Почти D-расслоения Рыжкова Алла Владимировна

Содержание к диссертации

Введение

1 Расслоения с многозначными автоморфизмами и инвариантные связности 19

1. Почти А—структуры на главных расслоениях 19

1.1. Инвариантные покрытия 19

1.2. Определение почти Д-структур в терминах функций перехода 22

1.3. Морфизмы 23

1.4. Категория почти А-расслоений 26

2. Многозначные действия группы А на пространстве главного расслоения 28

2.1. Псевдодействие группы А 28

2.2. Многозначные автоморфизмы 29

2.3. Псевдодействия и морфизмы 29

3. Связности 32

2 Построение инвариантов и классификация почти А- расслоений 43

1. Характеристические классы 43

2. Расслоения с плоскими связностями и гомоморфизмы голономии 50

3. Инварианты почти Д-расслоений с плоскими связностями 53

4. Классы эквивалентности почти Д-расслоений с плоскими связностями 54

5. Классификация почти Д-расслоений 59

3 Инвариантные расслоения в категории почти Д- расслоений 61

1. Д-расслоения 61

2. Характеристические классы Д-расслоений в категории JC(B,Tk,A,R) 63

3. Инварианты Д-расслоений с плоскими связностями 72

4. Классы эквивалентности Д-расслоений в категории K{B,Tk,A,R) 74

4 Расслоения с группой многозначных автоморфизмов и гироскопические системы с симметриями. Примеры . 76

1. Связь почти Д-расслоений с гироскопическими системами 76

2. Почти Д-расслоения над двумерными базами 80

3. Трехмерные почти Д-расслоения 82

Заключение 93

Литература 95

• Многозначные действия группы А на пространстве главного расслоения
• Расслоения с плоскими связностями и гомоморфизмы голономии
• Классы эквивалентности почти Д-расслоений с плоскими связностями
• Характеристические классы Д-расслоений в категории JC(B,Tk,A,R)

Введение к работе

Пусть В - гладкое многообразие, д - риманова или псевдоримано-ва метрика, F - замкнутая 2-форма на В и и : В —» К - гладкая функция. Тогда четверку Г = (В, д, F, и) называют гироскопической системой. Как показано СП. Новиковым [13], анализ ряда задач математической физики приводит к рассмотрению гироскопических систем с многозначным функционалом действия. Если индекс иррациональности формы гироскопических сил F такой системы конечен, то преодолеть некоторые из возникающих трудностей удается с помощью главного расслоения , для которого базой является конфигурационное многообразие Б, а структурной группой - тор Т^к. Тесная связь таких главных расслоений и гироскопических систем описана в работах М.П. Харламова [23] ^ Я.Л. Шапиро, В.А. Иго-шина, Е.И. Яковлева [10], [30] - [34]|.С.В. Болотина [4]; подобные конструкции рассматривались Б.Н. Шапуковым[29];

Предположим, что интересующая нас гироскопическая система обладает конечной группой симметрии Д, то есть инвариантна относительно некоторого действия R : В х А -+ В. Настоящая работа посвящена построению и исследованию категории расслоений; ассоциированных с такими системами. Мы называем такие расслоения почти Д-расслоениями. Показано, что в этом случае группа Д оказывается группой многозначных автоморфизмов для расслоения, т.е. действие R поднимается на тотальное пространство многозначным образом. Таким образом, рассматриваемая задача связана с вопросом о поднятии действия группы с базы расслоения; на его пространство, - см., например, работу Т.Е. Stewart [39];

Характеристическим свойством расслоений с многозначными автоморфизмами является то, что они обладают инвариантными связ-ностями. Исследованием инвариантных связностей относительно

однозначных автоморфизмов занимались, например, Н.С. Wang [40], К. Nomizu [11].

В диссертации почти Д-расслоения исследованы вплоть до классификации. В связи с этим отметим, что классификация главных расслоений со структурной группой Т¹ была получена Sh. Kobayashi [35]. Ассоциированные с ними комплексные векторные расслоения исследовались в работе К. Kodaira, D.S. Spenser [36] (см. также [25]).

В [34] Е.И. Яковлевым с несколько иной точки зрения рассматривались почти Д-расслоения, для которых действие группы Д на базе В свободно. В этой ситуации пространство орбит В/А является гладким многообразием, а фактор-отображение v : В —> В/А - регулярным накрытием. Если р : Е —> В - проекция расслоения , то иор : Е —* В/А - проекция локально-тривиального расслоения со стандартным слоем Д х Т^к и многозначными функциями перехода со значениями в той же группе Д х Т^к. Такие расслоения названы в [34] почти главными.

