Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Измерение параметров гравитирующих систем гравиметрическими приборами и спутниковыми средствами 9
1.1. Изучение свойств силового поля тяготения 9
1.2. Эксперименты по измерению гравитационной постоянной 12
1.3. Поиск новых дальнодействующих сил 16
1.5. Измерение и анализ параметров гравитационного поля Земли и планет 20
1.6. Задачи и перспективы исследований 22
Глава 2. Измерение гравитационной постоянной и обработка результатов 23
2.1. Установка для измерения гравитационной постоянной G 24
2.2. Модернизация систем регистрации, управления и автоматики установки 27
2.2.1. Использование компьютера для измерении интервалов времени 27
2.2.2. Совершенствование системы управления электроприводом 30
2.2.3. Стабилизация амплитуды колебаний весов 32
2.2.4. Программное обеспечение измерений G с привязкой данных к реальному времени 33
2.2.5. Повышение надёжности работы установки и устранение ложных импульсов 34
2.3. Проведение измерений гравитационной постоянной 35
2.4. Методика обработки результатов измерений гравитационной постоянной 36
2.5. Методы расчёта гравитационной постоянной 38
2.5.1. Расчёт G численным интегрированием системы диф ференциальных уравнений движения 38
2.5.2. Расчёт G разложением моментов сил притяжения в ряд по степеням амплитуды колебаний с учётом малых членов высокого порядка 40
2.5.3. Сравнение результатов по двум вариантам расчёта 42
2.6. Устранение систематической погрешности введением поправки на диаметр коромысла 44
2.7. Устранение систематической погрешности при отсутствии данных о периоде колебаний весов 47
2.8. Введение поправки на градиенты гравитационного поля 51
2.9. Принципы функционирования программы по обработке результатов измерений гравитационной постоянной 54
2.9.1. Создание файлов с параметрами серии измерений 54
2.9.2. Операции ввода экспериментальных данных 55
2.9.3. Операции для получения различных отчётов по эксперименту 55
2.10. Результаты измерений и исследований 57
Глава 3. Проверка закона обратных квадратов и оценка параметров новых дальнодействующих сил по данным измерений гравитационной постоянной
3.1. Взаимодействие тел при наличии новых дальнодействующих сил 59
3.2. Приведение периодов колебаний к нулевой амплитуде при сохранении значений гравитационной постоянной 61
3.3. Приведение периодов колебаний к нулевой амплитуде и к нулевой массе коромысла 61
3.4. Вычисление разности обратных квадратов периодов при нулевых значениях амплитуд колебаний и масс коромысла... 62
3.5. Оценка параметров пятой силы 62
3.6. Результаты исследований наличия новых взаимодействий 80
Глава 4. Численное моделирование прямой и обратной задач гравитационной томографии планетарных систем 81
4.1. Решение прямой задачи гравитационного потенциала 82
4.2. Нормированные гармонические коэффициенты точечной массы.. 82
4.3. Нормированные гармонические коэффициенты тонкой шапки 84
4.4. Нормированные гармонические коэффициенты разности двух шаровых секторов (толстая сферическая шапка) 85
4.5. Рекуррентные формулы для присоединённых функций Лежандра 85
4.6. Результаты вычисления элементов поля точки, сферической шапки и шарового сектора 86
4.7. Решение обратной задачи гравитационного потенциала 86
4.8. Принципы функционирования программы по расчёту параметров аномальных источников 101
4.8.1. Операции ввода параметров системы 101
4.8.2. Операции получения различных отчётов 101
4.9. Результаты численного моделирования
параметров аномальных источников 105
Основные результаты работы 106
Список литературы
- Поиск новых дальнодействующих сил
- Совершенствование системы управления электроприводом
- Приведение периодов колебаний к нулевой амплитуде при сохранении значений гравитационной постоянной
- Принципы функционирования программы по расчёту параметров аномальных источников
