Содержание к диссертации
Введение
1. Плоскостная поверхность как многообразие плоских образующих
1. Структурные уравнения проективной группы и её подгрупп 21
2. Фундаментальные объекты внутренне заданной плоскостной поверхности 23
3. Ассоциированное расслоение и его продолжение 25
4. Групповая связность в ассоциированном расслоении 28
5. Объект кривизны групповой связности 30
6. Оснащение Бортолотти плоскостной поверхности 33
7. Связность 1-го типа 36
8. Пучок связностей 1-го типа 40
9. Пучок связностей 2-го типа и связность 2-го типа 43
10. Специальное оснащение Бортолотти 45
11. Связность в продолжении ассоциированного расслоения 47
2. Плоскостная поверхность как семейство пар образующей и ее первой дифференциальной окрестности
1. Фундаментальные объекты параметрически заданной плоскостной поверхности 50
2. Ассоциированное расслоение и его продолжение 52
3. Групповая связность в ассоциированном расслоении 55
4. Объект кривизны групповой связности 57
5. Композиционное оснащение плоскостной поверхности 60
6. Связность 1-го типа 62
7. Пучок связностей 1-го типа 63
8. Пучок связностей 2-го типа и связность 2-го типа 68
9. Специальное композиционное оснащение плоскостной поверхности 69
3. Точечно-плоскостная поверхность
1. Фундаментальные объекты точечно-плоскостной поверхности 73
2. Ассоциированное расслоение точечно-плоскостной поверхности 78
3. Групповая связность в ассоциированном расслоении 82
4. Объект кривизны групповой связности 85
5. Композиционное оснащение и нормализация 89
6. Ковариантный дифференциал и ковариантные производные композиционно оснащающего квазитензора 93
7. Связность 1-го типа 95
8. Пучок связностей 1-го типа 97
9. Параллельные перенесения в пучке связностей 1-го типа 101
10. Пучок связностей 2-го типа и связность 2-го типа 105
11. Параллельные перенесения в пучке связностей 2-го типа 107
Библиографический список 115
- Фундаментальные объекты внутренне заданной плоскостной поверхности
- Специальное оснащение Бортолотти
- Пучок связностей 2-го типа и связность 2-го типа
- Ковариантный дифференциал и ковариантные производные композиционно оснащающего квазитензора
Введение к работе
Предметом нашего исследования является плоскостная поверхность в многомерном проективном пространстве. Всякое г-параметрическое семейство (ХА)Г А-мерных плоскостей Lh в п -мерном проективном пространстве Рп при условии h+r n можно рассматривать как точечную (й+г)-мерную поверхность Vh+r, которая называется плоскостной поверхностью [3]. В частности, одномерное семейство прямых (Xj)i в трехмерном пространстве Ръ является линейчатой поверхностью. Впервые термин «плоскостная поверхность» появился, по-видимому, в статье P.M. Гейдельмана и Р.П. Левиной [4]. Проективная классификация плоскостных поверхностей, основанная на числе а торсов, проходящих через текущую образующую д, описана в статье P.M. Гейдельмана и Л.З, Кругля кова [3]. Однопараметрическое подсемейство плоскостей Lh называется торсом, если в каждой плоскости Lk оно имеет характеристикой плоскость размерности h—\. При т=г поверхность Vh+r является тангенциально вырожденной. Пусть Т(Х) — касательная плоскость поверхности Vh+r в точке X eLh. Обозначим через T(Lh) линейную оболочку плоскостей Т(Х) во всех точках X плоскости Lh, т.е. подпространство минимальной размерности, содержащее все Т(Х) при XeLh, которое является касательным пространством для образующей Lh семейства (ХА)Г. Число p-n-h-r называется индексом [3, 4] плоскостной поверхности Vh+r. Плоскость 1ь+а. у являющаяся пересечением плоскостей Т(Х) во всех точках X EL}J, называется [3, 4] ассоциированной плоскостью для Lh. Очевидно, что Lh, -nLh и 0 ст г. Если т 1,то поверхность Vh+r называется [3] плоскостной поверхностью типа а и обозначается VG. Индекс р плоскостной поверхности Vh+r удовлетворяет условию p h(r-a).
До введения термина плоскостной поверхности параметрическое семейство h -мерных плоскостей (ZA)r, которое одновременно является и поверхностью, в различных исследованиях называлось линейчатой поверхностью с многомерными образующими, но чаще говорилось просто о семействе плоскостей. Так, В.И. Близникас [1] дает классификацию подмногообразий Gr(htn,r) многообразия Грассмана Gr(h,n), основанную на принципе двойственности, и называет семейство (Lh)t (й+г)-мерной поверхностью (1 r n-h-l) или р-комерной h(n-h) p (h + l)(n-h) линейчатой поверхностью с h -мерными образующими. Согласно принципу двойственности, если построена геометрия гладкого г-параметрического семейства (7 r (n-h)(h + l)) h-мерных плоскостей, т.е. гладкое подмногообразие многообразия Грассмана Gr(h,n,r), то можно считать, что построена и геометрия косемейства Gr(n-h-\,n,r). В некоторых случаях геометрия косемейств представляет интерес, т.к. часто косемейства однозначным образом ассоциируются с семейством.
