Содержание к диссертации
Введение
1 Связности на семействе центрированных плоскостей общего вида 21
1.1 Деривационные формулы и структурные уравнения проективного пространства 21
1.2 Уравнения семейства центрированных плоскостей 24
1.3 Ассоциированные связности на многообразии Br 28
1.4 Композиционное оснащение семейства Br 29
1.5 Связки и пучки индуцированных связностей 34
1.6 Индуцированные связности 38
1.7 Геометрическая интерпретация плоскостной и нормальной линейных подсвязностей при помощи центральных проектирований 39
1.8 Тензор параллелизма 40
1.9 Интерпретация индуцированных центропроективных связно-стей при помощи параллельных перенесений нормали 2-го рода 41
1.10 Интерпретация индуцированных аффинно-групповых связ-ностей при помощи параллельных перенесений нормали 1-го рода 45
1.11 Параллельное перенесение плоскости Картана в линейной комбинации связки фундаментально-групповых связностей 47
1.12 Параллельное перенесение плоскости Картана в фундаментально-групповой связности 49
1.13 Тензоры кривизны индуцированных связностей 53
1.14 Плоские связности 58
2 Связности на грассмановом расслоении над поверхностью в проективном пространстве 61
2.1 Поверхность в проективном пространстве 61
2.2 Оснащения поверхности Sn 64
2.3 Грассманово расслоение над поверхностью Sn 68
2.4 Фундаментально-групповая связность, ассоциированная с грас-смановым расслоением 72
2.5 Нормализация 1-го рода и композиционное оснащение грас-сманова расслоения BS 74
2.6 Индуцированная связность на грассмановом расслоении BS 78
3 Внутренние связности на три-регулярном семействе гиперплоских элементов 82
3.1 Семейство гиперплоских элементов 82
3.2 Метод редукции подвижного репера семейства B 85
3.3 Уравнения семейства B в репере нулевого порядка 87
3.4 Уравнения регулярного семейства B в репере первого порядка 92
3.5 Редукция расслоения реперов F(B) 96
3.6 Внутренние конструкции: структура почти произведения и связности на три-регулярном семействе B 98
Литература
- Ассоциированные связности на многообразии Br
- Интерпретация индуцированных аффинно-групповых связ-ностей при помощи параллельных перенесений нормали 1-го рода
- Грассманово расслоение над поверхностью Sn
- Уравнения семейства B в репере нулевого порядка
Ассоциированные связности на многообразии Br
Пусть К — поле характеристики нуль. Проективное пространство Рп размерности п можно получить факторизацией множества L ненулевых векторов (п + 1)-мерного векторного пространства Ln+\{K) по отношению эквивалентности, относящему в один класс коллинеарные векторы. Таким образом, точкой А проективного пространства Рп является линейная оболочка некоторого вектора є Є L без нулевого вектора. При этом А Є Рп часто называют геометрической точкой, а е — аналитической точкой, представляющей точку А.
Замечание. В следующих параграфах аналитическую и геометрическую точки будем обозначать одинаково, имея в виду, что в формулах фигурируют аналитические точки, а в рассуждениях — соответствующие геометрические точки.
Каждый элемент группы GL(n + 1) порождает некоторое проективное преобразование пространства Рп. При этом два элемента 0, ф Є GL{n + 1) определяют одно и то же преобразование тогда и только тогда, когда существует X Є К такое, что ф = Хф. Поэтому группа GL(n + 1) не является эффективно действующей на Ln+\: ядро ее неэффективности состоит из всех гомотетий, т.е. преобразований вида Ле, где е — единица группы GL{n+l). Легко видеть, что данное множество является центром Z группы GL(n + 1). Факторгруппа GP(n) = GL(n + 1)/Z называется группой проективных преобразований на Рп. Эту группу также называют проективной группой, или группой коллинеаций. В качестве представителя класса смежности в факторгруппе GP(n) всегда можно выбрать линейный оператор ф с іе(Ф) = 1, где Ф — матрица этого оператора относительно некоторого базиса пространства Ьп+\. При этом для четных п = 2т получаем изоморфизм со специальной линейной группой: GP(2m) SL(2m + 1). Для нечетных п связная компонента единицы GPe(n) группы GP(n) изоморфна группе SL(n + 1), профакторизованной по дискретному нормальному делителю С і = {е, — е}: GPe(n) — SL(n + 1)/С2. Итак, группы GP(n) и SL{n +1) локально изоморфны при любом п, а потому их алгебра Ли одна и та же — sl{n + 1). Группа GP(n) действует на Рп эффективно [13].
