Погружения графов в поверхности Пермяков Дмитрий Алексеевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Число вращения: определения и предварительные результаты 7

1.1 Определения 7

1.2 Леммы 13

2 Регулярная гомотопность погружений графов в поверхности 17

2.1 Классификация погружений графов в плоскоств 17

2.2 Формулировка резулвтата 18

2.3 Гомотопноств графов 20

2.4 Необходимоств в Теореме 2.2 21

2.5 Достаточноств в Теореме 2.2 25

3 Классификация погружений графов в поверхности с точностью до регулярной гомотопии 29

3.1 Определение инварианта 29

3.2 Формулировка резулвтатов 33

3.3 Доказателвство Теоремві 3.1 35

3.4 Доказателвство Теоремві 3.2 36

3.5 Доказателвство Теоремві 3.3 43

4 Линейная независимость скручиваний Дэна 44

4.1 Определения 44

4.2 Формулировка основного резулвтата 44

4.3 Граф О, двойственнвій набору окружностей 7г 46

4.5 Доказателвство теоремві 4.1 для ориентируемой поверхности М 51

4.6 Доказателвство теоремві 4.1 для неориентируемой поверхности М 53

5 Заключение 53

Список литературы

• Леммы
• Гомотопноств графов
• Формулировка резулвтатов
• Доказателвство теоремві 4.1 для ориентируемой поверхности М

Введение к работе

Актуальность темы

Погружения кривых всегда вызывали интерес. Погружение кривой в плоскость естественно возникает как проекция узла. Гаусс¹ рассматривал конечные последовательности букв, каждая из которых встречается дважды. Он задавался вопросом, какие из таких последовательностей соответствуют самопересечениям проекции узла на плоскость. Задача была решена Трейбигом².

Уитни³ определяет число вращения как количество оборотов, которое делает вектор скорости кривой. Он предложил следующую классификацию погружений кривых в плоскость.

Теорема (0.1, Whitney-Graustein³). Две замкнутые регулярные кривые могут быть продеформированы одна в другую, т.е. между ними существует гомотопия в классе замкнутых регулярных кривых, тогда и только тогда, когда их числа вращения совпадают.

Уитни также свел подсчет числа вращения к подсчету количества точек самопересечения разных типов.

Смейл решил задачу классификации погружений кривых в терминах фундаментальной группы единичного касательного расслоения.

Теорема (0.2, Smale⁴). Пусть Хо - точка единичного касательного расслоения Т¹М риманова многообразия М. Тогда существует биекция между tii(T¹M,xq) и множеством классов (с точностью до регулярной гомото-пии, сохраняющей концы и направления в них) регулярных кривых на М с закрепленными концами и направлениями в них, задаваемыми Xq.

Теорема Уитни-Грауштейна легко следует из теоремы Смейла.

Рейнхарт⁵ определил число вращения на поверхностях с непустым краем. Он рассматривал ориентированную замкнутую компактную поверхность и кривую с фиксированными в базисной точке х Є М концами и

¹С.F.Gauss. Werke VIII // Konigliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen (1900), 271-286. ²L.B. Treybig. A characterization of the double point structure of the projection of a polygonal knot in regular position // Trans. Amer. Math. Soc., 130:2 (1968), 223-247.

³H. Whitney. On regular closed curves in the plane // Compositio Math. 4 (1937), 276-286.

⁴S. Smale. Regular curves on Riemmannian manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 87:2 (1958), 492-512.

⁵B.L. Reinhart. The winding number on two manifolds // Ann. Inst. Fourier 10 (1960), 271-283.

направлением, задаваемым вектором Xq Є Т^М. Число вращения определялось по модулю эйлеровой характеристики поверхности. Точнее, Рейн-харт определил и доказал существование и единственность гомоморфизма вращения ш: тгд(М) —> Ъ_х из группы классов регулярной гомотопности кривых в кольцо целых чисел по модулю эйлеровой характеристики \ поверхности М, для которого uj = 0 на некотором наборе образующих поверхности, и uj = 1 на простой стягиваемой положительно ориентированной кривой. В продолжении⁶ Рейнхарт расширил определение числа вращения для кусочно-регулярных кривых.

Чилингворс в статье и ее продолжении⁸ дал геометрическое определение числа вращения uox{li%) относительно векторного поля X без нулей. Неформально, число вращения определяется как количество оборотов, которое делает вектор скорости кривой, не проходящей через нули векторного поля X, относительно векторного поля. Для неориентируемой поверхности определяется по модулю 2.

Теорема (0.3, Chillingworth⁷). Пусть М - гладкая поверхность с непустым краем. Пусть 7ь 72 ^_ две сохраняющие ориентацию регулярные замкнутые кривые на поверхности М, с совпадающим вектором скорости Х(х) в начальной точке, где X - векторное поле без нулей на М и х Є М. Пусть [7і] = [72] Є 7Гі(М, х). Тогда 71 регулярно гомотопна 72 относительно Х(х) тогда и только тогда, когда <х>х(7ъ^ж) = ^x{l2^x).

