Подобно однородные пространства с внутренней метрикой Гундырев Иван Анатольевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Определенияи предварительные результаты 14

1.1 Определения и теоремы 14

1.2 Примеры 19

2 Топологическое строение 25

2.1 Случай ограниченности кривизны по Александрову канонически конформно эквивалентного пространства 26

2.2 Случай -однородного канонически конформно эквивалентного пространства 33

2.3 Общий случай

2.3.1 Лемма Андреева 43

2.3.2 Основные результаты 44

2.4 Существенность условия локальной компактности 51

3 Алгебраическая характеризация 53

Приложение 63

Заключение 67

Список литературы

• Определения и теоремы
• Случай -однородного канонически конформно эквивалентного пространства
• Лемма Андреева
• Существенность условия локальной компактности

Введение к работе

Актуальность темы. Объектом исследования в данной работе являются подобно однородные неоднородные пространства с внутренней метрикой. Это метрические пространства, в которых расстояние между двумя произвольными точками равно инфимуму длин спрямляемых кривых, соединяющих эти точки, и группа метрических подобий (биекций, изменяющих в фиксированное число раз расстояния между любой парой точек) действует транзитивно на этом пространстве (для любой пары точек существует подобие, переводящее одну точку в другую). Неоднородность означает, что группа всех изометрий действует нетран-зитивно. Начало систематического изучения таких пространств положено в статье [10].

Наглядные примеры:

1. М₊ — множество положительных вещественных чисел, с расстоянием равным модулю разности чисел. Подобие такого пространства — умножение на положительное вещественное число, а изометрией является только умножение на единицу, т.е. тождественное отображение.

Их R₊ —верхняя полуплоскость с евклидовой метрикой. Изометрии такого пространства — сдвиги вдоль граничной прямой, а подобия — раздутия и сжатия с центром в точке, принадлежащей граничной прямой.

3. М³\{0} — трехмерное вещественное пространство с выколотой точкой и евклидовой метрикой. Изометрии в этом случае — вращения вокруг точки 0, а подобия — раздутия и сжатия с центром в точке 0.

Примерам подобно однородных неоднородных пространств с внутренней метрикой посвящен раздел 1.2 в диссертации.

Случай транзитивного действия группы подобий на открытом подпространстве n-мерного афинного пространства рассмотрен в [].

В основных результатах диссертации предполагается локальная компактность или локальная полнота метрических пространств. Локальная полнота означает, что для любой точки х пространства существует метрически полный замкнутый шар с центром в этой точке радиуса г = г(х) > 0. Точная верхняя грань таких чисел г для данной точки х называется радиусом полноты пространства в точке х и обозначается с(х). Заметим, что локально компактное метрическое пространство локально полно.

Однородные пространства с внутренней метрикой подробно изучаются в многочисленных работах (см. [-,], монографии [,] и книгу [21], а также

списки литературы в них). Группы подобий для пространств с внутренней метрикой рассматриваются в статьях [10,], в обзоре [] и в []. Псевдоримановы подобно однородные многообразия изучаются в недавней статье [].

Возникает естественный вопрос: когда подобно однородное пространство является однородным? Иначе говоря, когда группа всех подобий Г_Р действует транзитивно на пространстве и подгруппа всех изометрий Г тоже действует транзитивно. Ответ на этот вопрос дает теорема 2.1 статьи [10] (также см. []): локально полное подобно однородное метрическое пространство однородно тогда и только тогда, когда оно метрически полно.

Группа подобий является подгруппой в группе конформных преобразований. Следовательно, подобно однородное пространство является конформно однородным. Результаты для (локально) конформно однородных пространств представлены в главе 5 монографии [].

Согласно теореме 1.2 статьи [10], локально полное подобно однородное пространство с внутренней метрикой канонически конформно эквивалентно однородному полному пространству с внутренней метрикой. Для римановых С-многообразий утверждение теоремы 1.2 из [10] является следствием результатов, полученных Д. В. Алексеевским и Б.Н. Кимельфельдом в статьях [-]. Для локально конформно однородных римановых многообразий соответствующий результат получен Е. Д. Родионовым и В. В. Славским в работе [].

В статье [10, следствие 4.2] показано, что всякая связная односвязная разрешимая группа Ли размерности п > 1 с левоивариантной римановой метрикой (G,/i) допускает такую конформно эквивалентную риманову метрику v, что левые сдвиги группы G действуют на (G, и) подобиями, но не обязательно изомет-риями. Это утверждение позволяет сделать вывод, что пока недоступна классификация связных подобно однородных неоднородных римановых многообразий.

Цель работы. Первая задача работы — проверка гипотезы из статьи [10] о топологическом строении подобно однородных неоднородных локально компактных пространств с внутренней метрикой. Вторая задача — дать алгебраическую характеризацию таких пространств.

Гипотеза( [10]). Всякое локально компактное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой (X, р) гомеоморфно прямому топологическому произведению с~¹(а) х Ш₊ (следовательно, с~¹(а) х Ш), где с~¹{а) —произвольное множество уровня функции с (радиуса полноты) на (X, р). Топологическая группа Т_Р (всех подобий пространства (X, р)) изоморфна полупрямому топологическому произведению М₊ХГ (следовательно, МХГ), где Г — группа всех изометрий пространства (X, р).

