Спектры операторов кривизны на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками Оскорбин Дмитрий Николаевич

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Оскорбин Дмитрий Николаевич. Спектры операторов кривизны на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками: диссертация ... кандидата физико-математических наук: 01.01.04 / Оскорбин Дмитрий Николаевич;[Место защиты: Институт математики им.С.Л.Соболева СО РАН].- Новосибирск, 2015.- 108 с.

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Исследование спектра операторов одномерной и секци онной кривизн на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой 21

1.1. Однородные и римановы многообразия. Метрические группы Ли. Операторы кривизны на римановых многообразиях 21

1.2. Спектр оператора одномерной кривизны на трехмерных метрических группах Ли 23

1.3. Спектр оператора секционной кривизны на трехмерных метрических группах Ли 28

1.4. Оценки функции 6 -- защемленности секционной кривизны на трехмерных метрических группах Ли 33

1.5. Сигнатуры спектра оператора секционной кривизны на трехмерных метрических группах Ли 39

1.6. Спектр оператора секционной кривизны на трехмерных локально однородных римановых многообразиях 43

Глава 2. Спектр операторов секционной кривизны, одномерной кривизны и кривизны Риччи конформно плоских метрических групп Ли 46

2.1. Свойство спектра операторов одномерной кривизны, кривизны Риччи и секционной кривизны конформно плоских метрических групп Ли 46

2.2. Конформно плоские группы Ли с главными значениями оператора кривизны разных кратностей з

2.3. Спектр оператора кривизны четырехмерных конформно плоских метрических групп Ли 56

2.4. Четырехмерные торповы и антиторповы римановы многообразия 59

Глава 3. Вычисление инвариантных тензорных полей на метри ческих группах Ли с помощью обобщенных базисов Дж. Мил нора 60

3.1. Базисы Дж. Милнора 60

3.2. Пространство орбит левоинвариантных римановых метрик групп Ли 61

3.3. Обобщенные базисы Дж. Милнора для четырехмерных метрических алгебр Ли 62

3.4. Спектры операторов кривизны некоторых четырехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой 65

3.5. Однородные солитоны Риччи на четырехмерных метрических группах Ли 73

Заключение 96

Список литературы 98

Публикации автора по теме диссертации 1

Спектр оператора одномерной кривизны на трехмерных метрических группах Ли
Спектр оператора секционной кривизны на трехмерных локально однородных римановых многообразиях
Конформно плоские группы Ли с главными значениями оператора кривизны разных кратностей
Спектры операторов кривизны некоторых четырехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой

Введение к работе

Актуальность избранной темы и степень ее разработанности. Известно, что кривизна риманова многообразия влияет на его геометрию и топологию и наоборот. Примерами этого являются теорема Адамара-Картана о полном односвязном римановом многообразии неположительной секционной кривизны [22], теорема М. Громова о римановом многообразии неотрицательной кривизны Риччи, теорема о сфере (см. подробнее в [23]), теорема сравнения углов треугольника А.Д. Александрова-ВА. Топоногова [22], иссследования Дж. Милно-ра [24] по кривизнам левоинвариантных римановых метрик на группах Ли и ряд других результатов.

В случае однородных пространств знак кривизны дает более полную информацию о геометрии и топологии пространства. Так, например, теорема Бох-нера [25] утверждает, что однородное риманово многообразие отрицательной кривизны Риччи некомпактно. Исследование связи между кривизной Риччи и топологией однородного риманова пространства представлено в работах Дж. Мил-нора [24], В.Н.Берестовского [26], а в случае одномерной кривизны - в работах Е.Д.Родионова, В.В.Славского [27]. Спектр оператора Риччи трехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками исследован в работе Дж. Милнора [24], где он показал, что спектр оператора Риччи таких групп не может иметь сигнатур (+,+,-),(+,+,0),(+,-,0). Трехмерные локально однородные римановы многообразия с предписанным спектром оператора Риччи исследованы О. Ковальским и С. Никшевич [28]. Сигнатуры спектра оператора Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариатной римановой метрикой определены А.В.Кремлевым и Ю.Г.Никоноровым [29, 30].

