Сечения многозначных отображений Колесников Олег Николаевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Сечения многозначных отображений в пространства, являющиеся обобщениями метрических 21

1.1. Непрерывные сечения многозначных отображений в пространства, являющиеся обобщениями метрических 22

1.2. Сечения первого класса многозначных отображений в пространства, являющиеся обобщениями метрических 27 .

1.3. Конечнозначные и бикомпактнозначные сечения многозначных отображений<-в пространства, являющиеся обобщениями метрических 43

1.4. Непрерывные сечения на всюду плотных подмножествах для многозначных отображений в пространства, являющиеся обобщениями метрических 56

1.5. О точках непрерывности полунепрерывных многозначных отображений 60

Глава 2. Сечения многозначных отображений в упорядоченные пространства 64

2.1. Непрерывные сечения многозначных отображений в упорядоченные пространства 64

2.2. Сечения первого класса многозначных отображений в упорядоченные пространства 67

2.3. Конечнозначные сечения многозначных отображений в упорядоченные пространства 73

Глава 3. Сечения многозначных отображений в разреженные пространства 76

3.1. Непрерывные сечения многозначных отображений в разреженные пространства 76

3.2. Сечения первого класса многозначных отображений в разреженные пространства 81

3.3. Конечнозначные и бикомпактнозначные сечения многозначных отображений в разреженные пространства 87

3.4. Непрерывные сечения на всвду плотных подмножествах для многозначных отображений в разреженные пространства 95

Глава 4. Непрерывные сечения многозначных отображений, определенных на экстремально несвязных пространствах, и бикомпактнозначные сечения многозначных отображений в полные по Чеху пространства 97

4.1. Непрерывные однозначные сечения, полунепрерывные бикомпактнозначные сечения и следствия 97

4.2. Полунепрерывные бикомпактнозначные сечения на всвдуплотных подмножествах 101

Цитированная литература 103

• Непрерывные сечения многозначных отображений в пространства, являющиеся обобщениями метрических
• Непрерывные сечения многозначных отображений в упорядоченные пространства
• Непрерывные сечения многозначных отображений в разреженные пространства
• Непрерывные однозначные сечения, полунепрерывные бикомпактнозначные сечения и следствия

Введение к работе

Необходимость рассмотрения многозначных отображений возникает при изучении различных задач теории и практики. Во многих математических ситуациях возникает вопрос о существовании сечения многозначного отображения г из X в | , так называется, вообще говоря, многозначное отображение [ из д в I , такое, что для всех Х^Л Б зависимости от контекста, в котором возникла задача, требуется найти сечение, удовлетворяющее тем или иным ограничениям, например, непрерывное однозначное, измеримое однозначное, полунепрерывное сверху или снизу с конечными или бикомпактными образами, непрерывное однозначное на всюду плотном подмножестве.

Задача о существовании сечений содержит как частные случаи следующие задачи: а) задача о продолжении отображений, б) задача об уяиформйзации множеств, в) задача о существовании явного решения неявных функций.

Важнейшим примером многозначного отображения является отображение, обратное к однозначному отображению. Отсюда каждой теореме о существовании сечения многозначного отображения соответствует теорема об однозначном отображений, которая, например, в случае существования непрерывного сечения утверждает, что непрерывное отображение является гомеоморфизмом на некотором подмножестве. Следовательно, теория сечений многозначных отображений может .быть применена к вопросу о сохранении свойств топологических пространств при непрерывных отображениях, что является одной из основных задач общей топологии.

Первая глава диссертации посвящена исследованию вопроса о существовании сечений многозначных отображений в пространства, являющиеся обобщениями метрических. Начало теории непрерывных сечений - О - для многозначных отображений в метрические пространства положено в трудах Э. Майкла J29J, [зо]. В работах М.М. Чобана [14], [іб] был предложен ряд новых результатов в этом направлении. Р. Эн-гелькинг [l7J и М.М. Чобан [l4J рассмотрели сечения первого класса. В работе К. Куратовского и Рыль-Нарджевского [27] исследовались борелевские сечения многозначных отображений. Полунепрерывные компактнозначные сечения многозначных отображений впервые были рассмотрены в работе Э. Майкла [зі], затем существенное продвижение в этом направлении было сделано М.М. Чобаном в работах [14], [іб] и С. Недевым в работе [зб].

