Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Многомерные шестиугольные три-ткани 18
1. Структурные уравнения многомерной три-ткани 18
2. Универсальные тождества и конфигурации на многомерных три-тканях. Шестиугольные три-ткани 24
3. Структурные уравнения многомерной ткани Н3 30
4. Структурные уравнения шестимерной ткани Н3 35
5. Изоклинные три-ткани На 40
Глава 2. Классификация шестимерных шестиугольных три-тканей с частично симметричным тензором кри визны 46
1. Шестимерные шестиугольные три-ткани с частично симметричным тензором кривизны второго типа 47
2. Шестимерные шестиугольные три-ткани с частично симметричным тензором кривизны третьего типа 59
3. Шестимерные шестиугольные три-ткани с частично симметричным тензором кривизны четвертого типа 67
4. Шестимерные шестиугольные три-ткани с частично симметричным тензором кривизны и неразрешимой касательной алгеброй Ли 81
Глава 3. Геометрические и алгебраические свойства тканей Н\ и НІ 86
1. Явное действие группы G\ на слоениях ткани Н\ 86
2. Характеризация шестиугольной три-ткани i/f в терминах семимерной алгебры Ли группы автоморфизмов 94
3. Вычисление тензоров кручения и кривизны три-тканей Н\ и iff 105
Список литературы 112
- Универсальные тождества и конфигурации на многомерных три-тканях. Шестиугольные три-ткани
- Структурные уравнения шестимерной ткани Н3
- Шестимерные шестиугольные три-ткани с частично симметричным тензором кривизны третьего типа
- Характеризация шестиугольной три-ткани i/f в терминах семимерной алгебры Ли группы автоморфизмов
Введение к работе
Геометрия три-тканей возникла на рубеже 20-х-30-х годов двадцатого века в работах немецкого геометра В. Бляшке, его учеников и коллег. В своей книге [18] Бляшке пишет: "Итак, мы видим, что столь необходимая для техники номография может быть включена в наше учение о тканях. Но геометрия тканей тесно связана и с многими "классическими" областями математики. В первую очередь имеется ввиду:
вопросы аксиоматического обоснования элементарной и проективной геометрии;
алгебраическая теория групп и теория непрерывных групп Ли;
проективная и алгебраическая геометрия;
классическая дифференциальная геометрия Гаусса;
проективная дифференциальная геометрия;
риманова геометрия и ее обобщения;
вариационное исчисление;
теория функций;
формы Пфаффа и дифференциальные уравнения;
10) теория расслоенных пространств."
В этом высказывании содержится, по существу, целая программа исследований, к настоящему времени частично реализованная.
В первых работах по теории три-тканей, написанных В. Бляшке и его учениками, строится локальная "топологическая" дифференциальная геометрия ткани, т. е. изучаются локальные дифференциально-
Введение
геометрические свойства тканей, инвариантные относительно локальных диффеоморфизмов:
^0, 2,j = l,2.
\дхз)
х{ = /{(х>), det
В 1935 году Г. Боль [20] обобщает понятие три-ткани на четырехмерный случай, рассматривая три-ткани, образованные семействами двумерных поверхностей в четырехмерном пространстве. Он находит полную систему инвариантов изучаемых тканей и с помощью них определяет условия замыкания конфигураций Томсена (Т), Рей-демейстера (R), и шестиугольных конфигураций (Н), образованных поверхностями ткани (рис. 1-3).
\ \
V N
\ Ч
X N
X N
\ Ч
\ Ч
ч S
ч ч ч ч ч ч ч
Рис.1
Рис.2
Рис.3
ч ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч.
Рис.4
Рис.5
Рис.6
В 1936 г. появилась работа Черна [34], в которой методом внешних форм Э. Картана изучается геометрия многомерных три-тканей, об-
Введение
разованных тремя семействами r-мерных поверхностей в 2г-мерном пространстве. Затем (в 1937 году) Г. Боль рассматривает новые конфигурации, отличные от (Т), (R) и (Я). Их теперь обозначают (В), (Вт) и (Вг) и называют соответственно левой, средней и правой фигурами Боля (рис. 4-6). В 1938 г. выходит в свет обстоятельная монография В. Бляшке и Г. Боля "Геометрия тканей" [19] в которой подводится итог исследованиям по геометрии тканей за прошедший период.
