Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле Кантонистова Елена Олеговна

Содержание к диссертации

Введение

1 Лиувиллева классификация интегрируемых гамильтоновых си стем на многообразиях вращения в потенциальном поле . 4

1.1 Введение 4

1.2 Исследование особых точек и особых значений отображения момента для систем на многообразиях вращения 14

1.3 Исследование поведения бифуркационных кривых в окрестности точек возврата. Теорема классификации бифуркационных диаграмм изучаемых систем 30

1.4 Анализ взаимного расположения дуг бифуркационной диаграммы 43

1.5 Случай общего положения 48

1.6 Алгоритм построения бифуркационного комплекса исследуемой системы 53

1.7 Построение грубой молекулы системы на неособой изоэнергетиче-ской поверхности 59

1.8 Вычисление меток для систем на многообразии вращения 63

1.9 Лиувиллева эквивалентность систем на многообразиях вращения с изученными ранее интегрируемыми гамильтоновыми системами 83

2 Решетки переменных действия интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения 89

2.1 Решетки переменных действия в квантовых системах и мотивация для их изучения 89

2.2 Решетки переменных действия. Определения 91

2.3 Монодромия 95

2.4 Вычисление переменных действия для систем на многообразиях вращения 98

2.5 Алгоритм вычисления матрицы склейки по решетке переменных действия 109

2.6 Вычисление меток и матрицы монодромии по решеткам переменных действия 114

2.7 Решетки переменных действия для обобщенного случая Лагранжа 118

3 Заключение

• Исследование поведения бифуркационных кривых в окрестности точек возврата. Теорема классификации бифуркационных диаграмм изучаемых систем
• Алгоритм построения бифуркационного комплекса исследуемой системы
• Решетки переменных действия. Определения
• Алгоритм вычисления матрицы склейки по решетке переменных действия

Введение к работе

Актуальность темы

Диссертация посвящена изучению интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле, а именно, исследованию топологии этих систем, которое включает в себя изучение образа отображения момента, бифуркационных диаграмм, бифуркационных комплексов и других инвариантов слоения Лиувилля, характеризующих топологию интегрируемых гамильтоновых систем.

В диссертации изучается широкий класс механических систем, описывающих движение материальной точки по двумерной сфере с метрикой вращения, задаваемой функцией /(г) (в случае, когда поверхность вращения вкладывается в К³, эта функция задает образующую поверхности вращения), в произвольном гладком потенциальном поле V{r). Известно, что такие системы полны (т.е. соответствующие потоки полны) и являются интегрируемыми по Лиувиллю, поэтому для их исследования применима теория топологической классификации, созданная А.Т. Фоменко и его школой. На основе этой теории мы даем топологическую (лиувиллеву) классификацию указанных систем. Суть теории Фоменко заключается в том, что интегрируемой системе с двумя степенями свободы на симплектическом многообразии М⁴, ограниченной на трехмерное неособое компактное изоэнергетическое многообразие, эффективным образом сопоставляется некоторый дискретный инвариант, имеющий структуру графа с числовыми метками. Этот инвариант, называемый меченой молекулой, или инвариантом Фоменко-Цишанга, даёт полное описание (с точностью до послойной эквивалентности) слоения Лиувилля данной системы на изоэнергетических поверхностях, определяемого замыканиями траекторий общего положения.

С целью вычисления инвариантов ФоменкоЛДишанга для рассматриваемого класса систем, мы исследуем типы особенностей отображения момента и строим бифуркационные комплексы систем, введенные А.Т.Фоменко.

В нашей работе главным образом рассматриваются ограничения интегрируемых систем с двумя степенями свободы на трехмерные неособые (dH ф 0 в каждой точке) связные компактные изоэнергетические поверхности Q\ = {х М⁴ | Н{х) = h}, на которых дополнительный интеграл К является функцией Ботта, т.е. множество его критических точек представляет собой несвязное объединение невырожденных критических подмногообразий. Эти подмногообразия могут быть либо окружностью, либо двумерным тором, либо бутылкой Клейна. В реальных механических системах критические множества последних двух типов встречаются крайне редко. В исследуемых в нашей работе механических системах критические множества всегда являются окружностями.

Рассмотрим регулярный уровень энергии Н = h, которому в образе отображения момента соответствует отрезок прямой h = const. На этом уровне каждому регулярному значению из образа отображения момента (т.е. каждой регулярной точке этого отрезка) отвечает тор или несвязное объединение торов Лиувилля, а точкам пересечения прямой h = const с дугами бифуркационной диаграммы отвечает некоторое критическое множество в фазовом пространстве. Таким образом, при перемещении точки по данной прямой в момент пересечения прямой с бифуркационной диаграммой происходит перестройка торов Лиувилля, или бифуркация.

Определение 1. Две интегрируемые системы лиувиллево эквивалентны, если существует послойный диффеоморфизм их фазовых многообразий.

Наряду с лиувиллевой эквивалентностью на всём симплектическом многообразии, мы будем говорить о лиувиллевой эквивалентности на отдельных изоэнергетических поверхностях.

Определение 2. Класс лиувиллевой эквивалентности замкнутой инвариантной (т.е. целиком состоящей из слоев) окрестности особого слоя слоения Лиувилля в изоэнергетиче-ской поверхности назвшается 3-атомом.

Таким образом, 3-атомы кодируют бифуркации торов Лиувилля. Оказывается, что если фиксироватв число критических окружностей на данном особом слое, то в боттовском случае имеется лишв конечное число таких бифуркаций. Напомним также, что в случае, если дополнителвнвій первый интеграл — функция Ботта, то 3-атом является расслоением Зейферта (см. определение ниже) с особвіми слоями типа (2,1) над 2-атомом.

