Существование общего луча семейства выпуклых конусов Сизикова, Людмила Герасимовна

Введение к работе

Актуальность работы. К началу XX пека, п сфере математики и се приложений накопилось иного проблем, сводящихся к задаче разбиения множества течек на два класса., каждый из которых служил бы аналогом мпожестпа. постоянных по зпаку значений функции. Это скоро было представлено как задача комбипаторпой геоыетрпи об отделении гиперплоскостью двух семейств Точек в прострапстве Rⁿ и одно пз первых се решений было дано Кирхбергером. Развитие в последующем некомблнаторных методов исследований па примере теории Хана-Банаха позволило продвинуться п решеппи этой задачи лишь для относительно узкого круга случаев. И вскоре вповь возникли потребности в комбинаторных методах ее решения.

Одновременно приобретали актуальность и такие задачи, в которых решался вопрос, наоборот, о палнчпп общей точки семейства выпуклых множеств в R". Истоки этого берут свое начало с исследований интегральных предстапленпй функциональных операторов. II одним из самых первых здесь результатов явилась теорема Хсляп. Комбинаторпые методы при решеппи такого рода задач пе теряли, в отлпчлп от задач отделимости, своей актуальности со временем, так как в сфере таких задач скоро оказались задачи о бесконечных системах линейных уравнений п неравенств,

Постепенно теоремы Кирхбергера и особенно Хеллн получаля, с помощью методов комбипаторпой геометрии разнообразные обобщении и некоторые улучшения п опенках. Заметную роль в этом сыграл расцвет программирования п вообще кибернетики во второй половине XX века. Определенные потребности К этому исходили также от внутренней геометрии па примере сферически выпуклых множеств па сфере, а позднее и от хропогеометрпи.

При всем этом постепенно выявляется фундаментальная значимость соответствующих исследований по выпуклым копусіии.. Больший стимулом к этому служили исследования упорядоченных век-

торных пространств и лоследуклцсе их ршыггие в нипукжш 0.Ш1-лнзе и хрояопюметрни. Но решающее значение для комбинаторной, геометрии имели исследования но внутренней "геометрии на примере сферически выпуклых множеств, а затем также потребности црогр;шмироыши>1 и оптимального управления.

Однако, сущестьепш.ш недостатком проводимых до антсра настоящей работы иселодоиаши'і было отсутствие учета риэмерносту ц линейшісти эломентои семейств,' так что получаемые оценки я методы нселедонаиин часто ола'н.шались малоэффективными. Не исключена важность такого учета и ирн иесдедоианиях по хро'но-геометрин, о чем могут' свидетельствовать перемены в результатах, выданные исею лишь заменой обычных, конусоті на двойные.

Кроме того, и последние годы стали появляться работы но теории управления, а которых исследуется применение дискретяого управления к непрерывным процессам. Так, о'хгпыпастся, что .» случае линейных систем, с дискретным управлением тацпэ фуяда-' їлаїтальшие понятия, как полная ущшвласмостъ п полны: т;б.п.> Оммосгль, допускают списание па ям.гке комбинаторной гсі»иоїр;!и.

ОТО "''"'Ч' ГІГі'ІІ if: ll^nv^'l f IZrr Ї(Г.Ї*Г<~І^ГА (I H Cfl * П 'rj^Ql,!! ГГ 1 '11 4\ l\ T- r\T'. ! <"

Ці .1 , < 7 Ч С I CO I X IIHffll 11 I ^ri

ran лі hi си дог in с HTi mm л і _;u c> ратм pi і iuii ! і i^lu л і lViPCiic і и Ji f » к сзбраї і і ест ' э w іюо)с «en )уы(- ш н„ ^iji і

СТИТ. Il v lit і'і lli^ U/ СПСГ,. 1 Г Ді С Tlwi j

Щ ""С ' ^ ICLL "t'h ЧШ БЫ ІМІи^іі ки ^ Л і

дога т л ' і jo суш cilo ті s сЛі о і'¹ с >.

и;ь!, о і л і и"¹ иц)^ ех- .о. j^ (2 I^і j.u t. о iv, і чл
:: ре;/Л "иг і ^п^ сгйі, ы}< i.o t" piaii » m,., ^

ІіЛЦ.С*" ч. ' > С, О COuii-JTiii і

,:T\:.i;: ^ xjj их icz с j U L' "J . ! ? 41,..0, ~

таты составляют базу для рещенпя задачи Кпрхбергсра.