Замечание. Для нечетных п в комплексном случае связная компонента единицы GPe(n) группы GP(n) совпадает с самой GP(n), а в вещественном случае GP(n) имеет две диффеоморфные компоненты связности, одна из которых - GPe(n).
Проективным репером R в пространстве Рп размерности п называется класс эквивалентных базисов {ер} (Г = 0, 1, ...п) пространства Ln+i, таких, что существует гомотетия, переводящая один из них в другой. Он может быть отождествлен с системой, состоящей из П+ 1 точки Ар Є Рп, и единичной точки Е Є Рп общего положения. В пространстве Ьп+\ точкам Aj/ соответствуют линейно независимые векторы ер, а вектор е = ео + е\ + ... + еп соответствует точке Е. Эти векторы определяются с точностью до общего множителя. Отсюда следует, что семейство проективных реперов зависит от п2 + 2п параметров. Будем предполагать, что единичная точка Е задана вместе с базисными точками Др, хотя не будем упоминать ее каждый раз.
Следуя [16] и [63], нормируем базис в Ln+i, т.е. в семействе базисов этого пространства выделим некоторую орбиту группы SL(n + 1). Тогда точечному реперу {Др} будет соответствовать единственный базис из данной орбиты. Деривационные формулы и структурные уравнения подвижного репера {ер} в Ln+i имеют вид dej/ = 9j,ej , dOj, = в j, Л вКі. где вр — левоинвариантные линейные дифференциальные формы на группе GL{n + 1). Соответствующие формулы для репера {Др} в Рп имеют аналогичный вид dAj/ = 6J,AJ/, (1.1.1) d6 j, = в j, Авк,, (1.1.2) причем в силу нормировки базиса они дополняются соотношением, называемым условием эквипроективности в0 + в1 + ... + 6 = 0. (1.1.3) Уравнения (1.1.2), (1.1.3) называют уравнениями структуры проективного пространства Рп. В работе [70] показано, что аналитический аппарат (1.1.1), (1.1.2), (1.1.3) обладает существенным недостатком: при его ограни чении на подпространства Рт С Рп структурные уравнения соответствующих групп преобразований SL(m + 1) непосредственно не получаются. Следуя данной работе, а также [15] и [17], построим другой аппарат, лишенный отмеченного недостатка. Рассмотрим формы
Определение 1.2.1. Центрированной т-мерной плоскостью L m = (LTO, А), 1 т п пространства Рп называется т-мерная плоскость Ьт С Рп с выделенной на ней точкой А (называемой центром плоскости).
Различные семейства центрированных плоскостей рассматривались во многих работах, например, в [2,5,6,14,40,67].
Определение 1.2.2. Гладкое г-мерное многообразие, образующим элементом которого является центрированная плоскость, назовем семей ством центрированных плоскостей и будем обозначать Вг, где 1 г т(п — т) + п (см. [5, 24, 25, 67]).
