Электромеханический гистерезис, обратный пьезоэффект и реверсивная нелинейность сегнетокерамик различной степени сегнетожесткости Есис Андрей Александрович

Содержание к диссертации

ВВЕДЕНИЕ 6

ГЛАВА 1. Электромеханический гистерезис, обратный пьезоэффект и
электрострикция сегнетокерамик. Системы ЦТС, PMN-PT,
многокомпонентные (обзор литературы) 18

1.1. Электромеханический гистерезис, обратный пьезоэффект и
электрострикция гетерогенных систем 18

1.1.1. Модель Прейзаха для описания диэлектрического гистерезиса в
сегнетоэлектрических керамиках 18

1. Электромеханический гистерезис в сегнетоэлектрических керамиках. 22

2. Электрострикция гетерогенных систем 32

1.2. Системы ЦТС, PMN-PT, многокомпонентные. 36

1. Система (l-x)PbZr0₃-xPbTi0₃ (ЦТС, PZT) 36

2. Система (l-x)PbNb_2/3Mgm(h-xPbTi0₃ (PMN-PT) 38

J.2.3. Высокоэффективные сегнетопьезокерамические материалы типа

ПКР. 40

4. Пористая пьезокерамика. 50

5. Четырехкомпонентная система 0.98(xPbTiO₃-yPbZrOr-zPbNb_2/3Mg,_/30₃) - 0.02PbGeO₃ 51

ГЛАВА 2. Объекты исследования. Методы получения и исследования

образцов 53

2.1. Объекты исследования 53

2.1.1 Пьезокерамика ростовская 53

2. Пористая пьезокерамика и композиты на ее основе 53

3. Бинарная система (l-x)PbZr()₃-xPbTi0₃ (ЦТС, PZT) 53

4. Бинарная система (l-x)PbNb_2/3Mg,/₃0₃-xPbTi0₃ (PMN-PT) 53

5. Твердые растворы четырехкомпонентной системы

0.98(хРЬТЮ₃ -yPbZrOr- zPbNb₂₃Mg_m0₃) - 0.02PbGeO₃ 54

2.1.6. Обоснование необходимости и возможности исследования систем
твердых растворов с малым концентрационным шагом

Ах < 1 мол.% (0,25 + 0,50мол.%), и надежности полученных при

этом результатов 55

2.2. Методы получения образцов 60

2.2.1. Изготовление керамик, оптимизация условий синтеза и спекания. ... 60

2.2.1.1. Получение материалов типаПКР. 60

1. Синтез 60

2. Спекание керамики 61

3. Обычная технология 61

4. Горячее прессование 62

2. Получение пористой керамики и композитов на ее основе. .. 65

3. Получение образцов бинарной системы (1-х)РЬ2гОз-хРЬТЮ₃ (ЦТС,Р2Т) 71

4. Получение образцов бинарной системы (l-x)PbNb2/iMgm0₃-хРЬТЮз (PMN-PT) 71

2.2.1.5. Получение образцов растворы четырехкомпонентной
системы 0.98(xPbTiOr-yPbZr03-zPbNb₂eMg_mOi)- 0.02PbGeO₃. 73

5. Механическая обработка. 73

6. Металлизация 73

7. Поляризация 74

2.3. Методы исследования образцов. 74

2.3.1. Рентгенография 74

2.3.1.1. Исследование структурных изменений, происходящих в пьезоэлектрических керамических материалах различной степени сегнетожесткости под влиянием электрического

поля 75

8. Определение плотностей (измеренной, рентгеновской, относительной) 76

9. Микроструктурный анализ 76

10. Измерения диэлектрических, пьезоэлектрических и упругих характеристик при комнатной температуре 82

11. Различные методы измерения пьезохарактеристик. 84

12. Измерение обратных пьезомодулей 85

7. Осциллографическийметод исследованиясегнетоэлектриков. 86

8. Исследование реверсивных характеристик. 93

ГЛАВА 3. Электромеханический гистерезис, обратный пьезоэффект в
материалах различной степени сегнетожесткости 96

3.1. Упругие деформации и обратные пьезомодули пьезокерамических

материалов различной степени сегнетожесткости (область слабых
полей) 96

3.2. Электромеханический гистерезис, обратный пьезоэффект и реверсивные

характеристики пьезоэлектрических материалов различной степени
сегнетожесткости (область сильных полей) 100