Плоскостная поверхность Вг изучалась в работе [40] Ю.И. Шевченко. Исследование проводилось методом внешних форм и основано на применении предложенного Г.Ф. Лаптевым способа задания связностей в главных расслоениях с использованием разработанного им метода продолжений и охватов. В многомерном проективном пространстве Рп плоскостная поверхность представлена в трех видах: многообразие плоских образующих Lh, семейство пар образующей Lh и ее первой дифференциальной окрестности Tm+hr и вырожденное [16] многообразие троек, образованных точкой А, проходящими через нее образующей Lh и касательной плоскостями Тт. Используется определенная схема: 1) записываются уравнения плоскостной поверхности; 2) в результате их продолжения находится фундаментальный объект первого порядка плоскостной поверхности; 3) с поверхностью ассоциируется главное подрасслоение H(Br), базой которого является сама поверхность Вг, а типовым слоем — фактор-группа Н, действующая на образующей фигуре; 4) в главном подрасслоении Н(ВГ) задается фундаментально-групповая связность по Г.Ф. Лаптеву с помощью поля объекта связности на базе Вг; 5) объект связности охватывается фундаментальным объектом первого порядка многообразия Вг, некоторым оснащающим объектом и их продолжениями; б) выясняется структура оснащения, позволяющая задавать фундаментально-групповую связность в ассоциированном подрасслоении; 7) оснащающий объект задает некоторые дополнительные плоскости, присоединения которых к каждой плоскости Lh исходного многообразия Вг определяет оснащение плоскостной поверхности. Исследование в данном направлении продолжаются в настоящей работе.
Геометрия плоскостной поверхности находится на стыке теорий поверхностей и семейств плоскостей. Многообразием //-плоскостей в Рп называется [13] образ м(Вг) некоторого г-мерного дифференцируемого многообразия Вг при его диффеоморфизме ілц : Br -» Gr(h,n) в грассманово многообразие Gr(h, п) h -мерных плоскостей п -мерного вещественного проективного пространства Рп. Точки в Рп принадлежащие плоскостям ju (x) многообразия fift{Br) (если точки пересечения различных плоскостей рассматривать с их кратностью), образуют расслоенное пространство Vh+r, базой которого является многообразие Вг, типовым слоем — пространство Ph, и структурной группой — группа GP(h,R) проективных преобразований пространства Ph. Это расслоенное пространство Vh+r называется [13] проективным расслоением Vh+r, погруженным в Рп.
Для получения содержательной теории в расслоенных пространствах необходимо задавать связность. Теория связностей занимает важное место в дифференциальной геометрии. Начало теории связностей положила в 1917 г. работа Т. Леви-Чевита [53] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. В 1919 г. Г. Вейль [50], развивая идею параллельного переноса Т. Леви-Чевита и обобщая риманову концепцию пространства, рассмотрел пространство линейной связности - многообразие, в котором задан закон параллельного переноса касательных векторов вдоль кривых. Развитие идей Г. Вейля привело к современной теории связностей, изучающей связности в расслоениях. Существует несколько равносильных определений понятия связности. Прежде всего связность понимается как некоторый закон, который определяет параллельное перенесение и задается или объектом связности, или горизонтальным распределением. Это определение идет от первых идей Т. Леви-Чевита [53] и Г. Вейля [50]. Далее оно развивалось и обобщалось в работах Ш. Эресмана [51], А. Лихнерови-ча [12], К. Номидзу [17], С. Кобаяси [52] и др.
Другая концепция связности дана Э. Картаном [6] и развита главным образом В.В. Вагнером [2] и Г.Ф. Лаптевым [9]. Связность понимается здесь как некоторый закон, определяющий в главном отображение бесконечно близких слоев друг на друга. Ю.Г. Лумисте [14] определяет связность как отображение множества всех путей на базе в множество всех диффеоморфизмов слоя на слой, удовлетворяющее определенным аксиомам [15].
Понятие связности широко используется в нашей работе. Ю.Г. Лумисте [13] определяет связность в проективном расслоении Vh+r задавая различные оснащения многообразия h -плоскостей /и%(Вг) в Рп. Под оснащением понимается процесс присоединения к точкам базы Вг некоторых дополнительных геометрических образов в проективном пространстве Рп.
Полученная таким образом связность называется индуцированной заданным оснащением.
Впервые Э. Картан [47] ввел оснащение поверхности в трехмерном проективном пространстве для индуцирования проективной связности на ней. Э. Бортолотти [49] ввел аналогичное оснащение для специального семейства многомерных плоскостей, описывающих плоскостную поверхность. Затем Э. Картан [6] распространил понятие оснащения на семейство касательных плоскостей многомерной поверхности. Ю.Г. Лумисте переоткрыл оснащение Бортолотти семейства А-мерных плоскостей /л%(Вг) (h + r n) под названием «сильное проективное оснащение» [13]. Метод нормализации разработан АЛ. Норденом [18, 19] для построения дифференциальной геометрии многомерной поверхности проективного пространства, в частности, для индуцирования аффинной связности на поверхности. На самом деле, нормализация А.П. Нордена позволяет индуцировать более широкие групповые связности [41,42].
