несовершенств. Основным допущением, принятым при описании указанных явлений [10], является утверждение, что рассматриваемые процессы определяются разными, но постоянными для каждого процесса энергиями активации. В этом случае можно применить теорию Ивенсена [12], перейдя в ней от изотермической модели к модели с постоянной скоростью нагрева.
Для активных порошков с высокой начальной концентрацией несовершентсв N0 можно пренебречь единицей в знаменателе (1.4.1.5). Интеграл в (1.4.1.5) не берется в элементарных функциях, но при выполнении условий Т » Т0 и Еа 1 эВ для N можно записать следующее приближенное выражение.
В уравнении (1.4.1.6) обращает внимание то, что N а, т.е. чем больше скорость подъема температуры, тем выше концентрация несовершенств, а следовательно тем интенсивней процесс спекания (этим обстоятельством мы будем неоднократно пользоваться при построении компьютерных перколяционных моделей спекания СЭ).
Уравнение (1.4.1.9) решает задачу об описании кинетики уплотнения при спекании с постоянной скоростью нагрева. Следует особо упомянуть, что уравнение (1.4.1.9) справедливо только тогда, когда выполняется уравнение (1.4.1.4), т. е. Справедлив подход Ивенсена [12]. Теория Ивенсена требует специальной проверки для СК, что и будет сделано в разделе 2.3.1. Там же будет описана опытная проверка уравнения (1.4.1.9) путем измерения коэффициента усадки образцов СКв зависимости от температуры при постоянной скорости нагрева
Согласно современным представлениям о РТ при хрупком разрушении твердых тел различают два основных этапа: медленный (докритический) РТ и быстрый (закритический) РТ. В соответствии в этим были развиты и теоретические модели. Медленный РТ часто описывают моделью термофлуктуационного разрыва межатомных связей [53, 227, 233], а быстрый РТ, который происходит со скоростью, по порядку величины, совпадающей со скоростью звука в твердом теле [7, 54], обычно описывается как потеря устойчивости твердого тела в поле механических напряжений [7]. Вследствие колоссальной разницы в скоростях РТ для этих двух механизмов, данные по кинетике РТ, полученные на разных стадиях хрупкого разрушения, практически не сопоставляются, поэтому, целью данного раздела явилось исследование РТ в хрупких телах в широком диапазоне скоростей РТ (10"9 - 103 м/с), включающий в себя как быстрый, так и медленный РТ.
Рассмотрим предложенную нами ранее [А9, А15, А17] модель РТ при хрупком разрушении, которая включает в себя последовательность следующих событий: образование в вершине трещины зародышей предразрушающего состояния и последующий разрыв межатомных связей внутри зародыша в плоскости трещины.
Согласно нашей модели предразрушающее состояние отличается от основного состояния твердого тела тем, что межатомные связи в нем неупруго деформированы. Как уже отмечалось, предразрушающее состояние можно описать в рамках концепции сильно возбужденных состояний в кристаллах, предложенной В.Е. Паниным [20, 137].
Если в кристалле во внешнем поле возникают сильно возбужденные состояния, то поведение кристалла становится нелинейным, появляются эффекты массопереноса, скорости которых на много порядков превышают скорости процессов диффузии атомов, а также появляются новые метастабильные состояния и фазы. В условиях сильного возбуждения за исходное состояние нужно брать состояние, характеризуемое максимумом неравновесного термодинамического потенциала, с функцией распределения, качественно отличной от таковой для идеального кристалла. Помимо структурных состояний исходного кристалла в условиях сильного возбуждения в пространстве междуузлий появляются новые разрешенные структурные состояния, которые могут быть либо вакантными, либо занятыми возбужденными атомами. В кристалле возникают новые степени свободы. В ходе движения сильно возбужденного кристалла к равновесию в нем могут возникать промежуточные структуры, связанные с возможной локализацией сильно возбужденных атомов в новых структурных состояниях. При таком подходе любое нарушение структуры не есть дефект, а является новым разрешенным структурным состоянием, которое заложено в электронно-энергетическом спектре кристалла. Небольшая плотность таких локальных возбужденных структур - дефект кристаллической решетки, большая плотность - аморфное состояние. Важным является то обстоятельство, что для описания поведения сильно возбужденного кристалла можно использовать одночастичный (перестраиваемый) потенциал. Это дает возможность провести последовательное математическое описание сильно возбужденных состояний.
