Философия математики Людвига Витгенштейна МЕДВЕДЕВА Евгения Евгеньевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Ранний и средний периоды эволюции философии математики витгенштейна 21

1.1. Проблема обоснования математического знания как идейная предпосылка философии математики Витгенштейна 22

1.2. О соотношении философии и математики 45

1.3. Математика в «Логико-философском трактате» 58

1.4. Философия математики Витгенштейна переходного периода: к вопросу о преемственности 70

Глава 2. Математика как практика: философия математики «позднего» витгенштейна 84

2.1. Социальный, практико-ориентированный характер философии математики «позднего» Витгенштейна 86

2.2. Критика платонизма 100

2.3. О статусе математических предложений 116

2.4. Следование правилу 126

2.5. Эмпирическая повторяемость как условие объективности математического знания 143

Заключение 153

Список использованных источников и литературы 158

• О соотношении философии и математики
• Философия математики Витгенштейна переходного периода: к вопросу о преемственности
• Критика платонизма
• Следование правилу

Введение к работе

Актуальность исследования. В современном обществе остро ощущается запрос на формирование нового способа мышления, соответствующего духовным потребностям человечества, сложившимся под влиянием изменяющихся социальных, экономических, политических и культурных условий. В этой связи обращение к интеллектуальному наследию Людвига Витгенштейна, разработавшего универсальные логико-грамматические процедуры для устранения концептуальных затруднений в различных областях человеческой деятельности, является весьма актуальной задачей. В настоящее время идеи Витгенштейна в значительной степени определяют содержание и направленность философских дискуссий, служат методологическим основанием для критического осмысления традиционных проблем философии, включая философские проблемы математики.

Несмотря на значительные достижения современной философии математики - разработка классических фундаменталистских программ, аналитических подходов к эпистемологии и онтологии математики, осуществление исследований на пересечении истории и философии математики - специалисты в этой области осознают необходимость развития новых подходов, которые бы уделяли большее внимание математической практике. В этом смысле философия математики Витгенштейна представляет для нас повышенный интерес, поскольку она несет в себе главные черты так называемой неортодоксальной «философии математической практики» (акцент на математическую практику, антифундаментализм, антилогицизм), которая пытается в начале XXI столетия оформиться в самостоятельное направление¹.

Людвиг Витгенштейн (1889-1951) - один из самых оригинальных и выдающихся мыслителей XX столетия. При жизни он печатался крайне мало, но сразу после смерти его труды стали активно издаваться и широко обсуждаться. Несмотря на внушительное количество исследований, посвященных анализу идей Витгенштейна, философия математики остается наименее изученной и наиболее недооцененной частью его творчества. По словам П.М.С. Хакера, размышления Витгенштейна о математике являются «наименее влиятельной и наименее понятой» частью его философии.² Между тем большинство работ Витгенштейна, написанных в период с 1929 года по 1944 год, посвящено как раз философским проблемам математики. Своим главным достижением сам Витгенштейн считал философию математики, о чем он открыто заявил в 1944 году.³ К философии математики Витгенштейн обращался постоянно на протяжении

¹ Лолли Г. Философия математики: наследие двадцатого столетия / Пер. с итал.
А.Л. Сочкова, С.М. Антакова, под ред. проф. Я.Д. Сергеева. Н. Новгород: Изд-во Нижегород
ского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2012. С. 13.

² Hacker P. M. S. Wittgenstein’s Place in Twentieth-Century Analytic Philosophy. Oxford:
Blackwell, 1996. P. 295.

³ Monk R. Ludwig Wittgenstein: The Duty of Genius. New York: The Free Press, 1990.
P. 466.

всей своей профессиональной карьеры. Несмотря на то, что он писал значительно больше о философских проблемах математики, чем о каком-то другом предмете исследования, специалисты все же уделяют недостаточное внимание данному сегменту его творческого наследия. Видимо, это связано с неверным пониманием и интерпретацией воззрений Витгенштейна о математике, наряду с предвзятым отношением к развиваемой им программе лингвофилософского анализа.

Первые негативно-критические рецензии (Крайзель, Андерсон, Бернайс) на работу Витгенштейна «Замечания по основаниям математики» повлияли на формирование неверного, поверхностного представления об особенностях его подхода к философским проблемам математики. Комментаторы, как правило, подчеркивают значимость вклада Витгенштейна в философию языка, философию сознания или в теорию значения, но при этом нередко игнорируют его рассуждения о философии математики, считая их ошибочными и маловажными. Такая позиция не только неоправданна, но и вредна, так как служит препятствием к правильному пониманию воззрений мыслителя и формированию адекватной оценки предложенной им перспективы для осмысления математического дискурса. Ведь если критики признают истинным и методологически продуктивным философский подход Витгенштейна к обсуждению проблем значения, языка, сознания, то в таком случае его философия математики не должна рассматриваться в отрыве от всей совокупности его логико-семантических взглядов, включая представленную им программу реформирования философии.

Одним из наиболее сложных вопросов при осмыслении философско-математических воззрений Витгенштейна является идентификация занимаемой им позиции в отношении традиционных школ, разрабатывавших в XX столетии проблему оснований математики. В научной литературе можно встретить разные, порой полярные, суждения об основной идейной установке Витгенштейна в философии математики: «полнокровный конвенционализм» (Даммит), «антифилософия математики» (Мэдди), «строгий финитизм» (Крайзель), «радикальный антидескритивизм» (Мейрион), «конструктивизм» (Хинтикка), «антропологизм» (Хао Ван). Различные оценки его философии математики свидетельствуют об отсутствии общепринятой, стандартной схемы интерпретации текстов Витгенштейна. Проблемно-ориентированный, метафорический стиль его философских произведений воплощает и отражает его философскую позицию. С уверенностью можно утверждать, что австрийский мыслитель придерживался мнения, что философия должна быть исключительно описательной и решительно противостоять любому вмешательству в фактическое функционирование математической науки.

Актуальность и особая острота данного исследования обусловлена следующими обстоятельствами: во-первых, историко-философскими потребностями комплексного изучения и адекватной интерпретации философско-математических воззрений Витгенштейна, важностью прояснения роли и места философско-математической проблематики в становлении и развитии его общего философского проекта «критики языка»; во-вторых, необходимостью

преодоления неоправданно пренебрежительного отношения к витгенштейнов-ской философии математики со стороны ученых и философов; в-третьих, возросшей значимостью его логико-методологических, лингвофилософских построений для обсуждения разнообразных философских проблем; в-четвертых, необходимостью критического переосмысления его аналитического подхода в контексте имеющихся достижений в области витгенштейноведения и с учетом обозначившейся практико-ориентированной тенденции в развитии современной философии математики.