Поиск новых дальнодействующих сил
В конце восьмидесятых годов XVIII века Г.Кавендиш провёл опыты по определению гравитационной постоянной, массы и средней плотности Земли [96]. Прибор размещался в изолированном помещении. Наблюдения за отклонениями весов проводились с помощью оптической трубы. При расчётах не учитывалось притяжение коромысла весов. Было получено
Крутильная система Брауна [94] с периодом колебаний 1200 с состояла из латунной нити длиной около 1 м и диаметром 55 мкм, на которой подвешивалось коромысло, на концах которого на расстоянии 12,3 см от оси нити крепились латунные позолоченные шары массой 54 г. В качестве притягивающих масс использовались железные шарообразные сосуды с толщиной стенок 5 мм, наполненные 9 кг ртути. Автор учитывал нелинейную зависимость момента силы притяжения от угла отклонения крутильной системы. В итоге четырёхлетних опытов Браун получил
Прибор Хейла [121] имел алюминиевое коромысло длиной 20,59 см и массой 2,4401 г. Использовалась отожжённая вольфрамовая проволока диаметром 25 мкм длиной 1 м. К концам коромысла на нитях подвешивались шаровые грузы массой 50 г из золота, платины и оптического стекла. Притягивающие массы в виде круговых цилиндров по 66 кг выковывались из стали. Из своих многочисленных опытов Хейл получил
В экспериментах К.Понтикиса [156] крутильные весы подвешивались на вольфрамовой нити диаметром 0,5 мм и размещались в стеклянной трубе высотой 1,3 м, диаметр которой составлял 12 см. На концах коромысла крепились сферические грузы массой 4,667 г. Притягивающие массы размещались на столе, который приводился в движение двигателем через механический редуктор. Притягивающие массы, вызывающие резонансные колебания весов, изготавливались из серебра, меди, бронзы и свинца. Они имели массу порядка 1,5 кг. Было получено G=(6,6714±0,0006 10"1 Н-м2/кг2.
В 1975-1977 годах измерения G были проведены в ГАИШ МГУ [53, 63]. Коромысло длиной 35,5 см с пробными цилиндрическими грузами массой 29,9 г на концах подвешивалось на нити диаметром 32 мкм и длиной 100 см. Притягивающие прямые круговые цилиндры массой 39,7 кг были выполнены из немагнитной стали. Период собственных крутильных колебаний весов составил 2310 с. Притягивающие массы устанавливались в четырёх фиксированных положениях. Было получено G=(6,6745±0,0008 10-1 Н-м2/кг2. Работа Лютера и Таулера [141] явилась продолжением работ по совершенствованию метода постоянного углового ускорения. Притягивающие тела массами 10,49 кг были изготовлены в виде спечённых из порошка вольфрама шаров диаметром 10,165 см. Рабочее тело весов состояло из двух вольфрамовых дисков толщиной 2,5472 мм и диаметром 7,1660 мм, смонтированных в виде гантели на вольфрамовом стержне диаметром 1,0347 мм, длиной 28,5472 мм. Полная масса гантели составляла 7 г. Коромысло подвешивалось внутри вертикальной цилиндрической вакуумной камеры на кварцевой нити диаметром 10-12 мкм, длиной 40 см, покрытой хромом и золотом для придания ей проводимости. Вакуум в камере достигал 10"8 Па. Период крутильных колебаний составлял приблизительно 6 минут и изменялся на 3% при удалении притягивающих масс. В работе получено
В последнее десятилетие появился ряд новых работ по измерению гравитационной постоянной [11, 93, 108, 109, 112, 115, 132, 140, 143, 149, 152, 158, 159, 161, 166, 167]. Парадоксальные данные опубликованы в [143]. В экспериментах получены два разных значения G, один - для вольфрамовых притягивающих масс по 900 г каждая, второй - с массами аналогичного размера из стеклокерамики. Пробные массы в обоих случаях были выполнены из той же стеклокерамики. Результат для вольфрама дал
Полученные данные вынудили международную организацию CODATA в 1998 г. [145, 146] увеличить на порядок среднеквадратическую погрешность измерений по сравнению с данными на 1986 год [97].
