Содержание к диссертации
Введение
1 Теоретическое описание транспорта носителей заряда в неупорядоченных органических материалах: состояние проблемы 11
1.1 Особенности транспорта носителей заряда в органических материалах 11
1.1.1 Слабое взаимодействие между молекулами, прыжковый характер транспорта .12
1.1.2 Модели прыжкового транспорта 14
1.1.3 Малая концентрация равновесных (собственных) носителей заряда 18
1.2 Модель гауссова беспорядка 20
1.2.1 Физическая основа: поляризация неупорядоченной среды зарядом 22
1.2.2 Альтернатива: коррелированный беспорядок 23
1.3 Экспериментальные методы определения подвижности в органических материалах .25
1.3.1 Времяпролетный эксперимент 25
1.3.2 Вольт-амперные характеристики
1.4 Концепция транспортного уровня 28
1.5 Инжекция носителей заряда с электродов в органический материал
1.5.1 Инжекция, ограниченная объемным зарядом 34
1.5.2 Инжекция, ограниченная барьером 38
2 . Аналитическая модель зависимости подвижности от напряженности поля 43
2.1 Зависимость транспортного уровня от напряженности приложенного поля 43
2.2 Зависимость подвижности от поля 47
2.3 Выводы 50
3 Подвижность и коэффициент диффузии в тонких слоях органических материалов 51
3.1 Аналитическая модель подвижности и коэффициента диффузии в тонких слоях
3.2 Сравнение аналитических результатов с результатами моделирования методом Монте-Карло 54
3.3 Выводы 62
4 Особенности вольт-амперных характеристик тонкослойных органических светодиодов 64
4.1 Вольт-амперные характеристики однослойного светодиода при наличии объемного заряда 65
4.2 Вольт-амперные характеристики однослойных светодиодов в зависимости от температуры и толщины слоя 74
4.3 Вольт-амперные характеристики многослойных светодиодов в зависимости от толщины слоя 79
4.4 Выводы 87
Заключение 89
Приложения 91
Приложение А. Модель расчетов методом Монте-Карло 91
Приложение Б. Энергия обрезания 92
Список литературы 96
- Малая концентрация равновесных (собственных) носителей заряда
- Зависимость подвижности от поля
- Сравнение аналитических результатов с результатами моделирования методом Монте-Карло
- Вольт-амперные характеристики однослойных светодиодов в зависимости от температуры и толщины слоя
Малая концентрация равновесных (собственных) носителей заряда
Один из основных физических процессов в органических материалах – транспорт носителей заряда. Базовый механизм транспорта (переноса) в большинстве органических материалов (таких, как аморфные полимеры и материалы на основе малых молекул) является общим: некогерентное туннелирование (прыжки) носителей между локализованными состояниями.
Вообще говоря, все возможные электронные состояния в полупроводниках можно разделить на делокализованные (протяженные) и локализованные. Делокализованные состояния – это те состояния, на которых носитель заряда «размазан» по всему объему. Эти состояния часто представляются, как блоховские функции. С другой стороны, локализованные состояния – это те, на которых волновая функция носителя заряда имеет ненулевую амплитуду в ограниченной области вокруг данной точки (локализованного состояния). Размер этой области определяет, является ли состояние слабо локализованным (с большей областью локализации) или сильно локализованным (с меньшей областью локализации).
Электрон, помещенный в «потенциальную яму», локализован, если вероятность найти его на некотором расстоянии от «ямы» уменьшается экспоненциально с ростом этого расстояния.
Беспорядок ведет к локализации состояний разрешенной зоны, существующей в упорядоченном материале. Когда беспорядок достаточно слабый, состояния локализованы только вблизи краев зоны. Увеличение беспорядка приводит к локализации все большего количества состояний зоны до тех пор, пока все состояния не станут локализованными (случай сильного беспорядка). То, что высокая степень беспорядка может привести к локализации волновых функций носителей заряда в полупроводнике, впервые было предположено Андерсоном и развивалось позднее во многих работах [1, 7]. Математический критерий различия между локализованными и делокализованными состояниями представлен в работах M.A. Ball [8, 9], в которых использовалась теория возмущений, и волновые функции состояний выражались, как линейная комбинация молекулярных состояний.
