Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор состояния проблемы. Постановка задачи 12
1.1. Адаптивные алгоритмы 12
1.2. Сглаживание аддитивных помех 16
1.3. Теории математических моделей в современной метрологии 17
1.4. Проведение метрологического анализа с использованием имитационного моделирования 22
1.5. Постановка задачи 24
Выводы 25
Глава 2. Общие принципы измерений с адаптивным сглаживанием аддитивной помехи 26
2.1. Принципы адаптивных измерений 26
2.2. Метод фильтрации (сглаживания) аддитивной помехи 27
2.3. Задачи параметрической адаптации 29
2.4. Задачи алгоритмической адаптации 31
2.5. Варианты адаптивных процедур 33
2.6. Решающие правила 34
2.7. Состав априорных сведений для применения адаптации 36
2.7.1. Постоянный сигнал 36
2.7.2. Непостоянный сигнал 38
2.8. Метрологический анализ измерений с адаптивным сглаживанием аддитивной помехи с использованием имитационного моделирования 39
2.8.1. Генерация случайных чисел 40
2.8.2. Принципы построения моделей входных воздействий 43
2.8.3. Принципы моделирования алгоритма адаптации и оценки результатов эксперимента 46
Выводы 48
Глава 3. Измерения с адаптивным сглаживанием аддитивной помехи. Постоянное входное воздействие 49
3.1. Организация измерений с адаптивным сглаживанием аддитивной помехи. Решающее правило 56
3.2. Метрологический анализ результатов измерений с алгоритмической адаптацией 60
3.3. Проведение экспериментов по исследованию эффективности измерений с адаптивным сглаживанием аддитивной помехи 63
3.4. Результаты имитационного моделирования 65
3.5. Сравнение результатов эксперимента с теоретическими расчетами 70
3.6. Выводы по результатам моделирования 72
Выводы 73
Глава 4. Измерения с адаптивным сглаживанием аддитивной помехи. Непостоянное входное воздействие 76
4.1. Задачи измерений с адаптивным подавлением аддитивной помехи для непостоянного полезного сигнала 79
4.2. Адаптивное сглаживание линейного сигнала 82
4.2.1 Параметрическая адаптация 82
4.2.2. Алгоритмическая адаптация 88
4.3. Адаптивное сглаживание нелинейного сигнала 92
4.4. Адаптивный выбор алгоритма сглаживания помехи 95
Выводы 108
Заключение ПО
Список литературы 111
- Теории математических моделей в современной метрологии
- Метод фильтрации (сглаживания) аддитивной помехи
- Метрологический анализ результатов измерений с алгоритмической адаптацией
- Адаптивное сглаживание линейного сигнала
Теории математических моделей в современной метрологии
Создание аппаратного и программного обеспечения процессорных СИ должно основываться на разработанных алгоритмах функционирования измерительных процедур. Создание таких алгоритмов невозможно без четкой математической формализации описания объектов измерения, измерительных процедур, средств и условий измерения. Задача построения теоретического базиса для математического описания измерений начала активно решаться с развитием цифровой измерительной техники. В результате решения данной задачи появился ряд теорий, наиболее значимой из которых является «Математическая метрология» д. т. н. профессора Э. И. Цветкова. Основы данной теории изложены в монографии [79], а также кратко рассмотрены в [75], [76]. Отдельные положения этой теории можно встретить в [71], [80] и [82].
Объект исследования в математической метрологии - измерение квалифицируемых величин с верификацией достоверности получаемых результатов с помощью действующей системы обеспечения единства измерений [76]. Математическая метрология сочетает теоретико-множественный подход (предполагает наличие истинного значения измеряемой величины и возможность ее представления) и конструктивный подход (невозможность определения истинного значения), другими словами - истинное значение существует, но не может быть определено с помощью технических средств.
Итак, в качестве аксиоматического базиса математической метрологии приняты следующие аксиомы ([76]):
Величина измерима, т. е. существует действительное число, представляющее отношение величины к принятой единице измерений;
Процедура измерений, обеспечивающая установление истинного значения измеряемой величины, физически реализована быть не может.
