Вполне геодезические подмногообразия в плюккеровой модели вещественных грассманианов Никанорова Мария Юрьевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Представление алгебры Ли ортогональной группы SO (М4) во внешней алгебре Л (R4). 7

2 Некоторые геометрические вопросы модели многомерного комплексного проективного пространства 14

3 Конструктивное построение канонического разложения касательного вектора к многообразию Грассмана. 27

4 Классификация двумерных вполне геодезических поверхностей в многообразии G6 . 41

Список работ автора по теме диссертации 59

Список литературы 60

• Представление алгебры Ли ортогональной группы SO (М4) во внешней алгебре Л (R4).
• Некоторые геометрические вопросы модели многомерного комплексного проективного пространства
• Конструктивное построение канонического разложения касательного вектора к многообразию Грассмана.
• Классификация двумерных вполне геодезических поверхностей в многообразии G6

Введение к работе

Настоящая работа посвящена изучению геометрии вещественных грас-смановых многообразий G*„, образованных ориентированными р-мсрными плоскостями п-мерного евклидова пространства Е. Ряд фундаментальных результатов в области внутренней геометрии грассманианов содержится в классических работах [29, 1, 2, 3, 8]. В частности, доказана единственность с точностью до множителя 50(гг)-инвариантных метрик на многообразиях Ср_М (кроме (р, п,) = (2,4)) [29], получены дифференциальные уравнения геодезических в некоторой специальной системе координат и оценки кривизн вещественных, комплексных и кватернионных грассмаповых многообразий [1, 2, 3]. В цикле работ [9, 33, 23, 24, 30, 35, 3G] проведено исследование геометрии грассманианов G*„ методом их плюккерова вложения во внешнюю шпч^бру Л(М"), точнее, в пространство р-векторов Л_Р(П^П). Для специального вида поливекторов данного пространства определено их каноническое разложение в сумму простых р-векторов [23]. На основании этого разложения построена теория стационарных углов между ориентированными р-плоекостями в евклидовом пространстве R" и исследованы глобальные свойства внутренней метрики грассманианов G^_n, в частности, получены явные формулы для геодезических и кривизн Римама [23, 35]. Некоторые результаты, связанные с внешним строением грассманианов, могут быть отнесены к теории калибровок [2G, 22, 13].

Известно, что все полные компактные римановы симметрические про- страпетва могут быть вполне геодезически вложены в многообразия G+_n дли достаточно больших рип ([27]), Ранее полная классификация двумерных^ также полных и максимальных по включению вполне геодезических подмногообразий граесмапиапов была проведена для грассмановых многообразий С^_п J27, 4, 5J, При этом применялся стандартный метод Картаиа для исследования однородных симметрических пространств. Вполне геодезические подмногообразия нулевой кривизны в произвольных грассма-нианах <7+ классифицированы при помощи плкжкерова вложения в [35]. Каждая вполне геодезическая двумерная поверхность нулевой кривизны является плоским тором и может быть представлена как замыкание полной геодезической многообразия Грассмана.

Целью данной диссертационной работы является дальнейшее развитие и применение метода плкжкерова вложения для исследования как самих вещественных грассманианов, так и многомерных комплексных проективных пространств, естественно вкладывающихся в грассманианы бивекто-ров GJ„ [10, 13|.

С первой части работы в процессе изучения необходимого технического аппарата построена модель алгебры Ли группы SO(4) в пространстве бивекторов Лг(М⁴) (теорема 1.3).

Во второй главе изучаются связи между комплексной структурой многообразий СР^к~¹ и их римановой геометрией при помощи вполне геодезического вложения данных многообразий в грассманианы G^k [13]. Для произвольной двумерной площадки а в касательном пространстве к многообразию С Я*^-1 получена инвариантная геометрическая интерпретация угла ф Є [0; |] к формуло для стационарной кривизны К_а — \л- |cos^6 ((формула 2.10), а также доказана унитарная совместимость любых двух площадок а и и с рапными секционными кривизнами К_а — К& (теорема 2.3). Кроме того, получен результат, относящийся к внешней геометрии плкжкерова вложения. Доказано, что множество раздела для произвольной точки многообразия СР^к~¹ является гранью некоторой калибровки грае-сманиана G^_2Jt (теорема 2.5).