В [93] описан эксперимент, аналогичный [141]. Для проверки гипотезы Куроды [135] о влиянии неэластичности упругого элемента осциллятора на результаты определения G они использовали две вольфрамовые нити подвеса с добротностью 950 и 490. Авторы установили, что значение G при добротности 950 больше значения G при добротности 490 на величину, близкую к предсказанной по теории Куроды. При пересчёте значений G для систем с нулевой "неэластичностью" получено G=(6,6740±0,0007)-10-nH-M2/Kr2.
В [140] использовались крутильные весы, в которых горизонтальное алюминиевое коромысло длиной 400 мм, имевшее массу 55 г, подвешивалось по центру на вольфрамовой нити с добротностью 3,6Т04 диаметром 25 мкм и длиной 50 см. Цилиндрические медные грузы массой приблизительно 32 г подвешивались на концах коромысла на вольфрамовых нитях диаметром 50 мкм, имевших длину 435 и 20 мм. Вертикальное разделение грузов составляло 415 мм. Притягивающие тела массой 6,25 кг были выполнены в виде цилиндров из нержавеющей стали длиной и диаметром 100 мм. Их оси размещались горизонтально и перпендикулярно оси коромысла. Оси пробных и притягивающих масс по обеим сторонам располагались на одной линии. В ближней позиции расстояние от грузов коромысла до притягивающих масс составляло 60 мм, в дальней позиции притягивающие массы отсутствовали (удалялись). В их присутствии период составлял 74 мин, а при их удалении - 58 мин. Угловое положение коромысла, как функция времени, определялось посредством зеркала, укреплённого на коромысле. Авторы получили G=(6,6699±0,0007 10"1 Н-м2/кг2.
В [108, 109] измерения проводились компенсационным методом. В [109] использовалась вольфрамовая нить длиной 1 м с поперечным сечением 340x17 мкм. Подвешенная на нити пробная масса представляла горизонтальный медный цилиндр массой 532 г, длиной 220 мм и диаметром 19 мм. Она выполняла функцию пластины электрометра, что позволяло компенсировать гравитационные силы электростатическими. Притягивающие тела из нержавеющей стали массой 28 кг были выполнены в виде вертикальных цилиндров длиной 438 мм и диаметром 101 мм. Они лежали на вращающемся столе с центром на оси нити и располагались на разных от неё сторонах. Вращающийся стол поворачивался вокруг медного цилиндра и останавливался в четырёх позициях, в которых достигался максимум гравитационных сил. Значение G рассчитывалось по напряжению, которое должно быть приложено к электрометру для сбалансирования гравитационного момента, и по изменению ёмкости электрометра при угловом перемещении этой массы. Авторы корректируют результат своих более ранних измерений и дают новое значение
В [161] измерялось статическое отклонение крутильных весов. В качестве подвеса использовалась полоса из сплава меди с бериллием длиной 160 мм, шириной 2,5 мм и толщиной 30 мкм. Четыре симметрично расположенные через 90 пробные массы в виде цилиндров диаметром 56 мм и массой 1,2 кг с вертикальными осями, изготовленные из сплава меди и теллура, стоят на круглой пластине, прикреплённой по центру к торсионной полосе. Совместно они формируют колебания крутильных весов. Выполненные из этого же сплава четыре притягивающие массы по 15,5 кг в виде цилиндров диаметром 130 мм стоят на карусели, ось которой также совпадает с осью вращающейся полосы. Когда четыре притягивающие массы расположены вблизи соответствующих четырёх пробных масс, радиальное расстояние между поверхностями каждой притягивающей массы и соответствующей пробной массы составляет 7 мм. Максимальный момент ±2-10"8 Н-м возникает после углового перемещения на ±19. После определения жёсткости подвеса по периоду колебаний и измерения разницы угловых перемещений весов с притягивающими массами в позициях двух максимумов было получено