Из первой аксиомы следует, что истинное значение измеряемой величины может быть представлено математическими средствами. Для этой цели вводятся гипотетические уравнения. Из второй аксиомы следует, что реальные и идеальные процедуры измерений описываются соответствующими уравнениями, объективно отличающимися от гипотетических, что предопределяет появление погрешностей. При этом уравнения, представляющие идеальные и реальные процедуры измерений, включают в себя только физически реализуемые преобразования ([76]).
Базовая модель математической метрологии, с видом которой согласовываются остальные модели описания остальных моделей объектов, результатов и средств измерений, а также алгоритмы метрологического анализа и синтеза, - математическая модель процедуры (процесса) измерений. Ее вид определяется тем, что эта процедура - последовательность преобразования входного воздействия у - носителя информации об измеряемой величине Я ([76]).
В математической метрологии выделяется теория статистических измерений, т. е. измерения вероятностных характеристик случайных процессов. В настоящее время вероятностный подход в метрологии широко распространен [50], [80], [95].
На теории математической статистики основываются так же методы обработки результатов измерений [24], [56], [57], [61], [88]. Статистические методы применяются для исключения случайной погрешности из результата измерений.
Значительная часть теории математической метрологии касается вопросов МА, применяемого в настоящей работе. МА посвящены также публикации [8], [9].
Применение математического аппарата в метрологии описано в публикациях Национальной физической лаборатории (National Physical Laboratory) [90], [98]. В руководстве Software Support for Metrology (Программная поддержка метрологии) приводятся модели и алгоритмы построения измерительных средств, основанные на математических уравнениях. Данное руководство не является столь же фундаментальным, как теория математической метрологии. Наибольшее внимание здесь уделяется рекомендациям по разработке программных средств поддержки измерений.
Существует альтернативная концепция представления результатов измерений, представленная «Руководством по выражению неопределенности в измерении» (Guide to the expression of uncertainty in measurement, ISO/TAG - /WG3, Geneva, June 1992). Его основными положениями являются (см. [58], [68], [74], [88], [89], [92]): запрет на использование таких понятий, как истинное и действительное значения измеряемой величины, погрешность, относительная погрешность, точность измерения, случайная и систематическая погрешности; вместо термина «погрешность измерения» введено понятие «неопределенность измерения», трактуемое как «параметр, связанный с результатом измерения, характеризующий дисперсию значений, которые можно приписать измеряемой величине»; разделение составляющих неопределенности на два типа А и В.
Неопределенности типа А можно количественно оценить статистическими методами на основе многократных измерений и описать традиционными характеристиками - дисперсией или СКО. Взаимодействие неопределенностей типа А описывается коэффициентом взаимной корреляции.
Неопределенности типа В могут быть оценены любыми другими методами, кроме статистических. Они должны описываться величинами, аналогичными дисперсии и СКО, поскольку именно эти характеристики можно использовать для объединения неопределенностей типа В как между собой, так и с неопределенностями типа А.
Очевидно, что неопределенность типа А - не что иное, как характеристика случайной составляющей погрешности результата измерения, а неопределенность типа В - характеристика неисключенной систематической погрешности. Причем объединение неопределенностей типа А и В проводится по тем же правилам, что и при объединении составляющих погрешности, т. е. суммирование дисперсий. Таким образом замена понятия «погрешность» на «неопределенность» не изменяет сути этого термина. Поэтому пока нет жестких оснований отказываться от традиционного, привычного понятия «погрешность измерений» ([58]).
Метод фильтрации (сглаживания) аддитивной помехи
Построение адаптивных процедур следует начать с представления метода фильтрации помех вообще и цифровой фильтрации аддитивных помех в частности в [76] приводится следующее определение:
«Фильтрация, как способ подавления помех, искажающих входное воздействие или результаты промежуточных преобразований, определяется их видом. В тех случаях, когда измерения приходится выполнять при наличии аддитивных помех (пДі)), искажающих входное воздействие и, следовательно, снижающих точность получаемых результатов измерений, в последовательность составляющих процедуру измерений преобразований вводится усреднение (фильтрация быстропеременных составляющих входного воздействия). Фильтрация мультипликативных (не аддитивных) помех заключается в выполнении преобразования, обратного их искажающему воздействию».