Механизм зарядового транспорта в значительной степени определяется типом состояний, которые включены в процесс. Если транспорт носителей заряда обусловлен делокализованными состояниями, средняя длина свободного пробега носителей достаточно велика, так что транспорт определяется делокализованными состояниями зоны. Такое поведение описывается стандартным подходом Ферми-жидкости и больцмановской теорией, в которой носители заряда считаются квазисвободными и только слабо рассеиваются малым количеством структурных дефектов и примесей [10]. Другим крайним случаем является описание транспорта носителей заряда через прыжковый механизм между локализованными состояниями, где в каждый момент времени носитель занимает одно состояние и «прыгает» от одного состояния к другому со скоростями, определяемыми расстоянием и разностью энергий между состояниями, включенными в прыжок (при этом перенос заряда осуществляется путем квантовых туннельных переходов). Прыжки сопровождаются поглощением или излучением фононов. Именно этот механизм характерен для рассматриваемых в данной работе органических полупроводников и диэлектриков. Третий механизм включает обе разновидности состояний и описывается моделью многократного захвата и освобождения (multiple trapping and release, MTR). Применимость формализма модели многократного захвата к описанию прыжкового транспорта обсуждается далее. Данный подход заключается в том, что носители проводят большую часть времени на локализованных состояниях (которые называются ловушками), затем они термически активируются на делокализованные состояния с более высокой энергией, по которым они способны двигаться посредством дрейфа и диффузии, после чего снова захватываются на другое локализованное состояние. Энергетический уровень, который разделяет локализованные и делокализованные состояния, называют краем подвижности, т.к. он разграничивает состояния, на которых носители подвижны, и состояния, на которые они захватываются. В неупорядоченных материалах локализованные состояния играют основную роль в механизме зарядового транспорта [11].
В органических материалах вследствие слабых межмолекулярных взаимодействий типа ван-дер-ваальсовых (которые значительно слабее ковалентных или ионных связей атомных кристаллов) при образовании конденсированной фазы электронные свойства молекул изменяются весьма незначительно. Слабость межмолекулярного взаимодействия является причиной выраженной локализации носителей заряда и экситонов на отдельных молекулах. Вследствие этого в органике появляются качественно новые свойства, такие, как электронная поляризация решетки локализованным носителем заряда, вибронная релаксация молекулы, сопровождающая образование ионного состояния, появление локальных центров поляризационного происхождения в областях структурных дефектов и другие, необычные для ковалентных и ионных кристаллов явления [12].
Слабость межмолекулярного взаимодействия приводит к тому, что представления классической зонной теории полупроводников, как правило, не применимы к органическим материалам, при низких температурах - даже к кристаллам [13].
Благодаря слабым межмолекулярным связям ширина валентной зоны и зоны проводимости молекулярных кристаллов достаточно узки, обычно не больше 10 мэВ. Длина свободного пробега является величиной порядка постоянной решетки при комнатной температуре. Процесс переноса складывается из элементарных шагов - перескоков электрона между молекулами или их сегментами (т.е. между локализованными состояниями, или транспортными центрами).
Прыжок между локализованными состояниями, которые обычно считаются распределенными по энергии согласно гауссову закону [14, 15], определяется двумя связанными между собой факторами: разностью энергий и пространственным расположением начального и конечного состояний. Чтобы переход произошел, интеграл перекрытия между волновыми функциями этих состояний должен быть ненулевым. Радиус локализации, Гу, представляет собой характерный масштаб убывания вероятности перехода носителя между состояниями / и j. Часто для упрощения этот радиус локализации для всех состояний берется одинаковым. В следующем разделе обсуждается влияние этого расстояния и разности энергий между состояниями на темп переходов между ними. В зависимости от температуры условно различают несколько режимов транспорта.
Зависимость подвижности от поля
Каждый из этих подходов обладает своими недостатками. При электрическом поле от 105 В/см до 2х106 В/см в диэлектрике с диэлектрической постоянной 3,5 происходит снижение барьера с 0,06 до 0,28 эВ, а максимум электростатического потенциала находится в области от 3,2 до 0,7 нм вглубь от границы. Возможно поэтому, снижение барьера сопоставимо с высотой барьера само по себе и пренебрежение этим снижением при туннелировании, как происходит в модели Фаулера-Нордгейма, достаточно проблематично, поскольку предполагается наличие делокализованных состояний, в которые носители могут туннелировать. В случае же концепции Ричардсона-Шоттки происходит пренебрежение прыжками между локализованными состояниями. В силу того, что транспорт является некогерентным процессом и длина свободного пробега сравнима с межмолекулярным расстоянием, т.е. = 1 нм, то это играет важную роль в органических материалах. Важность этой проблемы была признана давно в контексте фотоионизации в молекулярных твердых телах и, как правило, принято считать, что теория Онзагера для броуновского движения в кулоновском потенциале представляет подходящую теоретическую основу для моделирования генерации фотогенерированных носителей в зависимости от электрического поля и температуры [70].