В третьей и четвертой главах исследуется вопрос о применении метода плкжкерова вложения для дальнейшей классификации двумерных вполне геодезических подмногообразий в грассманианах. Для каждого касательного к многообразию G+_n Є A_P(R") вектора X существует специальный орто-но])мироваппый базис пространства R^rt, позволяющий представить вектор X и упомянутом выше каноническом (наиболее простом) виде. Для вполне геодезических двумерных поверхностей в грассманианах Gvj~_n ([33]) в каждой точке существует ортонормированпая пара касательных к этой поверхности векторов, в канонических представлениях которых определенные части данных базисов совпадают. Но, как показано в настоящей диссертации (теорема 4.4), уже в наиболее простом случае после G^, то есть в случае (7з₆, это не так. Для преодоления данного препятствия был предложен новый подход (см. главу 3, теоремы 3.3 и 3.5) к построению канонического разложения касательного к грассманову многообразию G*_n вектора, что дало возможность решить задачу для модельного случая G^_c. Набор двумерных вполне геодезических подмногообразий положительной кривизны в данном граесмапинне исчерпывается сферами радиусов R = 1, -4=, \/Е и проективными пространствами ШР⁷ с кривизной К ~ ^ (теорема 4.4) (в метрике, индуцированной па многообразиях С~ї_п плюккоровым вложением, еекциошп.іе кривизни меняются в пределах 0 < К < 2). Заметим, что її отличие от грасеманианов G^ возникает континуальное семейство попарно изометрически не совместимых вполне геодезических поверхностей. В грассмапиапах G^_n таких типов конечное число.

Предложенный подход и полученные результаты позволяют надеяться получить классификацию в грассмапиапах тривекторов G^_n.

Представление алгебры Ли ортогональной группы SO (М4) во внешней алгебре Л (R4).

В норном раздело данной главы приводятся необходимые определения и факты, касающийся строения внешней алгебры над евклидовым пространством U?1. В разделе 1.2 вводится операция умножения Ли "х" в пространство бивекторов Л2(М4), естественным образом связанная с его структурой. В третьем разделе доказывается теорема о совпадении данной операции со скобкой Ли [-,-]л, индуцированной в пространстве Aa(R4) мри помощи канонического изоморфизма ср между данным пространством и алгеброй Ли ортогональной группы SO(4). канонически индуцирует скалярное произведение во всей внешней алгебре A(Rn). Пусть А(п,р) — множество упорядоченных мультииндексов вида А = (г ь ...,гр), 1 і\ і-2 .., ір п. Для произвольного ортонорми-роваиного базиса {ег}"-і пространства R" набор е\ = ег1 Л et-2 Л ... Л е , А С А(п,р) является ортонормированным базисом ( 1-мерного пространства Операцией внутреннего умножения (см. [9]) называется такое билинейное отображение что для любих ш Є ЛДМ"), A9(R"), р Є Ap_9(Rn), выполнено равенство ол_, р ш,/\ір . Внутреннее произведение базисных поливекторов может быть вычислено по следующей формуле: (Здесь использованы следующие обозначения: для мультииндекса, ц Є Л(п,р), inv(A,f) — количество инверсий, необходимых для упорядочения по возрастанию множества В случае, когда пространство R ориентировано (т.е. зафиксирован один И:Ї двух единичных п-векторов Е Є Л„(П)), во внешней алгебре A(3R") определено действие ортогонального оператора Ходжа: 1.2. Очевидно, что подпространство Лг (И4) инвариантно относительно действия данного оператора. Оно раскладывается в сумму Минковского двух своих ортогональных трехмерных подпространств, являющихся собственными подпространствами оператора Ходжа, отвечающими собственным числам ±1 (см. [9]): Соответственно, любой бивекторы Є Лг (R4) представляется в виде суммы: Рассмотрим положительно ориентированный ортонормироваиный ба-:ІИС Є = (еі,Є2,ез,Є4) пространства М4. Определим ориентирующие базисы- строки /(e) и д{е) пространств Л+ и Л-: /(e) = (/ь/2,/з):= Принадлежность элементов базисов (1-4) подпространствам А± следует из формул (1.1) и (1.2). Предложение 1.1 Ориентация пространств А , заданная введением ориентирующих бтисов /(e), д(е), не зависит от выбора положительно орие.птироштного базиса е в пространстве М4. Доказательство. Пусть е — другой положительно ориентированный базис пространства М4. Этот базис можно соединить с базисом е путем 7(0 в многообразии базисов пространства R . Тогда пути /(7( ))1 5(т(0) соединяют соответствующие базисы пространств Л" 1. Н Построенная ориентация в трехмерных пространствах А 1 дает возможность рассматривать в них операцию "х"векторного умножения.