Наши исследования ведутся с позиций локально-дифференциальной геометрии, разрабатываемой методом продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева. Такой метод дифференциально-геометрических исследований, базирующийся на исчислении внешних дифференциальных форм Картана и на теории непрерывных групп Ли, позволил отечественным и зарубежным математикам получить в своих исследованиях основополагающие результаты в теории подмногообразий, в пространствах с фундаментальными группами и обобщенных пространствах, в теории связностей и расслоенных пространств, в теоретической физике и т.д. Метод продолжений и охватов дал возможность получить нам ряд новых результатов в геометрии плоскостной поверхности.
Фундаментальные объекты внутренне заданной плоскостной поверхности
В проективном пространстве Рп рассмотрим h -мерную плоскость (\ k n-\) и произведем разбиение значений индексов: / = (а,); а,й,с = 1,А; %,7j,g = h + l,n. Осуществим специализацию подвижного репера R-{A,Aa,A }y помещая вершины А,Аа на плоскость Lh, Деривационные формулы (1,1.1) с учетом разбиения индексов дают Из формул (1.2.11,2) следуют уравнения стационарности плоскости Lh: Пусть плоскость Lh описывает г-мерное семейство Вг, причем m h+r n. Многообразие Вг называется плоскостной поверхностью [3], а в случае /i=l -линейчатой поверхностью [1]. Построенный репер назовем репером нулевого порядка. Плоскостную поверхность, рассматриваемую как семейство точек, обозначим Sm. Осуществим дополнительное разбиение значений индекса 4=(i,cc), i,j,k h+\,m; a,8,y=m+l,n. В силу (1.2.2) уравнения плоскостной поверхности Вг запишутся в виде: Формулы (1.2.1 ід) на многообразии Вг принимают вид: Из этих формул видно, что касательная плоскость Тт(А) к поверхности Sm в точке А, т.е. 1-я дифференциальная окрестность произвольной точки AzLh, определяется точками А,Аа,А і. Первая дифференциальная окрестность всей образующей Lh задается точками А,Аа,АОІ,Ааі, число которых равно l + m+йг. Значит, если m+hr n, то в общем случае образующая Lh имеет не совпадающую с пространством Рп 1-ю дифференциальную окрестность Tm+fjr:LhaTm+hrciPn, которую назовем касательным пространством [1] к плоскостной поверхности Br, проходящим через образующую Lh [40]. Найдем внешние дифференциалы базисных форм В системе уравнений плоскостной поверхности Br 1.2.3) формы соа,а 1 определяются совокупностью величин A {Af,Л\}}, которая называется фундаментальным объектом первого порядка многообразия Br. Согласно методу продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева [9] вся дифференциальная геометрия многообразия Вг определяется фундаментальным объектом некоторого достаточно высокого порядка, который получается последовательными дифференциальными продолжениями исходного объекта Л . В данной работе исследования не выходят из дифференциальной окрестности второго порядка плоскости Lk. Дифференцируя внешним образом уравнения плоскостной поверхности (1.2.3) и разрешая по лемме Картана [10], получаем, что компоненты фундаментального объекта 1-го порядка А1 ={A",A ajtA"i} удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений [40] причем Л уу=0, A!a[jkj=0, Л у.у=0, квадратные скобки означают альтернирование, а дифференциальный оператор А действует следующим образом: Здесь и в дальнейшем заключение индекса компонент объекта в круглые скобки обозначает такое действие оператора А, при котором соответствующая линейная комбинация этих компонент составляется не с помощью форм й) , а с помощью форм в . Фундаментальный объект первого порядка Л многообразия Вг определяет касательное пространство Tm+hr.
Совокупность величин Л ={Л .Ау.Л Л ф} образует фундаментальный объект второго порядка многообразия Br. 3. Ассоциированное расслоение и его продолжение С поверхностью Вг ассоциируем главное расслоение Gx(Br), базой которого является сама поверхность Вг, расслоенным пространством -проективная группа GP(n), а типовым слоем - подгруппа стационарности Gj aGP(n) образующей Lh, причем dimG -(n-h)(n+\)+h . Это есть число компонент вторичной формы Проекция К]: GP(n) - Вг относит произвольному элементу группы GP(n) ту плоскость Lh семейства Вг, которая остается инвариантной под действием этого элемента. Замечание 1.3.1. Если плоскость Lf, рассматривать как множество точек, то под действием единицы е группы GP(n) остаются инвариантными есе точки пространства Рп, а значит и любая плоскость. Если же Lh рассматривать как элемент многообразия Грассмана Gr(h,n), то е оставляет неподвижной только образующую плоскость Lhi подгруппой стационарности которой является группа G}, причем e Gt. Из структурных уравнений проективной группы GP(n) (1.1.2) с учетом уравнений плоскостной поверхности (1.2.3) получим структурные уравнения главного расслоения Gx(Br)y состоящие из уравнений (1.2.4) и следующих:. Замечание 1.3.2. Построенное расслоение G[(Br) является главным, т.к. структурные уравнения (1.2.4), (1.3.1-1.3.3) - частный случай структурных уравнений главного расслоения [5, 11]. Ассоциированное расслоение Gx(Br) содержит простейшее главное факторрасслоение проективных реперов Р(ВГ) со структурными уравнениями (1.2.4,1.3.1) с той же базой и типовым слоем - проективной факторгруппой P=GP(h) группы Glf действующей на образующей Lh, а также простое факторрасслоение Н(ВГ) со структурными уравнениями (1.2.4), (1.3.1,1.3.2), где Я - расширение проективной факторгруппы Р, действующее в Lh и проективном факторпространстве Рп -і =?п /Lh. Замечание 1.3.3.