В.И. Архипов и др. [4, 71, 72] предлагают аналитический подход, в котором учитывается зависимость тока инжекции от температуры и от поля, что подразумевает рассмотрение не только первичного события инжекции, но и последующего блуждания носителей при совместном учете потенциалов внешнего поля и потенциала зеркального заряда.
Прыжковая модель [4, 71, 72] рассматривает зарядовую инжекцию через границу металл/органический материал, как процесс из двух шагов. Во-первых, носители прыгают с квазиуровня Ферми металлического контакта на локализованные состояния, которые находятся достаточно близко к границе. Каждый инжектированный носитель создает зеркальный заряд противоположного знака на контакте. Для носителя заряда, локализованного близко к границе, потенциальная энергия U(x) является суперпозицией энергии, создаваемой внешним полем на контакте F0 согласно уравнению (47). При наличии внешнего поля и взаимодействия с зеркальным зарядом, этот барьер понижен на величину АН = A — U(xm} (см. рисунок 15).
Вследствие прыжковой диффузии и дрейфа носителей происходит или их нейтрализация на контакте, или преодоление потенциального барьера U(x) и проникновение вглубь слоя. Вероятность последнего события можно описать одномерной версией теории Онзагера [73]. Частота прыжков с уровня Ферми инжектирующего электрода, который принят за начало отсчета энергии, на состояние с энергией Е, находящееся на расстоянии хо от электрода, вычисляется согласно модели Миллера-Абрахамса, v = v0 ехр(-2ух0)Ло/( ), где Bol(E) = exp[-(E + \E\)/(2kT)j. Усреднение частоты первых прыжков, умноженной на вероятность проникнуть вглубь слоя, по значениям длины начального прыжка хо и энергии состояния, занятого носителем после первого прыжка, Е, приводит к выражению (51) для плотности тока прыжковой инжекции: где a - расстояние от электрода до ближайшего прыжкового состояния, энергетическая плотность состояний g(E) считается гауссовской функцией (6). В работе А.Л. Бурина и М.А. Ратнера [74] исследуется влияние беспорядка на эффективность инжекции и делается попытка найти полевую экспериментальную зависимость вида ;«exp(p /F) [4] без каких-либо предположений, касающихся корреляций потенциала или эффектов зеркального заряда. Диэлектрик представлен в виде набора несвязанных друг с другом одномерных путей (мостов). Под действием поля носитель передвигается с поверхности металла в объем диэлектрика по этим путям, которые параллельны направлению поля. Начальное состояние с фиксированной плотностью носителей Р0 находится на электроде. Состояния, которые входят в один путь, и по которым носитель будет передвигаться, описываются набором плотностей Рт для N состояний, где состояние т отделяется от металла расстоянием равным та, где а - межмолекулярное расстояние. Средний потенциал состояния т определяется так: (Um) = A- eFam. В аналитических расчетах эффектом объемного заряда авторы пренебрегли. Каждое состояние т имеет случайный потенциал, фи, распределенный согласно закону Гаусса exp( - фт / 2а2), m + 1 и обратно. Для описания первого прыжка предполагается, что Щ = 0. Также подразумевается, что последний шаг от состояния где а - ширина распределения. В статье [74] рассматривался стационарный режим. Предполагается, что прыжки происходят только на ближайшего соседа. Для т 0 и N темп переходов рассчитывался (вариант модели Миллера-Абрахамса) следующим образом: vffl,ffl+i =ехр —m+ vffl+ljffl - Pt kT J (52) U =A-eFam + (D , где o - характерный темп переходов, m m + \, m + \ m означают прыжковые темпы с состояния m на состояние N ко второму электроду обычно не требует термической активации и происходит быстрее, чем другие шаги, поэтому граничное условие следующее: PN = 0. Для описания тока в 3-хмерной среде была взята сумма токов через целый макроскопический набор состояний, который эквивалентен усреднению по случайным потенциалам. Было найдено отношение между током и плотностью состояний с использованием выражения непрерывности тока: j = ,; г+і Pi - i+i, ІРІ+І для TVОО:
Первая экспонента под интегралом по фо выражает вес инжекционный путей, которые обладают энергией активации ниже, чем инжекционный барьер к ф0. Вторая экспонента дает вклад в ток благодаря понижению барьера. Далее предполагается, что число эффективных состояний п l{eFd) больше единицы, тогда суммирование заменяется интегралом. Далее для интеграла по фо применяется приближение седловых точек:
Данный результат можно описать следующим образом. Имеется набор несвязанных одномерных мостов (как молекулярные нити) между двумя электродами с энергиями флуктуаций цепочек в гауссовом виде. Инжекция эффективна только на тех путях, у которых первые п состояний обладают минимальными энергиями для уменьшения энергии активации. Оптимальная флуктуация соответствует приблизительно тем путям (мостам) с первыми п состояниями, чей потенциал ниже, чем регулярное значение фо , где:
Для исследования инжекции в реальных материалах в данную модель также был включен эффект зеркальных зарядов. Очевидно, что ток инжекции из металла в неупорядоченный диэлектрик, рассчитанный по уравнению (55), дает зависимость вида j с expm-sAF] [74] благодаря гауссовой модели беспорядка молекулярных уровней для классического механизма термически активированных прыжков. Также результаты сравнивались с моделью Архипова [71]. Сравнение показало хорошее совпадение с моделью, но без применения приближения седловых точек.
Как упоминалось выше, концепция транспортного уровня является одним из основных методов описания прыжкового транспорта благодаря тому, что она описывает состояния, распределенные в пространстве и по энергии аналогично модели многократного захвата. Так как энергии состояний зависят от приложенного электрического поля, транспортные кинетические коэффициенты, такие как подвижность и коэффициент диффузии Д могут также зависеть от величины приложенного поля F. Ранее концепция транспортного уровня применялась только к расчетам подвижности в пределе слабого поля. Только в работах Ling Li и др. [75, 76] развивался подход, описывающий зависимость транспортного уровня от поля. Но в данной модели не учитываются прыжки с глубоких состояний. Также нет исследования зависимости подвижности от поля для различных температур и сравнения ее с расчетами методом Монте-Карло.
Сравнение аналитических результатов с результатами моделирования методом Монте-Карло
Одним из распространенных подходов к теоретическому исследованию таких процессов, как прыжковый транспорт носителей, их инжекция [74, 93] и рекомбинация [95, 96, 97], является метод Монте-Карло [98]. Однако данный подход предъявляет высокие требования к вычислительным ресурсам, поскольку задача включает много параметров. Поэтому широко применяются численные решения системы дифференциальных уравнений, включающих уравнения непрерывности для электронов и дырок, а также уравнение Пуассона [99]. Один из способов тестирования подобных решений - сравнение с результатами простой аналитической модели. За последние несколько лет было предложено несколько таких моделей, в которых сделаны попытки самосогласованного описания инжекции и транспорта с учетом объемного заряда носителей: 1) Модель В.И. Архипова и др. [93]. Данная модель не учитывает диффузию при вычислении тока, поэтому справедлива лишь при достаточно высоких напряжениях: V » кТ/е . Также модель не учитывает эффект многократных отражений, а также ток инжекции с противоположного электрода. И то, и другое существенно при малой толщине слоя, сравнимой с кулоновским радиусом, а также при низких значениях приложенного напряжения. 2) Модель Ю.А. Гененко и др. [2]. Модель учитывает диффузию, но не влияние энергетического беспорядка на инжекцию носителей. 3) Модель G.G. Malliaras и J.C. Scott [95] также не учитывает энергетический беспорядок. Хотя OLED, разрабатываемые для практических приложений, являются многослойными (однослойные OLED имеют низкую эффективность [100]), измерения В АХ и других свойств однослойных OLED остаются актуальными, поскольку при разработке многослойных OLED желательно проводить тестирование отдельных слоев [99]. Дело в том, что по разным причинам (особенности морфологии приэлектродной области [101], неравновесный характер транспорта [87], различные вероятности встретить глубокую ловушку [102]) проводящие свойства слоя существенно зависят от его толщины. Толщины активных слоев органических светодиодов, как правило, не превышают 50 нм [100]. На таком малом пространственном масштабе может быть значим эффект неоднородности электрического поля в слое вследствие влияния микроскопических полей, созданных зеркальными зарядами, с учетом многократных отражений.