В статье П. Д. Андреева [, раздел 5] построен пример локально полного подобно однородного неоднородного пространства с внутренней метрикой, пока-

зывающий существенность условия локальной компактности в этой гипотезе (см. раздел диссертации 2.4).

В связи с гипотезой следует упомянуть результат Д. В. Алексеевского.

Теорема ( [], теорема 2.1). Пусть (М, д) — самоподобное риманово или причинное лоренцево многообразие с группой подобий Ф = { ^ }, которая не имеет неподвижных точек. Тогда

1. М — диффеоморфно прямому произведению R х N, где N является многообразием.

2. Ф — однопараметрическая группа переносов линии Ш:

фг' {^uiу) —* {^и + t,у), (и,у) Є R х N.

Псевдориманово многообразие (М, д) с метрикой д называется самоподобным, если оно изометрично многообразию (М, \д) для любого А > 0. Лоренцево многообразие называется причинным, если оно не содержит замкнутых времениподобных кривых (см. [,]).

Основные результаты.

3. Доказана гипотеза В. Н. Берестовского из статьи [10] о топологическом строении подобно однородного неоднородного локально компактного пространства с внутренней метрикой и его группы подобий.

4. Дана алгебраическая характеризация подобно однородных неоднородных локально компактных пространств с внутренней метрикой.

Методы исследований. В работе используются методы метрической геометрии, классические теоремы из теории топологических групп и групп Ли. Важную роль играет глобализация теоремы о локальном представлении группы в виде прямого произведения из теории Ивасавы-Глисона-Ямабе для локально компактных групп [, предложение 1.2]. Применяются теоремы об однородных пространствах с внутренней метрикой, поскольку согласно теореме 1.2 статьи [10] каждому подобно однородному пространству с внутренней метрикой каноническим образом сопоставляется однородное пространство с внутренней метрикой.

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа имеет теоретический характер. Результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании пространств с внутренней метрикой.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на следующих научных конференциях и семинарах: Российская конференция «Математика в современном мире», посвященная 50-летию Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (Новосибирск, 2007); VI молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения – 2007» (Казань, 2007); Всероссийская молодежная школа-семинар «Анализ, геометрия и топология» (Барнаул, 2013); XII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения – 2013» (Казань, 2013); Международная конференция «Дни геометрии в Новосибирске – 2014», посвященная 85-летию академика Юрия Григорьевича Решетняка (Новосибирск, 2014); XIII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения – 2014» (Казань, 2014); Омский Алгебраический Семинар (ОФ ИМ СО РАН, Омск, 2015); Омский Геометрический Семинар (OФ ИМ СО РАН, Омск, 2015); Семинар отдела анализа и геометрии (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2015).

Публикации. Всего автором опубликовано 9 работ по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех научных статьях (в журналах, рекомендованных ВАК) [26–]. Шесть публикаций в материалах конференций [–].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 74 наименования. Общий объем диссертации 75 страниц.

Определения и теоремы

Центр С группы Н одномерен, совпадает с коммутантом [Н, Н] группы Н и состоит из матриц с нулями на диагонали, соседней с главной диагональю. Факторгруппа Н/С изоморфна аддитивной векторной группе R2, а естественный гомоморфизм р : Н — Н/С = Ш2 является гомоморфизмом групп Ли и одновременно главным расслоением со структурной группой С. Выберем произвольно векторное подпространство V(E) алгебры Ли LH = ТЕН (касательного пространства к Н в единице Е) группы Ли Н, трансверсальное к векторному подпространству ТЕС, и метрику d на К2, определяемую некоторой нормой на К2. Тогда левоинвариантное распределение (т.е. касательное векторное подрасслоение касательного расслоения ТН) А на Н, определяемое равенством А(.Е ) = V(E), является горизонтальным распределением некоторой связности \/ в главном расслоении р. При этом распределение А вполне неголономно, т.е. наименьшее инволютивное распределение на Н (см. [29]), содержащее А, совпадает с ТН.

По известной теореме Рашевского-Чжоу [32], [48], любые две точки х,у Є Н можно соединить некоторой кусочно непрерывно дифференцируемой горизонтальной (т.е. касающейся распределения А) кривой. Наконец, упомянутое расстояние р(х,у),х,у Є Н определяется как точная нижняя граница вычисляемых в метрике d длин кусочно непрерывно дифференцируемых кривых в К2, горизонтальные лифты которых (см. [29]) относительно главного расслоения р со связностью V соединяют точки хиу. Общий случай группы Карно G рассматривается совершенно аналогично с заменами подгруппы С на коммутант [G, G], Ш2 на некоторое М.т, т 2, с тем отличием, что V(E) должно удовлетворять специальному дополнительному условию.

Во всех случаях любые две точки х,у Є (G,p) можно соединить некоторой кратчайшей /. Если G двуступенно нильпотентна, то путь рої в М.т является решением некоторой изопериметрической задачи в смысле [28], а / ее горизонтальным подъемом. В случае G = Н и евклидовой метрики d на R2 эта изопериметри-ческая задача есть классическая задача Дидоны (см. [17]); если d определяется неевклидовой нормой, то получается вариант задачи Дидоны (см. [9]).

