Три-ткани Бола с ковариантно постоянным тензором кривизны Оноприенко Екатерина Андреевна

\

У₃

У2

Рис. 2 ^y1

^х1

^х2

x3

%4

Рис. 3 ^х1 ^Х2 ^Х3 ^ж4 рис. 4

В этой связи три-ткани Бола возникают как естественное обобщение групповых тканей, определяемых группами Ли. На групповых три-тканях, в силу ассоциативности групп, замыкаются всевозможные достаточно малые конфигурации Рейдемейстера, образованные слоями три-ткани (рис. 1). Если в таких конфигурациях какие-либо два внутренних слоя (вертикальных, горизонтальных или наклонных) совпадают, то получаются конфигурации Бола (рис. 2-4). Три-ткани, на которых замыкаются достаточно малые конфигурации одного какого-либо типа B_l,B_r или B_m, называются соответственно, левыми, правыми или средними три-тканями Бола. Три условия замыкания Бола появились в работе Геррита Бола ⁴.

Если на три-ткани замыкаются фигуры Бола каких-либо двух типов, то замыкаются и конфигурации третьего типа. Такие три-ткани (они называются тканями Муфанг) образуют важный подкласс тканей Бола. Три-ткани Муфанг и соответствующие им лупы Муфанг изучались разными авторами. Их детальное описание дано в монографии ⁵.

^1rrhomsen G. Un teorema topologico sulle shiere di curve e una caratterizzazione geometrica delle superficie

isotermo-asintotiche. // Unione mat. ital. 1927. 6. S. 80—85.

²Blaschke W. Thomsens sechseckgewebe zueinander diagonale Netze. // Math. Z. 1927. 28. S. 150—157.

³Reidemeiste C. Gewebe und Gruppen. // Math. Z. 1928. 29. S. 427—435.

⁴Bol G. Gewebe und Gruppen. // Math. Ann. 1937. 114. S. 414—431.

⁵Акивис M. А. Шелехов A. M. Многомерные три-ткани и их приложения: Монография // Тверь. Твер.

гос. ун-т, 2010. 308 с.

Заметим, что гладкие лупы Муфанг начал изучать А. И. Мальцев еще в 1955 году. Им было доказано ⁶, что аналитические локальные альтернативные лупы, как и группы Ли, определяются своей касательной алгеброй (она была названа бинарно-лиевой). Он показал, "что классическое соответствие между аналитическими локальными группами и алгебрами Ли, устанавливаемое тремя основными теоремами Ли, в полной мере имеет место между аналитическими альтернативными локальными лупами и бинарно-лиевыми алгебрами". А. И. Мальцев доказал также, что для аналитических альтернативных луп, как и для групп Ли, справедлива формула Кэмпбелла—Хаусдорфа, коммутатор которой удовлетворяет (в отличие от групп Ли) кубическому соотношению (тождеству Сейгла).

Необходимые условия замыкания конфигураций Бола найдены в ⁷ и ⁸. Они заключаются в том, что тензор кривизны такой ткани кососимметричен по какой-либо паре нижних индексов. Достаточность этих условий для тканей произвольной размерности была доказана В. И. Федоровой ⁹. Несколько ранее достаточность для четырехмерных тканей была доказана А. Д. Ивановым ¹⁰. Этими же авторами была проведена и классификация четырехмерных и шестимерных три-тканей Бола ¹¹.

Важный специальный подкласс средних тканей Бола образуют эластичные три-ткани или три-ткани Е. Они характеризуются тем, что в их координатных лупах выполняется тождество эластичности х(ух) = (ху)х. В работе ¹² доказано, что нетривиальные (негрупповые) три-ткани Е существуют на многообразиях размерности выше четырех, в частности, в шестимерном случае их всего две, Е\ и Е^. Г.А. Баландина исследовала дифферен-

⁶Мальцев А.И. Аналитические лупы // Сиб. мат. журнал. 1955. № 3. C. 569–575.

⁷Акивис М.А. Шелехов А.М. О вычислении тензоров кривизны и кручения многомерной три-ткани и

ассоциатора связанной с ней локальной квазигруппы // Сиб. мат. журнал. 1971. № 5. C. 953–966.

⁸Акивис М.А. Шелехов А.М. О локальных дифференцируемых квазигруппах и связностях, присоединенных к три-ткани // Сиб. мат. журнал. 1971. № 6. C. 1181–1191.

⁹Федорова В.И. Об условии, определяющем многомерные три-ткани Боля // Сиб. мат. журнал. 1978.

№ 19. C. 922–928.

¹⁰Иванов А.Д. О четырехмерных тканях Боля эллиптического и гиперболического типов // Изв. вузов.

Матем. 1975. № 9. C. 25–34.

¹¹Федорова В.И. Шестимерные три-ткани Боля с симметричным тензором a_ij // Ткани и квазигруппы.

