Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Задачи управления колебаниями 18
1.1. Краткая история исследований свойств устойчивости нелинейных колебательных систем 18
1.2. Примеры задач поддержания автоколебаний 21
1 2.1. Задача о выбросе из потенциальной ямы 21
1.2.2. Задача поддержания автоколебаний маятника 22
1.2.3. Система поддержания экологического равновесия 24
1.2.4. Гашение вращений космического аппарата 25
1.2.5 Задача амортизации динамических систем 26
1.3. Виды задач управления колебаниями 28
1.3 1. Модели объектов управления 28
1.3 2. Цели управления в колебательных системах 29
1.3.3 Алгоритмы управления 32
1.3.4 Задачи управления в колебательных системах 33
1.4. Обзор существующих решений 34
ГЛАВА 2. Анализ колебательных систем 37
2.1. Методы исследования колебательности и устойчивости относительно множества 37
2.1.1. Виды колебаний 37
2.1.2. Колебания в динамических системах 38
2.1.3. Устойчивость относительно множества 42
2.1.4 Устойчивость множеств в присутствии возмущений 48
2.2. Колебательность по Якубовичу 53
2.2.1. Классические результаты . 53
2.2.2. Развитие на нелинейные системы общего вида 54
2.2.3. Индексы возбудимости 60
2.2.4. Колебательность систем с запаздыванием 65
ГЛАВА 3. Робастное управление колебаниями 74
3.1. Управляющие функции Ляпунова в задаче стабилизации относительно множества 75
3.1.1. Стабилизация относительно начала координат 15
3.1.2. Стабилизация от входа к выходу 86
3.1.3. Необходимость существования управляющих функций Ляпунова для задач стабилизации относительно множества 93
3.2. Робастная стабилизация относительно множества методом скоростного градиента . 95
3.3. Перенос управления через интегратор в задаче стабилизации относительно множества 101
3.3.1. Робастная стабилизация относительно множества 102
3.3.2. Стабилизация от входа к выходу 105
3.3.3. Робастная стабилизация маятника с динамическим исполнительным механизмом 107
3.4. Управление генерацией и поддержанием колебаний 108
3.4.1. Синтез закона управления 109
3.4.2. Расчет системы управления колебаниями носа летательного аппарата 113
ГЛАВА 4. Адаптивно-робастное управление колебаниями 118
4.1. Адаптивная стабилизация от входа к выходу 119
4.1.1. Невозмущепный случай 120
4.1.2. Возмущенный случай 123
4.1.3. Адаптивно-робастная стабилизация энергии маятника с компенсацией трения 124
4.2. Адаптивные частичные наблюдатели в присутствии возмущений 126
4.2.1. Постановка задачи 128
4.2.2. Синтез адаптивного наблюдателя . 131
4.2.3. Исследованиеробастных свойств 135
4.2.4. Модель брюсселятора . 137
4 2.5. Модель Дуффинга 139
4.3. Адаптивно-робастная стабилизация для класса нелинейно параметризованных систем 142
ГЛАВА 5. Адаптивная настройка на бифуркацию 150
5.1. Постановка задачи 150
5.2. Единичная относительная степень 153
5.3. Неединичная относительная степень 160
5.3.1. Случай без помехи в канале измерения 162
5.3.2 Случай с помехой в канале измерения 165
5.4. Адаптивно-робастная стабилизация нелинейных систем с оценкой производной функции выхода 167
5.4.1. Математическая формулировка задачи 169
5.4.2. Синтез адаптивно-робастной системы управления 170
ГЛАВА 6. Динамическая адаптивная синхронизация 178
6.1. Постановка задачи 180
6.2. Случай системы Лурье 182
6.3. Синтез систем управления строем 186
6.3.1. Циклическая синхронизация 186
6.3.2. Синхронизация двух маятников с заданным сдвигом фаз 189
ГЛАВА 7. Неиросетевая стабилизация от входа к выходу 192
7.1. Архитектура искусственных нейронных сетей 193
7.1.1. Базовый процессорный элемент 193
7.1.2. Слой базовых процессорных элементов 194
7.1.3. Статические многослойные нейронные сети 194
7.1.4. Алгоритмы обучения многослойных нейросетеи прямого действия 196
7.2. Использование нейросетеи в задачах управления 197
7.2.1. Использование статических многослойных нейросетеи в задачах управления динамическими объектами 198
7.2.2. Использование динамических многослойных нейросетеи в адаптивных системах автоматического управления 200
7.3. Этапы синтеза систем управления с многослойными нейронными сетями 202
7.4. Особенности нейросетевого управления 204
7.5. Анализ адаптивной нейросетевой системы управления 207
7.5.1 Регулярная задача 209
7.5.2. Крит ическая задача 213
ГЛАВА 8. Управление резонансными режимами работы вибрационных машин 222
8.1. Формальная постановка задачи 224
8.2. Алгоритм управления на основе наблюдателя 226
8.3. Нелинейный алгоритм управления на основе скоростного градиента 235
8.4. Адаптивное гашение и возбуждение вибраций 241
8.5. Управление асинхронным двигателем 249
8.6. Алгоритм "Полоска-2" 251
ГЛАВА 9. Стабилизация момента на валу двигателя внутреннего сгорания 253
9.1. Постановка задачи 253
9.2. Задача объединения локального и глобального регуляторов 255
9.3. Синтез регуляторов для двигателя внутреннего сгорания 258
9.3.1. "Глобальный"регулятор 258
9.3.2. "Локальный"регулятор . 260
9.3.3. Логико-командное управление двигателем 263
Заключение 265
Список литературы 267
- Необходимость существования управляющих функций Ляпунова для задач стабилизации относительно множества
- Адаптивно-робастная стабилизация энергии маятника с компенсацией трения
- Адаптивно-робастная стабилизация нелинейных систем с оценкой производной функции выхода
- Использование динамических многослойных нейросетеи в адаптивных системах автоматического управления
Введение к работе
На современном этапе развития теории автоматического управления возрастает роль задач управления колебательными процессами функционирования нелинейных динамических объектов Это связано, прежде всего, с открытием и интенсивным развитием новых областей практических приложений управления вибрационными установками, управления техническими системами в хаотических и бифуркационных режимах, управления открытыми физическими и биологическими системами Повышение требований к качеству переходных процессов в традиционных областях применения теории синтеза нелинейных колебательных систем, таких как электротехника, робототехника и вибрационная механика, привело к необходимости разработки новых методов конструирования систем, учитывающих неопределенные условия функционирования колебательных объектов и внутренние параметрические неопределенности
Например, подобная ситуация возникает при построении резонансных вибрационных машин (И И Блехман) или манипуляционных авторезонансных систем (В И Бабицкий), функционирующих на собственной частоте рабочего механизма, что позволяет существенно снизить энергетические затраты исполнительных устройств
Эффективность работы вибрационной машины в значительной мере определяется интенсивностью колебаний рабочего органа, которая зависит от частоты возбуждения Поэтому наиболее эффективными являются резонансные машины, в которых в качестве основных рабочих режимов используются резонансные колебания исполнительных механизмов Принцип работы таких машин основан на использовании явления резонанса колебательной системы при воздействии на нее периодической вынуждающей силы При резонансе происходит резкое возрастание амплитуды колебаний при заданной вынуждающей силе, и, наоборот, любая заданная амплитуда колебаний достигается при минимальном силовом воздействии со стороны возбудителя колебаний Однако, любые внешние возмущения или отклонение значений параметров от номинальных приводят к уходу системы из резонансного режима работы, что увеличивает энергетические потери системы и делает затруднительным ее функционирование в условиях существенного изменения значений параметров (до 100% от номинальных величин) или присутствия возмущений