В заключение зададим непрерывную однопараметрическую мультипликативную группу подобий пространства (G, р) и автоморфизмов группы Ли G из примера 1.4 для случая G = Н. Выберем произвольный базис {X,Y, Z} алгебры Ли LH с условиями X,Y Є V(E),Z = [X,Y]. (Матричное) экспоненциальное отображение ехр : LH — Н является диффеоморфизмом. Определим координаты (x,y,z) произвольного элемента д Є Н равенством д = ехр(жХ + yY + zZ). Упомянутая однопараметрическая группа h(t),t Є Ж+ в этих координатах определяется формулой h(x,y,z;t) = (tx,ty,t2z). Определение 1.15. Евклидово произведение (Xi,di) х (Х2,б?2) двух метрических пространств (Xi, di); і = 1,2, есть декартово произведение X = Х\ х Хг множеств, снабженное метрикой d({x\,X2), (уі,уг)) = ((di(x\,уі)) +( 2( 2, 2)) )12

Евклидово произведение пространств с внутренней метрикой снова является пространством с внутренней метрикой.

Пример 1.6. Пусть (X, рх) —полное однородное пространство с внутренней метрикой, допускающее некоторое t-подобие h(t) при всех t Є К+ и (У, ру) — локально полное подобно однородное пространство с внутренней метрикой. Очевидно, евклидово произведение (Х,рх) х (У, ру) есть локально полное подобно однородное (неоднородное, если (У, ру) не однородно) пространство с внутренней метрикой.

Определение 1.16 ( [37], [47]). Пусть (X,рх) и (У,ру)—пространства с внутренней метрикой, /: У — К+ — непрерывная функция на У, 7 = (r, s) [0,1] — X х У — кривая в X х У. Для разбиения г : 0 = to t\ 2 tn = 1 отрезка [0,1] определим число

Длина кривой 7 определяется формулой /(7) = lim/(7, т), где предел берется отно г

сительно упорядочения разбиений г по измельчению. Расстояние между точками (хі,уі) и (ж2,Уг) в X х У по определению равно точной нижней границе длин кривых /(7) по всем кривым 7, соединяющим точки (хі,уі) и (ж2,Уг). Искривленное произведение (X,px)f х (У, ру) пространств (X, рх) и (У, ру) (с функцией /) определяется как (X х Y, р).

Легко проверяется, что искривленное произведение пространств с внутренней метрикой снова является пространством с внутренней метрикой. Очевидно, евклидово произведение двух пространств с внутренней метрикой есть их искривленное произведение с функцией / = 1, так что для пространств с внутренней метрикой искривленное произведение является обобщением евклидова произведения. Заметим, что искривленное произведение пространств с внутренней метрикой является прямым обобщением искривленного произведения гладких римановых многообразий в [44]. Произведения пространств с внутренней метрикой изучались в работах [42] и [53]. Пример 1.7. Пусть (X, р)—полное однородное пространство с внутренней метрикой. Тогда искривленное произведение (X, p)i„ хК+ является локально полным / Ж__ подобно однородным пространством с внутренней метрикой. Локальная полнота проверяется достаточно легко. Отображение h:((X.p)iv х R+) х IRi — (X, p)i„ x K+, h((x, s), t) = (x, ts), I / Ж__ \ / / Ж__ очевидно является непрерывной мультипликативной однопараметрической группой подобий пространства (X, p)i„ х К+ с условиями (1.6). Для всякого движения / Ж__ д пространства (X, р), отображение д х 1R+ является движением искривленного произведения (X, p)i х Mi. Подобия hit) = h(-,t) и движения q х 1R порожда Ж__ \ \ -f ют транзитивную группу подобий рассматриваемого искривленного произведения, так что оно действительно подобно однородно. Нетрудно проверить, что однородное пространство Y, конформно эквивалентное пространству (X, р)\ х К+ по теореме 1.4, изометрично евклидову произве Ж__ дению (X, р) х К.

Пример 1.8. Пусть (X,р) и h(t),t Є R+ те же, что в примере 1.6; к — произвольное вещественное число. Тогда искривленное произведение (X, p)f х К+ с функцией /: К+ — К__, /(г) = гк является локально полным подобно однородным пространством с внутренней метрикой. Отображение H(t): (X,p)f х ]R__ — (X,p)f x К+, H(t)((x, s)) = (h(t )(x),ts), является t-подобием пространства (X, p)f x R+ при всех t Є R+. Для всякого движения д пространства (X, р), отображение д х 1R+ является движением пространства (X,p)f х К+. Подобия H{t) и движения д х 1R+ порождают некоторую транзитивную группу подобий рассматриваемого искривленного произведения. Пусть (X, р) — гг-мерное евклидово пространство Еп,п 1. Тогда для точки (х,г) Є (En)f х К+, радиус полноты равен с(х,г) = г, и соответствующее этому пространству по теореме 1.4 однородное пространство Y(k) будет иметь риманову метрику о/ о о 2 ds2 = Г d\+dr = r2 dx2 + ( ) = е2 Чх2 + dz2, г2 r где z = logr,dx2 = T. =l(dxk)2. Значит, координаты (x,z) полугеодезические. Из римановой геометрии известно, что такое пространство имеет постоянную секционную кривизну К = ——7=г, где G = е2( l z, т.е. К = —{к — I)2. Таким образом, r2kdx2 + dr2 = r2(k-i)dx2 + dr г2 г Y(k) является евклидовым пространством En+l при к = 1 и (п + 1)-мерным пространством Лобачевского кривизны —{к — I)2 при к ф\.