Сегодня актуальным остается обсуждение различных аспектов творческого наследия австрийского мыслителя: проблема преемственности философских воззрений Витгенштейна, истоки его дескриптивной, «терапевтической» философии, степень обоснованности предложенных им аргументов для критики платонизма, логицизма, фундаментализма, психологизма и др.

Таким образом, адекватная реконструкция философско-математических размышлений Витгенштейна способна пролить свет на характер взаимосвязи его философии математики с концепцией значения, языка, сознания и вместе с тем продемонстрировать их «громадный интерес и важность»⁴. Задача осмысления и переосмысления специфики похода Витгенштейна к философским проблемам математики влечет за собой необходимость обсуждения различных сторон его оригинального мышления: понимание природы философии, соотношения философии и математики, прояснение статуса математических предложений, условий достоверности математического знания. Важно понять, каким образом Витгенштейн пришел к своим зрелым воззрениям о природе математики. Какую роль играет математика в его лингвофилософских исследованиях? Какова суть витгенштейновского проекта преобразования традиционной философии математики?

Степень разработанности проблемы. Размышления Витгенштейна о философских проблемах математики содержатся во многих произведениях («Логико-философский трактат», «Философские исследования»), поскольку данная тема была доминирующей в его научном творчестве. В наиболее полном и развернутом виде философия математики Витгенштейна представлена в трудах: «Лекции по основаниям математики», «Замечания по основаниям математики», а также «Философская грамматика» (вторая часть).

В российском научном сообществе интерес к философии математики Витгенштейна приобрел устойчивый, целенаправленный характер сразу после выхода в свет русского перевода его книги «Замечания по основаниям математики» (1994). Текст этой работы предваряет обстоятельная статья известного российского специалиста М.С. Козловой, в которой подчеркивается, что именно «интерес к математике и проблемам ее логических оснований» привел Витгенштейна в философию⁵.

⁴ Хинтикка Я. О Витгенштейне / Яаакко Хитикка. Из «лекций» и «заметок» / Людвиг
Витгенштейн / Сост. и ред. В.А. Суровцева. М.: «Канон+» РООИ «Реабилитация», 2013. С. 89.

⁵ Козлова М.С. Проблема оснований математики (К публикации заметок Л. Витгенштей
на) // Витгенштейн Л. Философские работы. Часть II. Пер. с нем. М.: Гнозис, 1994. С. VII.

В отечественной литературе тема философии математики Витгенштейна стала объектом анализа в работах Е.И. Арепьева, А.Ф. Грязнова, Г.Б. Гутнера, М.С. Козловой, А.В. Смирнова, К.А. Родина, З.А. Сокулер, В.А Успенского. В комментариях отечественных авторов выявляются особенности подхода Витгенштейна к философским проблемам математики, акцентируется деятельност-ный характер его философии математики.

Для постижения идей Витгенштейна о математике необходимо ясно представлять особенности и общую направленность его философского мировоззрения. В этой связи большое значение приобретают труды отечественных специалистов Е.И. Беляева, В.В. Бибихина, А.Ф. Грязнова, М.С. Козловой, В.А. Ладова, Н.В. Медведева, В.П. Руднева, З.А. Сокулер, В.А. Суровцева, в которых осмыслены понятия, основные принципы философии Витгенштейна, прослеживаются этапы эволюции его философского мировоззрения.

Большое количество российских публикаций посвящено осмыслению лингвистических, онтологических, гносеологических, логических, методологических, культурологических, этических, эстетических, религиозных идей Витгенштейна. Отметим работы Е.А Баллаевой, А.В. Белобратова, А.Л. Блинова, Л.А. Бобровой, Я.Я. Вейша, К.Э. Галаниной, И.Л. Галинской, Г.П. Григоряна, Н.П. Гринцера, Е.А. Давыденко, Е.Г. Драгалиной-Черной, Д.В. Иванова, В.Г. Кузнецова, Л.А. Микешиной, И.Ф. Михайлова, О.А. Назаровой, Т.Н. Пан-ченко, Е.Д. Смирновой, Т.А. Федяевой, Н.А. Цыркун, Е.А. Чичневой, В.П. Шес-такова.

Следует также указать на работы ряда отечественных и зарубежных авторов (К.-О. Апель, Н. Гарвер, П. Кампиц, Г.С. Кнабе, В. Краус, Н. Малкольм, А.С. Колесников, В.А. Лекторский, Р. Рорти, Р. Халлер), в которых воззрения Витгенштейна рассматриваются в расширенном историко-философском контексте, через сопоставление с идеями видных представителей различных философских традиций - аналитической, критической, герменевтической, феноменологической, отечественной.

Что касается рецепции философии математики Витгенштейна западными специалистами, то она выглядит весьма неоднородно. Следует отметить, что поначалу, примерно в середине 1950-х гг., витгенштейновская философия математики была встречена интеллектуальным сообществом крайне настороженно и прохладно, однако со временем, особенно с появлением в 1980-90-е годы новых интерпретаций, негативные оценки философии математики Витгенштейна сменились позитивными отзывами. Когда в 1956 году вышла в свет на английском языке книга Витгенштейна «Замечания по основаниям математики», некоторые исследователи отозвались о ней в крайне резких тонах. Даже те, кто поначалу симпатизировал общей линии мышления Витгенштейна, заняли критическую позицию по отношению к его «Замечаниям...», оценив их как путанные, непоследовательные, математически необоснованные, в лучшем случае малозначимые для философии математики. Так, выдающийся ученый-математик Георг Крайзель осудил Витгенштейна за его увлеченность элементарной математикой, а также за уклонение обсуждать сложные, подлинно инте-

ресные вопросы, возникающие при исследовании оснований математики. Многие восприняли оценку Крайзелем «Замечаний…» - «удивительно незначительный продукт блистательного ума»⁶ - как неутешительный и окончательный приговор его философии математики. Схожие критические отзывы были даны А. Андерсоном и П. Бернайсом.

Если проанализировать и обобщить все критические замечания о философии математики Витгенштейна, то в них можно выделить два рода претензий к его «Замечаниям...». Первые претензии сводятся к общему утверждению, что предложенный Витгенштейном подход является слишком упрощенным, что философ часто обращается к примерам из элементарной математики и, видимо, не способен компетентно разобрать достижения высшей математики (например, теорему Кантора или теорему Гделя). Второй род претензий касается отрицания Витгенштейном объективности математических предложений, описывающих математические сущности, поскольку он не признает существования математических фактов. Критики также отмечают, что отрицание Витгенштейном объективной математической реальности неизбежно ведет к безграничному когнитивному релятивизму, к подходу «все дозволено» («anything goes attitude»), который не способен объяснить устойчивость математических утверждений, стабильность концептуальных схем математической науки. Однако противники Витгенштейна, на мой взгляд, исходят из неверного понимания сути его философских установок, что обусловлено двумя главными причинами: во-первых, крайне избирательным подходом к выбору витгенштейновских текстов, что приводит к неудаче в понимании содержания его мыслей, к их отрыву от общего смыслового контекста его рассуждений. Другая причина неверного понимания связана с тем, что математические комментарии Витгенштейна зачастую не отделяются от его философских комментариев относительно статуса математических высказываний. Витгенштейн рассматривал эти два момента раздельно, но критики часто их смешивают, интерпретируя его философские комментарии как математические, итогом чего является неверное понимание воззрений мыслителя.