Современный этап исследований был подготовлен, с одной стороны, созданием мощного аппарата дифференциально-геометрических исследований Картана-Финикова-Лаптева-Васильева. С другой стороны, начиная с 50-х годов, все более усиливается интерес математиков и физиков к неассоциативным лупам и нелиевам алгебрам. Кроме того, в это время начинает активно развиваться абстрактная теория тканей.
Интенсивное изучение многомерных тканей начинается с 1969 г. работами М.А. Акивиса [3], [5] и продолжается до сих пор. К настоящему времени в этой области получен ряд фундаментальных результатов, отраженных в обзорах [1], [9], [10], [17], [30], [36], [38] и монографиях [24], [25]. Исследования ведутся преимущественно по трем направлениям:
а) изучение специальных классов тканей, в первую очередь изо-
клинных, трансверсально-геодезических, грассмановых и алгебраи
ческих, а также тканей, определяемых специальными соотношениями
на основные тензоры;
б) исследование дифференциально-геометрических структур и аф
финных связностей, определяемых тканями;
в) изучение локальных свойств тканей с помощью ее локальных
координатных луп.
Теория тканей еще сравнительно молодой раздел математики, поэтому одной из основных проблем в этой области является проблема
Введение
классификации. В большинстве работ, посвященных геометрическим и алгебраическим аспектам теории тканей, рассматриваются специальные классы тканей. Каждый класс тканей характеризуется прежде всего особым типом канонически присоединенной аффинной связности Г. (Впервые эта связность появилась в работе Черна [34], поэтому М. Киккава [27] предложил называть ее связностью Черна.) С помощью связности Черна были даны тензорные характеристики тканей T,R,H [34], [35], чем было положено начало главному направлению исследований в современной дифференциально-геометрической теории тканей, а именно изучению тканей со специальным строением основных тензоров.
Цель данной диссертационной работы состоит в изучении шестиугольных три-тканей с частично симметричным тензором кривизны, которые мы называем тканями Hs.
Основные задачи настоящего исследования:
найти общий вид структурных уравнений тканей Hs, в частности, шестимерных тканей Hs;
провести классификацию шестимерных тканей Hs, найти структурные и конечные уравнения для каждого класса тканей;
найти порядок замкнутой ^-структуры, определяемой этими тканями;
исследовать геометрическое строение найденных шестимерных тканей Hs.
Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим некоторые из них.
Найдены структурные уравнения 2г-мерных тканей Hs, структурные и конечные уравнения шестимерных тканей Hs (г = 3).
Доказано, что ^-структура ткани Hs является замкнутой структурой порядка 3 в смысле определения М. Акивиса. (Напомним, что ^-структура произвольной ткани Н является замкнутой порядка 4).
3. Проведена классификация шестиугольных тканей Hs по типу
Введение
ассоциированной алгебры Ли. Доказано, что существуют (с точностью до изотопии) всего две нетривиальные, то есть не групповые, ткани Hs, а именно, ткани Н\ и #J, соответствующие трехмерным алгебрам Ли с одномерным и двумерным коммутантом соответственно.
4. Исследована геометрия тканей Н] и Hg.
Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты используются при чтении спецкурсов в рамках специализации по геометрии тканей в Тверском государственном университете, которая ведется в ТвГУ с конца 70-х годов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре по дифференциальной геометрии кафедры функционального анализа и геометрии ТвГУ (рук. проф. A.M. Шелехов), кафедры математики Института стали и сплавов (рук. проф. М.А. Акивис), на геометрическом семинаре кафедры геометрии МГПИ (рук. проф. В.Ф"ГКириченко), геометрическом семинаре Казанского университета (рук. проф. Б.Н. Шапуков), а также на конференции молодых ученых в Университете Дружбы Народов (рук. проф. Л.В. Сабинин).
Основное содержание диссертации отражено в восьми публикациях. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литертуры. Она изложена на 116 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 48 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
Краткое содержание диссертации.
