Повышение точности информационно-измерительных систем автоматизированного производства на основе методов статистической обработки сильно дискретизованных наблюдений Мастеренко Дмитрий Александрович

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Дискретность наблюдений в информационно измерительных системах. проблема повышения точности измерений при наличии сильной дискретизации наблюдений 13

1.1. Измерения как неотъемлемая часть процесса познания. Дискретность и непрерывность в человеческом познании 13

1.2. Измерения физических величин. Структура измерительных систем 24

1.3. Точность измерений. Подходы к нормированию точности измерений с позиций «погрешности» и «неопределённости» 31

1.4. Вероятностные механизмы, действующие в процессе измерений... 38

1.5. Статистические процедуры в задачах обработки измерительной информации 46

1.6. Сильно дискретизованные наблюдения 55

1.7. Проблема повышения точности измерений при наличии сильной дискретизации наблюдений. Постановка задачи исследования 77

ГЛАВА 2. Теоретические исследования оценок измеряемых величин по сильно дискретизованным наблюдениям 80

2.1. Математическая модель измерений при наличии сильной дискретизации наблюдений 80

2.2. Начальные соображения относительно оценок, учитывающих дискретизацию наблюдений 90

2.3. Дискретизация наблюдений с точки зрения теории информации 106

2.4. Постановка задачи оптимального оценивания по сильно дискретизованным наблюдениям 118

з

2.5. Оптимальное оценивание измеряемой величины по сильно дискретизованным наблюдениям при прямых измерениях при известном параметре масштаба 123

2.6. Косвенные измерения. Оптимальное оценивание векторной измеряемой величины, служащей параметром линейной статистической модели, по сильно дискретизованным наблюдениям и известном параметре масштаба распределения 130

2.7. Оценивание измеряемых величин по сильно дискретизованным наблюдениям при неизвестном параметре масштаба

2.8. Об асимптотических свойствах оценок 147

2.9. Пример расчёта и сравнения вероятностных характеристик оценок измеряемой величины по сильно дискретизованным наблюдениям в случае прямых измерений 157

2.10.Краткие выводы 177

ГЛАВА 3. Экспериментальные исследования оценок по сильно дискретизованным наблюдениям 178

3.1. Цель и методы проведения экспериментальных исследований 178

3.2. Экспериментальные исследования оценок методом численного моделирования 185

3.3. Исследования оценок методом натурного эксперимента 192

3.4. Краткие выводы 205

ГЛАВА 4. Практическое применение методов статистического оценивания сильно дискретизованных наблюдений 206

4.1. Координатные измерения параметров прямолинейных и плоских поверхностей с малыми наклонами 206

4.2. Оценивание модулирующих частот при передаче данных по каналу УКВ-связи 215

ГЛАВА 5. Перспективы развития методов статистической обработки сильно дискретизованных наблюдений 230

5.1. Возможности применения методов статистической обработки сильно дискретизованных наблюдений при координатных измерениях сложнопрофильных поверхностей 230

5.2. Рекуррентные и робастные модификации процедур статистической обработки сильно дискретизованных наблюдений 241

5.3. Применение методов статистической обработки сильно дискретизованных наблюдений в задачах статистического управления процессами 258

Заключение 268

Литература

• Точность измерений. Подходы к нормированию точности измерений с позиций «погрешности» и «неопределённости»
• Начальные соображения относительно оценок, учитывающих дискретизацию наблюдений
• Экспериментальные исследования оценок методом численного моделирования
• модулирующих частот при передаче данных по каналу УКВ-связи

Введение к работе

Актуальность работы.

Общей тенденцией современного машиностроения является постоянное повышение требований к качеству выпускаемой продукции. Одним из важнейших показателей качества служит точность изготовления изделий, что, в свою очередь, накладывает постоянно растущие требования к точности измерений как при контрольных операциях, так и непосредственно в процессе изготовления. Зачастую речь идёт не просто о размерной точности, а о воспроизведении формы и расположения поверхностей, в том числе сложных (например, профили зубчатых колёс, лопатки турбин и т.п.).

В машиностроении наиболее существенными являются четыре группы измерений параметров геометрической точности деталей: измерения размеров, формы, расположения поверхностей, качества поверхности, а также геометрической точности узлов, сборок, изделий в целом (станков, роботов, измерительных приборов и машин). Измерения указанных параметров геометрической точности в большинстве случаев основываются на снятии множества отсчетов (наблюдений) определенных линейно-угловых величин и их последующей математической обработке, выполняемой программным путём с привлечением математико-статистических процедур.

