Амплитудная спектроскопия и мониторинг состояний сверхпроводниковых кубитов Денисенко Марина Валерьевна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Аналитический обзор информационных источников по основым типам кубитов и методам их контроля 13

1.1. Модель кубита 14

1.2. Релаксационные эффекты в кубитах 15

1.3. Физические реализации кубитов 16

1.4. Полупроводниковые кубиты 19

1.5. Сверхпроводниковые кубиты 22

1.5.1. Зарядовые кубиты 24

1.5.1.1. Зарядовый кубит 25

1.5.1.2. "Квантрониум" - кубит 27

1.5.1.3. "Трансмон" - кубит 27

1.5.2. Потоковые и фазовые кубиты 28

1.5.2.1. Трехконтактный джозефсоновский потоковый кубит 29

1.5.2.2. Фазовый кубит

1.6. Связанные кубиты 34

1.7. Методы управления и измерений состояний кубитов

1.7.1. Ландау-зинеровское туннелирование и амплитудная спектроскопия кубитов 36

1.7.2. Экспериментальные методики измерений состояний кубитов 38

ГЛАВА 2. Динамический контроль состояний кубита в бигармоническом поле 41

2.1. Модель системы и управляющего сигнала 42

2.2. Адиабатическая динамика 43

2.3. Обобщенная раби-динамика 46

2.4. Квазиэнергетический подход 48

2.5. Квазиэнергетические состояния кубита и многофотонные резонансы 50

2.6. Приложение к амплитудной спектроскопии 53

2.7. Фазовые и амплитудные эффекты населенности кубита в бигармоническом поле 54

2.8. Влияние эффекта диссипации на интерференционные картины населенностей уровней кубита в бигармоническом поле 59

2.9. Мезоскопические флуктуации населенности кубита в сильном переменном поле 63

2.10. Выводы к главе 2 74

ГЛАВА 3. Многофотонные резонансы и амплитудная спектроскопия двух связанных кубитов 76

3.1. Модель симметричных и несимметричных связанных кубитов 76

3.2. Резонансное приближение для двух связанных кубитов 79

3.3. Анализ по теории возмущений (разложение по туннельным константам) 81

3.4. Динамика кубитов 90

3.5. Приложение к амплитудной спектроскопии многокубитных систем 92

3.5.1. Влияние постоянного поля на многофотонные резонансы 93

3.5.2. Влияние константы взаимодействия кубитов на характер многофотонных

резонансов 98

3.5.3. Влияние переменного поля на многофотонные резонансы 106

3.5.4. Интерференционная картина населенностей уровней кубитов 113

3.5.5. Влияние эффекта диссипации на интерференционные картины 117

3.6. Выводы к главе 3 122

ГЛАВА 4. Квантовые траектории и мониторинг состояний связанной системы кубит-измерительный прибор в мезоскопическом режиме 124

4.1. Квантовые скачки и диссипативная динамика кубита в бозонном термостате 125

4.1.1. Модель кубита в бозонном термостате 126

4.1.2. Метод квантовых траекторий для анализа квантовых скачков в кубите 126

4.1.3. Результаты численного моделирования единичных квантовых траекторий кубита 128

4.1.4. Единичные реализации и усредненная динамика кубита 131

4.2. Диссипативная динамика и мониторинг состояний связанной системы кубит измерительный осциллятор 132

4.2.1. Модель связанной системы "кубит-осциллятор" 132

4.2.2. Диссипативная динамика связанной системы кубит-измерительный осциллятор 135

4.2.3. Функционирование измерительного нелинейного осциллятора в классическом режиме 137

4.2.4. Функционирование измерительного нелинейного осциллятора в мезоскопическом режиме 141

4.3. Неразрушающие измерения состояния кубита в реальном времени (single-shot mesuaments) 147

4.3.1. Временной мониторинг состояния кубита в единичных реализациях и в среднем при подаче раби-импульса 147

4.3.2. Временной мониторинг суперпозиционного состояния кубита при неразрушающих измерениях нелинейным осциллятором 154

4.4. Выводы к главе 4 156

Заключение 159

Список публикаций по теме диссертации 161

Список цитированной литературы

• Потоковые и фазовые кубиты
• Квазиэнергетические состояния кубита и многофотонные резонансы
• Анализ по теории возмущений (разложение по туннельным константам)
• Модель кубита в бозонном термостате

Введение к работе

Актуальность темы

В настоящее время во многих лабораториях мира ведутся теоретические и экспериментальные исследования новых элементов памяти – квантовых битов (кубитов) [1]. Функционирование кубитов основано на использовании принципа суперпозиции и эффекта перепутывания (entanglement) состояний, что отличает их от классических систем. Кубиты претендуют стать базовыми элементами квантового компьютера, который позволит осуществить экспоненциальное увеличение скорости вычислений в таких задачах, как поиск в базах данных, распознавание образов, решение сложных математических задач и проблем криптографии. Отметим важные практические результаты в области современных квантовых информационных технологий: разработаны и созданы резонаторы с фантастической добротностью [2], развита техника работы с единичными квантовыми объектами [3] (уединенными атомами, электронами и фотонами, локальными спинами и т.п., позволяющая создавать кубиты и осуществлять контроль за ними), продемонстрировано перепутывание состояний пространственно удаленных квантовых объектов (более чем на 1 метр), осуществлена фильтрация перепутанных состояний и манипулирование ими [4]. Интерес к квантовым технологиям подтверждается созданием первых коммерческих проектов по выпуску квантового криптографического оборудования (швейцарская "ID Quantique" и американская "MagiQ Technologies" компании) и первого прототипа адиабатического "квантового" компьютера (канадская компания "D-Wave"). Кроме того, ярким свидетельством перспективности данного направления явилось присуждение в 2012 году Нобелевской премии по физике С. Арошу (Serge Haroche) и Д. Вайнленду (David Wineland) за "передовые открытия экспериментальных методов, позволяющие провести измерения индивидуальных квантовых систем" (см. нобелевские лекции [5, 6]). Сказанное свидетельствует об актуальности исследований в области разработки элементной базы для устройств квантовых информационных технологий.

Несмотря на имеющийся прогресс, существует ряд трудностей для массового внедрения квантовых технологий. Основными препятствиями работы кубитов на данный момент являются проблемы масштабируемости, то есть построение систем с большим количеством взаимодействующих кубитов, а также проблемы, связанные с нарушением когерентности (случайными изменениями квантовых состояний) за счет взаимодействия кубитов с окружающей средой или измерительными устройствами [3].