Напомним, что расслоенным полноторием назвшается полноторие, расслоенное на окружности следующим образом: возвмем тривиалвно расслоенный на отрезки цилиндр D² х [0,1] и склеим его основания D² х {0} и D² х {1} по диффеоморфизму, являющемуся поворотом на угол 2тга где а — рационалвно.

Определение 3. Компактное ориентируемое трехмерное многообразие назвшается многообразием Зейферта, если на нем можно задатв структуру расслоения Зейферта, т.е. разбитв на непересекающиеся проствіе замкнутвіе кривые (слои) так, что каждый слой имеет целиком состоящую из слоев окрестноств, послойно гомеоморфную расслоенному полноторию.

3-атомы и соответствующие им 2-атомы обозначаются заглавнвіми латинскими буквами. В нашей работе встречаются атомы трех типов: А, В и V&. Указанные атомы изобра-женві на рисунке 1.

Рис. 1: атомві А, В и Т4

Каждой неособой изоэнергетической поверхности Q\ соответствует некоторвій граф, являющийся базой слоения Лиувилля на Q\. Внутренние точки ребер этого графа отвечают регулярнвім слоям слоения Лиувилля, а вершины соответствуют особым слоям. Согласно определению , каждой вершине графа можно сопоставитв некоторвій атом. Полученный ориентируемый граф с вершинами-атомами назвшается молекулой.

Молекула содержит много информации о структуре слоения Лиувилля, однако эта информация не полна, в том смысле, что молекула не определяет диффеоморфнвій тип многообразия Q'l, а тем более, слоения Лиувилля на нем (с точноствю до послойного диффеоморфизма). Например, молекула вида А — А сообщает нам, что многообразие Q\ склеено из двух полноторий, естественным образом расслоеннвіх на концентрические торы. Однако, каким образом произведена склейка, какое в резулвтате получается многообразие и какое слоение Лиувилля на нем — молекула не сообщает. Поэтому к молекуле необходимо добавитв информацию о склейке отделвнвіх атомов.

Разрежем каждое ребро молекулві посередине. Молекула распадется на отделвные 3-атомы. Это означает, что мы разрезали многообразие по некоторвім торам Лиувилля на

отдельные атомы. Пусть мы хотим произвести обратную склейку. Молекула говорит нам, какие пары граничных торов мы должны склеивать между собой. Чтобы понять, как именно их нужно склеивать, мы должны задать для каждого разрезанного ребра матрицу склейки, определяющую изоморфизм фундаментальных групп склеивающихся торов. Эта матрица зависит от выбора допустимых систем координат на торах, однако, существуют инварианты, определяемые матрицей склейки, не зависящие от выбора допустимых координат — числовые метки г, є и п.

Определение 4. Молекула, снабженная метками г, є и п, называется меченой молекулой, или инвариантом Фоменко-Цишанга.

Теорема 1. (А.Т.Фоменко, Х.Цишанг). Две невырожденные интегрируемые системы v на Q³ и v¹ на Q'³ ливувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда их меченые молекулы совпадают.

В нашей работе мы исследуем топологию систем, которые описываются движением точки по многообразию вращения в поле действия потенциала. Повторим, что такие системы являются интегрируемыми гамильтоновыми системами Эта задача возникла как обобщение известной задачи об изучении топологии интегрируемых геодезических потоков на поверхностях вращения (т.е. систем с нулевым потенциальным полем). Топология интегрируемых геодезических потоков хорошо изучена: важные результаты получены в работах А.Т.Фоменко, А.Бессе, М.Энгмана, А.В.Болсинова, Б.Йовановича, Т.З.Нгуена, Л.С.Поляковой, Н.В.Коровиной, Е.А.Кудрявцевой, Д.А.Федосеева, Е.О.Кантонистовой и М.В.Новикова.

Сформулируем основную теорему классификации геодезических потоков на сфере, полученную Т.З.Нгуеном и Л.С.Поляковой. В дальнейшем сравним полученные нами результаты (для систем с потенциалом) с их результатом.

Теорема 2. (Т.З.Нгуен, Л.С.Полякова). Рассмотрим на сфере геодезический поток ри-мановой метрики вида

где 9,tp — стандартные сферические координаты.

1. Тогда отвечающая этому геодезическому потоку молекула имеет вид, показанный на рисунке (молекула на рисунке состоит из двух одинаковых частей W(f), и W(f) = W(f) \ UA). В вершинах графа стоят атомы А, В и 14. На ребрах между седловыми атомами внутри каждой W(f) метки г равны со, на ребрах между седловыми атомами и атомами А г-метки равны нулю, все е-метки равны +1.

2. Если молекула отлична от А — А, то на единственном центральном ребре (оно соединяет два седловых атома) метка г равна со, а е-метка равна — 1. Метка п на единственной семье, состоящей из всех седловых атомов, равна 2.

3. Если молекула имеет вид А — А, то метки следующие: г = 1/2, є = +1.

A I A

=+1

fl=2

Рис. 2: меченые молекулы для геодезического потока на сфере.

В дипломной работе М.В.Новикова впервые поставлена задача исследования топологии интегрируемых гамильтоновых систем на поверхностях вращения в потенциальном поле. М.В.Новиков исследует бифуркационные диаграммы таких систем. В работе сделаны значительные продвижения в поставленной задаче, а именно, исследованы типы особых точек ранга ноль отображения момента, найдены параметрические уравнения дуг бифуркационной диаграммы, в неявном виде найдены условия существования точек возврата и исследовано поведение бифуркационных дуг в окрестности этих точек. Также исследован тип точек, составляющих бифуркационные дуги (эллиптическая, гиперболическая, вырожденная).

В настоящей работе продолжено исследование бифуркационных диаграмм систем на поверхностях вращения, а также изучена топология данных систем.