Пример 1.9. «Плоскость Грушина» (К+ х Ж, ds2 = dr2 + dz2) см. статью [26], получается как частный случай примера 1.8, если взять (X, р) = Е1, к = — 1.

Замечание 1.5. Очевидно, пример 1.1 является частным случаем примера 1.6 и частным случаем примера 1.8 при к = 0.

Пример 1.10. Вследствие примеров 1.6 и 1.9, евклидово произведение евклидовой прямой на плоскость Грушина есть подобно однородное неоднородное риманово многообразие. В координатах (х, г, z) Є Ш. х К+ х М. линейный элемент задается выражением ds2 = dx2 + dr2 + dz2. Можно доказать, что это пространство не изометрично никакому искривленному произведению однородного локально компактного пространства с внутренней метрикой на К+ в смысле определения 1.16.

Случай -однородного канонически конформно эквивалентного пространства

В статье [14] сформулирована гипотеза о топологической структуре подобно однородных неоднородных локально компактных пространств. Напомним, что через Тр обозначается группа всех подобий метрического пространства (X, р), а через Г — группа всех изометрий этого пространства.

Гипотеза( [14]). Всякое локально компактное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой (X, р) гомеоморфно прямому топологическому произведению с 1(а) х К+ (следовательно с 1(а) х К), где с 1(а) -произвольное множество уровня функции с (радиуса полноты) на (X, р). Топологическая группа Тр изоморфна полупрямому топологическому произведению К_1_ X Г (следовательно М. X Г).

Пример в статье [6, раздел 5] показывает существенность условия локальной компактности в этой гипотезе (см. раздел 2.4 диссертации).

Справедливость этой гипотезы для связных подобно однородных неоднородных римановых многообразий следует из первого пункта теоремы 4.4 в статье [14].

Теорема 2.1 ( [14], теорема 4.4). Пусть (Х,д) — связное подобно однородное неоднородное риманово многообразие, а (X, 7 = д) — соответствующее канонически конформно эквивалентное однородное риманово многообразие; G — связная транзитивная группа Ли подобий (движений) многообразия (X, д) ((X, у)); I — наибольшая подгруппа изометрий пространства (Х,д) в группе G; хо Є с_1(1) и Н С / — стабилизатор точки хо в группе G, а смежный класс дН є G/H естественно отождествляется с точкой д{хо). Тогда 1. G изоморфна некоторому полупрямому произведению групп Ли (К, +) X/, (с нормальной подгруппой I) так что: 2. элементы подгруппы (К, +)Х{е} коммутируют с элементами компактной подгруппы Н С I и I/Н–эффективное однородное пространство группы I; 3. (X, 7) = (G/Н, 7) — однородное эффективное риманово многообразие с G-инвариантной римановой метрикой 7 относительно канонического левого действия G на G/H; 4. подобно однородное неоднородное риманово многообразие (Х,д) естественно изометрично риманову многообразию (G/H, с2/у), где c((t,i)H) = expt (с учетом п.1)), и является подобно однородным неоднородным римановым многообразием с транзитивной группой подобий G и ее наибольшей подгруппой изометрий I и с: (G/H,g) — К+ — субметрия и риманова Сш-субмерсия и одновременно радиус полноты пространства (G/H, д).

Обратно, если для связной группы Ли G и ее подгрупп Неї выполняются условия 1) и 2), то однородное (эффективное) пространство G/H допускает такую G-инвариантную риманову метрику у, что риманово многообразие (G/H, д) с метрикой д, определенной как в п. 4), и риманово многообразие (G/H, ) удовлетворяют условиям 3) и 4).

В статье [66] аналогичные необходимые условия были доказаны для подобно однородных неоднородных локально компактных пространств с внутренней метрикой, в тех случаях, когда канонически конформно эквивалентное пространство имеет ограничение на кривизну по Александрову (сверху или снизу) или является -однородным. Изложению этих результатов посвящены следующие два раздела.

Под треугольником в X будем понимать набор из трех точек а,Ь,с Є X (вершин), соединенных тремя кратчайшими (сторонами). Для краткости обозначим кратчайшие [а, Ь], [а, с], [Ь, с], а их длины \ab\, \ас\, \Ьс\ соответственно. По треугольнику Aabc в пространстве X строим треугольник сравнения в fc-плоскости Aabc с теми же длинами сторон: \ab\ = \ab\, \ас\ = \ас\, \Ьс\ = \Ьс\. Углом сравнения /- abc называется угол в вершине b треугольника сравнения Aabc на fc-плоскости.

Для любого достаточно малого треугольника в пространстве с внутренней метрикой существует единственный (с точностью до изометрии) треугольник сравнения на fc-плоскости.

Пусть к Є IBL Пространство X со строго внутренней метрикой называется пространством ривизны к (соответственно, к), если каждая точка х Є X имеет такую окрестность U, что для любого треугольника Aabc, содержащегося в U, и любой точки d Є [а, с] выполняется неравенство \bd\ \bd\ (соответственно, \bd\ \bd\), где Aabc — треугольник сравнения в fc-плоскости, а точка d Є [а, с] выбрана так, что a i = \ad\. Удобно следующее Определение 2.3 ( [15]). Локально компактное пространство X с внутренней метрикой называется пространством кривизны к, если любая точка х Є X имеет такую окрестность U, что произвольный набор из четырех различных точек a,b,c,d Є U удовлетворяет следующему условию: /.фас + /.ucad + /.kdab 2-л".