В пространстве Л2 (К4) определим операцию "векторного умножения", которую будем обозначать тем же символом "х": Из свойств векторного произведения в трехмерных евклидовых пространствах и определения (1.5) легко следует, что операция векторного умножения в Л2 (Ж4) удовлетворяет всем свойствам умножения Ли. Тем самым пространство бивекторов Л2 (К4) наделяется структурой алгебры Ли(А2(К4), х). II: (1.5) следует, что при и,т Є Л их векторное произведение в Л2 (R4) принадлежит тем же пространствам Л . Поэтому векторное произведение и шестимерном пространстве Л2 (R4) является распространением обычного векторного произведения с трехмерных подпространств Л . Это наблюдение поясняет выбор символа и название для операции (1.5). Обозначим через 7Z алгебру Ли трехмерного евклидова пространства относительно операции векторного произведения. Предложение 1.2 Алгебры Ли 7х7 и (А2 (R4), х) изоморфны. В качестве изоморфизма можіш взять некоторую изомелприю евклидовых векторных пространств R3 х М3 и А2 (R4). Доказательство. Рассмотрим какие-либо изометрии I± : R3 — Л±, сохраняющие ориентации пространств R3 и Л . Определим линейное отображение Так как для произвольной точки (X, Y) Є R3 х R3 справедливо равенство: то отображение Ф является изометрией. Изометрии 1± сохраняют операции иекторного произведения в пространствах R3 и Л1 1, поэтому для Ф-образа произведении Ли элементов (Xi, Yi), (Х2, Y2) Є 7 х 7 выполнено: Отсюда следует наше утверждение. И 1.3. Рассмотрим алгебру Ли А (Шп) группы ортогональных преобразований евклидова векторного пространства W1. Элементами этой алгебры являются кососим метрические операторы G : R" — К 1 (см. [6, 7]), а умножение определяется как их коммутатор : Пространство кососим метрических операторов наделяется структурой евклидова векторного пространства со скалярным произведением, порожденным нормой где G Є A (IRn), a G — сопряженный с G оператор.

Хорошо известно, что алгебры Ли А (R3) и А (IR4) изоморфны алгебрам 7Z и 72 х 72 соответственно. В [9 построен канонический изоморфизм являющийся изометрией евклидовых пространств A2(]R) и А (Ж."). Эта изометрия индуцирует в пространстве бивекторов A2(IRn) следующую структуру алгебры П])и этом изометрия ір становится изоморфизмом алгебр Ли (A2(Rn), [, ]л) и(Л-(К"), [,]). С другой стороны, на пространстве Л2 (R4) мы определили операцию векторного умножения ІЗ даймом раздело мы покажем, что наглядное геометрическое описание скобки Ли [, ]д в Лз (R4) определяется спецификой строения данного шести мерного пространства. Теорема 1.3 Для любых w, г Є Л2 (R ) справедливо равенство Доказательство. И:Ї ф{)рмул (1.9), (1.10), (1.5) следует: Обе части равенства (1.12) линейны по аргументам є, ш, т, поэтому достаточно убедиться в его справедливости для элементов некоторого ортонор-мированного, положительно ориентированного базиса е = (еі,Є2,Єз,Є4) и соответствующих ему бивекторов ЄІ Л ej, 1 і j 4. Площадки разложимых бивекторов ЄІ Л j, еf. Л em либо совпадают, либо вполне ортогональны, либо обрадуют прямой двугранный угол в некотором трехмерном пространстве объемлющего пространства R4. В нервом случае (площадки совпадают) бивекторы ы и т коллинеарны, и обе части (1.12) тривиальным образом обращаются в ноль. Если площадки простых бивекторов шит вполне ортогональны, то т — і и. Из (1.3) следует, что для любого шеЛг (М4) будет Значит, ЇЇ рассматриваемом случае правая часть (1.12) обращается в ноль. Так как векторы Wi_e, ri_e либо являются нулевыми, либо принадлежат площадкам простых бивекторов ш, т, то и левая часть (1.12) равна нулю. В третьем случае, удачно выбрав базис е, бивекторы шит можно представить в виде ш = е\ Л е2, т = Єї Л е3. Тогда ( см. (1.4), (1.13)): откуда вытекает (1.12). Итак, каноническая изомстрия ip : Л2 (R4) — Л (Е4) (см. (1.9)) оказалась изоморфизмом алгебры (Лг (К4), х) и алгебры Ли (Л (М4), [,]) ортогональной группы SO (А). Из предложения 1.2 следует и:юметричность этих алгебр алгебре 1Z х 7Z. Подпространства Л+, Л- являются идеалами аліч бры (Л2(М4),х), что непосредственно следует из формулы (1.5).