Цели и задачи диссертации

Основной целью настоящей диссертации является лиувиллева классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле. Для этого решаются следующие задачи.

4. Поиск условий на метрику и потенциал, при которых число кривых бифуркационной диаграммы конечно.

5. Нахождение явных условий существования точек возврата бифуркационных кривых, а также условий, гарантирующих конечность (или бесконечность) числа точек возврата.

6. Классификация типов всех бифуркационных дуг (эллиптическая, гиперболическая).

7. Поиск критериев вырожденности или невырожденности точек бифуркационной диаграммы.

8. Классификация всевозможных типов взаимного расположения бифуркационных дуг, включая их пересечение и самопересечение.

9. Алгоритм построения бифуркационного комплекса.

10. Классификация слоений Лиувилля, возникающих в системах на многообразиях вращения, с точностью до грубой лиувиллевой эквивалентности.

11. Вывод явных формул для переменных действия, построение по ним решеток переменных действия.

12. Алгоритм вычисления по решеткам переменных действия инвариантов Фоменко-Цишанга и матриц монодромии изолированных особых значений ранга 0.

10) Как приложение метода вычисления инвариантов Фоменко-Цишанга и матриц монодромии по решеткам переменных действия, исследование с помощью предъявленного алгоритма обобщенного случая Лагранжа.

Теоретическая и практическая значимость работы

Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут использоваться для исследования топологии интегрируемых гамильтоновых систем, в частности, при анализе различных обобщений изученного в работе класса систем.

В работе найден новый класс лиувиллевой эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем, который пополняет список ранее известных классов эквивалентности. Это дает возможность поиска интегрируемых гамильтоновых систем, лиувиллево эквивалентных изученным в данной диссертации.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно. В диссертации получена полная лиувиллева классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения, гомеоморфных двумерной сфере, в поле действия потенциала. Также изучен и применен к конкретным системам (к системам на многообразиях вращения, а также к обобщенному случаю Лагранжа) эффективный метод вычисления инвариантов Фоменко-Цишанга и матриц монодромии изолированных особых значений ранга 0 — решетки переменных действия.

Методология и методы исследования

В диссертации используются методы дифференциальной геометрии, лагранжевой и га-мильтоновой механики, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, математического анализа, а также инструменты компьютерного моделирования.

Положения, выносимые на защиту

1. В работе получена полная классификация систем на многообразиях вращения с потенциалом на изоэнергетических 3-многообразиях с точностью до лиувиллевой эквивалентности. Иными словами, классифицированы все соответствующие слоения Лиувил-ля. Эта классификация получена на основе вычисления инвариантов Фоменко-Цишанга (меченых молекул) исследуемых систем (подробнее см.теорему 6 из параграфа 1.8).

2. Получена классификация всех соответствующих изоэнергетических 3-многообразий вместе со слоениями Лиувилля на них (более подробно см.теорему 6 и лемму 22 из параграфа 1.8).

3. Доказано, что интегрируемые системы на двумерных поверхностях вращения с гладким потенциалом, ограниченные на связные компоненты трехмерных изоэнергетических поверхностей, в некоторых случаях топологически (лиувиллево) эквивалентны

различным классическим интегрируемым динамическим системам (подробнее см. параграф 1.9).

Комментарий 3.1. Если молекула исследуемой системы имеет тип А — А, то система топологически эквивалентна интегрируемым системам Жуковского, Ковалевской, случаю динамики шероховатого эллипсоида на плоскости и некоторым другим системам (для подходящих зон энергии этих систем).

Комментарий 3.2. В том случае, когда молекула имеет вид дерева (см.теорему 6), доказано, что система на многообразии вращения с потенциалом, т.е. интегрируемая система вида (f(r),V(r)), "моделируется" некоторым набором геодезических потоков, а именно, в каждой энергетической зоне, границами которой являются особые значения энергии (критические значения энергии hi, а также значения энергии hj точек возврата и значения энергии hk точек пересечения и самопересечения бифуркационных дуг на бифуркационном комплексе), система моделируется геодезическим потоком некоторой метрики вращения (при нулевом потенциале). Более точно, для каждой такой зоны по паре (f(r),V(r)) алгоритмически строится новая метрика вращения, задаваемая некоторой функцией F(r), геодезический поток которой при h > V_max лиувиллево эквивалентен, а при маленьких энергиях h — грубо эквивалентен исходной системе в выбранной зоне. В этом смысле любая интегрируемая система на поверхности вращения (f(r),V(r)) является "композицией" более простых интегрируемых систем, являющихся геодезическими потоками (без потенциала) на поверхностях вращения. При больших энергиях (h > V_max) утверждение верно благодаря принципу Мопертюи. Однако, так как потоки с потенциалом при малых энергиях ведут себя более сложно, чем геодезические потоки, класс систем с потенциалом не вкладывается полностью в класс систем без потенцила (более подробно см. параграф 1.9).

Апробация диссертации

Результаты диссертации неоднократно докладывались автором на следующих научно-ислледовательских семинарах:

1. на семинаре "Современные геометрические методы" под руководством акад. А.Т. Фоменко, проф. А.С. Мищенко, проф. А.В. Болсинова, проф. А.А. Ошемкова, доц. Е.А. Кудрявцевой, доц. И.М. Никонова, асе. А.Ю. Коняева, асе. A.M. Изосимова; 2010 - 2015 гг., неоднократно;

2. на кафедральном семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений;

3. на семинаре "Гамильтоновы системы и статистическая механика" под рук. акад. В.В. Козлова, проф. СВ. Болотина и чл.-корр. Д.В. Трещева.

