Введение к работе
Актуальность темы
Утолщенные поверхности, то есть прямые произведения замкнутых ориентируемых поверхностей на отрезок, являются самыми простыми многообразиями после трехмерной сферы S3. Изучение узлов в таких многообразиях является естественным шагом в дальнейшем развитии теории классических узлов в 53.
Одним из распространенных способов исследования объектов комбинаторной топологии является разбиение их на максимально простые части, и исследование каждой из частей по отдельности. Хорошо известна теорема Кнезера-Милнора (см. [6]), которая утверждает, что любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие М может быть представлено в виде
M = Af1#...#Afn#fc(52xS1),
где каждое из многообразий Mi,..., Мп неприводимо. Более того, такое представление единственно, то есть определяется исходным многообразием М. В силу этой теоремы в большинстве случаев рассматриваются только неприводимые многообразия.
Аналогом теоремы Кнезера-Милнора для классических узлов в 53 является теорема X. Шуберта (см. [8]), которая состоит в том, что любой нетривиальный узел раскладывается в связную сумму конечного числа примарных узлов, и слагаемые такого разложения определены однозначно, то есть зависят только от исходного узла. Одной из целей настоящей диссертации является доказательство аналога теоремы X. Шуберта для узлов в утолщенных поверхностях.
Отметим, что в общем случае обобщение теоремы X. Шуберта на случай узлов в утолщенных поверхностях неверно. Один из контрпримеров приведен в работе СВ. Матвеева [10]. В ней же было доказано, что любой гомологически тривиальный узел в утолщенной поверхности (то есть узел, определяющий нулевой элемент первой группы гомологии с коэффициентами В Z2) раскладывается на примарные слагаемые единственным образом. Для такого разложения используется операция кольцевой связной суммы, которая является прямым обобщением операции связного суммирования классических узлов на случай узлов в утолщенных поверхностях.
хРабота выполнена при поддержке гранта РФФИ (№11-01-00605).
*1 \ ... 3
Хорошо известна связь между узлами в утолщенных поверхностях и виртуальными узлами, введенными Л. Кауффманом в 1999 году в работе [3] (также см. [10]). Определим на множестве узлов в утолщенных поверхностях отношение эквивалентности следующим образом: два узла стабильно эквивалентны, если от одного к другому можно перейти с помощью последовательности преобразований дестабилизации (уменьшений рода поверхности без изменения узла) и обратных преобразований стабилизации. Тогда множество виртуальных узлов совпадает со множеством классов стабильно эквивалентных узлов в утолщенных поверхностях (см. [1, 3, 5, 9, 10]). В частности, каждый виртуальный узел реализуется бесконечным числом различных узлов в утолщенных поверхностях, при этом операция связного суммирования виртуальных узлов индуцируется операцией кольцевой связной суммы их представителей.
Будем говорить, что узел в утолщенной поверхности, являющийся представителем виртуального узла, мипималеп, если он не допускает дестабилизации. В 2003 году Г. Куперберг доказал (см. [5]), что для каждого виртуального узла, существует единственный минимальный представитель.
Одним из основных результатов диссертации является теорема, являющаяся обобщением теоремы X. Шуберта для виртуальных узлов:
Теорема 2.1. Любой виртуальный узел раскладывается в связную сумму конечного числа примарпых и тривиальных виртуальных узлов, причем примарные слагаемые такого разложения определены однозначно.
Важное отличие этой теоремы от теоремы X. Шуберта состоит в том, что в разложении присутствуют тривиальные слагаемые. Причина этого заключается в том, что, как показал Т. Кишино в 2004 году в работе [4], существуют нетривиальные виртуальные узлы, являющиеся связной суммой тривиальных виртуальных узлов. В случае классических узлов это невозможно.