Надо заметить, что граничное значение высоты барьера для инжекции носителей, выше которого можно пренебречь эффектами объемного заряда, определялось в различных работах [2, 93, 95], но исследование зависимости этой величины от толщины слоя и параметра беспорядка рассматриваемого материала о/кТне проводилось.
В данной главе описываются аналитические модели расчета тока инжекции. Первая модель самосогласованно учитывает диффузию, объемный заряд и энергетический беспорядок, для расчета вольт-амперных характеристик OLED с монополярной инжекцией носителей заряда. Также изучается влияние эффекта объемного заряда на ВАХ в зависимости от приложенного напряжения, высоты барьера для инжекции, толщины слоя и параметра беспорядка. Для этого была использована учитывающая энергетический беспорядок модель плотности тока прыжковой инжекции [4, 71]. Вторая модель учитывает эффект многократных отражений, а также ток инжекции с противоположного электрода, что существенно при малой толщине слоя, сравнимой с кулоновским радиусом, а также при низких значениях приложенного напряжения. Также рассмотрена модель многослойного OLED-устройства. Обсуждается вопрос о соотношении толщин активного (электролюминесцентного) и транспортных слоев OLED-устройства, а также диапазон напряжений, при которых достигается максимальная эффективность электролюминесценции.
При построении вольт-амперных характеристик рассматривался однослойный (с электронной проводимостью, для определенности) OLED в одномерном случае. За основу взяты уравнение Пуассона и уравнение непрерывности, поскольку было показано, что диффузионно-дрейфовое приближение дает хорошее согласие с результатами как МК-моделирования [98], так и с численным решением уравнения баланса [99, 103].
Вольт-амперные характеристики однослойных светодиодов в зависимости от температуры и толщины слоя
Последовательное приближение к зависимости аррениусовского типа с уменьшением толщины слоя (см. рисунок 12б) не удивительно, т.к. Е -а2/кТ и энергия Е становится более мелкой с уменьшением толщины слоя. Состояния с энергиями ниже Е статистически не заполнены дрейфующими зарядами, следовательно, энергетическое распределение зарядов не равновесно, а его максимум достигается при Е = Е . Энергия активации, Etram - Е , имеет относительно слабую зависимость от а/кТ, точно также как и энергии Etram и Е . Следует отметить, что начальная генерация в нашем моделировании на самом деле является также неравновесной в случае довольно сильного беспорядка, несмотря на попытку избежать этого. Действительно, состояния с энергиями вблизи характерной энергии -о2/кТ, статистически не заселены изначально, при начальной генерации 10 000 частиц, если /кТ 3,7. Это обстоятельство является причиной отклонения экстраполяции дрейфовой подвижности в бесконечной среде, \хх, от квазиравновесного закона (72). Однако это отклонение не достаточно при а/кТ 4, чтобы объяснить отклонение от закона (72) (см. пунктирную линию на рисунке 12б). Это отклонение определяется в основном эффектом конечной толщины слоя на время пролета носителей.
Следует ожидать, что характерная длина LQ (см. уравнение (71)), коррелирует с масштабом микроскопической неоднородности (радиус корреляции перколяционного кластера гс) Эту величину можно оценить как rc « rhucv , где rh = а0 - типичная прыжковая длина, « 0,9 - критический индекс радиуса корреляции [57], а ис »1 - критический прыжковый параметр, который обеспечивает перколяцию через большой объем, цосехр(-мс). Предполагается, что темпы перехода между состояниями /и/, Ггуосехр(- ), характеризуются широким разбросом прыжковых параметров гк . Основная часть этого разброса обусловлена распределением энергий, потому что прыжки на ближайшего соседа превалируют при рассмотренных значениях параметров [5]. Таким образом, можно записать выражение для подвижности как (j, = \xc exp \-uc). Сравнивая это выражение с уравнением (72), получим ис С (а/кТ) , откуда гс « а0 ( з/кТ} . С другой стороны можно осуществить хорошую подгонку данных из таблицы 2 выражением откуда видно, что температурные зависимости L0 и гс находятся в качественном согласии. Надо отметить, что результаты моделирования в значительной степени зависят от граничных условий (а следовательно, от условий генерации носителей) при малой толщине и низкой напряженности поля (см. сценарии 1 и 2 на рисунке 11а), следовательно, количественный анализ дрейфовой подвижности нуждается в самосогласованном анализе инжекционных и транспортных процессов.