Напомним определение простой и простейшей подструктур [42], Пусть дана некоторая структура S. Подструктуру SQ структуры S будем называть простой, если она не является объединением двух подструктур Sl и S2 структуры S, т.е. S0 S uS - Простую подструктуру S0 назовем простейшей, если она, в свою очередь, не обладает подструктурой, т.е. не существует S S . В качестве структуры S и её подструктур в работе рассматриваются главное расслоение и его факторрасслоения, объект групповой связности и его подобъекты, тензор кривизны групповой связности и его подтензоры, тензор ковариант-ных производных оснащающего квазитензора и его подтензоры. Найдём уравнения продолженного расслоения. Для этого продифференцируем внешним образом формы (1.3,4) с учётом структурных уравнений главного расслоения G{(Br) (1.2.4, 1.3.1-1.3.3) и дифференциальных уравнений (1.2.5) компонент фундаментального объекта А. Окончательно получим D9)=9)Ав[+сокАв)к , Найденные уравнения (1.3.5, 1.3.6) вместе с уравнениями (1.2.4, 1.3.1-1.3.3) являются структурными уравнениями продолжения G[(Br) ассоциированного расслоения Gl(Br). Замечание 1.3.4. Отметим, что для гладкого многообразия Вг выполняются условия голономности [44] 1-го порядка #/д / =0.
Специальное оснащение Бортолотти
Исследуем параллельное перенесение плоскости Бортолотти в пучке связностей 2-го типа, в результате чего выясним и геометрически охарактеризуем условия совпадения пучков связностей 1-го и 2-го типов. Для этого в выражения (1.8.1) для дифференциалов точек В , определяющих плоскость Бортолотти, подставим охват пучка связностей второго типа (1.9.1) Дифференцируя выражения (1.10.2) и используя при этом дифференциальные уравнения для компонент оснащающего объекта X (1.6.1) и фундаментального объекта А (1.2.5), получим сравнения на компоненты объекта t-{tii,tai,tij,tai} AtaHJ)+tve a%mt=Q, Ко)+1а&а-і 1 -Следовательно, справедлива Теорема 1.10.1. Объект t={tfj,t iitn tai}f компоненты которого определяются соотношениями (1.10.2), является псевдотензором. Определение 1.10.1. Поле плоскостей Бортолотти назовем специальным оснащением плоскостной поверхности Вг, если псевдотензор t обращается в нуль, т.е. Из формул (1.10.1) и определения 1.10.1 вытекают следующие утверждения Теорема 1.10.2. Если оснащение Бортолотти специальное (t-Q), то оснащающая плоскость Р„_ь_\ переносится параллельно относительно пучка связностей 2-го типа тогда и только тогда, когда она неподвижна. Теорема 1.10.3. В случае неспециального оснащения Бортолотти (t O) оснащающая плоскость Рп_р,_\ переносится параллельно в пучке групповых связностей 2-го типа при произвольном смещении. Замечание 1.10.1. Все результаты, полученные для пучка связностей 2-го типа, справедливы и для связности 2-го типа. Таким образом, специальных смещений плоскости Бортолотти относительно связностей 2-х типов не выделилось, т. е. они оказались вырожденными. Покажем, что условия совпадения пучков 1-го и 2-го типов эквивалентны соотношениям (1.10.4). Действительно, если рассмотреть соотношения (1.8.4) и (1.9.1), то можно видеть, что пучки 1-го и 2-го типов совпадают лишь при выполнении следующих равенств: Теорема 1.10.4. Пучки групповых связностей 1-го и 2-го типов совпадают лишь тогда, когда оснащение Бортолотти специальное, т.е. оснащающая плоскость Pn_h_i=[Ba,B;] неподвижна. Доказательство. Покажем неподвижность плоскости Р„_д_і при условии (1.10.4).