В последнее время, исследования в области квантовых вычислений направлены на разработку твердотельных систем, которые могут выступать в роли кубита, например, таких как: полупроводниковые квантовые точки, квантовые ямы, NV-центры в алмазе, сверхпроводниковые мезоскопические контура и т.п. В отличие от атомов в ловушках, данные системы имеют более простую схему контроля и управления состояниями, а их времена декогерентности уже превысили микросекунды [3, 7]. Кроме того, твердотельные кубиты имеют ещё несколько неоспоримых преимуществ, например: использование уже хорошо отработанных схем создания и детектирования нано- и мезосистем позволяют изготавливать кубиты с динамически управляемыми параметрами, контролируемой связью между ними и достигать хорошей степени масштабируемости (>1000 кубитов на чипе).

В ключе описанных выше преимуществ, перспективными кандидатами на роль твердотельных кубитов могут служить сверхпроводниковые проволоки с встроенными джозефсоновскими переходами – "джозефсоновские кубиты" (см. например обзоры [7-9]), которым будет уделяться основное внимание в диссертационной работе. Данные кубиты обладают малой диссипацией, хорошей устойчивостью к шумам и относительно простым способом управления состояниями, что важно в квантовой информатике при передаче, хранении и обработке информации. За последние годы достигнуты впечатляющие успехи в технологии производства и управления состояниями джозефсоновских кубитов, что позволило приблизиться к требованиям, выполнение которых необходимо для создания на их основе квантового компьютера. Отметим здесь, что именно на основе джозефсоновских кубитов реализовано наиболее значимое "коммерческое"

достижение последнего времени - выпуск компанией D-Wave машины (D-Wave 2X System), состоящей из массива более чем 1000 кубитов и позволяющей осуществлять так называемый "квантовый отжиг" - эволюцию системы связанных кубитов к глобальному минимуму энергии. Хотя "квантовый отжиг" не является истинно квантовым вычислением, поскольку реализует только суперпозицию состояний кубитов (степень запутывания в таких системах находится под вопросом), квантовый компьютер на его основе уже может решать широкий класс задач оптимизации.

Первоначально управление состояниями джозефсоновских кубитов и исследование динамических процессов осуществлялось путем воздействия электромагнитного резонансного слабого поля с частотой, сравнимой с расстоянием между уровнями кубитов [9]. Подобные спектроскопические исследования кубитов осуществляются при достаточно низких температурах (несколько милликельвинов) в микроволновом и миллиметровом диапазонах (диапазонах 10 -300 ГГц) - именно в этой области частот расположены линии джозефсоновских переходов. В указанном частотном диапазоне практические измерения трудно выполнить из-за необходимости использования дорогостоящих и сложных в управлении источников стабильного излучения, где существует частотная зависимость дисперсии и затухания волн, а также накладываются жесткие требования к контролю за импедансом системы. В связи с этим появился огромный интерес к развитию новой методики - амплитудной спектроскопии [10, 11], в основе которой лежит метод получения информации с помощью функции отклика по амплитудам постоянного и переменного поля сигнала при фиксированной частоте. Причем значение частоты может быть на несколько порядков меньше, чем расстояния между уровнями в системе. Это означает, что система эволюционирует адиабатически, за исключением непосредственной близости от квазипе-ресекающихся уровней, между которыми могут быть реализованы квантовые когерентные переходы Ландау-Зинера [12] и может наблюдаться интерференция Штюкельберга. Основное преимущество данного метода в том, что исследование энергетической структуры уровней системы производится в довольно широких диапазонах изменения амплитуды, что позволяет избежать многих проблем, связанных с частотным подходом. Кроме того, становится возможным изучение свойств многофотонных резонансов в сильных полях, извлечение дополнительной информации об энергетических уровнях кубита и параметрах шума, действующих на систему.

Другим актуальным и важным аспектом при изучении работы кубитов является разработка методов по проведению неразрушающих измерений состояния кубита. Современные методы позволяют осуществлять "однократные" измерения (single-shot measurements) над кубитами [13], то есть мониторинг состояний открытой квантовой системы в реальном времени. Благодаря этому стало возможным исследовать динамику и характеристики отдельных квантовых систем как для каждой реализации, так и в среднем по ансамблю измерений [14, 15]. Эти эксперименты стимулировали интерес к исследованию ряда нерешенных вопросов, являющихся принципиальными для практической реализации протоколов квантовых вычислений. В частности, речь идет об исследовании процессов релаксации кубитов, которые происходят в виде квантовых скачков; об изучении процессов томографии состояний кубита и эффектов взаимного влияния измерительного устройства на процесс детектирования состояний кубита, а также об изучении динамики перепутанных состояний многокубитных систем в зависимости от управляющих параметров (в различных условиях - резервуарах, при различных шумах и т.д.), имитирующих ситуацию в реальных экспериментах.

В рамках очерченного направления спектроскопических исследований многофотонных резонансов и мониторинга состояний джозефсоновских кубитов в реальном времени на момент начала работы над диссертацией был выделен круг нерешенных проблем:

1. Отсутствовала детальная теория манипулирования квантовыми состояниями в сверхпроводниковых мезоскопических контурах со встроенными джозефсоновскими переходами.

2. Не была изучена роль квантово-когерентного туннелирования Ландау-Зинера при формировании интерференционной картины многофотонных резонансов населенностей взаимодействующих кубитов.

3. Не был до конца понят процесс мониторинга единичных квантовых объектов в реальном

времени.

4. Оставался открытым вопрос о влиянии шумов и измерительных приборов на состояния квантовой системы.

Подробному обсуждению поставленных выше вопросов и будет посвящена данная диссертационная работа.

Цели и основные задачи диссертационной работы

Целью работы является разработка методов манипулирования квантовыми системами на основе сверхпроводниковых мезоконтуров с встроенными джозефсоновскими переходами, моделирование методик проведения квантовых измерений с учетом шумов, выработка рекомендаций по использованию квантовых логических элементов (кубитов) для информационных устройств на базе интеграции подходов квантовой оптики и физики конденсированных сред.

Исходя из этого, были определены следующие конкретные задачи исследования, а именно:

4. Проведение анализа бездиссипативной динамики кубита и системы связанных кубитов в периодическом внешнем поле на основе резонансной теории возмущений и квазиэнергетического подхода [16]. Этот метод дает точные промежуточные состояния системы в переменном поле произвольной амплитуды, а также позволяет выделить особенности резонансных переходов, обусловленных движением и пересечением квазиуровней при изменении поля. Численное моделирование позволяет установить пересечения квазиэнергетических уровней и их роль в формировании населенностей уровней.

5. Предполагалось провести исследование влияния запаздывания управляющих импульсов, поступающих на кубит, вызванного потерями в коаксиальных линиях передач. В рамках приближения вращающейся волны и численного анализа изучить поведение флуктуирующей величины - населенности уровней кубита в переменном поле, которое представляет собой суперпозицию электромагнитных импульсов большой амплитуды. Исследовать влияние характеристик импульса (амплитуды, длительности) и шумов (энергетического, фазового) на населенности уровней кубита.

