Содержание к диссертации
Введение
1. Отображения Sn -> R2n~k С R2n
1.1. Первое препятствие к изотопической реализуемости
1.2. Отображения в гиперплоскость
1.3. Немного вычислений
2. Доказательство теоремы 2
2.1. Отображения Sn -* Sn С Е2п
2.2. Нерасщепимость на бесконечности
2.3. Отображение, пропущенное через коразмерность
3. Отображения Sn -+Шт,т 21
3.1. Критерий непрерывной реализуемости
3.2. Подтаскивание по остовам
3.3. Неполнота первого препятствия
Приложение.
- Отображения в гиперплоскость
- Нерасщепимость на бесконечности
- Отображение, пропущенное через коразмерность
- Подтаскивание по остовам
Введение к работе
Напомним, что под вложением понимается отображение, являющееся гомеоморфизмом на свой образ, а под изотопией - гомотопия в классе гомеоморфизмов, тождественная при нулевом значении параметра.
Непрерывное отображение / компактного полиэдра X в PL-многообразие Q (без края) называется дискретно реализуемым [Si], если для каждого є > О оно е-аппроксимируемо вложением, и изотопически реализуемым [ЩШ], если существует псевдоизотопия Ht: Q —+ Q, t Є І = [0,1] (т.е. изотопия с параметром t Є [О,1), Но = iciQ, продолжающаяся до непрерывного отображения при t — 1), переводящая в / некоторое вложение g (т.е. Hi о g = /). Очевидно, изотопическая реализуемость влечёт дискретную. Вопрос о справедливости обратной импликации был поднят Е. В. Щепиным в 1993 году (см. [А1; проблема 2]) и известен как проблема изотопической реализации.
Истоки этого вопроса восходят к проблеме Л. В. Келдыш о реализуемости дико вложенных полиэдров псевдоизотопией подполиэдров, которая была сформулирована в 1966 году (см. [К1]) и решена в последующее десятилетие положительно для диких поверхностей в 3-многообразиях (см. [К1] и обобщение в [Сг]) и диких вложений в коразмерности > 3 [Ed] (см. [Ml; Theorem 3.5]), и отрицательно для некоторых диких узлов в R3 [Sik], [К 2]. Также следует отметить, что в силу теоремы Чернавского о локальной стягиваемости группы гомеоморфизмов многообразия [Че], [ЕК] дискретно реализуемые отображения замкнутого компактного многообразия на себя реализуемы изотопически.
Связь с контролируемой топологией может быть описана следующим образом. Из теоремы /?, сформулированной далее во введении, вытекает, что в условиях коразмерности > 3 отображение компактного полиэдра X в PL-многообразие Q изотопически реализуемо, если и только если оно лежит в образе канонического отображения1
e:ho\mk(M,V)^V,
где М. - пространство отображений X —* Q (в компактно-открытой топологии), Т> - «дискриминант», т.е. дополнение в М. к множеству вложений, holink - гомотопический линк в смысле Квинна [Qu], т.е. пространство путей <р: I —* Лі, таких что ip~l{V) = {1} (в компактно-открытой топологии), и отображение е даётся взятием значения в единице.
Легко строятся отображения компактов, реализуемые дискретно, но не изотопически (интересный пример - композиция проекции двух псевдодуг на одну и некоторого вложения последней в плоскость [Ml; Example 1.1]). Однако в случае, когда X - полиэдр, вопрос о существовании таких отображений, особенно в коразмерности > 3, оказался непростым.
Замечание. В этой связи может быть интересен следующий пример. Рассмотрим последовательность отображений /j:S1-»R2\ {О}, таких что /і индуцирует на 7Г! умножение на і и совпадает с fi-i вне 2-г-окрестности северного полюса iV, которую переводит в 2-1-окрестность начала координат О. Прообраз
1 Напомним, что значение этой конструкции основано на теореме Фаделла (см. [HR]), согласно которой для произвольного локально-плоского топологического подмногообразия Nn топологического многообразия Мт отображение е: holink( M,N) —+ N есть расслоение Гу-ревича со слоем 5'm-n_1, причём в гладком случае е послойно гомотопически эквивалентно сферизации нормального расслоения.
О при предельном отображении f'.S1 — Ш2 есть N; образ / можно описать как объединение двух спиралей, закрученных вокруг О в противоположных направлениях. Может показаться «очевидным», что / не допускает мгновенного снятия с начала координат, т.е. не существует гомотопии ht'. S1 — R2, такой что ho = f и образ Ы не содержит О при t > 0. Но это неверно, в чём несложно убедиться, заметив, что / является также равномерным пределом нульгомотопных отображений f[: S1 —* R2 \ {О}, где f[ совпадает с /* вне 4-г-окрестности N, которую переводит в 4~*-окрестность О.