Началом к открытию широких дискуссий о специфике и направленности философии математики Витгенштейна послужила статья британского философа Майкла Даммита, опубликованная в журнале «The Philosophical Review» в 1959 году. Даммит интерпретировал рассуждения Витгенштейна таким образом, будто в математике мы не следуем никаким строгим правилам и у нас есть возможность свободно выбирать, какие высказывания включать, а какие исключать из математики. Однако такая интерпретация противоречит витгенштейновскому замыслу, основанному на представлении, что доказательство как бы принуждает нас сделать определенный вывод.

Одна из первых попыток систематического анализа философско-математи-ческих воззрений Витгенштейна, направленного на прояснение их продуктив-

⁶ Kreisel G. Wittgenstein’s Remarks on the Foundations of Mathematics // British Journal for the Philosophy of Science. 1958. № 9 (34). P. 158.

ного содержания и преодоление безосновательных нападок на автора «Логико-философского трактата» и «Философских исследований», была предпринята В. Кленком.⁷

Крупномасштабные изменения в интерпретациях общей философии Витгенштейна, начавшиеся примерно в середине 1980-х годов, в значительной степени были обусловлены обращением исследователей к его философии математики. В зарубежной литературе подробный анализ философии математики Витгенштейна, рассматриваемой в ее исторической эволюции, представлен в монографиях С. Шенкера «Витгенштейн и поворотный пункт в философии математики» (1987) и П. Фрасколлы «Философия математики Витгенштейна» (1994). Помимо этих исследований особого внимания заслуживает книга С. Шенкера «Людвиг Витгенштейн: критические оценки» (1986), а также сборник трудов 15-го международного витгенштейновского симпозиума «Философия математики Витгенштейна» (Вена, 1993). Обе эти книги представляют собой антологию философии математики Витгенштейна, они содержат статьи известных специалистов (Хао Ван, Я. Хинтикка, П. Мэдди, М. Ригли и др.), в которых освещаются важные аспекты философско-математических воззрений австрийского мыслителя.

Необходимо также отметить исследование М. Мейрион «Витгенштейн, финитизм и основания математики» (1998), в котором проводится детальное обсуждение философии математики Витгенштейна в контексте истории фини-тизма как математической традиции.

Социально-акцентированный подход Витгенштейна к языковому употреблению вдохновил ряд исследователей на интерпретацию его идей в русле социально-конструктивистской философии математики. Так, Д. Блур и П. Эрнест предложили современное прочтение философии математики Витгенштейна, содержащее ярко выраженную социологическую окраску.

Следует отметить наличие незначительного количества научных публикаций, посвященных важному вопросу о периодизации философии математики Витгенштейна. Дело в том, что стандартное и широко распространенное в научной литературе деление философии Витгенштейна на раннюю и позднюю (его «ранняя» философия соотносится с «Логико-философским трактатом», «поздняя» - с «Философскими исследованиями» и «Замечаниями по основаниям математики») оказывается непригодным в случае рассмотрения его философии математики. Впервые на это обратил внимание Стив Джеррард⁸, который предложил различать две основные линии мышления в пост-Трактатовский период: средний, связанный с «концепцией исчисления» и представленный Витгенштейном в «Философской грамматике», и поздний период, определяемый как «концепция языковых игр». В своем исследовании я опиралась на

⁷ Klenk V.H. Wittgenstein's Philosophy of Mathematics. The Hague: Martinus Nijhoff, 1976.

⁸ Gerrard S. A Philosophy of Mathematics Between Two Camps // The Cambridge Compa
nion to Wittgenstein, Sluga and Stern, (eds.), Cambridge: Cambridge University Press, 1996.
Pp. 171-197.

предложенную Джеррардом периодизацию философии математики Витгенштейна.

Среди различных тем, обсуждавшихся Витгенштейном, особый интерес у специалистов вызывает проблема «следования правилу» (rule-following). Значимость данной темы для постижения витгенштейновской философии математики впервые была выявлена в работах К. Вригта, Р. Фогелина, С. Крипке. Каждый из этих авторов сформировал свой вариант ответа на высказанную Дам-митом точку зрения о Витгенштейне как «полнокровном конвенционалисте» в вопросе о природе логической необходимости. Проблема «следования правилу» в философии математики Витгенштейна рассматривалась также в исследованиях Г. Бейкера и П. Хакера, К. Даймонд, В.А. Ладова, С. Кейвелла, З.А. Со-кулер, М. Стейнера, Б. Страуда, Дж. Флойд.

Исследование особенностей витгенштейновской философии математики предполагает также знакомство с содержанием рассматриваемых в философии математики XX века проблем, критическое осмысление фундаменталистских программ обоснования математики, наряду с пониманием обозначившихся тенденций в развитии современной философии математики.

Число вышедших в России в последние два десятилетия публикаций (монографий, статей), посвященных проблемам философии математики, не столь велико. Были переведены книги зарубежных классиков и специалистов Г. Вей-ля, К. Гделя, М. Клайна, С.К. Клини, Г. Крайзеля, Б. Рассела, Т. Рокмора, Г. Фреге, Ш. Фрейсинэ, А. Черча. Особого внимания заслуживает исследование итальянского профессора Габриэле Лолли⁹, в котором содержится широкий обзор и критический анализ философий математики, развиваемых на Западе в XX столетии.

Среди отечественных исследователей философии математики отметим работы А.Д. Александрова, Е.И. Арепьева, Е.А. Беляева, В.А. Бажанова, А.В. Бессонова, Ю.И. Манина, А.Н. Паршина, В.Я. Перминова, М. Резника, А.В. Родина, Г.И. Рузавина, В.А. Светлова, В.А. Успенского, В.В. Целищева, Б.Л. Яшина.

С момента появления первых комментариев философии математики Витгенштейна прошло более полувека. Современная научная литература по вит-генштейноведению изобилует разнообразными интерпретационными схемами его философских взглядов. Анализ историко-философских исследований, посвященных философии математики Витгенштейна, обнаруживает наличие полярных суждений о данном предмете его философского творчества. По-прежнему актуальной является проблема правильного понимания философско-математических интенций Витгенштейна. Проведенный обзор литературы, посвященной исследуемой теме, показывает, что философия математики Витгенштейна довольно основательно изучена на Западе, тогда как в отечественной историко-философской науке число публикаций сравнительно невелико. До сих пор в российской философии отсутствуют специальные систематические ис-

⁹ Лолли Г. Философия математики: наследие двадцатого столетия. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2012. 299 с.