Другой пример - двигатели внутреннего сгорания Серьезная конкурентная борьба между различными фирмами на рынке производства двигателей внутренне го сгорания приводит к быстрому повышению требований к рабочим характеристикам двигателей (расходу топлива, максимальному крутящему моменту, кривой разгона, экологичности) Множественность режимов работы двигателя и широкий диапазон условий функционирования затрудняют заводскую настройку двигателя, обеспечивающую приемлемое качество функционирования системы для всех возможных условий работы Использование адаптивных технологий позволяет преодолеть указанный недостаток, но отсутствие теоретических результатов, применимых к проблемам управления колебательными системами, не позволяет сделать это в полной мере Поэтому проблема повышения качества функционирования систем возбуждения и поддержания желаемых колебательных режимов движения в нелинейных неопределенных динамических системах является важной и актуальной
Феномен нелинейных колебаний охватывает широкое множество возможного поведения динамических систем от периодических или гармонических колебаний до рекуррентных и хаотических движений Исследования в этой области в значительной степени опираются на достижения отечественных научных школ по изучению нелинейных колебаний, представленных работами А А Андронова, И И Блехмана, Н Н Боголюбова, П С Ланда, Г А Леонова, Ю А Митропольского, Ю И Неймарка, В В Немыцкого, Я Г Пановко и их учеников Важный и практически полезный подход к изучению сложных колебательных режимов движения основан на понятии колебательности, введенном в 1973 году В А Якубовичем Этот подход позволяет получить частотные условия колебательности для класса систем Лурье, состоящих из номинальной линейной части и нелинейной обратной связи по выходу Однако при изучении многих физических и механических процессов более естественной выглядит декомпозиция системы на две нелинейные части (например, механические системы с функцией энергии, выполняющей роль функции Ляпунова системы) Для подобных систем вопросы анализа и синтеза колебательных режимов исследованы недостаточно
Возникновение колебательных режимов движения зачастую связано с приближением значений параметров системы к точке бифуркации, достижение которой приводит к появлению колебаний и неустойчивости Задача управления бифуркациями является достаточно новым направлением теории управления (Ю В Колоколов, Е Abed, G Chen) Одна из главных проблем в этой области состоит в сложной зависимости коэффициентов закона управления от параметров объекта На практике эти параметры отличаются от используемых при аналитическом расчете закона управления В силу того, что бифуркационные или резонансные свойства системы чувствительны к малым изменениям параметров, даже малая ошибка при расчете коэффициентов регулятора может привести к значительным отклоне ниям в поведении системы Более того, система в точке бифуркации находится на границе устойчивости и малая ошибка в значениях коэффициентов может оказаться причиной неустойчивого поведения системы Для преодоления этого недостатка можно использовать методы адаптивного управления для настройки коэффициентов закона управления с целью обеспечения системе бифуркационного или резонансного режима с желаемыми свойствами, что, однако, оказывается невозможным в рамках современной теории адаптивного управления, не рассматривающей случай неустойчивого или бифуркационного желаемого режима объекта
Существующие методы стабилизации колебательных режимов движения (Л Д Акуленко, В К Асташев, В И Бабицкий, Ф Л Черноусько, А М Формаль-ский) не позволяют синтезировать системы управления в условиях существенной параметрической неопределенности и внешних возмущений Частично это связано с тем фактом, что несмотря на наличие обширной научной литературы, посвященной проблемам анализа и синтеза систем, содержащих колебательные переменные, только в последние 10-15 лет оформились конструктивные математические результаты, позволяющие исследовать устойчивость колебаний в системах с параметрической неопределенностью и внешними возмущениями Эти результаты сформулированы группой математиков (Е D Sontag, Y Wang, D Angeli) в рамках теории систем, устойчивых от входа к состоянию (mputo-state stable) или от входа к выходу (inputo-output stability), которая является частным случаем теории систем, устойчивых относительно множества
Одновременно серьезное развитие получили методы теории управления, позволяющие синтезировать алгоритмы управления для нелинейных систем в условиях неопределенности их моделей (А А Колесников, А А Красовский, ПД Крутько, И В Мирошник, В О Никифоров, А А Первозванский, А Л Фрадков, Р A loannou, A Isidon, D Hill, Р Kokotovic, К Narendra, R Ortega, A S Morse, A Teel, J С Willems) Эти методы можно разделить на группы методов робастного и адаптивного управления, направленные на различные способы компенсации неопределенности модели объектов Для стабилизации нелинейных систем в присутствии внешних возмущений используются методы робастного управления (метод управляющих функций Ляпунова, методы пассификации, разработанные в лаборатории управления сложными системами ИПМаш РАН, метод переноса управления через интегратор, метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов) Для стабилизации систем в условиях параметрической неопределенности используются методы адаптивного управления, предлагающие непосредственную настройку коэффициентов регулятора (прямой подход к построению адаптивных систем управления) или направленные на предварительную оценку неизвестных параметров модели объекта (идентификационный подход к построению адаптив ных систем) Распространение и обоснование методов робастного и адаптивного управления для задач возбуждения и поддержания колебательных режимов открывает возможности получения требуемых в приложениях законов управления колебательными системами, гарантирующих высокое качество системы в условиях сигнальной и параметрической неопределенности модели объекта
Актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью развития методов робастного и адаптивного управления колебательными режимами объектов различной физической природы в условиях неполноты априорной и текущей информации об объекте и внешних условиях функционирования
Целью работы ставится повышение качества и помехоустойчивости систем управления колебательными режимами в условиях неопределенности параметров объекта, внешних возмущений, нелинейности и неопределенности результатов измерений
Для достижения цели в работе решается следующий комплекс задач
1 Установить условия наличия свойства колебательности по Якубовичу для динамических систем с нелинейной номинальной частью
2 Развить существующие методы робастного управления нелинейными системами и предложить новые алгоритмы для решения задачи синтеза законов возбуждения и поддержания колебательных режимов в неопределенных нелинейных системах В частности, следует развить