Всё большее количество измерений в современном производстве выполняется автоматически или автоматизированно, с использованием электронных средств измерений и цифровых вычислительных устройств, в которых значения наблюдаемых физических величин представляются дискретным кодом. В связи с этим особое значение приобретает такая характеристика измерений, как дискретность, которая в той или иной мере присутствует в измерениях всегда, в виде ли цены деления шкалы стрелочного прибора или значения разряда аналого-цифрового преобразователя электронного средства измерений.

Здесь речь идёт о дискретизации наблюдений, которая в теории сигналов трактуется как квантование по уровню. В метрологической литературе широко используются термины «дискретность отсчета», «цена деления», которые относятся к дискретности по уровню измеряемой величины. Таким образом, в данной работе под дискретизованными наблюдениями понимаются наблюдения значений физической

величины средством измерения (СИ), дающим определенную дискретизацию по уровню.

В ряде практически важных ситуаций случайный разброс наблюдаемых величин оказывается сопоставимым с дискретой («ценой деления») средства измерения. Это связано с тем, что в настоящее время с развитием требований к качеству технологических процессов в машиностроении, приборостроении и других областях возникает противоречие: с одной стороны, повышение точности требует уменьшения дискретности отсчёта, с другой - происходит повышение случайной составляющей относительно полезного сигнала. Для таких наблюдений в настоящей работе введено понятие «сильно дискретизованных».

При этом дальнейшее уменьшение дискретности либо невозможно из-за достижения технологических пределов, либо слишком затратно с экономической точки зрения. С другой стороны, исключить или существенно снизить случайную составляющую при проведении измерений в реальных условиях также либо невозможно, либо экономически затратно. Возникает противоречие, которое приводит к ограничениям точности измерений.

Отметим, что выбор разрядности аналого-цифровых преобразователей -стандартная задача при проектировании изделий цифровой электронной техники. Однако на практике приходится искать компромисс между такими характеристиками АЦП, как разрядность, быстродействие, надёжность и стоимость, поэтому уменьшение дискретности АЦП имеет свои пределы.

Статистические методы обработки сильно дискретизованных наблюдений в настоящее время не распространены в метрологической практике, в частности, не регламентируются существующими стандартами. В данной диссертации осуществляется поиск новых подходов разрешения указанного противоречия на основе переосмысления статистического оценивания измеряемых величин по сильно дискретизованным наблюдениям.

С математической точки зрения, данные подходы аналогичны методам оценивания группированных наблюдений, изложенным, в частности, в докторской диссертации Б.Ю. Лемешко «Статистический анализ группированных, частично группированных и негруппированных наблюдений одномерных непрерывных случайных величин» (Новосибирск, НГТУ, 1997), а также методам, основанным на

понятиях теории информации, разработанным в докторской диссертации С.В.Юдина «Информационно-статистические методы управления качеством продукции массового производства» (Тула, ТулГУ, 1999). Однако, по сравнению с названными работами, в настоящей диссертации осуществлено построение оптимальных в некотором смысле оценок измеряемых величин, причём не только в одномерном случае, но и для моделей регрессионного типа, что значительно расширяет область применения разработанных методов оценивания.

Цель диссертационной работы:

Разработка методов статистической обработки сильно дискретизованных наблюдений, позволяющих снизить составляющую погрешности измерений, обусловленную дискретизацией наблюдаемой физической величины по уровню.

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:

1. На основе анализа существующих подходов к нормированию и оцениванию погрешностей измерений сформировать математическую модель сильно дискретизованных наблюдений.

2. Проанализировать статистические оценки (такие как метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия), традиционно не учитывающие особенности дискретизации, применительно к сильно дискретизованным наблюдениям.

3. Предложить статистические оценки, учитывающие дискретизацию наблюдений и, вследствие этого, обладающие лучшими характеристиками в отношении точности оценивания измеряемых величин.

4. Провести теоретические и экспериментальные сравнительные исследования характеристик различных статистических оценок, как без учета, так и с учетом дискретизации.

5. Практически апробировать и внедрить результаты работы в программном обеспечении разнообразных технических систем, функционирование которых связано с оцениванием величин по сильно дискретизованным наблюдениям.