Отображения в гиперплоскость
Согласно [KS], любое погружение общего положения /: S3 Я-» R6, проектирующееся в /, имеет нечётное число двойных точек. Зафиксируем такое /, є-близкое к і/, и предположим, что существует вложение д: S3 -» R6, е-близкое к і/ для достаточно малого є 0 (определённого ниже). Поскольку Е С Е/, некоторая компонента связности С многообразия E//t содержит к /, множество Efc лежит в е-окрестности Ое многообразия S/ U Д з. Значит, любая є-гомотопия общего положения Н: S3 х I — Ж6 х I между / и д задаёт t-эквивариантный нуль-бордизм Ея сОх Д/ С S3 х I для Е . Если є достаточно мало, є-окрестность С не пересекает е-окрестностей других компонент и диагонали Ass, поэтому множество С П E /t нечётной мощности нуль-бордантно. Пример Д. Композиция двулистного накрытия f:S3— RP3 и произвольного вложения RP3 деле, согласно аппроксимационной теореме [Нае], вложение можно считать гладким, а поскольку ШР3 (или ШР7) стабильно параллелизуемо, нормальное расслоение такого вложения тривиально [КМ]. Аналогично доказательству предложения 1, / поднимается в погружение /: S3 ч- RP3 х R3 с единственной двойной точкой. Е/ совпадает с антидиагональю Vss := {(х,—х) х Є S3}, и применимо рассуждение из предыдущего примера. Замечание. Утверждение предыдущего примера напрямую следует из следующего критерия, доказанного в [М2; 3]: пусть М — стабильно-параллелизуемое п-многообразие, п 2, компонента Е/ проектируется с чётной степенью на первый (эквивалентно, второй) сомножитель Sn х Sn. Доказательство этого критерия в [М2] - более-менее в духе рассуждений П. М. Ахметьева в [Al], [А2], и не приводится в диссертации. Отметим, что условие этого критерия выполнено тривиальным образом, если Е/ не имеет компактных компонент. Читатель может убедиться непосредственно, что это так для отображений S3 —» S3 степени 2, полученных заклейкой тривиальными «шапочками» выворачиваний Морэна и Шапиро [Фр]; в случае выворачивания Шапиро это опровергает некоторые утверждения из [Al], [А2]. В действительности, подходит любое выворачивание [М2]. "Утверждение. Если f:Sn— Мп имеет нечётную степень, где М стабильно параллелизуемо, то композиция / и произвольного вложения М t- R2n дискретно реализуема. Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму где Sf = {х Є Sn I f(x) = f(y) для некоторого у ф х) обозначает сингулярное множество, так что /(5/) - множество двойных точек, ир- ограничение проекции Sn х Sn на первый сомножитель; отображение /(2) определено по формуле {х, уf(y). Достаточно рассмотреть случай, в котором / - отображение общего положения. Ограничивая на связную компоненту S/, и считая Sf и f(Sf) содержащимися в 5П и в М, соответственно, имеем deg(p) deg(/) = 2 deg(/(2)). Если / имеет нечётную степень, р должно иметь чётную на каждой связной компоненте, и утверждение вытекает из критерия, сформулированного в предыдущем замечании. П. М. Ахметьеву удалось доказать с помощью теоремы Адамса об инварианте Хопфа, что любое отображение f:Sn— SnC Ш2п дискретно реализуемо при п ф 1,2,3,7 [А2] (см. альтернативные доказательства в [Ah], [М2; 3]). При п = 1 это не так для любого отображения степени ф 0, ±1 [Si]; случаям п = 3,7 посвящена работа [М2], а случаю п = 2, где возникают дополнительные трудности, связанные с упомянутыми выше тройными точками, - основной результат работы [ARS] (см. также [Al], [А2]). Известно, что при п = 2 ответ положителен для открытых отображений (Е. В. Щепин, неопубликовано). Для вопроса об изотопической реализуемости случай п = 21 — 1 представляет особую сложность, поскольку в проблеме изотопической реализации ту роль, которую инвариант Хопфа играет в задаче дискретной реализации, занимает относительная версия (ср. гомоморфизмы рпт из [Ah]) второго инварианта Хопфа Н2 в смысле Уайтхеда-Джеймса (см. [KS]), а для последнего удаётся применить лишь доказательство [AS] лёгкой части (принадлежащей Адему [Ad]) теоремы Адамса (общий случай см. в [A3]), работающее при ограничении пф21-1. Таким образом, размерностные ограничения в следствии 2, по-видимому, не удастся ослабить (или же доказать их необходимость) стандартными методами теории погружений без дальнейшего развития её аппарата.