- метод управляющих функций Ляпунова,
- метод стабилизации по скоростному градиенту относительно множества в условиях внешних возмущений,
- метод переноса управления через интегратор,
- метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов
3 Развить методы адаптивного управления, существующие в рамках прямого и идентификационного подходов к синтезу адаптивных систем, на задачу стабилизации желаемых колебательных режимов в условиях параметрической и сигнальной неопределенности
4 Разработать и обосновать алгоритмы адаптивной настройки системы на желаемый вид бифуркации в условиях внешних возмущений и параметрической неопределенности модели объекта
В ходе решения указанных задач в диссертационной работе получены следующие основные результаты
1 Получено развитие необходимых и достаточных условий для наличия свойства колебательности по Якубовичу у динамических систем с номинальной нелинейной частью и нелинейных систем с запаздыванием
2 Развиты методы робастного управления нелинейными системами относи ю
тельно множества
2.1 Развит метод управляющих функций Ляпунова (предложена формулировка управляющей функции Ляпунова для задач стабилизации нелинейной аффинной по управлению системы относительно множества и от входа к выходу, разработаны необходимые и достаточные условия стабилизируемости от входа к выходу в терминах существования управляющей функции Ляпунова, обоснован закон управления, обеспечивающий по известной управляющей функции Ляпунова стабилизацию системы от входа к выходу)
2.2 Методы переноса управления через интегратор и аналитического конструирования агрегированных регуляторов обобщены на задачу стабилизации относительно множества и от входа к выходу Проведено аналитическое сравнение этих методов
2.3 Установлены условия робастности по отношению к интегрально ограниченным возмущениям для аффинных по управлению нелинейных систем, стабилизированных относительно множества методом скоростного градиента
2.4 Разработан алгоритм управления, гарантирующий при выполнении ряда условий для замкнутой нелинейной системы общего вида наличие свойства колебательности по Якубовичу
3 Развиты методы адаптивного управления нелинейными системами относительно множества
5 / Предложены условия применимости алгоритмов адаптации, синтезированных по методу скоростного градиента, в задачах стабилизации системы относительно множества и от входа к выходу
3 2 Установлены новые условия применимости и упрощена структура частичных адаптивных наблюдателей для нелинейных систем с зависящей в явном виде от времени правой частью модели, приводимой к канонической наблюдаемой форме по выходу, в присутствии внешних возмущений и помех в канале измерения
3 3 Предложены алгоритмы адаптивно-робастного управления для класса нелинейно параметризованных систем (случай, когда модель объекта зависит от вектора неизвестных параметров нелинейным образом), допускающих построение частичных адаптивных наблюдателей
3 4 Разработаны этапы синтеза адаптивных нейросетевых систем управления
для задачи стабилизации нелинейной аффинной по управлению системы от
входа к выходу Предложена модификация алгоритма обучения многослойных
нейронных сетей, гарантирующая совмещения в одном времени процессов
обучения нейросети и управления динамической системой для данной задачи
4 Предложена новая постановка задачи адаптивной настройки нелинейной
и
системы на желаемый тип бифуркации Разработаны алгоритмы робастно-адаптивного управления, решающие задачу настройки на бифуркацию в присутствии внешних возмущений и помех в канале измерения Получены различные решения для случаев единичной и неединичной относительной степени (относительная степень считается от измеряемого выхода к вектору неизвестных параметров) На основе полученных новых алгоритмов адаптивного управления синтезирован новый алгоритм адаптации для нелинейной системы в задаче стабилизации ее относительно положения равновесия в начале координат и разработан алгоритм робаст-но-адаптивного управления для задачи адаптивной динамической синхронизации двух нелинейных систем
Результаты диссертации нашли применение при решении задачи стабилизации момента на валу двигателя внутреннего сгорания, где разработан гибридный робастно-адаптивный алгоритм управления моментом двигателя в присутствии внешних возмущений, и при синтезе робастно-адаптивного алгоритма резонансного управления ударно-вибрационной дробилкой, обеспечивающего колебания вибрационной машины на собственной частоте с заданной амплитудой с минимальными энергетическими затратами Применение методов синтеза управлений колебаниями, развитых в диссертационной работе, гарантирует работоспособность синтезированных систем в условиях существенной параметрической неопределенности, внешних возмущений и неполной измерительной информации об управляемом объекте, что приводит к повышению качества реализации требуемых целей управления Результаты диссертации вошли в монографии [53], [54], рекомендованные УМО по образованию в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники и автоматизации для студентов, обучающихся по специальностям «Автоматизация и управление», «Управление и информатика в технических системах», а также УМО по специальности «Прикладные математика и физика» Результаты диссертации внедрены в НПО «Механобр-Техника», в разработки по Федеральной целевой программе «Интеграция», в НИР и учебный процесс кафедры автоматики и процессов управления Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ», в разработки Санкт-Петербургского Государственного Технического Университета (ЛИТМО) для корпорации «General Motors» по теме № 77500 "Адаптивное гибридное управление силовыми системами автомобиля"
Практическая значимость проделанной работы заключается в создании методов расчета систем управления колебательными режимами функционирования машин, модель которых содержит параметрическую неопределенность и внешние возмущающие воздействия в условиях неопределенности результатов измерения Применение разработанного аппарата гарантирует реализацию заданной цели управления в условиях широкого разброса возможных значений параметров моде ли объекта при влиянии внешних возмущений
Научная новизна полученных результатов состоит в расширении методов синтеза управления колебательными режимами движения на классы систем, модель которых содержит существенную параметрическую неопределенность и внешние возмущающие входы
Диссертационная работа выполнена в лаборатории «Управления сложными системами» Института проблем машиноведения РАН в период с 2001-2006 гт в соответствии с планами научно-исследовательских работ (№ 01 200 201870), при поддержке грантов РФФИ (№№ 02-01-00765, 03-01-06373, 05-01-00869), грантов Фонда содействия отечественной науки 2004-2005, программы Президиума РАН № 19 «Управление механическими системами» (проект 1 4), по проектам федеральной целевой программы «Интеграция» (№ Б-0026), российско-нидерландской исследовательской программы NWO-РФФИ 047 011 2004 004, в рамках научного договора между Санкт-Петербургским Государственным Техническим Университетом (ЛИТМО) и корпорацией «General Motors» по теме № 77500