следования, в которых с позиций достижений современной философии математики и витгенштейноведения давалась бы целостная характеристика философ-ско-математических взглядов австрийского мыслителя. Это обстоятельство с очевидностью обусловливает выбор темы, цель и задачи диссертационного исследования.

Объект исследования: философское наследие Л. Витгенштейна.

Предмет исследования: философия математики Л. Витгенштейна.

Основная цель и задачи исследования.

Целью диссертационного исследования является осуществление рациональной реконструкции философии математики Витгенштейна.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

проанализировать проблему обоснования математического знания в качестве идейной предпосылки философии математики Витгенштейна;

раскрыть специфику витгенштейновского подхода к проблеме взаимоотношений философии и математики;

исследовать природу математики в логико-семантической концепции «раннего» Витгенштейна, определить отношение мыслителя к логицизму;

обосновать преемственность в развитии философско-математических воззрений Витгенштейна;

выявить социальный, практико-ориентированный характер философии математики «позднего» Витгенштейна;

установить основания критической позиции «позднего» Витгенштейна по отношению к платонизму, реконструировать его подход к определению статуса математических предложений;

проанализировать витгенштейновское понятие «следование правилу» в контексте обсуждаемых в современной философии математики проблем, раскрыть значение эмпирической повторяемости применительно к вопросу об условиях объективности математического знания.

Теоретико-методологическая основа исследования. Теоретической базой для исследования служат труды Витгенштейна, а также работы отечественных (Е.И. Арепьев, А.Ф. Грязнов, М.С. Козлова, В.А. Ладов, З.А. Сокулер, В.А. Успенский и др.) и зарубежных (П. Мэдди, Б. Страуд, К. Даймонд, Г. Бей-кер и П. Хакер, П. Фрасколла, С. Шенкер, П. Эрнест и др.) авторов, в которых представлены различные интерпретации его философско-математических воззрений. Все это помогло сформировать собственное понимание общего замысла философии математики Витгенштейна, постичь специфику подхода австрийского мыслителя к философским проблемам математики.

Анализ философско-математических воззрений Витгенштейна осуществляется в диссертации в контексте осмысления его общей философской стратегии логико-грамматических исследований, а также в контексте изучения истории становления и развития аналитической философской традиции, аналитической философии математики. Для решения поставленных задач используются в работе следующие методы и подходы:

1. Сравнительно-исторический метод. С помощью этого метода выявляется процесс становления и развития философии математики Витгенштейна, осуществляется постижение содержания, особенностей этапов развития фило-софско-математических взглядов мыслителя.

2. Метод интерпретации. Этот фундаментальный метод используется для работы с текстами произведений Витгенштейна.

3. Междисциплинарный подход. Применение междисциплинарного подхода обусловлено сопряжением в диссертационном исследовании различных областей знания: философии, математики, логики, лингвистики.

4. Системный подход. С помощью этого подхода обеспечивается многоаспектное, аналитическое описание философии математики Витгенштейна.

Для постижения философских идей Витгенштейна, специфики его подхода к философским проблемам математики в диссертации использованы методологические положения А.Ф. Грязнова, М.С. Козловой, З.А. Сокулер, Н. Малколь-ма, М. Мейрион, П. Мэдди, М. Ригли, Я. Хинтикки.

Абсолютистско-фаллибилистская модель объяснения природы математики используется в диссертации в качестве вспомогательного методологического средства для осмыслении особого подхода Витгенштейна к философским проблемам математики.

При разработке темы диссертационного исследования использовался также междисциплинарный подход, привлекались работы по истории философии, математике, логике, языкознанию.

Научная новизна результатов исследования состоит в следующем:

осуществлен всесторонний анализ основных периодов развития философии математики Витгенштейна в контексте дискуссий по основаниям математики;

раскрыта специфика подхода Витгенштейна к проблеме соотношения философии и математики;

выявлены истоки нереференциальной концепции математических предложений Витгенштейна;

обоснована идея преемственности философии математики Витгенштейна;

раскрыт социальный, практико-ориентированный характер философии математики «позднего» Витгенштейна, установлено ее значение для становления неортодоксального представления о природе математики;

выявлено значение витгенштейновского понятия «следование правилу» для разработки теории математического понимания;

определена позиция Витгенштейна по вопросу об условиях объективности математического знания.

Положения, выносимые на защиту.

- Важнейшей характеристикой философии математики Витгенштейна
является акцентированный разрыв рефлексивной взаимосвязи философии и ма
тематики, установка рассматривать философию и математику как две автоном
ные области знания. Традиционная философская задача обоснования математи-

ческих принципов и методов изначально не входила в намерение Витгенштейна. Отрицая теоретическую природу математического знания и необходимость его эпистемологического обоснования, Витгенштейн признает в качестве единственно подходящего способа оправдания математических высказываний социальную практику, жизненные формы людей.

Философия математики Витгенштейна является результатом последовательного развития философско-математических представлений, которые содержатся в «Логико-философском трактате». Несмотря на радикальную трансформацию воззрений Витгенштейна после 1929 года, его философии математики свойственны черты преемственности и целостности. Преемственность носит не поверхностный, а глубинной характер, поскольку затрагивает ключевые аспекты витгенштейновской философии математики.

Поздняя философия математики Витгенштейна носит социальный, практико-ориентированный характер, она обращена к человеческим формам жизни, к различным видам человеческой деятельности. Инструменталистский подход к языку, проливающий свет на функциональное многообразие языковых средств коммуникации, обоснование роли прагматического аспекта языка в формировании значения слов и предложений, выявление внутренних механизмов работы языка, связанных с конкретными формами социальной деятельности, введение новых понятий «языковая игра», «форма жизни», «следование правилу», - все перечисленное служит основанием для формирования социально-конструктивистского, практико-ориентированного воззрения о математике.

«Поздний» Витгенштейн занимает позицию «радикального антиплатонизма», что выражается в его отрицании семантического, онтологического и гносеологического принципов концепции математического платонизма. Критика платонизма обусловлена убеждением Витгенштейна в алгоритмической природе математики, целиком состоящей из вычислений. Анализируя математические предложения как правила, а не описания, Витгенштейн представил математическую деятельность как содержащую предположения и решения, а не открытия.

Предложенный Витгенштейном подход к разрешению концептуальных замешательств подводит нас к заключению рассматривать математику скорее в динамических, а не в статических терминах. Математика - это не столько совокупность знаний, сколько сложная динамическая система, которая управляет нашими мыслями и действиями. Витгенштейн сформировал новое, отличное от традиционного подхода, воззрение о математике как совокупности норм, а не сложившегося набора определений, аксиом и теорем. Согласно Витгенштейну, математическое предложение есть не просто объект знания, а то, что формирует наше поведение.