Результаты диссертации докладывались автором на следующих всероссийских и международных конференциях:

4. Конференция "Ломоносов", 2010 (диплом за лучший доклад), Москва

5. Международная конференция им.Петровского, 2010, Москва

6. Конференция "Ломоносовские чтения", 2011, Москва

7. Международная зимняя школа-конференция им.Крейна, 2011, Воронеж;

5. Конференция "Ломоносов", 2012, Москва

6. Конференция "Александровские чтения", МГУ, 2013.

7. Workshop "Probability, Analysis and Geometry", Ulm, Germany, 2013

8. Международная зимняя школа-конференция им.Крейна, 2014, Воронеж;

9. Конференция "Ломоносов", 2015, Москва

10. Conference on Finite Dimensional Integrable Systems in Geometry and Mathematical Physics, Bedlewo, Poland, 2015

11. Международная зимняя школа-конференция им.Крейна, 2016, Воронеж;

Публикации

Основные результаты диссертации представлены в 5 работах [1-5], 5 из которых из списка ВАК, список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Исследование поведения бифуркационных кривых в окрестности точек возврата. Теорема классификации бифуркационных диаграмм изучаемых систем

Рассмотрим риманово многообразие М « S2 с метрикой д, для которой определено эффективное действие группы S1 (окружности) изометриями (такая метрика д называется метрикой вращения, а соответствующее многообразие М — многообразием вращения). Пусть N и S — неподвижные точки . -действия, назовем их северным и южным полюсами многообразия М « S2 (известно, что их ровно две, см. книгу А.Бессе [23]). Выберем на М специальные координаты (нормальные координаты) следующим образом. Пусть 70 — геодезическая, соединяющая N и S. Изометрии R (т.е. сдвиги на угол р вдоль орбит S1 -действия) переводят геодезические в геодезические. Для любой точки т Є М \ {N, S} существует единственное значение ір тос127г, такое что т Є ДД70) = 7 - Определим параметр г как длину отрезка геодезической 7 7 соединяющей точки N и т. Тогда точка т будет иметь координаты (г, ф). Можно показать (см. книгу А.Бессе [23]), что метрику g можно записать в виде ds2 = dr2 + /2(r)V, где f(r) : [0,L] — Ш — некоторая функция, положительная на (0,L), где L — длина геодезической 7о- Также выполнены условия /(0) = f(L) = 0. Мы будем рассматривать гладкие функции /(г). Пусть V(r) — гладкая функция на отрезке [0,L], назовем её потенциалом.

Легко показать, что метрика на многообразии М регулярна вне полюсов. Сформулируем утверждение о том, когда метрика на М будет являться гладкой в полюсах.

Комментарий. Употребляемый здесь термин "многообразие вращения" отнюдь не означает, что поверхность М с метрикой ds2 обязательно должна вкладываться в евклидово пространство Е3 в виде поверхности вращения, где ds2 индуцируется объемлющей евклидовой метрикой. Более того, известны примеры, когда это не так (см.более подробно лемму 2). Например, известен целый класс поверхностей вращения, не вкладывающихся в R3, являющихся многообразиями Бертрана (см. работу Е.А.Кудрявцевой и Д.А.Федосеева [30]). В случае, если многообразие М вкладывается в Е3; функция /(г) имеет смысл расстояния до оси вращения. Лемма 1 (А.Бессе [23]). Метрика на многообразии вращения М и функция V(r) на нем являются гладкими в полюсах (т.е. в точках г = 0 и г = L), если существуют гладкие функции F = F(r) и W = W(r), определенные на всей числовой прямой Ш, такие что [о,ь] = / W[O,L] = V и выполнены следующие условия: 1) F(—r) = —F(r) = F{2L—r), т.е. функции F(r) и F(L+r) нечетны (или, что эквивалентно, функция F(r) — периодична с периодом 2L и нечетна) и F (0) = 1, F (L) = -1; 2) W(—r) = W(r) = W(2L — г), т.е. функции W(r) и W(L + г) четны (или, что эквивалентно, функция W(r) — периодична с периодом 2L и четна).

Комментарий. На самом деле, функции F(r) и W(r) на всей числовой прямой нам в дальнейшем не понадобятся. Их существование важно лишь в окрестности концов отрезка [0,L] для проверки четности и нечетности функций /(г) и V(r). Другими словами, для наших целей достаточно того, чтобы функции /(г) и V(r) продолжались в окрестности концов отрезка [О, L] должным образом.

Рассмотрим натуральную механическую систему на кокасательном расслоении Т М к М со стандартной симплектической структурой ш = dp A iq и функцией Гамильтона Н=\дг Шр3 + У(Ч), (1) где q = (g1,?2) — локальные координаты на Ми S2, р = (рі,Рг) соответствующие импульсы, т.е. координаты в Т М, а дг: — матрица, обратная к матрице метрики д. Определение 9 Пусть (М, д) — многообразие вращения с метрикой вращения ds2 = dr2 + f2(r)dtp2. Пусть функции f (г), г Є [0,L], uV(r),r Є [0,L], удовлетворяют условиям леммы 1. Тогда будем говорить, что пара функций (f(r),V(r)),r Є [0,L], задает натуральную механическую систему на римановом многообразии вращения (М,д).

Отметим, что многообразие (М,д) не всегда вкладывается в IR3, т.е. оно не обяза тельно является поверхностью вращения. Сформулируем соответствующий критерий.

Лемма 2 (М.Епдтап [25]). Многообразие вращения (М,д) изометрично С1 -вкладывается в Е3 тогда и только тогда, когда / (0) = l,f (L) = — 1 и / (г) 1 для всех г Є [0,L].

Замечание. В случае, когда многообразие М вкладывается в К3, существует функция и(г), такая что f (r)2 + и (г)2 = 1, и поверхность М получается вращением кривой (f(r),u(r)) Є R2(x,z) вокруг оси Oz, т.е. параметрически задается следующим образом: (f(r)cos(f,f(r)sinif,u(r)),r Є [0,L],tp Є [0,2тг]. Всюду далее в статье будем считать, что функции f(r),V(r),r Є [0,L] удовлетворяют условиям леммы 1.