Перейдём к формулировке результатов, полученных другими методами. Определение. В приложении определены гомологические препятствия 6(/) и о(/) (а в 1.1 - их когомологические эквиваленты $(/) и #(/)) к дискретной и к изотопической реализуемости отображения /: Nn — Мт между ориентируемыми кусочно-линейными многообразиями; приведём краткий набросок их построения. Препятствие 6(f) принимает значение в (2п — т)-мерной группе локально-конечных гомологии Александрова-Чеха сг-комнакта 2//t с некоторыми локальными коэффициентами, изоморфной обратному пределу локально-конечных4 гомологии полиэдральных окрестностей S//t в N/t, и определяется как нить из гомологических классов многообразий S/j/t, где /і - аппроксимации общего положения отображения /, в этих окрестностях N{, объединённых с окрестностями Di бесконечности некомпактного многообразия N/t. Препятствие о(/) принимает значение в (2п — т)-мерной группе локально-конечных гомологии Стинрода-Ситникова сг-компакта S//t с некоторыми локальными коэффициентами, изоморфной группе (2п—т+1)-мерных локально-конечных гомологии телескопа обратной последовательности окрестностей Ni, и определяется как гомологический класс многообразия ( (а) [Ski] / дискретно реализуемо, если и только если 6(/) = 0. (б) / изотонически реализуемо, если и только если o(f) = 0. (в) Если / дискретно реализуемо и является композицией N — М с Q, где Q = М хШ.к, М2п к - кусочно-линейное многообразие, к 0, то класс o(f) имеет порядок 2 и является образом 6(f) при некотором гомоморфизме. Доказательство пункта (б) состоит, с учётом гомотопического критерия изотопической реализуемости (теорема 1.1.1), из стандартной теории препятствий (теорема 1.1.3) и стандартного перехода от когомологий к гомологиям (см. приложение). По модулю этого перехода первое утверждение пункта (в) доказано в предложении 1.2.2 (другое доказательство - в замечании к лемме 1.3.3), а второе, играющее роль ключевого наблюдения в данной статье - в предложении 2.3.4 (а также вытекает из (б) Образ индуцированного включением гомоморфизма), связывающей гомологии Стинрода-Ситникова и Александрова-Чеха, вытекает, что всякий соленоидальный компакт имеет размерность не менее 1. Замечание. Существование отображений Sn —» Sn без несоленоидальных прообразов точек представляется автору маловероятным. (Следует уточнить, что специалистам, таким как, например, Р. Эдварде, неизвестно, существуют ли такие отображения, равно как и отображения /: Sn — Sn с /-1(х) = S1 для каждой х Є Sn.)
Нерасщепимость на бесконечности
Если т п, тройные точки нельзя исключить, поэтому требуется найти эквивариантную е-аппроксимацию G общего положения отображения /2, где ё(х,у) = тіп(є(х),є(у)), такую что G_1(AQXlRfc) С p 1(SN k) U Д . Для этого определим непрерывное отображение х. F U АХ — Kfc по формуле z - e(,z)t/ (z), если z Є SF И2І-»0В противном случае, и продолжим его произвольным образом на X х X с сохранением х . Совместное отображение F2xx:XxX-»QxQx VRfc является -близким к /2, и F2XX = -1(0). D Перейдём к доказательству пункта (а) теоремы 2, которое будет продолжаться вплоть до конца 2. Нам понадобится несколько определений из теории Смита. Последовательности Смита (в случае р = 2, F = ). Пусть К - локально-компактный полиэдр, на котором задано свободное кусочно-линейное действие Z/2, и L - его инвариантный подполиэдр (возможно пустой). Имеют место короткие точные последовательности 2 /2]-модулей Мономорфизм из первой (соответственно второй) последовательности переводит образующую в 1 —t (соотв. І + t). Эквивалентным образом, можно рассматривать короткие точные последовательности локально-постоянных пучков, ассоциированных с этими модулями. При любом подходе этим коэффициентным последовательностям отвечают две длинные точные последовательности кого-мологий, называемые последовательностями Смита [CF; 4], [Бр]: целочисленные коэффициенты в неэквивариантных когомологиях), что с точки зрения модулей есть частный случай изоморфизма Н (К, L; Ък z G) а H (K,L;G) (см. приложение), а с точки зрения пучков - частный случай теоремы Виеториса-Бегла [Бр]. Таким образом, эти последовательности получены из коротких точных последовательностей коцепных комплексов Здесь С - обычный коцепной комплекс пары (К, L), комплекс С+ состоит из «симметричных» коцепей, то есть инвариантных относительно действия инволюции t, а комплекс С - из «кососимметричных», то есть меняющих знак под действием t; гомоморфизмы коцепных комплексов /_ и /+ соответствуют «забыванию» (косо)симметричной структуры, s+ и s_ обозначают «симметризацию» с н- гомоморфизмов в последовательностях Смита (аргумент (K,L), общий для всех членов, опущен): класс Эйлера e(t) Є H kew(K) Hl(K/t;Gzj.) инволюции t (то есть одномерного векторного расслоения над K/t, сферизация которого есть двулистное накрытие К —у К/І).