В данной работе действие группы Д на В предполагается произвольным, что существенно расширяет множество объектов изучаемой категории. Кроме того, инварианты почти Д-расслоений здесь строятся в терминах гомологии базы В, а не пространства орбит В/А как в [34].

Целью работы является решение следующих задач:

1. построение категории /С(Б, Т^к, Д, R) главных расслоений с базой В, абелевой структурной группой Т^к, ассоциированных с гироскопическими системами, обладающими конечной группой преобразований (Д, Я), а также содержательных примеров таких расслоений;

2. нахождение инвариантов объектов категории /С(В, Т^к,А, R);

3) классификация почти Д-расслоений с заданными базой В,
структурной группой Т^к и действием R конечной группы Д на В;

4) поиск условий, при выполнении которых класс эквивалентности почти А-расслоений содержит обычное А-расслоение.

Методы исследования. Использованы методы дифференциальной геометрии, топологии многообразий, алгебраической топологии и теории компактных групп преобразований.

Научная новизна.

1. Построена категория почти А-расслоений, т.е. главных расслоений со структурной группой Т^к, обладающих конечной группой А многозначных автоморфизмов. Показано, что инвариантность гироскопической системы F = (В, д, F, и) относительно конечной группы преобразований А равносильна существованию почти Д-структуры на ассоциированном с Г главном расслоении и инвариантности соответствующей Г римановой метрики на тотальном пространстве \Е относительно многозначного действия группы А. Построены содержательные примеры почти А-расслоений.

2. Получена классификация почти А-расслоений с фиксированной базой .В, структурной группой Т^к и заданным действием R группы А на В, т.е. найдены инварианты в терминах некоторых групп гомологии и когомологий базы В, с их помощью вычислена группа В(В,Т^к, A, R) классов эквивалентности.

3. Выяснено, при каких условиях на инварианты почти
А-расслоение эквивалентно в данной категории обычному А-
расслоению. В результате найдена подгруппа SB(B,T^k,A_yR)
группы B(B,T^k,A,R), каждый элемент которой содержит А-
расслоение. На конкретных примерах показано, что в общей ситуа
ции SB{B, Т^к, A, R) - собственная подгруппа группы-В(В, Т^к, A, R).

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях расслоений, для изучения систем с гироскопическими силами, а также в учебном процессе.

Апробация. Описанные результаты были обнародованы на международной конференции "Колмогоров и современная математика" (2003г.), на международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения"(2002г., 2003г.), на научном семинаре кафедры теории относительности и гравитации КРУ (рук. А.В.Аминова), на международной летней школе-семинаре по теоретической и математической физике "Волга"(2001г., 2002г.), на семинаре кафедры геометрии и высшей алгебры ННГУ (рук. Н.И.Жукова и Е.И.Яковлев), на семинаре кафедры геометрии КГУ (рук. Б.Н.Шапуков), на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ (рук. А.Т.Фоменко).

Публикации и вклад автора. Результаты диссертации опубликованы в работах [42]-[49]. В совместных статьях [42],[44];[47], [49] научному руководителю Е.И.Яковлеву принадлежит постановка задачи, идеи некоторых конструкций и общее руководство работой. Все теоремы и их доказательства получены автором диссертации.

Краткое содержание работы.

Во введении обосновываются актуальность темы диссертации и ее научная новизна, определяются цели и задачи исследования, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе определяются почти Д-расслоения и их мор-физмы, строятся многозначные автоморфизмы, исследуются инвариантные связности. В частности, доказывается, что существование инвариантных связностей является их характеристическим свойством.

Пусть - гладкое главное расслоение с проекцией р : Е —> В и структурной группой Т^к = (R/Z)^fc. Рассмотрим конечную группу А и правое действие R : В х А—* В.

Определение 1. Допустим, что открытое покрытие U обладает свойствами:

1. существует ассоциированный с U атлас Л{Ы) расслоения ;

2. Rs(U) = U для всех U еЫид А.

Тогда U мы будем называть (, А)-покрытием.