В работах М. Верже [31], И. Уоллача [32], Л. Бержери [32] получена классификация, с точностью до диффеоморфизмов, однородных пространств, допускающих инвариантные римановы метрики положительной секционной кривизны. В. Циллер [33], Ф. Валиев [34], Т.Путман [35] получили ряд результатов об одно-

родных римановых многообразиях положительной (^-защемленной секционной кривизны.

В общем случае задачи об исследовании спектров операторов кривизны являются трудными даже в классе однородных пространств. Однако в случае, когда многообразие (М, д) является группой Ли с левоинвариатной римановои метрикой, такие задачи становятся обозримыми.

Вместе с тем исследования спектров оператора одномерной кривизны, а также оператора секционной кривизны, которые существенно влияют на геометрию и топологию однородного пространства, представлены недостаточно. Так, например, в случае трехмерных групп Ли не изучен вопрос о сигнатуре спектра оператора секционной кривизны, вопрос о предписанных значениях спектров операторов одномерной кривизны и секционной кривизны. Кроме того, в случае конформно плоских левоинвариантных римановых метрик на группах Ли представляется актуальным исследовать спектры операторов кривизны Риччи, одномерной кривизны и секционной кривизны.

Данная диссертация посвящена исследованию операторов одномерной кривизны, кривизны Риччи, секционной кривизны на группах Ли с левоинвариант-ной римановои метрикой, установлению связей между кривизной и топологией метрических групп Ли.

Цели и задачи диссертационной работы:

Целью диссертационной работы является изучение спектров операторов одномерной кривизны, кривизны Риччи и секционной кривизны левоинвариантных римановых метрик на группах Ли, а также операторов кривизны конформно плоских метрических групп Ли произвольной размерности. В частности, предполагается решить следующие задачи:

Определить сигнатуры спектра оператора секционной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановои метрикой.
Найти критерии существования трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановои метрикой и предписанными спектрами операторов одномерой

кривизны и секционной кривизны. Обобщить данный результат на случай трехмерных локально однородных римановых многообразий.

Исследовать спектр операторов кривизны Риччи, одномерной кривизны, секционной кривизны конформно плоских метрических групп Ли произвольной размерности.
Построить обобщенные базисы Дж. Милнора четырехмерных метрических алгебр Ли. Определить спектры операторов кривизн в случае малой размерности пространства орбит римановых метрик.
Исследовать однородные инвариантные солитоны Риччи и алгебраические солитоны Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной рима-новой метрикой.

Методология и методы диссертационного исследования. Методология исследования ориентирована на использование методов математического анализа, дифференциальной геометрии, линейной алгебры, теории групп и алгебр Ли. Кроме того, в проведенных исследованиях используются базисы Дж. Милнора, построенные в алгебрах Ли, а также формулы для нахождения инвариантых тензорных полей на однородных римановых пространствах.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и вносят существенный вклад в теорию однородных римановых многообразий, теорию метрических групп и алгебр Ли, теорию солитонов Риччи.

Обобщены результаты О.Ковальского и С.Никшевич [28] о предписанных значениях спектра оператора Риччи трехмерных локально однородных римановых многообразий на случаи операторов одномерной кривизны и секционной кривизны.

Доказана теорема о том, что спектры операторов кривизны Риччи и одномерной кривизны конформно плоских метрических групп Ли произвольной размерности содержат не более двух различных значений с учетом кратностей. В случае оператора секционной кривизны таких значений не более трех.

С помощью обобщенных базисов Дж. Милнора, построенных для неко-

торых четырехмерных вещественных алгебр Ли, вычислены значения спектра операторов кривизны в случае малой размерности пространства модулей лево-инвариантных римановых структур на алгебре Ли.

Через структурные константы алгебры Ли получена классификация однородных инвариантных и алгебраических солитонов Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой, что дает ответ на вопрос L. Cerbo, поставленный в работе [36], о существовании инвариантных солитонов Риччи на неунимодулярных метрических группах Ли в размерности 4.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации имеют теоретическое значение и могут быть использованы в теории однородных римановых многообразий, теории многообразий Эйнштейна, теории солитонов Риччи, а обобщенные базисы Дж. Милнора, построенные в случае четырехмерных метрических алгебр Ли, могут найти применение в теории операторов на однородных пространствах. Кроме того, результаты диссертации могут быть использованы при подготовке спецкурсов по геометрии и топологии, теории однородных римановых многообразий.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные положения.

Найдены формулы для нахождения структурных констант трехмерных метрических алгебр Ли через спектры операторов одномерной кривизны и секционной кривизны.
Определены сигнатуры спектра оператора секционной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Найдены критерии существования трехмерных метрических групп Ли с предписанными спектрами операторов одномерной и секционной кривизн, полученные результаты распространены на случай трехмерных локально однородных римановых многообразий.
Доказана теорема о структуре спектров операторов одномерной кривизны, кривизны Риччи и секционной кривизны левоинвариантных римановых

метрик на конформно плоских группах Ли произвольной размерности п ^ 4. Установлено, что спектры операторов кривизны Риччи и одномерной кривизны содержат не более двух значений с учетом кратности, а в случае оператора секционной кривизны - не более трех. Вычислен спектр оператора секционной кривизны на всех четырехмерных конформно плоских метрических группах Ли.

В случае четырехмерных вещественных алгебр Ли построены обобщенные базисы Дж. Милнора, вычислены значения спектра операторов кривизны в случае малой размерности пространства модулей левоинвариантных римано-вых структур на алгебрах Ли.
С помощью обобщенных базисов Дж. Милнора получена классификация однородных инвариантных и алгебраических солитонов Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации являются новыми, снабжены подробными доказательствами.

Результаты диссертации докладывались на семинаре отдела анализа и геометрии Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН (рук. акад. РАН Ю.Г. Решетняк); на семинаре „Геометрия, топология, и их приложения" Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН (рук. акад. РАН Н.А. Тайманов); на семинаре „Геометрия, топология и математическая физика" отдела геометрии и топологии МИАН совместно с кафедрой высшей геометрии МГУ (рук. акад. РАН СП. Новиков, чл.-корр. РАН В.М. Бухштабер); на семинаре „Геометрия и математическое моделирование" (рук. проф. Е.Д. Родионов).

наре, посвященном 85-летию со дня рождения В.А. Топоногова (Новосибирск, Институт математики им. С.Л. Соболева, 2015); Международной молодежной конференции „Геометрия и управление" (г. Москва, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, 2014); Международной конференции „Геометрия и анализ на метрических структурах" (г. Новосибирск, Институт математики им. С.Л. Соболева, 2013); Международной конференции „Ломоносовские чтения на Алтае" (г. Барнаул, АлтГУ, 2011, 2012, 2013, 2014); Всероссийской молодежной школе-семинаре „Анализ, геометрия и топология" (г. Барнаул, АлтГУ, 2013); Всероссийской конференции по математике „МАК" (г. Барнаул, 2012, 2013, 2014, 2015).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 21 работе, в том числе в 19 печатных работах и двух электронных ресурсах, из них 8 статей в рецензируемых журналах, содержащихся в списке ВАК, 9 статей в сборниках трудов семинаров и конференций и 4 тезисов докладов. Результаты работ в соавторстве получены авторами совместно, при равном вкладе и являются неделимыми.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Результаты параграфа 2.3 главы 2 получены автором совместно с О.П. Хромовой(Гладуновой), результаты параграфов 3.4, 3.5 главы 3 получены совместно с Е.Д. Родионовым и П.Н. Клепиковым, остальные результаты получены автором лично.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 108 страниц, из них 97 страниц текста. Библиография включает 77 наименований на 11 страницах.

Спектр оператора одномерной кривизны на трехмерных метрических группах Ли

В параграфе 2 главы 3 описан алгоритм Н. Kodama, A. Takahara, Н. Tamaru [17] построения ортонормированных базисов - обобщенных базисов Дж. Милнора, основанный на свойствах пространства орбит левоинвариантных римановых метрик групп Ли.

Параграф 3 посвящен построению обобщенных базисов Дж. Милнора четырехмерных метрических алгебр Ли. Сведения о группах автоморфизмов четырехмерных вещественных алгебр Ли, которые используются при построении обобщенных базисов Дж. Милнора, взяты из работы [25]. Заметим, что некоторые из этих базисов были построены ранее в работах [8, 9] из других соображений.

Основной результат параграфа 3:

Теорема 3.6. Для произвольного скалярного произведения ( , ) на четырехмерной метрической алгебре Ли g существует ( }-)-ортонормированный базис {Х І}, в котором ненулевые существенные структурные константы имеют вид, указанный в таблице 3.1. Таблица 3.1 приведена в тексте диссертации на странице 66.

В параграфе 4 рассмотрено решение вопроса об изометричности двух специальных четырехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля, что завершает классификацию таких групп из работ [26, 27]. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 3.7. Спектры оператора одномерной кривизны А, оператора кривизны Риччи р, оператора секционной кривизны 1Z четырехмерных метрических алгебр Ли А22Аі; АздфАі и Аз;зАі; соответствующих группам Ли с левоинвариантной римановой метрикой, имеет вид, представленный в таблице 3.2. Таблица 3.2 приведена в тексте диссертации на странице 68. Теорема 3.8. Четырехмерные метрические группы Ли с алгебрами А"в с набором структурных констант с}4 = aL, с 4 = — cfi4 = —L и с набором с1 4 = с2 4 = сз 4 = / с2 4 = сї 4 = — А /3 О, L 0 ке изометричны. Определение 3.3. Полное риманово многообразие (М, д) называется со-литоном Риччи, если метрика д удовлетворяет уравнению: r = C-g + Lxg, (3.1) где г - тензор Риччи, С Є К. - константа, Lxg - производная Ли метрики g по направлению полного дифференцируемого векторного поля X. Определение 3.5. Однородная риманова метрика g на однородном пространстве G/H, где G - связная группа Ли, Н - связная замкнутая подгруппа, удовлетворяующая уравнению (3.1) называется однородным солито-ном Риччи.

Определение 3.7. Пусть G — группа Ли с левоинвариантной римано-вой метрикой д. Если метрика д является однородным солитоном Риччи, причем поле X в уравнении (3.1) левоинвариантно, тогда метрика g назва-ется однородным инвариантным солитоном Риччи.

Определение 3.6. Группа Ли G с левоинвариантной римановой метрикой g называется алгебраическим солитоном Риччи, если метрика g в некотором ортобазисе удовлетворяет уравнению: p(g) = C-I + D, где р(д) - матрица оператора Риччи, С Є К. - константа, I - единичная матрица, D - матрица оператора некоторого дифференцирования алгебры Q.

Основным результатом параграфа 5 является доказательство теорем о классификации алгебраических солитонов Риччи и однородных инвариантных солитонов Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой в терминах структурных констант алгебр Ли. Данная классификация использует обобщенные базисы Дж. Милнора. Заметим, что ранее классификацию алгебраических солвсолитонов Риччи в иных терминах получил Лауре с помощью алгебры дифференцирований [28]. Доказаны следующие теоремы:

Левоинвариантная риманова метрика на четырехмерной группе Ли является алгебраическим солитоном Риччи тогда и только тогда, когда соответствующая алгебра Ли входит в таблицу 3.5.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации являются новыми, снабжены подробными доказательствами.

Результаты диссертации были представлены на Международных и Всероссийских конференциях: IV Международной геометрической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Д. Александрова (г. Санкт-Петербург, Институт им. Эйлера, 2012); Международной конференция „Дни геометрии в Новосибирске - 2014", посвященной 85-летию академика Юрия Григорьевича Ре-шетняка (г. Новосибирск, Институт математики им. С.Л. Соболева, 2014); семинаре, посвященном 85-летию со дня рождения В.А. Топоногова (Новосибирск, Институт математики им. С.Л. Соболева, 2015); Международной молодежной конференции „Геометрия и управление" (г. Москва, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, 2014); Международной конференции „Геометрия и анализ на метрических структурах" (г. Новосибирск, Институт математики им. С.Л. Соболева, 2013); Международной конференции „Ломоносовские чтения на Алтае" (г. Барнаул, АлтГУ, 2011, 2012, 2013, 2014); Всероссийской молодежной школе-семинаре „Анализ, геометрия и топология" (г. Барнаул, АлтГУ, 2013); Всероссийской конференции по математике „МАК" (г. Барнаул, 2012, 2013, 2014, 2015).

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Гезуль-таты параграфа 2.3 главы 2 получены автором совместно с О.П. Хромовой (Гладуновой), результаты параграфов 3.4, 3.5 главы 3 получены совместно с Е.Д. Годионовым и П.Н. Клепиковым, остальные результаты получены автором лично. Гезультаты работ в соавторстве получены авторами совместно, при равном вкладе и являются неделимыми. Материалы диссертации опубликованы в 21 работе, в том числе в 19 печатных работах и двух электронных ресурсах, из них 8 статей в рецензируемых журналах, содержащихся в списке ВАК, 9 статей в сборниках трудов семинаров и конференций и 4 тезисов докладов. Автор выражает глубокую признательность научному руководителю, профессору Е.Д. Годионову за помощь и поддержку в проведении данных исследований.

Спектр оператора секционной кривизны на трехмерных локально однородных римановых многообразиях

Далее определим возможные сигнатуры спектра оператора секционной кривизны на трехмерной неунимодулярной группе Ли с левоинвариантной ри-мановой метрикой. Из теоремы 1.8 следует, что функция 6 - защемленности секционной кривизны К(-, ) на трехмерной неунимодулярной алгебре Ли удовлетворяет условию —1 1. Поскольку (7і2 = —1 — 2Р Р 0, сигнатуры 7, 8, 9, 10 не реализуемы, а на алгебрах с положительным значением функции 6 - защемленности реализуется сигнатура 1 таблицы 1.3. В итоге получаем утверждение о возможных сигнатурах в неунимодуляр-ном случае. Теорема 1.10. Пусть G - неунимодулярная трехмерная группа Ли с лево-инвариантной римановой метрикой, Q - алгебра Ли группы G. В качестве сигнатуры спектра оператора кривизны для некоторого скалярного произведения на Q реализуются сигнатуры 1, 2, 3, 4, 5, 6 таблицы!.3.

Спектр оператора секционной кривизны на трехмерных локально однородных римановых многообразиях

Определение 1.4. Риманово многообразие (М,д) называется локально однородным римановым многообразием (см. [31]), если псевдогруппа локальных изометрий действует на нем транзитивно.

Локально однородные римановы многообразия изучены в работах [32], [33], [34]. Любое однородное риманово многообразие является локально однородным. Обратно, если локально однородное риманово многообразие (М,д) является полным, то его универсальное риманово накрывающее пространство будет глобально однородным. Однако без предположения полноты это становится неверным. В работах [35], [36] построены примеры локально однородных римановых многообразий, которые локально не изометричны никакому однородному пространству.

Из результатов работ [33], [35] следует, что для любой тройки (с"23, 0зъ 012) Є R существует трехмерное риманово многообразие с постоянными главными значениями оператора кривизны (о"23, 0зъ 012)- Однако не для любой тройки вещественных чисел найдется трехмерное локально однородное риманово многообразие с такими главными значениями оператора кривизны. Ниже будет получен критерий существования трехмерного локально однородного риманова многообразия с предписанными главными значениями оператора кривизны.

В работе Секигавы (см. [34]) приведена классификация трехмерных локально однородных римановых многообразий: каждое локально однородное трехмерное риманово многообразие либо локально гомотетично одному из симметрических пространств Н?\ S:i, Е?\ Н2 х Е1, S2 х Е1, либо локально изомет-рично трехмерной группе Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Следовательно, достаточно будет ответить на вопрос о существовании трехмерной группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой и предписанными главными значениями оператора кривизны на ней.