Дифференциалы точек Bt,Ba можно представить в виде следует утверждение о неподвижности оснащающей плоскости Л,_ь_і. Замечание 1.10.2. Формулы (1.10.6) и (1.10.1) совпадают, так как УЛ?=0, V =0, V =0, VAa=0. Продолжим исследования плоскостной поверхности, но уже не будем ограничиваться дифференциальной окрестностью первого порядка. Целью этого параграфа будет задание и исследование групповой связности в продолженном ассоциированном расслоении, которое было построено в 3. Найдем дифференциальные сравнения для компонент фундаментального объекта 2-го порядка Л ={ Л\Л?- ,Лф,Л"у } многообразия Вг. Для этого продолжим дифференциальные уравнения (1.2.5) для компонент фундаментального объекта Л1, учитывая структурные уравнения главного расслоения (1.2.4,1.3.1-1.3.3), Зададим связность в продолженном расслоении Gt (Br) способом Лаптева. Для этого введём в рассмотрение дополнительную форму связности ф-co-Lp1 со следующими компонентами: Замечание 1.11.1. В выражениях (1.11.2) введены новые функции с коренной буквой L, а не Г, чтобы не получилось совпадения функций связности продолженного расслоения Gx (Вг) с пфаффовыми производными компонент объекта связности Г ассоциированного расслоения Gx(Br).
Групповая связность в продолженном расслоении Gx (Вг) задаётся по Лаптеву с помощью поля объекта связности Найдем дифференциальные сравнения для новых компонент объекта L. Для этого продифференцируем выражения для форм связности (1.11.2) внешним образом, учитывая при этом структурные уравнения (1.2.4), (1.3.5, 1.3.6) продолжения Gj (Вг) ассоциированного расслоения G](Br) дифференциальные уравнения для объекта Л (1.2.5), (1.11.1). Затем подставим в полученные квадратичные уравнения вместо слоевых форм соответствующие суммы форм связности и линейных комбинаций базисных форм о с коэффициентами - новыми компонентами объекта связности L. Оставляя слагаемые, в которых формы связности умножаются на себя внешним образом, сделаем обратную замену по формулам (1.11.2) в тех слагаемых, в которых формы связности умножаются внешним образом на базисные формы. Группируя слагаемые с базисными формами и применяя теорему Картана-Лаптева, получим Теорема 1.11.1. Объект групповой связности L содержит один простейший подобъект Построим охваты части компонент объекта связности L с помощью другой части — компонент объекта Г и {EJk}. Выдвинем гипотезу. Для этого рассмотрим дифференциальные сравнения компонент объекта L (1.11.3) и произведем формальную замену форм в и со на компоненты объекта связности Г, если такие есть. Тогда имеем Дифференцируя эти выражения с использованием дифференциальных сравнений компонент объекта связности Г (1.4.3, 1.4.4) и его пфаффовых производных (1.5.2), получим сравнения вида (1.11.3). Следовательно, выдвинутая нами гипотеза оказалась верной. Теорема 1.11.2. Фундаментально-групповая связность Г, ее продолжение и линейная связность {L } порождают групповую связность L в продолжении главного расслоения G[(Br), ассоциированного с плоскостной поверхностью В [26, 27].
Пучок связностей 2-го типа и связность 2-го типа
Введем понятие связности 2-го типа, которая легко получается из пучка 2-го типа. Полагая 4 =0,4 =0,4 =0,4 =0,4 =0 в формулах (2.5.6), получим следующие соотношения Г prlpt+WyVpT r ы=лы лр1+г лт л гу лрлр-лаа), га«=лаы-л?лр1+г лат+г где «2» над компонентами Гр1,Г ,Г -Х,ГЫ,Г означает, что они выражены по формулам (2.8.1) через компоненты подобъекта Г5. Определение 2.8.1. Пучком связностей 2-го типа назовем множество групповых связностей, определяемых объектом Г, компоненты которого удовлетворяют соотношениям (2.8.1). Компоненты подобъекта Г5 являются параметрами пучка. Теорема 2.8.1. Композиционное оснащение плоскостной поверхности Мг индуцирует в главном расслоении G2 (Мr ) пучок групповых связностей 2-го типа. Выделим в пучке групповых связностей 2-го типа единственную связность, задавая параметры пучка по формулам (2.6.1). Остальные компоненты определяются по формулам (2.8.1) Таким образом, связность 2-го типа определяется объектом На основании вышесказанного справедлива Теорема 2.8.2. Композиционное оснащение плоскостной поверхности Мг индуцирует 2-ой тип групповой связности в ассоциированном расслоении 9. Специальное композиционное оснащение плоскостной поверхности В выражения (2.7.1) для дифференциалов точек В , ВП подставим охват (2.8.1) компонент Г\Г5 объекта групповой связности из пучка 2-го типа dBp=ЄВр +ЛрівіВа+[сор+(ЛарЛЪ -хіларі+хрл] Замечание 2.9.1, Выражения (2.9.1) для дифференциалов точек Вр, Ва справедливы также для связности 2-го типа. Дифференцируя величины (2.9.2) и учитывая уравнения на компоненты оснащающего квазитензора Я (2.5.3) и фундаментального объекта Л поверхности Мг (2.1.5), получим сравнения Таким образом, справедлива Теорема 2.9.1. Объект t ft j j j .t j, компоненты которого определяются соотношениями (2.9.2), является тензором, содержащим 2 простейших подтензора {t }, {tpi,tpiJ и простой подтензор {t J J. Учитывая дифференциальные сравнения (2.9.4) и уравнения на компоненты оснащающего квазитензора (2.5.3), получим сравнения на компоненты объекта Т-{Т ,ТЫ} т.е. объект Т является тензором.