Результаты работы доложены и одобрены на 22 научных конференциях и симпозиумах, в том числе 15-ый и 16-ый Всемирные конгрессы международной федерации по автоматическому управлению (1FAC) (Испания, 2002, Чехия, 2005), 41-ая, 43-ая и 44-ая Конференции Института инженеров по электротехнике и электронике (ШЕЕ) по принятиям решений и управлению CDC 02(04, 05) (США, 2002, США, 2004, Испания, 2005), на 1-ой и 3-ей Всероссийских научных конференциях "Управление и информационные технологии" УИТ03(05) (Санкт-Петербург, 2003, 2005), Симпозиум IFAC по нелинейным системам управления NOLCOS 04 (Германия, 2004), Конференция Российской северо-западной секции IEEE (Санкт-Петербург, 2004), Конференция ШЕЕ по прикладным задачам управления ССА 03 (Турция, 2003), Европейская конференция по управлению ЕСС 03 (Англия, 2003), 2-ая Международная конференция по проблемам управления (Москва, 2003), 4-ая Международная конференция «Средства математического моделирования» MATHMOD 03 (Санкт-Петербург, 2003), 4-ая Азиатская конференция по управлению AS СС 02 (Сингапур, 2002), конференции "Навигация и управление движением" (Санкт-Петербург, 2000, 2001), Международная конференция по нейрокомпьютерам и их применению (Москва, 2000), Международная конференция по нейронным сетям и искусственному интеллекту (Брест, 1999), 6-ая и 7-ая Международная студенческая олимпиада по автоматическому управлению ВОАС 98(99) (Санкт-Петербург, 1998, 1999), Международная научно-техническая конференция "Нейронные, реляторные и непрерывно-логические сети" (Москва, 1998), 2-ой и 3-ий Международный симпозиум по интеллектуальным системам управления INELS 96(98) (Санкт-Петербург, 1996, Псков, 1998) Обсуждения результатов дис сертационной работы успешно прошли на Городском семинаре по теории управления, на институтском семинаре ИПМаш РАН, на семинаре ИПУ РАН, на семинаре университета SUPELEC (Франция)
Автором опубликовано по теме диссертации 62 печатные работы, в том числе 5 монографий и учебных пособия, 2 главы в книгах и 13 журнальных статей Все результаты, составляющие основное содержание диссертационной работы, получены автором самостоятельно
Диссертация содержит девять глав и три приложения
В первой главе приводится краткая историческая справка по исследованию свойств устойчивости нелинейных колебательных динамических систем Дается общая характеристика и примеры задач управления колебаниями Очерчен круг проблем, рассматриваемых в работе, и приводится краткий обзор существующих решений в этой области
Во второй главе рассматриваются различные математические формулировки понятий колебаний и колебательности, вводятся определения нескольких типов устойчивости колебательных динамических систем (в том числе устойчивости от входа к выходу), формулируются необходимые и достаточные условия используемых в дальнейшем типов устойчивости, приводится ряд вспомогательных свойств
В третьей главе рассматриваются алгоритмы управления, позволяющие, с использованием результатов предыдущих глав, робастно стабилизировать выбранное подмножество пространства состояния нелинейной динамической системы Рассматриваются методы управляющих функций Ляпунова, пассификации и переноса управления через интегратор, а также метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов
В четвертой главе предлагается развитие метода скоростного градиента на задачу адаптивной стабилизации системы относительно множества в рамках прямого подхода к синтезу адаптивных систем управления Далее представлены результаты, позволяющие синтезировать на базе метода скоростного градиента адаптивные наблюдатели возмущенного нелинейного объекта, реализующие стратегию идентификационных методов адаптивного управления
Задача адаптивной настройки на бифуркацию ставится и решается в пятой главе Управление бифуркациями является относительно новым направлением теории автоматического управления, посвященным синтезу регуляторов, гарантирующих желаемые свойства бифуркационных режимов для данной нелинейной системы (под желаемыми свойствами может пониматься тип бифуркации, устойчивость или неустойчивость образуемых после бифуркации предельных циклов, координаты новых возникающих положений равновесия) Регуляторы, применяющиеся для управления бифуркационными режимами, основываются на предполо жении о доступности полной сигнальной и параметрической информации о модели системы Такое допущение связано со сложностью аналитического расчета бифуркационных управлений, требующего полной информации о системе С другой стороны, такое предположение серьезно усложняет практическое применение полученных алгоритмов управления в силу того, что реальные объекты управления содержат параметрическую и сигнальную неопределенность в своем описании Одним из возможных путей преодоления указанного недостатка может служить использование методов адаптивного управления для оценки в реальном масштабе времени текущих параметров модели управляемой системы или прямой подстройки параметров бифуркационных управлений
В шестой главе приводится краткий обзор существующих постановок задач и решений в области синхронизации динамических систем Ставится новая задача динамической синхронизации нелинейных объектов Примером объектов, находящихся в динамической синхронизации друг с другом, могут выступать планеты нашей галактики, совершающие колебательные движения вокруг друг друга Солнце может рассматриваться в качестве лидера этой системы Планеты координируют свое движение по отношению к солнцу с колебательной ошибкой синхронизации Спутники в свою очередь совершают аналогичные колебательные движения вокруг планет Во всех случаях расстояние между этими объектами не стремится к константе, а динамически меняется, подчиняясь некоторому дифференциальному уравнению, чьи решения - колебательные функции времени
В седьмой главе приводится краткий обзор и основные направления синтеза нейросетевых систем управления динамическими объектами Предлагаются этапы синтеза систем управления колебаниями на базе искусственных нейросетей Обосновываются условия применимости обучаемых параллельно процессу управления многослойных нейронных сетей в рассматриваемых задачах
В восьмой главе представлены несколько решений задачи резонансного возбуждения колебаний с заданной амплитудой вибрационных дробилок Первое решение базируется на алгоритмах синтеза адаптивных наблюдателей, а второе решение основано на применении алгоритма скоростного градиента в конечной форме Оба решения получены в предположении, что для измерения доступна только координата угла отклонения маятника и в каналах измерения и управления присутствуют помехи, собственная частота маятника предполагается неизвестной Полученные решения развиваются на задачу стабилизации и гашения колебаний в двухмассовой маятниковой системе
В девятой главе представлено решение задачи стабилизации желаемого значения момента, развиваемого двигателем внутреннего сгорания, в присутствии параметрической и сигнальной неопределенностей модели двигателя Решение осно вано на использовании двух регуляторов, один из них обеспечивает (глобальную) ограниченность переменных двигателя, другой гарантирует (локальное) регулирование значения момента двигателя Полученный локальный регулятор включает в себя настраиваемый генератор задающего сигнала и обратную связь, улучшающую качество переходных процессов в системе Предполагается доступными для непосредственного измерения значения скорости вращения вала двигателя и давления во впускном коллекторе Алгоритм логико-командного управления обеспечивает переключение между локальным и глобальным регуляторами в присутствии возможных внешних возмущений