6. Определить направления дальнейшего распространения сформулированного в работе подхода к статистическому оцениванию сильно дискретизованных

наблюдений в измерении геометрических параметров объектов субмикрометровой и нанометровой точности.

Методы исследования. В теоретических исследованиях использованы методы математической статистики, теории информации, математического анализа, в том числе функционального анализа, вариационного исчисления, комбинаторики, численные методы интегрирования, методы имитационного стохастического моделирования.

В экспериментальных исследованиях применялись методы планирования эксперимента, моделирования случайных процессов средствами радиоэлектроники.

Научная новизна работы состоит в следующем:

7. Выделен класс измерительных задач, в которых случайная составляющая наблюдаемой физической величины сопоставима с дискретностью отсчёта, и для таких наблюдений введено понятие «сильно дискретизованные».

8. Установлены недостатки традиционных статистических оценок, используемых в задачах обработки измерительной информации, при их применении к сильно дискретизованным наблюдениям.

9. Обоснована необходимость нового подхода к задаче статистической обработки измерительной информации при наличии сильной дискретизации наблюдений, позволяющего увеличить итоговую точность измерений.

4. Установлен вид наилучших оценок по дискретизованным наблюдениям при
функции потерь в виде среднего квадрата погрешности оценивания в ситуации
прямых измерений при известном и неизвестном параметре масштаба.

5. Установлен вид наилучших оценок по дискретизованным наблюдениям при функции потерь в виде среднего квадрата погрешности оценивания для широкого класса косвенных измерений при известном и неизвестном параметре масштаба.

6. Теоретически и экспериментально получены сравнительные характеристики традиционных оценок, не учитывающих дискретизацию наблюдений, и оценок, полученных на основе предложенного подхода к статистической обработке сильно дискретизованных наблюдений.

7. Найдены пути построения рекуррентных и робастных процедур статистической обработки сильно дискретизованных наблюдений.

Основные положения, которые выносятся на защиту:

1. В измерительных задачах, характеризующихся сопоставимостью случайного разброса измерительного сигнала и дискретности отсчёта используемого средства измерения, возникает необходимость введения понятия «сильно дискретизованные наблюдения».

2. Традиционные методы статистической обработки наблюдений, не учитывающие дискретности отсчета средства измерения, дают погрешность, которая может быть уменьшена при учете дискретности.

3. При задании определенной функции потерь могут быть найдены оценки, обеспечивающие её минимизацию в среднем по множеству возможных значений оцениваемого параметра.

4. При функции потерь в виде квадрата погрешности оценивания найдены наилучшие оценки, для которых предложено название «оценки типа Питмена».

5. Для параметра масштаба случайной составляющей наблюдений оценка типа Питмена по сильно дискретизованным наблюдениям обеспечивает лучшую точность по сравнению с оценками наименьших квадратов и максимального правдоподобия.

6. Экспериментальные исследования подтверждают теоретически полученные
сравнительные характеристики оценок наименьших квадратов, максимального
правдоподобия и оценок типа Питмена.

7. Оценки типа Питмена могут вычисляться рекуррентно, предложена
соответствующая процедура, в том числе робастная модификация.

Данные положения в совокупности означают решение проблемы, имеющей важное хозяйственное значение - повышения точности измерений на пределе разрешения аппаратных средств без их физической модернизации, при помощи новых методов математико-статистической обработки измерительной информации.

Практическая значимость и реализация результатов.

Практическая значимость работы заключается в том, что разработаны алгоритмы обработки измерительной информации, позволяющие достигать более высокой точности оценивания измеряемых величин без уменьшения дискретности отсчета используемых средств измерения.

Результаты работы внедрены:

в программно-математическом обеспечении координатно-измерительных машин, в том числе субмикрометровой точности, разработанных ОАО «НИИизмерения» совместно с МГТУ «Станкин» по Государственным контрактам № 10411.1003702.05.001 от 30.03.2010 г. и №11411.1003704.05.005 от 26.09.2011 г. (заказчик - Министерство промышленности и торговли Российской Федерации) - в процедурах измерения отклонений расположения прямолинейных и плоских поверхностей;

в программно-математическом обеспечении радиомодема «Титан РМ-1», разработанного и серийно выпускаемого ООО «КОДОС-Б» в составе системы мониторинга подвижных объектов «Алмаз», применяемой в подразделениях Министерства внутренних дел Российской Федерации для управления служебным автотранспортом - в процедуре определения кодирующих информацию частот.