Помимо этого, в работах ' доказывается эквивалентность (для некоторого векторнного поля) числу вращения, определенному Рейнхартом, а также определяется число вращения для элемента группы 7Гі(М, х). В статье есть обобщения некоторых результатов на случаи замкнутой поверхности, меняющей ориентацию кривой или отсутствия базисной точки, но аналог теоремы Уитни-Грауштейна для этих случаев не получен.

Бурман и Поляк⁹ рассматривали ориентированную связную поверхность и замкнутые кривые без базисной точки. Их формулы устанавливают связь между числами вращения и самопересечениями кривых.

⁶B.L. Reinhart. Further remarks on the winding number // Ann. Inst. Fourier, 13:1 (1963), 155-160. ⁷D.R.J. Chillingworth. Winding Numbers on Surfaces, I // Math. Ann. 196:218 (1972), 218-249. ⁸D.R.J Chillingworth. Winding Numbers on Surfaces, II // Math. Ann., 199:131 (1972), 131-153. ⁹Y. Burman, M. Polyak. Whitney's formulas for curves on surfaces // Geometriae Dedicata 151:97 (2011), 97-106.

Никкуни вычислил инвариант By для кусочно-линейных погружений графов в плоскость и показал, что два погружения регулярно гомотопны тогда и только тогда, когда их инварианты By совпадают.

Группа гомеоморфизмов поверхности действует на множестве погружений кривых в поверхность. Исследование этого действия часто помогает установить нетривиальность гомеоморфизма, т.е. его неизотопность тождественному. Скручивание Дэна является простым примером нетривиального гомеоморфизма и возникает в разнообразных задачах, а потому представляет интерес.

Бирман и соавторы ^и рассматривают ориентируемую компактную ри-манову поверхность М, каждая компонента свзязности которой имеет отрицательную эйлерову характеристику. Они определяют группу А4(М) классов изотопии автоморфизмов (т.е. сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов) поверхности М, сохраняющих каждую компоненту связности поверхности и переводящих каждую граничную окружность в себя. Доказывается, что любая абелева подгруппа в А4(М) конечно порождена, не содержит кручения, и ранг ограничен числом Зд + Ъ — Зс, где д — род поверхности, Ь — количество граничных окружностей, с — количество компонент связности. В той же статье утверждается, что скручивания Дэна вдоль набора простых попарно непересекающихся вложенных окружностей (т.е. кривых) на ориентируемой поверхности порождают абелеву подгруппу, ранг которой достигает указанную верхнюю оценку. Согласно работе Дэна¹², скручивания Дэна вдоль всевозможных двусторонних кривых порождают группу Л4(М).

Упомянутый выше результат Бирман и соавторов имеет важные приложения. Например, с помощью этого результата и важного результата Кудрявцевой и Пермякова¹³ о пространствах функций Морса на произвольных (ориентируемых и неориентируемых) поверхностях, Кудрявцева в цикле работ¹⁴ более детально изучает гомотопический тип этих пространств в

¹⁰R. Nikkuni. On the Wu invariants for immersions of a graph into the plane // Homology, Homotopy and Applications 12:1 (2010), 45-60.

¹¹ J.S. Birman, A. Lubotzky, J. McCarthy. Abelian and solvable subgroups of the mapping class group // Duke Math. J., 50:4 (1983), 1107-1120.

¹²M. Dehn. Die Gruppe der Abbildungsklassen // Acta Math., 69:1 (1938), 135-206.

¹³E.A. Кудрявцева, Д.А. Пермяков. Оснащенные функции Морса на поверхностях // Машем. Сб. 201:4 (2010), 33-98.

¹⁴Е.А. Кудрявцева. Топология пространств функций Морса на поверхностях // Машем, заметки, 92:2 (2012), 241-261,

Е.А. Кудрявцева. Специальные оснащенные функции Морса на поверхностях // Вестн. Моск. ун-

случае ориентируемых поверхностей. Подчеркнем, что упомянутый выше результат Бирман и соавторов, а также использующий его результат Кудрявцевой, получены только для ориентируемых поверхностей. Поэтому задача распространения результата Бирман и соавторов на случай неориен-тируемых поверхностей представляется весьма актуальной.

Цель работы

Получить критерий регулярной гомотопности кусочно-регулярных погружений графа в связную компактную поверхность М. Получить классификацию таких погружений. В частности, получить аналог теоремы Уитни-Грауштейна для замкнутой кривой на неориентируемой поверхности без базисной точки. Вычислить ранг абелевой подгруппы группы классов отображений поверхности, порожденной скручиваниями Дэна вокруг попарно непересекающихся окружностей на поверхности.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Построен инвариант регулярной гомотопности кусочно-регулярных погружений графов в компактные поверхности (ориентируемые или неори-ентируемые, с краем или без края), обобщающий инвариант Б.Л. Рейнхар-та — число вращения регулярных погружений окружности в поверхность с непустым краем.