Пространствам с различными ограничениями на кривизну по А. Д. Александрову посвящены многочисленные работы математиков по всему миру (см. статьи [2,18,22], книги [21,45] и списки литературы в них). При доказательстве теорем будет использована 1) конструкция обратного предела системы групп и гомоморфизмов; 2) метрический проективный (иначе говоря, обратный метрический) предел последовательности множеств и связывающих их отображений. Соответствующие определения приведены ниже.

Для системы топологических групп обратный предел определяется аналогичным образом, на группе G = lim Gn в таком случае задаётся топология, индуци-рованная тихоновской топологией произведения в Ппєм . Определение 2.5 ( [10,14]). Пусть (X,р)—локально компактное пространство с внутренней метрикой. Пространство (X, р) называется метрическим проективным (обратным метрическим) пределом последовательности (Хп,рп) многообразий Хп с внутренней метрикой рп и отображений рпт: (Хт, рт) — (Хп, рп), п т если 1. X = Ит(Хп,рпт) (обратный предел последовательности множеств и связы-вающих их отображений) как множество; 2. каждое отображение рпт: (Хт,рт) — (Хп,рп), п т — собственная субмет рия и pnk = Рпт Ртк для П ГП к; 3. естественная проекция рп: (X, р) — (Хп,рп) является собственной субметри-ей; 4. Рп = Рпт Рт, если П ГП; 5. Рп (Рп х Рп) - р при гг — оо равномерно на каждом компактном подмножестве в X х X.

Лемма 2.1. Пусть К — компактная подгруппа топологической группы G и определен непрерывный гомоморфизм ф: G — (К+, ). Тогда К С ф 1{1).

Доказательство. Из непрерывности функции ф и компактности подгруппы К следует, что ф(К) компактно в К+. Кроме этого, ф(К) подгруппа, так как ф -гомоморфизм. В группе (К+,-) нет других компактных подгрупп, кроме тривиальной (т.е. состоящей только из единичного элемента), значит ф(К) = { 1 }.

Потребуется теорема из [14] о представлении локально компактного подобно однородного неоднородного пространства с внутренней метрикой в виде обратного метрического предела подобно однородных неоднородных многообразий с внутренней метрикой.

Теорема 2.2 ( [14], теорема 4.5). 1) Всякое локально компактное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой (X, р) является обратным метрическим пределом последовательности (Хп, рп) подобно однородных неоднородных многообразий Хп с внутренней метрикой рп и собственных субметрийРпт - (Хт,рт) — (Хп,рп), п ТГЬ, являющихся ассоциированными расслоениями со связными слоями, где pnk = рПт Ртк для п т к, т.е. а) X = Игщ_{Хга,ргат} (обратный предел последовательности множеств и связывающих их отображений) как множество; б) естественная проекция рп: (X, р) — (Хп,рп) является собственной суб метрией; в) Рп = Рпт Рт, если П ГП; г) Рп (Рп х Рп) Р при п —ї равномерно на каждом компактном подмножестве в X х X. 2) Все субметрии рп;рпт,п т, сохраняют значения радиусов полноты (соответствующих пространств). 3) Множества уровня функции (радиуса полноты) с на локально компактном подобно однородном неоднородном пространстве с внутренней метрикой (X, р) линейно связны и локально линейно связны.

Сформулируем и докажем обобщение необходимых условий теоремы 4.4 из [14] на случай локально компактных подобно однородных неоднородных пространств с внутренней метрикой, при условии, что канонически конформно эквивалентное пространство имеет кривизну ограниченную снизу (по А. Д. Александрову).

Теорема 2.3. Пусть (Х,р) — подобно однородное неоднородное локально компактное пространство с внутренней метрикой и (X, р\) — соответствующее ему ( [14, теорема 1.2], А = 1/с) канонически конформно эквивалентное однородное локально компактное пространство с внутренней метрикой. Предположим, что (Х,рх) имеет кривизну к по А.Д. Александрову; G —наибольшая связная транзитивная локально компактная топологическая группа подобий (движений) пространства (X, р) ((X, р\)), существование которой гарантировано предложением 4.1 в [14]; группа I — наибольшая подгруппа изометрий пространства (X, р) в группе G; XQ Є с_1(1) и Н С / — стабилизатор точки XQ в группе G; смежный класс дН є G/H естественно отождествляется с точкой д(хо) при помощи отображения /: G/H — X, f(gH) = д(хо). Тогда

Лемма Андреева

Два подмножества Mi,M2 метрического пространства (М,р) называются эквидистантными, если для каждой точки х Є МІ существует точка у Є Mj,i ф j, такая, что р(х,у) = р(М\, М2). Метрическим расслоением Т полного метрического пространства (М, р) называется разбиение М на попарно изометричные (относительно метрик, индуцированных р) и эквидистантные замкнутые подмножества.