G=(6,683±0,011)-10-n Н-м2/кг2. В [152] описан эксперимент в университете Цюриха. Разность весов двух медных цилиндрических масс величиной 1 кг, находящихся на расстоянии 1,4 м друг от друга, определялась при двух позициях притягивающих масс. Подвижные притягивающие массы, окружающие пробные, изготовлены в виде танков из нержавеющей стали объёмом 500 л. Они представляют собой цилиндры высотой 0,7 м и диаметром 1,05 м, у которых по центру имеются цилиндрические внутренние отверстия диаметром 0,1 м. Оси притягивающих и пробных масс вертикальны и совпадают. В первой позиции притягивающие массы почти касаются, при этом верхняя пробная масса находится у верхнего торца верхнего танка, а нижняя пробная масса расположена у нижнего основания нижнего танка. Во второй позиции танки расходятся на расстояние 1,4 м так, что верхняя пробная масса располагается у нижнего основания верхнего танка, а нижняя пробная масса - у верхнего торца нижнего танка. В первом измерении, когда танки заполнялись водой, изменение разности весов масс составило величину 1,1-Ю"4 г. Во втором измерении танки были наполнены ртутью, а изменение веса возросло до 8,0-10"4 г. С погрешностью 0,022% получено G=(6,6749±0,0014)-10- Н-м2/кг2.
В экспериментах университета Вупперталя (Германия) аппаратура состояла из двух микроволновых рефлекторов, расположенных на удалении Ь=24 см и подвешенных на вольфрамовых проволоках длиной 2,6 м. Цилиндрические латунные притягивающие массы величиной 576 кг находились с наружной стороны каждого рефлектора. Оси масс и резонатора совпадали. Две притягивающие массы перемещались симметрично и одновременно в течение 12 минут от удалённой к измеряемой позиции около рефлекторов. Это вызывало обусловленное гравитационными силами изменение расстояния между рефлекторами. При обработке трёх значений G, полученных в 1998 г. на трёх различных позициях, получено G=(6,6735±0,0029)-10" Н-м2/кг2.
В [166, 167] использован метод свободного падения тел. Основу эксперимента составлял абсолютный баллистический гравиметр. Было выполнено две серии измерений. С учётом веса каждого эксперимента G=(6,6873±0,0094)-10- Нм2/кг2.
В [123, 124, 144] авторы ограничиваются качественной проверкой закона обратных квадратов. В [43, 165] предложены новые способы измерения G. В [3, 12, 58] описано моделирование измерения G в космическом эксперименте SEE. Исследованы два метода для оценки G. Метод двух точек опирается на использование первого интеграла уравнения движения "частицы", рассматриваемого в рамках задачи трёх тел, включая Землю и ведущее тело "пастух". Интегральный метод состоит в сравнении эмпирической траектории "частицы" с расчётной и подгонкой последней к эмпирической варьированием G. За оценку G принимается то значение, при котором обе траектории сближаются на минимальное расстояние.
Совершенствование системы управления электроприводом
При расчётах по второму методу период колебаний весов Г0 исключается, т.е. незнание Г0 не влияет на точность расчётов. В процессе проведения измерений период Г0 может испытывать флуктуации под влиянием микросейсм, изменения температуры, амплитуды колебаний весов и других дестабилизирующих факторов. О диапазоне изменения Г0 можно судить по данным, приведенным в табл. 2.8, где указаны вариант конструкции весов щ, номера отверстий линейки, на которых фиксируются шаровые притягивающие массы, шифры массивов, число содержащихся в массиве строк п2, минимальное, среднее и максимальное значения 7от;п, Г0т,-сь Тотах? гравитационная постоянная G и безразмерное отношение G/G, где а - среднее квадратическое отклонение G. Шифр массива включает год, месяц и дату начала измерений.