Утверждение 1 Гамилътонова система с гамильтонианом (1) на многообразии вращения для всех пар (f(r),V(r)) является вполне интегрируемой в смысле Ли-увилля. Доказательство. 1) Фазовое пространство системы четырехмерно — каждая его точка задает ся координатами (pr,pv,r,tp), где ipr,pv) — импульсы точки, (r,ip) — координаты точки. 2) Система имеет два первых интеграла: интеграл энергии Я = + - — + V(r) 2 2/2(r) [ и дополнительный первый интеграл К = р р (так как pv = —- -=0). Отметим, что интеграл К определен на всем фазовом пространстве, в том числе, в полюсах. 3) Движение точки по многообразию вращения, заданному функцией f(r), в поле действия потенциала V{r) задается уравнениями Гамильтона: . _ дН . _дН Pi 7\ Qi т; OQi dpi Таким образом, система гамильтонова, её фазовое пространство четырехмерно, и она имеет два первых интеграла, поэтому система интегрируема (см., например, работы А.В.Болсинова, А.Т.Фоменко [1] и Е.О.Кантонистовой [26],[27],[28]). П.

Лемма 3 Натуральная механическая система на многообразии вращения М, такая что f (г)2 + V (г)2 О, имеет ровно две особые точки (в Т М) ранга 0: точку (р, q) = (0, N) и точку (р, q) = (0, S), а также 2-параметрическое семейство особых точек (pr,pv,r,tp) = (0,k(r),r,ip) ранга 1 с параметрами (г,ір) Є I х R/2TTZ, где к (г) := ±/(г)л/ ,,У , г Є I, I — открытое подмножество интервала (0,L), задаваемое неравенством V (r)f (r) 0 (и состоящее из конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов Ц = (r\,rl) и, возможно, "граничных" интервалов (0, г і) и (r2, L)), N и S — северный и южный полюсы многообразия вращения М (с координатой г = 0 и г = L соответственно). На любом конце любого интервала U выполнено либо V (r)f (r) = 0, либо г = 0 или г = L.

Алгоритм построения бифуркационного комплекса исследуемой системы

Докажем пункт 5) теоремы. а) Для дуги типа "клюв" на концах области определения {г\, гг2) имеем f {r\) = f {r%2) = 0, поэтому функция к (г) выглядит так, как на рисунке 7а. Пусть У (г) 0 на (г\,г2). Изобразим схематически, пользуясь леммой 4, график функции Uk0(r) для некоторого к0 к , где к — наименьшее значение функции к (г) на (г\,г2). График показан на рисунке 7Ь. Локальный минимум функции Uk0(r) соответствует точке на дуге типа А бифуркационной кривой, локальный максимум — точке на дуге типа В. Мы видим, что при Н = hiocmin значение параметра г больше, чем при Н = hiocmax, т.е. пересекая "клюв" прямой к = ко, пересечение с дугой типа В происходит при наименьшем значении параметра г. Значит, движение по "клюву" начинается из бесконечности по дуге типа В (см.рис.7 1). При V (r) 0 имеем движение по "клюву" в противоположном направлении (см.рис.7с,е).

Пусть для дуги типа "парабола" V (r\) = 0. В этом случае поведение функции к (г) изображено на рисунке 8а, т.е. в малой окрестности {г\,г\ + є) имеем к (г) 0. Согласно лемме 5, в этой окрестности h (r) 0, поэтому вектор скорости на "параболе" при движении от её "вершины", лежит в первой четверти. Т.е. увеличение параметра г начинается от вершины (см.рис.8Ь). В случае, если У(гг2) = 0 имеем движение в противоположную сторону (см.рис.8с,d).

с) Пусть на дуге типа "лунка", определенной на интервале условие V (r) 0. Пользуясь аналогичными пункту а) рассуждениями, получаем, что при увеличении параметра г движение по дуге начинается из точки, лежащей на оси Л,, по дуге типа А. При V(r) 0 движение по дуге происходит в противоположную сторону (см.рис.Эа-е).П. a) К

Отметим, что если для некоторого значения ко существует больше двух точек локального максимума г$, в которых значения функции /fc0(r$) совпадают, то есть на бифуркационной кривой и на бифуркационном комплексе (см.определение 22) в некоторой точке пересекаются больше двух дуг типа В, то в прообразе этой точки бифуркационной диаграммы в фазовом пространстве происходит гиперболическая перестройка, имеющая тип 14 (см.лемму 21).

Далее будем считать, что пара функций (/(г), V{r)) задающих систему на многообразии вращения, удовлетворяет всем условиям теоремы 4. 1.4 Анализ взаимного расположения дуг бифуркационной диаграммы

В этом параграфе изучим вопрос о взаимном расположении бифуркационных дуг: об их пересечении друг с другом и о самопересечении. Из теоремы 3 следует, что точки возврата — это точки (h(r ), к(г )) такие, что к (г ) = 0. Таким образом, регулярные части бифуркационной кривой заданы на области N-1 г=0 где Гд = Гі, Гдг = г2 и каждому интервалу из (г ,г +1) отвечает гладкая кривая с концами в точках возврата (в случае первого и последнего интервалов один из концов кривых может уходить в бесконечность).

Ответим на следующие вопросы: может ли кривая, определенная на интервале (г ,г +1), самопересекаться? могут ли пересекаться кривые, определенные на соседних интервалах? могут ли пересекаться кривые, определенные не на соседних интервалах? могут ли пересекаться бесконечные "хвосты" кривой бифуркационной диаграммы при больших значениях энергии h?