На множестве всех узлов в утолщенных поверхностях вводятся четыре типа редукций. Редукция типа 1 узла К С F х I состоит в разрезании утолщенной поверхности F х I по несжимаемому разбивающему собственному послойному кольцу, пересекающему узел К в двух точках, и приклеивании к копиям этого кольца двух ручек индекса 2, содержащих тривиальные дуги. Ре-
дукцией типа 2 является операция дестабилизации. В качестве кольца, задающего дестабилизацию, выбирается любое несжимаемое послойное кольцо, в том числе и разбивающее. Если в результате дестабилизации получается утолщенная поверхность, не содержащая никакого узла, то мы помещаем в нее тривиальный узел. Редукция типа 3 узла К С Fxl состоит в следующем: разрежем утолщенную поверхность F х / по паре собственных послойных колец, каждое из которых пересекается с узлом К в одной точке и которые разбивают все многообразие F х I на две части. Склеим копии колец на крае каждой из частей так, чтобы получились два узла в утолщенных поверхностях. Редукция типа 4 состоит в вырезании локального узла. Непосредственно проверяется, что редукции типов 1 и 4 являются обратными для операции кольцевой связной суммы узлов в утолщенных поверхностях, а редукция типа 3 является суперпозицией стабилизации и редукции типа 1. Если в результате редукции типа 1,3 или 4 один из получившихся узлов совпадает с исходным, то такая редукция называется тривиальной.
В диссертации используются методы теории корней, разработанной С. Матвеевым и С. Хог-Анжелони в 2007 году (см. [2]). В этой работе было получено простое доказательство теоремы Кнсзера-Милнора (см. [6]), обобщение теоремы X. Шуберта для заузленных графов в произвольных многообразиях и другие результаты. В частности, приемы, описанные в этой работе, оказываются полезными для доказательства еще одного основного результата диссертации, который состоит в следующем:
Теорема 1.4. Пусть К С F х I — узел. Будем применять к паре (F х 1,К) н получающимся из нее парам нетривиальные редукции типов 1 - 4 до тех пор, пока это возможно. Тогда этот процесс всегда конечен, причем получающийся в результате набор узлов в утолщенных поверхностях зависит только от исходной пары (F х 1,К), с точностью до удаления пар вида (S2 х 1,0), где О С S2 х I — тривиальный узел в S2 х I.
Цель работы. Целью настоящей диссертации является доказательство аналогов теоремы X. Шуберта для узлов в утолщенных поверхностях и виртуальных узлов.
Основные результаты
1. Доказано, что конечный результат применения 4-х видов
редукций к произвольному узлу в утолщенной поверхности существует и определен однозначно с точностью до удаления тривиальных узлов в S2 х /, то есть не зависит от последовательности редукций, а определяется только исходным узлом (теорема 1.4).
2. Доказано, что любой виртуальный узел раскладывается в связную сумму нескольких примарных и нескольких тривиальных виртуальных узлов. Примарные слагаемые такого разложения определены однозначно (теорема 2.1).
Основные методы исследования. В работе используются стандартные методы маломерной топологии, в том числе техника устранения пересечения поверхностей в трехмерных многообразиях. Используется модификация этой техники, при которой все получаемые поверхности должны допустимым образом пересекать фиксированную кривую (узел) в многообразии. Помимо этого используются методы теории корней [2].
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы для дальнейших исследований узлов в трехмерных многообразиях. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов и семинаров для студентов и аспирантов математических специальностей.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах н конференциях:
-
Семинар под руководством академика РАН А. Т. Фоменко в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова ;
-
Семинар под руководством член.-корр. РАН СВ. Матвеева в Челябинском государственном университете;
-
Семинар под руководством член.-кор. РАН И.А. Тайманова в Институте математики Сибирского отделения Российской Академии паук;
-
Семинар под руководством под руководством член.-кор. РАН А. А. Махнева в Институте математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук;
-
Международная школа-конференция по геометрическому анализу (Горно-Алтайск, 2010);
G. Всероссийская школа-конференция по геометрии и анализу (Кемерово, 2011).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12]—[1G]. К списку ВАК относятся работы [12]-[14].
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии. Она изложена на 71 странице, снабжена 45 рисунками, библиография содержит 21 наименование. Нумерация теорем, лемм и т. п. в каждой главе своя. Основные результаты диссертации — это теоремы 1.4. и 2.1.