Определение 2.9.1. Композиционное оснащение назовем специальным [29], если выполняются равенства: Обобщенную нормализацию 2-го рода назовем специальной, если выполняются равенства: Обобщенное оснащение Картона называется: - специальным в случае - полуспециальным в случае - комбинационным в случае Следствие 2.9.1. Обобщенное оснащение Картана является специальным тогда и только тогда, когда оно одновременно является полуспециальным и комбинационным. Из формул (2.9.1) и определения 2.9.1 вытекают следующие утверждения Теорема 2.9.2, Оснащающая плоскость Рг(ь+\)-\ переносится параллель- но в пучке групповых подсвязностей 2-го типа Гл={Гй,Г },Грі,Г арі} тогда и только тогда, когда она смещается а) в плоскости Бортолотти Р„_/,_; = Pr(h\i)-i n-m-hr-i есш обоб щенная нормализация 2-го рода — специальная (tapi =0, t (=0); б) произвольно в случае неспециальной обобщенной нормализации 2-го ро Теорема 2.9.3. Оснащающая плоскость Pn.m.hr \ тогда и только тогда переносится параллельно относительно а) линейной комбинации пучка групповых связностей Г, определяемой формами (2.7.4), в случае комбинационного обобщенного оснащения Картана (Т=0), когда она смещается в плоскости Бортолотти -Р„_д_і; б) псевдосвязности из пучка 2-го типа у {Г ,Г ,Г } в случае полу специального обобщенного оснащения Картана (tj O), когда она смещает ся в обобщенной нормали 1-го рода P„_m_h(r_n = Pn-m-hr-i h в) пучка групповых связностей Г, если обобщенное оснащение Картана специальное (7ОТ- = 0, / = 0, t% = 0), когда она неподвижна; г) пучка групповых связностей Г в случае неполуспециального и не комбинационного обобщенного оснащения Картана (tj Ф0,ТФ0), когда она смещается произвольно. Замечание 2.9.2. Все результаты, полученные для пучка связностей 2-го типа, будут справедливы и для связности 2-го типа. Пучок 1-го типа совпадает с пучком 2-го типа, если выполняются соотношения (2.9,5), т.е. что следует из сопоставления соотношений (2.7.12) и (2.8.1). Таким образом, справедлива Теорема 2.9.4. Пучки групповых связностей 1-го и 2-го типов совпадают лишь тогда, когда композиционное оснащение специальное, т.е. обобщенная плоскость Картана Р„-т„),г-\ и плоскость Бортопотти Рп_ \, содержащая обобщенную нормаль 2-го рода 7 А+] Р абсолютно инвариантны. Доказательство. Покажем справедливость утверждения при условии (2.9.5). Дифференциалы точек Вр и Вст можно представить в виде: Плоскости Pn_m_hr_i=[Ba] и Pn_h_x=[Bp,Ba] неподвижны тогда и только тогда, когда tpi=0,t р;=0,Т%=0,Т=0,Ты=(), а эти равенства с учетом замечания 2.9.2 эквивалентны равенствам (2.9.5). В первой главе плоскостная поверхность рассматривалась как многообразие плоских образующих. Во второй главе для более глубокого изучения в рассмотрение ввели первую дифференциальную окрестность образующей. Это позволило представить плоскостную поверхность как многообразие пар плоскостей — образующей и ее первой дифференциальной окрестности. В этой главе, следуя классическому представлению, плоскостная поверхность будет рассматриваться как частный случай поверхности, представленной как многообразие точек.