В диссертации разработан новый метод построения сечений многозначных отображений, заключающийся в том, что сечение получается в виде пересечения семейства многозначных отображений. За счет этого ряд результатов о существовании сечений многозначных отображений в метрические пространства удалось перенести на пространства с G_g -диагональю.

Приступим к краткому изложению результатов первой главы, состоящей из пяти параграфов. Введем необходимые обозначения и определения. ^

Через А(Х) (соответственно 2^X,L(X),C(X),K(X), езсрД) будет обозначаться пространство всех (соответственно замкнутых, замкнутых линделефовых, бикомпактных, конечных, мощности не большей 71 ) непустых подмножеств топологического пространства д ^в топологии Виеториса.

Пусть Р(X ) ^ А ( д ) Тогда отображение Г ^: Г ( Л )~*Х на зывается сечением пространства для лю бого . Сечение пространства 2* называется также (экспоненциальным) сечением пространства X

Подмножество А пространства у ' с Ь> -Диагональю называется полным относительно счетной последовательности J 3₇,_>?2^Nj открытых покрытий у » такой, что Л SidJ-^O^-lUj для любого U] » если для любой невозрастающей последовательности { п_п, ТієАіл замкнутых в Y множеств, для которой п_п Л л Ф ф и /л_п содержится в некотором элементе 0^)71^14 , пересечение Л (п_пГ) . Обозначим через CML(Y) пространство непустых полных подмножеств пространства Y с Gr -диагональю, пусть TaK*eLCML(Y) = L(Y) ЛСМКУЬ

В первом параграфе исследуются непрерывные сечения.

Теорема I.I.I. Пусть Y - нульмерный (в смысле dim ) пара- компакт с Gg -диагональю, непрерывно. Тог да г имеет непрерывное сечение,

Утверждение теоремы эквивалентно тому, что име- ет непрерывное сечение. Эта теорема обобщает теорему М.М. Чобана ([і4І. Следствие 2.2), доказанную им для нульмерного полного метрического пространства Y

Теорема 1.1.3« Пусть д - нульмерно, у - паракомпакт с G_c -диагональю, F t X-*CML(Y) - непрерывно. Тогда г имеет непрерывное сечение.

Эта теорема обобщает теорему М.М. Чобана (|l4jj. Теорема 3.4), доказанную им для полного метрического пространства Y .

Теорема I.I.5. Пусть д - сильно паракомпактно, Y - индуктивно нульмерное (в смысле І710І ) пространство с G*- -диагональю, г- X —^С/чL( і / - непрерывно. Тогда г имеет непрерывное сечение.

Эта теорема нова и для метрического пространства Y '

Напомним, что пространство у точечно совершенно, если каждая точка Y является Gr -множеством.

Теорема I.I.7. Пусть д - Гс -разреженный паракомпакт, Y -регулярное точечно совершенное пространство, Г X—*LaY/~ ^не~ прерывно. Тогда г имеет непрерывное сечение.

Эта теорема является аналогом для непрерывных отображений теоремы Б.А. Пасинкова, утверждающей, что полунепрерывное снизу замкнутозначное отображение. г^ -разреженного паракомпакта в пространство с первой аксиомой счетности имеет непрерывное сечение.

Теорема I.I.2. Пусть д - регулярно и имеет непрерывное сечение. Тогда X " бэровское пространство наследственно по замкнутым множествам.

Во втором параграфе рассматриваются оечения первого класса.

Теорема 1.2.I. Пусть X - полное муровское пространство. Тогда X имеет сечение первого класса.

Эта теорема, являющаяся одним из основных результатов диссертации, обобщает теорему М.М. Чобана ([l4J« Теорема 3.1), доказанную им для полного метрического пространства. Следующая теорема также обобщает указанную теорему Чобана.

Теорема 1.2.2. Пусть Y - нормальное полукружевное про странство , - непрерывно.'Тогда г имеет се чение первого класса.