Замечание. Семейство Вг можно рассматривать как образ произвольного r-мерного многообразия Vr при гладком регулярном отображении в пространство всех центрированных т-плоскостей В(т, п) проективного пространства Рп. Многообразие Vr будем называть пространством параметров семейства Вг. Произведем специализацию подвижного репера R = {Ао, Аа, Аа}, (а, 6, ... = 1,ш; а, /3, ... = т + 1, п), помещая вершину AQ в центр А плоскости L m, а вершины Аа — на плоскость Lm. Система уравнений семейства Вг в параметрической форме имеет вид: иоа = А 9\ ша = А9\ ufa = А 9\ i, j, ... = 1, г, (1.2.1) где формы Пфаффа 9г являются структурными формами r-мерного гладкого многообразия Vr и удовлетворяют уравнениям d6l = 9 А 9%-. Продолжая систему уравнений (1.2.1) с учетом (3.3.2), получим
Интерпретация индуцированных аффинно-групповых связ-ностей при помощи параллельных перенесений нормали 1-го рода
Внося формы связности (1.3.1) в уравнения (1.4.2), получим следующие равенства: VAa = VjAa# , VA , = VjA # , VAa = УДа#\ (1.5.1) В левых частях стоят ковариантные дифференциалы компонент оснащающего квазитензора А относительно связности Г: VAa = dXa — ХъСоа + Coai (1.5.2) VA , = d\a + \a0Jb — Уй а + ai (1.5.3) VAa = d\a — A/?a)f + X uja + Coa. (1.5.4)
Ковариантные дифференциалы (1.5.2) компонент квазитензора {Aa}, задающего нормаль 2-го рода, определяются в центропроективной связности Гі. Ковариантные дифференциалы (1.5.3) компонент квазитензора А , задающего нормаль 1-го рода, определяются в аффинно-групповой связности Г2- Ковариантные дифференциалы (1.5.3), (1.5.4) компонент квазитензора {А , Аа}, задающего плоскость Картана, определяются в связности Г. Введем линейную комбинацию ковариантных дифференциалов: Qa = VAa — AaVA ,. (1.5.5) В правых частях равенств (1.5.1) перед базисными формами вг стоят кова-риантные производные VjAa = Хаі + АьГаі — Таі, (1.5.6) VjA , = А — АаГ + АоГ — Тааі) (1.5.7) VJAQ, = Аа — А ,Гаі + А/?Г — Таі. (1.5.8)
Эти ковариантные производные удовлетворяют следующим дифференциальным сравнениям по модулю форм вг [5]: AVjAa = 0, AVjA , = 0, AVJAQ, + VjA u;a = 0. (1.5.9)
Таким образом, совокупность ковариантных производных {VjAa, VjA , VJAQJ компонент оснащающего квазитензора А образует тензор VA, содержащий 3 подтензора VjAa, VjA , {VjA , УДа}. Из сравнений (1.5.9) и уравнений (1.4.21) на компоненты {Аа} следует, что величины Tai = V AQ, — AaVjA (1.5.10) также образуют тензор, который можно назвать тензором линейных комбинаций ковариантных производных объекта {Аа, А ,}. Зададим три абсолютных инварианта , ту, С- Тогда следующие равенства V Aa = tai, V A , = Tjt , Tai = (tai (1.5.11) являются инвариантными в силу тензорного характера всех входящих в них объектов. Подставляя в эти равенства соотношения (1.5.6) - (1.5.8) и (1.5.10), мы получим систему линейных уравнений относительно компонент Гаі, Г , Tai объекта фундаментально-групповой связности Г. Решая полученную систему, мы находим выражения этих компонент через объекты плоскостной и нормальной линейных подсвязностей Г , Т%: оснащающий квазитензор Л = {Ла, А , Аа} и тензоры подвижности {tai}: {А ,}, {tai}:
В свою очередь, компоненты тензора подвижности выражаются через объекты А, А и Л по формулам (1.4.10) - (1.4.12). Таким образом, объект связности Г охватывается подобъектами Г , Т%, фундаментальным тензором Л, оснащающим квазитензором А и его пфаффовыми производными А . Также говорят, что связность Г сводится к подсвязности {Г , Г } с помощью продолженного оснащения (ср. [70, с. 51]). При этом в зависимости от конкретных значений параметров , 77, ( выделяется соответствующий пучок индуцированных связностей, который мы будем кратко обозначать Г = Г(, ту, С)- Данные параметры назовем параметрами связки, а компоненты Г , Т% — параметрами многопараметрических пучков. Таким образом, справедлива [30]
Теорема 1.5.1. Продолженное композиционное оснащение семейства Вг индуцирует в главном расслоении Gs(Br) трехпараметрическую связку пучков фундаментально-групповых связностей
Видим, что в правых частях отсутствуют пфаффовы производные А оснащающего квазитензора А. Таким образом, пучки связностей Г(0, 0, 0) и Г(1, 1, 1) занимают особое место среди всего трехпараметрического семейства.