Этот класс можно индуцировать из класса Эйлера е0 Є Н1 (ШР; Оът) — Z/2 канонического линейного расслоения над ЕР = B(Z/2), сферизация которого структурной группой Z/2. В частности, класс Эйлера e(t) есть элемент порядка 2, однако поскольку он лежит в целочисленной группе одномерных когомологий K/t с локальными коэффициентами, мы будем отличать его от первого класса Штифеля-Уитни iui(t), принимающего значение в группе Н1 {К/1-,7,/2), и являющегося образом e(t) при гомоморфизме приведения коэффициентов по модулю 2. Замечание. Из приведённого выше описания коцепных комплексов ясно, что: (i) sym о sforg есть умножение на 2 в группе Н(К, L); (ii) alt о aforg есть умножение на 2 в группе Hev/(K, L); (iii) sforg о sym + aforg о alt есть умножение на 2 в группе Hm(K, L). Последнее свойство следует из того, что инволюция t индуцирует на группе Нт(К, L) структуру Х /2]-модуля, причём sforg о sym = id + t и aforg о alt = id — t . Ввиду того, что рассмотрения настоящей главы будут уточняться далее для случая отображения, пропущенного через подмногообразие коразмерности к 1, мы будем избегать чрезмерного использования перечисленных свойств. Доказательство. Поскольку класс Эйлера є - элемент второго порядка (или в силу свойства (і) выше), im е = ker sforg лежит в 2-кручении Gi для каждого г. Следовательно, lim1 (im є) = 0 (см. 1.1), так что утверждение следует из точности справа функтора производного предела (т.е. тривиальности lim2). Наблюдение 2.1.4. Пусть Хп - компактный полиэдр, Qm x - ориентируемое PL- #(/) = h lS ( &(f)), где h - изоморфизм из леммы 2.1.3, а 8 - связывающий гомоморфизм из точной последовательности 0 -»lim А{ - lim Bt -+ lim d -+ lim1 A{ -+ lim1 Bt - lim1 d -+ 0, (2) построенной no короткой точной последовательности обратных последовательностей Доказательство. Прежде всего заметим, "ep6sforgd t 5i+i) есть обычное неэквивариантное первое препятствие d( 7i, 7i+i) Є Hm-1(X, U{) к гомотопии. По лемме 1.2.3 для него выполнено (где в случае Q = Rm_1, - одна из образующих Яш_1 (S 1, Sm"2) Z Є Z), поэтому система полученная из системы (1) критерия 1.1.4 при гомоморфизме sforg, разрешима в обратной последовательности из групп i/m-1(X, Щ). Другими словами, /i($(/)) лежит в ядре sforg , то есть в образе 5 . Заметим, что по лемме 2.1.3 для разрешимости системы (1) достаточно (и необходимо), чтобы система (5) была разрешима в im sforg. Последнее выполнено, в частности, если уже имеющееся решение (4) лежит в im sforg, или, что то же самое, почленно отправляется в ноль гомоморфизмом alt. В любом случае, это решение переходит в нить, так как коэффициенты системы (5) идут в нули, поскольку они пришли из эквивариантных когомологий. Эта нить и является, согласно определению связывающего гомоморфизма, одним из прообразов ft(t?(/)) при 6 . Остаётся заметить, что при гомоморфизме alt классы (д? ) () переходят в (3i) kew(skew), где 8kew = altf (в случае Q = Rm_1 это, очевидно, образующая группы H-wl(Sm-\Sm-2) Z). Но по лемме 1.3.3(B) классы ( 2)s kew(8kew) и составляют нить #(/). Заметим теперь, что коэффициентные последовательности, задающие последовательности Смита, допускают эпиморфизмы на арифметические коэффициентные последовательности:
Отображение, пропущенное через коразмерность