Отсюда следует, что пластическое течение есть своеобразный структурный переход между разрешенными состояниями в сильно возбужденном кристалле. Если же кристалл имеет только одну разрешенную стабильную структуру, то он является хрупким. Основным свойством упомянутого структурного перехода является его локальный характер.
Таким образом, зародыш предразрушающего состояния можно описать как локальный структурный переход между разрешенными состояниями в сильно возбужденной области нагруженного кристалла. При этом предразрушающее состояние отличается от основного состояния тем, что межатомные связи в нем неупруго деформированы.
ГФП и эволюция микроструктуры в процессе формования
В технологии изготовления любого изделия из СК материала всегда присутствует этап, на котором изделию придают нужную форму. В ОКТ таким обязательным элементом является прессование синтезированных кристаллических порошков [13, 245, 246]. Согласно развиваемой в настоящей работе концепции, в процессе формования кристаллическое СК вещество переходит из порошкообразного состояния (фазы) в дисперснокристаллическое состояние (фазу) [А47]. Как уже отмечалось, вещество при таком переходе не изменяет ни своего химического состава, ни кристаллической структуры. Изменяется, в первую очередь, геометрия исходных частиц и контактов между ними. Это приводит к появлению макроскопической связности между кластерами, состоящими из частиц с измененной геометрией. Необходимо еще раз отметить, что рассматриваемый подход является универсальным и применим также и к процессам спекания. Таким образом, в рамках нашего подхода, и формование и спекание описываются с единых геометрических позиций, что дает возможность говорить о неком универсальном описании уплотнения и порошков и спекаемого тела, как процессе консолидации частиц. Разумеется, идея об универсальности консолидации высказывалась и раньше. В работе [15] были сформулированы общие принципы консолидации, на основании которых предпринята попытка создать общие научные и технологические основы порошковой металлургии. Однако, в ряде работ [10,11] попытка трактовать консолидацию как единое явление серьезно критикуется. Считается, что под термином "консолидация порошковых тел" искусственно объединены два различных по физике и физико-химии процесса - прессование и спекание. В работе [11] указывается, что если каждый из этих процессов и поддается в какой-то степени математическому описанию, то к понятию "консолидация" это не применимо. Действительно, если рассматривать консолидацию на локальном уровне, то физико-химические процессы, протекающие при прессовании и спекании, настолько различны, что описывать консолидацию с единых позиций не имеет смысла. Именно в локальном смысле трактуется термин "консолидация" в классической работе [15]. Приведем краткие формулировки трех общих принципов консолидации из работы [15]:
Принцип идентичности - свойства компактного элемента пористого тела тождественны свойствам беспористого тела. Принцип автономности - неавтономная (внутричастичная) деформация повышает, а автономная (межчастичная) деформация снижает сопротивление консолидации. Принцип передачи: консолидирующие напряжения передаются только через фиксированные контактные межчастичные сечения. Легко видеть, что все приведенные принципы консолидации, на которых строится эта концепция, характеризуют локальные свойства консолидируемого тела. Естественно, что локальные свойства радикально зависят от конкретных физико-химических механизмов, их формирующих. При таком подходе теряет смысл говорить о общности процессов консолидации при спекании и формовании и критика концепции консолидации (в локальном смысле) имеет серьезные основания.
В настоящей работе под консолидацией подразумевается некоторое макроскопическое явление - образование макроскопической связности по некоторому свойству консолидируемого тела. Только в этом случае можно (на определенном этапе рассмотрения) отвлечься от физико-химических процессов, приводящих к консолидации и рассматривать только геометрические (топологические) свойства консолидируемого тела. Такой подход позволяет трактовать образование макроскопической связности как некоторое критическое событие - ГФП и применять для его описания развитую математическую теорию протекания [АЗЗ].