Витгенштейн выступал не против объективности математики как таковой, а против необходимости ее «философского» обоснования. Его вариант объяснения надежности математического знания сводится к положению, что арифметические уравнения, математические предложения формируются как особая форма кодификации случайной и в то же время устойчивой, поддающейся объективной проверке эмпирической повторяемости, которая проявляет-

ся в поведении людей. Социальный характер математического знания, выражающийся в освоении и воспроизводстве математической техники оперирования с символами, служит основанием для утверждения интерсубъективного критерия его объективности в виде согласия людей относительно правил применения математических предложений.

Научно-теоретическая и практическая значимость исследования.

Научно-теоретическая значимость результатов диссертационного исследования состоит в рациональной реконструкции философско-математических воззрений Витгенштейна, что позволяет правильно понять и адекватно оценить вклад австрийского мыслителя в современную философию математики, определить место философско-математической концепции Витгенштейна в сложившейся структуре академических школ.

Практическая значимость диссертационного исследования состоит в том, что материалы диссертации могут быть использованы в учебном процессе при подготовке и чтении курсов «История зарубежной философии», «Современная зарубежная философия», «История и философия науки», «Философия и методология науки», «Философские проблемы конкретных дисциплин», «Логика», «Теория и практика аргументации», «Философия языка» в высших учебных заведениях и на курсах повышения квалификации преподавателей.

Апробация диссертационного исследования.

Основные положения и выводы, полученные в ходе работы над диссертационным исследованием, представлены в выступлениях автора на заседаниях кафедры философии Тамбовского государственного университета имени Г.Р. Державина. По содержанию исследования автором сделаны доклады и научные сообщения, представлены тезисы выступлений на общероссийских и международных научных конференциях: VI Российский философский конгресс «Философия в современном мире: диалог мировоззрений» (Нижний Новгород, 27-30 июня 2012 г.); Международная научно-практическая конференция «Духовно-нравственная культура как фактор модернизации российского общества XXI века» (Тамбов, 23 ноября 2012 г.); Третья всероссийская научная конференция «Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность» (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 27-28 сентября 2013 г.).

Проводимые при подготовке и написании диссертации исследования получили поддержку Благотворительного Фонда культурных инициатив (Фонда Михаила Прохорова) в рамках конкурсной программы финансирования трэвел-грантов для студентов старших курсов, аспирантов и молодых преподавателей «Академическая мобильность», программа «Образование как социальный институт», программный блок «Наука, образование, просвещение» за 2014 год.

По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, в том числе пять статей в изданиях, входящих в Перечень российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, девяти параграфов, заключения и списка использованных источников и литературы.

О соотношении философии и математики

Центральной проблемой философии математики является обоснование математического знания. В философии математики XX столетия доминирующей была установка на поиск абсолютных оснований математического знания. Данная установка совпадает с ключевой интенцией классической эпистемологии на обнаружение абсолютных оснований знания в целом и его главной опоры - математического знания в частности. Такие усилия первоначально предпринимались Платоном, а в XVII веке в обновленной форме -Рене Декартом.

Цель данного параграфа заключается в осуществлении анализа проблемы обоснования математического знания, которая, несомненно, послужила своего рода идейной предпосылкой для философско-математических размышлений Витгенштейна. Он использовал дискуссию по основаниям математики как экспериментальную площадку для занятий философии. Как утверждает В.А. Успенский, «следует в первую очередь констатировать воздействие знакомства с этими основаниями на становление философских взглядов Витгенштейна и лишь во вторую очередь - воздействие этих взглядов на основания математики» [200, с. 86]. На мой взгляд, содержание и направленность философии математики Витгенштейна можно понять лишь на фоне сложившихся в XX веке концепций логицизма, формализма, конструктивизма и интуиционизма как ведущих программ философии математики. Абсолютистско-фаллибилистская схема объяснения природы математики и математического знания будет использована мною в диссертации в качестве методологического принципа для осмысления философии математики Витгнештейна. На мой взгляд, данная схема заключает в себе широкие интерпретативные возможности. Для этого в параграфе будет подвергнуто критическому осмыслению господствующее в философии математики абсолютистское представление, согласно которому любая математическая истина является абсолютно обоснованной, а, значит, непогрешимой, и математика (наряду с логикой) является, возможно, единственной областью несомненного, объективного знания. Данная теоретическая позиция соотносится с противоположной, так называемой фаллибилистской, точкой зрения. Для последней характерно утверждение, что математическая истина может изменяться и ее не следует рассматривать как неподлежащую процедурам проверки и/или исправления. Подобная тенденция перехода от абсолютизма к фаллибилизму отражает общую направленность развития математического мышления в XX столетии и совпадает, как будет показано ниже, с характером эволюции философско-математических воззрений Витгенштейна.

Фаллибилизм versus абсолютизм Первым философом математики, акцентировавшим значение абсолю-тистско-фаллибилистской оппозиции, был Имре Лакатос [128], который соотносил ее с древним спором между догматиками и скептиками. По словам Лакатоса, «догматики утверждают, что силой нашего человеческого интеллекта и чувств, или только одних чувств, мы можем достичь истины и узнать, что мы ее достигли. Скептики, с другой стороны, или утверждают, что мы совершенно не можем достичь истины (разве только при помощи мистического эксперимента), или что если даже сможем достичь ее, то не можем знать, что мы ее достигли» [129]. Философские работы Лакатоса послужили импульсом для становления первой философии новой математики из тех, которые хотели дать альтернативу по отношению к фундаменталистским школам [136, c. 223]. Термин «фаллибилизм» Лакатос заимствовал из «критического фаллибилизма» К. Поппера, адаптировав его к философии математики. В современной философии имеются некоторые расхождения по вопросу толкования термина «фаллибилизм». Так, по словам А.А. Печенкина, «фалли-билизм – позиция философа, произносящего с сократовской улыбкой: «Нельзя ошибаться только в том, что все теории ошибочны» [185, c. 83]. По утверждению английского исследователя Сюзан Хаэк, «фаллибилизм является тезисом (1) о нашей подверженности ошибкам; а не тезисом (2) о модальном статусе (возможной ошибочности) того, во что мы верим» [277, p. 309]. Правда, Энтони ОХеар [309] напротив считает, что фаллибилизм является представлением о том, что любые человеческие мнения и суждения могут оказаться ошибочными, то есть придерживается тезиса (2). По мнению П.Эрнеста, ссылающегося на точку зрения Лакатоса, фаллибилизм означает теоретическую возможность того, что любое принятое знание, включая математическое знание, способно утратить свой модальный статус истинного или необходимого [259, p. 9]. Таким образом, фаллибилизм является утверждением о предположительном, относительном характере любого научного знания, что в свою очередь налагает на ученого необходимость осуществлять процедуры критики, опровержения или вынесения новых догадок для совершенствования знания. Фаллибилисты, по существу, отказываются от поиска архимедовой опорной точки познания, будучи уверены в отсутствии твердого, предельного основания знаний.