Во введении излагается предыстория вопроса, обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, излагаются основные результаты.
В первой главе даны предварительные сведения из теории многомерных тканей и доказаны некоторые теоремы общего характера.
В 1 дано определение многомерной три-ткани, записаны ее структурные уравнения, найдены соотношения, связывающие основные тен-
Введение
зоры ткани до пятой дифференциальной окрестности включительно.
Второй параграф посвящен универсальным тождествам и конфигурациям на многомерных три-тканях. Здесь же рассматриваются свойства тканей, описываемые в терминах их координатных луп. Дано определение шестиугольных три-тканей — основного объекта изучения в данной работе.
В 3 найдены структурные уравнения шестиугольных три-тканей с частично симметричным тензором кривизны и соотношения, связывающие их тензоры кручения и кривизны.
Главный результат параграфа связан с понятием замкнутой ^-структуры, введенным М. Акивисом в 1976 году в работе [4]. В [4] отмечено, в частности, что ^-структуры, определяемые три-тканями Т, R, В, М, являются замкнутыми. Отсюда вытекала необходимость изучения класса тканей, обладающих замкнутой' g-стуктурой, причем в первую очередь нужно было выяснить, будет ли замкнутой д-стуктура, определяемая шестиугольными тканями. Для четырехмерных шестиугольных тканей положительный ответ на этот вопрос следует из работы В. Боцу [22]. Однако в его доказательствах существенно использовалась четырехмерность, что не позволяло обобщить результат на произвольную размерность. Только в 1986 году А. Шелеховым было доказано, что шестиугольная ткань любой размерности определяет замкнутую #-стуктуру четвертого порядка [39]. В 3 мы доказываем следующую теорему:
Теорема 1.1. G-структура ткани Hs является замкнутой структурой третьего порядка.
В этом параграфе отмечено также, что локальные алгебры ткани Hs являются алгебрами Ли относительно бинарной операции, определяемой тензором кручения три-ткани a*-fc, который является ковари-антно постоянным на третьем слоении ткани.
В 4 найден общий вид структурных уравнений шестимерных шестиугольных три-тканей с частично симметричным тензором кривиз-
Введение
ны. При этом использовались дискриминантные тензоры, с помощью которых валентность тензоров кручения и кривизны удалось снизить на единицу.
В 5 рассматриваются изоклинные три-ткани Hs. Доказаны следующие утверждения:
Теорема 1.4. Изоклинная шестиугольная три-тканъ с частично симметричным тензором кривизны является групповой тканью.
Теорема 1.5. Шестимерная шестиугольная изоклинная три-ткань Hs является параллелизуемой тканью.
Универсальные тождества и конфигурации на многомерных три-тканях. Шестиугольные три-ткани
Условимся изображать слои первого, второго и третьего слоений три-ткани горизонтальными, вертикальными и наклонными линиями соответственно. Рассмотрим простейшие конфигурации (или фигуры), образованные слоями ткани, изображенные на рисунках 1-6. Они называются, соответственно, фигурами Т (Томсена), R (Рейдемейстера), В і (левыми фигурами Боля), Вг (правыми фигурами Боля), Вт (средними фигурами Боля), Н (шестиугольными). Пунктирная линия означает, что точки А и В, вообще говоря, лежат на разных слоях третьего слоения. Если они лежат на одном и том же слое, то говорят, что конфигурация замыкается или является замкнутой. Если на ткани замыкаются всевозможные конфигурации одного из перечисленных выше типов, то такие ткани называются, соответственно, тканями Томсена или (Т), Рейдемейстера или (Я), тканями Вг, Вг, Вт и шестиугольными тканями. Три-ткани, на которых замыкаются фигуры Боля всех трех типов, называются тканями Му-фанг или (М). Для тканей на плоскости (г = 1), согласно теореме Бляшке [18], все перечисленные классы совпадают. Но в многомерном случае (г 1) эти классы различны, причем имеют место следующие включения: Перечисленные классы тканей наиболее привлекательны для изучения, с ними связаны наиболее интересные результаты теории тканей. Эти классы харахтеризуются следующими соотношениями на Первые три теоремы принадлежат Черну. Он доказал, что ткани Т параллелизуемы, то есть эквивалентны тканям, образованным тремя семействами параллельных г — плоскостей аффинного пространства А2г. Строение тканей R описано М.А. Акивисом [3]. Более сложными оказались ткани Боля, так как у них тензор кривизны отличен от нуля. Необходимость условия (1.2.1) для тканей Боля доказана в 1971 г. [11], а достаточность доказана значительно позже В.И. Федоровой в 1978 г. [32]. Менее всего исследованы ткани Н, образующие наиболее широкий класс. Четырехмерные ткани Н исследовали Г.А. Клековкин [29], В.П. Боцу [21], [22], Г.А. Толстихина [31]. Пусть Fa Є Аі и Fb Є Х2 — Два фиксированных слоя ткани, проходящие через точку х Є М, и пусть f(a,b) = с (см 1.1.1). Рассмотрим отображения расслоений Ai, A2, A3 в A3. Определим операцию умножения в А3 следующим образом: Для операции о, введенной таким образом, элемент е = /(а, 6) играет роль единицы.