Выберем карты [/, _v А(Ы), для которых Vf\U Ф 0 и функцию перехода уи ' V (lU —> T^fc от &/ к ^. Определим отображение т^и :UC\V-> ^формулой

тГ = ^ о Л, - fo,. (1)

Определение 2. Пусть dr/^ = 0 для всех U, V Є І/ и 5 Є А. Тогда «4(W) будет называться почти А-атласом. Два таких атласа эквивалентны, если их объединение тоже является почти А-атласом. Если А - класс эквивалентности почти А-атласа Л(Ы), то пару р = (, А) назовем почти А-расслоением.

Рассмотрим главные расслоения и ' с проекциями р : Е —> В и р': Е' —> В и структурной группой Т^к, а также гладкое отображение / : Е — Е' со свойствами: р = р' о / и /(г; ) = /(г;) для всех v Є і? и t Є T^fc. Тогда / : —> ' морфизм над Б. Допустим, что расслоения и ' обладают почти Д-структурами Д и *4'. Выберем атласы А{Ы) Є Л .A'(W) Є Л' и множества U,V Є W, V" П U ф 0. Имеется функция перехода Cfc/ :'VnC/ — T^fc от карты с/ к карте (/ при морфизме /. Определим гладкое отображение &У^и : VTW —> T^fc, полагая

<гї^и = Cw о ^ - С, (2)

Определение 3. Если da%^u = 0 для всех [/ є Д(^), {, Є A'(U) и 5 Є А, то / назовем морфизмом почти А-расслоений р = (, А) и р' = (',-4').

Далее мы будем считать фиксированными многообразие В, группы Т^к, А и действие R : В х А —> Б, а также полагать (? = Дх T^fc. Совокупность почти А-расслоений над Б со структурной группой Т^к и их морфизмов образует категорию JC(B,T^k,A,R). Множество

B(B,T^k,A,R) классов эквивалентности объектов построенной категории является группой относительно операции, индуцированной сложением функций перехода. Ее нейтральный элемент - класс эквивалентности пары ро = {о,Ао), где о - расслоение-произведение В на Т^к, а Ло содержит атлас {id_BxTk}.

Элементы (, А)-покрытия U и их пересечения не обязаны быть связными. Поэтому тождества drj^u = 0 и daj^u = 0 равносильны тому, что отображения rj^u п о~У^и только локально постоянны. Добавим, что расслоение-произведение о может обладать почти Д-структурой, отличной от vt₀-

Пусть - главное расслоение с проекцией р : Е —» В и структурной группой Т^к. Каждая его карта и : U хТ^к —> Еи позволяет определить действие R^u : Ец х Л —> Ец группы Л на подмногообразии Еи = q~^l(U) С Е с помощью формулы

^fe(MM = Wfl-^). (з)

При этом для каждого 6 Є А

poR^u₅=R₅op. (4)

Если у ' У ^х Т^к —» Еу - другая карта расслоения и V П U ф 0, то действия R^u и R^v связаны на Evnu равенством

В!Ї{у) = Щ{у)-тГШ), (5)

где отображение tJ^u :VC\U^>T^k определено формулой (2).

Определение 4. Пусть Л(Ы) - атлас главного расслоения , а отображения R^u : ЕцхА—> Ец заданы с помощью карт и Є Л{Ы) и формулы (5). Набор Л = {R^U\U Є U} мы будем называть псевдодействием группы А на пространстве расслоения , ассоциированным с А(Ы). Если drj^u = О для всех U, V Є U и 8 Є А (то есть >l(W) -почти А-атлас), то 71 назовем многозначным действием.

Из равенств (4) и (5) следует, что В% ; Еи — Еу— автоморфизм сужения над Я расслоения . Поэтому для многозначного действия 71 набор {T^i\U Є U} естественно назвать многозначным автоморфизмом расслоения^. При этом Л становится группой многозначных автоморфизмов.

Рассмотрим главное расслоение ' с проекцией р' : Е' —> В и структурной группой T^fc, морфизм. / : —> ' и Т^-связности Я на Е'.и-.Н' на. Я', удовлетворяющие равенству Яд ч = df(H_v) при всех ігЄ -Є¹. Выберем карты & ^и у расслоений и ' и элемент 5 Є Д. Предположим, что V П Я =^ 0.

Предложение 1. Ясли связность Я инвариантна относительно преобразования В% : Е_и —> Яу, то Н' инвариантна на E'_vr]U относительно R'_s : E'_v —> E'_v тогда и только тогда, когда определенноеформулой (4)^отображение aj^u : V П U —> Т^к локально постоянно.