Далее будет доказано обобщение альтернативы 2.2.2 на случай отображений с образом в подмногообразии с тривиальным нормальным расслоением. Это завершает доказательство когомологической версии теоремы 2(a), начатое в предложении 2.1.6. Теорема 2.3.1. Пусть Хп - компактный полиэдр, Мт к - ориентируемое ван Кампена-Скопенкова $(/) Є Игл H Jf(X,Ui) является элементом конечного порядка, то её элементы - -делятся на класс Эйлера e(t). Случай к = 1 рассмотрен выше, а при к 2 сложность представляет лишь установление факта, что, если порядок "0(f) конечен, он непременно равен 2: каждый её элемент $i(f) делится на класс Эйлера e(t). Доказательство. Рассмотрим последовательности Смитанетривиально умножается на класс Эйлера согласно лемме 1.3.3(a) и наблюдению 1.3.4. Значит, alt($i) (0 = (p2) kew(2f8kew) = 0, где f = aorgskew. Однако, так как к 2, группа H k(Sm 1,Sm k 1) тривиальна, значит, в образе ( 7i)eq нет ненУлевого элемента, который мог бы накрывать (flf ) () Но тогда aforg$i(/)гомоморфизме умножения на класс Эйлера. Нам потребуются некоторые построения. Пусть К и L — полиэдры со свободными кусочно-линейными действиями Z/2 = (t 112 = і). Через К х%/2 L будем обозначать факторпространство KxLno диагональному действию Z/2; на нём, в свою очередь, задано каноническое действие Z/2, переводящее (х, у) = (tx, ty) в (x,ty) = (tx,y), так что (К xz/2 L)/t = (L/t) отождествляется с периодическим произведением классов Эйлера двулистных накрытий К — K/t и L —» L/t, но это нам не потребуется. Композиция накрытия р и проекции доставляет слоем L, причём аналогичный факт имеет место и в случае, если действие Z/2 на L имеет неподвижные точки. В случае L = Sk 1 с антинодальным действием Z/2 это расслоение к . К Уитни к экземпляров линейного расслоения, ассоциированного с и. Как подметил Хэфлигер, существование сечения в этом расслоении равносильно существованию эквивариантного отображения К —» Sk 1. Для расслоения % и произвольного локально-постоянного пучка О на K/t имеется точная последовательность Смита-Гизина [Бр]: Здесь С - (к — 1)-мерный пучок Лере расслоения i k, то есть Ojk = Of , а икО - обратный образ пучка О; наконец, ек Є Hk{K/t;C) - класс Эйлера расслоения i k, равный по формуле Уитни fc-ой -степени класса Эйлера е двулистного накрытия v. Гомоморфизм р индуцирован проекцией на базу, а гомоморфизм Гизина р! соответствует связывающему гомоморфизму 5 из точной последовательности пары (К х%/2 Bk,K х%/2 Sk 1) при изоморфизме Тома Напомним, что р- можно также получить из индуцированного проекцией на базу гомоморфизма в гомологиях с помощью двойственности Пуанкаре (если К - многообразие) и с помощью послойного интегрирования в теории де Рама (если К - гладкое многообразие), а тот факт, что умножение на ек отождествляется с гомоморфизмом расширения носителя из точной последовательности пары (К х%/2 Вк,К xz/2 Sk 1), вытекает из того, что класс
Тома расслоения vk переходит при этом гомоморфизме в его класс Эйлера. Зафиксируем О = Оъ? (относительно есть Ozr (относительно диагонального действия Z/2 на К х Sk 1), и в терминах модулей последовательность Смита-Гизина относительно подполиэдра L С К приобретает вид Следующая лемма понадобится нам по существу лишь в случае Р = 0. Лемма 2.3.3. Рассмотрим эквивариантное отображение ip: Р — Sk l l инвариантного подполиэдра Р С К и соответствующее частичное сечение s = i,x p:P— Kx Sk l 1, а также ещё один инвариантный подполиэдр L полиэдра К. Включения К xZ/2 Sl l С К хZ/2 Sk l 6 К xZ/2 Sk l l, соответствующие разложению Sk_1 = S1 1 Sk l 1, описываются четырьмя точными последовательностями, образующими коммутативную диаграмму В этой диаграмме некоторые гомоморфизмы вполне соответствуют своим обозначениям лишь в случае Р = 0, а в общем случае определены в доказательстве. Гомоморфизм У соответствует при двойственности Пуанкаре (если К - многообразие) индуцированному включением гомоморфизму j в гомоло-гиях, а в общем случае (при Р = 0) получается с помощью