Некоторые геометрические вопросы модели многомерного комплексного проективного пространства

В ряде работ по изучению сферических отображений двумерных поверхностей (в частности, [18]) используется представление грассманиана G . как квадрики в комплексном проективном пространстве CPfe_1 = Р (Ус), задаваемой в однородных координатах уравнением z\ + .. . + z\ — 0. В данной главе при исследовании геометрии многообразий CPfe_1, напротив, применяется их вполне геодезическое вложение в грассмаповы многообразия G k- В свою очередь, грассманианы G k отождествляются со своим образом при плюккеровом вложении во внешнюю алгебру Л (У$к) (здесь V — овеществление пространства V )). Подробное описание данной конструкции содержится в первом разделе главы. В разделах 2.2 и 2.3 получена формула для секционной кривизны в произвольном двумерном направлении многообразия CPfc_1 и даны ее инвариантные геометрические интерпретации с использованием свойств комплексной структуры на данном многообразии. В разделе 2.4 доказана унитарная совместимость любых двух касательных к многообразию СР -1 двумерных площадок с равными секционными кривизнами. В последнем разделе данной главы приводятся основные определения и факты, относящиеся к теории калибровок. Доказывается, что множество раздела для произвольной точки многообразия СРк 1 совпадает с гранью некоторой калибровки грассманиана G2ft. пых грассмановых многообразий CGp (Vj) (с комплексной ориентацией) в вещественные грассманианы G%p (У к) [Ю]. При р — 1 комплексное многообразие CGi (Ус) является комплексным проективным пространством Отображение Хопфа (jll]) сопоставляет каждому единичному вектору его комплексную линейную оболочку в пространстве V . Последнее вложение позволяет трактовать эту комплексную прямую как 2-плоскость в евклидовом пространстве V2k (с комплексной ориентацией). При этом бивектор о; принадлежит подмно- гшбразию тогда, и только тогда, когда он прост и плоскость У голоморфна. (В общем случае для поливектора и Є Ap(Vn) ранговое пространство Уи - это минимальное из подпространств W С V", таких, что и) ЛДН ) 9.) Применяя илюккерово вложение многообразия G% (Ушк) во внешнюю алгебру Л (У к) 9, 12, 27J, получаем плкжкерову модель комплексного проективного пространства: При этом отображение Хопфа описывается простой формулой:

Если заданная на евклидовом пространстве V2k комплексная структура J ортогональна, т.о. для любого вектора х Є V2k Jx, х = 0, то операция (х,у) = х, у —г Jx,y является единственным эрмитовым скалярным произведением, продолжающим евклидово скалярное произведение , на У7к ( Rc( ,)- , ). Заметим, что при этом для любых векторов х,г/ Є V f При условии ортогональности комплексной структуры J (далее во всей главе это предполагается по умолчанию) каноническое разложение любого единичного касательного вектора к СРк 1 в точке и — ві Л %Р.\ имеет вид (CM.13J): Здесь векторы Єї и Пі образуют эрмитоио-ортонормированную пару, и подмногообразие СРА_1 располагается в грассманиане G\ (V2fc) вполне геодезически. Кроме того, метрика naCPfe l, индуцированная вложением (2.1), унитарно-изотропна (т.е. любые два касательных направления в этом многообразии могут быть совмещены изометрисй, индуцированной некоторым унитарным преобразованием пространства V ). Значит, она гомотетична нормальной римаповой метрике Фубини-Штуди [14, 7. Данные обстоятельства позволяют использовать для изучения внутренних вопросов геометрии многообразия CPfc-i аппарат, разработанной для плюккеровых вложений грасеманианов Cj (V2h) С Л2 (V2k). 2.2. В точке и = е Л іє Є CPfc_1 рассмотрим произвольное двумерное направление Символ "\/м()зііачает операцию внешнего умножения в алгебре Л (Ти СРк 1), а -, скалярное произведение в соответствующем евклидовом пространстве, индуциронанное евклидовой структурой на V2k. Ниже, it зависимости от контекста, элемент о будем рассматривать или как двумерное подпространство касательного пространства Tw := T G\ (V2k), или как элемент внешней алгебры над Tw. Векторы X и Y можно представить в виде: где пары (е, п) и (е,т) эрмитово-ортонормированны в V . Теорема 2.1 Пусть двумерное направление и порождено парой векторов (X, Y), имеющих разложение (2.3). Тогда для секционной кривизны К (а) лтогообралия СРк_1 справедлива формула Доказательство. Напомним, что в общем случае вещественный грассма-мнан G n является подмножеством единичной сферы S в пространстве бивекторов Л; , и для произвольного двумерного направления а С 7 (7 , й = ё\/\ Єї Є Сз „, в силу обобщенной теоремы Гаусса будет где функция КЕ сопоставляет каждому двумерному направлению а внешнюю кривизну поверхности ехр о" С S в точке Q. Здесь мы воспользовались обіцей формулой для вычисления скалярного произведения простых поливекторов ([1С]). Ш Из (юрмул (2,3), (2.4) следует, что при к 2 (СР1 = S2) секционная кривизна Ка = 2, а при к 2 имеем Ка 2. Множество геодезических, касающихся площадки а с максимальной кривизной 2, образует вполне геодезическое подмногообразие пространства СР 1, гомеоморфное сферо S2, а для кривизны получается вполне геодезическое подмногообразие, гомеоморфиое вещественной проективной плоскости ШР2 (см. [13]). 2.3.

Комплексная структура Зш в касательном пространстве точки и = Єї Ле2 граеомапиана G fc индуцирована поворотом ei t— е2, 2 — — Єь оставляющим неподвижным ортогональное дополнение Vj к площадке Vy простого бивектора и. Поэтому для касательного вектора X ТшС 2к справедливо равенство (см, 13): что влечет эрмитовость структуры J . Используя формулу для геодезической cxp tX (0), легко показать, что для любых векторных полей X, Y будет /VA K = Vjr /K, откуда вы то каст кэлеровость комплексной структуры 3 7, 17. Замечание 2Л Нетрудно показать, что преобразование J согласовано с канонической комплексной структурой на многообразии СР 1-1 С а также с кэлеровой структурой на G iV ), индуцированной вложением данного многообразия в комплексное проективное пространство Используя комплексную структуру Jw, дадим инвариантную геометрическую интерпретацию скалярному произведению п гт в формуле (2.4). Рассмотрим произвольную двумерную площадку а С ТшСРк 1. Через оц и о обозначим стационарные углы между (неориентированными) плоскостями а и и = J a. (Согласно определению, данному в [20], под стационарными углами между неориентированными плоскостями о и а понимаются углы между соответственными собственными направлениями операторов двойного проектирования Аа О Аа И Аа О А0). Теорема 2.2 Плоскости а и и изоклинпы, т.е. ai = а = а. Если плоскость а натянута на векторы X, Y из формулы (2.3), то Доказательство. Плоскость о совпадает с площадкой простого единичного бивектора X V Y, а площадка а натянута на векторы В силу (2.8) стационарные углы а\ и «2 между плоскостями а и а совпадают с углами, образованными направлениями векторов X, У и У, X соответственно. Отсюда cos QI = [ X, У I = -1 m, in — n, im \ — \ n,im , 1 cos t 2 = j У, X j = -1 n, im — m, in = [ n, z m j. Таким образом, формулу (2.4) можно переписать в инвариантном ви- Если площадка о голоморфна, т.е. a = J o, то а = 0 и кривизна принимает максимальное значение 2. Минимальное значение кривизны достигается при « — тг/2, т.е. когда плоскости " и J cr вполне ортогональны. Поэтому величину 2 — Л можно рассматривать как "меру неголоморфности" площадки а. Объявим пару (X, Y) положительно ориентированным базисом плоскости а. Ориентированной площадке а канонически соответствует простой единичный бивектор а = X V У, обозначенный нами той же буквой. Вычислим косинус угла ф между бивекторами а и и = J cr = J&X V J Y: Отсюда следует, что ф Є [0,7г/2], и формула (2.9) приобретает новую гсо- метрическую интерпретацию: Замечание 2.2 Формула, аналогичная (2.9), сформулирована и доказана в /21 f с использованием метода Картана (при другой нормировке метрики комплексного проективного пространства).