Апробация

Постановка задачи и полученные результаты докладывались на 1-й и 2-й Международных научно-практических конференциях «Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики» (Новочеркасск, ЮРГТУ (НПИ), 2000 г., 2001 г.), 12-й и 14-й Международных конференциях «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» «CAD/CAM/PDM-2012» и «CAD/CAM/PDM-2014» (Москва, ИПУ РАН, 2012 и 2014), заседаниях кафедры «Измерительные информационные системы и технологии» МГТУ «Станкин».

Практическая апробация проведена при разработке программно-математического обеспечения координатно-измерительных машин, а также процедур определения кодирующих информацию частот в программно-математическом обеспечении радиомодема «Титан РМ-1» (разработка ООО «КОДОС-Б»).

Публикации

По теме работы имеется 29 публикаций, в том числе 17 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ по специальности диссертации и 1 патент на полезную модель.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и восьми приложений. Основная часть работы изложена на 270 страницах, приложения - на 130 страницах. Работа содержит 64 рисунка и 114 таблиц, список литературы из 205 наименований.

Точность измерений. Подходы к нормированию точности измерений с позиций «погрешности» и «неопределённости»

Процесс познания - один из основных видов деятельности человека, причём как отдельной личности, так и всего человечества на протяжении его истории с древнейших времён до наших дней. Согласно философскому словарю [1], познание определяется как творческая деятельность субъекта, ориентированная на получение достоверных знаний о мире. По другому определению [2], познание - общественно-исторический процесс творческой деятельности людей, формирующий их знания, на основе которых возникают цели и мотивы человеческие действий. Существует ещё ряд определений, согласных между собой в том, что процесс познания ориентирован на получение знаний.

В свою очередь, знание определяется как идеальное выражение в знаковой форме объективных свойств и связей мира, природного и человеческого. Знания нужны для ориентации человека в окружающем мире, объяснения и предвидения событий, планирования и реализации деятельности. Знание - средство преобразования действительности [3].

Но знание тогда способствует успеху целенаправленной деятельности, когда оно соответствует истине. Поэтому, давая определение процессу познания, следует акцентировать внимание на стремление к получению истинного знания, точнее - всё большему приближению к истине. Абсолютная истина, как показывает весь опыт развития человеческих знаний о мире, никогда не бывала достигнута и вряд ли когда-нибудь будет. Постоянный и необходимый спутник истины на всех этапах ее развертывания - заблуждение. Категории истины и заблуждения - ключевые в теории познания, выражающие две противоположные, но неразрывно связанные стороны.

Заблуждение - знание, не соответствующее своему предмету, не совпадающее с ним. Заблуждение, будучи неадекватной формой знания, главным своим источником имеет ограниченность, неразвитость или ущербность практики и самого познания.

Развитие практики и самого познания показывают, что те или иные заблуждения рано или поздно преодолеваются, либо сходят со сцены (как, например, учение о «вечном двигателе»), либо превращаются в истинные знания (превращение алхимии в химию). Важнейшие предпосылки преодоления заблуждений - изменение и совершенствование породивших их социальных условий, зрелость практики, развитие и углубление знания.

Истина - это знание, соответствующее своему предмету, совпадающее с ним. Это верное, правильное отражение действительности. Достижение истины - непосредственная цель познания в любой его форме. Первым и исходным признаком истины считается объективность. Будучи объективной по своему внешнему материальному содержанию, истина - субъективна по своим внутренним идеальным содержанию и форме: истину познают люди и выражают ее в субъективных формах (понятиях, законах, теориях). Наряду с объективностью, важнейшим атрибутивным свойством истины является ее конкретность.

Среди концепций истины доминирующее положение заняла возникшая ещё в античный период так называемая корреспондентская концепция истины. Соответствие знаний объектам и предметам в рамках этой концепции понимается как их адекватное воспроизведение в идеально-знаковой форме. Корреспондентская концепция исходит из допущения о существовании объекта познания вне зависимости от субъекта и состояний его сознания [3]. Альтернативные концепции истины - когерентная, прагматическая, конвенционалистская, - предложенные в ходе критики классической концепции, не выглядят плодотворными в естественных и, особенно, технических науках, имеющих дело с явлениями и процессами, в которых явным образом участвуют объекты внешнего (по отношению к познающему субъекту) мира. Формой, связующей отношение субъекта и объекта, является образ. Образ субъективен по восприятию, но объективен по содержанию.