Замечание 2.2. Пусть (X, р)—локально компактное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой; (X, р\) — соответствующее ему (по теореме 1.2 из [14]) локально компактное однородное пространство с внутренней метрикой и функцией Л = 1/с. Тогда 1. Отображение F = In ос: (X, р\) — М.— субметрия (функция с вычисляется на (X, р)) [14, теорема 4.2]. 2. Разбиение пространства (X, р\) на множества уровня функции F является метрическим расслоением [14, теорема 4.2]. 3. Для произвольных точек х,у Є (X, рл), в силу того, что субметрия не увеличивает расстояний, выполнено неравенство \F(x) — F(y)\ р\(х,у). (2.3) Предложение 2.1. Пусть X — локально полное подобно однородное неоднородное метрическое пространство c фиксированной точкой х\ Є X. Тогда для каждой точки х Є X существует единственное число а = а(х) такое, что существует а-подобие g пространства X c условием д(х\) = х.

Доказательство. По определению подобно однородного пространства, существует подобие д Є Тр с условием д(х\) = х. Радиус полноты с(х) = с(д(х\)) = а(д)с(х\), из этого равенства следует

Функция а(х) из предложения 2.1 непрерывна на X в силу неравенства (1.1). Следовательно: 1. Если в пространстве (X, р) выбрана точка Х\ Є с_1(1), то для любого д Є Тр будет верно соотношение а(д) = с(д(х\)).

Если на Тр задана компактно-открытая топология т, то гомоморфизм (коэффициент подобия) а: (Тр, т) — К+ непрерывен как композиция а = соХ1 непрерывных отображений вычисления в точке Х1: Тр х {х\} — (X, р) (xl(g,Xi) = д(х\)) и радиуса полноты с: (X,р) — К+ (см. [60, лемма 2.1]). Определение 2.8. Метрическое пространство называется конечно-компактным, если любое его замкнутое ограниченное подмножество компактно. Определение конечно-компактного пространства это перевод термина «fnitely compact» из книги [20]. В литературе такие пространства часто называют собственными («proper») [45, с. 2], ограниченно-компактными [21, с. 17] или пространствами с метрикой Гейне-Бореля [60]. Теорема 2.4 (Кон-Фоссен [30], теорема 2.5.28 в [21]). Локально компактное полное пространство с внутренней метрикой является конечно-компактным и геодезическим пространством. Определение 2.9. Пусть X — пространство с внутренней метрикой, 7: — X параметризованная длиной дуги геодезическая (т.е. локально кратчайший путь). Геодезическая 7 называется метрической прямой, если любой её замкнутый по-динтервал является кратчайшей. Теорема 2.5. Пусть выполнены все условия теоремы 2.3, но вместо ограничения кривизны к для (X, рд) выполнено условие, что (Х,р\) — 8-однородное пространство. Тогда верны пункты 1,3,4 теоремы 2.3. Доказательство. Утверждение пункта 1): по условию теоремы точка Хо Є с_1(1), значит Хо Є F_1(0). В силу замечания 2.2 X = I J F (a), F (аі) П F (аг) = 0, при а\ ф аг; (2-4) аЄК F : (X, РА) — К — субметрия. (2-5) Возьмём шар Вп = В(хо,гп = 1/2га), п Є N в (X,РА). ПО определению субметрии F(Bn) = [F(XQ) — rn, F(XQ) + rn] = [— l/2ra, l/2ra]. Выберем точку хп \ Є Вп П F 1(1/2га). При помощи неравенства (2.3) получаем оценку 1 ...... 1

Пространство с внутренней метрикой (X, р\) —полное и локально компактное. Следовательно, по теореме Кон-Фоссена (Х,р\) конечно-компактно. Поэтому все шары Вп компактны и любые две точки в (X, р\) можно соединить кратчайшей (возможно не единственной). Вследствие -однородности пространства (X, р\) существует (жо)-смещение дп Є G такое, что дп(хо) = жгад. Из равенства (2.6) и изометричности дп Є G на (X, р\) получим р\(д(хо),д+1(х)) = 1/2га для любого т Є Z.

Коэффициент подобия элемента дп относительно метрики р (см. замечания 2.3, 2.2 и определение дп) равен а(дп) = с(д(хо)) = с{хп \) = є Хп 1 = е . Из этого равенства, доказательства предложения 2.1 и гомоморфности а следует, что для любых х Є F_1(a), mZ

Для произвольных точек х,у Є (X, рл) обозначим [ж, у] соединяющую их кратчайшую (возможно не единственную!). Поскольку группа G действует на (Х,р\) изометриями, то д([х,у]) = [д(х), д(у)], для любых точек х,у Є (X, рд) и любого элемента д Є G. Пусть га, к Є Z и га fc, тогда в силу равенства

Из факта, что (X, РА) — конечно-компактное пространство, следует, что группа G тоже конечно-компактна (см. книгу [20]). Для разных точек Х\,Х2 Є X метрики SXl, $х2 эквивалентны. Это следует из неравенств (см. [20, (4.10)]) пЄн содержится в ограниченной области пространства (G,8Xo). Воспользовавшись канторовским диагональным процессом, теоремой Асколи-Арцела и конечной компактностью группы (G, 8Хо), можно выбрать такую подпоследовательность {rik}, что для всех / Є NU{0} последовательность grafc, равномерно сходится на множестве [—1,1] П DR(/) к некоторому липшицеву отображению (с константой 1)

Существенность условия локальной компактности

Пусть G — хаусдорфова связная локально компактная группа с первой аксиомой счетности, I — нормальная подгруппа в G, Н — компактная подгруппа в G и Н С I. Предположим, что выполнены следующие условия: (a) каноническое левое действие группы G на G/H эффективно; (b) существует изоморфизм топологических групп Ф: G — (R+, ) X I; (c) фактор-пространство G/H локально связно. Тогда на пространстве G/H существует внутренняя метрика р такая, что (G/H, р) является подобно однородным неоднородным пространством относительно канонического левого действия группы G на G/H и радиус полноты пространства (G/H,p) определяется формулой с(дН) = рт\(Ф(д)).