Сопоставление данных, полученных двумя независимыми методами расчёта, показало, что при больших амплитудах колебаний весов ср0 основным источником погрешности вычислений при интегрировании уравнений движения является отсутствие точных данных о частоте колебаний системы G)0=2n/T0. При обработке каждого массива подбирали такое значение То, при котором достигалось совпадение расчётных значений G, полученных двумя методами. Погрешность во всех комбинациях позиций притягивающих масс не превышала 0,003%. При более тщательном анализе выяснилось, что выбранный период Г0 превышает экспериментальное значение. Увеличение Г0 позволило скомпенсировать другую систематическую погрешность, связанную с тем, что диаметр коромысла полагали равным нулю.
Отметим, что требования к Г0 значительно ниже, чем к периодам колебаний ТІ и 7j (при фиксации притягивающих масс на і-ой и j-ой позициях), которые определяют с погрешностью 0,0001%. Лишь в редких случаях период Го должен быть известен с погрешностью 0,01%. Тем не менее, и такую погрешность обеспечить трудно [37]. В табл. 2.9-2.11 на примере массивов 850419, 901113, 970930 показано, как влияет Го на гравитационную постоянную при различных схемах измерений и амплитудах колебаний фо. Массив 850419 выполнен по однотактной четырёхпозиционной схеме, два остальных - по двухтактной трёхпозиционной. С увеличением Г0 полученные значения G возрастают. Это наглядно иллюстрируют данные табл. 2.10, полученные при больших амплитудах р0. При малых (р$ монотонный рост G часто нарушается, что связано с погрешностью вычислений интервала времени между нулевыми значениями р. Однако с ростом (ро производная dG/dT0 увеличивается, что исключает такие сбои. При увеличении (ро требования к точности Г0 возрастают, но даже на предельно высоких амплитудах колебаний, которые были использованы в экспериментах, эти требования вполне умеренны. Тем не менее, поскольку требования к точности расчёта G достаточно высоки, а по мере уменьшения погрешности измерений они могут ещё возрасти, задача уточнения Г0 остаётся актуальной. Так, в массиве 901113 при использовании среднего по массиву значения Г0 на амплитуде колебаний 0,36 рад систематическая погрешность расчёта Gy в комбинации позиций 1 и 2 (отверстия 1 и 3) достигает 0,066%, а в комбинации позиций 2 и 3 (отверстия 3 и 10) снижается до 0,048%. Систематическая погрешность может и превзойти указанную при заниженном значении Го. Истинное среднее значение Г0 можно определить только после усреднения всех значений, полученных в каждой строке массива. С этой целью Го предварительно вычисляли с приемлемой точностью, исходя из стандартного значения Go. Погрешность определения Г0 не превышает 0,01 с, она целиком определяется точностью измерений периодов колебаний весов. При амплитудах колебаний менее 0,1 рад вычисление Г0 можно проводить по второму методу. Если амплитуда колебаний выше, то следует воспользоваться интегрированием уравнений движения, которые при стандартном значении G0 и измеренных параметрах движения весов позволят найти Г0 методом подбора. Сначала предварительно заданное значение Г0 уменьшают на 1 с, после чего вычисляют значение G. Если полученное значение G окажется ниже стандартного, то шаг уменьшают в 10 раз, меняют его знак, после чего увеличивают полученное значения Г0 до тех пор, пока вычисленное значение G не превысит стандартное значение. Операции продолжаются до тех пор, пока погрешность вычисления Г0 не снизится до 0,1 мс.
Из приведенных в табл. 2.9-2.11 результатов видно, что при малых амплитудах колебаний весов щ производная d(G/G0)/dTo столь мала, что её трудно определить. Чем меньше разность периодов колебаний между двумя выбранными позициями притягивающих масс, тем заметнее погрешность при измерении G. Погрешность сильнее всего проявляется при од-нотактной схеме измерений и тех комбинациях притягивающих масс, когда разность Т-Т\ становится минимальной. В массиве 850419 наиболее уязвимой оказалась комбинация 2-3, в которой использовались отверстия 2 и 4 (табл. 2.9). Легче всего определить d(G/Go)/dT0 в комбинации позиций 1-2, которая при 0і=0,03463 рад равна 6,2-Ю""6 с-1. В комбинации позиций 2-3 она снижается до 4,6-10"6 с-1, а в комбинации 3-4 (отверстия 4 и 15) производная равна 2,5-10"6 с"1.