В достаточно малой окрестности U точки х отображения (1.2.2) являются биекциями и поэтому определяют некоторое изотопическое преобразование квазигруппы /. Полученный изотоп квазигруппы / называется главным изотопом. Он обладает единицей е, то есть является лупой. Обозначим эту лупу через (а, Ъ). Умножение в (а, Ь) имеет геометрический смысл, указанный на рис. 7. Таким образом, с каждой точкой (а, Ь) многообразия М, на котором задана три-ткань W, связана лупа (а, 6), которая называется координатной лупой три-ткани W. Это дает возможность описывать свойства три-тканей в терминах теории квазигрупп и луп, и наоборот, известные свойства последних переносить на ткань. Каждому условию замыкания конфигураций на ткани W соответствует выполнение вполне определенного алгебраического тождества в координатных лупах этой ткани. Например, С этой точки зрения шестиугольные ткани суть такие ткани, все координатные лупы которых моноассоциативны. На самом деле, в координатных лупах, например, ткани Н выполняется более сильное тождество, чем указанное выше тождество моноассоциативности. Этот факт связан с понятием универсального тождества. Известно, что координатные лупы ткани изотопны между собой и изотопны координатной квазигруппе q. С другой стороны, известно, что тождества при изотопии, вообще говоря, не сохраняются. В частности, не сохраняется и тождество моноассоциативности, но, поскольку во всех (изотопных друг другу!) координатных лупах ткани Н тождество моноассоциативности выполняется, то ясно, что координатные лупы ткани Н принадлежат некоторому классу луп, в которых тождество х2 - х = х - х2 сохраняется при изотопии. Этот класс луп характеризуется некоторым более сильным тождеством, чем тождество моноассоциативности. Причем, это новое тождество сохраняется при изотопии, поэтому является универсальным. Универсальное тождество можно определить следующим образом: пусть V{S) — многообразие луп, определяемое тождеством S, то есть множество всех луп, в которых выполняется это тождество. Тождество S назовем универсальным, если многообразие V(S) инвариантно относительно изотопии, то есть все изотопы любой лупы Q многообразия V(S) также принадлежат V(S). Покажем, как находить универсальное тождество S, характеризующее многообразие луп V(S). Пусть в координатных лупах некоторой ткани W, выполняется тождество S, тогда на ней замыкаются все фигуры S, определенным образом связанные с координатными лупами этой ткани. Такие фигуры мы назвали координатными фигурами S [41]. Рассмотрим произвольную фигуру S, не являющуюся координатной для лупы С(а,Ь). Ей отвечает в лупе (а,Ь) некоторое новое тождество S, которое уже будет универсальным. Согласно [41], оно может быть найдено следующим образом: каждое произведение х у в тождестве S нужно заменить на произведение вида х/а о Ь\у, где символы /, \ обозначают обратные операции к операции о. В результате получается так называемое производное от S тождество, которое уже является универсальным. Например, тождеству моноассоциативности и2 о и = и о и2 отвечает производное универсальное тождество
Структурные уравнения шестимерной ткани Н3