Ставится задача выделить из поверхности общего вида методом Г.Ф. Лаптева плоскостную поверхность. При таком подходе плоскостная поверхность представляется как вырожденное многообразие троек, образованных точкой, проходящими через нее образующей и касательной плоскостью. Эту плоскостную поверхность будем называть точечно-плоскостной поверхностью. В 3-ей главе индексы принимают следующие значения: 1. Фундаментальные объекты точечно-плоскостной поверхности В проективном пространстве Рп рассмотрим т -поверхность Sm (] т п) как ж-мерное многообразие точек. Произведем специализацию подвижного репера R={A,Au,Aa}, совмещая вершину А с точкой, описы- вающей поверхность Sm. Получившийся репер является репером нулевого порядка R0. Запишем подробнее часть деривационных формул (1.1.1) откуда видно, что система уравнений поверхности Sm в репере RQ имеет вид: Продолжая эту систему, получим Функции Л" образуют фундаментальный объект первого порядка поверхности Sm. В каждой точке А поверхности Sm существует т -мерная касательная плоскость Тт. Поэтому поверхность Sm можно представить как многообразие центрированных касательных плоскостей, точнее, как т -мерное многообразие пар (А,Тт), причем точка Л и ее первая дифференциальная окрестность принадлежит Тт. Осуществим дополнительную специализацию подвижного репера RQ={A,Au,Aaj, помещая вершины Аи репера в касательную плоскость Тт. Таким образом, получаем репер первого порядка R . К формулам (3.1.1) добавятся формулы для смещения точек Аи Из формул (3Л. 1) и (3.1.2) следует, что формы &и,а а, и" — главные, причем формы о)а обращаются в нуль. Значит, уравнения поверхности Sm рассматриваемой как т -мерное многообразие пар (А,Тт) имеют вид: Замыкая уравнения (3.1 .Зі), получим Л"т, =0. Продолжая уравнения (3.1.32), получим где оператор А действует по формуле а знак = означает сравнение по модулю базисных форм сои. Пусть поверхность Sm является точечно-плоскостной поверхностью, т. е. через каждую точку А поверхности проходит плоская образующая Lhc:Tm. Разобьем значения индекса и на две серии u=(a,i). Произведем дополнительную специализацию репера Rl={A,Aa,Ai,Aaj, помещая вершины Аа на образующую Lh. С учетом (3.1.Зі) из формул (3.1.1) и (3.1.2) получим
Ковариантный дифференциал и ковариантные производные композиционно оснащающего квазитензора
С помощью способа Лаптева задания групповой связности введем понятие ковариантного дифференциала и ковариантных производных компонент оснащающего квазитензора относительно этой связности. Для этого в дифференциальные уравнения для компонент оснащающего квазитензора Я (3.5Л) вместо слоевых форм подставим из формул (3.3Л) их выражения через соответствующие формы связности и линейные комбинации базисных форм а и с коэффициентами - компонентами объекта связности Г, Перенося слагаемые с базисными формами вправо, получим называются ковариантными дифференциалами компонент оснащающего квазитензора Я относительно групповой связности Г, а коэффициенты при базисных формах в правых частях уравнений (3.6.1) называются ковариантными производными компонент оснащающего квазитензора А в связности Г. Для нахождения дифференциальных сравнений ковариантных производных компонент оснащающего квазитензора Я продифференцируем выражения (3.6.3), воспользуемся дифференциальными уравнениями на компоненты оснащающего квазитензора Я (3.5.1) и его продолжения (3.5.2), а также дифференциальными уравнениями (3.3.2) на компоненты объекта связности Г: Из дифференциальных сравнений следует Теорема 3.6.1. Совокупность ковариантных производных VX={VbXa, нент оснащающего квазитензора Я образует тензор, содержащий 3 простейших подтензора Введенные понятия ковариантного дифференциала и ковариантных производных понадобятся в дальнейшем для описания параллельных перенесений оснащающих плоскостей относительно связностей двух типов. Выясним роль оснащений точечно-плоскостной поверхности для задания групповой связности в расслоении G$(Sh+r). Определение 3.7.1. Будем говорить, что групповая связность Г в асах социированиом расслоении G$(Sh+r) 1-го типа Г, если компоненты объекта связности Г охвачены фундаментальным объектом Л и оснащающим квазитензором X, т.е. Г = Г (Л, X). Теорема 3.7.1. Композиционное оснащение точечно-плоскостной поверхности Sh+r индуцирует связность J-го типа в ассоциированном расслоении G3 (Sh+r) [З 3 ], Доказательство. Поступая аналогичным образом, как это показано в главе 1 6, строим охват компонент объекта связности Г посредством фундаментального объекта Л точечно-плоскостной поверхности и оснащающего квазитензора X по формулам: Замечание.