6. Обобщение методики амплитудной спектроскопии на многоуровневые системы, в частности на систему двух связанных кубитов. Аналитическое и численное исследование населен-ностей уровней в рамках квазиэнергетического подхода. Получение интерференционных картин и проведение их анализа для извлечения дополнительной информации о системе.

7. Моделирование влияния шумовых эффектов (окружения) на интерференционные картины населенностей кубитов путем численного решения уравнения для матрицы плотности квантовым методом Монте-Карло [17].

8. Численное моделирование процесса детектирования состояния кубита нелинейным бифуркационным осциллятором, выступающим в качестве измерительного прибора. Для расчета результатов процессов измерений, имитирующих процессы измерений, проводимых в реальных "однократных" экспериментах [13] (single-shot measurements), используется метод квантовых траекторий (квантовый метод Монте-Карло) [17]. Данный метод позволяет изучить поведение системы в единичных актах измерения (реализациях) и исследовать переход к усредненной (статистической) динамике из первых принципов, а также провести сравнение результатов, полученных с помощью решения уравнения для матрицы плотности и метода квантовых траекторий. Проанализировать эффект влияния мезоскопического измерительного прибора (нелинейного осциллятора) на состояния кубита и промоделировать процесс неразрушающего измерения состояний, включая "распутывание" суперпозиционного состояния кубита.

Научная новизна

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в обнаружении следующих эффектов:

1. Установлено, что населенность уровней кубита в поле бигармонического сигнала чувствительна к относительной фазе составляющих управляющего импульса. Обнаружен эффект нелинейной интерференции, возникающий вследствие сложения амплитуды перехода на удвоенной частоте с амплитудой основной частоты сигнала, умноженной при смешении на нелиней-

ном элементе – кубите. При относительной фазе составляющих управляющего импульса, кратной /2, наблюдается динамическое пленение населенностей.

2. Показано, что запаздывание импульсов, поступающих на кубит, приводит к сильным ме-зоскопическим флуктуациям населенностей уровней кубита, а увеличение длительности импульсов и параметров шумов – к ослаблению обнаруженных флуктуационных эффектов.

3. Впервые получены резонансные условия для вероятностей многофотонных переходов двух связанных кубитов, которые зависят от константы связи кубитов. Кроме того, в спектрах поглощения кубитов при воздействии монохроматического поля обнаружены дробные резонан-сы для перехода из основного состояния на высший возбужденный уровень, условия возникновения дробных резонансов не зависят от константы связи.

4. Метод амплитудной спектроскопии обобщен для многоуровневых квантовых систем. Подробно исследован случай двух связанных кубитов. Показано, что в переменном поле произвольной амплитуды интерференционные картины населенностей взаимодействующих кубитов зависят от константы связи и соотношения между управляющими полями, действующими на каждый из кубитов. Это открывает в свою очередь новый способ определения константы связи кубитов и параметров сигналов, действующих на систему. Установлено, что квантовые шумы размывают интерференционные картины и приводят к уширению и перекрытиям резонансных пиков.

5. Впервые на основе метода квантовых траекторий исследована динамика связанной системы "кубит-измерительный осциллятор" в бозонном термостате. Данный подход позволяет моделировать процесс неразрушающего измерения состояний единичной системы, включая "распутывание" суперпозиционного состояния кубита. Кроме того, продемонстрирован процесс накопления статистических данных, получаемых в отдельных актах измерения.

Теоретическое и практическое значение

Новые научные результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть полезны при теоретическом исследовании многофотонных резонансов и нелинейных эффектов в куби-тах любого типа, например, для интерпретации результатов, полученных в ходе различных экспериментов над полупроводниковыми кубитами на квантовых точках или донорных атомах. Практически удалось достичь следующего:

1. Разработан метод амплитудной спектроскопии для многоуровневых квантовых систем на примере двух связанных кубитов. В переменном поле интерференционные картины населен-ностей взаимодействующих кубитов зависят от константы связи и несут информацию о параметрах кубитов. Фазовые шумы уширяют резонансы, что приводит к перекрытию резонансных пиков и размытию интерференционной картины. На основе разработанной методики расчета интерференционных картин населенностей связанных кубитов предложен способ извлечения дополнительной информации об исследуемой системе. В частности, обоснована возможность определения константы взаимодействия между кубитами и параметров сигналов, действующих на систему.

2. Разработан уникальный программный комплекс, который базируется на современных технологиях гетерогенных суперкомпьютерных вычислениях с использованием графических ускорителей (GPU, технология CUDA) и кластерных методах распараллеливания (MPI), позволяющий моделировать диссипативную динамику квантовых многоуровневых систем. Данный программный комплекс основан на квантовом методе Монте-Карло, который может быть использован для численного моделирования проводимых экспериментов, например по "однократным" измерениям состояний кубитов, а также для численного проектирования новых экспериментов и приборов квантовой оптики на начальной стадии исследований.

3. Предложена методика оптимального подбора экспериментальных параметров системы, включающая подбор характеристик сигналов (частоты, амплитуды, длительности импульса) для оптимизации процессов записи и считывания информации, что представляется важным как для квантовых вычислений, так и для сокращения времени и затрат при проведении реальных физических экспериментов.

На защиту выносятся основные положения:

Воздействие бигармонического импульса на кубит приводит к нелинейной интерференции амплитуд переходов на удвоенной и основной частотах. Населенность уровней кубита оказывается чувствительной к относительной разности фаз составляющих компонент бигармонического импульса. При относительной фазе управляющего импульса, кратной /2, имеет место динамическое пленение населенностей.

Разброс значений абсолютной фазы импульсов бигармонического сигнала, поступающих на кубит, обусловливает сильные мезоскопические флуктуации населенностей уровней кубита. Увеличение длительности импульса и времен энергетической и фазовой релаксации ослабляют интенсивность мезоскопических флуктуаций.

Сближения квазиэнергетических уровней в сильном переменном периодическом поле определяют положения многофотонных резонансов кубитов. Для взаимодействующих кубитов переходы из основного состояния на близлежащие уровни кубитов зависят от константы связи, кроме перехода на высоколежащий уровень.

Обнаружены дробные резонансы, обусловленные прямым переходом из основного состояния на высший возбужденный уровень. Условия возникновения дробных резонансов не зависят от константы связи.

Квантовые траектории связанной системы кубит-бифуркационный измерительный осциллятор несут информацию о динамике единичной квантовой системы в бозонном термостате, позволяя моделировать процесс неразрушающего измерения состояний, включая "распутывание" суперпозиционного состояния кубита.

Личный вклад автора в получение результатов

Автором внесен определяющий вклад в получение основных результатов диссертационной работы: принимала активное участие в постановке и решении задач, в обсуждении полученных результатов и их интерпретации, в написании программного комплекса для численного моделирования, а также готовила работы к печати.

