Введение к работе
Актуальность темы и цель работы. Объектами классической теории узлов являются узлн и зацепления в трехмерной сфере.Однако многие понятия и результаты этой теории распространяются на случай трехмерных многообразий, отличных от сферы. Вещественное проективное пространство IR Р ближе других трех -мерных многообразий к сфере 5 . Оно естественно возникает в многочисленных геометрических ситуациях. В классической теории узлов эажную роль играет представление зацеплений диаграммами на плоскости. Проекция проективного пространства из точки на проективную плоскость доставляет возможность представлять зацепления в RP диаграммами.
В 1985 году Дяоунс [!] ввел новый полиномиальный инвариант классических зацеплении. Многочлен Джоунса определен для ориентированных зацеплений; Кауффман [б] в 1986 году предложил версию многочлена Джоунса для оснащенных зацеплений и новый способ вычисления многочлена Джоунса, основанный на статистической модели. С помощью кауффманскоа модификации многочлена Дяоуяса оказалось возможным решить ряд задач теории узлов, поставленных еще в прошлом веке. Впоследствии были определены _ родственные полиномиальные инварианты классических зацеплений [33 » И я числовые инварианты зацеплений в трехмерных многообразиях, обобщающие значения многочлена Джоунса в корнях из единицы [7] , [9] . Однако все эти инварианты пока уступают многочлену Джоунса в простоте статистических моделей, участвующих в их определении, и в яркости приложений к геометрическим задачам.
Цель настоящей работы - построить полиномиальные инварианты зацеплений в RP , обобщающие версии многочлена Джоунса классических зацеплений и использовать эти инварианты для решения ряда проблем теории зацеплений в RP-
Научная новизна.
I. Для зацеплений в RP (ориентированных, неориентированных, оснащенных) определены полиномиальные инварианты -
многочлени Ісрата от одной переменной, обобщапцие соответствующие варианты многочлена Джоунса.
П. Доказаны аналога теорем Кауфргана-Мурасуги, выражающие связь иезду комбинаторными характеристиками диаграммы зацепления н многочленам зацепления. -
Ш. Введен класс проективных зацеплений Монтесиноса ( и проективных четырехсплетений), аналогичный классу зацеплений Монтесиноса в 55 (включающему в себя четкрехсалетения). Для этого класса зацеплений решены задачи классификации с точностью до изотопия и до гомеоморфизма. Расклассифицированы (с точностью до езотоши ж до гомеоморфизма) зацепления с числом двойных точек <, 6.
Методика исследований. В работе применяются метода классической теории узлов и алгебраической топологии.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы в топологии многообразий малых размерностей и в вещественной алгебраической геометрии.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре ям.Александрова в МГУ (1990 г.), на топологическом семинаре Ленинградского отделения Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР (1989, 1990 гг.) и на третьей сессии семестра по квантовым группам Мевдународного математического института им. Эйлера (1990).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Ю- ГІ] , перечисленных в конце автореферата.
Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 86 страниц машинописного текста и состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 22 наименований.