Если отображение бикомпактнозначно, то можно ослабить ограничения на Y .

Теорема 1.2.4. Пусть Y - совершенно нормальное субпара- компактное пространство с (jv -диагональю, - не прерывно. Тогда г имеет сечение первого класса.

Следующие две теоремы показывают, что полнота не является необходимым условием существования сечения первого класса.

Теорема 1.2.5. Пусть X - О*-компактное метрическое пространство. Тогда X имеет сечение первого класса.

ГТеорема 1.2.6. Пусть — счетное Т^ —пространство с первой аксиомой счетности. Тогда X имеет сечение первого класса.

Построен пример счетного регулярного пространства, не имеющего сечения первого класса.

Теорема 1.2.8. Пусть л - І* -пространство, имеющее сечение первого класса. Тогда д - совершенно.

В теореме 1.2.3 совершенность моено перенести с пространства Y на пространство д .

Теорема 1.2.9. Пусть X - совершенно, ] - паракомпакт с г -диагональю, F = X-~CML(Y)- непрерывно. Тогда г ^e- ет сечение первого класса.

Следующая теорема обобщает теоремы М.М. Чобана ( [l4]. Теоремы 5.3 и 5.1), доказанные им для полного метрического пространства ]

Теорема 1.2.13. Пусть Д - паракомпакт (совершенно, субпа-ракомпактно), Y - совершенно нормальное пространство с Gr -диагональю, Г-X^^CNL(Y)- полунепрерывно снизу. Тогда F имеет сечение первого класса.

Следующая теорема обобщает теорему, доказанную Р. Энгель-кингом ([і?]. Замечание 2) и М.М. Чобаном ([l4j. Теорема 5.2) для метрического пространства.

Теорема 1.2.15. Пусть д - совершенно, Y - совершенно нормальное субпаракомпактное пространство с G> -диагональю, г'*Х—*С( і / полунепрерывно снизу. Тогда f имеет сечение первого класса.

Построен пример, показывающий существенность компактнознач-ности отображения'г в приведенной теореме.

Теорема 1.2.17. Пусть д - полукружевное (совершенное,Ш.(ХМ ^ Гї₀ » т«е. удовлетворяющее условию Шанина наследственно по замкнутым множествам) пространство, Y - чешуйчатое простран ство с G_g -диагональю, - полунепрерывно сверху. Тогда р имеет сечение первого класса.

Эта теорема нова и для метрического пространства Y

Теорема 1.2.18. Пусть X - совершенно, субпаракомпактно, Y - чешуйчатое пространство с G_g -диагональю, г ^:X~~*LCnL(Y/ -полунепрерывно сверху. Тогда г имеет сечение первого класса.

Эта теорема обобщает теорему М.М. Чобана ( [l4J. Теорема. 9.3), доказанную им для метрического пространства у

Следствие 1.2.I. Пусть д - совершенно, ] - чешуйчатое пространство с G,- -диагональю, - полунепрерывно сверху. Тогда г имеет сечение первого класса.

Этот результат обобщает теорему, доказанную Р. Энгелькингом { 17 . Замечание I) и М.М. Чобаном ( 14 . Теорема 9.1) для метрического пространства j .

В третьем параграфе исследуются конечнозначные и бякомпакт-нозначные сечения многозначных отображений.

Теорема 1.3.1. Пусть (ІЇЇЇІЛ^ТІ , I - паракомпакт с G> -диагональю, \- :д—^Cr/Lv 1 / ~ непрерывно. Тогда г имеет полунепрерывное сверху сечение Т ^: Л—^^^-Ртц.^ I

Теорема 1.3.3. Пусть Л - нормально, слабо счетномерно. (совершенно нормально, счетномерно), j - паракомпакт с Gr -диагональю, г'Х—^Cr/LvY/ - непрерывно. Тогда г имеет полунепрерывное сверху сечение Г ^: X—^К( I /

Для нормального слабо счетномерного пространства д и метрического пространства / ^эта теорема доказана С. Недевым ({зб]. Предложение 2).