Лемма 12 Поддуга бифуркационной кривой (см.опр.12), определенная на интервале (г ,г +1); не может самопересекаться.

Доказательство. Пусть кривая самопересекается (см.рис. 10), тогда на ней существуют точки, в которых вектор скорости не принадлежит 1 или 3 четверти. Получаем противоречие с утверждением леммы 5. Действительно, если кривая самопересекается, то у нее существуют такие два значения параметра to,ti, такие что 7( 0) = т( і)- Тогда хотя бы в какой-то точке на отрезке [to? і] касательный вектор обязан будет выйти за пределы первой или третьей четверти. П. Рис. 10: бифуркационная дуга с самопересечением

Лемма 13 Соседние noddyги одной и той же дуги бифуркационной кривой (т.е. дуги, определенные на соседних интервалах, разделенных точкой возврата) не пересекаются .

Доказательство. Пусть к (а) = к{Ь) = fc0, где а, Ъ — значения параметра г с соседних интервалов (см. рисунок 11).

На интервале (а, Ъ) график функции к (г) находится полностью под прямой к = fc0, либо полностью над ней (т.к. а и Ъ — соседние корни уравнения к (г) = ко в силу того, что эти точки отвечают соседним кривым). Тогда по лемме 4 функция Uk0(r) монотонна на (а, Ь). (см. рис.11), поэтому 40(а) Uk0(b), то есть не существует значений а и Ъ параметра г, принадлежащих соседним подинтервалам, что к (а) = к{Ь) и h{a) = h(b) одновременно. Это и означает требуемое. П.

Доказательство. Приведем примеры, как могут выглядеть графики функций к (г) и Uk0(r), чтобы реализовывались все виды пересечений дуг: см. рисунок 12а,Ь,с. Бифуркационная кривая, реализующая сразу все типы пересечений, показана на рисунке 12d.D. Рис. 12: a)-c) возможный вид графиков функций к2{г) и Uk0(r), реализующих различные типы пересечения бифуркационных дуг; d) бифуркационная кривая, реализующая все возможные типы пересечения бифуркационных дуг. Лемма 15 Два бесконечных "хвоста" (т.е. два неограниченных регулярных участка) одной и той оке дуги бифуркационной кривой (это дуга типа "клюв", так как хвосты "параболы", очевидно, не пересекаются в силу того, что лежат в разных полуплоскостях) не пересекаются при больших значениях к, а значит, и при больших значениях энергии h (так как "хвосты" уходят на бесконечность по h и по к одновременно).

Доказательство. Нарисуем типичный вид графика функции к (г) на интервале (гі,Г2). Эта функция может иметь несколько локальных экстремумов на этом интервале. Фиксируем значение ко большее самого большого локального максимума. Тогда график пересекается с прямой к = ко ровно в двух точках, которые соответствуют значениям а и Ъ параметра г, причем г = а принадлежит первой гладкой дуге бифуркационной кривой, а г = Ъ — последней. В силу того, что пересечений ровно два, пользуясь леммой 4, получаем, что &40(г) монотонен на интервале (а, 6), поэтому Uk0(a) ф Uk0{b) и, значит, h(a) ф h(b) (см.рис.13).П.

Решетки переменных действия. Определения

Разрезание комплекса по неособой связной компоненте Q3 означает, что мы разрезаем некоторое ребро графа GgoriZ. Ясно, что при этом граф распадется на два связных куска.

Также рассмотрим связную компоненту сечения бифуркационного комплекса уровнем энергии {h = ho}. Она является связным графом Gvertic} каждая половина которого имеет такую же струтктуру: если ориентировать его ребра по возрастанию на них абсолютного значения интеграла К, то в каждую вершину будет входить ровно одно ребро.

Возьмем произвольную точку на комплексе и для энергии ho этой точки построим граф Ghulrtic. Спустим (поднимем) эту точку по построенному графу на уровень к = 0, т.е. на граф GgoriZ. Она попадет на одну из двух связных компонент графа Ggoriz- Тем самым, на всех точках комплекса без образа Q3 можно ввести отношение эквивалентности. Две точки эквивалентны, если они после описанной процедуры попадают в одну компоненту разрезанного графа Ggoriz. Соответственно, и MA\Q3 распадается на два связных подмножества: каждое множество состоит из всех тех точек, чьи образы на комплексе эквивалентны.

Однако само М4 \ Q3 при этом не связно. Действительно, рассмотрим по точке из каждого связного куска. Предположим, что их можно соединить каким-то путем. Стянем этот путь по вертикальным графам на горизонтальный граф. Его концы, тем самым, окажутся в разных связных компонентах разрезанного графа Ggoriz и, следовательно, не могут быть соединены непрерывным путем. П.

Доказательство. Будем проецировать Q\ на сферу S2 при помощи проекции, определяющей касательное расслоение к сфере. Для изучения проекции нам понадобится график потенциала, т.е. функции V(r). Напомним, как устроена проекция. Для фиксированного значения энергии h = h0 в точку (г, ф) на сфере при проекции переходят все точки фазового пространства (г, tp,pr,k), удовлетворяющие условию То есть если хотя бы одна точка (г, р,рг,к) удовлетворяет этому условию, то при данном значении h = ho точка (г, ф) принадлежит проекции. 1 случай. Функция V{r) монотонна (рис.20а).