3.3. Структурные изменения, происходящие в пьезоэлектрических

керамических материалах различной степени сегнетожесткости под
влиянием электрического поля. 115

3.4. Обратный пьезоэлектрический эффект в пористой керамике и

композитах. 136

ГЛАВА 4. Электромеханический гистерезис, обратный пьезоэффект и
электрострикция в бинарных и многокомпонентных системах на основе
ЦТС 143

4.1. Особенности обратного пьезоэффекта и электромеханического

гистерезиса вблизи фазовых границ в бинарной системе ЦТС. 143

4.2. Корреляции пьезоэлектрических характеристик твердых растворов с

положением границ фаз, фазовых состояний и морфотропных
областей в системе (l-x)PbNb2/₃Mgi/₃0₃-xPbTi0₃ 147

4.3. Гистерезисные явления в четырёхкомпонентнои системе твердых

растворов 0,98(xPbTiOs -yPbZr0₃ - zPbNb₂/₃Mg_1/30₃) - OfilPbGeO* 151

4.4. Отрицательная продольная электрострикция в поликристаллических

сегнетоэлектриках. 160

ГЛАВА 5. Реверсивная нелинейность и поляризационные свойства объектов. 164

5.1. Реверсивная диэлектрическая проницаемость в сегнетоэлектрической

фазе системы ЦТС (область морфотропного фазового перехода) 164

5.2. Реверсивная нелинейность твердых растворов бинарной системы

(l-x)PbNb_2/3Mg_1/30₃-xPbTi0₃ (0<х<1,0) 169

5.3. Поляризационные характеристики исследуемых объектов. 176

1. Поляризационные свойства ТР системы ЦТС. 176

2. Поляризационные свойства ТР системы PMN-PT. 179

5.3.3. Поляризационные свойства ТР четырехкомпонентной системы

0,98(xPbTiO3-yPbZrO3-zPbNb2/iMg_mOi) - 0,02PbGeO₃ 184

3. Фазовые переходы и поляризационные характеристики твердых растворов Iразреза четырехкомпонентной системы. 184

4. Корреляция поляризационных характеристик твердых растворов III разреза четырехкомпонентной системы с положением границ фаз, фазовых состояний и морфотропных областей системы 188

5.3.3.3. Поляризационные характеристики твердых растворов

Vразреза четырехкомпонентной системы 192

Основные результаты и выводы по теме диссертации 196

Список публикаций автора по теме диссертации 199

Список литературы 207

Введение к работе

Актуальность темы:

Керамические сегнетоэлектрики привлекают большое внимание
исследователей и разработчиков аппаратуры благодаря возможности
эффективно управлять их свойствами с помощью различных внешних
воздействий. Такая возможность реализуется благодаря существованию
сегнетоэлектрических фазовых переходов, приводящих к неустойчивости
кристаллической решетки и возникновению доменной структуры.
Переключения доменов под действием внешних электрических и/или
механических полей, температуры и других факторов позволяют в широких
пределах изменять диэлектрические, пьезоэлектрические и упругие свойства
сегнетоэлектриков. Доменные переключения сопровождаются

диэлектрическим, пьезоэлектрическим (электромеханическим) и упругим гистерезисом.

Ставшие уже классическими эмпирические исследования диэлектрического гистерезиса в разных объектах [1] были продолжены работами [2-4], в которых для описания процессов переполяризации и статического распределения доменов был использован формализм Прейзаха, ранее предложенный для исследования процессов намагничивания и перемагничивания ферромагнетиков. Это стало возможным благодаря далеко идущей феноменологической аналогии между сегнетоэлектриками и ферромагнетиками.

Позже модель Прейзаха была использована [5] для изучения пьезоэлектрических свойств и электромеханического гистерезиса - явления запаздывания циклического изменения поляризации (или электрической индукции) по отношению к вызвавшему ее циклическому изменению механического напряжения - при прямом пьезоэлектрическом эффекте.