В указанной выше работе ([69]) фильтрация аддитивной помехи сводится к усреднению (нахождению среднего значения) совокупности отсчетов результатов измерений с целью получения результата, свободного от помех. Однако такой способ подавления помех возможен только для постоянного сигнала. В диссертационной работе метод подавления аддитивных помех в общем виде рассматривается как восстановление исходной зависимости изменения полезного сигнала во времени, с целью снижения искажающего воздействия помехи. Для конкретных вариантов изменения сигнала процесс восстановления вида изменения полезного сигнала можно свести к: - аппроксимации (восстановлению исходной зависимости, например, с использованием полинома второй степени и выше) для нелинейного изменения сигнала. - линеаризации (восстановлению исходной зависимости по методу наименьших квадратов (МНК) - полинома первой степени) для линейноизменяющегося сигнала1. - усреднению (аппроксимации полиномом нулевой степени) для постоянного сигнала.
В работах [72], [76], и других процесс сглаживания аддитивной помехи с целью повышения точности носит название фильтрации. Однако термин «фильтрация» в современной технике имеет очень широкую область значений (наиболее часто применяется в радиосвязи), что вносит некую неразбериху и путаницу для технических специалистов широкого профиля. В связи с этим автор настоящей работы в названии и в тексте пользуется более удобным термином «сглаживание аддитивной помехи» для исключения недоразумений. Поэтому ниже по тексту при ссылках на публикации ([72], [76] и др.) будет делаться описанная терминологическая замена без изменения смысла содержания работ.
Для применения методов повышения точности (в частности - сглаживания аддитивной помехи) важной задачей представляется определение объема выборки результатов измерений входного сигнала, применительно к которой выполняется повышающий точность алгоритм (например, усреднение). Недостаточный объем выборки ухудшает достигаемую точность. Но, с другой стороны, с увеличением объема выборки точность возрастает все медленнее. Оптимальный объем выборки должен определяться исходя из априорных сведений о сигнале и действующей помехе. При недостаточном объеме A3 определение объема выборки можно производить в процессе измерения, используя алгоритмы параметрической адаптации.
Рассмотрим типичный алгоритм параметрической адаптации при сглаживании аддитивной помехи.
Нахождение оптимального объема производится в процессе измерения, при автоматическом принятии решения. Устройство принятия решения должно будет выдавать сигнал об останове процесса накопления выборочных данных при достижении требуемого объема выборки усреднения.
Метрологический анализ результатов измерений с алгоритмической адаптацией
Точность, достигаемая в результате введения алгоритмической адаптации, зависит от возможности появления ошибочных решений о наличии аддитивной помехи в составе входного сигнала. Для описанного выше решающего правила степень безошибочности принятия решения зависит от точности задания порога. В теории анализа статистических гипотез разделяют ошибки двух родов. Для принятия решения о наличии/отсутствии помехи эти ошибки можно сформулировать таким образом: ошибки первого рода («промах») - при наличии помехи принимается решение об отсутствии необходимости включения усреднения; ошибки второго рода («ложная тревога») - при отсутствии помехи принимается решение о необходимости включения усреднения.
На основании оценки вероятностей ошибок первого и второго рода, например, методом имитационного моделирования, можно оценить эффективность решающих правил. В зависимости от конкретных требований направлением исследований по эффективности может быть анализ вероятностей ошибок как одного, так и обоих родов.
Учитывая наличие ошибок, можно выделить три пути синтеза решающих правил ([32]): - Обеспечение допустимой вероятности ошибки первого рода; - Обеспечение допустимой вероятности ошибки второго рода; - Обеспечение экстремума принятого критерия точности. Факт возможного наличия этих ошибок необходимо учитывать при проведении метрологического анализа ([32], [34]) измерений с адаптивным сглаживанием аддитивной помехи.
