Введение к работе
Актуальность тещ. В 1980 году была опубликована статья А.Грея и Л.Хервеллн tO] ; в которой авторы провели классификацию почти эрмитовых структур по их дифференциальный инвариантам первого порядка. Среди этих классов содержится класс "W< > W^ $ являнциЗся непосредственным обобщением класса WL приближенно келеровых многообразий и класса W^ , в размерности свыше четырех совпадавдего с классом локально конформно - келеровых їзногообразий. Многообразия класса Wt подробно изучались А.Греем [7], f8], [9], а иногообразия класса TV}, рассматривал в своих работах И.Вайсман [п] , [12], [ІЗ] . Поэтому многообразия класса Wj_WJi получили название многообразий Вайсмана - Грея, или VG - шюгообра-зий.
В.Ф.Кириченно [1],[2] получил перзую группу структурных уравнений произвольного почти эрмитова многообразия на пространстве присоединенной & - структури з терминах структурных и виртуальных тензоров. В частности, для многообразий Вайсмана - Грея структурные тензоры кососиикетричны по всей индексам, а виртуальные тензоры имеют строение:
в с ~ ^ <> с , DcU= 0-Сй. »61 ,
где {J-a. і * 1 - компоненты формы 1и 00 в кобазисе {^1 [б].
Подробное изучение V6 - многообразий на пространстве присоединенной & - структуры было продолжено и Н.Н.Щипко-вой [б]. В частности, ей была получена вторая группа структурных уравнений V(? - шюгообразия, вычислены спектры тензоров Римана - Кристоффеля и Риччи, найдено условие постоянства голоморфной секционной кривизны VG - многообразия»
Интересными аспектами изучения геометрии V6 - многообразий являются их постоянство типа и конформно - инвариантные свойства.*
Понятие постоянства типа впервые было введено в начале 70-х годов А.Греем [?];[8] для приближенно келеровых многообразий со знакоопределенной метрикой. Впоследствии различные азторы предлагали варианты распространения этого попятия на более общие виды почти эрмитовых многообразий. Например, Ван-хекке сформулировал критерий, позволяющий определить постоянство типа произвольного почти эрмитова иногообразия с помощью
_ 4 -
тензора римановой кривизны многообразия, но это приводило к необходимости перехода к дифференциально - геометрическим объектам более высокого порядками] .
В.Ф.Кириченко з] предложил более удобный способ определения постоянства типа произвольного почти эрмитова многообразия с помощью приеоединенноі й- - алгебры. Он доказал [3], что если присоединенная Q, - алгебра имеет постоянный тип, то и само многообразие имеет постоянный тип.
Основной характеристикой конформных свойств риманова многообразия М ^ является тензор Вейля конформной кривизны многообразия. Обращение тензора Вейля в нуль является необходимым и достаточным условием того, чтобы многообразие Мп,й> 3, было локально конформно - плоским [5]. Такие многообразия интересны тем, что являются непосредственный обобщением пространственных форм, т.е. пространств постоянной кривизны. Изучением конформно - плоских локаяьно конформно - келеровых многообразий занимался В.Ф.Кириченко [4].
Методы исследования. Результаты работы получены систематическим использованием метода внешних форм Картана в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля. т.е.' исследование проводилось на пространстве приеоединенноі &- - структуры, элементами тотального расслоения которой являются специализированные реперы, называемые А - реперами.
Цели диссертационного исследования.
-
Опираясь на строение и свойства спектра тензора Вейля конформной кривизны V6 - многообразия, выделить основные инварианты VG - многообразия и с их помощью выделить конформно-инвариантные классы V9 - многообразий.
-
На пространстве присоединенной 6- - структуры получить аналитические критерии, позволяющие определить принадлежность
V& - многообразия каждому из выделенных конформно - инвариантных классов.
3. Изучить геометрические свойства VS - многообразий, при
надлежащих конформно - инвариантным классам и обладащих таки
ми дополнительными свойствами, кан компактность и паракелеро-
вость.
4; Получить на пространстве присоединенной G~ - структуры условие постоянства типа по Ванхекке для V6- - многообразия.
5. Изучить конформно - инвариантные свойства ~V" - аногооб-разий, имеющих постоянный по Ванхекке тип. 6» Изучить конформно - инвариантные свойства V5 - многообразий, имеющих постоянную голоморфную секционную кривизну. 7,- Выяснить условия, при которых конформно - плоское VS многообразие постоянной голоморфной секционной кривизны является пространственной формой, т«е* пространством постоянной кривизны.
Новизна результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим важнейшие из них:
-
Выделены четыре основных конформных инварианта V6- - многообразий, под которгаи понимаются элементы спектра тензора Вейля конфор!яной кривизны многообразия. С их помощью выделены конформно - инвариантные классы "VS- - многообразий?-
-
На пространстве присоединенной Є- - структуры получены аналитические критерии прннадлеаности V6- - многообразия каздсасу кз выделенных конфораяо - инвариантных классов.
-
Изучен ряд геокетрических свойств V5- - цнсгообразиіі, прк-кадлеггщих. конформно - инвариантным классам и обладаниях такими дополнителыпма свойствами, как компактность и паракелеро-вость.
-
На пространстве присоединенной G- - структуры получено условие постоянства типа по Ванхекке для VG - многообразия. Изучены некоторые геометрические свойства псевдоконциркуляр-ных V& - многообразий постоянного по Ванхекке типа.
-
Изучены некоторые геометрические свойства V - многообразий, принадлежащих конформно - инвариантным классам и имеющих постоянный по Ванхекке тип.
-
Изучены некоторые геометрические свойства Y& - многооб-разий, принадлежащих конформно - инвариантным классам и имеющих постоянную голоморфную секционную кривизну.
-
Получен критерий, при выполнении которого конформно - плоское "VG - многообразие постоянной голоморфной секционной кривизны является пространственной формой.3
Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения данного класса многообразий в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и матема-
тической физики, а также при чтении специальных курсов в высших учебных заведениях, где ведутся научные исследования по близким направлениям.
Апробапия работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на заседаниях Семинара кафедры геометрии МПЕУ" имени В.И.Ленина и на Ш Международной конференции женщин-математиков в Воронеже в мае Т995 года.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в трех публикациях. Их список приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Она изложена на 103 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 57 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