Противоположностью фаллибилизму является позиция, именуемая абсолютизмом. Это представление о математическом знании как несомненном, достоверном и непогрешимом. В истории философии была развернута широкая дискуссии, посвященная осмыслению понятия Абсолют. Данное понятие было обстоятельно исследовано в метафизической системе Г.В.Ф. Гегеля, а также в идеалистических учениях Б. Бозанкета, Ф. Г. Брэдли, Д. Ройса и других философов [158]. Знаменитый американский философ-прагматист У.Джеймс придал термину абсолютизм эпистемологическое значение, противопоставив абсолютизму эмпиризм [289]. Применительно к философии математики термин «абсолютизм» одним из первых использовал Дж. Конфри [252]. В литературе можно встретить противопоставление абсолютизму кон-24 цепции релятивизма. Так, Р. Харе и М. Краусц в книге «Разновидности релятивизма» (1996) осуществили критический анализ различных форм абсолютизма и релятивизма [282].

Абсолютистско-фаллибилистская оппозиция отражает важнейшее эпистемологическое различие между конкурирующими объяснительными схемами природы математики и математического знания. Это различие присутствует не только в философии и математике, но и других областях знания. Абсолютистско-фаллибилистская дихотомия имеет некоторые сходство с широко известным противоборством двух школ философии математики - «априоризмом» и «натурализмом». Согласно английскому исследователю Филиппу Китчеру, априоризм есть «учение о том, что математическое знание является априорным» [292, p. 3], другими словами, математические высказывания содержат в себе определенную необходимость, которая не выводима из опыта.

Другое направление в философии математики - натурализм - противоположен в своих исходных принципах априоризму, поскольку признает существование эмпирических или квази-эмпирических источников обоснования математического знания. Этот подход включает два основных тезиса: 1) каждый момент в развитии математики зависит только от уже существующей математики, а не от эпистемологических ограничений и выборов; 2) математика организуется посредством гипотетико-дедуктивного метода, пытаясь тем самым найти аксиомы [136, c. 158]. Существующая философия математики должна смириться с этим и предложить натуралистическое обоснование математики. Несмотря на имеющиеся различия в указанных выше оппозициях «абсолютизм - фаллибилизм» и «априоризм - натурализм», между ними обнаруживаются некоторые параллели.

Философия математики Витгенштейна переходного периода: к вопросу о преемственности

Чтобы понять, каким образом Витгенштейн пришел к своим зрелым воззрениям о природе математики, нам необходимо обратиться к его раннему произведению «Логико-философский трактат» (1921). Именно в этой работе содержатся истоки философско-математической концепции Витгенштейна, развиваемой во все последующие годы. Как Витгенштейн определял природу математики в ранний период своего творчества? Какую роль играет элементарная математика в его логико-семантических построениях, направленных на раскрытие механизмов функционирования языка, его связи с миром и человеческим мышлением? Каково отношение Витгенштейна к логицизму? Все эти вопросы рассматриваются в данном параграфе.

Основная цель этой книги заключается в выявлении взаимосвязи языка и действительности через определение необходимых предпосылок, позволяющих языку, или языковому употреблению, описывать мир [141, c. 42-43]. Ключевая идея Трактата содержится в тезисе 4.01: «Предложение – картина действительности. Предложение – модель действительности, какой мы ее себе представляем» [44, c. 19]. Витгенштейн был убежден, что «мир полностью описывается, если заданы все элементарные предложения и указано, какие из них истинны, а какие ложны» [44, c. 20]. Используемые нами элементарные (или эмпирические) предложения, состоящие из имен, могут быть истинными в том случае, если имеет место соответствующее событие, и ложными, если такого события нет [44, c. 29, 30]. Истинность или ложность смысла изображения на картине определяется его соответствием или несоответствием действительности [44, c. 10]. Опираясь на эти положения Витгенштейна, можно заключить, что только элементарные предложения, связанные с событиями в мире, являются осмысленными (эмпирически содержательными). Что же касается всех других видов предложений, то они на самом деле являются псевдопредложениями, поскольку применительно к ним слово «истина» заметно отклоняется от корреспондентского понимания истины как соответствия содержания предложений действительности, т.е. того, что мы обнаруживаем у элементарных предложений.

Дело в том, что со времени написания «Логико-философского трактата» вплоть до 1944 года Витгенштейн держался убеждения, что «математические предложения» не являются подлинными предложениями. Природа «математической истины» является исключительно синтаксической, а не рефе-ренциальной. Согласно Витгенштейну, мы изобретаем математические исчисления и развиваем математику посредством вычислений и доказательств. Несмотря на то, что нас учат доказывать, что теорема извлекается из аксиом по определенным правилам, это не означает, что представленный способ доказательства предшествует нашему построению теории. Следует сказать, что не-референциальная, или так называемая формальная концепция математических предложений и терминов берет свое начало в «Логико-философском трактате». В нем содержатся наброски ранней концепции философии математики Витгенштейна, создаваемой на основе противопоставления математических предложений (математических уравнений) подлинным (элементарным) предложениям, смыслу, мышлению, пропозициональным знакам.

Витгенштейн заявляет, что подлинные предложения, основанные на конвенциях, употребляются нами для утверждения, что со-бытие («связь объ-59

ектов») существует в одном и только действительном мире. Элементарное предложение оказывается изоморфным возможному со-бытию и используется для его репрезентации: оно должно содержать столько имен, сколько существует объектов в возможном со-бытии. Элементарное предложение истинно, если существует его возможное со-бытие (т.е. «смысл»). Витгенштейн четко формулирует корреспондентскую теорию истины в тезисе 4.25: «Если элементарное предложение истинно, соответствующее со-бытие существует, если же оно ложно, то такого со-бытия нет» [44, c. 30]. Но предложения и их языковые компоненты (имена) сами по себе являются «мертвыми». Предложения обретают смысл лишь потому, что люди заложили в них особый конвенциональный смысл 5.473: «Логика должна заботиться о себе сама. Возможный знак должен обладать способностью обозначать. Все, что в логике возможно, тем самым и дозволено. («Сократ тождествен» ничего не означает, потому что нет свойства, которое бы называлось «тождественный». Это предложение бессмысленно, но не потому, что данный символ сам по себе недозволен, а потому, что ему не дали какого-то условного определения.)» [44, c. 23].