В первом приложении приведены необходимые сведения из функционального анализа и теории дифференциальных уравнений, собраны основные результаты теории устойчивых от входа к вектору состояния систем, сформулированы определения некоторых полезных геометрических свойств динамических систем, представлены определения и базовые свойства диссипативных по Виллемсу систем и пассивных систем
Во втором приложении представлен краткий обзор и ряд последних достижений в области исследования свойства предельной невырожденности функций вещественной переменной, используемые в адаптивной теории управления для обоснования идентифицирующих свойств алгоритмов оценивания значений неизвестных параметров стабилизируемых объектов
В третьем приложении собраны доказательства результатов для всех глав
Особенностью изложения является использование результатов теории устойчивости динамических систем от входа к выходу для анализа и синтеза систем управления нелинейными колебательными объектами К числу особенностей изложения необходимо отнести и обилие сокращенных терминов и аббревиатур различных свойств устойчивости динамических систем, используемых в тексте Эта особенность связана с материалом диссертации - свойство колебательности динамических систем требует учета всего возможного многообразия типов устойчивости, присущих этому типу объектов Автор извиняется за возможное неудобство и для упрощения знакомства с материалом диссертационной работы все используемые сокращения собраны и расшифрованы в конце данного предисловия
В заключение автор хотел бы поблагодарить заведующего лабораторией управления сложными системами, Института проблем машиноведения Российской академии наук, профессора А Л Фрадкова за мотивировку и неоценимую помощь, оказанную в процессе написания этой работы Автор также желает выразить глубокую признательность своей семье и близким за поддержку и участие
Необходимость существования управляющих функций Ляпунова для задач стабилизации относительно множества
Известна монография [67], посвященная проблемам управления динамическими колебательными системами, где разработаны методы и дано решение ряда задач оптимального управления колебаниями Также в монографиях [1], [67] развиваются приближенные методы оптимального управления, опирающиеся на сочетание теории оптимального управления и теории колебаний В [1], [67], [68] получен ряд точных и приближенных решений задач об оптимальном движении линейных и нелинейных систем, содержащих колебательные и вращательные звенья В качестве приложений исследованы проблемы управления движением при помощи малых сил (задачи оптимального быстродействия), управляемые вращения твердого тела вокруг центра масс, управление маятниковыми системами и грузоподъемными машинами (задачи движения с гашением нежелательных колебаний), оптимизация параметров колебательных машин и некоторые другие
Проблемы устойчивости и стабилизации по отношению к части переменных (части координат фазового вектора динамических систем) рассматривается в монографиях [16], [50], [259] В рамках этого подхода развивается метод функций Ляпунова на задачу стабилизации по отношению к части переменных (приводятся достаточные условия устойчивости в терминах существования у динамической системы соответствующих функций Ляпунова) Развивается приложение метода нелинейных преобразований координат на задачу стабилизации по отношению к части переменных Предложено развитие ряда задач теории оптимального управления для проблемы стабилизации системы относительно части координат вектора состояния Рассматривается связь и возможности использования полученных результатов для задачи стабилизации системы по всему вектору состояния Приводятся условия управляемости по отношению к части переменных для линейных систем Рассматривается задача стабилизации нелинейной системы в условиях неопределенности, для случая, когда с использованием нелинейного преобразования координат возможна трансформация исходной нелинейной системы к линейному виду с синтезом алгоритма робастного управления для линейной системы (с последующим его пересчетом для исходной задачи) В качестве приложений разработанной теории рассматриваются задачи стабилизации неголономных систем, ориентации космических аппаратов с учетом упругих элементов и баков, содержащих жидкость
Задачам исследования устойчивости системы по отношению к выходу (относительно множества) и родственным задачам посвящены монографии [9], [44], [89], [94], [134] и работы [99], [229], [230], [231], [232] В монографии [44] предлагаются достаточные условия устойчивости по выходу нелинейной динамической системы в терминах существования у нее функции Ляпунова В этой же книге предлагается развитие метода линеаризации с использованием обратной связи и нелинейных преобразований координат на задачу стабилизации по выходу Также как и в [44] в работах [99], [134], [229], [231], [232] рассматриваются задачи стабилизации желаемого уровня энергии для маятниковых систем Монография [89] посвящена проблемам резонансного управления колебательными системами с приложением к робототехнике Монографии [9], [94] посвящены анализу проблем синхронизации и самосинхронизации в динамических системах, предлагаются варианты синтеза синхронизирующих управлений для нелинейных систем В работе [230] решается задача орбитальной стабилизации механических систем Отметим, что в этих работах не анализируются робастные свойства полученных решений по отношению к внешним возмущениям и не изучаются особенности адаптивной постановки задачи стабилизации по функции В работах [158], [160], [211] рассматривается задача робастной стабилизации нелинейной неопределенной системы по выходу в предположении об известности модели возмущения Решения, предложенные в этих работах, базируются на использовании геометрических методов синтеза нелинейных управлений Допущение об известности (с точностью до значений параметров) модели внешнего возмущения используется в монографии [45] для задачи компенсации нежелательных колебаний Возможности решения робастной и адаптивной задач стабилизации по функции выхода содержатся в недавно предложенном подходе [84] к стабилизации и адаптивному управлению нелинейными системами, названному "погружение и инвариантность" (immersion and mvanance)
Стоит также выделить работу [215], где решается задача робастной стабилизации энергии маятника в предположении о достаточной малости внешних возмущений Постановка задачи робастной стабилизации, рассмотренная в этой работе, является наиболее близкой к задаче, поставленной в предыдущем параграфе
Отличительной особенностью результатов данной работы является анализ робастных свойств уже разработанных решений [44], [99], [229], [231], [232] и разработка новых робастных управлений, стабилизирующих нелинейные динамические системы по выходу (относительно множества) Также предлагаются решения адаптивной задачи управления в колебательных системах