2. Получена классификация кусочно-регулярных погружений любого конечного графа в произвольную компактную поверхность с точностью до регулярной гомотопности. В частности, получен критерий регулярной гомотопности двух погружений.

3. Вычислен ранг абелевой подгруппы группы классов отображений поверхности, порожденной скручиваниями Дэна вокруг попарно непересекающихся двусторонних окружностей на неориентируемой поверхности.

та. Матем. Механ., 4 (2012), 14-20,

Е. А. Кудрявцева. Связные компоненты пространств функций Морса с фиксированными критическими точками // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ., 1 (2012), 3-12,

Е.А. Кудрявцева. О гомотопическом типе пространств функций Морса на поверхностях // Математический Сборник, 204:1 (2013), 79-118,

Е.А. Кудрявцева. Топология пространств функций с заданными особенностями на поверхностях // Докл. Акад. Наук, 468:1 (2016), 139-142.

Основные методы исследования

В диссертации используются методы маломерной топологии, алгебраической топологии, теории фундаментальных групп, комбинаторной теории групп и теории графов.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в теории погружений, теории отображений поверхностей, теории Нильсена неподвижных точек и точек совпадения отображений. Значение полученных соискателем результатов для практики подтверждается тем, что результаты диссертации цитируются и используются в научных статьях других авторов. В частности, первый и второй результаты, выносимые на защиту, цитируются и использованы в работах R. Nikkuni и А.Б. Скопенкова, а третий результат нашел применение (благодаря важному результату Е.А. Кудрявцевой и Д.А. Пермякова о гомотопическом типе пространств функций Морса на поверхностях, не вошедшему в данную диссертацию) в дальнейших исследованиях Е.А. Кудрявцевой гомотопического типа пространств функций Морса на поверхностях.

Апробация результатов работы

Результаты диссертации докладывались:

1. на семинаре "Современные геометрические методы" (руководители акад. А.Т. Фоменко, д.ф.-м.н. А.В. Болсинов, д.ф.-м.н. А.С. Мищенко, д.ф.-м.н. А.А. Ошемков, к.ф.-м.н. Е.А. Кудрявцева, к.ф.-м.н. И.М. Никонов, к.ф.-м.н. А.Ю. Коняев), Москва, МГУ, 2006, 2011, 2012, 2015 гг.,

2. на семинаре "Узлы и теория представлений" (руководители д.ф.-м.н. В.О. Мантуров, к.ф.-м.н. Д.П. Ильютко, к.ф.-м.н. И.М. Никонов), Москва, МГУ, 2015 г.,

3. на семинаре "Алгебраическая топология и ее приложения" им. М.М. Постникова (руководители чл.-корр. РАН В.М. Бухштабер, д.ф.-м.н. А.В. Чернавский, д.ф.-м.н. И.А. Дынников, д.ф.-м.н. Т.Е. Панов, к.ф.-м.н. Л.А. Алания, д.ф.-м.н. А.А. Гайфуллин, к.ф.-м.н. Д.В. Миллионщиков), Москва, МГУ, 2015 г.,

4. на семинаре "Семинар по геометрической топологии" (руководитель чл.-корр. РАН Е.В. Щепин), Мосва, Математический институт имени В.А. Стеклова РАН, 2015, 2016 гг.,

5. на семинаре "Асимптотические методы в математической физике" (руководитель д.ф.-м.н. СЮ. Доброхотов), Москва, Институт проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН, 2016 г.,

6. на научно-исследовательском семинаре под руководством профессора (Dr. Habil.) М. Boileau, Institut de Mathematiques de Toulouse, г. Тулуза, Франция, 2007 г.,

7. на международной конференции "Probability, analysis and geometry" (Москва, 26 сентября — 1 октября 2016 г.).

Публикации

Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно и опубликованы в работах [1]—[3], список которых приведен в конце автореферата, в журналах из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации

Леммы

Лемма 1.1. Пусть М - компактная связная поверхность, отличная от тора и бутылки Клейна. Пусть а,Ь Є 7Г\(М) - два коммутирующих элемента. Тогда найдутся элемент с Є 7Гі(М) и т,п Є Z такие, что а = ст, b = сп.

Доказательство. Если поверхность М имеет край, то фундаментальная группа ТГІ(М) свободна, и лемма доказана в [26], предложение 2.17. Пусть далее поверхность М замкнута. Рассмотрим гомоморфизм фундаментальной группы (u,v \ uvu lv l) тора Т в фундаментальную группу поверхности М, переводящий образующие u,v в элементы а, Ъ. Этот гомоморфизм индуцирован непрерывным отображением /: Т — М. По теореме Кнезера геометрическая степень G(f) 0 этого отображения либо равна 0, либо удовлетворяет неравенству Кнезера х(Т) %(M)G(/), см. [31]. Поэтому либо х(М) 0, либо G(/) = 0. Если х(М) 0, то М является сферой или проективной плоскостью, а значит фундаментальная группа М порождается не более чем одним элементом. Если х(М) 0, то G(f) = 0 и по определению геометрической степени / гомотопно отображению д, не являющемуся сюръективным (т.е. образ д содержится в проколотой поверхности М). Так как фундаментальная группа проколотой поверхности М свободна, получаем гомоморфизм (u,v uvu lv l) в свободную группу. Но в свободной группе коммутирующие элементы являются степенью одного и того же элемента, а фундаментальная группа тгі(М) является фактор группой фундаментальной группы тгі(М). Поэтому при х(М) 0 любые два коммутирующих элемента фундаментальной группы М являются целыми степенями одного и того же элемента. Лемма 1.1 доказана.