Кроме того, пропозициональные знаки могут употребляться для различных целей: для выражения человеческих мыслей, чувств, для привлечения внимания окружающих, для обращения с просьбой о помощи и т.п. Чтобы утверждать, что со-бытие существует, индивид должен «спроектировать» смысл предложения – в форме возможного со-бытия – через «обдумывание» смысла предложения при его говорении, письме или восприятии: «3.1. В предложении мысль выражается чувственно воспринимаемым способом» [44, c. 11]. Витгенштейн связывает друг с другом понятия «употребление», «смысл», «корреспонденция», «истина», заявляя, что «предложение истинно, если дело обстоит так, как оно повествует» [44, c. 23].

Концепция элементарных предложений и классическое определение истины используются Витгенштейном в «Логико-философском трактате» для того, чтобы построить теорию логических и математических «предложений». Представленные в Трактате тавтологии, противоречия и математические предложения (т.е. математические уравнения) не являются ни истинными, ни ложными. С точки зрения Витгенштейна, предложения математики не являются ни логическими тавтологиями, ни образами фактов - они суть операции со знаками [188, c. 54]. Когда мы говорим, что математические предложения являются истинными или ложными, то, согласно Витгенштейну, мы используем слова «истинный» и «ложный» в ином смысле, нежели применительно к эмпирическим предложениям. Только эмпирические предложения могут быть либо истинными, либо ложными. В отличие от подлинных (эмпирических) предложений, логические тавтологии и противоречия «ни о чем не повествуют» [188, c. 62], «они ничего не говорят», они «бессмысленны»: «4.461. Предложение показывает, что оно говорит; тавтология и противоречие показывают, что они не говорят ничего. У тавтологии нет истинностных условий, ибо она безусловно истинна, противоречие же не истинно ни при каких условиях. Тавтология и противоречие бессмысленны» [188, c. 33]. Вместе с тем Витгенштейн подчеркивает: «4.4611. Но тавтология и противоречие не бессмысленны, они принадлежат символике, подобно тому как «0» принадлежит символике арифметики» [188, c. 34].

По аналогии с этим математические уравнения (математические предложения) являются «псевдопредложениями» [188, c. 64], потому что их «истинность» или «правильность» [188, c. 65], «характеризуют только точку зрения, с которой я рассматриваю оба эти выражения, а именно точку зрения эквивалентности их значений» [188, c. 65]. Отсюда «тавтология и противоречие - предельные случаи соединения знаков, а именно его распад» [188, c. 35], когда «условия соответствия миру - изобразительные отношения - взаимно исключают друг друга» [188, c. 34]. Поэтому они не изображают какие-либо возможные ситуации, «тавтология и противоречие - не картины действительности» [188, c. 34]. Другими словами, тавтологии и противоречия не имеют смысла, что означает невозможность их использовать в качестве суждений, так как они не являются ни истинными, ни ложными.

Критика платонизма

Тем самым становится понятным, что Витгенштейн рассматривает математику как сложную сеть частично совпадающих форм деятельности или языковых игр. Он акцентирует «пеструю смесь» математики, привлекая примеры из различных разделов математики для демонстрации многообразия математических языковых игр, которые были изобретены. К уже имеющимся могут быть добавлены новые изобретенные языковые игры.

Опираясь на примеры в текстах Витгенштейна, можно придти к заключению, что не все языковые игры математики являются формальными математическими системами, что различные неформальные математические практики также конституируют множество языковых игр. Языковые игры в математике основываются на формах жизни и не сводятся к чисто лингвистической деятельности. «Понимание математического предложения не гарантируется его языковой формой. …Слова не детерминируют языковую игру, в которой функционирует предложение» [340].

Витгенштейн рассматривает математику не только как «пеструю смесь» многообразных языковых игр, но также проводит прямую аналогию между математикой и игрой в шахматы. Согласно А. Кенни, Витгенштейн впервые использовал метафору «игры», чтобы прояснить природу математики и математического формализма, еще в 1930 году, т.е. до разработки им общей теории языковых игр [291]. Его раннее представление, что математика есть игра со знаками «в соответствии с определенными правилами» [38, c. 140] было углублено с помощью понятия «форма жизни», которое послужило опорой при обосновании надежности и достоверности правил. Данный исследовательский шаг определил изменение ранней позиции Витгенштейна, смыкавшейся с конвенционализмом [259, p. 78].

Концепция математики, разработанная Витгенштейном в зрелый период творчества, отклоняет поверхностную форму конвенционализма, в соответствии с которой правила математики принимаются или отвергаются сообществом математиков. Подобным подход ведет к представлению о математике как деятельности, где все дозволено. Поэтому Витгенштейн предложил модель математики, в которой математические правила глубоко укоренены в систему человеческой социальной деятельности, в «формы жизни». При следовании правилу, поскольку оно основано на совокупности связанных решений, каждый отдельный шаг не требует независимого решения. Это есть вопрос определенной практики. Правила не являются произвольными решениями. Напротив, их принятие (одобрение) осуществляется в контексте определенных, связанных между собой лингвистических и социальных практик. Таким образом, Витгенштейн рассматривает математику в значительной мере как деятельность, основанную на языковых играх и связанных с ними, глубоко укоренившихся в них правилах: «Математика, безусловно, в каком-то смысле есть область знания, но она также и деятельность. И «ложные ходы» могут существовать в ней в виде исключения. Ведь если бы то, что мы сейчас называем этим именем, стало правилом, то тем самым была бы отменена и игра, в которой они слывут ложными» [49, c. 315].

По Витгенштейну, логическая необходимость математического (логического) знания основана на языковых соглашениях или нормах, которые вплетены в нашу социолингвистическую практику. «Сказанное сводится к тому, что математика нормативна. Но «норма» не равнозначна «идеалу» [38, c. 200]. Таким образом, витгенштейновские понятия истины, логической необходимости и другие кардинально отличаются по своему содержанию от традиционного абсолютистского подхода. У Витгенштейна центральным понятием становится согласие с правилом. «Слова «верно» и «неверно» употребляются при обучении тому, как действовать по правилу. Словом «верно» побуждают ученика продолжать действие, словом «неверно» удерживают его» [38, c. 193]. Следствием такой установки Витгенштейна является формирование нового взгляда на понятие доказательство.

Математическое доказательство, по Витгенштейну, должно быть обозримым и воспроизводимым [38, c. 70]. Математическое доказательство применяется как особая форма оправдания математического знания. Оно закреплено в социальных конвенциях. Витгенштейновская точка зрения заключается в том, что математическое доказательство служит оправданием предмета математического знания посредством своей убедительной силы, а не посредством присущей ему логической необходимости. Конечно, логическая структура доказательства и ссылка на правила и нормы принятых языковых игр являются неотъемлемой частью этой убедительности. В конечном счете, доказательство является нарративом для человеческого применения, а не сверхчеловеческой объективной структурой. Основная функция доказательства заключается в убеждении, при этом логическая структура доказательства есть всего лишь средство для достижения данной цели. Таким образом, математическое знание, считает Витгенштейн, основано на человеческом убеждении и одобрении.