При двухтактной трёхпозиционной схеме, по которой выполнено большинство массивов, погрешность измерений снижается. Здесь также с ростом щ производные d(G/Go)/dT0 увеличиваются. В массиве 901113 в комбинации позиций 1-2 при oi—0,16829 рад производная достигает 1,7-10" с" . В комбинации 2-3 она снижается до 1,1-10"4 с-1, а в комбинации 1-3 равна 1,5-Ю-4 с-1. На предельно высокой амплитуде (р0\=0,36 рад производные заметно возрастают и составляют соответственно 1,1-10 3, 7,9-10"4, 9,9-10"4 с-1. При этом отклонение величины Г0 от истинного значения на 0,1 с ведёт к весьма ощутимой систематической погрешности.
Приведение периодов колебаний к нулевой амплитуде при сохранении значений гравитационной постоянной
Данные по измерению гравитационной постоянной были использованы для проверки наличия новых дальнодействующих сил, установления ограничения на величину а и пространственный масштаб X их проявления, а также определения области параметров а - X, в которой существование этих сил допускается. Для этого периоды колебаний крутильных весов при всех позициях притягивающих шаровых масс были сведены к единой амплитуде, в качестве которой была выбрана нулевая. Кроме того, была осуществлена дополнительная операция, которая заключалась в пересчёте периодов для нулевой массы коромысла. Единственным и достаточным критерием всех таких преобразований служило сохранение полученных значений гравитационной постоянной при всех комбинациях позиций притягивающих масс.
Сведение периодов колебаний к нулевой амплитуде может привести к погрешностям вычислений в связи с наличием градиентов гравитационного поля, на которые вносится поправка при расчёте гравитационной постоянной G. Обычно введение поправки не вызывает затруднений, поскольку амплитуды колебаний весов при всех позициях притягивающих масс отличаются на малую величину. При сведении к нулевой амплитуде одного из двух периодов разность между нулевой и реальной амплитудами достигает более существенной величины, что может привести к погрешности вычислений. Однако погрешности, связанные с преобразованиями значений периодов колебаний весов, оказались малыми и не внесли существенного вклада в оценку параметра а.
Анализ данных, приведенных в табл. 3.7-3.30 показал, что в диапазоне пространственного параметра X от 0,01 до 1 м безразмерный параметр а достигает уровня — 1 -10 , при этом в различных комбинациях позиций он меняет свой знак и абсолютную величину. Уменьшение значения а опускает на более низкий уровень верхнюю границу области, в которой требуется дальнейшая проверка закона обратных квадратов.
По сравнению с рассмотренными системами, в которых все взаимодействующие массы имеют простую форму и точно известное положение в пространстве, естественные планетарные, содержащие ряд аномальных масс, представляют значительно более сложные информационные грави-тирующие системы. После закручивания планет в процессе их образования и формирования первичных гидростатически равновесных фигур начался процесс рассеяния запасёной энергии приливными силами с уменьшением полярного сжатия внешних фигур и внутренних слоев. Главным следствием процесса застывания для Земли является борьба гидростатического распрямления и затвердевания мантии, что может породить эпоху великих землетрясений. Экваториальное утолщение застывающей мантии происходит по мере уменьшения сжатия ядра и его экваториальной оси. В результате, место более плотного ядра замещается менее плотным веществом мантии, что эквивалентно образованию на поверхности ядра желоба с отрицательной аномальной плотностью. Рост полярного радиуса распрямляющегося ядра сопровождается вытеснением вещества мантии вверх.