Доказательство. По условию теоремы подгруппа Н компактна в хаусдорфовой топологической группе G, следовательно, Н является замкнутой подгруппой в группе G. Из классических результатов в теории топологических групп следует, что пространство G/H— хаусдорфово (см. [24, гл. III, 2, предложение 13, с. 28]), связно и локально компактно (см. [62, теорема 6.7, с. 54-55]), а каноническое левое действие группы G на G/H является непрерывным (см. [24, гл. III, 2, предложение 12, с. 28]).

Пространство G/H удовлетворяет условиям теоремы 1.1 в статье [40] (см. теорему 3.1). Согласно этой теореме, на пространстве G/H существует внутренняя метрика d кривизны к по А. Д. Александрову, инвариантная относительно действия группы G. На полученном метрическом пространстве (G/H, d) группа G действует транзитивно изометриями, поэтому (G/Н, d) — однородное пространство группы G.

Определим новую функцию (конформный коэффициент) ц: G/Н — К+ следующей формулой:

Докажем, что определение корректно. Пусть д\,д2 Є G, д\Н = д2Н. Тогда дї $2 Є Неї. Из определения полупрямого произведения и условия (b) следует, что для любого і Є I выполнено равенство Ф(г) = (1,г). Поэтому ргі(Ф((/1" (/2)) = 1. Используя формулу (1.5) и тот факт, что Ф — изоморфизм, получаем равенство рг!(Ф((/ )) рг Ф )) = 1- (3.1) Поскольку рг Ф -1)) = І/рг Ф(д)), для любого д Є G, то из соотношения (3.1) делаем вывод, что рГі(Ф((/і)) = рГі(Ф((/2)) Следовательно, функция ц определена корректно и является непрерывной в силу непрерывности отображений Ф,рг!. Рассмотрим новую метрику d на пространстве G/H (см. определение 1.12). Докажем, что группа G действует подобиями на пространстве (G/H,d ). Пусть Х\,Х2—произвольные точки пространства G/H, : [0,а] — G/H — параметризованный длиной дуги спрямляемый в метрике d путь, соединяющий точки Х\ = (0) и х2 = (а), где а = а(). Обозначим множество всех спрямляемых в пространстве (X,d) путей между точками Х\,Х2 Є X через REP(xi,X2). Расстояние между точками Х\,Х2 в новой метрике (согласно определению 1.12) КС)ІІ)= / M(s)) ds по всем є REP(x1,X2) (3.2) 0 Пусть g Є G и Ф( ?) = (і, 0. Поскольку g — изометрия пространства (G/H,d), то преобразование g сохраняет элемент длины дуги. Следовательно,

Учитывая доказанные свойства пространства (G/H, d ) и лемму 3.1, получаем, что метрика р := 4- d„ является искомой. В полученном пространстве (G/H, р) радиус полноты определяется формулой 1 Ср(дН) = Cdu(gH) = рті(Ф(д)) А и каноническое левое действие группы G на пространстве (G/Н, р) подобно одно родно неоднородно. Введем обозначения и определение (согласно статье [13]), которые нам потребуются для дальнейших рассуждений. Пусть G — группа, действующая на пространстве X. Обозначим через Є отображение вычисления G х X — X, определяемое соотношением (д, х) = д(х), а через Є у для точки у Є X отображение из G в X, определяемое равенством у(я) = (9)У) = 9 (у) Определение 3.1. Группа G собственно действует на X, если для любой точки у є X отображение Еу является собственным, т.е. прообраз Е (К) любого компактного множества К из X компактен.

Замечание 3.3. Другое определение собственного действия группы G на пространстве X приведено в [51, (3.17), c. 27]. В предложении (3.19) этой книги доказано, что если группа G действует собственно (согласно этому определению), то отображение вычисления является собственным для любой точки х Є X. См. также [35, раздел 3.7], [24, главу III, 4] и [55, главу 1, разделы 1, 2]. Докажем полезное Предложение 3.1. Пусть G — хаусдорфова топологическая группа, Н — компактная подгруппа в G. Тогда каноническое левое действие группы G на фактор-пространстве G/Н собственно.

Доказательство. Компактная группа Н действует непрерывно (справа) в хау-сдорфовом пространстве G. Из пункта в) предложения 2 в книге [24, гл. III, 4, с. 62] следует, что каноническая проекция р: G — G/H является совершенным отображением (в смысле определения Бурбаки [23, гл. I, 10, с. 152]). Пусть К — произвольное компактное подмножество в G/H, обозначим через рк отображение множества р 1(К) в К, совпадающее с отображением р на множестве р 1(К). Из пункта а) предложения 3 в книге [23, гл. I, 10, с. 151]) получаем, что Рк - Р 1{К) — К является совершенным отображением. При помощи следствия в книге [23, гл. I, 10, с. 163] делаем вывод, чтор_1(Х) компактное множество.