Однако подобное изучение обратного пьезоэффекта, тем более в материалах различной степени сегнетожесткости, используемых в разных пьезотехнических областях, не проводилось. Между тем информация о

поведении обратного пьезомодуля й?зз ^р-^з/з> являющегося мерой деформации з образца в направлении приложенного вдоль полярной оси электрического поля Ез, в таких материалах крайне необходима не только с научной, но и с практической точки зрения, в связи с возможностью использования материалов с большими значениями ₃ и б?зз^бр' ^в устройствах позиционирования, где требуются большие величины индуцируемых электрическим полем смещений. Кроме того, для многих практических применений необходимы сведения о поведении сегнетоэлектриков в сильных электрических полях. В связи с этим исследования электромеханического гистерезиса, обратного пьезоэффекта и реверсивной нелинейности в сегнетокерамиках различного состава, до настоящего времени остающиеся весьма не полными и противоречивыми представляются актуальными. Все вышесказанное определяет

цель работы: установить закономерности проявления эффектов электромеханического гистерезиса, обратного пьезоэффекта и реверсивной нелинейности в материалах различной степени сегнетожесткости. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

S приготовить в виде керамик необходимые объекты исследования; S установить закономерности изменения их деформации, обратного пьезомодуля, реверсивной диэлектрической проницаемости, поляризационных параметров в широком интервале концентраций компонентов и напряженностей электрического поля; S выявить специфику поведения указанных характеристик в группах сегнетомягких, средней сегнетожесткости, сегнетожестких керамик; в пористых и композиционных средах; в я-компонентных (п = 2 - 4) системах твердых растворов (ТР) (классических сегнетоэлектрических и релаксорных) с направленным изменением концентрации компонентов;

S установить связь наблюдаемых эффектов с кристаллической

структурой объектов и фазовой картиной в изученных системах

твердых растворов. Объекты исследования: о материалы типа ПКР (пьезокерамика ростовская) трех групп

различной сегнетожесткости:

-сегнетожесткие (СЖ: ПКР-8, ГЖР-77М, ПКР-78, ПКР-23);

-средней сегнетожесткости (ССЖ: ПКР-87, ПКР-86, ПКР-6);

-сегнетомягкие (СМ: ПКР-73, ГЖР-7М, ПКР-7, ПКР-66); о пористая пьезокерамика и композиты на ее основе:

-сегнетомягкие материалы - ЦТСНВ-1, PZ-29, ЦТССт-2;

-сегнетожесткие материалы - ПКР-78, АРС-841;

-высокочувствительные материалы - ПКР-1; о бинарные системы ТР:

-(l-x)PbZr0₃-xPbTi0₃ (ЦТС, PZT), в интервалах 0.37 < х < 0.42 и

0.52 <х < 0.57 исследовательский концентрационный шаг Дх = 0.01;

в интервале 0.42 < х < 0.52 исследовательский концентрационный

шаг Ах = 0.005 (при необходимости Ах = 0.0025);

-(l-x)PbMgi_/3Nb₂/303-xPbTi03 (PMN-PT), в интервале концентраций

0.0025); в интервале концентраций 0.45 <х< 0.95 - Ах = 0.05; о четырехкомпонентная система 0.98(хРЬіїО₃ - ^PbZr03-

zPbNb₂/3Mg_1/303) - 0.02PbGeO₃:

-1 разрез системы: 0.37 < x < 0.57, у = 1-x-z, z = 0.05, в интервалах

концентраций 0.37 < jc < 0.425, 0.515 < х < 0.57 - Ac = 0.01, в

интервале концентраций 0.425 < jc < 0.515 - Ах = 0.005;

III разрез системы: 0.11 <х<0.50,.у = 0.05, z=l-x-0.05, Ас = 0.01;

V разрез системы: 0.23 <х < 0.52,^ = z = (1-х)/2, Ах = 0.01.

Научная новизна.

В ходе выполнения диссертационной работы впервые:

в классических сегнетоэлектриках и сегнетоэлектриках-релаксорах определены границы применимости закона Рэлея для описания зависимостей обратного пьезомодуля от напряженности электрического поля;

показано, что в образование максимумов на зависимостях с/₃з^бр'() вносят вклад процессы фазообразования и доменных переориентации;

установлены немонотонные зависимости от напряженности электрического поля дифференциального пьезоэлектрического коэффициента <ізз и дифференциального коэффициента электрострикции М₃₃; дано объяснение наблюдаемым эффектам;

установлен факт возникновения гигантской электрострикции в сегнетомягких и релаксорных керамиках;

выявлено несколько областей реверсивной нелинейности, отличающихся поведением относительной диэлектрической проницаемости от напряженности электрического поля;

показано, что поведение деформационных, поляризационных и реверсивных характеристик коррелирует не только с глобальной структурой фазовых диаграмм твердых растворов, но и в пределах фазы (с заданным дальним порядком) с элементами структуры в микро- и мезоскопических масштабах.