Лемма 1.2. Пусть /: Т2 — М - непрерывное отображение тора в компактную поверхность М, отличную от Т2, КЇ2, S2 и ЕР2. Тогда найдется с Є ігі(М) такой, что для любой кривой 7; Ы = с; отображение / можно прогомотопировать так, что его образ совпадет с образом 7 Доказательство. Пусть a, b - образующие тора. Тогда элементы f\a,f\b Є 7Гі(М) коммутируют. Согласно лемме 1.1 эти кривые гомотопны степеням одной петли 7- Гомотопией отображения / добьемся, чтобы f\a и f\b совпадали с 7 и 7""? тп,п Є Z. Рассмотрим два отображ;ения f,g: D2 — М. Отображение / определяется как f = f t, где t: D2 — T2 - приклеивание диска к образующим. Отображение g зададим на половине граничной окружности диска между его нижней и верхней точками равным кривой 7 и продлим на весь диск, полагая g постоянным на каждом горизонтальном отрезке. Таким образом, g отображает диск в кривую гу. Ограничения f\dD2 и g\dD2 совпадают, поэтому можно определить их на двух полушариях сферы и получить отображение S2 — М. Но 7Г2(М) = 0, поэтому полученное отображение стягиваемо. Значит отображения / и g гомотопны относительно 3D2. Лемма 1.2 доказано. Лемма 1.2 влечет

Лемма 1.3. Степень непрерывного отображения тора в компактную поверхность М, отличную от Т2, КЇ2, S2 и RP2, равна нулю.

Лемма 1.4. Пусть М - компактная связная поверхность с краем или отрицательной Эйлеровой характеристики, т.е. отличная от Т2, КЇ2, S2 и ЕР2. (А) Пусть 7i, 72: S1 — M - две свободные петли, сохраняющие ориентацию, точка х Є М \ (Іптуї U Гптуг)- Тогда для любых двух гомотопий 7 ,ь7 ,2; переводящих 7і е 72 0\ в 02, числа ІУ(7і,Оі,72,С 2,ж,7 ,і) и iV(7i, 6 1,72, 02,x,ryt,2) совпадают. (Б) Пусть 7ь7г: S1 — М - две петли, меняющие ориентацию, 7i(0) = 72 (0). Пусть кривая 5: S1 — М, 5(0) = 7i(0), сохраняет ориентацию, и дана точка х Є М \ (Іптуї U Іптугиїт ). Тогда для любых двух гомотопий 7 ,ь7 ,2; соединяющих 71 и 72 7 для которых 7 ,г(0) = 5, числа iV(7i, Oi,72, 5,x,jt,i) и iV(7i, Oi,72, #, ж, 74,2) совпадают.

Доказательство. Рассмотрим поднятия 7 ,ь 7 ,2 гомотопий 7 ,ь It,2 на ориентирующее накрытие М. (А) Объединение гомотопий 7t,i и 7 ,2 задает отображение /: Т2 — М. Рассмотрим диск D3H из определения числа N(ji, 6 1,72, 02,x, t) и стягивание р: М — S2 множества М \ Dx. Согласно лемме 1.3, степень отображения / равна нулю, а значит и степень отображения pi о f равна нулю. (Б) Объединение гомотопий 7м и 7t,2 задает отображение /: S 2 — М. Из 7г2(М) = 0 получаем, что степень отображения / равна нулю, а значит и степень отображения Pi f равна нулю.

Лемма 1.4 доказана. Лемма 1.5. Пусть М - компактная связная поверхность, рм - ТМ — М - касательное расслоение. Пусть на М задано векторное поле X с конечным числом нулей Хг, г = 1,...,К, и регулярная гомотопия t, t Є [1,2], кусочно-регулярных отображений 6,6: S1 — - ТМ, где кривые рм ъ Рм 6 не проходят через ХІ. Пусть у X нет нулей в случае М = Т2 или М = КЇ2, и единственный ноль в случае М = S2. Пусть заданы локальные ориентации 0\, 02, в точках рм(і(0)), Рм(6(0))7 согласованные вдоль рм6- В случае если рмі ирм6 меняют ориентацию, предполагаем, что Рм(6(0)) = Рм(6(0)), 6(0) = 6(0)); и путь рм 6(0), і Є [1,2], сохраняет ориентацию. Тогда выполнено dojx(l,Ol,2,02) = 0 для кривых рм 6; Рм 6? сохраняющих ориентацию, и (ких(і,01,&,рмШ,Ш) = 2их(Ш,Оі) для кривых рм Сь Рм 6? меняющих ориентацию. Доказательство. Обозначим 7 = Рмб- Пусть кривые 7ь 72 меняют ориентацию. Выберем произвольно путь #71(о): [0,1] — Т} ,0 ,М из определения шх, т.е. #71(о)(0) = X(7i(0)), 7і(о)(1) = рі(і(0)). Перенесем этот путь непрерывно вдоль всей гомотопии t так, что в каждой точке 7 (0)) есть путь 9Jt(0y. [О,1] — ТК0 ,М, непрерывно зависящий от t, для которого 07t(o)(O) = ХЫО)), (о)(1) =Pi(6(0)).