Из предложения 1 вытекает ряд важных следствий. Для их компактной формулировки нам потребуются также новые определения.

Следствие 1. Рассмотрим главное расслоение с проекцией р-: Е —+ В и структурной группой Т^к и псевдодействие Л группы Д на Е, ассоциированное с атласом A(U). На пространстве расслоения существует ^-связность Я, инвариантная относительно всех ЯУ Є 7, тогда и только тогда, когда А{Ы) - почти Д-атлас, а 7Z -многозначное действие группы Д.

Определение 5. Если в обозначениях следствия 1 связность Я инвариантна относительно всех ВУ Є 7Z, то мы будем говорить, что она инвариантна относительно многозначного действия 7Z группы Д на.Я.

Следствие 2. Предположим, что р = (, А) - почти Д-расслоение и Т^-связность Я на пространстве Е главного расслоения инвариантна относительно многозначного действия группы.

А, ассоциированного с атласом А(Ы) Є А. Если A'(W) - другой атлас главного расслоения , то связность Я инвариантна относительно ассоциированного с ним псевдодействия группы А на Е тогда и только тогда, когда A'(U') - почти А-атлас и A'(U') Є А.

Определение 6. Пусть G = Ах Т^к_у р = (, А) - почти А-расслоение и Т^-связность Н на его пространстве Е инвариантна относительно многозначных действий группы А, ассоциированных с атласами А(Ы) Є А. Тогда Н будет называться G-связностью.

Следствие 3. Допустим, что р = (, А) ир' = (',А') - почти А-расслоения, и иш'- формы Т^-связности Н и G-связности Н' на пространствах Ей Е' расслоений р и р', f : —» ' - морфизм главных Т^-расслоений и и = /*о/. Тогда Я - G-связность на Е в том и только в том случае, если / : р —* р'. - морфизм почти А-расслоений.

Предложение 2. Пусть Q = dcu - форма кривизны Т^к-связности Н на пространстве Е главного расслоения , F - замкнутая 2-форма на базе В со значениями в R^k, удовлетворяющая равенству Q = p*F. Форма F инвариантна относительно действия группы А на В в том и только в том случае, если обладает почти А-структурой, относительно которой Н является G-связностью.

Рассмотрим почти А-расслоения р — (, А) и р' — (', А') с проекциями р : Е —> В'и р': Е' —> В, а также формы и и о/ G-связностей Н на Е и Н' na Е'. Предположим, что существует морфизм главных расслоений / : — '. Тогда на базе Я найдется 1-форма D, удовлетворяющая равенству /*о/ — cu = p*D.

Предложение 3. Отображение f является морфизмом почти А-расслоений р и р' в том и только том случае, если форма D инвариантна относительно действия R группы А.

Предложение 4. Пусть р = (, А) - почти А-расслоение с

проекцией р : Е —+ В. Тогда [р] = 0 в В(В, Т^к, A, R) в том и только в том случае, если на Е существует G-связность с тривиальной группой голономии.

Во второй главе находятся инварианты почти Д-расслоений и вычисляется группа их классов эквивалентности.

Если Ф - замкнутая n-форма на многообразии В со значениями в R^fc, а [Ф] - ее когомологический класс, то формула 1[ф]([с]) = /_СФ определяет гомоморфизм 1[ф] : Н_п(В) — R^fc.

Обозначим символом Л_д(В, Ш^к) группу инвариантных относительно действия группы А внешних n-форм на В со значениями в Ш^к, а символом Яд (В, Ш^к) - группу гомологии коцепного комплекса

Лд-^ЯД*) Л A_A(,R^fc) -І A_A⁺¹(,R^fc) -+....

Положим

#X(B,R*|Z^fc) = {[Ф]д Є Я(Я^^&)|іт/_[Ф] С Z^fc}.

Пусть р = (, Л) - почти А-расслоение с проекцией р : Е —> В и и> - форма G-связности Я на Е. Тогда существует замкнутая 2-форма F на Я, удовлетворяющая равенству du) = p*F. Согласно предложению 2 F Є A_A(,R^fc). Так как - главное расслоение со структурной группой T^fc, а Я - Т^-связность, то ітІ[р\ cZ^fc.