изоморфизма Тома из гомоморфизма расширения носителя в точной последовательности тройки; гомоморфизм 8 получается из связывающего гомоморфизма в последней. Доказательство. Рассмотрим точные последовательности троек, выбранных из четвёрки где Z = PULx Bk, а Р С Р х Вк - послойный джойн s(P) и Р х В1, пересекающий каждый слой ptxBk = ptx (Sk l 1 В1) по (/+1)-мерному шару. Легко видеть, что предъявленная диаграмма (за исключением стрелок, ещё не определённых в случае непустого Р) изоморфна стандартной диаграмме (ср. [Св; диаграмма на стр. 54]), образованной этими последовательностями, что и позволяет доопределить все стрелки в случае непустого Р. Отметим лишь, что умножение на ек 1 доопределяется умножением на класс Е Є Нк щ{К, Р), представленный нулями произвольного эквивариантного сечения s: К — К х Bk l \ Р, продолжающего is. О Возвращаясь к обозначениям из формулировки теоремы 2.3.1, рассмотрим последовательность Смита-Гизина для пары (X, Ui): Предложение 2.3.4. В условиях теоремы 2.3.1 обозначим Qm = МхК\ и для каждого і пусть /»: X — Q - вложение, 2 г -близкое к ]. Система, коэффициенты которой получены из коэффициентов deq( 7t 7i+i) системы (1) с помощью гомоморфизмов р , разрешима. Более того, справедлива формула d(f) = h 15 (d(f)), где h - изоморфизм из леммы 2.1.3, а - связывающий гомоморфизм из 6-членной последовательности (2), построенной по короткой точной последовательности обратных последовательностей Доказательство. Отображение gf: X — Q даёт ;:1х Sk 1 — Q х Sk_1. Поскольку gi является 2 г-близким к /, образ ограничения д\ на Ui содержится вблизи М, так что gi(Ui х Sk 1) лежит в малой окрестности М х Sk 1. Поэтому достаточно установить существование класса f Є i7-1(Q х Sk 1,M х Sk 1), такого что p!(f) совпадает с классом 8kew Є H . k{Q,M) из леммы 1.3.3(B), И имеет место тождество Пусть - произвольный класс, удовлетворяющий первому условию, существующий в силу Skew w efc = 0; покажем, что он удовлетворяет и второму (с незначительной поправкой). Для этого рассмотрим следующую диаграмму, полученную из леммы 2.3.3 при 1 = 1, К = Q, L = М и Р = 0.
Подтаскивание по остовам
Локально-конечные гомологии. Локально-конечные гомологии Н (К,L;М) и когомологий с компактным носителем H .C(K,L;M) определяются как гомологии комплексов Homzir(Сс,М) и С 8 z?r М, где С - комплекс симпли-циальных коцепей с конечными носителями эквивариантно триангулированной пары (K,L). Отметим изоморфизмы Н (K,L;M) H {CXi S Zn М) и Щ(К,Ь;М) Н.(С ъ М), где Clf = UomZir(C ,ZTr) и С = Homz (C,Z7r) -комплексы локально-конечных цепей и коцепей [Сп; 5.5.5]. Когомологий неполиэдральных пар полиэдров. Пусть О - объединение возрастающей цепочки Ко С К\ С ... инвариантных подполиэдров К (например, в качестве О годится произвольное инвариантное открытое подмножество К или какого-нибудь его подполиэдра). Определим группу Н(К,0;М) как Н(К х [0,1),С/;М), где U - телескоп прямой последовательности {КІ}, ТО есть объединение цилиндров КІ х [1 — 2г, 1 — 2г+1]. Индуцированный включением О С К гомоморфизм ограничения в когомологиях определяется как композиция Н(К; М) Н?(Кх [О,1); М) -» H{U; М) Н(0; М). Ясно, что эти определения не зависят от выбора цепочки подполиэдров КІ И согласуются с аксиомами Стинрода-Эйленберга. Можно показать, что так определённая группа Н(К,0;М) совпадает с когомологиями Александера-Спеньера [Сп], [Ма] и с пучковыми когомологиями [Бре], но нам это не понадобится. Гомологии Александрова-Чеха и Стпинрода-Ситникова20. Начнём со случая, когда (C,D) - пара компактов (т.