Пусть V(r) возрастает на [а; Ь]. Тогда, если h h(a) (h h(b)), тор Лиувилля проектируется в "шапку" на сфере S2 (так как в данном случае V(a) = h(a) и нам подходят все значения г Є [а,Го], такие что г о Ъ). Значит, в этом случае Q3 S3, т.е. метка г = 0 (см. книгу А.В.Болсинова, А.Т.Фоменко [1]). При h h(b) тор Лиувилля проектируется во всю сферу. В этом случае Q3 КР3, т.е. метка г = 1/2. 2 случай. На (а; Ъ) существуют локальные экстремумы функции V{r) (рис.20b). В этом случае появляется новый вариант проекции тора Лиувилля на S2. Пусть энергия h находится между двумя соседними локальными экстремумами функции V(r), а именно, hmin h hmax Тогда проекция тора Лиувилля на сферу — это кольцо (параметр г может изменяться внутри отрезка [гі, гг], где Г\,Г2 — корни уравнения V(r) = h). Значит, в этом случае Q3 S1 х S21 следовательно, метка г = оо.

Затем, при увеличении уровня энергии h, при h hmax эффект, возникающий от немонотонности потенциала, пропадает. Например, если, как на рисунке 20Ь, h(a) — глобальный минимум на [а; Ь] (на бифуркационной диаграмме это точка ранга 0, соответствующая значению г = а), т.е. в малой окрестности точки a, a именно, на интервале (а, а + є) поверхность Q3 — это сфера, то при h hmax поверхность Q l снова является сферой S3.

Отсюда, в частности, следует, что тип поверхности Q3 до "лунки" на бифуркационной диаграмме, не содержащей особых точек ранга 0, и тип поверхности Q3 после "лунки", совпадают. Другими словами, "лунки" не влияют на тип изоэнерге-тической поверхности. На тип Q3 влияют только особые точки ранга 0.П Рис. 20: виды проекций Q\ на сферу S2 в зависимости от функции V(r). Вернемся к доказательству пункта d) теоремы. Метка на ребре А — А полностью определяется топологическим типом поверхности Q\ (см. книгу А.В.Болсинова, А.Т.Фоменко [1]). Напомним, что система на многообразии вращения имеет ровно две особые точки ранга 0 (см. лемму 3). Пусть энергии, соответствующие этим точкам, это hi и /i2, h\ h2. Тогда, пользуясь результатами леммы 22, получаем следующее: если молекула А — А соответствует энергии h h\, то Q\ S1 х S2, значит, метка г равна ос; при hi h h2 имеем Q\ « 3, поэтому г = 0; при h h2 изоэнергетическая поверхность Q\ « RP3, а значит, г = 1/2. Во всех случаях можно считать, что метка є = +1, выбрав подходящую ориентацию Q\. Нам осталось доказать пункт е), т.е. вычислить метку п. Для систем на многообразиях вращения метку п можно вычислять только для семьи Vs — Ц (г = оо).

Разрежем многообразие Q\ на две части вдоль поверхности к = 0. Оно распадается на два куска: Q+ и Q_. Каждый из этих кусков имеет тип прямого произведения (см. книгу А.В.Болсинова, А.Т.Фоменко [1]). Ясно, что склейка Q+ и Q_ по тору Т0 = {Н = h, К = 0} дает многообразие Q\. На конце каждого куска (Q+ и Q-) находится седловой атом. Вблизи этого атома первый базисный цикл на торе — это слой расслоения Зейферта. Ясно, что если А+ и А — первые базисные циклы на торах в Q+ и Q_ соответственно, то А+ = — А , поэтому матрица склейки имеет вид -і oN V 1, где р — некоторое целое число. Известно, что р полностью определяет фундаментальную группу многообразия Q\, склеенного из двух полноторий (в данном случае это Q+ и Q_), а именно: 7Гі((5 ) = Zp. Поэтому, если Q\ « Sl х S21 то р = 0. Если Ql « S3, то р = 1. Если Ql « ЕР3, то р = 2.

Алгоритм вычисления матрицы склейки по решетке переменных действия

Меченая молекула для системы на многообразии вращения может быть одного из двух типов: А — А или W — W, при этом метки на центральном ребре Ц — Vi следующие: г = оо, є = — 1. Молекула второго типа как граф встречается во многих интегрируемых системах (случай Жуковского, случай динамики шероховатого эллипсоида на плоскости, система Ковалевской), однако указанный набор меток на ребре Vi — Vi встречается лишь в случае интегрируемых геодезических потоков на многообразиях вращения (формально эта система отличается от исследуемой автором, так как функция V{r) = 0 для геодезических потоков, т.е. потенциал не является функцией Морса). Поэтому система на многообразии вращения, обладающая при некотором Н = h меченой молекулой второго типа, может оказаться лиувиллево эквивалентной среди изученных систем только геодезическому потоку на некотором многообразии вращения при некоторых значениях энергии Н = h (этот вопрос мы обсудим ниже).

Рассмотрим молекулу первого типа: А —А. Она обладает метками г = 0, г = 1/2 или г = оо в зависимости от значения энергии Н = h (см.теорему 6). Такая молекула встречается практически во всех известных системах. Поэтому система на многообразии вращения при тех значениях энергии Н = h, при которых она имеет меченую молекулу А — А, является лиувиллево эквивалентной почти всем классическим интегрируемым системам с такой же молекулой. Опишем подробнее случай лиувиллевой эквивалентности исследуемых систем и геодезических потоков. Напомним, что изоэнергетическая поверхность Q\ системы на многообразии вращения может иметь несколько компонент связности (см. теорему 5).

Утверждение 8 Для любой системы на многообразии вращения, заданной парой функций (f(r),V(r)), для любого регулярного значения энергии Н = ho (кроме значений энергии точек возврата и точек типа Ц ф В бифуркационных кривых) и для любой связной компоненты в Q С Q существует геодезический поток метрики вращения, задаваемый функцией F0(r), такой, что система (f(r),V(r)) на Q и система (Fo(r),0) на любом положительном уровне энергии лиувиллево эквивалентны при h0 max V(r) и грубо лиувиллево эквивалентны при меньших энергиях ho (т.е. их молекулы без меток совпадают).