Важнейшим следствием данного подхода является возможность полностью отвлечься от конкретных физико-химических механизмов, происходящих при формировании микроструктуры СК на всех технологических этапах ее получения. Каждый элемент микроструктуры, в этом случае, можно описать как элемент некоторой сложной системы, находящийся в определенном состоянии, связанный определенной системой связей с другими окружающими его элементами и обладающий возможностью переходить (в соответствии с определенными законами) в другое состояние. Таким образом, мы приходим к возможности описывать процессы формирования микроструктуры СК на формальном уровне, используя методы математической теории сложных систем [8].
В данном разделе будут приведены экспериментальные доказательства существования ГФП в процессе формирования микроструктуры дисперснокристаллического состояния при формовании. Результаты настоящего раздела получены совместно с канд. физ.-мат. наук Л.М. Кацнельсоном По результатам исследований характеристик микроструктуры, плотности и удельной электропроводности (см. Приложение 1) дисперснокристаллических тел, формируемых при прессовании, нами было установлено, что весь указанный процесс можно разделить на пять этапов, отличающихся друг от друга устойчивостью ансамбля микроструктурных элементов, возможностью их конфигурационной перестройки или разрушения при достижении соответствующих критических значений внешних усилий. Очевидно, что окончательное формирование дисперснокристаллического тела происходит при снятии внешнего давления, когда под действием ОМН формируются дефекты микроструктуры (микротрещины, расслоения и т.п.). Поэтому все исследования проводились нами после формования на извлеченных из прессформы образцах. Чтобы избежать дополнительных ошибок, связанных с возможной релаксацией ОМН в образцах, нами делалась временная выдержка (не менее 3 часов) после снятия давления.
На рис. 2.1.1 приведены типичные для порошков СК зависимости плотности и удельной электропроводности от давления прессования. Аналогичные зависимости имеют место и для других типов СК материалов [126]. Прежде всего обращает внимание существенная немонотонность в поведении указанных зависимостей. Особенно это проявляется для зависимости удельной электропроводности от давления. Немонотонность в поведении электрофизических параметров наблюдалась и неоднократно обруждалась ранее [16]. Однако, в этих работах основное внимание уделялось поведению электрофизических параметров при давлениях прессования, близких к давлениям, при которых образуются перепрессовочные трещины, что соответствует участку 4 на рис. 2.1.1 Фактически, поведение свойств прессуемого материала при малых давлениях прессования в расчет не принимается.
Компьютерное моделирование формования СК
Важнейшей характеристикой при производстве СК является разброс основных параметров изделий внутри одной технологической партии. В предыдущих главах было показано, что упомянутый разброс параметров в большей степени определяется условиями и режимами формования порошков СК. В данной работе предлагается провести компьютерное моделирование процессов формования СК на основе системного анализа, развитого в предыдущем разделе и перколяционной модели формирования микроструктуры СК позволяющие прогнозировать результаты формования реальных порошков СК.
В случае прессования основным элементом прессуемого образца является частица порошка. Частицы образуют гранулу, которая, таким образом, является структурной подсистемой. Следовательно, иерархическую структуру образца при формовании можно представить как нарис. 3.1.1.
Каждая гранула может находиться в одном из следующих состояний: гранула не имеет сформированных с другими гранулами границ, гранула, имеющая сформированные границы с другими гранулами и разрушенная гранула. Частицы порошка, так же могут находиться в одном из следующих состояний: частицы внутри гранулы, частицы не имеющие сформированных границ с другими частицами и частицы, имеющие сформированные границы с другими частицами Согласно экспериментальным данным приведенным в предыдущих главах весь процесс формования можно разбить на следующие этапы: 1) Механическое скольжение гранул и их упругая деформация. 2) Формирование межгранульных границ за счет их неупругой деформации. 240 3) Разрушение гранул. 4) Образование границ между частицами, из которых состояли гранулы . 5) Формирование неоднородного распределения упругой энергии, в результате чего образуются перепрессовочные трещины.