При включении усреднения в условиях наличия помехи результат измерения будет содержать погрешность А21, связанную с усреднением и наличием в составе входного сигнала постоянно действующих погрешностей иной природы. Если же фильтр при наличии помехи не включается - погрешность А22, обусловленную пропуском неусредненной помехи и наличием погрешностей во входном сигнале.
При построении моделей решающих правил основной задачей является отражение алгоритма работы адаптивных процедур, главной операцией в которых является принятие решения о необходимости (или отсутствии необходимости) введения операции усреднения в измерительную процедуру. Другими словами, выявление факта наличия (или отсутствия) помехи в сигнале путем оценки свойств входного воздействия. Алгоритм принятия решения любого решающего правила при алгоритмической адаптации упрощенно можно представить так: - Выполняется заданное условие - включается процедура усреднения; - Условие не выполняется - процедура усреднения не включается. Опишем алгоритм функционирования решающего правила, решение о наличии помехи в котором принимается по результату сравнения разности значений двух отсчетов с заданным порогом: - С входа считывается пара значений U х и U -2 , - Рассчитывается разность At/- = UJ2 UjX ; ф - Модуль разности сравнивается (на «больше», «меньше или равно») с установленным порогом. Для трех отсчетов (правило «один из трех»): - С входа считывается тройка значений U -х , U ,2 и Uj3 ; - Рассчитываются три разности At/y1 = U -2 -UJX » &U-2 =UJ3 -UJX и bUJ3m=UJ3 -U-; 0 - Каждый из модулей разности сравнивается (на «больше», «меньше или равно») с установленным порогом. Проверяются результаты сравнения и выясняется, есть ли хотя бы одно превышение порога.
Для нахождения вероятностей ошибок исследования проводятся в два этапа. На первом этапе проводится проверка решающих правил при наличии сигнала, имеющего в своем составе постоянно действующую помеху. При этом вычисляется вероятность ошибки первого рода путем подсчета количества принятых решений об отсутствии необходимости введения усреднения. На втором этапе, напротив, входной сигнал не имеет в своем составе аддитивной помехи. Путем подсчета количества принятых решений о необходимости введения усреднения вычисляется значение вероятности ошибки второго рода. Достаточную точность проводимых экспериментов можно обеспечить, проводя значительное количество многократных исследований, приводя в качестве результатов усредненное значение вероятности. п Рош = - -, где пош - количество ошибочных исходов, N - общее количество N повторений. Исходные данные для моделирования: Помеха - моделируется случайной величиной, имеющей нормальное распределение с ц=0 и а=0,01; Погрешность - моделируется случайной величиной, имеющей равномерное распределение от -0,0005 до +0,0005. Ввиду достаточной сложности процесса моделирования ошибок вычислительных операций вычисление погрешности, вносимой операцией усреднения, введенной без необходимости, не проводилось. То есть не исследовалось количественное значение погрешности, порожденной ошибкой второго рода. Однако проводились эксперименты по оценке погрешности, возникающей вследствие наличия ошибки 1-го рода («промах»). Суть этих экспериментов состоит в накоплении погрешности при принятых решениях об отсутствии помехи в условиях ее тождественного наличия. Приведем полный алгоритм исследования (по двум отсчетам): - Моделируется пара значений С/ , и Uj2 , содержащих в себе аддитивную помеху и равномерно распределенную погрешность; - Вычисляется разность AC/. = UJ2 - С/у, ; - Модуль разности сравнивается с установленным порогом. В случае не превышения порога моделируется совокупность значений последующих отсчетов С/уз U:N . В проведенных исследованияхN=20; - Находятся наибольшее и наименьшее значение выборки отсчетов. Повторив эксперимент достаточное количество раз, вычисляем вероятность ошибки второго рода и оцениваем наибольшее и наименьшее значение.
Адаптивное сглаживание линейного сигнала
Поиск оптимального объема выборки МНК - параметрическая адаптация -может являться существенным способом повышения точности и сокращения времени измерения.
Проведем эксперимент по исследованию эффективности параметрической адаптации для линейно изменяющегося сигнала с использованием имитационного моделирования. В ходе эксперимента требуется также исследовать варианты построения решающих правил.