Когомологический класс [F]& является инвариантом расслоения р-в категории /G(5,T^fc,A, R). Он будет называться характеристическим классом почти А-расслоения р = (, Л). При этом формула г/([р]) = [Я]д определяет гомоморфизм ту : B(B,T^k,A,R) —* Яд (Я, R^fc|Z^&).

Предложением. Для гомоморфизма г] существует правый обратный гомоморфизм fj: Я_Д(Я, R^fc|Z^fc) — B(B,T^k,A,R).

Пусть /5 = (, Л) - почти Д-расслоение с характеристическим классом [F]a = 0. Это эквивалентно существованию на его пространстве плоской G-связности Я.

Предположим, что а:: I—* В - кусочно-гладкая петля, аж:/-> Е ее горизонтальный лифт относительно плоской G-связности Н. Тогда найдется элемент тн(х) Є Т^к, удовлетворяющий равенству х(1) = х(0) тц(х). Элемент тн(х) зависит только от гомологического класса цикла х Є Z\(B). При этом формула тя([я]) = Тн(х) корректно определяет гомоморфизм тн : Н\{В) —> Т^к, который мы называем гомоморфизмом голономии связности Н.

Предложение 6. Пусть р = (,А) - почти А-расслоение с проекцией р: Е —» В, Н и Н* - плоские G-связности на Е, и и со* - их формы связности. Тогда и* = ш + р*А, где А Є Z^(B,R^k), и тн* = т_н - Ехр о 1_[А].

Пусть для произвольного п Є N

Hom^A{H_n(B),R^k) = {he Hom(H_n{B),R^k)\h([x 5}) = h([x\) W Є A}. Для [F]_A Є Н%{В,М.^к), [F] Є tfⁿ(,R^fc) и [с] Є Н_п{В) положим

Ia([F]a) = I_[F]. (6)

Лемма. Отображение I_A : H(B,R^k) -> Hom^A(H_n(B),R^k), определенное формулой (6), является изоморфизмом.

Для почти Д-расслоения р с нулевым характеристическим классом и плоской G-связности Н на его пространстве рассмотрим гомоморфизм голономии Тн Є Нот(Ні(В),Т^к) и гомоморфизм Ехр^А : Hom^A{Hi{B),R^k) -> Hom{Hi(B),T^k), определенный формулой Ехр^А (h) = Ехр о h. Положим

7]оШ=г_н + ітЕхр^А. (7)

Предложение 7. Формула (7) корректно определяет отображение 77о : ker77 —> Hom(Hi(B),T^k)/imExp^A.

Таким образом, смежный класс т# + im Бхр^ гомоморфизма голономии Тн является инвариантом расслоения р. В предложениях

8-11 показано, что этот характеристический класс позволяет полностью классифицировать группу классов эквивалентности почти А-расслоений.

Предложение 8. Рассмотрим почти А-расслоение р = (,*4) с проекцией р : Е —» В, плоскую G-связность Н на его пространстве Е и гомоморфизм голономии Тн : Н\(В) —> Т^к. Тогда существует почти А-атлас А(Ы) Є А, обладающий свойствами:

3. локальные формы шц связности Н тождественно равны нулю для всех U ЄІІ;

4. функции перехода уи локально постоянны для любых U,V Є U,

v пи ф.

При этом если х : /'—> В - петля, 0 = s₀ < Si < < si — l - разбиение отрезка I = [0,1], KUi,...,KUi - компоненты связности элементов покрытия U, удовлетворяющие условиям x([si-i,Si\) С KUi, и cbi = x(si), то

^тя(М) = ЬмЫ + Ьм-Лаї-і) + + C%c/i(^ai)- (8)

Предложение 9. Отображение г]о является гомоморфизмом групп.

Предложение 10. Гомоморфизм щ сюръективен.

Предложение 11. Ядро кегтуо состоит только из нейтрального элемента группы В (В, T^fc, A, R).

Пусть ц : B(B,T^k, A,R) -> Н1(В,Ж^к\Ъ^к) - гомоморфизм, построенный перед предложением 5, imExp^ - образ естественного гомоморфизма Expf : Hom^A(H₁(B)_:R^k) -+ Яот(Я_х(),7^), а 77о : ker77 —> Hom(Hi(B),T^k)/imExp^A - гомоморфизм, определенный формулой (7). Согласно предложениям 9, 10 и 11 770 ~ изоморфизм. Рассмотрим включение г : кег7у — В(В,Т^к, A, R) и положим С — ^гоЩ¹- Тогда из предложения 5 следует, что имеет место следу-

ющий основной результат работы:

Теорема 1. Последовательность групп и гомоморфизмов

О -+ Яот(Яі(В), Т^к)/ітЕхр* -Ь В(В, Т^к, А, Л) Л

-^#(,R^fc|Z^fc) ->0 точна и расщепляется. Поэтому

B(B,T^k,A,R) 9* Hl(B,R^k\%^k) Є Hom(H₁(B),T^k)/imExpt.