По отношению к субъекту образы подразделяются на чувственные (наглядные) и рациональные (абстрактные). В наглядных образах фиксируются признаки, доступные чувственному созерцанию. В абстрактном образе выражаются общие признаки.

По отношению к объекту образы делятся на информационные и проективные. Первый несет информацию на основе отражения объекта в сознании субъекта. Второй представляет собой объект на уровне желаемого. Он представлен идеальной, мысленной конструкцией объекта, который может быть воплощен в практике.

Познание осуществляется в различных формах и на различных уровнях [3]. Чувственный, или эмпирический, уровень познания включает в себя формы ощущения, восприятия и представления. Рациональный уровень -опосредованное восприятие мира в форме понятий, суждений и умозаключений. Наконец, важнейший этап познания - апробация полученных знаний на практике. Именно на этом этапе имеется возможность проверки истинности знаний. На чувственном (эмпирическом) уровне используются следующие методы познания: наблюдение, описание, измерение, эксперимент. Наблюдение — это преднамеренное и направленное восприятие объекта познания с целью получить информацию о его форме, свойствах и отношениях.

Начальные соображения относительно оценок, учитывающих дискретизацию наблюдений

Как уже упоминалось в разделе 1.5, оператор измерительного преобразования в общем виде может быть разного рода: линейным, нелинейным, алгебраическим, дифференциальным и т.д. Что касается измерений в машиностроении, то здесь наиболее существенными являются четыре группы измерений параметров геометрической точности деталей: измерения размеров, формы, расположения поверхностей, качества поверхности, а также геометрической точности узлов, сборок, изделий в целом (станков, роботов, измерительных приборов и машин) [114,133]. Поэтому измерительные преобразования в наиболее распространенных ситуациях в машиностроении сводятся к функциональным зависимостям, линейным или нелинейным.

Измерения указанных параметров геометрической точности в большинстве случаев основываются на снятии множества отсчетов (наблюдений) определенных линейно-угловых величин и их последующей математической обработке.

Простейшим является случай прямых измерений, то есть таких, согласно МИ 29-99 [12], при которых искомое значение физической величины получают непосредственно, то есть наблюдается именно та величина, которая измеряется. Статистическая обработка наблюдений при прямых измерениях с многократными отсчетами регламентируется ГОСТ 8.207-76 [43]. В этом стандарте не приведена в явном виде математическая модель наблюдений, однако приведённые методы обработки предназначены для модели с центрированными случайными погрешностями: Yi=e + G-ei,Eei=Q,i = \,...,п. (9)

Под величиной в здесь понимается сумма истинного значения измеряемой величины и неисключённой систематической погрешности, под величинами Yt исправленные результаты наблюдений, то есть результаты наблюдений после внесения поправок с целью устранения систематических погрешностей. Более распространенной является схема косвенных измерений. На методы обработки результатов наблюдений при косвенных измерениях, в отличие от прямых, не существует ГОСТа. Имеется только рекомендация «МИ 2083-90. Рекомендация. ГСИ. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей» [134]. Этот документ начинается с определения результата косвенных измерений как значения функции от измеренных значений других величин - аргументов: = f(alv..,am), причём относительно функции f говорится, что она должна быть известна из теоретических предпосылок или установлена экспериментально с погрешностью, которой можно пренебречь.

В то же время зачастую процедуры обработки измерительной информации строятся таким образом, что явный вид функции f прямо не используется, в частности, с трудом может быть найден. Более общим является уже упомянутое в разделе 1.3 представление косвенных измерений как решение уравнения с неявной функцией: h(A,ab...,ak) = 0, причём А может быть как скалярной, так и векторной величиной.

Кроме того, измерительный эксперимент обычно строится следующим образом: некоторым из физических величин придаются определённые значения, а значения других величин регистрируются (наблюдаются). Измеряемые величины при этом выступают в роли параметров функциональной связи между «входными» и «выходными» величинами. Таким образом, непосредственно доступные в эксперименте величины - аргументы можно разделить на две категории: 1) величины, значения которых задаются экспериментатором по его усмотрению; 2) величины, значения которых измеряются при заданных значениях величин первой категории. В соответствии с терминологией теории планирования эксперимента [135], будем называть величины первой категории факторами (употребляются также термины «предиктор», «регрессор» [136]), а второй - откликами. Примем обозначение х для совокупности (вектора) значений факторов. В основном в данной работе рассматриваются ситуации с одним (скалярным) откликом, который будем обозначать через у . Совокупность величин, значения которых подлежат определению в результате измерительно-вычислительной процедуры, обозначим вектором 0 . В этих обозначениях результат косвенных измерений является решением уравнения h(Q,x,y) = 0, или, если данное уравнение можно разрешить относительно отклика, y = u(x,Q). (10)