Конструктивное построение канонического разложения касательного вектора к многообразию Грассмана.

В данной главе получен конструктивный способ нахождения канонического разложения произвольного касательного вектора к грассманиану G+ в его п люк коровой модели. В первых двух разделах описывается конструкция плкжкерова вложения многообразий Gtn во внешнюю алгебру Л(МП) ([9]) и непосі едствеішо формулируется рассматриваемая нами задача. В разделе 3.3 поясняется переход к упрощенной форме записи касательных к грассманиану векторов. В разделе 3.4 вводятся некоторые обозначения и изучается связь между различными представлениями фиксированного касательного ноктора. Полученные таким образом результаты используются при решении задачи о построении канонического разложения для касательных векторов некоторого специального вида. Данная конструкция описана в пятом разделе главы. Раздел 3.G посвящен изучению общего случая. 3.1. Во второй главе данной работы нами рассматривалась плюкке-рова модель комплексного проективного пространства СР , полученная при помощи вложения грассманиана G% (V2k) во внешнюю алгебру Л (У2 ). Переходя к рассмотрению произвольных вещественных грассманиаиов G {V")i напомним более подробно конструкцию их плкжкерова вложения в подпространство Ap(Vn) внешней алгебры Л(К") (см. [9, 27]).

Каждой ориентированной р-плоокости U Є G+n взаимно-однозначно соответствует простой единичный р-вектор P{U) = и = в\ Л ег Л ... Л ер (здесь {CJ}LI некоторый ортонормированпый базис, определяющий ориентацию плоскости U). При этом плюккерово отображение Р : G —» Ар является гладким вложением, а подмногообразие Р {Gp п) С Лр называется соответственно шіюккеровой моделью грассманиана G . Действие группы SO{n) па многообразии Р (G „) осуществляется движением объемлющего пространства Лр, поэтому внутренняя римаиова метрика, индуцированная на грассманианеС? п плюккеровым вложением, SO(n)-иивариантпа. Замечание 3.1 В работах [28, 29\ доказана единственность (с точностью до постоянного множителя) SO{n)-инвариантных римановых метрик на G для всех (р, п), кроме (2,4). В /29/ приведена явная локальная (формула для двухпараметрического семейства таких метрик при (р,п) — (2,4). Многообразие G\± диффпоморфпо S2 х S2 (см. [28}), и любая метрика, задаваемая как риманооо произведение сфер произвольных радиусов /?i и R-2, является SO {А)-инвариантной (30j. 3,2. Рассмотрим элемент (а , X) Є TGpn касательного расслоения грае-сманова многообразия G+„ С Ap(Vn) в его плюккеровой модели. Ортонормиронанным базисам {е } =1 и {п } =1, (q — п—р), пространств Уш и Vj- сопоставляется ортонормированный базис (} касательного пространства T G n ( см. 9]): ( Определения операции внутреннего умножения "і_" и рангового пространства Vw приводились соответственно в первой и второй главах данной работы).

Таким образом, вектор X может быть представлен в виде В данной сумме векторы Л не обязательно попарно ортогональны. В работе 23 было показано, мто попарная ортогональность данных векторов возможна при пекотоіюм удачном выборе исходных базисов пространств К и VJ-. А именно, для каждого касательного вектора X Є ТшЄрП существуют ортонормнрованные базисы {е,} , {HJ}J пространств Vu и V , такие, ч і о ([юрмула (3.2) имеет следующий частный вид: Данное разложение вектора X, называемое каноническим, единственно (приведенные подобные слагаемые в любых двух канонических разложениях при одинаковых Aj и сами наборы {А;} должны совпадать (см. также 32)). Доказательство существования такого разложения основано на том, что попарная ортогональность векторов N{ достигается при условии минимальности количества ненулевых слагаемых в сумме (3.2) и минимальности произведения \Ni\ [A j... ЛГГ, г р. При этом возникает вопрос о нахождении некоторого специального ортогонального преобразования пространства Уш, переводящего о.н.б. {ei} Ll в новый базис {et}f=1, позволяющий представить вектор X в каноническом виде (3.3), (Очевидно, что при фиксированном базисе {ej} =l векторы Ni в сумме (3.2) определяются единственным образом). 3.3. В процессе решения данной задачи нам будет удобно использовать упрощенную форму записи касательных векторов к грассманиану G n в точке и). Напомним, что в [23] для любого фиксированного р-мерного події] мк-тра і їства W С Vті определено линейное пространство В частности, TwG n - Ар-іЛ(Уш). Если пространство \V ориентировано, то во внешней алгебре A(W) действует ортогональный оператор Ходжа (Подробнее см. в первой главе.) Ф Пусть ш — единичный р-вектор ориентации пространства Уш. Тогда существует единственный линейный оператор удовлетворяющий равенствам Этот оператор является изометрией алгебры A(Vn). Его сужение на ЛГД1 ) изометрический изоморфизм пространств ЛГ)3(1 ) и ЛР_Г8(1 ) ([23]). Рассмотрим действие оператора ш на базисные векторы щ. Используя явные выражения для вычисления внутреннего произведения базисных поливекторов и действия оператора Ходжа, получаем: ориентации базиса {ЄІ}І = ±еі Л Єї Л ... Л ер, поэтому CJLP,- = ±(еіЛе2Л. ..Лер)иЄі = ±sgn(i, (чорта означает отсутствие данного элемента). Следовательно, Учитывая данный результат и перечисленные выше свойства оператора + , будем и дальнейших обозначениях заменять векторы щ их взаимнооднозначными образами Є{ Л rij. В частности, каноническое разложение вектора X TuG приобретет вид 3.4. В формуле (3.2) явно укажем разложение векторов iVj но орто-нормировапному базису {п№=1 пространства Vj- и исключим нулевые слагаемые. Тогда, о учетом некоторой перенумерации наборов {е,} и { j}?, получим:

Классификация двумерных вполне геодезических поверхностей в многообразии G6

В [33J получен критерий, характеризующий специальным образом все двумерные направления в римановых симметрических пространствах, образ которых при экспоненциальном отображении является вполне геодезической поверхностью. С использованием данного критерия, а также некоторых результатов из [35, 37], в этой главе классифицируются двумерные вполне геодезические поверхности положительной кривизны в грассмани-апе G Q. В процессе данного исследования неоднократно возникает вопрос о свойствах канонического представления некоторых касательных к многообразию G b векторов, который решается на основании результатов, полученных и третьей главе данной работы. 4.1. Для изучения двумерных вполне геодезических подмногообразий положительной кривизны в грассманианеС?зб воспользуемся результатами, полученными в работах [33, [37], [35]. Теорема 4.1 ([33]) Пус ть М — риманово симметрическое многообразие, а — двумерная площадка в касательном пространстве ТрМ, {X, Y} какой-нибудь ортопормированный базис этой площадки, Ф т = ехрро . Поверхность Фа является вполне геодезической тогда, и только тогда, когда существует такое А Є R, что Здесь Lx ТрМ — ТрМ — линейный самосопряженный оператор: Z - H{Z,X)X, где R преобразование кривизны. При этом кривизна поверхности Фс равна А. Теорема 4.2 (37]) Пусть Ф — двумерная вполне геодезическая поверхность в симметрическом римановом многообразии М с кривизной К 0; Х,УеТрФ,\Х\ = \\ = 1. Тогда векторы X и Y можно совместить изометрией в М, т.е. существует такая изометрия р : Хорошо известно, что грасемановы многообразия являются классическим примером римановых симметрических пространств. Рассмотрим элемент касательного расслоения (и,Х) Є TGp n, \Х\ — 1. Пусть каноническое разложение вектора X имеет вид (ем. пункт 3.3 третьей гланы). Поскольку группа изометрий I(G+) осуществляется собственными движениями из группы SO(n) [27, 3G], то любая изометрия р є /(G+) : р{ш) = и индуцируется таким движением ф : Ф(ЄІ) — Є{ І — 1,..., р, {ег}і ортонормированный базис пространства Уш\ ф{щ) — fij j = 1,..., g, { j}i " ортонормированный базис пространства Vj-; и, следовательно, Y — dip(X) — ф(Х) — ] А А щ. Значит, в условиях тооромьі 4.2 количество слагаемых и коэффициен-ты is канонических разложениях векторов X и Y должны совпадать.