Апробация работы

Изложенные в диссертации результаты обсуждались на семинарах ННГУ, ИПФ РАН, ИФМ РАН и докладывались на 27 международных и всероссийских конференциях, в том числе: 12-ом, 13-ом международном симпозиуме "Порядок, беспорядок и свойства оксидов" (Ростов-на-Дону, 2009, 2010); XIV-XVI, XVIII, XIХ международных симпозиумах "Нанофизика и нано-электроника" (Нижний Новгород, 2010, 2011, 2012, 2014, 2015); International conference on theoretical physics "Dubna-Nano2010" (Dubna, 2010); XV-XX нижегородские сессии молодых ученых. Естественные дисциплины (Нижний Новгород, 2010 - 2015); XII - XV всероссийских молодежных конференциях по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлек-тронике (Санкт-Петербург, 2010-2013); ХI всероссийской конференции "Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах" (Нижний Новгород, 2011); Всероссийские расширенные научные семинары "Методы суперкомпьютерного моделирования" (Таруса, 2011, 2014, 2015); "MESO-2012" Non-equilibrium and coherent phenomena at nanoscale (Chernogolovka, 2012); XXV IUPAP Conference on Computational Physics 2013 (Moscow, 2013); 1st International School and Conference “Saint-Petersburg OPEN 2014” (St. Petersburg, 2014); 13-я международная научная конференция-школа "Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение" (Саранск, 2014); IX всероссийская научная конференция молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации" (Новосибирск, 2014); The 18th Conference on Quantum Information Processing "QIP 2015" (UTS, Sydney, Australia, 2015).

Ценность результатов, изложенных в диссертации, отражена следующими наградами: 2009-2011 г. - стипендия Научно-образовательного центра "Физики твердотельных наноструктур" ННГУ им. Н.И. Лобачевского; 2010 г., 2011 г. - стипендия некоммерческого фонда Д. Зимина "Династия" для молодых физиков-теоретиков (студенческая программа); 2010 г. - диплом за доклад "Исследование нелинейных эффектов в квантово-размерных наноструктурах методом амплитудной спектроскопии" на XII Всероссийской молодежной конференции по физике полупроводников и наноструктур, полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-

Петербург); 2011 г. – победа в конкурсе "Эффективное использование GPU-ускорителей при решении больших задач", проводимом группой компаний "Т-Платформы" при поддержке МГУ имени М.В.Ломоносова (совместно с А.И. Гельманом); 2011 г., 2012 г. – победа в конкурсе научных работ аспирантов на получение финансовой поддержки диссертационных исследований, ННГУ им. Н.И. Лобачевского; 2011 г., 2012 г. – победа в конкурсе прикладных разработок и исследований в области компьютерных технологий "Компьютерный континуум: от идеи до воплощения" Intel; 2012 г. – победа на 17-й Нижегородской сессии молодых ученых (естественные, математические науки). Диплом первой степени в секции "Теоретическая физика"; 2012 г., 2013 г. – стипендия им. Г.А. Разуваева; 2012 г., 2013 г. – стипендия Президента РФ для аспирантов; 2013 - 2015 г. – стипендия некоммерческого фонда Д. Зимина "Династия" для молодых физиков теоретиков (аспирантская программа); 2014 г. – победа на 19-й Нижегородской сессии молодых ученых (естественные, математические науки). Диплом первой степени в секции "Теоретическая физика"; 2014 г. – победа на IX-ой всероссийской научной конференции молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации" (Новосибирск, 2014). Диплом о присуждении первого места в секции "Численное моделирование физических систем".

Результаты, составившие содержание диссертации, использовались при выполнении работ по грантам, где соискатель выступал в роли исполнителя: ФЦП №07.514.11.4012, ФЦП №07.514.11.4147, РФФИ № 12-07-31161, РФФИ 12-07-00546, РФФИ 14-07-00582, а также в программах "Развитие научного потенциала высшей школы" Минобрнауки РФ в 2012-2014 г № 24231201 и стратегической инициативе "Достижение лидирующих позиций в области суперкомпьютерных технологий и высокопроизводительных вычислений" 02.В.49.21.0003 МОН РФ и ННГУ. Кроме этого, соискатель также являлся руководителем двух грантов: ФЦП № 14.132.21.1399 и "Мой первый грант" № 12-07-31144 мол-а, при выполнении которых были получены основные результаты диссертационной работы.

По материалам диссертационного исследования издано три учебно-методических пособия.

В результате работы над диссертацией был создан уникальный программный комплекс с использованием суперкомпьютерных вычислительных технологий (MPI, CUDA) для расчета релаксационной динамики многоуровневых квантовых систем.

Публикации

Оригинальные результаты по теме работы опубликованы в 44 научных работах, в том числе 9 статей в международных и Российских журналах из списка ВАК, 31 материал конференций и абстрактов, 3 учебно-методических пособия.

Степень достоверности результатов проведенных исследований

Результаты, полученные аналитическими и численными методами, согласуются друг с другом и не противоречат имеющимся в литературе данным. Правильность выводов и согласованность полученных результатов неоднократно подтверждались при апробации работы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 174 страницы, включая 77 рисунков. Список цитируемой литературы содержит 165 наименований, список работ автора по теме диссертации – 44 наименования.

Потоковые и фазовые кубиты

Определяющую роль в работе квантовых устройств играют квантовые релаксационные процессы [38], поэтому актуальной задачей на сегодняшний день является экспериментальное и теоретическое изучение работы квантовых приборов в реальных условиях взаимодействия с внешней средой. Флуктуации напряжений на электродах, шумовые токи, неточности выполнения самих импульсных воздействий на кубиты вносят неконтролируемые ошибки в амплитуды и фазы состояний кубитов в ходе вычислительного процесса. Релаксационные процессы ограничивают временной интервал проведения квантовых вычислений. В силу этого, время декогерентности [37] кубита должно быть достаточным для вы полнения сложного алгоритма, состоящего из большого числа ( 109) гейтовых операций. Разработано несколько способов борьбы с процессами декогерентности, например, технологические - создание кубитов с хорошей изоляцией от окружения [38], или вычислительные - алгоритмы квантовой коррекции ошибок (Quantum Error Correction) [39].