Для определения всех компонент вектора 9 = (в1,...,вг) факторы изменяются на нескольких уровнях, так что имеется ряд значений xl5...,xw и соответствующий ряд значений отклика yl,...,yn . Значения отклика доступны с некоторой погрешностью, причём систематическая составляющая погрешности, как правило, должна быть исключена до проведения обработки результатов наблюдений, после чего остаётся случайная составляющая с предположительно нулевым средним, поэтому значения отклика на уровнях факторов xl5...,xw можно представить как случайные величины: Yi=u(xi,Q) + si, i = \,...,n. (11)

Модель наблюдений (11) широко распространена при исследовании разнообразных зависимостей [136]. Отметим, что случайные слагаемые st часто содержит не только случайную погрешность измерения отклика, но и случайные отклонения характеристик самого исследуемого объекта от некоторого образа. Например, в отношении поверхностей принято разделять отклонения, в соответствии с их пространственным масштабом, на три вида [137,138]: 1) отклонения формы и расположения; 2) волнистость; 3) шероховатость поверхности. При координатных измерениях отклонения формы и расположения могут быть учтены соответствующим выбором вида функции и и набора параметров 0 в (11), а волнистость поверхности в сумме с шероховатостью выступает как компонента случайной составляющей є.

Другой пример: оценивание смещения уровня настройки процесса в задачах статистического управления по результатам выборочного контроля по суженному допуску (третий пример сильно дискретизованных наблюдений из раздела 1.6). Здесь случайная составляющая - это, в основном, разброс признака качества, то есть случайные отклонения самого объекта исследования.

Большое количество зависимостей в формуле (10) может быть приведено к виду, линейному по параметру, то есть к скалярному произведению вектора факторов и вектора параметров. Подчеркнём, что сама зависимость между факторами и откликом эксперимента при этом может оставаться нелинейной. Например, степенные и тригонометрические полиномы совершеннно естественно записываются как линейные по параметру функции:

Экспериментальные исследования оценок методом численного моделирования

Методика вычислений. В качестве примера приведём расчёты вероятностных характеристик оценок по сильно дискретизованным наблюдениям, а именно - смещения и среднего квадрата отклонения, для моделей прямых измерений с известным (52) и неизвестным (79) параметром масштаба случайной составляющей, полагая её распределение нормальным.

Случай предельно сильной дискретизации с т = 2 при известном параметре масштаба уже был рассмотрен в разделе 2.2. Если параметр масштаба не известен, то при т = 2 оценить его одновременно с параметром в невозможно, поскольку уравнение, аналогичное (15), рассматриваемое относительно двух переменных - в и т - не имеет однозначного решения. Поэтому в данном разделе рассматриваются варианты т = 3 и т = 4.

Вычисление вероятностных характеристик оценок может быть выполнено непосредственно по определению математического ожидания, путём перебора всевозможных исходов эксперимента, вычисления значений оценок для каждого из них, умножения оценки (или отклонения от истинного значения) на вероятность этого исхода и суммирования полученных произведений. Принципиально такая программа действий осуществима, поскольку количество исходов эксперимента при наличии сильной дискретизации наблюдений конечно. Однако оно всё же может быть слишком велико, чтобы выполнить расчёты практически за разумное время, даже с использованием современных средств вычислительной техники.

Для оценок параметров модели прямых измерений расчёты могут быть выполнены за приемлемое время. Как уже отмечалось ранее, в этом случае имеется нетривиальная достаточная статистика, несущая в себе всю информацию о параметрах, но при этом не требующая знания значений всех наблюдений. Иначе говоря, для вычисления оценок параметров не имеет значения, в какой очерёдности были получены отсчёты уі ,...,у% - важно лишь, сколько из них совпало с отметками шкалы sl,...,sm. Соответствующие числа были обозначены пх,...,пт. Данное обстоятельство позволяет отождествить исходы эксперимента с одинаковыми пх,...,пт , различающиеся лишь порядком появления отметок sx,...,sm , что серьёзно сокращает количество вычислений и делает возможным полный перебор всех существенно различных исходов эксперимента.