В данном параграфе мы запишем структурные уравнения для шестимерных шестиугольных тканей (тканей Hs), т. е. положим в общих уравнениях г = 3, i,j,k = 1,2,3. Рассмотрим при г = 3 относительный дискриминантный ковариантный тензор ijk3: Аналогично вводится и контравариантный дискриминантный относительный тензор гік. Эти тензоры связаны соотношениями приведенными в [32]. Их ковариантные дифференциалы имеют вид С помощью дискриминантного тензора Ецк любой кососимметрич-ный тензор the (так как г = 3) может быть представлен в виде Поэтому тензор кручения и кососимметричную компоненту &r.fc, тензора кривизны рассматриваемой три-ткани Hs можно записать так: 3Слово "относительный" в дальнейших рассуждениях будем для краткости опускать. С учетом (1.4.7), формула (1.3.8) дает следующее выражение для тензора кривизны шестимерной ткани Н3: В результате, в силу соотношений (1.4.6) и (1.4.10), уравнения структуры (1.1.8), (1.1.9) рассматриваемой три-ткани Hs принимают следующий вид: Найдем теперь выражение для ковариантного дифференциала тензора a,J . Д записать следующим образом Используя (1.4.7), последнее равенство можно переписать так: Свернем полученное соотношение с &кі, учитывая (1.4.2). Получим Заметим, что соотношения (1.4.16) и (1.4.17) равносильны. Это легко показать, если расписать обе серии соотношений, пользуясь определением величин ijk 3. Напомним, что компоненты тензора кручения ткани Hs связаны тождеством Якоби (1.3.6). Для ткани Н% тождество Якоби с учетом (1.4.6) перепишется следующим образом: Оказывается, что соотношения (1.4.20) и (1.4.19) эквивалентны. Для доказательства достаточно расписать обе серии соотношений, пользуясь Определением ВеЛИЧИН {jk 4. Далее, рассмотрим соотношения (1.3.17), которые с учетом (1.4.6) и (1.4.10) можно переписать так: Эти соотношения очень сложные, поэтому получим из них несколько более простых. Используя (1.4.16), последнее равенство можно переписать так: Если это равенство свернуть с J mfc, то получим Соотношения (1.4.20) и (1.4.23) эквивалентны.
Для доказательства достаточно расписать обе серии соотношений, пользуясь определением ВеЛИЧИН Sjks 2) Если (1.4.20) свернуть с ектп, то используя (1.4.2) и (1.4.3), получим (1.4.22). Заметим, что в силу (1.4.10) равенство (1.4.22) можно переписать так: 3) Если (1.4.20) сначала свернуть с jks, а затем с Єтпа, используя при этом (1.4.2), (1.4.3) и (1.4.17), то получим (1.4.23). 4) Если (1.4.20) свернуть последовательно с krns и js, то придем к (1.4.23). Аналогично, свернув (1.4.20) с ш, придем к (1.4.22). 5. Рассмотрим соотношения (1.3.18). С учетом (1.4.17) и (1.4.6) их можно переписать так: Свернув последнее с iirn (или с Ытп) получим тождество. Свернем (1.4.24) с ikt (или с Е кт), используя (1.4.17), (1.4.2) и (1.4.3), получим Теорема 1.3. Структурные уравнения шестимерной шестиугольной ля этого продифференцируем соотношение (1.4.8) и преобразуем полученное выражение с учетом соотношений (1.3.4), (1.4.2), (1.4.4), (1.4.7). В результате получим: где w = ш\ 4- а 2 + с з« Из этих уравнений видно, что величины а1-7 образуют относительный тензор. Далее, дифференцируя соотношение (1.4.9) и используя (1.3.2), (1.3.17) и (1.3.20), найдем выражение для ковариантного дифференциала тензора Ьг : (1.4.14) Перепишем эти равенства с учетом формул (1.4.10), (1.4.7), (1.4.6), Найдем некоторые соотношеня на компоненты тензоров а1-7 и 6 , которые получаются из соотношений (1.3.1)-(1.3.3), (1.3.5), (1.3.6), (1.3.17) и (1.3.18), связывающих компоненты тензоров a -fc и №ы ткани И в общем случае. 1. Легко проверяется с учетом обозначений (1.4.8) и (1.4.9), что соотношения (1.3.1)-(1.3.3) удовлетворяются тождественно. 