Теорема 1.11. Локально однородное трехмерное риманово многообразие (М,д) с главными значениями оператора кривизны (о 23і сг13, а и) существует в том и только в том случае, если числа o ij (с точностью до перестановок) удовлетворяют хотя бы одному (возможно, нескольким) из условий:

Доказательство. Применим теорему Секигавы [34] о классификации трехмерных локально однородных римановых многообразий: каждое трехмер 45 ное локально однородное риманово многообразие либо локально гомотетично одному из симметрических пространств і/3, 5 3, Е 3, Н2 х Е1, S2 х Е1, либо локально изометрично трехмерной группе Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Утверждение теоремы сразу следует из теорем 1.5, 1.6. Условие 1 соответствует симметрическим пространствам, условие 2 - унимодулярным группам Ли, условие 3 — неунимодулярным группам Ли. Результаты первой главы опубликованы в работах [57-63]. где gb есть матрица, обратная к ?ь Из (2.3) и (2.4) следует, что тензоры Римана, Риччи, одномерной кривизны являются функциями структурных констант с\, и компонент метрического тензора д . Согласно (2.1) этим же свойством будет обладать оператор кривизны (см. также [37]).

Теорема 2.1. Главные значения операторов Риччи и одномерной кривизны на n-мерной конформно плоской метрической группе Ли могут принимать не более двух различных значений с учетом кратности. При этом, если pi = pj (соответственно а,{ dj), то Kij = 0.

Конформно плоские группы Ли с главными значениями оператора кривизны разных кратностей

При этом из результатов работы [27] следует, что метрики, соответствующие метрическим алгебрам Ли различных типов, попарно не изометричны. Однако остался открытым вопрос об изометричности метрик на алгебре А Q , соответствующих 6 и 7 строкам таблицы 3.3. Ответ на этот вопрос можно получить, вычислив спектры операторов Риччи данных левоинвариантных метрик, с помощью обобщенных базисов Дж. Милнора.

Следовательно, получаем, что низ лежащие группы при указанных ограничениях на структурные константы не могут быть изометричны, что завершает классификацию четырехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля из работ [26, 27].

Важным обобщением эйнштейновых метрик являются солитоны Риччи, которые были впервые рассмотрены Гамильтоном в работе [46]. Известно (см. [47]), что g - солитон Риччи в том и только в том случае, если семейство римановых метрик g(t) = (—2Ct + 1 )(/? ? - решение уравнения потока Риччи tg{t) = —2г (#()), для некоторой однопараметрической группы tpt диффеоморфизмов М с начальным условием д(0) = д.

Определение 3.3. Полное риманово многообразие (М,д) называется солито-ном Риччи, если метрика д удовлетворяет уравнению: где г - тензор Риччи, С Є К. - константа, Lxg - производная Ли метрики g по направлению полного дифференцируемого векторного поля X. Определение 3.4. Солитон Риччи называется растягивающимся, если С 0, устойчивым, если С = 0 и стягивающимся, если С 0. Определение 3.5. Однородная риманова метрика g на однородном пространстве G/H, где G - связная группа Ли, Н - связная замкнутая подгруппа, удовлетворяующая уравнению (3.1) называется однородным солитоном Риччи.

Солитоны Риччи исследованы в работах многих математиков (см., например, обзор [48]). Классификация однородных солитонов Риччи известна в малых размерностях (см. [18, 49]) и не является исчерпывающей (см. [50]).

Далее будем считать, что (М, д) — однородный солитон . Если однородный солитон устойчив, то тензор Риччи тривиален (см. подробнее в [51]) и по теореме Алексеевского-Кимельфельда многообразие является плоским (см. [22]). В случае растягивающегося однородного солитона из работ [46, 52] вытекает, что он изометричен произведению компактного однородного эйнштейнова многообразия и евклидова пространства. Если однородный солитон стягивающийся, то М некомпактно (см. [53]).