В самом деле, если считать по отдельности каждый из векторов (yf ,...,у ), где каждая компонента принимает одно из т значений sl,...,sm , то общее их количество составит т". Если же учитывать только различные разбиения на т групп по п1,...,пт элементов в каждой, то количество вариантов сокращается до

Простое доказательство этой формулы состоит в том, чтобы представить себе разбиение на т групп разбиваются п предметов, расположенных в один ряд, для чего требуется разместить в том же ряду т-\ границ, которые могут располагаться произвольно: как между предметами, так и слева, справа от всего ряда, по одной или по несколько сразу. Отметим, что эта комбинаторная задача характерна для квантовой механики при подсчёте распределений осцилляторов по уровням энергии (см, например, [158]).

Итак, для вычисления характеристик оценки при заданных значениях п, т, в и т требуется заполнить таблицу следующего вида (Табл. 2.1). При этом левая часть до жирной вертикальной черты (столбцы 1-4) заполняется один раз для заданных п и т, а правая часть (столбцы 5-8) заполняется для заданных в и т.

Аналогичная таблица составляется при вычислении характеристик параметра оценки параметра масштаба в тех случаях, когда он неизвестен.

В то же время, очевидно, никакой из вариантов разбиения не повторяется, поэтому предложенный алгоритм действительно обеспечивает перебор всех возможных пх,...,пт при заданных пит.

Сравнение характеристик проводилось в отношении трёх видов оценок: - традиционные оценки, не учитывающие дискретизации наблюдений: выборочное среднее дискретизованных наблюдений, при неизвестном параметре масштаба - совместно с выборочным среднеквадратическим отклонением: _ 1 и yd =_ yd - оценки максимального правдоподобия, вычисляемые с учётом дискретизации наблюдений; - оценки типа Питмена для случаев известного и неизвестного параметра масштаба. Для каждого вида вычислялись и сравнивались смещения оценок параметра в, то есть Е9 ав - в , средние квадраты погрешности оценивания параметра в, то есть Ев а (в - в I , а также, при неизвестном параметре т , среднее значение отношения Ее а —, все как функции истинного значения в при изменении его в т пределах половины цены деления. Характеристики выражались значениями относительно цены деления шкалы с, которая принималась за единицу. Как отмечалось ранее, характеристики оценок периодичны с периодом, равным цене деления, то есть сдвиг на целое число делений картины не меняет.

Численное интегрирование оказалось связанным со следующей трудностью. Встроенные процедуры интегрирования в среде MATLAB quad (одномерное интегрирование) и dblquad (двойное интегрирование) позволяют указывать один из параметров, означающий точность, или, вернее говоря, абсолютная погрешность результата интегрирования (если этот параметр не указан, то, по умолчанию, он принимается равным 10"). Вообще говоря, чем меньше задаётся погрешность, тем большее время занимает вычисление интеграла, поэтому чрезмерно маленьким этот параметр указывать нельзя. С другой стороны, вероятности различных исходов эксперимента сильно различаются, поэтому результаты интегрирования вероятностей могут различаться на порядки, и значение 10" может оказаться слишком грубым. Учитывая эти обстоятельства, использовать фиксированное значение параметра «точность» для любых вызовов процедур интегрирования невозможно. Быстро оценить требуемую точность, например, по максимальному значению интегрируемой функции, тоже не получается из-за разной скорости убывания при различных наблюдениях. Поэтому интегрирование производилось с подбором точности до тех пор, пока не достигалась относительная погрешность 10" , в соответствии с алгоритмом, представленным на рис. 2.11.

модулирующих частот при передаче данных по каналу УКВ-связи

Одна из областей использования методов статистического оценивания в измерительных задачах - координатные измерения поверхностей, требующие оценивания по результатам наблюдений параметров уравнений, описывающих поверхности.

В главе 4 было описано применение методики оценивания измеряемых величин по сильно дискретизованным наблюдениям в программно-математическом обеспечении координатно-измерительных машин. Однако область применения в этом случае довольно узка: только прямолинейные или плоские поверхности и только при специальном расположении, когда сильная дискретизация имеет место в отношении одной координаты. Между тем, всё большее распространение в машиностроении получают задачи, связанные с измерением и контролем геометрических параметров сложнопрофильных поверхностей (СПП). В России большое внимание этому кругу задач уделено специалистами Всероссийского научно-исследовательского института метрологической службы [169,176 - 182].