Теорема 1.3.5. Пусть д - нормально, ] - паракомпакт с G_g -диагональю, - непрерывно. Тогда г имеет полунепрерывное сверху сечение т^: X—*С(|/и полунепрерывное снизу сечение <2 : л~~-*С( Y/. причем G - сечение f .

Эта теорема обобщает теорему М.М. Чобана ([14]. Теорема 3.3), доказанную им для полного метрического пространства Y

Теорема

1.3.6. Пусть л - паракомпакт, регулярное пространство с G_g -диагональю, непрерывно. Тогда р имеет полунепрерывное сверху сечение ^f:X-»exp_n+^,Y.

Следующая теорема дополняет теорему I.I.7.

Теорема 1.3.10. Пусть Л - регулярное метакомпактное г^ -разреженное пространство, Y - регулярное точечно совершенное пространство, р^: д—*С( і / - непрерывно. Тогда г имеет полунепрерывное снизу сечение

Теорема 1.3.13. Пусть д - совершенный счетномерный пара- компакт, у - муровское пространство, - по лунепрерывно снизу. Тогда г имеет полунепрерывное сверху сече- _{ниеРХ-WY).}

Эта теорема нова и для полного метрического пространства Y.

Следующая теорема дополняет теорему Б.А. Пасынкова, сформулированную после теоремы I.I.7.

Теорема 1.3.19. Пусть X - регулярное метакомпактное г^ -разреженное пространство, \ удовлетворяет первой аксиоме счет-ности, г ^:Д—*/С ~ полунепрерывно снизу. Тогда г имеет полунепрерывное снизу сечение

В четвертом параграфе рассматриваются непрерывные сечения на всюду плотных подмножествах.

Следующая теорема является одним из основных результатов диссертации.

Теорема 1.4.2. Пусть д - бэровское пространство, і -муровское пространство, г ^:Х—*Cr/L(Y/- полунепрерывно снизу. Тогда г имеет непрерывное сечение на всюду плотном Gv -подмножестве.

Эта теорема нова и для полного метрического пространства Т. - II -

Для полунепрерывных сверху отображений получены следующие результаты.

Теорема 1.4.3. Пусть д - бэровское, полукружевное (ШлХ)^ ^ Л₀) пространство, j - чешуйчатое пространство с Ц- -диагональю, J- X'~*CML(Y/ - полунепрерывно сверху. Тогда г имеет непрерывное сечение на всюду плотном \Jr -подмножестве.

Теорема 1.4.4. Пусть X - бэровское пространство, Y -чешуйчатое пространство с Gv -диагональю, Т ^:X~~*LCML( 1/-полунепрерывно сверху. Тогда г имеет непрерывное сечение на всюду плотном *и> -подмножестве.

Теорема 1.4.5. Пусть X - бэровское пространство, ] име ет & -диагональ, - полунепрерывно сверху. Тогда Г имеет' непрерывное сечение на всюду плотном \Jg -подмножестве.

В пятом параграфе исследуются точки непрерывности полунепрерывных многозначных отображений.

Напомним, что пространство Y имеет (у~ -диагональ ([24]), если существует последовательность) Ц^ЛЄ f\lj открытых покрытий у » такая, что Л ^ьЩуС^—ш} ^для любого Ц>\

Теорема I.5.I. Пусть д - бэровское пространство, j имеет Gv -диагональ, F=X-C(Y) - полунепрерывно сверху. Тогда Г имеет всюду плотное (j -множество точек непрерывности.

Эта теорема обобщает теорему П. Кендерова ({26J. Следствие 1.4), доказанную им для пространства, уплотняющегося на метрическое пространство.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию вопроса о существовании сечений многозначных отображений в упорядоченные пространства. Начало изучению сечений многозначных отображений в упорядоченные пространства положил Э. Майкл в работе [28| , доказав, что если Д - слабо упорядоченное пространство (т.е. уплотняется на упорядоченное пространство), то С( X/ имеет яепрерыв- ное сечение (Лемма 7.5.1)". Ван Милл'и Воттел ( [32] . Теорема).доказали, что упорядоченность является необходимым условием существования непрерывного сечения для бикомпакта.

Непрерывные сечения многозначных отображений в пространства, являющиеся обобщениями метрических

Напомним некоторые определения и факты. Пространство Y имеет Ц.-диагональ, если существует счет ная последовательность открытых покрытий 1 , такая, что П SitlStQ —iUi для любого U Y . Положим также 6 ={ Yj . Пространство у - измельчаемое, если существует счетная последовательность { 0, ,71 Nj открытых покрытий Y , такая, что для любого открытого V U существует TlV , для которого S"c(U, У )С\/ . Измельчаемое 1 -пространство имеет (jv -диагональ. Регулярное измельчаемое пространство называется муровским. Пространство Y - полу кружевное, если для каждого Ui определена последовательность открытых окрестностейxUau-JL :Л/J, такая, что І) еслиЦ-бі/и П}Т1:\\ » т последовательность { tyn сходится к ( , 2) Л Ц п Уч ПолОЖИВ нетрудно видеть, что хаусдорфово полукружевное пространство имеет CJ, -диагональ.

Заметим, что пространство Y является полукружевным тогда и только тогда, когда для любого открытого в Y множества V существует последовательность замкнутых множеств! у%№ & N у » такая, что I)

Непрерывные сечения многозначных отображений в упорядоченные пространства

Теорема 2.1.0 (Майкл, [28J . Лемма 7.5.1). Пусть Y - слабоупорядоченное пространство, - непрерывно. Тогда г имеет непрерывное сечение.

Теорема 2.I.I. Пусть X - нульмерно, Y - локально слабо упорядоченный паракомпакт, Р X- C(Y) - непрерывно. Тогда F имеет непрерывное сечение.

Доказательство. Каждая точка У У имеет открытую окрестность Pa , замыкание которой слабо упорядоченно. По предложению 1.3.1 в покрытие {г Q/ »j/ і / пространства X впишем комбинаторно локально конечное открытое покрытие, а в него, так как X нульмерно, дизъюнктное открыто-замкнутое покрытие IXy Jl. Рассмотрим отображение

Отображение Га непрерывно и по теореме 2.1.0 имеет непрерывное сечение Ту, . Тогда отображение является непрерывным сечением г .

Непрерывные сечения многозначных отображений в разреженные пространства

Теорема 3.1.I. Пусть Y - точечно совершенный разреженный паракомпакт, - непрерывно. Тогда г имеет непре рывное сечение. Доказательство. Теорему будем доказывать индукцией по типу разреженного пространства Y . Для одноточечного пространства Y теорема очевидна. Предположим, что теорема доказана для всех разреженных пространств Y типа меньшего Я и пусть Y= 1 4. - Я/ . Если Л - предельный ординал, то Y=Y » гДе гип Y меньше Я, Г . Положим Xi = /rM(Yt)/rlF e"( 0 Ys )7i T .От ображение , непрерывно И по предположению индукции имеет непрерывное сечение ТУ . Тогда отображение является непрерывным сечением отображения г

Непрерывные однозначные сечения, полунепрерывные бикомпактнозначные сечения и следствия

Теорема 4.1.0 (Хасуми, 23]. Теорема I.I). Пусть X - экстремально несвязно, і - регулярно, полунепрерывно сверху. Тогда Г имеет непрерывное сечение. . Теорема 4.I.I. Пусть X. - экстремально несвязно, Y - уплотняется на регулярное пространство, F:X C(Y/ - полунепрерывно сверху. Тогда F имеет непрерывное сечение. Доказательство. Регулярность пространства Y при доказательстве теоремы I.I работы [23] используется только в лемме 2.7 для доказательства полунепрерывностй снизу отображения т . Но из полунепрерывности сверху 4 и предложения 1.5 работы [26J следует, что для полунепрерывности снизу отображения 4У достаточно уплотняемости Y на-регулярное пространство.

Теорема 4.1.2. Пусть Y - совершенный полный по Чеху нульмерный паракомпакт, F: Х 2 -непрерывно. Тогда г имеет.полунепрерывное сверху и первого класса сверху сечение