В геофизической практике гравитационные аномалии вычисляются относительно поля нормальной планеты. Первые модели поля Земли основаны на измерении аномалий силы тяжести на суше и море (наземный метод) и измерении эволюции элементов орбит группы спутников оптическими, радиотехническими и лазерными средствами, т.е. являются комбинированными. В гравиметрии и геодезии вместо аномального потенциала планеты Т используют высоту С, уровенной поверхности над поверхностью нормальной фигуры планеты (эллипсоида, сфероида). Уровенная поверхность Земли называется геоидом, а её высоты С, определяются отношением Tig, где g - нормальное ускорение силы тяжести. Спутниковые средства обеспечивают измерение гравитационного потенциала в каждой точке орбиты с учётом интегрального вклада всех неоднородностей. Гравитационное поле планеты однозначно характеризуется массивом гармонических коэффициентов C kn и S kn, которые постоянно уточняются. Массив таких коэффициентов для планет задаётся по литературным источникам, а для тел правильной геометрической формы вычисляется по теоретическим формулам [5, 6, 19, 20, 67, 84]. Разделение взаимных влияний источников представляет очень сложную, но принципиально разрешимую задачу гравитационной томографии. В данной работе рассматриваются только простейшие модельные системы, когда планета содержит одно аномальное тело. При анализе различают прямую и обратные задачи, позволяющие вычислить основные физические и геометрические характеристики систем. Элементы поля тел правильной геометрической формы и постоянной плотности интегрируется в трёх случаях - для точки (сферической поверхности, шара), отрезка, прямоугольного параллелепипеда. где pr - радиальное расстояние кровли сектора (roof) от центра сферы (планеты), pf - радиальное расстояние подошвы сектора (foot) от центра сферы. Масса сектора ту выражается через плотность сектора а;, в единицах средней плотности планеты aav, а теоретические значения глубины центра масс hijtheor и вертикального сжатия V/ijtheor вычисляются через pr, pt- и радиус планеты R:
Принципы функционирования программы по расчёту параметров аномальных источников
Если аг, л долгота Хк с ростом Ак увеличивается. Поэтому из двух возможных вариантов выбираем ту формулу, которая даёт минимальное значение Хц, заданное в файле параметров. Тогда переходы пойдут по циклу Если а % долгота Хк с ростом Ак убывает. В этом случае выгоднее взять за основу формулу с максимальным значением Хк, после чего переходы будут идти по обратной схеме Если А,к превышает значение 2л, оно вычитается. В процессе переходов нет затруднений с определением монотонности, поскольку функции непрерывно растут в одну сторону, а скачки очень очевидны.
Далее по полученным параметрам гравитационных полей определяется глубина и масса аномального источника, то есть решается обратная задача. Она реализуется двумя независимыми способами. При реализации первого используется ключи rbl или rbla, второго - ключи гЬ2 или гЬ2а. После этого вновь решается прямая задача, которая позволяет выбрать правильное решение из ряда полученных вариантов. В ключах rbl и гЬ2 прямая задача решается для точечного источника, в ключах rbla и гЬ2а -для реального, то есть сферической шапки или сектора. Выбор правильного решения при рассмотрении точечного источника не вызывает затруднений, так как исходные поля и полученные после решения обратной задачи идеально совпадают. Значительно хуже обстоит дело со сферической шапкой или сектором при значительной величине угла полураствора 9. Лишь при 9, не превышающем 5, удаётся получить удовлетворительные решения при всех значениях Ак. Для реализации указанных расчётов в командной строке набирается одна из команд:
Ключ "rbl": planeta.exe rbl файл данных файл отчёта файл функции глубины создаёт отчёт, который при всех углах отклонения Дк от экстремума по дуге большого круга содержит угол отклонения Ак, значения L„ TR, Ts полученные после решения прямой и обратной задач, глубину центра масс h, сжатие \/, отношение т/М для всех корней уравнения глубин.
Ключ "rb2": planeta.exe rb2 файл данных файл отчёта файл функции глубины создаёт отчёт, который при всех углах отклонения Дк от экстремума по дуге большого круга содержит угол отклонения Ак, значения TR, TRR, TS, полученные после решения прямой и обратной задач, глубину центра масс h, сжатие ці, отношение m/М для всех корней уравнения глубин.