Практическая значимость работы.

Установленные в работе закономерности могут быть использованы для разработки функциональных сегнетоактивных материалов, эксплуатируемых в силовых режимах (пьезотрансформаторы, пьезодвигатели и пр.), а также в низкочастотной приемной аппаратуре. Установленные в различных объектах зависимости деформации от напряженности электрического поля,

характеризующие ее отставание от приложенного напряжения, позволяют определять условия работы исполнительных механизмов нанотехнологических устройств авторегулирования при отработке заданного перемещения в ненагруженных системах.

Основные научные положения, выносимые на тщиту:

1. В области слабых электрических полей (0 < Е < 6 кВ/см для классических сегнетоэлектриков (СЭ) типа ЦТС, 0 < Е < 3 кВ/см - для СЭ-релаксоров типа PMN-PT) зависимости обратного пьезомодуля d^ от напряженности электрического поля линейны и хорошо описываются законом Рэлея. В области сильных полей закон Рэлея не выполняется и целесообразно использование модели Прейзаха.

2. В твердых растворах из окрестности морфотропного фазового перехода под действием электрического поля развиваются два процесса: фазообразование и перестройка доменной структуры. При этом в группах

сегнетомягких (СМ) и средней сегнетожесткости (ССЖ) материалов оба процесса формируются в интервале одних и тех же значений Е, совпадающих с напряженностями электрического поля, при которых достигаются максимумы обратного пьезомодуля и реверсивной диэлектрической проницаемости;

в сегнетожестких (СЖ) материалах активное движение доменных границ начинается только в достаточно сильных полях Е = 11-15 кВ/см, совпадающих по величинам с теми, при которых наблюдались максимумы d^ и (є/єо)_рСверс.. В средних же полях Е - 6-8 кВ/см развивается процесс кластеризации структуры, зарождения и развития новых фазовых состояний.

3. Немонотонная зависимость от напряженности электрического поля
дифференциального пьезомодуля я?зз и дифференциального
коэффициента электрострикции М^, измеряемых на девственной

кривой деформации, вызваны нелинейностью поляризации. Большая величина диэлектрической восприимчивости обусловливает гигантскую электрострикцию А/зз « 10"⁴ м²/В², положительную в слабых и отрицательную в сильных электрических полях.

4. В каждой из систем - PMN-PT и ЦТС выявлены 3 области
реверсивной нелинейности с характерными зависимостями єзз ІЄо(Е)'-

вблизи РЬТіОз последние приобретают практически линейный безгистерезисный вид, что связано с затрудненностью доменных переориентации в твердых растворах (ТР);

в объектах, богатых PbMgi^M^Cb, в которых отсутствует классическая доменная структура, вид указанных зависимостей (колоколообразный, безгистерезисный) определяется движением границ, разделяющих области полярных нанодоменов и неполярную матрицу;

в остальных случаях (зависимости sx^Tteo{E) в виде петель-"бабочек", симметричных и асимметричных) диэлектрическая нелинейность является следствием компромисса между следующими, зачастую одновременно протекающими процессами: доменно - ориентационными и доменного "зажатия освобождения"; фазовых превращений и движений межфазных

' границ; индуцирования полярных состояний в микрообластях; дефектообразования.

5. Макроскопические свойства (деформационные, поляризационные и
пр.) коррелируют не только с элементами глобальной фазовой
структуры объектов, но и с состояниями внутри изосимметрийных
полей, связанными с реальной (дефектной) структурой твердых
растворов.

Надежность и достоверность полученных в работе результатов.

Надежность и достоверность полученных в работе результатов основана на фактах одновременного использования комплекса взаимодополняющих экспериментальных методов и теоретических расчетов, согласия теоретических и экспериментальных результатов, применения апробированных методов экспериментальных исследований и метрологически аттестованной измерительной аппаратуры, в том числе выпуска 2004-2005 гг., проведения исследований на большом числе образцов каждого состава.