В главе рассматриваются различные математические формулировки понятий колебаний и колебательности, вводятся определения нескольких типов устойчивости колебательных динамических систем, формулируются необходимые и достаточные условия используемых в дальнейшем типов устойчивости, приводится ряд вспомогательных свойств
В этом параграфе рассматриваются математические определения и примеры, важные для понимания основополагающих свойств феномена колебаний и колебательности динамических систем, см также [134], где произведен подобный анализ без исследования робастных свойств вводимых типов устойчивости
Адаптивно-робастная стабилизация энергии маятника с компенсацией трения
В предыдущей главе введены понятия колебаний и колебательности динамических систем, представлены их необходимые и достаточные условия Определена взаимосвязь колебательности динамической системы и наличия в ее пространстве состояний соответствующего аттрактора (инвариантного притягивающего множества) Введены определения свойств РГАУВ, УВВ, РГАУ, ИУВС и УВС относительно множества, позволяющих анализировать различные свойства робастной устойчивости системы по отношению к заданному инвариантному множеству в присутствии внешних входов, отражающих влияние окружающей среды или параметрическую неопределенность В этой главе рассматриваются алгоритмы управления, позволяющие, с использованием результатов главы 2, робастно стабилизировать выбранное инвариантное множество
Задавшись этой целью, прежде всего отметим, что в течение последних двух десятилетий было предложено множество решений задачи синтеза стабилизирующего закона управления для нелинейной динамической системы относительно положения равновесия в начале координат (см , например, обзор [169]) Среди полученных решений целесообразно отметить метод управляющих функций Ляпунова (Control Lyapunov function) [87], [113], [238], устанавливающий необходимые и достаточные условия существования стабилизирующего непрерывного закона управления для аффинных нелинейных систем Метод линеаризации обратной связью (feedback linearization approach) [158], являющийся геометрическим методом синтеза управлений для класса нелинейных систем, трансформирующих систему к линейному виду, с возможностью последующего применения широкого спектра решений, доступных для линейных систем Метод пассификации ориентирован на стабилизацию нелинейных слабо минимально-фазовых систем (weak minimum phase property) [44], [233] Задача переноса управления через интегратор играет важную роль среди фундаментальных проблем синтеза управляющих воздействий Существуют несколько методов нацеленных на решение этой задачи, таких как метод обратного обхода интегратора (ООИ), метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР), метод наследуемого управления с насыщением (nested saturation design) и прямого обхода интегратора (forwarding) [36], [169], [171], [227], [252], позволяющих синтезировать стабилизирующие законы управления для систем, удовлетворяющих определенным структурным свойствам (определенная в смысле определения ППЗ относительная степень, минимально-фазовость, модель должна быть приводима к нижне-треугольной или верхнетреугольной форме) Существуют робастные модификации алгоритмов управлений для перечисленных методов, полученные на основе применения теории УВС.
В этой главе рассматривается задача синтеза управления, стабилизирующего систему не относительно начала координат пространства состояний, а относительно некоторого инвариантного множества [44], [50], [230], [231], [232], [235], [259] (по части переменным или по выходу) Необходимость синтеза подобного рода управлений возникает не только в задачах управления колебаниями, но и в смежных областях, таких как синхронизация динамических систем, при стабилизации желаемого уровня энергии в механических системах, в задачах управления движением и в робототехнике
Таким образом, алгоритмы управления, стабилизирующие системы относительно заданного инвариантного множества, востребованы в приложениях Соответствующая часть теории, касающаяся синтеза подобных управлений, может быть найдена в работе [114] для метода управляющих функций Ляпунова, для линеаризации обратной связью в монографиях [44], [259], пассификации [231], [232], развитие теории оптимального управления для задачи управления колебаниями приведено в [67] В работе [215] анализируются робастные свойства алгоритма управления маятником для задачи стабилизации желаемого уровня энергии Развитие методов ООИ и АКАР для задачи стабилизации системы относительно множества представлены в работах [232] и [121] Ниже приведены некоторые из этих результатов
Аппарат управляющих функций Ляпунова (УФЛ) позволяет сформулировать необходимые и достаточные условия существования стабилизирующего непрерывного закона управления для нелинейных систем В следующих подпараграфах приводятся результаты по существованию УФЛ по отношению к началу координат [113], [238] и для УВВ стабилизации системы [114]
Основной подход к исследованию асимптотической устойчивости нелинейных динамических систем базируется на применении метода функций Ляпунова [8], [40], [50], [141], [183] Известно (см главу 2), что при выполнении определенных ограничений существование у системы функции Ляпунова с заданными свойствами эквивалентно асимптотической устойчивости системы К сожалению практическое применение этой элегантной теории серьезно осложнено отсутствием общих методов построения функций Ляпунова для выбранной динамической системы Может показаться, что задача упрощается с появлением управления в правой части динамической системы В этом случае можно выбором закона управления назначить системе желаемую функцию Ляпунова Однако, возникает вопрос какой метод использовать для расчета управления и какая функция Ляпунова является допустимой (может быть назначена) для системы? Теория УФЛ предлагает ответ на этот вопрос [87], [238], [253] В классической работе [238] предлагаются условия, являющиеся необходимыми и достаточными для того, чтобы данная функция Ляпунова могла быть назначена для системы с использованием некоторого почти гладкого (непрерывного везде и гладкого везде вне начала координат) закона управления В работе также предлагается вариант закона управления, решающего эту задачу Условия из этой работы предполагают, что полная производная по времени допустимой функции Ляпунова должна быть отрицательно определена на подмножестве пространства состояний, где управление не может влиять на скорость убывания величины функции Ляпунова вдоль траекторий системы Если это условие выполнено, то существует закон управления, гарантирующий отрицательную определенность производной по времени функции Ляпунова для всего пространства состояний Подобное условие легко выполнимо для класса минимально-фазовых объектов [158], однако подобное условие не выполнено для диссипатив-ных систем [262], и, например, для такого широкого класса динамических систем коим являются пассивные системы, допускающие в общем случае не положительно определенную производную для функции Ляпунова (определения свойств пассивности и диссипативности динамических систем приведены в приложении П1 3, определения геометрических свойств приведены в приложении П1 2) Алгоритм управления для стабилизации пассивных систем предложен в работе [101], он основан на использовании свойства детектируемости системы [101], [229].