Пусть М отлична от S2, ЖР2, Т2, К12. Перенесем локальную ориентацию Ot непрерывно вдоль кривой 7 (0)- Если на участке [іі,іг] гомотопия не пересекает нули векторного поля, то число uJx(t, Ot) или uJx(t, Ot,7t(0), t(0), 0lt(o)) постоянно, т.к. оно целое и непрерывно по t. Рассмотрим гомотопию 7 в точке 7 (м) ПРИ пересечении нуля ХІ векторного поля X. Будем читать, что репер ( Q , Q ) положителен относительно ориентации перенесенной из 0\ вдоль гомотопии. Кривые незадолго до и после пересечения обозначим 7ti) 7 2- Можем считать, что за пределами малой окресности ХІ кривые совпадают, и кривая 7 2 отличается от rytl добавлением петли s вокруг точки х%. При обходе вдоль s вектор близок к (м). В малой окрестности х% можно считать направление (и) постоянным, при этом векторное поле X делает ІХІХІ) оборотов. Следовательно, вдоль s вектор делает — ІХ(ХІ) оборотов относительно X. Таким образом,

Гомотопноств графов

Пусть М — компактная связная поверхность. Рассмотрим двустороннюю (т.е. сохраняющую ориентацию) простую замкнутую кривую 7 на М. Скручиванием Дэна [22] вдоль 7 называется гомеоморфизм М на себя, который есть результат разрезания поверхности М вдоль 77 скручиванием одного из полученных концов на 27г и приклеиванием обратно. Носитель гомеоморфизма (т.е. замыкание множества точек, не являющихся неподвижными точками гомеоморфизма) лежит в цилиндре, основания которого гомотопны 7 как кривые в этом цилиндре. В координатах (9,h), 9 є [0;27г], h Є [0; 1], на цилиндре гомеоморфизм имеет вид (в, К) н (в + 2тг1г, К).

Для задания скручивания Дэна необходима локальная ориентация в окрестности кривой 7- Для данной локальной ориентации можно выбрать координаты (0,h), в є [0;27г], h Є [0; 1], на цилиндре возле кривой 7 положительно ориентированными. При замене локальной ориентации построенное таким образом скручивание Дэна будет меняться на гомотопное обратному.

Скручивание Дэна является одним из простейших гомеоморфизмов, не гомотопных тождественному (если кривая 7 не ограничивает на поверхности М диск, цилиндр или лист Мебиуса), поэтому оно часто используется (подробнее см. [24]).

Основной результат раздела — теорема 4.1. В случае ориентируемой поверхности М он является уточнением классического, см. [18], лемма 2.1(1), хотя автору не удалось найти опубликованного доказательства. В случае неориентируемой поверхности М результат новый.

Обозначим через Нотео(М; дМ) пространство гомеоморфизмов поверхности М, тождественных на дМ, а через Homeo0 (М;дМ) С Нотео(М; дМ) — компоненту связности тождественного гомеоморфизма в Нотео(М; 9М). Пусть тім 7г г(М) U п(М,дМ), где 7г г(М) — пространство классов свободных петель, т.е. гомотопических классов отображений окружности в М, а тт(М, дМ) - пространство классов путей в М с концами на дМ с точностью до гомотопий с фиксированными концами.

Теорема 4.1. Пусть М — компактная связная поверхность отрицательной эйлеровой характеристики (ориентируемая или нет, с краем или без). Пусть {7г}?=і конечный набор попарно непересекающихся простых замкнутых двусторонних кривых в Int(M); такой что любая компонента связности множества М \ (U7O не является ни открытым диском, ни открытым цилиндром, ни внутренностью листа Мебиуса. Пусть 7і Є Homeo(M; дМ) — скручивания Дэна вдоль кривых 7г- Тогда

1) классы [7і] Є Homeo(M; 9M)/Homeo(M; дМ) этих гомеоморфизмов порождают подгруппу, изоморфную свободной абелевой группе ранга, равного количеству кривых;

2) любая нетождественная композиция целых степеней указанных гомеоморфизмов нетривиально действует на пространстве тгм;

3) существует набор простых кривых 7г, 1 і п, классов [тг] Є ТІМ такой, что кривые 7г и 7? не пересекаются при і ф j и кривые % и t r/i не гомотопны при любом кфО.