Калинин. Калининский гос. ун-т. 1981. С. 110–123.

¹²Шелехов А.М. Об аналитических решениях уравнения x(yx) = (xy)x // Матем. заметки. 1991. № 4.

C. 132–140.

циальную окрестность пятого порядка тканей Е ¹³. М.В. Антипова привела в ¹⁴ некоторые примеры нетривиальных восьмимерных эластичных тканей. Некоторые эластичные три-ткани были найдены в ¹⁵.

Алгебраический аналог тканей Бола — гладкие лупы Бола также изучались рядом авторов. Как показали Л. В. Сабинин и П. О. Михеев¹⁶, с гладкой лупой Бола связана ее касательная алгебра Бола с тернарной и бинарной операциями, которая устроена существенно сложнее, чем алгебра Ли или алгебра Мальцева.

В локальных координатах три-ткань задается уравнением вида z = f(x,y), x,y,z Є W, которое связывает параметры слоев ткани, проходящих через одну точку. Это обстоятельство дает возможность применять методы теории три-тканей в различных разделах математики и физики, см. об этом в ^{17 18}. Например, в ¹⁹ Е. В. Ферапонтов доказал, что характеристики некоторой системы дифференциальных уравнений гидродинамического типа образуют на всяком решении шестиугольную три-ткань. Этот геометрический факт характеризует так называемые слабо нелинейные и полугамильтоновы системы.

С алгебраической точки зрения уравнение три-ткани z = f(x,y) представляет собой бинарную операцию — локальную квазигруппу (в частности, лупу). Это обстоятельство позволяет расширить область применения теории три-тканей, использовать методы теории три-тканей для изучения свойств многообразий с гладкими локальными бинарными операциями, см., например, работу ²⁰, где "анализируются возможности применения квазигрупповых идей в различных областях теоретической физики (теория поля, общая теория относительности, динамические симметрии и т.д.)"

Три-ткани Бола представляют особый интерес еще и потому, что они связаны с сим-

¹³Баландина, Г.А.; Шелехов, А.М. On general theory of elastic webs. Webs and Quasigroups, 1995, Tver,

Tver State Univ., 62-74.

¹⁴Антипова М. В. Восьмимерные ткани Бола с почти нулевым тензором кривизны // Изв. ВУЗов. Математика. 2013. № 2. С. 43-56.

¹⁵К.Р. Джукашев, А.М. Шелехов, Многомерные гладкие лупы с универсальным свойством эластичности. Матем. сб., 206:5 (2015), 35-60.

¹⁶Сабинин Л. В., Михеев П. О. Теория гладких луп Бола // М.: Ун-т Дружбы народов, 1985. 80 c.

¹⁷Бляшке В. Введение в геометрию тканей. М.: Физматгиз, 1959. 144 с.

¹⁸Акивис М. А. Шелехов А. М. Многомерные три-ткани и их приложения: Монография // Тверь. Твер.

гос. ун-т, 2010. 308 с.

¹⁹Ферапонтов Е. В. Геометрия тканей и математическая физика // В кн.: Акивис М. А., Шелехов А. М.

Многомерные три-ткани и их приложения: Монография. Тверь. Твер. гос. ун-т, 2010. C. 264-300.

²⁰Нестеров А. И. Квазигрупповые идеи в физике // Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике.

Труды института физики. Тарту. 1990. Т. 66. С. 107-120.

метрическими пространствами. Как показал М.А. Акивис, на базе одного из слоений три-ткани Бола возникает симметрическая структура, которая называется сердцевиной. ²¹ Еще ранее Л. В. Сабинин и П. О. Михеев доказали ²³, что геодезическая лупа локально симметрического пространства аффинной связности удовлетворяет левому тождеству Бола, и, более того, левая лупа Бола, удовлетворяющая тождеству автоморфной обратимости (аб)^-1 = а~¹Ь~¹, является алгебраическим аналогом симметрического пространства.

Из сказанного вытекает актуальность изучения многомерных три-тканей Бола. Их изучение существенно осложняется тем, что локально они определяются двумя тензорными полями — трехвалентным тензором кручения и четырехвалентным тензором кривизны, которые связаны между собой сложными соотношениями. С.С. Черн был первым, кто записал дифференциальные уравнения многомерной три-ткани W общего вида и нашел дифференциально-геометрические характеристики некоторых специальных классов тканей ²⁴. В настоящей диссертации используются структурные уравнения три-ткани в инвариантной форме, найденные М.А. Акивисом ²⁵. С их помощью были изучены различные аспекты теории многомерных три-тканей ^{26 27}.

Цель работы: изучить средние три-ткани Бола с ковариантно постоянным тензором кривизны, описать их геометрические свойства, выделить и исследовать основные классы таких тканей.