Адаптивно-робастная стабилизация нелинейных систем с оценкой производной функции выхода
Управление (3.52) получено для вспомогательного входа z, теперь необходимо произвести пересчет управления (3.52) ко входу и. С этой целью можно воспользоваться техникой переноса управления через интегратор, изложенной в предыдущем параграфе. Закон управления (3.52) обеспечивает системе свойства РГАУ относительно множества D. и свойство ОВОС, то есть выполнены условия следствия 3.4. Зададим ошибку реализации виртуального закона управления или, следуя [36], агрегированную макропеременную: e = z-Ktanh(mx2). Выбирая эталонное движение системы к подмногообразию е = О в виде ё = -ге, г 0, можно получить выражение итогового алгоритма управления: u = -r(z-Ktax)h(inx2)) + Km(\anh(mx2) ){-a\X\-aiXi+bz). (3.53) Траектории управляемой системы представлены на рис. 3.9, где непрерывные кривые соответствуют случаю d = 0, а пунктирные линии d(t) = sin(5t); черные окружности указывают границы множества D.. В следующей главе предположим наличие неизвестных параметров в модели объекта и перейдем от задачи робастной стабилизации относительно множества к решению задачи адаптивно-робастной стабилизации системы. Задача адаптивного управления нелинейной системой имеет множество различных решений [44], [62], [158], [156], [171], [191], [201]. Один из наиболее общих результатов в этой области получен в рамках метода скоростного градиента [62], [63], [65]. Условия применимости метода СГ предполагают радиальную неограниченность целевого функционала относительно всего вектора состояния объекта, что обеспечивает решение асимптотической стабилизации неопределенной системы по всему вектору состояния. Однако, на практике, как уже обсуждалось, часто возникают задачи, требующие стабилизации относительно множества или по выходу динамической системы. В предыдущей главе рассматривалось развитие метода СГ на задачи робастной стабилизации пассивных систем относительно множества. Однако, рассмотренные ранее результаты (а также близкие по тематике работы [123], [134], [256]) не предлагают общего развития метода СГ для стабилизации нелинейной системы относительно множества в присутствии параметрической неопределенности. Компенсации этого пробела и посвящена эта глава. Отметим, что традиционно принято для решения задачи стабилизации системы в присутствии параметрической неопределенности использовать методы теории адаптивного управления или методы робастного управления. Группа первых методов нацелена на оценивание и компенсацию неопределенностей модели объекта. Робастные алгоритмы управления стремятся компенсировать влияние неопределенностей (параметрических или сигнальных) на переходные процессы в системе. Можно сказать, что именно эта группа методов рассматривалась в предыдущей главе, поэтому здесь представлено развитие методов адаптивного управления на задачу стабилизации относительно множества. Существует разбиение методов адаптивного управления на прямые и идентификационные. Первые методы направлены на непосредственную настройку параметров регулятора неопределенного объекта, тогда как группа вторых методов предполагает предварительную идентификацию неизвестных параметров модели объекта. В связи с этим разделением материал главы состоит из следующих частей. В первом параграфе предлагается развитие метода СГ на задачу адаптивной стабилизации системы относительно множества в рамках прямого подхода к синтезу адаптивных систем управления. В последующих параграфах представлены результаты, позволяющие синтезировать на базе метода СГ адаптивные наблюдатели возмущенного нелинейного объекта, реализующие стратегию идентификационных методов адаптивного управления. Будем рассматривать следующую не аффинную нелинейную модель возмущенного неопределенного объекта: где xeR", ueRm и yeRp как и ранее вектора состояния, управления и выхода соответственно; \eRl - внешнее возмущение; QeQ zRq - вектор неизвестных параметров. Функции F: Rn xQxRm xRl - Rn и h:R" - RP - непрерывные и локально липшицевые, F(0,9,0,0) = 0 для любого 8єП и h(o) = 0. Предполагается, что сигналы 8(f), u(r) и v(/) - измеримые по Лебегу и ограниченные почти всегда функции времени. Выберем закон управления в следующем виде: u = U(x,8), (4.2) где U: R" хRk - Rm - непрерывная функция, и(0,-) = 0; и QeRk - вектор настраиваемых параметров, удовлетворяющих решению дифференциального уравнения: ё = с(х,ё), (4.3) где G:Rn xRk -+Rk - непрерывная и локально липшицевая функция, G(0,0) = 0. Систему (4.3) будем называть алгоритмом адаптации. Основные требования к функции U в (4.2) и к алгоритму адаптации (4.3) будут сформулированы ниже. Описание (4.1), (4.2), (4.3) отражает основные компоненты адаптивной системы управления: - неопределенный объект (4.1), модель которого содержит параметрическую 8 и сигнальную v неопределенности; - параметризованный вектором 8 закон управления (4.2), который должен гарантировать для некоторого идеального значения 8 є R вектора 8 желаемые свойства для объекта (4.1) (УВВ или РГАУВ в нашем случае); - алгоритм адаптации (4.3), обеспечивающий сходимость вектора 8(f) к желаемым значениям 8 приг- +оо. В данной постановке задачи также предполагается, что неизвестные параметры 8(/) являются функциями времени, размерности векторов 8 и 8 различаются. Цель управления формулируется следующим образом: - предложить алгоритм адаптации (4.3) и сформулировать условия, гарантирующие системе (4.1), (4.2), (4.3) свойство РГАУВ при \(t) = 0 для всех t 0; - предложить модификацию алгоритма (4.3), гарантирующую замкнутой системе свойство УВВ или ИУВС в присутствии возмущения v(/). Данные цели управления схожи с формулируемыми в рамках метода СГ и они совпадают, если h( х) = х. В этом случае сформулированная цель управления сводится к обычной частичной асимптотической стабилизации по переменной х системы (4.1), (4.2), (4.3). Для такой задачи метод СГ позволяет синтезировать алгоритм адаптации (4.3) и управление (4.2), обеспечивающие ограниченность переменных адаптивной системы x(t), 9(/) и асимптотическую сходимость х(/)к нулю. Робастная модификация алгоритмов СГ гарантирует ограниченность всех переменных в присутствии внешних возмущений. Распространим эти результаты на случай стабилизации системы относительно множества 2 = {x:h(x) = 0}.