Далее будем считать, что каждая кривая 7г, гомотопная компоненте связности края, вся проходит по краю. Набор кривых 7г можно дополнить до такого набора, что каждая компонента связности множества М \ Ui7i является либо сферой с тремя проколами, либо открытым цилиндром с пленкой Мебиуса, либо открытым диском с двумя пленками Мебиуса (т.е. имеет эйлерову характеристику —1). Такой набор кривых назовем максимальным. Теорему достаточно доказать для максимального набора.

Замечание 4.1. Проверим, выполнена ли теорема для поверхности с х(М) 0. Если поверхность М является сферой, диском, проективной плоскостью или листом Мебиуса, то на ней возможен только пустой набор кривых 7г- Если поверхность М является тором, то максимальный набор состоит из одной кривой 7ь Тогда выберем кривую Ті с единичным индексом пересечения с кривой 7ь Кривая t Ti имеет индекс пересечения к с кривой 7i, поэтому при разных к такие кривые негомотопны и теорема остается верна. Если поверхность М является цилиндром, то теорема также верна. Доказательство аналогично, только кривая 7i идет от одной граничной окружности до другой. Случай, когда поверхность М — бутылка Клейна, является единственным, когда теорема не выполняется. Максимальный набор состоит из одной кривой 7ъ дополнение до которой является цилиндром. Представим t2lx как композицию двух скручиваний Дэна в примыкающих цилиндрах. Пронесем один из цилиндров вместе с соответствующим скручиванием через всю бутылку Клейна. Ориентация цилиндра изменится, а значит, скручивание Дэна заменится на противоположное. Получилась гомотопия t2 tlxt l id. При этом одно скручивание Дэна не гомотопно тождественному, так как существует кривая 7ь индекс пересечения которой с собой равен 1 mod 2, а индекс пересечения с 7l7i равен 0 mod 2. Таким образом, скручивание Дэна порождает группу гомеоморфную Z2.

Замечание 4.2. В [23] дано определение маркировки на компактной ориентируемой поверхности S без края с проколами. Если в случае ориентированной поверхности М удалить из М все компоненты края, а из набора {(7i 7i) (іп,%)} выкинуть все кривые 7г; гомотопные краю, и соответствующие кривые 7г (описанные в доказательстве теоремы), то получится маркировка оставшейся поверхности. В частности, если дМ = 0, то набор {(7ь7і) (ln,%)} является маркировкой на М. В общем случае набор {(7і 7і) (in, 7га)} является обобщением понятия маркировки для неориенти-руемой поверхности с краем.

Формулировка резулвтатов

В пп. 4.3, 4.4, 4.5 поверхность М ориентируема, {7г}?=і — максимальный набор. Построим граф G = Ом,{-уі}- Каждой компоненте связности множества М \ Ui7i будет отвечать вершина степени 3, каждой компоненте связности множества дМ — вершина степени 1. Две вершины соединим к ребрами, если замыкания отвечающих вершинам множеств пересекаются по к окружностям. Каждой окружности Ти лежащей в замыкании только одного множества, соответствующего вершине, сопоставим петлю с концами в этой вершине. Заметим, что замыкания множеств, соответствующих вершинам, пересекаются только по окружностям 7г- Тем самым окружности 7г находятся во взаимно однозначном соответствии с ребрами графа G.

Построим (неоднозначно) сюръективное непрерывное отображение : М — G. Пусть Z — подмножество М, отвечающее вершине графа G. Если Z - компонента связности дМ, то отображение переводит все Z в соответствующую вершину степени 1. Если Z - сфера с тремя дырками, то в ней можно выделить (неоднозначно) букет из двух окружностей, дополнение до которого является несвязным объединением трех открытых цилиндров. Отображение переводит этот букет в соответствующую вершину степени 3. Больше прообразов у вешин нет. Дополнение объединения прообразов всех вершин в поверхности М является несвязным объединением открытых цилиндров, замыкание каждого из которых содержит ровно по одной окружности Ти а значит соответствует некоторому ребру графа Q. Отображение определим на цилиндре следующими условиями: отображает цилиндр сюръективно на соответствующее открытое ребро; непрерывно на замыкании цилиндра. Назовем граф во топологическим подграфом графа в, если во является топологическим подпространством графа в и каждая вершина графа во является вершиной такой же степени графа в. При этом точка, являющаяся вершиной графа в и лежащая в во, необязательно вершина графа во- Граф во может не быть подграфом в с комбинаторной точки зрения, но он гомеоморфен некоторому подграфу, и этот подграф может быть получен из во добавлением вершин на некоторых ребрах. Ясно, что любой топологический подграф графа в0 является топологическим подграфом графа в.

По произвольному топологическому подграфу во графа в построим поверхности М@0 и Ме0 С Ме0. Поверхность М@0 С М является малой регулярной окрестностью множества С-1 (о) в М. Рассмотрим замыкание поверхности М@0 в М и стянем в точку каждую компоненту края, не являющуюся компонентой края для М. Полученную поверхность обозачим Ме0. Ясно, что М@0 С М@0 и М@0 получается из М@0 выкалыванием конечного числа точек. На поверхности М@0, а значит, и на М@0 D М@0 определен индуцированный набор окружностей 7г,е0 — эт0 те окружности 7г на поверхности М, которые лежат в М@0.