Поконец, наряду с результатами по семействам выпуклых к~ну-соа, приводятся серии сопутствующих, по своему актуальных, результатов по семсйстпш сферически выпуклых множеств па сферо Л результатов по семействам просто шпуклыв множеств в Rⁿ.

В связи с реалпзаядей главной п прикладной стратегий выделено пять 'ведущих задач. Первая пз нпх заключается а разработке признаков существования я единственности положительного ряя-биепия Радона конечного множества векторов, основанных па учете размерности'п лппейностп этого множества. Вторая задача состоит п разработка признаков существования общего луча семейства выпуклых конусов, осповапных па учете размерностей п ллнейпо-стен этих конусов. Третья задача направлена па выявление дополнительных условий, позволяющих улучшить основные результаты о существовании общего луча сеиейптпа[ выпуклых конусов. Четвертая задача состоит п разработке признаков отделимости семейств замкнутых выпуклых конусов п характеристик атдмилыз семейств. Наконец, пятая задача состоят п получении сненок количеств управляющих воздействий и наблюдательных актез, достаточных для реализации условий полбой управляемости п наблюдаемости линейных систем с дискретный управлоппеи.

Научназ новизна. Все результаты, не тгеюасге указателен пх авторов, являются повьшн. .

Методика исследований. В псслздозаппвх попользуются четверка пзвестпых ранге теорем, снязашгш: с опясапнямя положительных представлений п строго положительно :!сзайисіишгнпо;і:ес.тз векторов - теорема Штейняца, коническая теорема Каратеодорп, теорема Бонпса и Кли п теорема Ре.», а так^сс свойства поляр замкнутых выпуклых конусов л пространстве Я". Для исследований используются аппараты линейной алгебры, выпуклого-анализа, а їакже многомерной п комбинаторной геометрий.

5.

Теоретическая значимость и практическая ценность работы. Каждая из выгпеперечяслетшх пяти задач па своему актуальна. Первая из них продолжает исследования Радона и составляет основу для решения следующих в работе задач. Вторая является аналогом задач типа Хелли. Она же продолжает исследования Грюн-баума и Качальского и актуальва для теории приближений. Третья задача является аналогом исследований Мольнара, Хансена п Кла я может служить перспективой для дальнейших псследовакш'і семейств выпуклых конусов. Четвертая продолжает исследования Кирхбергера и Болтянского и актуальна для теории распознавания образов и для теории оптимального управления. Наконец, пятая задача закладывает основы нового подхода к исследованиям в теории управления, базирующегося па комбинаторной геометрии.

Кроме того, каждая из первых четырех перечисленных задач автоматически влечет за собой серию сопутствующих ей задач. Это, во-первых, двойственные результаты, основанные на переходе к полярам и связанные с задачей о покрытиях, которая по своему актуальна и результаты по ней составляют основу для решения задача Кирхбергера. Во-вторых, это задачи по сферически выпуклым множествам па сфере, прячем решаются задачи п о пересечениях, и о покрытиях, и Кирхбергера, и описания отделимых семейств. В-третьих, это задачи по просто выпуклым множествам в Rⁿ -обобщения непосредственно результатов Хелли, Гркжбаума и Ка-чальского, Кирхбергера. Причем, результаты по последним двум классам задач - это еще и вклад во внутреннюю геометрию на примерах двух типов поверхностей^ один из которых топологически эквивалентен сфере, а другой -- гиперплоскости.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинаре "Геометрические задачи анализа' в Институте математики и механики УНЦ АН СССР и па заседании .Уральского матомати«ос«ого общества о'. Сварддтїск, 1975 г.), на

(і

семинаре отдела функционального анализа Института математики СО АН СССР, на семинаре '"Хроногеометрпя" з Новосибирском государственном увиверситете и на объединенном семинаре отделов анатаза и геометрия Института математики СО РАН (г. Новосибирск, 1981, 1982 и 1995 гг.),' па семинаре "Дифференциальные уравнения" ц Омской политехническом институте и Омском государственной техническом университете (г. Омск, 1990 и 1394 гг.) я на математических колферешншх г. Омска (1978 я 1980 гг.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 статьях, иыполнеппых лично и в соавторстве.

Объем и структура работы. Рабдта состоит из пведеппя, пяти глав, приложения и заключения. Ее объем составляет 165 страниц машинописного текста. Библиография содержит 114 наименовании.