2. Рассмотрим теперь тождество (1.3.5). Нетрудно заметить, что его можно записать следующим образом Используя (1.4.7), последнее равенство можно переписать так: Свернем полученное соотношение с &кі, учитывая (1.4.2). Получим Заметим, что соотношения (1.4.16) и (1.4.17) равносильны. Это легко показать, если расписать обе серии соотношений, пользуясь определением величин ijk 3. Напомним, что компоненты тензора кручения ткани Hs связаны тождеством Якоби (1.3.6). Для ткани Н% тождество Якоби с учетом (1.4.6) перепишется следующим образом: Оказывается, что соотношения (1.4.20) и (1.4.19) эквивалентны. Для доказательства достаточно расписать обе серии соотношений, пользуясь Определением ВеЛИЧИН {jk 4. Далее, рассмотрим соотношения (1.3.17), которые с учетом (1.4.6) и (1.4.10) можно переписать так: Эти соотношения очень сложные, поэтому получим из них несколько более простых. Используя (1.4.16), последнее равенство можно переписать так: Если это равенство свернуть с J mfc, то получим Соотношения (1.4.20) и (1.4.23) эквивалентны. Для доказательства достаточно расписать обе серии соотношений, пользуясь определением ВеЛИЧИН Sjks 2) Если (1.4.20) свернуть с ектп, то используя (1.4.2) и (1.4.3), получим (1.4.22). Заметим, что в силу (1.4.10) равенство (1.4.22) можно переписать так: 3) Если (1.4.20) сначала свернуть с jks, а затем с Єтпа, используя при этом (1.4.2), (1.4.3) и (1.4.17), то получим (1.4.23). 4) Если (1.4.20) свернуть последовательно с krns и js, то придем к (1.4.23). Аналогично, свернув (1.4.20) с ш, придем к (1.4.22). 5. Рассмотрим соотношения (1.3.18). С учетом (1.4.17) и (1.4.6) их можно переписать так: Свернув последнее с iirn (или с Ытп) получим тождество. Свернем (1.4.24) с ikt (или с Е кт), используя (1.4.17), (1.4.2) и (1.4.3), получим Теорема 1.3. Структурные уравнения шестимерной шестиугольной три-ткани Hs могут быть записаны в виде (1.4.11), (1.4.12), причем тензоры агз, Ъг, входящие в эти уравнения удовлетворяют дифференциальным уравнениям (1.4.13) и (1.4.15), а также конечным соотношениям (1.4.17), (1.4.19), (1.4.23)-(1.4.25).
Шестимерные шестиугольные три-ткани с частично симметричным тензором кривизны третьего типа
Третьему типу соответствует неабелева алгебра Ли, коммутант которой является идеалом. Её базис может быть выбран так, что структурный тензор имеет две существенные компоненты: Используя (1.4.8), найдём, что тензор а -7 имеет только 2, вообще говоря, ненулевые компоненты: Рассмотрим уравнения (1.4.13). Подставляя в них вычисленные выше значения тензора atJ, получаем: Рассмотрим многообразие реперов R, присоединённое к многообразию М6, на котором задана исследуемая три-ткань Hs. Базисными формами на R будут формы Из (1.4.12) находим, что Отсюда видно, что уравнения вполне интегрируемы на многообразии R. Обозначим соответствующее интегральное подмногообразие через F, dimF = 9. На F с учётом (2.2.19) соотношения (2.2.18) и (2.2.17) примут вид: Из последнего видно, что величины Ц1» bf являются относительными инвариантами рассматриваемой ткани Hs. Положим bf = а, bf = Ь. За счет фиксации вторичных параметров, входящих в формы ш{, величины а и b можно сделать постоянными. Тогда из (2.2.20) и (2.2.15) следует Легко проверяется, что система (2.2.21) будет вполне интегрируемой и, следовательно, определяет расслоение многообразия F на семимерные подмногообразия М7 с базисными формами ш1, шг, о . На М7 уравнения структуры (1.4.11) и (1.4.12) запишутся так: Нетрудно проверить, что эта система замкнута относительно