Поверхность МЄо с набором окружностей {7г,е0} допускает и комбинаторное описание. Каждой вершине степени 3 графа во соответствует сфера без трех открытых дисков, каждой вершине степени 1 - цилиндр. Каждому ребру графа во соответствует склейка граничных окружностей поверхностей, соответствующих вершинам. Для определения направлений склейки сфер без дисков достаточно задать ориентацию на каждой поверхности, соответствующей вершине, и делать склейку в согласовании с выбранными ориента-циями. Кривые 7г,е0 совпадают с окружностями склейки. Гомеоморфным топологическим подграфам соответствуют гомеоморфные поверхности М@0. Комбинаторное описание позволяет строить поверхность МЄо с набором окружностей {7г,е0} п0 любому графу в0 с вершинами степени 1 и 3, а не только по топологическому подграфу графа в.

Лемма 4.1. Пусть в0 — связный топологический подграф графа в. Тогда существует непрерывная сюръекция \0: М — М@0, такая, что отображение Ае0мв совпадает с отображением включения М@0 - - М@0. Для доказательства леммы 4.1 нам понадобится Утверждение 4.1. Пусть Q0 — связный подграф связного графа О, отличный от всего Q. Тогда найдется открытое ребро е в О\О0, такое, что либо е не мост, т.е. граф 0\е связен, либо е ведет в вершину степени 1 графа Q.

Здесь и далее под ребром понимается открытое ребро.

Расстоянием от вершины графа G до подграфа Go назовем минимальное количество ребер, необходимое для того, чтобы добраться от вершины до 60. Если связный подграф Go содержит все вершины графа Q, то ребро вне Go не может быть мостом. Далее считаем, что найдется вершина вне Go- Пусть v - любая из наиболее далеких от Go вершин графа Q, е - любое из выходящих из v ребер. Предположим, что е — мост. Если вершина v лежит в той же компоненте связности графа Q \ е, что и подграф Q0, то в графе Q расстояние от второй вершины v ребра е до графа Go на единицу больше, чем от вершины v, так как любой путь от v ДО GO проходит через ребро е. Значит, вершина v лежит в компоненте связности графа Q\e, не содержащей подграф Go- Если вершина v имеет степень больше 1, то она соединена с некоторой вершиной v" (возможно, совпадающей с v) ребром е , отличным от е. Если v" ф v, то любой путь от v" до Go проходит через вершину V, поэтому v" дальше от Q0, чем v, что противоречит выбору вершины v. Если v" = V, то ребро е С Q \ Go — петля, а значит не мост. Утверждение 4.1 доказано.

Теперь докажем лемму 4.1. Если Q0 = Q, то Ле0 = і сім- Пусть Q0 С в. Будем строить отображение Ле0 по индукции. Пусть отображение Ае1 построено для некоторого связного топологического подграфа в і графа в, содержащего в0 в качестве своего топологического подграфа. Согласно утверждению 4.1 в Gi \ О0 найдется ребро е графа Qi, либо ведущее в вершину степени 1, либо не являющееся мостом. Опишем максимальный по включению топологический подграф 62 С Gi, не содержащий ребро е. Если ребро е не является петлей, то Q2 получается из Gi удалением внутренних точек ребра е, удалением концевой вершины степени 1, если такая есть, и заменой каждой концевой вершины степени 3 с двумя не входящими в е ребрами на одно ребро. Если ребро е является петлей, то найдется ребро е , выходящее из концевой вершины петли е и заканчивающееся в вершине v степени 3. Граф вг получается из О і удалением ребер е и е вместе с их общей вершиной и заменой вершины v и двух оставшихся выходящих из нее ребер на одно ребро. Заметим, что удаленные подмножество Gi \@2 графа 0\ не пересекается ни с каким топологическим подграфом Ql7 отличным от всего Qi, а значит Q0 С @2- Заметим также, что вершины графа Qi, не являющиеся вершинами Q2, не являются вершинами никакого топологического подграфа Qi, отличного от всего 0\. Таким образом, граф Go

Доказателвство теоремві 4.1 для ориентируемой поверхности М

Непрерывная сюръекция : М@ — О индуцирует ассоциированное двулистное накрытие р : М@ — М@ и отображение @ : М@ — О. Здесь поверхность М@ является поверхностью, построенной по графу О аналогично поверхностям М@0 для топологических подграфов 60 С в.

Пусть е\ и е\ - два ребра графа в, накрывающие ребро е С О. Тогда ребро е\ является мостом топологического подграфа Go = в\е (указано равенство подмножеств в как топологических пространств). Рассмотрим кривую 7г,ё0 пмё , построенную по следствию 4.1. Малой гомотопией можно добиться, чтобы кривая 7г,ё0 не проходила через двухточечное множество М@0 \ М@0. Таким образом, можно считать, что эта кривая совпадает с некоторой кривой 7г,ё на поверхности М@0 С М@.