В состав входного сигнала включим аддитивную помеху, представляемую случайным числом, имеющим распределение Гаусса СКО=0,01 и м. о. = 0.
В ходе моделирования значения отсчетов tj будут итеративно увеличиваться с шагом 0,01. На каждом шаге будут рассчитываться для последующего анализа следующие параметры: - значения коэффициентов а и b по совокупности значений UI...UJ; - разность между рассчитанным коэффициентом а и заданным по условиям эксперимента -2,5. - значение U, вычисленное по формуле u=atj+b, с использованием рассчитанных на текущей итерации коэффициентов а и Ь; - AUj - разность между «значением входного сигнала» и Ц_і - значением, вычисленным на предыдущем шаге; - Модули разности aj-a,_i и bj-bj.i; - Дисперсия множества ai..aj.
Правило, в соответствии с которым определяется объем выборки, удобно назначать исходя из оценки разности коэффициентов а, рассчитанных на двух последовательных итераций (из таблицы видно, что эта разность уменьшается вместе с приближением щ к а теоретическому). При необходимости можно составить аналогичное правило для коэффициентов Ь, однако в результатах наблюдается достаточно точный расчет Ъ уже на первых итерациях.
Если установить пороговое значение разности равным 1 10"3, тогда для восстановления искомой зависимости будет требоваться 11 отсчетов и будет достигнута точность: по коэффициенту а=0,003183, b = 7 10 5.
Более точным (но и более ресурсозатратным) будет являться правило % сравнения дисперсии рассчитанных коэффициентов а. В таблице наблюдается монотонность убывания значений дисперсий при увеличении числа отсчетов. Возможно построение решающего правила на основании расчета значения функции по ранее рассчитанным коэффициентам (колонка U„p) и сравнения с результатом измерения. К достоинствам данного правила можно отнести одновременный учет точности вычислений коэффициентов а и Ъ одновременно.
Очевидно, что значение результата измерения в этом случае изменяется менее интенсивно, следовательно, для восстановления зависимости потребуется больший объем экспериментальных данных. Из таблицы видно, что оптимальное число итераций - 16, но достаточно точные значения коэффициентов а, Ъ появляются на 12-й, 13-й итерации. Следовательно, для правильной установки порогового значения желательно обладать априорной информацией о характере изменения сигнала.
Сглаживание помех с использованием МНК оправданно лишь при наличии в составе входного сигнала аддитивной помехи. Если помеха отсутствует (или мала), рассчитанное значение может отличаться от действительного более, чем разница между результатом измерения и действительным значением, за счет наличия вычислительных погрешностей. Применение МНК при отсутствии помехи увеличивает время измерения. щ Исходя из вышесказанного, определяя наличие помехи в ходе измерения, дальнейшее развитие эксперимента может идти по одному из двух путей (алгоритмов измерительных процедур): - при наличии помехи производится восстановление вида зависимости по МНК. В результат вводятся поправки, исходя из восстановленной функции; - при отсутствии помехи расчет по МНК не проводится и поправки не вводятся. Принятие решения о наличии/отсутствии помехи производится на основании установленного решающего правила. Решающее правило может строиться по следующему алгоритму: - По совокупности данных (например, пяти отсчетов) по МНК рассчитываются коэффициенты а и Ь; - Результаты измерения первых п (в нашем случае пяти) отсчетов сравниваются с рассчитанными с использованием полученных коэффициентов - т.е. формируется массив отклонений: Ау = U - (а tj + b). - Анализируются данные полученного массива по одному из следующих вариантов: - Максимальное значение сравнивается с установленным «порогом» - Совокупность разниц Ау-А;_, сравнивается с «порогом» по возможным вариантам строгости: один из четырех, два из четырех и т. д. - Дисперсия сравнивается с полученным «порогом». Если результат превышает пороговое значение, принимается решение о наличии помехи в составе сигнала, в противном случае - об отсутствии.
Проиллюстрируем этот алгоритм, проведя имитационное моделирование 1 этап - в составе входного сигнала помеха отсутствует, действует только погрешность, равномерно распределенная на участке -0,0005 до +0,0005.