Результат взаимодействия квантовой системы (кубита) с окружением приводит к двум основным типам релаксации: энергетической и фазовой. Во-первых, энергия кубита может измениться за счет взаимодействия с окружающей средой случайным образом, благодаря чему происходит переход кубита к тепловому равновесию за время Ті (установление равновесной населенности). В литературе данный процесс называется - энергетической или продольной релаксацией. Как правило, кубиты имеют довольно большое время Tь такое что за это время система может произвести необходимые вычисления. Также за это время реализуются протоколы по коррекции ошибок [39]. Кроме того, во многих экспериментальных системах Ті устанавливает шкалу времени для инициализации системы. Более опасными для квантовых вычислений являются процессы случайного сбоя фаз. Это известно как поперечная или фазовая релаксация. В силу того, что процессы сбоя фаз проходят без потери энергии, они случаются гораздо чаще, т.е. время декогеренции Т2 обычно больше, чем время энергетической релаксации: Ті Т2. Как правило, при изучении характеристик кубитов проводится необходимое количество экспериментальных опытов для набора статистических данных, после чего производится усреднение по ансамблю измерений. За счет того, что сбой фаз происходит случайно, результат измерения в каждом акте измерения слегка различается, что позволяет ввести понятие - дефазировка (dephasing) - среднее время фазовой релаксации Т 2.

Время фазовой релаксации является минимальным временем сохранения когерентности в кубите, поэтому именно данный временной параметр используется в качестве определяющей характеристики для перспективности выбора той или иной физической системы в качестве кубита. Отметим, что измеренные значения T2 не являются фундаментальными для материала и технологии. Обычно это время может быть увеличено с помощью различных средств, как, например, декогеренция свободных подпространств [38], которые менее чувствительны к шуму; применение методов динамического развязки [40-42] - спиновое эхо, периодически обратный эффект шума окружающей среды и т.д.

Конечно, существуют и другие процессы релаксации в кубитах, помимо энергетической и фазовой. Например, многокубитные системы имеют дополнительные источники шума за счет взаимодействий кубитов, температурные эффекты, взаимодействие с измерительными приборами и т.д.

Модель двухуровневой квантовой системы давно изучается в квантовой механике и активно используется в физике для описания целого класса объектов, которые можно разделить на два класса [3, 7]: природные микросистемы (нейтральные атомы, ионы) и "искусственные атомы" (например, спины в твердых телах, ядерные спины в молекулах, элек тронные или спиновые состояния примеси фосфора в кремнии, состояния фотонов, направления циркулирующего тока в сверхпроводящих контурах и т.д.).

Существует несколько требований, сформулированных Д. Дивинченцо [D. DiVincenzo], указывающих на то, какая физическая система может быть претендентом на роль кубита [1]. Кратко данные требования гласят, что идеальные кубиты для квантового компьютера должны быть управляемыми (набор квантовых гейтовых операций), масштабируемыми (иметь контролируемое взаимодействие между кубитами), адресуемыми (инициализация в начальный момент времени), считываемыми, а также максимально изолируемыми от окружения, чтобы на длине когерентности можно было произвести все необходимые квантовые вычисления и манипуляции над состоянием кубита. Удовлетворить данным критериям довольно сложно, поэтому существует не так много физических систем, которые могут продемонстрировать эффективность квантовых вычислений.

Первые кубиты были предложены на основе атомных систем. Одно из их существенных преимуществ - это слабое взаимодействие с окружающей средой, что приводит к достаточно большому времени когерентности (времени фазовой релаксации) - порядка нескольких секунд для нейтральных атомов и 100 мкс для ионов в ловушках (cм. например работы в обзоре [7]). Захват и манипуляция атомов могут быть произведены с высокой точностью [43] при использовании довольно сложных и дорогостоящих лазерных установок для оптической накачки и лазерного охлаждения. Запись и считывание состояний в таких системах является очень проблемным моментом, хотя в настоящее время существуют эксперименты, дающие надежду в преодолении данной проблемы (cм. ссылки в обзорах [3, 7]). В случае нейтральных атомов создание многокубитных систем является трудоемкой проблемой за счет слабого взаимодействия атомов друг с другом. Существуют попытки использования диполь-дипольного взаимодействия для создания двухкубитных логических элементов, например, на полярных молекулах [44] или ридберговских атомах [45]. В случае же ионов, пойманных в ловушки электрическим (или магнитным) полями, создание многокубитных систем не является основной проблемой, так как между ионами существует сильное кулоновское отталкивание. Для ионов в ловушках экспериментально продемонстрированы многокубитные схемы [46] и выполнены квантовые алгоритмы [47, 48].

К настоящему времени существует огромное количество различных твердотельных систем, выступающих в роли кубитов. Одними из самых перспективных являются спины в твердых телах и сверхпроводящие контура микронных размеров. В качестве спиновых систем могут выступать, например, электронные спины в двумерном электронном газе нано-размерных полупроводниковых квантовых точек [49], а также электронные и ядерные спины в NV центрах в алмазе [50]. Сверхпроводящих систем, выступающих в роли кубита, огромное количество: обычно все эти системы представляют собой макроскопические сверхпроводящие контура [9] со встроенными слабыми связями (джозефсоновскими переходами). Физическими объектами, хранящими квантовую информацию в сверхпроводниковом кубите, могут быть как число сверхпроводящих электронов на островке (зарядовый кубит), направления циркулирующего сверхтока в контуре (потоковый кубит), так и колебатель ные состояния цепи (фазовый кубит).

По сравнению с нейтральными атомами и ионами в ловушках, твердотельные системы ("искусственные атомы") на протяжении уже многих лет имеют ряд неоспоримых преимуществ, но также и один недостаток. Одним из главных плюсов твердотельных кубитов является хорошо отработанная технология изготовления нано- и мезоструктур, что позволяет создавать необходимые дизайны на чипе и варьировать параметры кубитов в широком диапазоне. Отработанная технология создания уединенных систем легко интегрируется в создание массивов кубитов с идентичными или с немного различающимися параметрами в зависимости от необходимых требований экспериментов. Что касается способов управления и контроля за состояниями кубитов, они могут отличаться в зависимости от характерных частот переходов между уровнями в кубитах. Инициализация, манипуляция состояниями, а также считывание обычно производятся с помощью электромагнитных схем управления, но для некоторых систем, как, например, NV-центров в алмазе, используются оптические методы контроля. Следовательно, по сравнению с ионами в ловушках и нейтральными атомами, схемы управления и контроля твердотельными кубитами реализуется более простыми средствами. Касательно недостатка использования "искусственных атомов" в роли кубитов – это более короткие времена декогеренции по сравнению с естественными атомами [3]. Однако известно, что для реализации квантовых вычислений достаточно, чтобы время декогеренции было в 104 раз больше, чем время для выполнения логических операций. Данное требование для "искусственных атомов" выполняется. Например, для сверхпроводящих кубитов длительность контролирующего электромагнитного импульса составляет 4-20 нс, что в десятки раз меньше времени разрушения когерентности. Технологический прогресс создания твердотельных кубитов показывает, что с каждым годом эти времена увеличиваются, и данный недостаток "искусственных атомов" уже не настолько критичен. На рис. 1.2 приведены актуальные данные по временам декогеренции из современных обзоров по полупроводниковым [51] (рис. 1.2 (а)) и сверхпроводящим кубитам [11] (рис. 1.2 (б)).