Равенства (1.5.12) сводят центропроективную связность Г і = {Г , Га } к линейной подсвязности {Г }, т. е. выделяют центропроективную связку Гі() = {Г , Гаі()}. Равенства (1.5.13) сводят аффинно-групповую связность Г2 = {Г , Т%, Tai} к линейным подсвязностям {Г } и {Г%}, т. е. выделяют аффинно-групповую связку
Замечание. В работе [25] были выделены шесть пучков индуцированных фундаментально-групповых связностей: Г(0, 0, 0), Г(0, 0, 1), Г(1, 0, 1), Г(0, 1, 0), Г(0, 1, 1), Г(1, 1, 1). Их аналоги на распределении плоскостей получены в работе [51]. 1.6 Индуцированные связности Из связки пучков Г = Г(, г), С) можно выделить связку индуцирован 0 ных связностей Г= Г(, rj, () при помощи подстановки в формулы (1.5.12), (1.5.13), (1.5.14) следующих охватов компонент Г и Т%, найденных в работе [5]: Теорема 1.6.1. Продолженное композиционное оснащение семейства Вг индуцирует в главном расслоении Gs(Br) трехпараметрическую связку фундаментально-групповых связностей.
В общем случае формулы охватов для компонент объектов этих связностей будут содержать 1) компоненты фундаментального тензора Л, 2) компоненты оснащающего квазитензора Л, 3) пфаффовы производные Л . Значит, связность индуцируется продолженным композиционным оснащением семейства Вг. При этом в формулах охватов (1.5.12) - (1.5.14), (1.6.1) и о (1.6.2) для связности Г (1, 1, 1) пфаффовы производные Ха,, Л , Xai отсутствуют. Таким образом, эта связность особенна тем, что индуцирована самим композиционным оснащением без привлечения продолженного оснащающего объекта.
Грассманово расслоение над поверхностью Sn
Расслоение G(BS) содержит два простейших и два простых фактор-расслоения: 1) расслоение Lm2{BS) плоскостных линейных реперов со структурными уравнениями (2.3.2), (2.3.3), типовым слоем которого является линейная фактор-группа Lm2 группы G с уравнениями (2.3.12); 2) расслоение L n_my{BS) нормальных линейных реперов со структурными уравнениями (2.3.2), (2.3.4), типовым слоем которого является линейная фактор-группа с уравнениями (2.3.13); 3) расслоение Cm m+x){BS) центропроективных реперов со структурными уравнениями (2.3.2), (2.3.3), (2.3.6), типовым слоем которого является центропроективная фактор-группа Сто(то+і) с уравнениями (2.3.12), (2.3.15); 4) расслоение Hn2_mn+m2(BS) аффинно-групповых реперов со структурными уравнениями (2.3.2) - (2.3.5), типовым слоем которого является фактор-группа Нп2_тп+т2 с уравнениями (2.3.14).
Фундаментально-групповая связность, ассоциированная с грассмановым расслоением В главном расслоении зададим фундаментально-групповую связность по Г.Ф. Лаптеву, используя прием Ю.Г. Лумисте, с помощью преобразованных слоевых форм где " = "означает сравнение по модулю базисных форм и1, о;" грассманова расслоения. Объект П содержит следующие подобъекты: 1) L\ = {L } — объект локальной плоскостной линейной связности; 2) L2 = {LapaS\ — объект локальной нормальной линейной связности; 3) L% = {L , Lbaa\ — объект локальной центропроективной связности; 4) L4 = \J-%ai L pl, La p] — объект локальной аффинно-групповой связности; 5) L5 = {L a, віі L p, Lbaa) Laap\ — объект локальной фундаментально-групповой связности; 6) Пі = {II j, L% } — объект плоскостной линейной связности, заданной в фактор-расслоении Lm2{BS); 7) ГІ2 = {ffij, Lo"} — объект нормальной линейной связности, заданной в фактор-расслоении L n_my{BS); 8) Пз = {n j, Па/, L%} — объект центропроективной связности в фактор-расслоении Cm(m+i)(BS); 9) П4 = {n j, IIoj, n j, L4} — объект аффинно-групповой связности в фактор-расслоении Hmi_mn+ni{BS). Замечание. Термин "локальный"применительно к перечисленным выше объектам означает, что соответствующие связности заданы на центрированном многообразии Грассмана Gr (m,n) С BS.