Доказательство. Геодезический поток метрики вращения на многообразии вращения, т.е. поток без потенциала, задается функцией F0(r), г Є [О, L]. Гамильтониан такой системы имеет вид H = V1 к2 2 2F02(r) где К — дополнительный первый интеграл. Из этих выражений получаем, что бифуркационные дуги имеют вид h = of\, ,, где / (гЛ = 0. Т.е. бифуркацион-ная диаграмма для геодезических потоков состоит из нескольких парабол с общей вершиной. Параболы могут иметь тип А или , при этом каждая изоэнергетиче-ская поверхность Q\ связна, и ее молекула имеет вид дерева, описанного в теореме классификации меченых молекул на многообразиях вращения, либо она имеет вид А- А.

Из принципа Мопертюи следует, что для каждой системы на многообразии вращения, заданной парой функций (/(г), V(r)) при h Vmax существует геодезический поток (т.е. существует задающая его функция Fo(r)), лиувиллево (и даже траєкторно) эквивалентный данной системе с потенциалом. Однако при h Vmax принцип Мопертюи применять нельзя. Опишем подробнее этот случай.

Так как мы исследуем лиувиллеву эквивалентность систем на связных компонентах Q3, то для каждой связной компоненты системы с потенциалом можно найти систему без потенциала (геодезический поток) с такой же молекулой. Более подробно: слоение Лиувилля на Q полностью определяется функцией к (г) = ±y/(2(/io — V(r)))f2(r) для системы на многообразии вращения с потенциалом, и функцией к (г) = ±- /2fa,F02(r) для геодезического потока (подробнее см. лемму 21 выше). Отсюда следует, что для данных (f(r),V(r),h0) и, например, для энергии h = 1, функция Fo(r) = f(r)y/ho — V(r). Тогда грубые молекулы (молекулы без меток) систем совпадают. Однако, как хорошо известно (см. теорему 2 Нгуена и Поляковой, изоэнергетическая поверхность Q\ для геодезических потоков — это всегда КР3 (для систем с потенциалом это верно только при Л,0 Vmax).\I\

Так как бифуркационная диаграмма геодезического потока состоит из парабол с общей вершиной, то в ней нет бифуркационных значений энергии. В исследуемых системах с потенциалом (т.е. не являющихся геодезическим потоком) бифуркационная диаграмма устроена сложнее: на бифуркационной диаграмме (и, следовательно, в топологии) системы может происходить произвольное (но конечное) число перестроек. Поэтому система на Q\ в различных областях изменения энергии h может иметь различные молекулы.

1. В целом системы на многообразиях вращения с потенциалом не лиувиллево эквивалентны потокам без потенциала, т.е. в классе лиувиллево эквивалентных систем убрать потенциал нельзя, то есть класс систем с потенциалом существенно шире, чем класс метрик вращения без потенциала.

2. Тем не менее, на больших энергиях (согласно принципу Мопертюи) потенциал можно убрать. Более того, при больших энергиях системы с потенциалом являются траєкторно эквивалентными геодезическим потокам.

3. В малых энергиях картина сложнее и интереснее: оказывается, можно разрезать область малых энергий на зоны со следующими свойствами: рассмотрим одну зону энергий. Тогда в общем случае система в этой зоне лиувиллево не эквивалентна потоку без потенциала, так как при данных энергиях типы Q3 могут не совпадать (для геодезических потоков всегда Q3 КР3, а для систем с потенциалом Q3 « S1 х S21 S3 или ЕР3, см.лемму 22)

4. Тем не менее, интересно, что в потоках с потенциалом (при малых энергиях К) остается "след" потоков с нулевым потенциалом, поэтому образно можно сказать, что произвольная система с потенциалом распадается в композицию нескольких систем, часть которых грубо (но не тонко!) эквивалентна потокам с нулевым потенциалом, а при больших энергиях — лиувиллево им эквивалентна. Приведем другой, наглядный способ построения функции F0(r), задающей геодезический поток, лиувиллево (или грубо лиувиллево) эквивалентный данной системе с потенциалом в фиксированной зоне энергий. Отметим, что при h Vmax выбор функции FQ{T) обусловлен принципом Мопертюи, однако приведенные ниже рассуждения верны для всех допустимых энергий h (так как мы не занимаемся исследованием траекторной эквивалентности систем, то рассуждения ниже для каждой зоны энергии дают целый класс подходящих функций Fo(r), а не единственную функцию, как в принципе Мопертюи).

Пусть молекула на Q3 С Q, h Є [hi, hi+i], построенная для системы на многообразии вращения с потенциалом, имеет вид дерева, т.е. в вершинах графа стоят атомы А и В. Посчитаем количество атомов А и атомов В в одной половине молекулы (пусть мы имеем р атомов А и q атомов В). Тогда, согласно предыдущим рассуждениям, искомая функция Fo(r), задающая многообразие с геодезическим потоком на ней, должна иметь р локальных максимумов и q локальных минимумов, причем для построения функции F0(r) нам важно только взаимное расположение её значений в локальных минимумах и максимумах.

Число атомов А и В в выбранной зоне энергии для исследуемой системы (/(г), V{r)) можно определить по бифуркационной диаграмме следующим образом:

a) вычисляем количество пар бифуркационных поддуг, пересекаемых заданным уровнем энергии и имеющих общую точку возврата — каждая такая пара поддуг добавляет один атом А и один атом В в молекулу;

b) вычисляем количество "парабол", пересекаемых заданным уровнем энергии, а также определяем их тип — каждая "парабола" типа А (типа В) добавляет в молекулу два атома А (или В).

Таким образом, для молекулы-представителя каждого энергетического "блока" мы строим соответствующую функцию Fi(r), задающую многообразие вращения и, тем самым, эквивалентный (в указанном выше смысле) рассматриваемому "блоку" геодезический поток.