Формулы (3.7.1, 3.7.2 jd получены в работе [40], Таким образом, построили связность 1-го типа с полем объекта связности Связность 1-го типа можно получить иначе, если ввести в рассмотрение понятие пучка связностей 1-го типа. Оснащающие плоскости Ph_\, Pm-f,-i п т-\ определяются соответственно точками Са,Сі,Са. В дифференциалы этих точек, будем подставлять вместо дифференциалов компонент оснащающего квазитензора Я их выражения через ковариантные дифференциалы из (3.6.2) и заменять формы связности линейными комбинациями соответствующих слоевых форм и базисных форм с коэффициентами - компонентами объекта связности Г: Найдем дифференциальные сравнения на компоненты объекта Mhb lahl?b ha j lm ki lL laj l2b-lai}- Д этого Продифференцируем ВЫ- ражения (3.8.2) с учетом дифференциальных сравнений на компоненты объекта связности Г (3.3.2), дифференциальных уравнений на компоненты оснащающего квазитензора X (3.5.1) и уравнений на компоненты фундаментального объекта А (3.1.10), (3.1.13) точечно-плоскостной поверхности Sh+r: Из сравнений следует Теорема 3,8.1. Объект I, компоненты которого определяются формулами (3.8.2), является тензором, содержащим 3 простейших подтензора Дифференцируя величины (3.8.3) с учетом дифференциальных сравнений на компоненты объекта / (3.8.5) и сравнений на компоненты оснащающего квазитензора Л, получим Таким образом, справедлива Теорема 3.8.2. Объект L={Ьіа,Ь LaablLaai,Laa,Lai}, компоненты которого определяются соотношениями (3.8.3), является тензором, содержа- щим 3 простейших подтензора {Lia}, {Laab}, {Laa}u 3 простых подтен- Дифференцируя выражения линейных комбинаций ковариантных дифференциалов (3.8.4) с учетом дифференциальных уравнений (3.5.1) на компоненты квазитензора Я и выражений (3.6.2) для ковариантного дифференциала компонент оснащающего квазитензора, найдем Определение 3.8.1. Будем говорить, что групповая связность Г принадлежит пучку связностей 1-го типа [32], если тензор I равен нулю, т.е. выполняются равенства Связность из пучка 1-го типа назовем аХ2Ь\20\2 \2е\2/п связностью-Если выполняется только часть условий (3.8.7), то будем говорить о предпучке соответствующих подсвязностей. Если же в условии фигурируem линейная комбинация левых частей некоторых условий из (3.8.7), то назовем такие связности линейными комбинациями соответствующих подсвязиостей и будем употреблять прописные буквы вместо строчных. Замечание 3.8.1. Принадлежность связности Ьп-предпучку и линейной комбинации С12 эквивалентна принадлежности ЬХ1Су1-предпучку. Аналогично, принадлежность связности dl2-npeony4Ky и линейной комбинации Еуі эквивалентна принадлежности d ey -предпучку, а принадлежность сі -кредпучку и линейным комбинациям E .F эквивалентна принадлежности dij nfn -предпучку групповых связностей 1-го типа. Выполнение равенств (3,8,7) эквивалентно следующим соотношениям: где «1» над компонентами означает, что они выражаются по формулам 3.8.8) через компоненты подобъекта Г0. Таким образом, групповая связность может быть сведена к подсвязности r0={r c,r ,r ,r ,rjk,rja}czr. Так возникает пучок групповых связно- стей 1-го типа.
Справедлива Теорема 3.8,3. Композиционное оснащение точечно-плоскостной поверхности 3 +г индуцирует пучок групповых связностей 1-го типа. Замечание 3.8.2. Если в выражения (3.8.8) вместо компонент подсвязности Г0 подставить охват вида Г 0=F(A\A) из формул (3.7.1), то по- лучим охваты компонент объекта связности 1-го типа F (3.7.2). 9. Параллельные перенесения в пучке связностей 1-го типа Опишем параллельные перенесения оснащающих плоскостей Pfj-\tPm-h-i Рп-т-\ в пучке связностей 1-го типа [37]. Из определения 3.8.1 и выражений для дифференциалов точек Ca,Ct,Ca (3.8.1) следуют: Теорема 3.9.1. Оснащающая плоскость Pfo i переносится параллельно в подсвязности F$ тогда и только тогда, когда она смещается а) в гиперплоскости Pn-\-Ph-\Pm-h-\Pn-mA если А принадлежит ап-предпучку групповых подсвязностей (1аЪ =0,1 а! =0); б) произвольно, если F3 не принадлежит а]2-предпучку групповых под связностей 1-го типа (ІаЬФ,ІаіФ). Теорема 3.9.2. Оснащающая плоскость / „,_/,_[ переносится параллельно тогда и только тогда, когда она смещается а) в плоскости Pn-h=Pm h-\Pn-m-\A, причем перенесение происхо дит относительно подсвязности Г7, если Г7 принадлежит ЪХ2-предпучку групповых подсвязностей 1-го типа (Ц =0,/ =0); б) в гиперплоскости Рп_х, причем перенесение осуществляется в линей ной комбинации групповой подсвязности Ги, определяемой формами (3.8.4;), если 7 j3 принадлежит Сублинейной комбинации групповых под связностей 1-го типа (Lia=0,Lij=0); в) в плоскости Бортолотти Рп _] =Рт _їРп_т_1,причем перенесение происходит относительно подсвязности 7 j3, если /]3 принадлежит Ь12сп- предпучку групповых подсвязностей 1 -го типа (1% =0, / = 0,lia 0,ltj =0); г) произвольно, причем перенесение осуществляется в линейной комби нации групповой подсвязности Г , определяемой формами (3.8.4]), если групповая подсвязностъ Г13 не принадлежит ни Ьп предпучку групповых подсвязностей 1-го типа (ІуфО.іЦ О), ни Сп-линейной комбинации Теорема 3.9.3. Оснащающая плоскость Рп-т-\ переносится параллельно тогда и только тогда, когда она смещается а) в плоскости Р„_т+!г Рг,_т_іР}}_\ФА, причем перенесение происхо дит относительно групповой подсвязности Ц5, если /]5 принадлежит dyi -предпучку групповых подсвязностей 1-го типа (1 ш = 0,l aj =0); б) в плоскости Рп_ь причем перенесение осуществляется в линейной комбинации групповой подсвязности Г , определяемой формами (3.8.4?), если Г принадлежит Е -линейпой комбинации групповых подсвязностей 1-го типа (l?ab = 0, L t- = 0); в) в нормали 1-го рода А. 77.