Стационарный и нестационарный эффект конечного размера на транспортные коэффициенты
Мезоскопические эффекты в системах конечных размеров, к которым относится микроскопическая неоднородность материалов с беспорядком, обсуждались ранее; см. например, работы [15, 86, 88, 91]. Как было упомянуто, глубокие состояния статистически отсутствуют в образце с конечным числом прыжковых состояний, откуда следует, что можно ожидать зависимость кинетических коэффициентов от размера образца, а также флуктуации транспортных коэффициентов от образца к образцу [15], как в случае стационарных, так и нестационарных измерений. Однако в органических слоях, которые применяются в электронике, только один линейный размер (в случае светодиодов - в направлении электрического поля) меньше, чем масштаб микроскопической неоднородности. В этой работе также, как и в предыдущей [88], размер образца вдоль поперечного направления превышает размер вдоль электрического поля в 10 раз. Энергии генерируются независимо для каждого пробега электрона, поэтому мы можем считать все 10 000 событий эквивалентными пробегу 10 000 носителей по образцу, поперечный размер которого L± =1-10-100, то есть порядка 1 мкм, обеспечивая расстояние между состояниями а0 = 1 нм. Число состояний в образце, таким образом, iV0=8-109 при L = 20a0, откуда следует, что в рассматриваемом образце статистически присутствуют состояния с энергиями Е/о -5,64, что представляется достаточным для обеспечения значения подвижности в пределе бесконечной среды, \хх, при /кТ 5,64. Однако среднее значение числа состояний, которые посещает заряд при пересечении образца, конечно, много меньше, чем N0. Следовательно, большинство зарядов после импульсной генерации в тонких слоях (L L0) может избежать захвата на относительно редкие состояния с энергией , -а2Дг, что приводит к значению дрейфовой подвижности [і [іа0. В случае непрерывной генерации, однако, эти “быстрые” заряды постепенно заменяются с течением времени на “медленные” носители, которые захватываются состояниями с энергиями Е Е что приводит дрейфовую подвижность к ее значению в случае бесконечной среды, [ІХ , которое также является значением в случае стационарного состояния даже в тонких слоях, L L0. Коэффициент стационарной диффузии соотносится с подвижностью согласно соотношению Эйнштейна, как было обсуждено выше, если напряженность поля не очень высока, eFa0/kT \. Таким образом, в случае слоев с большой площадью, L± » L0, эффект конечного размера проявляется только в нестационарном режиме. Нестационарный эффект конечного размера и дисперсионный транспорт Качественно, нестационарный эффект конечного размера схож с энергетической релаксацией после начальной неравновесной генерации, приводящей к дисперсионному транспорту [14, 15]. В обоих случаях, неравновесное энергетическое распределение зарядов приводит к квазиравновесному транспорту. В первом случае, начальное квазиравновесное распределение по энергии (но неоднородное в пространстве) локально нарушено, потому что «быстрые» частицы не могут найти состояния с энергиями Е Е на пути своего следования через образец. Во втором случае квазиравновесие изначально отсутствует. Дисперсионный транспорт характеризуется зависимостью демаркационной энергии от времени, Ed (t) = Etram -АгГ1п(у(/), V(/»l, при условии, что t = 0 является моментом генерации неравновесного энергетического распределения носителей зарядов [14, 53]. Мелкие состояния с энергиями Е Ed (7) являются квазиравновесными, в то время как глубокие состояния,
E Ed{t), остаются далеки от равновесной заселенности, из чего следует, что Ed (t) является максимумом распределения занятых состояний, при условии, что Ed(t) -G2/кТ, и происходит обычный дисперсионный транспорт. Однако состояния вокруг Ed (ґ) не заселены, если Ed (t). В этом случае (по крайней мере, если Ed (ttr)), эффект конечного размера