Для любых g Є G, h Є H выполнено равенство ghH = gH. Это означает, что если д Є р_1(Х), то для любого h Є Н верно gh Є р 1(К). Следовательно, доказано, что р (К) = р (К) Н (3.7) Выберем произвольно точку Х\ = д\Н в пространстве G/Н. Известно, что если Х\ = д\Н = д2Н, то 92 = 9ih\2 для некоторого h\2 Є Н. (3.8) Следовательно, Єхі(д) = дд2Н = ggih H = дд\Н. Полезно отметить совпадение следующих множеств: р-\К)дї1 = p-\K)h g 1 = р-\К)дї1. (3.9) Первое равенство следует из (3.8), последнее из (3.7). Точка д принадлежит множеству Е (К) тогда и только тогда, когда её образ Єхі(д) принадлежит К, т.е -дін(д) = 99\Н Є К. Последнее равенство равносильно условию дд\ Є р 1(К). Получается, что д Є Е (К) тогда и только тогда, когда д Є р 1(К)дї . Для другого представителя х\ = д2Н из (3.9) следует, что множество р 1(К)дї совпадает с р 1(К)д2 . В итоге имеем Е (К) = р 1(К)д [ . Множество р 1(К)дї является компактным (как образ компактного множе ства р 1(К) х { дї } при непрерывной операции умножения элементов в группе G). Получается, что отображение Х1 является собственным. В силу произвольно сти выбора точки Х\ делаем вывод, что каноническое левое действие группы G на фактор-пространстве G/H будет собственным. Замечание 3.4. В книге [55, с. 5, 6] предложение 3.1 доказано при условии, что группа G локально компактна. Обозначим через Ge связную компоненту единицы топологической группы G. Предложение 3.2. Пусть G — топологическая группа, I — нормальная подгруппа в G, Ge —связная компонента единицы в G. Если существует изоморфизм топологических групп Ф: G — (К+,-) X /, то Ф_1(,е) Є Ge для любого t Є К+ ($_1((R+, ) х {е}) С Ge). Доказательство. По условию Ф — изоморфизм топологических групп, поэтому Ф(е) = (1,е) и отображение Ф-1 является гомеоморфизмом между топологиче скими пространствами (R+, ) х / и G. В силу равенства е = Ф_1(1,е) получается, что є Є Ф_1((К+,-) х {е}). Пространство (К+,-) х {е} — связно и отображение Ф-1 —непрерывно, поэтому Ф_1((М+, ) х {е}) является связным пространством в G. Таким образом доказано, что Ф_1((М+, ) х {є}) Є Ge. Теорема 3.3. Пусть G — хаусдорфова локально компактная группа с первой аксиомой счетности, I — нормальная подгруппа в G, Н — компактная подгруппа в G и Н С I. Предположим, что выполнены следующие условия: (a) каноническое левое действие группы G на G/H эффективно; (b) существует изоморфизм топологических групп Ф: G — (К+, ) X /; (c) фактор-пространство G/H локально связно; (d) фактор-пространство G/H cвязно. Тогда каноническое левое действие подгруппы Ge на X = G/H транзитивно, существует внутренняя метрика р на X такая, что (X, р) является подобно однородным неоднородным пространством относительно этого действия и радиус полноты пространства (Х,р) определяется формулой с(х) = с(дН) = рті(Ф(д)).

Доказательство. Каноническое левое действие группы G на пространстве X = G/H является непрерывным (см. [24, гл. III, 2, предложение 12, с. 28]) и собственным, согласно предложению 3.1. По теореме 2 из статьи [13], группа Ge действует транзитивно на X.

Подгруппа Н0 = Н Г) Ge компактна в Ge (как пересечение компактного и замкнутого множеств), подгруппа /о = І П Ge нормальна в Ge (как пересечение нормальных подгрупп) и Но С /о . Подгруппа Ge замкнута в локально компактной группе G, следовательно Ge — локально компактная подгруппа G. Xаусдорфовость и выполнение первой аксиомой счетности для Ge следует из соответствующих свойств группы G. Получается, что Ge—хаусдорфова связная локально компактная группа с первой аксиомой счетности.

Пространство X = G/H можно рассматривать как X = Ge/H0. Точке еН Є G/H сопоставим еН0 Є Ge/H0. Для любой точки х Є G/H, в силу транзитивности действия группы Ge на G/H, существует элемент д Є Ge такой, что х = д(еН) = дН. Точке х Є G/H сопоставим дНо Є Ge/Ho.

Из условия (b) и предложения 3.2 получаем, что группа Ge изоморфна полупрямому произведению (R+, ) X IQ. Таким образом, для группы Ge, её подгрупп /о, Но и фактор-пространства X = Ge/H0 выполнены все условия теоремы 1.1 из [40] (см. теорему 3.1). Тогда на пространстве X существует метрика d (кривизны fc по А. Д. Александрову), инвариантная относительно действия группы Ge. На полученном метрическом пространстве (X, d) группа Ge действует транзитивно изометриями, поэтому (X,d) —однородное пространство группы Ge.