Обозначим 7г = Р Ъ,в Є тім- По построению эта кривая не пересекает окружности 7j при j / і Докажем, что кривые 7г и t li не гомотопны при к ф 0. Предположим противное. Используя теорему о накрывающей гомотопии, поднимем гомотопию кривых 7г и 7г ДО гомотопии кривых в М@. Получится гомотопия кривых 7г,ё и 7- ; ,@- 0-еле взятия непрерывного отображения Лё0 : М — М@0 будем иметь гомотопию кривых 7гё0 и 7- _ 7гё0; чт0 противоречит выбору кривой 7гё0- Полученное противоречие дока-зывает негомотопность кривых 7г и і Тг- Теорема 4.1 для ориентируемой поверхности М доказана.

Теперь докажем, что кривая 7г не гомотопна никакой кривой Й.Ть j / i, fc Є Z. Это понадобится при доказательстве теоремы для неориентируемой поверхности М. По построению -.7.7 не пересекает 7г- Если ребро е является мостом, то негомотопность 7г и Й.7І сразу получается из следствия 4.1. Пусть далее ЄІ не мост. Если кривые 7г и Й.7І гомотопны, то гомотопны и накрывающие их кривые 7г ё и /3? гДе /3 одна из двух кривых, накрывающих .%- Тогда гомотопны кривые 7г,ё0 = 7г,ё и Ло/3, что неверно, согласно следствию 4.1. 4.6 Доказательство теоремы 4.1 для неориентируемой поверхности М

Пусть М — неориентируемая поверхность. Каждая компонента связности множества М \ Ui7i является либо сферой с тремя дырками, либо открытым цилиндром с пленкой Мебиуса, либо открытым диском с двумя пленками Мебиуса. В каждой неориентируемой КОМПОНеНТе СВЯЗНОСТИ МНОЖеСТВа М \ Uj7i Выберем ОДНу ИЛИ ДВЄ ОКруЖНОСТИ Шк-, дополнение до которых является сферой с тремя дырками (окружности Шк соответствуют пленкам Мебиуса). Рассмотрим ориентируемое двулистное накрытие р : М — М поверхности М. Каждая (і) окружность 7г сохраняет ориентацию, а значит, накрывается двумя окружностями 7І И 11 Каждая окружность Шк меняет ориентацию, а значит, накрывается одной окружностью Шк- Каждая компонента связности множества М\ Uiii, являющаяся сферой с тремя дырками, накрывается двумя сферами с тремя дырками. Цилиндр с пленкой Мебиуса (соответственно диск с пленкой Мебиуса) накрывается двумя сферами с тремя дырками, склеенными по одной (соответственно двум) окружности Шк- Таким образом, набор окружностей 7І , ТІ ,ojk для всех г, к разбивает поверхность М на сферы с тремя дырками. Согласно уже доказанной теореме 4.1 для ориентируемой поверхности М, найдется а. -(1) -(2) набор кривых 7i ill i ki каждая из которых может пересекать только соответствующую кривую набора % ,j\ ,Шк- Можно считать, что кривые гр1і и V 1% совпадают. Положим 1г = Р1І тгм- Предположим, что кривые 7г и t ii гомотопны при некотором к ф 0. По теореме о накрывающей гомотопии поднимем эту гомотопию на поверхность М. Получится гомотопия кривой ТІ и одной из кривых ifc(i)7i и tk(2)li Кривые Ті и tk(i)li негомотопны по выбору кривой 7І Негомотопность кривых 7І и ifc(2)7i выте-кающая из того, что они не пересекаются, доказана в предыдущем пункте.

В работе получена классификация погружений графов в поверхности с точностью до регулярной гомотопии. Для этого построен инвариант погружения, описан образ этого инварианта и доказана биективность отображения классов эквивалентности погружений на образ инварианта. Инвариант строится конструктивно и легко вычисляется для конкретного погружения. Он является обобщением классических инвариантов, описанных Уитни и Чиллингворсом.

Также в работе рассматриваются скручивания Дэна вокруг некоторого семейства окружностей на поверхности. Доказывается линейная независимоств скручиваний Дэна. Доказателвство во многом опирается на действие скручиваний Дэна на кривые на поверхности.

Интереснві следующие направления далвнейших исследований. Классификация кусочно-регулярных погружений графов в проективную плоскоств с точноствю до регулярной гомотопии. Исследование подгрупп группві классов отображений поверхности, порожденнвіх скручиваниями Дэна вокруг наборов окружностей без требования отсутствия пересечений. В общем случае подгруппы не будут абелеввіми.

Благодарности. Глубоко признателен своим научным руководителям академику РАН А.Т. Фоменко и к.ф.м.н. Е.А. Кудрявцевой за постановку задач, многочисленные обсуждения и внимание к работе. Глубоко благодарен профессору А.А. Ошемкову за обсуждения и советы. Благодарю всех сотрудников кафедры дифференциалвной геометрии и приложений за творческую обстановку и внимание к работе. Благодарю близких за вдохновение.