Следующая теорема переформулирована также с учетом измененной формы записи касательных векторов X,Y T G . Теорема 4.3 ([35]) Пусть каноническое разложение вектора X Є Tj3pn имеет вид {f-i} ! - ортопормироваииый базис пространства V , {щ}1 - ортоиорми-роваииый базис пространства VJ-. Тогда касательное пространство ZL,G+ раскладывается в прямую сумму собственных подпространств оператора Lx (перед ними укажем соответствующие собственные числа): Таким образом, для фиксированного вектора X TwO Gl представленного в каноническом виде, могут быть найдены все возможные векторы Y Є 7 С?з,б удовлетворяющие условию Проверка условия Ly{X) — \Х потребует информации о каноническом разложении вектора У из третьей главы. Теорема 4.4 Для любой точки и Є G 6 ортонормированпая пара векторов X, Y Є 7 С?з є порождает вполне геодезическую в G Q поверхность нолож итсльпой кривизны Фа = ехр о (Х, Y) тогда, и только тогда, когда существует ортопормироваииый базис {єі Atij}, г, j 1,..., 3 пространства Т С?з6, с котором векторы X uY имеют следующий вид: пространство RP2 с кривизной К \; Й случаях в) и г) Фст — сфера с радиусом R — у5- Лри этом аферы 1а), 16), 26), 2г) конгруэнтны вполне геодезическим сферам мпогообралия G , описанным в J33J. (Здесь подразумевается конгруэнтность этих множеств в общем объемлющем евклидовом пространстве A(Vn)). Доказательство. Рассмотрим три случая, в зависимости от количества ненулевых слагаемых в каноническом разложении вектора X. Случай 1. Пусть X = е\ А щ. Из теоремы 4.3 следует, что у оператора Lx есть только одно ненулевое собственное число А = 1, которому соответствует собственное подпространство Значит, вектор У, удовлетворяющий условиям теоремы 4.1, должен быть представим в следующем виде: Данное разложение является каноническим, поэтому, в силу теоремы 4.2 и единственности канонического разложения, возможны два случая: В случае а) У — Є\ А г з- Возьмем в качестве базиса пространства Vj тройку векторов {пі,п2і,П2з}, где 23 — единичный вектор ортогонального дополнения к вектору П2з в Ъ т{п2,щ}. Из теоремы 4.3 следует, что Ly{X) = X, т.е. пара векторов {X, У} удовлетворяет условиям теоремы 4.1. При этом существует вполне геодезическое подмногообразие G+ С (7з6, касающееся площадки j(X,Y) и изомстричиое G 4 (см. [36], а также 34). Отсюда заключаем, что Ф = ехрша(Х, Y) - сфера с радиусом R — 1, конгруэнтная сфере, описанной в работе [33]. В случае б) У = е23 ni- Аналогично случаю а), для данного вектора Y выполняется условие Ly(X) = I, и Ф - ехрыа(Х, Y) — также сфера единичного радиуса, конгруэнтная сфере из пункта а). Случай 2. Пусть X = АіЄіЛггі+А2е2Лп2, 0 Ai А2, A +Ag = 1. 1) Пусть Ai = Xi = -4. Собственному числу = А = А соответствует собственное подпространство следовательно, каноническое разложение, примем ё\2 _1_ е3, П12 -L п3. В силу теоремы 4.2 vV? + /4 - vV3 + / = 7г Положим V A3 + 4 Тогда { 3, 12, 12} и {п3, 12, 12} он.б пространств Уш и V соответственно. Следовательно, собственное подпространство оператора Ly, соответствующее собственному числу \, имеет вид: Lin{ei2 Л «12, е3 Л пі2, ё12 Л n3, ei2 Л п12}. Тогда по тео])еме 4.1 вектор X должен представляться в виде; Переписал згу линейную комбинацию через старые базисы {ej} и {щ}, и учитывая, что {е Л rij] — базис T Gjg, видим, что / = / — О, следовательно, разложение