Квазиэнергетические состояния кубита и многофотонные резонансы

Обычно для отыскания квазиэнергий используют периодичность функций \Фк(0) , раскладывая их в ряд Фурье [30]. В свою очередь, коэффициенты ряда Фурье удовлетворяют бесконечномерной системе линейных уравнений, которая решается приближенно путем конечномерной аппроксимации. В данной работе вид функций \Фк(і) и квазиэнергии Qk находится численным методом по схеме Кэли [143]. Таким образом, нам не нужно работать с матрицами большого размера, а также такой подход позволяет получить контролируемое приближенное решение.

Амплитуда перехода системы в момент времени t определяется действием на начальный вектор состояния оператора Флоке: ,?0) = ф,() а("0)/Й(Ф,(/0). (2.23) Пусть первоначально система находилась в состоянии \а). Предполагается, что ввиду взаимодействия с термостатом волновая функция имеет случайную фазу, т.е. первоначально система фактически характеризуется матрицей плотности. Вероятность перехода в возбужденное состояние /?), усредненная по случайным фазам прихода импульса на систему (времена t0), описывается следующим выражением, зависящим от длительности импульса Г где М(к) (т) = -\е-т,ат {р\Фк(т + т ))(Фк(т )\а)(іт . Выражение (2.24) показывает, что в сильном поле эволюция системы происходит через промежуточные квазиэнергетические состояния кубитов. Можно показать, что вероятность перехода (2.24) содержит быстро осциллирующие по времени слагаемые, которые могут быть определены, если время действия импульса намного больше периода т » Т. Исключения составляют вклады с почти равными квазиэнергиями. После усреднения по длительности импульса вероятность перехода вычисляется следующей формулой: =ЕЕ( І(М)(й)к 2 , (2.25) к п,гп где фурье-компонента ф } квазиэнергетической функции определена соотношением: 1 т I ф( ) J = _ j е иа І фк ( . (2.26) Разработанная в диссертационной работе численная методика позволяет получить квазиэнергии и соответствующие им квазиэнергетические функции, а по ним - найти вероятности переходов в поле произвольной амплитуды и построить интерференционные картины, демонстрирующие зависимость вероятности перехода от различных параметров сигнала.

Пусть первоначально кубит находился в состоянии сЛ = -\, которое является собственным вектором гамильтониана (2.1) в отсутствие переменной составляющей поля (А = 0 в выражении (2.4)), т.е. кубит был "приготовлен" на энергетическом уровне Е_ =—JS0 + А2 . Будем интересоваться вероятностью перехода кубита в конечное состояние /?)=(1,0)г (после действия импульса поля), которое связано с измеряемой экспериментально проекцией тока в сверхпроводящей петле потокового кубита [132, 133]. Для вычисления вероятностей населенностей уровней системы мы используем квазиэнергетическое представление, описанное в разделе 2.4.

Предварительно исследуем поведение квазиэнергетических кривых Q1(E0) и Q2(0) в зависимости от управляющего параметра 0 (см. рис. 2.3 (а). Когда выполняется условие А«Псо, численный анализ показывает, что кривизна дисперсионной зависимости уровней кубита от є0 не играет важной роли в формировании квазиэнергетических уровней и в значениях вероятностей резонансных переходов. Квазиэнергии являются периодическими функциями по энергии с периодом hco, и они описываются линейным законом Q12 =+є0 /2 (mod hco ). Однако когда управляющий параметр є0 А, кривизна квазиэнергетических уровней важна, и их поведение не описывается линейным законом. Для целочисленных значений 0, когда выполняются условия резонансов (2.15), происходят сближения квазиуровней, что сопровождается появлением пиков на графике населенности уровня /?) кубита (рис. 2.3 (б)), которые физически соответствуют областям многофотонных переходов. Рис. 2.3. Зависимость квазиэнергетических уровней от управляющего параметра (а), где пунктирная кривая соответствует 21(0), а сплошная - Q2(e0). Вероятность перехода куби та Ра р (б). Параметры системы: Mho = 0.25, А/hco = 5 ГГц, у = 0.5, Є = п .

При условии А «two, резонансные пики межуровневых переходов имеют лоренцев-скую форму. Пренебрегая влиянием шумов на систему, можно заметить, что многофотонные переходы происходят, когда выполнено условие резонанса (2.15), т.е. є0 +(n + 2m)ha = 0. Эффекты декогеренции и случайный сбой фаз приводит к эффективному уширению уровней, в результате чего происходит уширение пиков многофотонных переходов. Данное утверждение доказано с помощью теории возмущений [19], которая дает точные зависимости лоренцевых пиков для вероятностей переходов.

В случае, когда частота внешнего поля и туннельная константа кубита одного порядка, т.е. А two , кривизна дисперсии уровней влияет на формирование нерезонансного фона и изменяет форму пиков многофотонных резонансов. Отметим, что если выполнено неравенство А »two, то форма резонансов сильно зависит от туннельного параметра кубита А. Нерезонансный фон возрастает и приводит к уширению и перекрытию соседних многофотонных резонансов, что продемонстрировано с помощью численного моделирования на рис. 2.4. Рис. 2.4. Зависимость вероятностей перехода между уровнями кубита Pа р от управляющего параметра аь при различных значениях туннельных констант: синяя кривая Mho = 0.01 ГГц, черная - Mho = 0.1 ГГц и красная - Mho = 0.5 ГГц. Остальные параметры системы аналогичны тем, что представлены на рис. 2.3.

Поведение квазиэнергий при изменении амплитуды поля A также могут быть качественно поняты в рамках резонансного приближения. Действительно, в этом приближении квазиэнергии являются собственными значениями гамильтониана (2.16), т.е. они определяются частотой Раби: Q=lR, Q2= -lR . Следовательно, выражение (2.14) для обобщенной частоты Раби ПR приближенно описывает зависимость квазиэнергий от амплитуды поля. На рис. 2.5 приведены зависимости квазиэнергетических уровней и вероятностей населен-ностей уровней системы Pа р , рассчитанные согласно формулам (2.22) и (2.25), при изменении амплитуды A бигармонического поля. Как видно, точки антикроссинга соответствуют малым частотам Раби и наблюдается эффект динамического пленения (динамической локализации) населенностей. При изменении знака управляющего параметра 0 наблюдается сдвиг участков, где сближаются квазиэнергии, что соответствует явной асимметрии в квазиуровнях и, следовательно, является причиной асимметрии населенности возбужденного уровня кубита в зависимости от амплитуды поля (рис. 2.5 (б)). Заметим, что в случае монохроматического сигнала (у = 0 ) квазиэнергетические уровни при 0 0 и 0 0 совпадают. Из проведенного анализа следует, что кубит чувствителен к изменению параметров бигармонического сигнала, т.е. показано влияние формы бигармонического управляющего поля на экспериментально измеряемую величину (проекцию сверхтока в интерферометре). Это позволяет контролировать переходы между уровнями кубита путем изменения параметров бигармонического поля.