Отметим, что координатные измерения выполняются не только при помощи КИМ, но также и на других средствах измерения, например, на универсальных и инструментальных измерительных микроскопах. Тогда это, как правило, двухкоординатные измерения, в отличие от трёхкоординатных на КИМ. В настоящее время выполняется оснащение измерительных микроскопов средствами оцифровки и ввода изображения в компьютер [183 - 186]. При этом дискретность отсчёта оказывается связанной с пиксельной структурой оцифрованного изображения.

Номинальная поверхность - поверхность, форма и положение которой заданы в конструкторской документации, без учёта допускаемых отклонений, одним из способов: аналитическим (параметрическим, векторно-параметрическим, явным или неявным уравнением), дискретным (набором точек, лежащих на поверхности), дискретно-аналитическим (набором различных уравнений на различных участках с заданными границами участков). При аналитическом или дискретно-аналитическом способах задания поверхность определяется, в основном, значениями параметров, входящих в уравнения.

Координатная поверхность - поверхность, имеющая форму номинальной, но смещённая и повёрнутая относительно неё. Применительно к аналитическому и дискретно-аналитическому способам задания СПИ можно сказать, что координатная поверхность задаётся теми же уравнениями, что и номинальная, но с другими значениями параметров.

При этом реальная поверхность [187] - поверхность, ограничивающая деталь и отделяющая её от окружающей среды.

Локальные отклонения формы отсчитывают от координатной поверхности. Координатная поверхность чаще всего определяется как средняя или прилегающая [188]. Построение координатной поверхности осуществляется в программно-математическом обеспечении координатного средства измерения на основании координат массива точек на реальной поверхности, измеренных с некоторой погрешностью, в том числе случайной. При этом используются те или иные методы статистического оценивания параметров уравнения, которым описывается поверхность.

Например, в работе [182] рассматривается задание поверхности в виде линейной комбинации базисных функций {g\(x,y),...,gM(x,y) (с точностью до обозначений): , подлежащие оцениванию, bx,...,bM_r - фиксированные, известные параметры. Уравнение поверхности в виде (123), возможно, записывается не в исходной системе координат, а в системе, полученной из исходной сдвигом и поворотом на некоторый угол. Поскольку дискретизация значений координат измеренных точек в [182] не учитывается, то преобразования такого вида вполне допустимы.

В [182] отмечается, что базисные функции могут входить в уравнение поверхности и нелинейно, и выбор аппроксимации поверхности в виде (123) обусловлен тем, что он позволяет найти наилучшие оценки неизвестных параметров за конечное число операций. Более общим является задание поверхности уравнением

В статье [190] предлагается итеративный способ подгонки окружностью при анализе изображений на основе так называемого «фактора притяжения к окружности». Способ заключается в том, что вводятся силы, действующие со стороны каждой из исходных точек на окружность, направленные по нормали к окружности, а по модулю пропорциональные расстоянию от точки до окружности. Преобразование предыдущей итерации окружности в следующую происходит в зависимости от результирующей силы. Как отмечают сами авторы статьи, в равновесие окружность приходит именно тогда, когда достигается минимум в (127). Таким образом, по сути дела, в указанной работе предложена разновидность градиентного метода, приводящего к решению задачи на минимум (127).

Второй метод - «метод среднего пересечений» - основан на том, что серединный перпендикуляр к любому отрезку, концы которого лежат на окружности, проходит через центр этой окружности. Согласно этому методу, требуется перебрать всевозможные тройки исходных точек. В каждой тройке находят точки пересечения перпендикуляров, проведённых к двум отрезкам, соединяющим последовательно расположенные точки. Далее, за оценку центра принимается среднее полученных точек пересечения, а за оценку радиуса -среднее расстояние от оценки центра до исходных точек, как в первом методе.

Очевидно, метод среднего пересечений не работает, если хотя бы три точки из наблюдений лежат на одной прямой. Вероятность такого события невелика при слабой дискретизации, но возрастает по мере её усиления.

Третий метод - «редуцированный метод наименьших квадратов» - состоит в нахождении такой точки, сумма расстояний от которой до всевозможных серединных перпендикуляров, проведённых к отрезкам, соединяющим исходные точки, будет минимальна: