Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Обзор состояния проблемы 9
1.1 Эталонная база и методики проведения процедуры сличения 9
1.2 Методики обработки данных сличений 19
Глава 2 Принципы построения алгоритмов принятия решения по результатам сличения эталонов 31
2.1 Модели результата и разностного сигнала 31
2.2 Опорное значение и усредненная разность результата сличения 36
2.3 Используемые априорные и апостериорные знания 39
2.4 Вероятностные характеристики процедуры принятия решения по результатам сличения 46
2.5 Обобщенная схема алгоритма принятия решения 53
Глава 3 Бинарное сличение эталонов 57
3.1 Процедура принятия решения на основе предельного значения вероятности ошибки первого рода 58
3.2 Процедура принятия решения на основе предельного значения вероятности ошибки второго рода 62
3.3 Процедура принятия решения на основе предельного значения вероятности принадлежности разности систематических погрешностей требуемому интервалу 67
3.4 Имитационное моделирование процедур принятия решения бинарного сличения 74
Глава 4 Групповое сличение эталонов 84
4.1 Процедура принятия решения на основе предельного значения вероятности ошибки первого рода 86
4.2 Процедура принятия решения на основе предельного значения вероятности ошибки второго рода 91
4.3 Процедура принятия решения на основе предельного значения вероятности принадлежности систематических погрешностей требуемому интервалу 95
4.4 Установление порогового уровня с использованием имитационного моделирования при групповом сличении 99
Заключение 106
Список литературы
- Методики обработки данных сличений
- Используемые априорные и апостериорные знания
- Процедура принятия решения на основе предельного значения вероятности ошибки второго рода
- Процедура принятия решения на основе предельного значения вероятности ошибки второго рода
Методики обработки данных сличений
Таким образом, обобщая представленные примеры, можно сделать вывод о том, что процедура сличения эталонов представляет собой метрологический анализ на основе метрологического эксперимента с последующим применением расчетного метода (статистической обработки). Методика проведения физического эксперимента полностью ложится на лабораторию, которой необходимо сделать выбор, исходя из имеющегося оборудования и специфики эталона, т.к. в различных метрологических институтах они могут быть отличны, как в случае с эталоном единицы длины-метра.
Общие сведения о характере проведения процедуры сличения состоят в том, что для нетранспортируемых национальных эталонов необходимо вспомогательное средство, в качестве которого выступает транспортируемый эталон сравнения. Сравнение идет при помощи компараторов, которые являются частью эталонного комплекса участвующей лаборатории, а не вспомогательным средством. Здесь стоит упомянуть, что для каждого диапазона измерения существует свой компаратор, разработка которого может быть отдельной задачей [10] Точность данного средства несомненно влияет на результат, особенно если воспроизведение единицы величины осуществляется за счет величины, подобной единице массы - килограмму.
Говоря о количестве участников процедуры необходимо помнить, что участи в сличении значительного числа институтов приводит к разбиению всех участников на группы, результаты которых требуется объединить. Объединение чаще всего происходит по территориальному положению, что сокращает временные затраты и финансовые расходы на физический эксперимент. Каждой из образованных групп присваивается свое вспомогательное эталонное средство, которое обеспечивает сличение эталонов между собой. Отдельно необходимо сказать о высоких требованиях к характеристикам этого вспомогательного средства, а также стабильности во времени, наличие которых позволит не вводить дополнительные показатели в расчеты. В противном случае при расчетах придется включать в рассмотрение такой параметр как «дрейф эталона сравнения» С помощью данного средства формируются итоговые данные, передающиеся для последующей обработки пилот-лаборатории. Из примеров видно, что измерения могут быть неоднократными, как было указано в сличениях эталона массы, где использовалось два набора и формировалось две группы результатов ( x и y ). Итогом процедуры становится отчет, включающий в себя данные об участвующих институтах, приводятся методики проведения метрологического эксперимента, указываются дополнительные организационные данные. Отображение полученных результатов представляется в виде матрицы соответствий и в графическом варианте (рисунок 1.4).
По оси абсцисс указываются участвующие национальные лаборатории (KRISS, NMIA, … ,VNIIM, др.), относительно нуля откладываются отклонения от вычисленного в процессе обработки результатов средневзвешенного значения (в данном случае для двух наборов: круглый маркер (х) и квадратный маркер(у)) с соответствующей неопределенностью. Видно, что результаты корейской KRISS и японской NMIJ лабораторий не пересекают ноль, что говорит об отрицательном результате относительно лабораторий для подтверждения своих калибровочных и измерительных способностей на основе предоставляемых ими данных.