е. компактных метрических пространств), на которой зафиксировано свободное действие 7г. Представим пару (C,D) как предел обратной последовательности пар компактных полиэдров (Кі,Ьг) со свободным кусочно-линейным действием я- и кусочно-линейных отображений Pi: {Ki,Lt) {Ki-i, Lj_i), коммутирующих с действием 7г (это можно сделать с помощью нервов покрытий С/ТТ, либо вкладывая С/тт в К(п, 1) и рассматривая окрестности). Определим гомологии Алексанрова-Чеха H?(C,D;M) как предел обратной последовательности гомологии Щ(КІ, L»; М) и гомоморфизмов, индуцированных отображениями pi. Далее, рассмотрим котелескоп (V,jy) обратной последовательности {(Кі,Ьг);рі), т.е. объединение цилиндров отображений рі по общим для цилиндров соседних отображений Pi, pi+i парам (КІ,ЬІ) с очевидным действием 7Г.21 Тогда d-мерные гомологии Стинрода-Ситникова H%(C,D;M) определяются как (с+1)-мерные локально-конечные гомологии #J+i (V, WUK0; М) котелескопа (V, W) по модулю его края (Ко, LQ). Последовательность Милнора. Для ясности ограничимся рассмотрением случая D = 0. Заметим, что d-мерные чеховские гомологии Н (С;М) можно эк вивалентно определить как образ (V, К0; М) в группе Hj.j(V,(J-Ki;M), которая изоморфна Н% (J KtxI,\JKiX ді; М) ЯJ; lf (J К{; М), т.е. произведению \\НД{КІ;М). Это доставляет канонический эпиморфизм из стинро-довских гомологии на чеховские.22 Ядром этого эпиморфизма является производный предел обратной последовательности {HJ+1(i i;M);(pi) }. В самом деле, этот производный предел есть, по определению, факторгруппа группы Ї\Щ+1(КІ+1;М) H$[(\JKi,K0;M) по подгруппе наборов (gi+i), таких что gi = ХІ — (РІ)+(ХІ+1) для некоторого набора (ХІ+І). Но последняя совпадает с образом группы i/J.j_2(V,(J Kf,M) при связывающем гомоморфизме, и наше утверждение теперь вытекает из точной последовательности тройки (V,(J Ki, Ко). Обобщая вышеприведённые рассуждения на случай непустого подкомпакта D, мы получаем короткую точную последовательность Милнора Локально-конечные чеховские и стинродовские гомологии. Пусть теперь С локально-компактное сепарабельное метрическое пространство со свободным действием группы 7Г, и D - его инвариантное замкнутое подмножество. То гда пара (С, D) сг-компактна, т.е. является объединением счётного семейства компактных пар (Cj,Dj), которые молено считать вполне упорядоченными по включению и, ввиду конечности 7Г, инвариантными.
Гомологии Стинрода Ситникова Щ(С, D; М) и Александрова-Чеха Щ(С, D; М) определяются как прямые пределы соответствующих групп от компактных пар (Cj,Dj). Теперь разложим (C,D), как и выше, в обратную последовательность {{Ki,Li);pi}, вместо компактности каждой (К{,Ьг) требуя, чтобы она являлась объедине нием инвариантных компактных пар (Kij,Lij), ность Милнора. Легко видеть, что оба типа (локально-конечных) гомологии определены корректно и являются инвариантами (собственной) шейповой эквивалентности. Наше определение гомологии Стинрода-Ситникова эквивалентно стандартному [Ма] (которое даётся только в случае 7г = 1); см. также [Fe], [Ск]. Гомологии Стинрода-Ситникова Я (C,D;M) совпадают с гомологиями Бореля-Мура Щ (C/TT,D/TT; ОМ) (напомним, что модуль М предполагается конечно-порождённым), где Ом - локально-постоянный пучок на С/п, задаваемый Z7Ti (С/7г)-модулем, полученным из ZTT-МОДУЛЯ М С ПОМОЩЬЮ связывающего гомоморфизма с-„: л (С/тс) — 7г из точной последовательности расслоения АГ Во введении используется следующая Лемма. Для любого конечно-порождённого Ък-модуля М из нетривиальности Доказательство. Конечно-порождённый QTT-МОДУЛЬ М Z Q является фак-тормодулем свободного rQ7r, и в силу теоремы Машке этот эпиморфизм расщепляется над Q7T. Следовательно, для ZTT-МОДУЛЯ MQ = im (М — М z