Содержание к диссертации
Введение
1 Группа косиеёпредставления 13
1.1 Определение группы кос 13
1.2 Представление Артина группы кос 21
1.3 Представление Бурау группы кос и свободное дифференциальное исчисление Фокса 24
1.4 Каноническая форма косы 27
1.5 Распознавание сопряжённости кос 31
1.6 Классификация автоморфизмов гиперболических поверхностей 35
1.7 Классификация кос по Нильсену-Тёрстону 41
1.8 Теория Перрона-Фробениуса 49
1.9 Железнодорожные пути 52
2 Энтропия кос 63
2.1 Показатель экспоненциального роста последовательности 63
2.2 Топологическая энтропия 64
2.3 Алгебраическая энтропия 69
2.4 Определение энтропии кос 72
2.5 Оценка энтропии кос 73
2.6 Вычисление энтропии кос 77
3 Косыизтрёх нитей 79
3.1 Группа гометопий двумерного тора 79
3.2 Представление B3 в PSL2(Z) 80
3.3 Явная формула для энтропии кос из трёх нитей 82
3.4 Свойства многочленов Pn 86
3.5 Распознавание типа косы по Нильсену-Тёрстону из трёх нитей 89
Заключение 101
Литература
- Представление Бурау группы кос и свободное дифференциальное исчисление Фокса
- Теория Перрона-Фробениуса
- Определение энтропии кос
- Явная формула для энтропии кос из трёх нитей
Представление Бурау группы кос и свободное дифференциальное исчисление Фокса
Схематичное изображение композиции гомеоморфизмов будет, очевидно, получаться присоединением изображения второго гомеоморфизма поверх первого. Это и есть операция произведения кос. Алгебраически ей соответствует операция конкатенации (объединения) слов в образующих i. Вот пример косы 132- 1.
Особую роль в группе кос играет коса Гарсайда А — положительное скручивание всех нитей на полоборота. В образующих а І коса А записывается следующим образом: Д = (сгі(72 вадрат косы Гарсайда А , очевидно, является скручиванием Дэна вдоль кривой, гомотопной компоненте края 7о. В группе гомеотопий поверхности М коса А2 задаёт тривиальный элемент. Однако в группе кос, состоящей из гомеотопий, оставляющих поточечно неподвижной компоненту края 7с, коса А не будет тривиальной. И можно показать, что только целочисленные степени косы А представляют собой те нетривиальные косы, которым соответствуют тривиальные гомеотопии поверхности М.
Другими словами, множество целочисленных степеней косы А есть ядро естественного гомоморфизма Вп — Homeot(M). Если взять фактор группы Вп по косе А , то получим подгруппу в группе гомеотопий поверхности М состоящую из классов отображений переводящих компоненту края 7о в себя Bn/iA2k I kez\ = Homeot(M, 7о) С Homeot(M). Заметим здесь, что порождаемая косой А2 бесконечная циклическая подгруппа группы Вп является при п 3 центром этой группы. Группа 2 является коммутативной, и поэтому её центр совпадает со всей группой. Группа Вл тривиальна. Рассмотрим теперь один, часто используемый гомоморфизм группы кос в симметрическую группу и дадим определение крашеных кос.
Каждая коса индуцирует перестановку на множестве граничных компонент 7ь iln, что приводит к гомоморфизму Вп — Sn, (1.2) где Sn есть группа перестановок п элементов. Например, косе Гарсайда А соответствует перестановка 1 2 ... п — 1 п \ п п — 1 ... 2 1 Определение 1.5. Ядро гомоморфизма (1.2) называется группой крашеных кос из п нитей. Зафиксируем точку XQ на граничной компоненте 7о поверхности М. Фундаментальная группа 7Гі(М, хо) изоморфна свободной группе Fn с п образующими Жі, Х2, . . . , Хп. Зафиксируем изоморфизм if : 7Гі(М, хо) — Fn. Каждая коса естественным образом индуцирует автоморфизм фундаментальной группы 7i i(M,хо), что с учётом изоморфизма ср даёт автоморфизм свободной группы Fn. Получаем гомоморфизм группы кос из п нитей в группу автоморфизмов свободной группы Fn: Вп — Aut Fn. (1.3) Определение 1.6. Гомоморфизм (1.3) называется представлением Артина группы кос. Представление Артина зависит от выбора точки хо и изоморфизма ср. Выберем их так, как показано на рисунке. Здесь указано, какие петли, представляющие элементы фундаментальной группы 7Гі(М, Хо), должны при изоморфизме if соответствовать образующим Xi, ..., хп. На поверхность М смотрим, как и ранее, со стороны внешней нормали.
При таком выборе точки XQ и изоморфизма f косе о соответствует автоморфизм свободной группы Fn, который выглядит так (будем обозначать его так же, как и саму косу):
Всюду в дальнейшем, когда речь идёт о фундаментальной группе 7Гі(М, Хо), будем иметь в виду именно такой изоморфизм (/?, что позволит представлять элементы группы 7Гі(М, XQ) как слова в алфавите хх ,..., з 1}.
Представление Артина является мономорфизмом и тем самым решает алгоритмическую проблему равенства слов в группе кос, т. е. проблему определения с помощью алгоритма, задают ли два слова из букв afl одну и ту же косу. Представление Артина не является эпиморфизмом. В дальнейшем, говоря о представлении Артина, мы всегда будем иметь в виду те автоморфизмы свободной группы, которые соответствуют косам согласно (1.4). Кроме того, мы не будем различать косы и их образы (косовые автоморфизмы) в группе Aut Fn. Так что можно написать, что Вп С Aut Fn, и говорить, что коса из п нитей задаёт автоморфизм свободной группы с п образующими. И ещё одно соглашение: поскольку косы перемножаются слева направо, условимся, что группа кос задаёт правое действие на свободной группе.
В связи с представлением Артина возникает задача распознавания косового автоморфизма и его запись в образующих ті, ..., 7n_i. Следующая теорема даёт ответ (см. [21] стр. 30-32).
Пусть задан произвольный автоморфизм f3 : Fn — Fn, т. е. задан набор слов (xi)(3,..., (хп)(3 (символ автоморфизма /3 справа, поскольку действие правое). Если для автоморфизма /3 выполняются оба условия из теоремы 1.1 (что можно проверить алгоритмически), то /3 является косовым автоморфизмом. В этом случае перестановка (/ІІ, ... ,/in), о которой идёт речь в теореме, является перестановкой, соответствующей косе при гомоморфизме (1.2). Если перестановка тривиальная (/ІІ, ... , /ІП) = (1,..., п), то коса крашеная. Так что проверка того факта, что коса крашеная, также легко устанавливается алгоритмически.
Теория Перрона-Фробениуса
Оказывается, что каждая периодическая коса с точностью до сопряжения является некоторой степенью либо косы ап, либо косы 6п, а именно имеет место следующая теорема.
Теорема 1.6 (см. [18]). Пусть коса (3 является периодической с наименьшим периодом к 1. Тогда у перестановки s(/3) может быть максимум одна неподвижная точка, а все остальные циклы имеют длину к.
Если у перестановки s(/3) нет неподвижных точек, то к является делителем п и существуют такие т,г Є Ъ, что числа тик взаимно просты, а коса (3 с точностью до сопряжения есть Если у перестановки s(/3) есть неподвижная точка, то к является делителем п — 1 и существуют такие т,г Є Ъ, что числа тик взаимно просты, а коса (3 с точностью до сопряжения есть с(іг+г)(п—і) Замечание 1.1. Иногда из определения приводимого автоморфизма исключают требование неизотопности периодическому, и приводимыми автоморфизмами называют те, для которых существует приводящая система окружностей. В этом случае классы гомеотопии периодических и приводимых автоморфизмов, а вместе с ними и кос, пересекаются. В частности, тождественный автоморфизм тогда становится не только периодическим (с периодом 1), но и приводимым. Что же касается кос, то существует хорошее дополнение к теореме 1.6.
Теорема 1.7 (см. [18]). Для периодической косы (3 с наименьшим периодом к 1 существует приводящая система окружностей тогда и только тогда, когда у перестановки s((3) существует более чем один цикл порядка к.
Перейдём теперь к распознаванию приводимых кос и их разложению на составляющие. Но прежде введём понятия внутренней и внешней составляющих косы.
Для любой приводимой косы /З Є Вп существуют приводимый гомеоморфизм f : М — М, отвечающий косе /3, и приводящая система окружностей L для него. Каждая окружность / Є L охватывает некоторые компоненты края из семейства 7ь . . ., In и, возможно, другие окружности системы L (по поводу термина «охватывает» см. 1.1).
Удалим из приводящей системы L те окружности, которые охватываются другими окружностями этой системы. Несложно заметить, что полученная система, которую снова будем обозначать через L, также является приводящей системой для исходной косы /3.
На следующем рисунке изображен возможный вид системы L до и после удаления окружностей, которые охватываются другими окружностями этой системы (для удобства восприятия некоторые области закрашены серым). Каждая окружность її Є L разрезает поверхность М на две части — внутреннюю UІ и внешнюю (внешней считается та, что содержит компоненту края 7о). Поверхность UІ отображается в себя при действии некоторой степени fm. Класс гомеотопии ограничения fmi\jj. : Ui — Ui называется внутрен-ней компонентой косы (3 с периодом ті. Класс гомеотопии ограничения / на M\(\Ji Ui) называется внешней компонентой косы (5.
При фиксировании определённой нумерации граничных компонент поверхностей Ui внутренние и внешняя компоненты косы становятся классами гомеотопии, которым также соответствуют некоторые косы, определённые с точностью до сопряжения и умножения на квадрат косы Гарсайда А2. Для внешней компоненты косы в качестве неподвижной компоненты края возьмём 7о, а для і-й внутренней компоненты косы неподвижной компонентой края будет її.
Наглядно разложение косы на внешнюю и внутренние компоненты достаточно легко представить, используя конструкцию, с помощью которой в 1.1 было получено схематичное изображение кос.
Заклеим граничные окружности 7ь . . . , In поверхности М дисками и рассмотрим изотопию от тождественного гомеоморфизма до некоторого гомеоморфизма, отвечающего косе. Эту изотопию можно представлять себе расположенной в некотором цилиндре, в котором окружности приводящей системы L будут заметать более узкие цилиндры.
Определение энтропии кос
Несложно проверить, что для периодического гомеоморфизма некоторая его степень тождественна. Для приводимого гомеоморфизма существует инвариантная простая замкнутая кривая на торе, которой на плоскости М2 соответствует прямая, проходящая через начало координат в направлении собственного вектора матрицы А. И приводимый гомеоморфизм тора с точностью до изотопии есть скручивание Дэна вдоль этой кривой.
Для гиперболического гомеоморфизма у матрицы А существует два вещественных собственных значения Л и Л-1 и два неколлинеарных собственных вектора v\ и г 2, определяющих на плоскости М2 два семейства параллельных прямых, которым на торе соответствуют два трансверсальных слоения. При этом вдоль одного из этих слоений при действии гомеоморфизма все расстояния увеличиваются в А раз, а вдоль другого слоения — во столько же раз уменьшаются.
Рассмотрим гомеоморфизм двумерного тора Т2 = M2/Z2 на себя, определяемый матрицей А Є SL2(Z). Этот гомеоморфизм, очевидно, коммутирует с отображением —Id и поэтому корректно задаёт гомеоморфизм факторповерх-ности М = Т2/(—Id). Поверхность М диффеоморфна сфере с четырьмя особыми точками pi, р2, рз, РА, которым на торе соответствуют точки с координатами (0, ) и (т ,т ), ( , 0), (0;0).
Обозначим Р = {рі,Р2,Рз} и MCG(M, Р,РІ) — группа классов отображений сферы М, оставляющих инвариантным множество Р и неподвижной точку р±. Получаем естественный гомоморфизм группы классов отображений 2-тора Т2 в группу MCG(M, Р1Р4): MCG(T ) — MCG(M, P,PA). (3.2) Обозначим через hi и hi классы отображений поверхности М, соответствующие гомеоморфизмам тора Т2, определяемым соответственно матрицами:
Рассмотрим две прямые на плоскости М2, определяемые уравнениями у = -л и х = . Этим прямым соответствуют две замкнутые кривые на торе Т2 и сфере М. Обозначим эти кривые на сфере М через 7і и 72. Несложно заметить, что представителем класса отображений hi является полускручивание Дэна вдоль кривой 7ь которое меняет местами проколотые точки pi и р2. Представителем класса hi является полускручивание Дэна вдоль 72, меняющее pi и
Группа MCG(M, Р,РА), очевидно, изоморфна группе з/А2. Зафиксируем такой изоморфизм, при котором гомеотопиям hi и hi соответствуют косы j\ и (Ji: MCG(M, Р,РА) -Вз/А , hi а\, hi o i. Таким образом, определённым выше матрицам Ai и Ai соответствуют косы о"! и о"2. И поскольку эти косы порождают всю группу з/Д2, то всякой косе соответствует некоторая матрица из SLI(7J). В частности, косе А2 = (0102С1)2 соответствует матрица:
Отсюда возникает представление группы з/А2 в группе PSL2(Z), которое каждой косе (заданной с точностью до умножения на А2) ставит в соответствие матрицу, которая задаёт эту косу посредством гомоморфизма (3.2):
Теорема 3.2. При изомофизме (3.3) нетривиальная периодическая, псевдо-аносовская и приводимая коса отображается соответственно в периодический, аносовский и приводимый диффеоморфизм тора. При этом коэффициент дилатации А псевдоаносовской косы равен аналогичному коэффициенту аносовского гомеоморфизма тора.
Доказательство. В соответствии с теоремой 1.7 для кос из трёх нитей только тривиальная коса является периодической косой, которая имеет приводящую систему окружностей. Нетривиальная периодическая коса (3 в некоторой сте пени совпадает с А2к для некоторого к Є Z. Следовательно, соответствующая косе /3 матрица из PSL2(Z) в некоторой степени даёт плюс-минус единичную матрицу, и значит, задаёт периодический гомеоморфизм тора. Для приводи мой косы на сфере М существует приводящая окружность, которая подни мается до простой замкнутой кривой на торе Т2. Следовательно, соответству ющая матрица задаёт приводимый гомеоморфизм тора. Наконец, псевдоано совская коса определяет два транверсальных инвариантных слоения на сфере М, которые поднимаются до аналогичных слоений на торе. Теорема 3.3. Для нетривиальной периодической косы (3 из трёх нитей след матрицы ф((3) по абсолютной величине меньше 2, для приводимой косы — равен 2, для псевдоаносовской косы — больше 2.
Доказательство. Данная теорема является простым следствием теоремы 3.2, формулы 3.1 и описания аносовского гомеоморфизма тора в параграфе 3.1. у которых прообраз единицы непустой и в упорядоченном, дважды повторяющемся наборе её значений /(1), /(2),..., f{n), /(1), /(2),..., f{n) между любыми двумя единицами расположено чётное число нулей. Пример 3.1. При п 3 функция / : {1, 2,..., п} — {0; 1} такая, что /(1) = /(2) = 1 и f(x) = 0 для всех х 2, принадлежит семейству ТП, если п — чётное, и не принадлежит семейству ТП, если п — нечётное.
Из определения многочленов Pn и Pnodd непосредственно следует, что каждое слагаемое многочлена P2ond+d 2 получается из монома x1x2 ...x2n+2 путём удаления чётного числа (возможно, и нуля) переменных, причём переменные удаляются парами, расположенными рядом относительно циклического порядка. Поэтому в каждом мономе из P2ond+d 2 содержится чётное количество переменных, и наименьший номер переменной является нечётным. Ясно, что для получения всех таких мономов нужно взять все мономы из P2ond d. Также нужно взять все эти же мономы и добавить к ним пару множителей x2n+1x2n+2. Кроме того, в P2ond+d 2 содержится моном x2n+1x2n+2, которого нет в P2ond d. Наконец, в P2ond+d 2 ещё войдут все мономы из P2ond-d 1 с добавленным к ним множителем x2n+2. Добавлять этот множитель нужно, так как в мономах из P2ond-d 1 нечётное количество переменных, и добавлять нужно именно x2n+2, а не x2n+1, так как в каждом мономе из P2ond-d 1 наименьший номер переменной нечётный.
Явная формула для энтропии кос из трёх нитей
В обратную сторону доказательство почти очевидное. Коса, которая в ал фавите J- записывается в виде г/Л-слова чётной длины, является приводимой с приводящей окружностью, расположенной каноническим образом. Но тогда и любая ей сопряжённая коса также приводима. Непериодическая коса /З Є з является приводимой тогда и только тогда, когда подходящим выбором инвариантной нити её можно записать в виде слова w в алфавите Т так, что слово w после некоторой циклической перестановки его букв и приведения к каноническому виду становится ud-словом чётной длины.
Доказательство. Непериодическую приводимую косу /3 всегда можно представить в виде /3 = a lf3 a, где приводящая окружность косы f3 расположена каноническим образом (см. рис. 3.6). Выберем нить, которая не охватывается этой приводящей окружностью, и запишем косу /3 в виде слова w в алфавите J7, отслеживая движение выбранной нити. Ясно, что если коса а тривиальная, то согласно теореме 3.15 слово w будет ш -словом чётной длины. В общем случае путь ry(w) с точностью до деформации будет композицией путей, соответствующих косам а 1, /3 и а. Ясно, что циклическая перестановка букв в слове w позволит часть пути выбранной нити, которая соответствует косе а-1, перенести в конец композиции, где она сократится с той частью пути, которая соответствует косе а. В результате останется только часть пути, соответству-щая косe (3 . И этот путь определяет ш -слово чётной длины.
В обратную сторону доказательство почти очевидное. Циклическая пере становка букв означает переход к сопряжённой косе. И если в классе сопря жённости косы есть ш -слово чётной длины, то согласно теореме 3.15 коса является приводимой. Сформулируем ещё одну теорему, необходимую для быстрого распознавания периодических кос. Для косы /З Є з рассмотрим перестановку s(/3), которую эта коса порождает на множестве нитей в соответствии с гомоморфизмом (1.2). Введём обозначение: 1, если перестановка s((3) тривиальная; к(/3) = \ 2, если перестановка s(/3) содержит цикл длины 2; 3, если перестановка s((3) транзитивная.
Теорема 3.17. Коса (З Є з является периодической тогда и только тогда, когда соответствующее косе /Зк слово w в алфавите J- после приведения к каноническому виду выглядит как 2т для некоторого т Є Ъ, причём не имеет значения, движение какой нити (левой или правой) отслеживалось при составлении слова w.
Доказательство. Согласно теореме 1.6 для периодической косы /3 её степень рКР) должна совпадать с некоторой чётной степенью косы Гарсайда 2т. Остаётся доказать, что для косы, которая совпадает с 2т, при записи в алфавите J- и после приведения к каноническому виду получится слово 2т. Для трёх нитей = GIG2&I. Прямыми вычислениями проверяется, что для косы 2т = ( 7i 72 7i)2m при записи в алфавите J- и после приведения к каноническому виду получается слово 2т, причём не имеет значения, движение какой нити (левой или правой) отслеживать при составлении слова w.
В общем случае коса, совпадающая с 2т, получается из слова ( 7i 72Ci)2m путём применения соотношений вида хх 1 = 1, а также соотношения G\G2G\ = G2G\G2. Подобные соотношения могут разве лишь добавить шипы к пути отслеживаемой нити, которые сокращаются после записи в алфавите J- и приведения к каноническом виду.
В обратную сторону доказательство очевидное. Теперь всё готово для того, чтобы сформулировать алгоритм распознавания типа косы /3 по классификации Нильсена-Тёрстона. Шаг 1. Вычислить перестановку s, которую порождает коса /3 на множестве нитей. Шаг 2. Если перестановка s транзитивная, то записать косу /З3 в алфавите J7, отслеживая движение правой или левой нити, и привести полученное слово к каноническому виду. Если получилось слово 2к для некоторого к Є Z, то коса /3 является периодической, в противном случае — псевдоаносовской. Шаг 3. Если перестановка s содержит цикл длины 2, то записать косу /З2 в алфавите J7, отслеживая движение правой или левой нити, и привести полученное слово к каноническому виду. Если получилось слово 2к для некоторого к Є Z, то коса /3 является периодической, в противном случае перейти к шагу 5. Шаг 4. Если перестановка s тривиальная, то записать косу /3 в алфавите J7, отслеживая движение правой или левой нити, и привести полученное слово к каноническому виду. Если получилось слово 2к для некоторого к Є Z, то коса /3 является периодической, в противном случае перейти к шагу 5. Шаг 5. Определить инвариантный элемент перестановки s. Отслеживая движение соответствующей этому элементу нити, выполнить шаги 6 и 7 для косы /3. Если перестановка тривиальная, то необходимо выполнить шаги 6 и 7 для каждой из нитей косы /3. Если инвариантная нить находится по центру, то необходимо выполнить шаги 6 и 7 для косы erf /3 7і, у которой инвариантная нить будет расположена слева. Шаг 6. Записать косу в алфавите J- и привести полученное слово к каноническому виду. Шаг 7. Переносить первые буквы по одной в конец слова, переходя таким образом к сопряжённым косам, и приводить полученное слово к каноническому виду. Если получится ші-слово, то коса /3 является приводимой. Если же в результате переноса первых букв в конец слова слово прокрутится целиком, а и і-слово так и не получится, то коса является псевдоаносовской. Замечание 3.5. Если на шаге 5 перестановка является тривиальной, то шаги 6 и 7 надо выполнять для каждой из трёх нитей по очереди. И если хотя бы в одном из случаев на шаге 7 получится ші-слово, то коса /3 является приводимой, в противном случае — псевдоаносовской. Теорема 3.18. Для кос группы В% существует алгоритм распознавания их типа по классификации Нильсена-Тёрстона со временем выполнения 0{1), где I есть длина входного слова в классических образующих Артина. Доказательство. Алгоритм распознавания типа косы приведён выше. Дока зательство его корректности, а также его линейная сложность по длине вход ного слова следуют из теорем 3.12, 3.13, 3.14, 3.15, 3.16 и 3.17.