Известные нетривиальные (отличные от эйнштейновых и от прямых произведений эйнштейновых многообразий и евклидова пространства) однородные солитоны изометричны разрешимым группам Ли с левоинвариантной римановой метрикой (т.е. солвсолитонам). Классификация солвсолитонов на четырехмерных разрешимых группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой приведена в работе [49] и основана на классификации алгебраических солитонов.

Пусть G - группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, д - ее алгебра Ли, р - оператор Риччи, определяемый равенством: риманово многообразие (М,д) называется алгебраическим солитоном Риччи, если метрика д в некотором ортобазисе удовлетворяет уравнению: где р(д) - матрица оператора Риччи, С Є К. - константа, I - единичная матрица, D - матрица оператора некоторого дифференцирования алгебры Q. Любой алгебраический солитон Риччи на односвязной группе Ли G с левоинвариантной римановой метрикой соответствует некоторому солитону Риччи ([49]). С другой стороны, как показано в работе [54], любой (неплоский) солитон Риччи с транзитивной разрешимой группой Ли движений изометричен односвязному солвмногообразию. Таким образом, изучение солитонов Риччи на разрешимых группах Ли сводится к изучению алгебраических солитонов.

Далее рассмотрим применение техники обобщенных базисов Дж. Милно-ра для нахождения алгебраических солитонов на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Исследованию алгебраических солито-нов Риччи посвящены работы [51, 54, 55] и др. Классификация алгебраических солвсолитонов с точностью до эквивариантной изометрии приведена Лауре в работе [49].

Заметим, что дифференцирование D Є Der(g) в уравнении 3.2 является симметричным в силу симметрии оператора Риччи. Поэтому для алгебры Ли каждого типа достаточно описать все симметричные дифференцирования алгебры Ли 0.

Спектры операторов кривизны некоторых четырехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой

Теорема 3.8. Четырехмерные метрические группы Ли с алгебрами A g с набором структурных констант с\А = aL, с2 4 = —с\ 4 = L и с набором с1 4 = с2 4 = сз 4 = Р ) с2 4 = сї 4 = А /3 0, L 0 не изометричны. а спектр оператора Риччи имеет вид: {—3/32L2, —3/32L2, —3/32L2, —3/32L2}. Следовательно, получаем, что низ лежащие группы при указанных ограничениях на структурные константы не могут быть изометричны, что завершает классификацию четырехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля из работ [26, 27].

Однородные солитоны Риччи на четырехмерных метрических группах Ли Определение 3.2. Полное риманово многообразие (М,д) называется эйнштейновым, если тензор Риччи г удовлетворяет уравнению Эйнштейна: г = С g для некоторой константы CGR. Однородные эйнштейновы многообразия изучены в работах многих математиков ([19, 31, 44, 45]).

Любой алгебраический солитон Риччи на односвязной группе Ли G с левоинвариантной римановой метрикой соответствует некоторому солитону Риччи ([49]). С другой стороны, как показано в работе [54], любой (неплоский) солитон Риччи с транзитивной разрешимой группой Ли движений изометричен односвязному солвмногообразию. Таким образом, изучение солитонов Риччи на разрешимых группах Ли сводится к изучению алгебраических солитонов.

Рассмотрев оставшиеся четырехмерные алгебры Ли подобным образом, можно получить классификацию нетривиальных алгебраических солитонов Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой в терминах структурных констант алгебры Ли группы Ли с помощью обобщенных базисов Дж. Милнора.

Теорема 3.10. Левоинвариантная риманова метрика на четырехмерной группе Ли является алгебраическим солитоном Риччи тогда и только тогда, когда соответствующая алгебра Ли входит в таблицу 3.5.

Определение 3.7. Пусть G — группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой д. Если метрика д является однородным солитоном Риччи, причем поле X в уравнении (3.1) левоинвариантно (то есть инвариантно относительно левых сдвигов группы Ли G), тогда метрика g назвается однородным инвариантным солитоном Риччи.