Основные задачи исследования. В ходе диссертационного исследования были поставлены следующие задачи:

— определить класс многомерных средних три-тканей Бола с ковариантно постоянным тензором кривизны (ткани В^), найти структурные уравнения таких тканей, исследовать их касательную алгебру;

²¹Понятие сердцевины ткани Бола было введено В.Д. Белоусовым в ²² для абстрактных три-тканей,

являющихся аналогом квазигруппы или лупы Бола без топологической или гладкой структуры.

²³Сабинин Л. В., Михеев П. О. Об аналитических лупах Бола // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. унив. 1982. C. 102-109.

²⁴Chern S. S. Eine Invariantentheorie der Dreigewebe aus r-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in R2_r // Abh.

Math. Sem. Univ. Hamburg. 1936. V. 11. № 1-2. p. 333-358.

²⁵Акивис М. А. О три-тканях многомерных поверхностей // Тр. геометр. сем. ВИНИТИ АН СССР.

1969. Т. 2. C. 7-31. ²⁶Акивис М. А. Шелехов А. М. Geometry and Algebra of Multidimensional Three-Webs // Kluwer Academic

Publishers. Dordrecht/Boston/London, 1992. xvii+358 pp.

²⁷Акивис М.А. Шелехов А. М. Многомерные три-ткани и их приложения: Монография // Тверь. Твер.

гос. ун-т, 2010. 308 с.

— описать алгебраические и геометрические свойства три-тканей В,

V ;

провести классификацию тканей В^ по рангу тензора кручения, исследовать некоторые специальные классы;

найти уравнения исследуемых тканей в локальных координатах.

Методы исследования. В теории многомерных три-тканей Бола применяются методы тензорного анализа, внешнее дифференциальное исчисление, теория связностей, теория групп Ли, теория симметрических пространств, методы проективной и аффинной геометрии. Основным методом исследования является метод внешних форм и подвижного репера Э. Картана, адаптированный М. А. Акивисом, В.В. Гольдбергом и А.М. Шелехо-вым для изучения теории многомерных тканей. Результаты, полученные в работе, имеют, в основном, локальный характер.

Положения, выносимые на защиту. Основные результаты, полученные в ходе диссертационного исследования, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Определен класс многомерных средних три-тканей Бола с ковариантно постоянным тензором кривизны (три-ткани В^), найдены структурные уравнения три-ткани В^, исследован соответствующий инфинитезимальный объект — W-алгебра Акивиса.

2. Заложены основы классификации три-тканей В^ по рангу тензора кручения, описаны три-ткани B^v_m размерности 4 и 6, три-ткани B^v_m ранга 1, коммутативные ткани B^v_m ранга р.

3. Построен адаптированный репер для три-тканей В^ произвольного ранга р, описано их строение.

4. Детально описаны коммутативные три-ткани СВ^ ранга р с коммутирующими операторами А_и (три-ткани С-В^(О) и С>^(1)) , три-ткани ТВ^ и МВ^, найдены их уравнения в локальных координатах.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы при чтении спецкурсов в рамках специализации по дифференциальной геометрии и геометрии тканей. Как сами

результаты так и методика их получения могут быть эффективно применены для исследования методом Картана других дифференциально-геометрических структур. Степень достоверности и апробация результатов.

Основные результаты были доложены на следующих конференциях и семинарах:

международная конференция «Геометрия в Одессе» (Украина, Одесса, май 2013 г.);

международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения М.Т.Калапсо «Дельта-геометрия» (Астрахань, май 2014 г.);

международная конференция «Differential Equations» (Москва, август 2014 г.);

международная школа-конференция «Вторая зимняя геометрическая школа» (Переславль-Залесский, февраль 2015 г.);

международный геометрический семинар имени Г. Ф. Лаптева «Лаптевские чтения» (Пенза, сентябрь 2015 г.);

международная школа-конференция «Третья зимняя геометрическая школа» (Переславль— Залесский, февраль 2016 г.);

международная конференция «DFDE» (Москва, август 2017 г.);

международный геометрический семинар имени Г. Ф. Лаптева «Лаптевские чтения» (Пенза, сентябрь 2017 г.);

XVI Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения—2017» (Казань, 24 — 29 ноября 2017 г.);

международная конференция «Современная геометрия и её приложения» (Казань, 27 ноября — 3 декабря 2017);

международная школа-конференция «Зимняя геометрическая школа» (Переславль— Залесский, 22-27 января 2018 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [7]. При этом статьи [1], [2] опубликованы в изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований.

Личный вклад автора. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. В совместной работе [1] постановка задач и идея доказательств принадлежит научному руководителю А.М. Шелехову.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 108 страницах печатного текста, состоит из введения, трех глав, включающих 20 параграфов, и списка цитируемой литературы. Список литературы содержит 47 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.