Определение 2.5.1. Нормализацией 1-го рода многообразия BS называется отображение Nn_m: BS — G(n — m, PN), сопоставляющее каждому его элементу L m = (Lm, А) некоторую (п—т)-плоскость 7Vn_TO(L ); называемую аналогом нормали 1-го рода и аффинно дополняющую плоскость Lm до касательной плоскости к поверхности Sn в точке А:
Определение 2.5.2. Нормализацией 2-го рода многообразия BS называется отображение Nm_\\ BS — G(m — 1, PN), сопоставляющее каждому его элементу L m = (Lm, А) некоторую (т — 1)-плоскость 7VTO_i(L ); называемую аналогом нормали 2-го рода и проективно дополняющую центр А до плоскости Lm данного элемента: 7VTO_i(L ) 0 А = Lm. Определение 2.5.3. Оснащением Картана многообразия BS называется отображение Cn_TO_i: BS — G(n — т — 1, PN), сопоставляющее каждому его элементу L m = (Lm, А) некоторую (п — т — \)-плоскость Cn-m-\{L m), называемую аналогом плоскости Картана, и проективно дополняющую плоскость Lm до касательной плоскости к поверхности Sn в точке :
Определение 2.5.4. Композиционным оснащением многообразия BS называется пара отображений (Cn_m_i, Nm_\), т.е. присоединение к каждому его элементу L m аналога плоскости Картана Cn-m-\{L m) и аналога нормали 2-го рода Нордена Nm_\{L m).
Зададим нормализацию 2-го рода совокупностью т отображений Na: H(BS) — P/v, каждое из которых сопоставляет реперу R = {А, Аа, Аа} точку Na, такую, что {A, 7Va, Аа} Є H(BS). Тогда найдутся такие функции Аа, заданные на расслоении H(BS), что Na = Аа + ХаА. (2.5.1) Аналогично, оснащение Картана можно задать совокупностью п — т отображений Са: H(BS) — Р/у, сопоставляющих реперу R точки Са, такие, что {А, Аа, Са} Є H(BS). Тогда имеем Са = Аа + Х Аа + \аА. (2.5.2) Инвариантность оснащающих плоскостей обеспечивается следующими уравнениями на введенные нами функции: AAa + UJa = XajU) + ХааШЪ і (2.5.3) АА , + ujaa = X jU + Хаізиь (2.5.4) ААа + X U)a + UJa = XalUJ + Xal3Ua- (2.5.5) Таким образом, объекты Ас = {А , Аа} и А2 = {Аа} являются квазитензорами по Г.Ф. Лаптеву. Они задают оснащение Картана Cn_TO_i и нормализацию 2-го рода Nm_\ соответственно. Объект А = {Аа, А , Аа} задает композиционное оснащение и называется оснащающим квазитензором. Уравнения (2.5.3) - (2.5.5) кратко запишем в виде сравнений
Утверждение 2.5.1. Нормализация 1-го рода многообразия BS вместе с нормализацией 2-го рода поверхности Sn индуцируют композиционное оснащение многообразия BS. При этом нормаль 2-го рода Nn_\{A) поверхности Sn в пересечении с нормалью 1-го рода Nn_m{L m) семейства BS, где — центр элемента L m, дает плоскость Картана Cn-m-\{L m), а в пересечении с плоскостью данного элемента — нормаль 2-го рода
Уравнения семейства B в репере нулевого порядка
Опишем кратко применяемый метод. Семейство В является многообразием, погруженным в однородное пространство G (n — 1, п) с фундаментальной группой GP(n). Совокупность всех реперов этого пространства (т.е. образов, стационарная подгруппа которых тривиальна) отождествляется с многообразием J-(Pn) всех проективных реперов пространства Рп. Группа GP(n) действует на J-(Pn) свободно и транзитивно. Изоморфизм J-(Pn) = GP(n) задается выбором репера lZo, сопоставляемого единице группы (так называемый "неподвижный"репер).