Анализ по теории возмущений (разложение по туннельным константам)

В симметричной системе нелинейный резонанс может отсутствовать, когда выполня ются резонансные условия (3.11). Качественно зависимости населенностей уровней Pa(t) от амплитуды поля, могут быть объяснены исходя из резонансной теории, изложенной в пре дыдущем разделе. Как было показано выше, частота осцилляций пропорциональна функ ции Бесселя Jп и обращается в нуль, если выполняются условия "\hco ) 47 =/ш//Г(4Т =hav"), где //,"Х - это решения, когда Jn(tf)=0 (J n(v ) = 0). Следовательно, вероятности заселения P(J) имеет пики и нули в соответствии с поведением функции Бесселя п-го типа.

Важно отметить, что подробная информация о динамике населенностей является достаточно универсальной при большой (по отношению у другим энергетическим параметрам системы) амплитуде возбуждающего поля. Однако, если амплитуда сравнима с расстоянием между уровнями и значением константы связи, то динамика определяется очень сложно, так как все три частоты, имеют важное значение.

Несимметричные кубиты рассчитываются подобным образом, как и симметричные кубиты, описанные выше. Рис. 3.3 (в) показывает поведение четырх адиабатических уровней кубита с течением времени. Временная зависимость населенностей приведена на рис. 3.3 (г). Видно, что населенности уровней также осциллирует при высокой амплитуде около некоторых средних значений, и при сближении уровней происходят перебросы, согласно теории Ландау-Зинера.

В данном разделе диссертационной работе проводится обобщение методики амплитудной спектроскопии на случай многокубитных систем. На примере двух взаимодействующих кубитов, показаны особенности многофотонных резонансов при сканировании по амплитудам постоянного и переменного поля. В силу того, что в общем случае система двух связанных кубитов имеет четыре квазиэнергетических уровня в сильном переменном поле для анализа формирования интерференционных картин вероятностей переходов, получаемой вследствие интерференции Ландау-Зинера-Штюкельберга [115]. Изучаются переходы между основным состоянием и возбужденными уровнями, т.е для несимметричных кубитов Р 2; Р 3 и Р 4, а для симметричных кубитов Рм; Р 3. Экспериментально метод амплитудной спектроскопии применен только в случае одного кубита, поэтому численное моделирование для двух кубитов основывается на известных данных взятых из статей [19, 21]. Предполагается, что возбуждение системы происходит импульсом высокочастотного поля большой амплитуды A, s0102 » ho, длительность которого составляет несколько сот периодов внешнего поля т » 100Г (Т = 2лIСО) . Для формирования результирующих данных о конечном состоянии системы производится несколько тысяч реализаций численного эксперимента с одинаковыми начальными условиями. Будем предполагать, что в условиях реального эксперимента при обработке статистических данных эффективно производится два типа усреднения: по длительности сигнала и по запаздыванию прихода сигнала на кубиты, за счет потерь в коаксиальных линиях передачи (для этого эффективно введены фазы (р в (3.5) и ср12 в (3.6)). Теоретический анализ с учетом данных усреднений проводится в квазиэнергетическом представлении. Отметим, что аналитически временное усреднение производится по длительности импульса (как в экспериментах), считая что длительность импульсов очень большая т» 1007". Данный факт влияет лишь на контрастность интерференционных картин, т.е. на относительные значения вероятностей, а положения многофотонных резонансов и принципы их формирования не меняются.

При фиксированной частоте и амплитуде внешнего возбуждающего переменного поля, меняя постоянную составляющую сигнала є0, можно исследовать особенности возникновения многофотонных резонансов в системе симметричных кубитов. Как известно, при произвольной амплитуде внешнего поля нельзя говорить о переходах между стационарными уровнями, а следует ввести понятие о квазиэнергетических состояниях в системе, и именно благодаря переходам между квазиуровнями формируются многофотонные резонансы. Для понимания как ведут себя квазиуровни двух связанных кубитов мысленно можно провести на дисперсионных кривых (аналогичных тем, что представлены на рис. 3.2) множество линий параллельных оси абсцисс на расстоянии nhco друг от друга, а затем перенести фрагменты кривых из каждой полосы в первую зону "Бриллюэна" -hco/2 Qk hco/2.

Полученная картина будет примерно соответствовать квазиэнергетическим зависимостям на рис. 3.4 (а), которые были рассчитаны с помощью численного решения уравнения (2.9) для симметричных кубитов. Из рис. 3.4 (а) хорошо видно, что при условии є0 » А квазиэнергии ведут себя в соответствии с почти линейным законом дисперсии несвязанных кубитов, а когда є0 А, то сказывается влияние кривизны закона дисперсии.

Пики вероятностей переходов на рис. 3.4 (б) в зависимости от смещения Є0 соответствуют и-фотонным резонансам для симметричных кубитов, положения которых определяются условиями, полученными как в рамках резонансного приближения (3.11), так и с помощью теории возмущения по туннельным константам (3.28) и (3.42). На рис. 3.4 положения резонансов сопоставлены со сближениями квазиэнергетических уровней, что продемонстрировано вертикальными прямыми на рис. 3.4. Видно, что переход 1 2 (красная кривая) и переход 2 3 (зеленая кривая) происходит при сближении квазиэнергетических уровней, показанных зелеными и синими линиями. Положения этих пиков строго соответствует условиям (3.28), то есть наблюдается сдвиг от целого значения управляющего параметра на величину взаимодействия J Иной характер многофотонных резонансов происходит при переходе из основного состояния на высший уровень 1 3, см. на поведение синей кривой на рис. 3.4 (б). Как видно, резонансы не сдвигаются на величину J, а происходят в соответствии с условиями (3.40) -(3.42), что более детально продемонстрировано на рис. 3.5. Главные пики, соответствуют условию (3.42) и, в соответствии, с выводами сделанными на основании резонансной теории возмущения могут достигать максимально значения max[P 1 3] = 0.5. Положение резонансов, отвечающих целым значениям управляющего параметра є0, отвечают сближениям квазиуровней, изображенных зелеными и красными кривыми. Многофотонные резонансы при полуцелых значениях постоянного смещения є0 формируются за счет сближения другой пары квазиуровней (синяя и красная кривая на рис. 3.4 (а)). Положение побочные пиков на рис. 3.5, обладающих небольшой интенсивностью, отвечают условиям (3.40) и (3.41) и их можно охарактеризовать как интерференционные пики за счет переходов 12 и 23 (левый и правый побочные пики на рис. 3.5 соответственно).