Кроме этого, беспримесность изготовленных керамик всех групп ТР, близость параметров их кристаллической структуры к известным библиографическим данным, высокие относительные плотности образцов, однородность их поверхностей и сколов, равномернозернистость, экстремальность электрофизических характеристик при выбранных режимах изготовления керамик, воспроизводимость структурных, диэлектрических, пьезоэлектрических и упругих параметров от образца к образцу внутри одного состава ТР, соответствие физических свойств ТР логике их изменения в каждой конкретной системе позволяют считать полученные результаты достоверными и надежными, а сформулированные положения и выводы - обоснованными.

Апробация результатов работы.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и симпозиумах: 1. Международных:

- научно-технических школах-конференциях "Молодые ученые -
науке, технологиям и профессиональному образованию"(под эгидой
ЮНЕСКО). Москва. МИРЭА. 2003, 2005,2006 г.;

- XIII научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых
(«Ломоносов»). Москва. МГУ. 2006 г.;

научно-практических конференциях «Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения» («INTERMATIC») (под эгидой ЮНЕСКО), Москва. МИРЭА. 2003,2004,2006 г.;

4*, 5^th International Seminar on Ferroelastics Physics. Voronezh. Russia.2003,2006 г.;

meetings "Phase transitions in solid solutions and alloys" ("ОМА"). Rostov-on-Don-Big Sochi. Russia. 2004, 2005,2006 г.;

- meetings "Order, disorder and properties of oxides" ("ODPO"). Rostov-on-
Don-Big Sochi. Russia. 2005, 2006, 2007 г.;

конференции «Современные проблемы физики и высокие технологии». Томск. 2003 г.;

научно-технических конференциях «Межфазная релаксация в полиматериалах». Москва. МИРЭА. 2003, 2005 г.;

научно-практической конференции «Фундаментальные проблемы функционального материаловедения, пьезоэлектрического приборостроения и нанотехнологий» («Пьезотехника-2005»). Ростов-на-Дону - Азов. 2005 г.;

- научной конференции «Тонкие пленки и наноструктуры».
(«ПЛЕНКИ-2005» (Межфазные процессы в гетерогенных материалах)).
Москва. 2005 г.

- конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления
в конденсированных средах». Махачкала, респ. Дагестан. 2007 г.

2. Всероссийских:

научно-практических конференциях «Керамические материалы: производство и применение». Москва. 2003 г. Великий Устюг. 2007 г.;

XVII конференции по физике сегнетоэлектриков («BKC-XVII»). Пенза. 2005 г.

3. Межрегиональных:

- II, Ш-й научно- практических конференциях студентов, аспирантов и
молодых ученых "Молодежь XXI века - будущее российской науки". Ростов-
на-Дону. Ростовский государственный университет. 2004, 2006 г.;

-1, II, Ш-й ежегодных научных конференциях студентов и аспирантов базовых кафедр Южного Научного Центра Российской Академии Наук. Ростов-на-Дону. 2005,2006, 2007 г.

4. Студенческих

- 56, 57-й научных конференциях физического факультета Южного федерального университета. Ростов-на-Дону. 2004, 2005 г.

Публикации

Основные результаты диссертации отражены в печатных работах, представленных в журналах и сборниках трудов конференций, совещаний и симпозиумов. Всего по теме диссертации опубликовано 45 работ, в том числе 8 статей в центральной и зарубежной печати.

Личный вклад автора в разработку проблемы

Данная диссертационная работа выполнена в отделе активных материалов НИИ физики ЮФУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Резниченко Л.А.

Автором лично определены задачи, решаемые в работе; собраны и обобщены в виде аналитического обзора библиографические сведения по теме диссертации; выбраны на основе литературных данных перспективные для последующего исследования объекты; проведены измерения обратных пьезомодулей а?зз, реверсивной диэлектрической проницаемости объектов, осциллографическим методом изучены петли диэлектрического гистерезиса исследованных образцов. Компьютерное оформление всего графического материала также осуществлено автором диссертации.

Совместно с научными руководителями автором осуществлен выбор направления исследований, сформулирована цель работы и проведено обсуждение и обобщение полученных данных.