Использование динамических многослойных нейросетеи в адаптивных системах автоматического управления
Будем рассматривать следующую модель динамической системы: где все обозначения совпадают с введенными в параграфе 4.2, и є Rq - вектор управления; d3 eRq - возмущение в канале управления, d = [df d d3 ] ; столбцы матричной функции R - полагаются непрерывными и локально липшицевыми. Будем предполагать известность закона управления и(х) со следующими свойствами. Допущение 4.11. Существуют непрерывные и локально липшицевые функции VL:R р - Rq, \ :R"- RP и матрица L размерности (k,n) такие, что закон управления 1. переменных Lx и вектора неизвестных параметров системы 8, построить новый регулятор, использующий только доступную измерительную информацию yd и гарантирующий замкнутой системе ограниченность решений для любого d є М n+m+q ) а ПРИ d = 0 свойство РГАУВ по выходу vj/ или РГАУ множества 2 (в зависимости от того, условия какой части допущения 4.11 предполагаются удовлетворенными). Подчеркнем, что в этом параграфе возникают две функции выхода у и у, первая характеризует доступные для измерения переменные системы (4.31), а вторая задает стабилизируемое посредством управления (4.32) множество для (4.31). В правую часть (4.31) вектор неизвестных параметров входит линейно, но правая часть системы (4.31), (4.32) в общем случае уже имеет нелинейный характер зависимости от 0, так как допущение 4.11 детально не определяет вид зависимости функции и от своих аргументов. Возможный не выпуклый характер этой зависимости препятствует использованию результатов параграфа 4.1 для системы (4.31), (4.32). Существующие результаты в области адаптивного управления нелинейно параметризованными объектами [58], [102], [164], [180], [181], [185], [190] в основном предлагают робастифицирующие настраиваемые обратные связи, подавляющие влияние неизвестных параметров (используя аналоги леммы П1.4) и не нацелены на задачу стабилизации системы по выходу или относительно множества, рассматриваемую здесь. Поэтому необходимо предложить новое решение этой проблемы.
Задавшись этой целью отметим, что вид системы (4.31) близок к виду системы (4.11), допускающей построение адаптивного наблюдателя, подставляя оценки которого на назначения векторов Lx и 8 в управление (4.32), можно обеспечить достижение поставленных целей управления в системе (здесь и далее предполагается идентичность матриц L в допущениях 4.8 и 4.11). Принципиальное отличие этой задачи от рассмотренной в предыдущем параграфе состоит в присутствии управляющего воздействия в правой части (4.31), то есть в общем случае в отсутствие управления (4.32) система может иметь неограниченные решения, что, однако, не мешает синтезу адаптивного наблюдателя, аналогичного (4.14)-(4.17): идентичный, полученному для адаптивного наблюдателя (4.14)-(4.17), и доказательства работоспособности наблюдателя (4.33)-(4.36) может быть перенесено из параграфа 4.2 сюда с минимальными модификациями, касающимися априорного отсутствия допущения 4.7 для системы (4.31). В случае наличия возмущения d2, присутствие в правой части (4.37), (4.38) векторов и и х затрудняет использование доказательства, примененного для обоснования утверждения теоремы 4.9. Поэтому ниже этот случай рассматривается отдельно.
Напомним, что кроме наблюдателя (4.14)-(4.17) в предыдущем параграфе рассматривался также и наблюдатель (4.18)-(4.20), имеющий меньшую размерность, но не предоставляющий оценки на неизмеряемые компоненты вектора состояния объекта L х. Если для данной системы управление зависит только от векторов у и 9, то в этой задаче целесообразно использовать аналог наблюдателя (4.18)-(4.20), его уравнения могут быть записаны по аналогии с (4.33)-(4.36). В силу идентичности процедуры обоснования и для простоты изложения все теоретические выкладки будут произведены только для (4.33)-(4.36). Теорема 4.10. Пусть для (4.31) верно допущение 4.8 и выполнено допущение 4.9 для любых измеримых по Лебегу входов у; минимальное сингулярное число a(t) матричной функции С П (/) является (ц,Д)-ЯС для некоторых \х 0, А 0; В(у (ґ)) В для всех t 0. Тогда для управления По условиям теоремы требуется выполнение допущения 4.9 для всех, не обязательно ограниченных как в предыдущем параграфе, входов у. Подобное усиление требований связано с возможно априорной неограниченностью решений системы (4.31). Для первой части допущения 4.11 удалось предложить условия, гарантирующие работоспособность системы как в присутствии возмущений в каналах управления, так и в присутствии шумов измерения. Последний случай потребовал дополнительных ограничений на структурные свойства системы. Для второй части допущения 4.11 в теореме 4.10 не удалось разработать конструктивные условия, гарантирующие функционирование системы в присутствии возмущений d. Роба-стные свойства управления (4.32) в этом случае направлены на обеспечение работоспособности системы в условиях параметрической неопределенности и недоступности для измерения всего вектора состояния объекта. Можно ослабить требо 144 вания теоремы для второй части допущения 4.11, предположив ограниченность и асимптотическую сходимость к нулю возмущения d, доказательство в этом случае остается верным с минимальными модификациями. Несмотря на сильную ограни-чительность условий теоремы для второй части допущения 4.11, именно эти результаты имеют наибольший практический интерес, так как условия этой части теоремы 4.10 позволяют строить адаптивные системы управления для механических гамильтоновых систем (наделенных свойством пассивности). В параграфе 3.2 рассматривались робастные законы управления, построенные на базе метода СГ и гарантирующие замкнутой системе свойство ИУВС относительно множества. В качестве содержательного примера рассматривалась задача стабилизации заданных уровней энергии системы. Если параметры модели неизвестны, то функция энергии может сложным нелинейным образом зависеть от вектора параметров объекта 8, что приводит к невозможности использования стандартных алгоритмов адаптации полученных на базе метода СГ в параграфе 4.1, условия применимости которых включают в себя требование выпуклого характера зависимости уравнений настраиваемого объекта от вектора настраиваемых параметров. Наиболее подходящим для решения данной задачи оказывается результат теоремы 4.10. Комбинируя результаты теорем 3.7, 3.9 и 4.10, можно предложить следующее утверждение для этого случая.