Модель кубита в бозонном термостате

В качестве примера измерительного устройства выбран джозефсоновский осциллятор, взаимодействующий с зарядовым кубитом специального вида - так называемый "квантро-ниум"-кубит - quantronium qubit (см. описание в разделе 1.5.1.2).

Предполагается, что два джозефсоновских перехода, функционирующие в режиме ку-лоновской блокады (см. рис. 4.5), соединены со сверхпроводящим островком и имеют полную емкость Cj, а каждый из переходов имеет джозефсоновскую энергию Ej/2, они "смещены" постоянным потенциалом Vg и могут возбуждаться дополнительно микроволновым излучением через емкость С [28, 131].

Используя уравнения Джозефсона и законы Кирхгофа, можно записать полный гамильтониан системы, Н = HQQ+Hj. Гамильтониан расщепленного куперовского островка ("чер 132 ный кружок", разделяющий джозефсоновские переходы на рис. 4.5) HQQ включает в себя электростатическую энергию островка и джозефсоновскую энергию двух маленьких сверхпроводящих переходов: где N и QI2e обобщенные импульсы, сопряженные к фазам д и в, соответственно купе-ровского, Ej, и джозефсоновского переходов, Ef (подробности вывода гамильтониана системы можно найти в работе [82]). Как видно, связь двух подсистем осуществляется за счет общего участка цепи, обуславливающего зависимость от фазы в в потенциальной энергии выражения (4.7). Управление состояниями кубита осуществляется переменным напряжением V(t) = Vg +У (і)со5соі, которое меняет заряд на емкости С , а переменный ток I(t) в правой части контура служит для управления измерительным джозефсоновским осциллятором. Схема кубита (центр рисунка), связанного с устройством записи (левая часть рисунка) и взаимодействующего со слабодиссипативным измерительным джозефсоновским осциллятором (правая часть рисунка). Перечеркнутыми квадратиками обозначены джозеф-соновские переходы. Островок (кружок, разделяющий перечеркнутые квадраты) является в то же время вторым контактом переходов (см. [28, 131]).

Вблизи точки кулоновского вырождения, когда энергии островка для N и N + \ частиц равны, можно использовать базисные состояния JV и 7V + 1 (N\N =N\N ) для гамильтониан состояний островка. В подпространстве: N) = (1,0)г и JV +1) = (О, \)т аппроксимируется выражением:

При относительно малом токе 1(f) джозефсоновский осциллятор работает в слабо нелинейном режиме. Тогда потенциал в выражение (4.9) можно разложить по степеням в: Н = 2ЕсС (І)сгх- сг2+ + Е,(\ + Лсг2) — -Е,(\ + -сг) — -—І(і)в, (4.10) с е х 2 г 2С J 2 \ 4 z)А\ 2е где A = EJIAERJ. Вводя операторы рождения ат и уничтожения а для параметризации координаты в = (а + аї)(2Е«/Е;) и импульса осциллятора N = -і(а-аї)(Е«/2Е,У 4 (Q = 2eN, N = -id/de) с учетом [#,iv] = /, можно эффективный гамильтониан (4.10) связанной системы "кубит+нелинейный осциллятор" представить в виде: H = Hq+Hosc+Hmt. (4.11)

Здесь первое слагаемое - гамильтониан кубита Н , записывается в стандартном виде (4.1). Расстояние между уровнями кубита определяется джозефсоновской энергией Йю? =-2Ej ; а управляющая функция s(t) = АЕСС V if) I е будет индуцировать переходы между состояниями кубита \а) (сг2\сг) = сг\сг), сг = ±1). Предполагается, что управление кубитом будет осуществляется раби-импульсами переменного поля s(t) = Acoscot определенной длительности, позволяющими приготавливать наперед заданную суперпозицию состояний кубита.

Измерение состояний кубита предполагается осуществлять нелинейным осциллятором (4.10), который переписан в терминах операторов рождения и уничтожения, согласно ё = (а + а )(2Екс/Е,)Ш и Q =-2ге{а-a%ERc /Щ) " : Hosc=hcDya- ( +a)4+f(t)(a + a X (4.12) где со =№ - - собственная частота осциллятора (/ - критический ток на большом джо-J V hC зефсоновском переходе), м = Е /т - параметр нелинейности, f(t) = f0 cos Qt - возбуж f R V4 дающее поле осциллятора (f(t) I(t)/I , f =JL 2EC ). Практически в процессе измере С 2е{Е, ) ния джозефсоновский осциллятор может быть переведен в когерентное состояние током "накачки" I(t) . Такая процедура осуществлена экспериментально в работе [82]. Наконец, последнее слагаемое в (4.11) отвечает за взаимодействие кубита с измерительным осциллятором: ( 1 Hmt=A tHQjda—fiirf +а) 4 а1, (4.13) v 4 ) где Я - константа связи кубита и осциллятора. Отметим, если управляющее поле отсутст 134 вует e(t) = 0, то оператор взаимодействия (4.13) коммутирует с гамильтонианом кубита (4.1), поэтому осциллятор производит так называемое "неразрушающее измерение" [124]. В случае же действия поля (s(t) # 0) состояния подсистем являются запутанными.

При рассмотрении динамики связанной системы "кубит-измерительный осциллятор" необходимо учитывать появление дополнительных каналов декогерентности, которые появляются не только за счет взаимодействия электронов с фононами, как при рассмотрении диссипативной динамики единичного кубита в разделе 4.1, а также необходим учет дополнительного радиоционного взаимодействия с электромагнитным полем, подаваемым на нелинейный осциллятор. В силу этого процессы релаксации можно рассматривать как взаимодействие системы - "кубит-осциллятор" - с бозонным резервуаром с большим числом степеней свободы. Отметим, что расчеты, проведенные в разделе 4.1, показали, что вклад релаксационного слагаемого, отвечающего за термическое возбуждение, мал по сравнению с двумя другими каналами декогерентности в кубите (фазовой и энергетической релаксации), поэтому при рассмотрении связанной системы "кубит-осциллятор" проведено упрощение и процессы термического возбуждения не учитываются при записи интеграла столкновения. Следовательно, полный гамильтониан шума, соответствующий вкладу бозонных возбуждений имеет вид: Нnoise = Fzaz + FxGx + Rd + R a , (4.14) где эрмитовы операторы Fz(t), Fx(t) резервуара отвечают за продольную и поперечную релаксацию кубита (линейно зависят от операторов резервуара), а оператор R(t) отвечает за релаксацию измерительного прибора (нелинейного джозефсоновского осциллятора). Таким образом, полный гамильтониан, описывающий релаксационную динамику системы