Теоретическая часть работы и интерпретация некоторых полученных экспериментальных данных проведены под руководством доктора физико-

математических наук, профессора, заведующего кафедрой физики полупроводников ЮФУ Турика А.В.

Сотрудниками НИИ физики ЮФУ, в коллективе которых автор занимается научными исследованиями с 2002 года по настоящее время, осуществлены следующие работы: получен основной массив керамических образцов (к.х.н. Разумовская О.Н., технологи Тельнова Л.С., Сорокун Т.Н.), проведены рентгеноструктурные исследования и объяснены некоторые полученные результаты (с.н.с. Шилкина Л.А., в.н.с. Захарченко И.Н.), осуществлен микроструктурный анализ образцов (с.н.с. Алешин В.А.), даны консультации по вопросам измерения пьезоэлектрических и поляризационных характеристик (с.н.с. Дудкина СИ., доц. Комаров В.Д., в.н.с. Рыбянец А.Н.). Помощь в выполнении работы оказали студенты и аспиранты ЮФУ - Фоменко Д.С., Ярославцева Е.А., Кравченко О.Ю., Вербенко И.А., Павелко А.А., Юрасов Ю.И.

Объем и структура работы

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, изложенных на 208 страницах. В диссертации 100 рисунков, 13 таблиц, список цитируемой? литературы из 227 наименований.

Основное содержание работы

(краткая характеристика глав диссертации)

Во Введении обосновываются актуальность выбранной темы работы, сформулированы ее цель и задачи, определены объекты исследования, показаны научная новизна и практическая значимость проведенных исследований, представлены основные научные положения, выносимые на защиту, описаны апробация результатов работы и личный вклад автора, раскрыта структура работы, дана краткая характеристика каждой главы.

В первой главе дан литературный обзор библиографических сведений о явлениях электромеханического гистерезиса обратного пьезоэффекта, электрострикции. Приведены известные литературные данные об объектах исследования (материалах типа ПКР, системах твёрдых растворов ЦТС, PMN-PT, многокомпонентных средах, пористых керамиках, композитах). Сделан вывод о неполноте выполненных разными авторами исследований и несоответствии между их результатами, полном отсутствии данных для систем твёрдых растворов с широкой концентрационной вариацией компонентов, пористых керамик, композитов. Это делает поставленные в настоящей работе цель и задачи актуальными как с научной, так и с практической точки зрения.

Вторая глава - методическая, в ней подробно описываются методы получения образцов (обычная керамическая технология, горячее прессование, изготовление пористых керамик, композитов) и их исследования (рентгенография, определение плотности, микроструктурный анализ, измерения диэлектрических, пьезоэлектрических и упругих характеристик, пьезодеформаций, реверсивных и поляризационных параметров.

В третьей, четвертой и пятой главах приведены результаты экспериментальных исследований автора: упругие деформации и обратные пьезомодули пьезокерамических материалов различной степени сегнетожёсткости в области слабых и сильных электрических полей (гл. 3); электромеханический гистерезис, пьезоэффект и электрострикции в бинарных и многокомпонентных системах на основе ЦТС (гл. 4); реверсивная нелинейность и поляризационные свойства объектов (гл. 5).

В заключении диссертации сформулированы основные результаты и выводы, приведены списки авторской и цитированной литературы, указаны гранты, проекты и темы, в рамках которых выполнена диссертационная работа.

СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ

СК - сегнетокерамика

СПКМ - сегнетопьезоэлектрические керамические материалы

ПКР - пьезоэлектрическая керамика ростовская

ЦТС (PZT) - цирконат - титанат свинца

PMN-PT - магнониобат свинца - титанат свинца

ГП - горячее прессование

ОКТ - обычная керамическая технология

Е - напряженность электрического поля

D - электрическая индукция

Р - поляризация (поляризованность)

а- механические напряжения

Е,- механические деформации

е- диэлектрические проницаемости

d - пьезомодули

s - упругие податливости

/- удельные проводимости

К - коэффициенты электромеханической связи

Q_M - механическую добротность

У⁶! і - модуль Юнга

к і - скорость звука

р - плотности образцов

Т_сп - температура спекания

V - объем тетрагональной ячейки