Ключ "rbla": planeta.exe rbla файл данных файл отчёта файл функции глубины создаёт отчёт, который при всех углах отклонения Ак от экстремума по дуге большого круга содержит угол отклонения Ак, значения ,, TR, TS, полученные после решения прямой и обратной задач, глубину центра масс h сферической оболочки, поправку dh на глубину центра масс, глубину центра оболочки hy, сжатие ці, угол полураствора 6, отношение m/М для всех корней уравнения глубин.
Ключ "rb2a": planeta.exe rb2a файл данных файл отчёта файл функции глубины создаёт отчёт, который при всех углах отклонения Ак от экстремума по дуге большого круга содержит угол отклонения Ак, значения TR, TRR, TS, полученные после решения прямой и обратной задач, глубину центра масс h сферической оболочки, поправку dh на глубину центра масс, глубину центра оболочки п,,, сжатие ці, угол полураствора 6, отношение m/М для всех корней уравнения глубин.
Математическое моделирование прямой и обратной задач гравитационного потенциала для тел правильной геометрической формы раскрывает природу неоднозначности и неустойчивости решения обратной задачи. Неоднозначность обусловливается высокой степенью системы алгебраических уравнений, связывающих измеренные гравитационные поля с параметрами их источников. Неустойчивость первого рода определяется существованием ложных корней системы уравнений. Неустойчивость второго рода вызывается ошибками измерения или вычисления элементов поля. Правильное определение параметров аномального источника представляет однозначное решение обратной задачи. Оно легко выявляется после повторного решения прямой задачи по параметром источника поля, полученным в решении обратной. Ложные параметры дают оценки элементов поля, сильно отличающиеся от модельных. Истинные параметры источников дают элементы поля, наиболее близкие к исходным, а иногда совпадающие с ними с исключительно высокой точностью. Зависимость точности решения обратной задачи от сложности геометрической формы источника и ошибок задания элементов поля требует проведения дополнительных исследований по устойчивости решения. Резерв повышения надёжности выявления истинного решения обратной задачи содержится в оценке поля источников по формулам, соответствующим геометрической форме модельного тела.
Основные результаты работы, полученные автором: разработана информационно-управляющая система установки для измерений гравитационной постоянной G, что позволило проводить непрерывные измерения G в течение длительного времени (более одного года) с записью исходной информации на магнитный носитель и привязкой к реальному времени; оценены погрешности вычислений при численном интегрировании дифференциальных уравнений движения (первый метод) и при разложении в ряд по степеням амплитуды колебаний де моментов сил притяжения с учётом малых членов высокого порядка (второй метод); при (ро 0,1 рад второй метод обеспечивает более высокую скорость и точность расчётов; снижена до 0,001% погрешность расчёта гравитационной постоянной по первому методу путём предварительного расчёта периода колебаний крутильных весов при отсутствии притягивающих масс по стандартному значению гравитационной постоянной; снижена на порядок до 0,001% систематическая погрешность расчёта гравитационной постоянной при интегрировании уравнений движения путём введения корректирующего множителя в момент сил притяжения коромысла шаровыми массами; разработан способ приведения периодов колебаний весов к нулевой амплитуде и к нулевой массе коромысла с сохранением экспериментальных значений гравитационной постоянной; осуществлена проверка по экспериментальным данным измерений гравитационной постоянной наличия новых дальнодействующих сил, описываемых потенциалом Юкавы, установлены ограничения на величину а и пространственный масштаб А, проявления этих сил, определена область параметров а - А,, в которой их существование допускается; разработан алгоритм, позволяющий при большом количестве гармоник с высокой точностью проводить моделирование параметров гравитационных полей аномальных источников по массе и глубине залегания; предложена методика, позволяющая при решении обратной задачи гравитационной томографии двумя вариантами с различным набором компонент поля моделировать параметры аномального источника с определением правильного корня.