В третьей главе мы исследуем вопрос о том, какое место в категории почти А-расслоений занимают расслоения, для которых автоморфизмы из А однозначны.

Пусть р = (, Л) - почти А-расслоение и Л(Ы) Є Л. Если определенное формулой (1) отображение удовлетворяет условию rj^u = О, то р - А-расслоение в обычном смысле, a A(JA) - А-атлас.

При этом для действия R^u : Ец х А — Ец группы А на подмногообразии Еи = q~^l(U) С Е верно равенство Щ{v) = Щ(у) на любом непустом пересечении Еи П E_v\ U,V Є U. Положим Rf(v) = R%{v) для всех v Є Еи и U ЄІА. Этим корректно определены отображения Rf : Е -> Е и R^E : Е х А -> Е, R^E(v, 5) = Rf(v). Ясно, что R^E -однозначное действие группы А на Е, a Rf : Е —* Е - однозначно определенный автоморфизм.

Для поиска инвариантов А-расслоений нам понадобятся следующие новые конструкции. Символом SB(B,T^k,A,R) обозначим подгруппу группы B(B,T^k,A,R), образованную классами эквивалентности А-расслоений в категории JC(B,T^k,A,R).

Пусть С_п{В), Z_n(B) и В_п(В) - группы кусочно гладких п-мерных сингулярных цепей, циклов и границ многообразия В с целыми коэффициентами. Введем обозначения:

С_п(В, A\Z) = {сє С_п{В)\с. А є Z_n{B)}.

Предложение 12. Пусть р = (, Л) - А-расслоение, Н - G-связностъ на его пространстве Е, ш - форма связности Н, F -замкнутая 2-форма на базе В udw — p*F, где р : Е —> В - проекция расслоения. Тогда для произвольной цепи с Є C<2.{B,A\Z) справедливо включение Г F Є Z^k.

Предложение 13. Если F - замкнутая и инвариантная относительно действия группы А 2-форма на В и f_cF Є Z^k для всех с Є C2{B,A\Z), то существует А-расслоение р с характеристическим классом [F]&.

Таким образом, когомологический класс формы, обладающей свойствами, описанными в предыдущем предложении, является инвариантом А-расслоений. В предложениях 14 и 15 указан второй инвариант этих расслоений, что позволяет вычислить группу SB(B,T^k,A,R).

Предложение 14. Если р - А-расслоение с нулевым характеристическим классом [F}& = О, то Тн Є Uom^A(Hi(B),T^k).

Предложение 15. Если т Є Hom^A(iJi(5),T^fc), mo существует А-расслоение р, для которого ?7о([р]) = т + imExp^A .

Полагая v{[p\) = ?l([p\) для [р] Є SB(B,T^k, А, Я), мы определим гомоморфизм

v : SB{B,T^k,A,R) -> #(,R^fc,C^A|Z*).

Определена, точна и расщепляется последовательность

О -+ kerz/ - SB(B,T^k,A,R) A fli(BiR^fc,C^A|Z^fc) -+ О,

где г_а - включение. Положив ^о([р]) = ?7о([р]) Д^{ля всех} [р] ^ kerz/, мы получим изоморфизм

I/O : kerz/ -^ Hom^A(#i(S),T*)/imExp^A .

Положим р = i_s о i/q¹. Тогда из сказанного выше вытекает следующая валеная

Теорема 2. Определена короткая точная последовательность

О -> Нот^д(#і(Я),Т*)/ітЕхр? A SB{B,T^k,A,R) Л

А #2(5,R*,C^A|Z^fc)-+-0. Ока расщепляется и поэтому

SB(B,T^k,A,R)^H²_A{B,M^k,C^A\Z^k)Eom^A(H₁(B),T^k)/imExpt.

В четвертой главе рассмотрена связь почти А-расслоений с гироскопическими системами, некоторые свойства таких расслоений с двумерными базами, примеры трехмерных почти Д-расслоений.