Следует отметить следующее обстоятельство. Гранулы имеют примерно одинаковую сферическую форму и равный для всех радиус. Хотя форма и размеры частиц разные для разных частиц, в первом приближении можно считать, что и частицы являются сферами одинакового радиуса. Т.к. гранулы и частицы распределены неоднородно, то процесс изменения их состояния носит вероятностный характер.
Приведенная систематизация позволяет смоделировать процессы формования порошков пьезокерамики, используя квадратную перколяционную решетку. Ниже приведены элементы перколяционной решетки и соответствующие им состояния структурных элементов прессуемого образца. Начальное состояние гранул и частиц задается на перколяционной решетке белым цветом.
Для правильного задания условий, определяющих перколяционную решетку необходимо не только определить структурные элементы и их состояния, но и задать вероятности перехода элементов из одного состояния в другое. Фактически, задание этих вероятностей есть наполнение физическим содержанием перколяционной модели. Для определения вероятностей в данной работе принят феноменологический подход, согласно которому вероятности задаются исходя из качественных результатов эксперимента.
Элементы перколяционной решетки и соответствующие им состояния структурных элементов прессуемого образца. - полностью сформирована одна граница с соседней гранулой I - полностью сформированы две границы с соседними гранулами —.— - полностью сформированы три границы с соседними гранулами - полностью сформированы все границы с соседними гранулами - гранула разрушена - полностью сформированы границы частиц - образование перепрессовочных трещин.
Для более детального анализа в работе рассматривается два уровня моделирования: физический уровень и технологический уровень. На технологическом уровне моделируется влияние следующих характеристик: 1) Диаметр гранулы 2) Диаметр частицы 3) Количество связки 4) Размер образца 5) Скорость нагружения На физическом уровне моделируется влияние на процесс формования следующих физических характеристик: 1) Энергия активации процессов формирования границ между гранулами: U = k-d# где d - диаметр гранулы, к - коэффициент пропорциональности. 2) Энергия активации разрушения гранул: U = —— , где р d\ -di количество связки, di - диаметр гранулы, d2 - диаметр частицы, к - коэффициент. 3) Энергия активации "окончательного" уплотнения частиц: U = k — , где d - диаметр частиц, р - количество связки, к -Р коэффициент. 4) Энергия активации образования перепрессовочных трещин. 5) Скорость уплотнения за счет скольжения гранул: U = к — , где d V диаметр гранулы, v - скорость нагружения, к - коэффициент. 6)Предельная плотность за счет скольжения гранул: p = a + b-d, где а и b - параметры, d - диаметр гранулы.
Вероятность перехода структурного элемента или подсистемы из одного состояния в другое будет зависеть от соответствующей энергии активации U и определяться из формулы Больцмановского типа (см. уравнение (3.1.7): где v - скорость нагружения, t - время. В компьютерной программе время соответствует числу итерационных шагов.
Важнейшим свойством перколяционной решетки является возможность возникновения соединяющего кластера (протекание). Протекание можно рассматривать как ГФП, который, как неоднократно отмечалось, может привести к скачкообразному изменению структурных свойств перколяционной решетки. Для реальных образцов такие ГФП переходы могут приводить к аномалиям физических характеристик. В нашей модели отслеживалось появление двух типов соединяющих кластеров. В первом случае определялось протекание по гранулам с полностью сформированными границами. В реальном образце этому соответствует появление жесткого каркаса из таких гранул. Появление жесткого каркаса способствует накоплению упругой энергии и дает возможность начаться процессу разрушения гранул. Во втором случае определялось протекание по частицам с полностью сформированными границами. После этого протекания возникает возможность образования перепрессовочных трещин. На Рис. 3.2.2 представлены иллюстрации процесса моделирования формирования микроструктуры СК с использованием перколяционных решеток.