На многообразии J-(Pn) определена проекция ( : J-(Pn) — G (n — 1, n), действующая по закону:
Тогда в семействе J-(Pn) выделяется подсемейство J-(M) = _1(В), наделенное структурой главного расслоения над семейством В как над базой и называемое расслоением реперов нулевого порядка над семейством В. Структурная группа G данного расслоения изоморфна подгруппе стационарности гиперплоского элемента. Семейство J-(M) можно задать аналитически как слой интегрируемого распределения на J-(Pn), определяемого системой уравнений Пфаффа в инволюции. Последняя представляет собой соотношения на левоинвариантные формы группы GP(n), называемые уравнениями семейства В в репере нулевого порядка, и выражающие слоевые формы через базисные формы семейства В, определяемые следующим образом. В каждой карте (х\ уа) на расслоении J- (B) базисные формы выражаются через координаты (х1) точки базы, называемые главными параметрами, в то время как слоевые формы выражаются, вообще говоря, как через главные параметры, так и через координаты (уа) точки слоя, называемые вторичными параметрами. Коэффициенты в указанных соотношениях представляют собой функции на расслоении J- (B) и, взятые все вместе, задают некоторое поле геометрического объекта Л, называемое полем фундаментального объекта первого порядка семейства В. Сечения подрасслоений данного расслоения называются полями подобъектов объекта Л. Тогда условия инволютивности распределения представляются в виде уравнений Пфаффа на компоненты объекта Л и его продолжений.
Поставленную в п.1 задачу будем решать с помощью поэтапной редукции расслоения ( : J7(В) — В. Редукцию будем производить до тех пор, пока орбиты точек репера 1Z в слое над к текущим элементом ж Є В под действием структурной группы расслоения не будут образовывать плоскости некоторого композиционного оснащения.
Редукцию расслоения реперов можно осуществлять как из геометриче ских соображений, так и аналитическим способом. Геометрический путь состоит в выделении подсемейства реперов, вершины которых расположены на образах, внутренним инвариантным образом связанных с текущим элементом семейства В. Аналитический способ заключается в придании компонентам фундаментального объекта и его продолжений фиксированных значений или, говоря в общем, наложении связей типа системы равенств на эти компоненты, подчиненных условиям леммы Остиану [55].
Следуя работе [35], дадим аналитическое описание семейства В. Рассмотрим многообразие всех проективных реперов J-(Pn) пространства Рп. На J-(Pn) свободно и транзитивно действует группа GP(n) проективных преобразований пространства Рп. Инфинитезимальные перемещения подвижного репера 1Z Є J-(Pn) с вершинами Ао, Aj (/, J,... 0,п) определяются деривационными формулами
Полный прообраз семейства В при отображении ( обозначим через «7го(В) и будем называть многообразием реперов нулевого порядка на семействе В. Многообразие «7го(В) имеет расслоенную структуру над В, определяемую проекцией (3.2.1), ограниченной на «7го(В). Таким образом, расслоение J70(В) получается из расслоения J-(E) над той же базой В при помощи редукции, произведенной геометрическим путем. Для каждого репера нулевого порядка 1Z Є ( 1(х) вершина AQ совмещена с центром А элемента ж, вершины АІ расположены на плоскости TA(SP), а вершины Аа — на плоскости Ln_\ данного элемента: AQ = А, АІ Є TA{SP), Аа є Ln_\. С учетом специализации подвижного репера и деривационных формул (3.3.1) имеем сиа = О, сип = 0, (3.3.3) причем формы u/, UJ , ш, си являются главными. В качестве базисных форм семейства В выберем сог = вг в количестве р, а также формы ш = О в количестве q = п — р — 2. Отметим, что формы вг являются базисными также для поверхности Sp. Продолжая (3.3.3), получим