Оба рассматриваемых отчета относились к ключевым сличениям эталонов под эгидой МБМВ, что означает, что они проводились Консультативными комитетами Бюро мер и весов. Такая классификация вводится в зависимости от решаемых задач и требований, предъявляемых к подготовке, проведению и представлению результатов сличения эталонов.
Различают три типа сличений национальных эталонов: ключевые сличения; региональные ключевые сличения (к примеру, сличения организации КООМЕТ, EUROMET и других региональных организаций), дополнительные сличения. Все три типа занимаются подтверждением калибровочных и измерительных возможностей, в свою очередь дополнительные сличения не занимаются эквивалентностью эталонов и пар эталонов. Для региональных сличений не свойственно определение опорного значения, расчетом которого занимаются ключевые сличения проводимые Консультативными комитетами.
В качестве опорного значения( reference value ) следуем понимать «значение величины, которое используют в качестве основы для сопоставления со значениями величин того же рода»[1]
Если говорить о современной методике принятия решения, то она основана на определении степени эквивалентности национальных эталонов, участвующих в сличении. Здесь можно говорить о попарной степени эквивалентности, степени эквивалентности группы, также встречается, но редко используется степень эквивалентности одного эталона группе.
Что касается степени эквивалентности эталонов, то необходимо помнить, что это величина, которая означает степень соответствия результатов участников сличений опорному значению ключевого сличения. «Степень эквивалентности каждого национального измерительного эталона выражается двумя величинами: отклонение от опорного значения ключевого сличения ,полученному в связующих национальных метрологических институтах, которые участвовали в сличениях, и неопределенностью этого отклонения (при доверительном уровне 95%). Степень эквивалентности между парами национальных измерительных эталонов выражается разностью отклонений результатов от опорных значений и неопределенностью этой разности (также при. доверительном уровне 95%)», определение дается в 2 Технических дополнений Договоренности о взаимном признании [11 с.6]
Процедура получения результата каждым национальным метрологическим институтом модернизируется с каждым годом, т.к. методика получения результата, а также сам эталонный комплекс совершенствуется с развитием технической базы.
Что же касается процедур оценки представляемых результатов в процедуре сличения, то они должны обеспечивать связь между результатами и опорным значением ключевого сличения, полученного в результате сличения при проведении его Международным комитетом мер и весов (МКМВ), с допустимо малой неопределенностью и соответствовать используемым в соответствующих ключевых сличениях Международного комитета мер и весов.
Используемые априорные и апостериорные знания
Трехкомпонентная модель (2.2) находит сравнение двухкомпонентной моделью результата (2.1) и анализируется в [32].
При использовании модели (2.2) основным является априорная информация о наличии систематической и свойств случайной погрешности. Априорные оценки позволяют определить распределение случайной составляющей погрешности каждым метрологическим институтом самостоятельно, но для неисключенной систематической погрешности такой возможности нет. Ее значение для каждой лаборатории неизменно, но для совокупности эталонов этот параметр - случайная величина на множестве эталонов.
Говоря о составляющих погрешностей необходимо понимать, что каждая из них включает в себя. Систематическая погрешность результата i-й лаборатории состоит из погрешности эталонного комплекса АсистА,экЬ включающего погрешность компаратора АсистА,к1 и непосредственно эталона, воспроизводящего измеряемую величину АсистА,э j; а также изначально содержит погрешность от вспомогательного средства, которым является транспортируемый эталон Асист трі. Данная составляющая при формировании разности между сличаемыми нетранспортируемыми эталонами будет исключена. Что касается случайной составляющей погрешности результата i-й лаборатории, то эта величина также содержит три компоненты. Первые две относятся непосредственно к эталонному комплексу, состоящему из погрешностей эталона АслА,э1 и соответствующего компаратора ДслА,кІ. Последняя является неисключенной погрешностью вспомогательного транспортируемого средства АслЛ,тр{, случайные погрешности ко 33 торого приходится учитывать из-за невозможности оценки их вклада в бюджет полной случайной составляющей i-го участника сличения. Обобщая все рассмотренные составляющие компонент погрешностей получаются следующие выражения: Лсист i = Лсист э i + Асист кi + Лсисттрi , (2.3) Асл i = Асл эк i +Асл тр i = Асл эi +Асл к i +Лсл тр i . (2.4) В соответствии с выражением (2.2) для каждого сличаемого нетранспортируе-мого эталона может быть сформирована подобная модель результата. Для пары эталонов результаты двух лабораторий примут вид: 1=1 н+Асист1+Асл 2= 2н+Асист 2+Асл 2, (2.5) где А,1н и Х2н - номинальные значения; Дсл 1 и АслХ2 - случайные погрешности 1-го и 2-го эталонов; Дсист?1 и Асист 2 – неисключенные систематические погрешности участников бинарного сличения. Формируемый разностный сигнал сличаемых эталонов будет состоять из величин, представляющих собой разность между ними: ЗХ12 = Х1 н +Асист?1 + AслX1 -Х2н -Асист 2 -Асл 2. (26) В общем случае полагается, что значения измеряемой величины равны, так как исключаются нства Х1 н = Х2н . То же самое происходит с систематическими погрешностями транспортиизвестные значения. К этому условию необходимо стремиться и добиваться данного уровня точности, поэтому в дальнейшем эти составляющие использоваться не будут в виду их раверуемого эталона, для которого значения сист тр 1 = АсистЯтр2 воспроизводятся с различными нетранспортиру емыми эталонами национальных институтов.