операции внешнего дифференцирования. Следовательно, она определяет некоторую три-ткань, обозначим ее Н2. С другой стороны, система (2.2.22) — система с постоянными коэффициентами, следовательно, согласно теореме Картана-Лаптева, она определяет на многообразии М7 структуру группы Ли. Обозначим ее &2, dimG2 = 7. Формы ш\ ш{, ш\ являются инвариантными формами группы G?,. Найдём формы Пфаффа, входящие в систему (2.2.22). Для этого рассмотрим сначала уравнения а"ш3 = 0, dш3 = 0. Из них вытекает, что о;3 = d3, ш3 Для нахождения формы о з воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Положим
Продифференцировав последнее уравнение и сравнив результат с предыдущим, нетрудно найти, что Рассмотрим подмногообразие M6 многообразия М7, определяемое уравнением На нём формы о/, а/ являются независимыми, поэтому М6 диффео-морфно многообразию М6, несущему рассматриваемую ткань Я2. Слои первого слоения ткани Hs задаются вполне интегрируемой системой шг = 0, которая с учётом (2.2.23), (2.2.24), (2.2.28), (2.2.29) эквивалентна следующей: Интегрируя, находим: где через х% обозначены первые интегральные системы, являющиеся параметрами слоя первого слоения ткани Н2. Поверхности второго слоения находим, интегрируя систему и г = 0. Имеем: Слои третьего слоения определяются системой ujl + a/ = 0, интегрируя которую, получим: Исключая из уравнений (2.2.30)-(2.2.32) переменные г, rf — локальные координаты точки многообразия М6, получаем конечные уравнения рассматриваемой ткани Н2: С другой стороны, уравнения (2.2.33) определяют координатную квазигруппу три-ткани Н2. Найдём изотопную ей координатную лупу, в которой единица имеет нулевые координаты. Для этого сделаем следующее изотопическое преобразование: В результате уравнения (2.2.33) перейдут в следующие: Полученные уравнения определяют лупу с единицей е(0,0,0) — координатную лупу три-ткани Н2. Случай q = —2, мы не рассматриваем, так как, согласно [26], трехмерные алгебры Ли при q = —2 и при q = — являются изоморфными. Следовательно, и полученная при q = — 2 три-ткань Hs будет эквивалентна ткани Н2. Итак, доказана следующая Теорема 2.2. Существует единственная негрупповая шестимерная шестиугольная три-ткань Н2 с частично-симметричным тензором кривизны, локальная алгебра Ли которой неабелева с двумерным коммутантом. В некоторых локальных координатах уравнения такой ткани имеют вид (2.2.34).
Характеризация шестиугольной три-ткани i/f в терминах семимерной алгебры Ли группы автоморфизмов
В предлагаемом параграфе мы будем рассматривать шестимерную шестиугольную три-ткань Н2, уравнения которой найдены в параграфе 2 главы 2: Ткань H2 реализуется на шестимерном однородном пространстве М = G2/H2. Стационарная подгруппа Н2, как видно из уравнений (2.2.22), является одномерной (абелевой) подгруппой группы G2-Слоения ткани — фактор множества gG jg , где gG%, дН2, как обычно, обозначают левые смежные классы. Группа С?2 действует на однородном пространстве М и оставляет на месте слоения ткани. Таким образом, группа G2 является группой автоморфизмов ткани Н2. Запишем структурные уравнения Маурера-Картана (2.2.22), которыми определяется семимерная группа Ли С?2» в более удобном виде: Здесь введены следующие обозначения: Напомним, что одномерная подгруппа В.2 выделяется из Gi вполне интегрируемой подсистемой вг = О, і = 1,2,..., 6. Из уравнений (3.2.1) вытекает Предложение 0. Структурные константы алгебры Ли А соответствующей группе