В заключение следует отметить, что, согласно Витгенштейну, роль философа математики не сводится к решению математических проблем или к реформированию математики. Он пишет: «Философ должен так крутиться и вертеться, чтобы увернуться от математических проблем, а не осаждать одну из них – ту, что вроде бы следует решить, прежде чем можно двигаться дальше. Его труд в философии – как бы безделье, простой в математике. Тут не надо возводить новое здание или наводить новый мост, требуется другое: выносить суждение о географии, как она есть теперь…И 500 лет назад могла существовать какая-то философия математики» [38, c. 166]. Данное высказывание однозначно говорит об отказе Витгенштейна от фундаменталистской установки конструктивистских и интуиционистских философий, направленной на реформирование математики.

Следование правилу

В заключение следует резюмировать вклад Витгенштейна в продвижение им, несомненно, новаторского, социального, практико-ориентированного подхода в философии математики. Прежде всего, нужно подчеркнуть, что Витгенштейн поставил под сомнение фундаментализм и традиционный подход к философии математики. Он отверг распространенный в его время, так называемый, прескриптивный (нормативный, предписывающий) подход к философии математики, и выдвинул требование переосмыслить существующую философию математики, сделать ее дескриптивной. По-прежнему, революционным выглядит предложенный им философский проект: рассматривать математику и математическую практику такой, какой она есть. Вит-генштейновская программа подразумевает признание разнообразия («разноцветья») взаимосвязанных практик, формальных и неформальных, которые образуют математику. Это означает ничто иное, как отказ Витгенштейна от представления, будто философия или логика предваряют математику, при дают действенную силу ее познавательным утверждениям. Вместо создания всеобъемлющего метанарратива, легитимирующего математическое знание, Витгенштейн нацеливает философию математики на выполнение «побочной», «прикладной» работы, обращенной к наблюдению, описанию, а не к обоснованию математики.

Во-вторых, Витгенштейн поставил под сомнение позицию абсолютизма в философии математики и философии в целом. Он напряженно размышлял над понятиями доказательство, логическая и математическая необходимость, следование правилу. Как известно, эти понятия и принципы располагаются в центре абсолютизма и априоризма. Однако Витгенштейн оказался способным освободиться от традиционных объяснений логической необходимости и построил совершенно новую социальную по своему характеру теорию необходимости и следования правилу.

В-третьих, философия Витгенштейна является прорывом в деле приостановки обсуждения проблемы обоснования знания, в особенности математического знания, в реалистических или идеалистических терминах. Он перевернул платонистскую иерархию и вместо создания теории абстрактных идеализаций стал рассматривать человеческую социальную практику как нечто изначально данное. Витгенштейн разработал утонченную, радикальную версию социальной эпистемологии, основанную на конкретных формах жизни и языковых играх. Он выдвинул на первый план человеческий язык, который играет жизненно важную роль в познании. Витгенштейн стал первым философом математики, отчетливо осознавшим существенную взаимосвязь между языком и математическим знанием, и сумел ярко продемонстрировать характер и внутренний, концептуальный механизм этой взаимосвязи. Результатом философской деятельности Витгенштейна стала его дескриптивная, натуралистическая философия математики, основанная на ключевых элементах конкретной математической практики, вместо абстрактных идеализаций.

По словам З.А. Сокулер, «в том, что говорит Витгенштейн, еще нет в эксплицитном виде какой-то новой философской концепции математики, – но его замечания вызывают «смену аспекта видения», позволяют увидеть привычное в новом свете, избавившись от дихотомии «высшего» и «низшего», профанного и точного знания. И вследствие этого они несут в себе большой энергетический заряд, который рано или поздно выльется в появление новой философии математики, сильно отличающейся от того, что мы имеем сейчас под этим названием, и которая заставит по-другому взглянуть и на историю математики» [190, c. 49]. С позиции достижений современного витгенштейноведения и философии математики можно с уверенностью констатировать, что замечания Витгенштейна о математике служат теоретико-методоло-гическим стимулом к разработке и формированию нового направления в современной философии математики, именуемого «философии математической практики» [302], которая стремится освободиться от наследия классических школ, разрабатывающих основания математики.

Перечисленные выше моменты, безусловно, демонстрируют в целом новаторский дух витгенштейновских идей в области философии математики. Витгенштейну пришлось столкнуться с большими трудностями в преодолении укоренившихся в современном научном мышлении философских представлений. Тем не менее, сложность препятствий, которые он преодолевал, проливает свет на вопрос, почему он считал необходимым отказаться от традиционного подхода как к философии в целом, так и к философии математики в частности. Специфика предложенного Витгенштейном подхода заключается в изменении вопросов, на которые необходимо получить ответы, а не просто в формулировании новых ответов на старые вопросы. Это обстоятельство явилось кардинальным разрывом с традицией, своего рода переосмыслением сложившихся моделей философско-математического знания. Возможно, он предчувствовал, что все начинает сначала, отвергнув классическую философию и философию математики.

Одним из дискуссионных и важных для последующих исследований является вопрос об отношении профессиональных математиков к точке зрения Витгенштейна о природе и назначении математики как научной дисциплины. Сам Витгенштейн свою принципиальную позицию комментирует так: «Математик должен быть напуган моими математическими комментариями, так как его всегда учили избегать давать волю своим мыслям и сомнениям в виде тех, которые развиваю я. Он обучен относиться к ним как чему-то презренному, и… он приобрел отвращение к ним как чему-то инфантильному. То есть я показываю все проблемы, которые ребенок, изучающий арифметику,… считает трудными, проблемы, которые подавляет без их решения образование. Я говорю этим подавленным сомнениям: вы совершенно правы, продолжайте спрашивать, требуйте разъяснения!» [338].

Обращаясь к прошлому опыту, можно увидеть, что практикуемая Витгенштейном философия, несмотря на ее неортодоксальный характер, все же не осуществляет полный разрыв с традицией, как думал об этом он сам. Витгенштейн не сводит на нет всю существовавшую до него философию, не заменяет ее качественно новым методом исследования. Да, он действительно предложил особый подход к философии математики, в центре которой располагается определенный набор новых проблем, анализов, понятий и теорий. Вместе с тем, несмотря на то, что Витгенштейновская философия математики является по своей сути новаторской, потребовалось несколько десятилетий прежде, чем ее начали правильно понимать и объяснять. Думаю, что воззрения Витгенштейна о математике предвосхитили появление в конце XX столетия так называемой «диссидентской» традиции в современной философии математики [См.: 136, c. 14; 302, p. 5], которая обращена главным образом к изучению методологических вопросов философии математики.