При формировании разности между двумя эталонами в соответствии с (2.6), итоговая разность пары с учетом всех составляющих систематические и случайные погрешности результата каждого сличаемого эталона вида(2.3) и (2.4), а так 34 же за исключением вышеуказанных равенств, содержит следующий набор составляющих: 8 12 = АсистХэ1 + Лсист к! + Асл э1 + Асл к1 + Асл тр - АсистХэ2 - АсистХк2 --АслХэ2 + АслХк2+АслХтр2
Распространение предлагаемого подхода на несколько сличаемых эталонов предполагает описание подобной разностной характеристики, которая представляет собой усредненную оценку разностей для конкретного i-го эталона. Конкретизация по i-му эталону здесь нужна для того, чтобы было возможно разделить результат непосредственно для интересующего экземпляра из нескольких участвующих.
Для каждой і-й лаборатории справедлива запись результата измерения в виде, описанном моделью (2.2). Для варианта группового сличения таких эталонов лабораторий-участниц набирается N. В этом случае выражения представление в (2.5) в обобщенной форме примут вид: Формирование попарных разностей i-го эталона со всеми другими экземплярами даст следующие обобщенные характеристики: {(5?4S = А,ін + АсисА + Асл?4 - 12н - Aсистls2 - Aслls) і Ф s} 1 (2.7) Всего подобных разностей (N-1) при условии і Ф S ,т.е. исключая формирование нулевой разности эталона непосредственно с самим собой. Таким образом, составляющие А,8н,АслА,8,АсистА,8- относятся ко всем N эталонам за исключением
і-го и обозначают номинальные значения, случайные погрешности и систематические погрешности каждого из эталонов. Те же составляющие результата измерения справедливы и для i-го индекса: Д ,, АсисЛсоответствуют номинальному значению, случайной погрешности и неисключенной систематической погрешности конкретного эталона і-й лаборатории, решение о соответствии которого требованиям необходимо определить.
Процедура принятия решения на основе предельного значения вероятности ошибки второго рода
Отсутствие каких-либо знаний о систематических погрешностях соответствует АЗ вида (2.11). В них содержатся все составляющие, относящиеся к случайной погрешности результата 5?42 , которые позволяют сформировать итоговую плотность распределения величины Лсл?42 . Она образована составляющими случайной погрешности каждого эталона совместно со значениями транспортируемого эталона, на основе которых удается определить безусловную плотность распределения w(Aсл?42).Распределение вероятности ДслА,12 -композиция распределений случайных составляющих погрешности сличаемых эталонов : w(Aсл 12) = w(Aсл ) w(Aсл 2) = w(Aсл эl + Асл к1 + Асл тр1) w(Aсл э2 + + A к2+A тр2) = w(A эl) w(A кl) w(A тр1) w(A э2) MAслAк2) w(AсAтрS). В данном случае, никаких сведений о систематических погрешностях результата измерения нет, однако, для фиксированного значения разности систематических погрешностей результатов сличения Асист?42 = С может быть определено условное распределение вероятности разностного результата, как было рассмотрено в [46] Для этого выставляются требования по предельно удовлетворяющему значению разности неисключенных систематических погрешностей Асист 12 = Асист?ч - Асист 2 = С. На основе этого значения формируется услов 59 ная плотность вероятности распределения w(A 12 С). Дальнейшие рассуждения строятся относительно именно этого условного распределения, так как оно полностью описывает результирующую разность.