С?2, удовлетворяют соотношениям Пользуясь уравнениями (3.2.1), несложно установить, что алгебра А является разрешимой, но не нильпотентной, обладает коммутативными подалгебрами размерности не выше 4, и, кроме того, для ее производных алгебр имеют место следующие свойства: 3)dim[I ,l"] = 0. Кроме того, алгебра А обладает другими свойствами, которые будут перечислены в Предложениях 1-7. Ниже мы указываем некоторые достаточные условия, характеризующие алгебру А. Пусть А — произвольная антикоммутативная семимерная алгебра (не обязательно лиева), ЄІ — некоторый ее базис, c -fc — соответствующий структурный тензор. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поместим векторы еі, ег, Є4, es, Є7 в А , Ь = Єї — Є4 + 2Є7 В А". ИСПОЛЬЗУЯ ЛИНеЙНуЮ НезаВИСИМОСТЬ ВеКТОрОВ Є{ и соотношения Так как dim [Л , А"] = О, то е{{ех - е4 + 2е7) = 0, г = 1,2,4,5, 7. Используя (3.2.6), получаем (4-4 + 24)е:/ = 0, (j = Т/7). Векторы е.,-(j = 1,7) линейно независимы, поэтому Расписав последние соотношения подробно (для всех i,j) и упростив их с учетом полученных выше равенств, придем к (3.2.5). Предложение 2. Пусть в алгебре А выполнены условия Предложения 1 и, кроме того, в А есть три четырехмерные подалгебры Вр, р — 1,2,3, такие, что Тогда базис в подалгебрах Вр можно выбрать так, чтобы структурные константы удовлетворяли соотношениям, записанным выше, а также и следующим: з ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поместим вектор е7 на пересечение = П JBP. Р=1 Обозначим через 7Г 2-подпространство, натянутое на и А".
Тогда 7Г = [е7,еі — ej. Заметим, что 7г С Вз С -Вз. Так как пространства Вр пересекаются по прямой С, они допускают со2 трехмерных трансверсалей, пересекающих их по двумерным плоскостям, содержащим вектор е7. Далее, поскольку Вр С А и dim Вр = 3, то существует оо1 3-хмерных трансверсальных подпространств, содержащих е7 и пересекающих каждое из Вр по 2-мерной плоскости. Ясно, что трансверсали для Вр будут трансверсалями также и для Вр. Пусть Dp три таких трансверсали, причем Di,D2 С А . Положим е2 Є D2 П Bit e5 Є D2C\ B2, e2 - e5 Є D2 П 53; e3 Є D3 П Sb Єб Є D3r\B2, ез — ее Є І?зПі?з. Кроме того, трансверсаль і выберем так, чтобы она содержала плоскость 7г (лежащую в В3). Тем самым трансверсаль D\ определена инвариантно. Так как е\ — е\ Є 7г, то е\ — Є4 Є -ВзП/?і. Тогда можно поместить е\ в пересечение .ОіПІ?і, а ВеКТОр Є4 В Пересечение DiC\B2. Тем СаМЫМ ПЛОСКОСТИ 7Гі = {еі,Є7}, 7Г4 = {е4,Є7}, 7г = {еі — е ет) определены инвариантно. В результате пространства Вр, р — 1,3, определяются, соответственно, базисами (еі, е2, е3, Є7), (е4, е5, е6, Є7) и (еі - Є4, е2 — е5, е3 — е6, е7), а трансверса ли Dp, COOTBeTCTBeHHO, баЗИСаМИ (еі,Є4,Є7), (е2,Є5,Є7) И (ез,Єб,Є7). При этом условие 3 предложения 2 будет выполнено. Используя тот факт, что Вр — подалгебры, в силу выбора базиса придем к соотношениям (3.2.7) и (3.2.8). 4 Следствие. Подпространства к и D\ являются коммутативными подалгебрами в А. Положим Fi =f [BUB3], F2 Hf [В2,В 3], F3 d [BUB2], где Br3 — производная подалгебра алгебры B3. Предложение 3. Пусть в алгебре А выполнены условия Предложений 1 и 2 и, кроме того, следующие условия: 3) линейная оболочка пространств Fi П В\ и F2 П В2 является трехмерной трансверсалью для пространств Вр и пересекает В3 по одномерному подпространству. Тогда базис в Fp, р = 1,2,3, и в В3 можно выбрать так, чтобы структурные константы cljk удовлетворяли соотношениям, записан