Q) найдутся ZTr-гомоморфизмы MQ — rZ7r — MQ, КОМПОЗИЦИЯ которых есть умножение на некоторое s Є Z+. Поскольку умножение на порядок t ядра р: М — MQ в модуле М является композицией р, умножения на t в MQ И ZTT-мономорфизма, расщепляющего р, умножение на st в М пропускается через @гЪк над Z7T. Следовательно, условие Миттаг-Леффлера для обратной последовательности групп 7г-эквивариантных гомологии с коэффициентами в М следует из условия Миттаг-Леффлера для аналогичной обратной последовательности с коэффициентами в rZ7r. Однако, 7г-эквивариантные гомологии с коэффициентами в rZ7r изоморфны обычным гомологиям с коэффициентами в rZ, и теперь утверждение легко получается из формулы универсальных коэффициентов. Бордизмы Кошорке-Ахметъева. Пусть Md — стабильно параллелизуемое семерное гладкое многообразие (возможно с краем, несвязное и некомпактное, или даже пустое) с фиксированной ориентацией, Е - тривиализация его стабильного нормального расслоения т.е. изоморфизм v{M) с тривиальным расслоением, и ср: (Md,E,ip), профакторизованное по отношению эквивалентности ЛІ U (—Лі) 0 (где минус обозначает обращение ориентации многообразия М, а несвязное суммирование применяется к каждой паре соответствующих элементов троек) образует абелеву группу Tjf по отношению к операциям несвязного суммирования и обращения ориентации, а тройки, доставляемые компактными многообразиями, образуют её подгруппу Т .
Граничный оператор д: Tj[ -+ ТЩ, (М,Е, / ) »- (0M,S„d(eA/), ejif), превращает эти две серии абелевьгх групп в цепные комплексы Tlf и Т. Гомологии последнего, как известно, суть группы оснащённых бордизмов Qj(K, L), изоморфные посредством конструкции Понтрягина-Тома стабильным гомотопическим группам itd+N{ENК, EL) где Е обозначает надстройку, а N - любое число, большее d +1. Теперь заметим, что группы Т и Т являются левыми модулями над кольцом Щп х Дхз], где Boo = lini Вk, Bk - группа ортогональных преобразований к Ажуба (изоморфная пермутационному сплетению 2,/2\Sk = (П /2) &к), действующая на множестве /г-мерных тривиализаций каждого расслоения и(М) очевидным образом. Пусть теперь Н - конечно-порождённый левый ЩТГ х Дзо]-модуль; в качестве Н нам, в сущности, понадобится только серия левых Z[(Z/2) х Воо]-модулей где Rm обозначает элемент (t,..., t, 1,..., 1) подгруппы Y[ 2/2 группы Bk, ме няющий ориентации га первых подрасслоений. Определим группу (локально конечных) бордизмов fij,7rx (K,L;H) как d-ю группу гомологии цепно го комплекса T(lf) 2[тгхВоо] Н. Рассматривая класс сингулярных гомологии, представленный многообразием М, и пользуясь изоморфизмом сингулярной и симплициальной теорий, мы получаем гомоморфизмы где Ind xBoo(H) обозначает левый 27г-модуль Ъ[КУ.В00\ Н (в последней формуле Ък понимается как (Z7r, Z[7r х Дх,])-бимодуль, где Дэо действует тривиально), называемый в [Бра] модулем, полученным из Н расширением скаляров от Ъ\тх х Вж] до Ъ-к. Отметим, в частности, что Ind,L2, XBQQ (Fm) = Zm. Используя (локально-конечные) бордизмы вместо (локально-конечных) экви-вариантных гомологии Н+ (К,L;М) и дословно повторяя вышесказанное, мы получим определения групп (локально-конечных) чеховских и стинродов-ских бордизмов Кошорке-Ахметьева пары (C,D), являющихся инвариантами (собственной) шейповой эквивалентности. В локально-конечном случае справедлив аналог точной последовательности Милнора. Несложно видеть, что в случае, когда С - конечномерный компакт, 7г = Z/2 и М = Fm, приведённая конструкция эквивалентна исходному определению Ахметьева (которое было дано в этой общности) [Ah]. По поводу общих экстраординарных гомологии типа Стинрода-Ситникова см. [ЕН].