Далее в соответствии с расширенными АЗ, включающими требования по разности систематических погрешностей предлагается рассматривать в качестве вероятностной характеристики предельное значение ошибки первого рода, которое отвечает запросам лабораторий. Пусть это значение будет равным рпред . Необходимо отметить, что расчеты в данном случае ведутся для максимально допустимого значения разности систематических погрешностей, равного предельно допустимой разности С. Для вычисления ошибки берется максимально плохой (наихудший результат), т.е. предельное значение или верхняя граница. Говоря иными словами значение С, выше которого не может быть при расчете искомой характеристики. Таким образом, вероятность ошибки первого рода Pj можно определить как вероятность непопадания значения разности результирующих значений двух сличаемых эталонов в определенный установленный интервал значений (5А,12 [-Ап,Дп]) , при значении систематических погрешностей соответствующих выставленным требованиям, которые устанавливаются для всех участников процедуры:
Так как пороговые значения [-Ап,Ап] берутся симметричными относительно нуля, поэтому можно ограничиться нахождением верхней границы Ап. Она выставляется в соответствии с предельно допустимым значением вероятности ошибки первого родаР1пред: Данная последовательность действий имеет некоторое мнимое повторение, так как при выставлении пороговых уровней по предельно допустимой ошибке Pпред , в соответствии с выражением (3.1), расчет основывается на (3.2), в которую входит (3.1). На самом деле для порогового уровня, рассчитанного на основе ошибки первого рода, выводится формула, которая приравнивается требуемой предельной вероятности. Данный алгоритм направлен на установление величины порогового уровня разностного результата бинарного сличения, сравнение с которым апостериорного разносного результата дает заключение о соответствии требованиям участвующей пары нетранспортирумых эталонов.
На рисунке 3.2 представлена зависимость значения ошибки первого рода PI(8Л,12 є[-Ап,Ап]С) для различных итоговых разностей систематических погрешностей пары сличаемых эталонов. Стоит отметить, что в качестве w(A 12 С) было выбрано гауссово распределение (С,1), в качестве требуемого значения разности систематических погрешностей последовательно принимаются значения С=0;1;2;3;4. Виды зависимостей вероятности ошибки перового рода от пороговых уровней для других законов распределения случайных погрешностей можно найти в [44], где подробно рассматривается вопрос влияния априорной информации, включающей w(AслA,i) на результат. 0,9 0,8 0,7 -0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 !F С=4 ОД 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 п\ Рисунок3.2- Зависимость вероятности ошибки первого рода от пороговых уровней при различных предельных значениях С = Асист 12 Обеспечение необходимого уровня ошибки первого рода при увеличении значения разности систематических погрешностей АсистА,12 требует также увеличение ширины интервала значений [-Ап,Ап] разностного результата процедуры сличения, по которому принимается решении о соответствии или несоответствии сличаемых эталонов требованиям.
Аналогичные соотношения будут применимы и для отрицательных значений разности систематических погрешностей, для которых увеличение значения разности систематических погрешностей по модулю также расширяет границы существования разностного результата бинарного сличения эталонов.
Если же для выбранного порогового уровня, обеспечивающего требуемую вероятность, реальное значение разности систематических погрешностей будет меньше предельного, то вероятность ошибки будет уменьшаться. В таблице3.1 приведены значения вероятности ошибки первого рода при фиксированном значении порогового уровня, для различных значений С. В примере указывается, что, например, уровень Р1=15% обеспечивают следующие значения: (АпС=1) =1.05,(Ап С=2)=2,(Ап С=3)=3, (Ап С=4)=4
Процедура принятия решения на основе предельного значения вероятности ошибки второго рода
Предложенные в главе 3 подходы по разработке процедур принятия решения по результатам сличения пары эталонов можно распространить на группу эталонов, где группой называется совокупность эталонов общим числом больше двух. Речь все также идет о сличении нетранспортируемых национальных эталонов, с различным составом априори предоставляемой известной информации для каждого экземпляра из группы.
Сличение N эталонов проходит в несколько этапов. На первом этапе формируются значения воспроизводимых сличаемыми эталонами величин. При этом, как уже указывалось выше, используются сведения как о распределениях вероятности случайных погрешностей сличаемых эталонов, так и о распределении вероятностей случайных погрешностей транспортируемых эталонов.
На втором этапе проводится сопоставление формируемых результатов сличения с пороговым уровнем и принятие решения о соответствии или несоответствии сличаемых эталонов требованиям. При необходимости обеспечить сличения большого числа эталонов формируется несколько групп, для которых разрабатываются или сразу назначаются транспортируемые эталоны для каждой группы, их участие в процедуре носит вспомогательный характер и объясняется нетранспортируемостью основных участников сличения. В работе [45] была произведена формализация процедуры сличения N эталонов, включающая в себя нескольких транспортируемых эталонов. В дальнейшем рассуждения будут строиться для одной группы с одним транспортируемым эталоном, так как несколько транспортируемых эталонов распространяют результат каждой группы на все участвующие эталоны группового сличения.
Решение о соответствии или несоответствии эталонов устанавливаемым требованиям строится на основе предоставляемой априорной информации, выдвигаемых требованиях (предельные значения систематической погрешности и значения вероятности ошибок первого или второго рода), а также апостериорной информации о значениях воспроизводимых величин и установленном пороговом уровне.
Схема группового сличения представлена на рисунке 4.1, где эталоны Эb..ЭN формируют результаты А Дj… A,N при помощи одного транспортируемого эталона ТЭ. При помощи вычитающего устройства ВУ формируются (N-1) разностных результатов сличения вида 5А = Х{ -Xs.
На следующем этапе при помощи преобразователя П на основе результатов сличение с учетом имеющихся расширенных априорных знаний формируется решение о соответствии ЬХ[ Ап —»Эjtr или несоответствии ЬХ1 Ап — -Э предъявляемым требованиям для каждого і-го эталона группы.
Обобщенная схема группового сличения Подобное обобщение процедуры принятия решения по N эталонам можно найти в [51], где указывается переход от бинарного случая сличения эталонов к случаю группового сличения. Аналогично формированию разности в бинарном сличении (2.6), для группового сличения формируется набор подобных разностей в соответствии с выражением (2.7). После чего для каждого i-го эталона находится усредненная разность вида (2.9) относительно каждого i-го эталона. При различном составе расширенных априорных знаний происходит конкретизация алгоритмов принятия решения для установленных основанных вероятностей ошибок первого или второго рода, или вероятности принадлежности систематических погрешностей требуемому уровню.
Использование усредненных разностей для конкретного эталона сличаемой группы позволяет сформировать совокупности результатов, на основе которых можно сделать вывод о соответствии предъявляемым требованиям. Формируемое решение принимается для каждого эталона отдельно, хотя и включает в результирующую разность усредненные характеристики эталонов группы, в которую он входит.
В случае, если о систематических погрешностях каждого эталона группы нет информации, т.е. в качестве условий не предъявляются требования о возможных границах ее существования, то расширенный состав априорных знаний составляет последовательность (2.12). В нем представлены данные о номинальных значениях { нi}І=Р а также характеристики, описывающие распределения случайных составляющих погрешности для эталонов {ДслА }-\\, а также единого вспомогательного средства {Асл трі}1 1, характеристики которых удалось установить лабораториям. В группе эталонов последовательно формируются попарные разности 8A,1S, которых относительно каждого i-го эталона насчитывается (N-1). Каждая такая попарная разность позволяет сформировать композицию распределений случайных погрешностей і-го и s-го эталонов. Она включает в себя составляющие случайных погрешностей каждого эталонного комплекса совместно со значениями транспортируемого эталона. На основе этих данных удается определить w(Aс ls)- безусловную плотность распределения случайной погрешности результата пары эталонов 3Xls, которая образуют следующую композицию распределений: w(AслXls) = w(Aсл ) w(AслA,s) = w(AслXэ1 + АслХк1 + AслA,тр) w(AслXэS + + AслAкS+AслAкS+AслAтрs) = w(Aсл 1) w(AслAк1) w(AслAтрi) w(Aсл s) w(AсAs) w(AсAтрs) Отсутствие информации в априорном кортеже данных, касающихся систематических погрешностей, ведет к нахождению оценки этой величины также как и в бинарном случае через предельное значение, которое является требованием для данного сличения. На основе этой величины формируется условная плотность вероятности распределения w(AA,ls С), где значение С является значением предельной разности пары систематических погрешностей, которое является единым для всей группы и используется в качестве предельного значения для всех разностных результатов.
Дальнейшие рассуждения в общем случае строятся относительно плотности распределения вероятности w(A hls С), которая описывает условную плотность распределения результирующей разности значений пары объектов в групповом сличении. Здесь необходимо помнить о том, что итоговой усредненной разностью относительно і-го эталона является 5ср?цв соответствии с (2.9), в которой усредняются все данные (N-1) попарных разностей эталонов, за исключением нулевой разности і-го с і-м.