Почти Д-расслоения естественным образом возникают при исследовании динамики натуральных механических систем с гироскопическими силами. Пусть В - конфигурационное многообразие такой системы Г. Ее функционал действия в общей ситуации многозначен. Для преодоления связанных с этим трудностей может быть использовано поднятие рассматриваемой задачи на пространство некоторого главного расслоения над В со структурной группой Т^к. При этом число к и характеристический класс расслоения определяются формой гироскопических сил. В указанной конструкции также используется некоторая риманова метрика на тотальном пространстве этого расслоения [30]-[33]. Нами доказана

Теорема 3. Система Г инвариантна относительно действия R группы А в том и только в том случае, если расслоение обладает почти А-структурой Ли метрику можно выбрать инвариантной относительно многозначного действия группы А на Е, ассоциированного с любым атласом из А.

Пусть В - двумерное гладкое многообразие.

Предложение 16. Если В замкнуто, ориентируемо и для всех 5 Є А диффеоморфизмы R$ : В —> В сохраняют ориентацию, то

Н\(В,Ж^к\Ъ^к) ^ Bom(H₂(B),Z^k) 9* Ъ^к. Во всех остальных случаях Hl(B,R^k\Z^k) = 0.

Предложение 17. Пусть В замкнуто, ориентируемо, и группа Д действует на нем сохраняющими ориентацию диффеоморфизмами. Тогда каждое главное расслоение над В со структурной группой Т^к обладает структурой почти А-расслоения.

Предлолсение 18. Если двумерное многообразие Ви группа Д не обладают хотя бы одним свойством из предложения 17, то на пространстве любого почти А-расслоения над В существует плоская G-связность.

Пример 1. Рассмотрим сферу В = S² = {r{u,v) = (cos w cos г», cos w sin г;, smu)\u Є [—7t/2,7t/2],v Є [0,27г]} и группы Т¹ = і/Zh Д = Z_n. Определим действие R : В х Д —> В, полагая

27Г7

Ry](r(u,v)) = r(u,v-{--^-), [j]=j + Z,j = 0,1,...,п-1. (9)

f L

Геометрически R\j\ есть поворот сферы на угол 2-KJ/n вокруг прямой (0,0) х R.

Согласно теореме 1,

В(В, Г¹, Д, R) ^ Z ^ В(В, Г¹),

где #(В, Т¹) - группа классов эквивалентности главных расслоений с базой Б и структурной группой Т¹. Как известно, произвольное такое расслоение имеет вид = тх, где т Є Z, а х ~ расслоение Хопфа.

Таким образом, для действия (9) главное расслоение = тх допускает, (причем единственную) структуру почти Д-расслоения при любом т Є Z; с помощью теоремы 2 доказывается, что структурой, инвариантной относительно Д, оно обладает тогда и только тогда, когда характеристическое число т нацело делится на порядок п группы Д.

Пример 2.

Пусть теперь В = Т² = (R/Z)² и A = Z₂. Действие Д:5хД-> В определим формулой

R_m{x + Z,y + Z) = {(-l)^jx + Z, (-l)^jy + Z). (10)

Вычисляя группы, указанные в теореме 1, получаем, что

В(В, Г¹, A, R) 9* Z Є Т² ^ #(В, Г¹) Є Г².

Таким образом, для действия (10) каждое главное расслоение с базой В = Т² и структурной группой Т¹ обладает бесконечным набором попарно не изоморфных почти Д-структур. По теореме 2 получаем, что SB(B, Г¹, A, R) ^ 2Z Є Z².

Пример 3. Рассмотрим, наконец, проективную плоскость В = RP² и зададим действие той же группы А = Z₂ на В, полагая

R_y](x:y:z) = ((-lYx:(-iyy:z). (11)

По теореме 1 о классификации получаем В(В,Т^Х,А, R) = Z₂ — В{В,Т¹). Это значит, что каждое из двух (не изоморфных) главных расслоений с базой В = ЖР² и структурной группой Т¹ допускает (при действии (11)) почти Д-структуру, но только одну. А по теореме 2 получаем, что все они являются А—расслоениями.

Многозначные действия группы А на пространстве главного расслоения

Пусть - главное расслоение с проекцией р : Е — В и структурной группой Тк. Каждая его карта & : U х Тк — Ец позволяет определить действие Ru : Ец х А — Ец группы А на подмногообразии Ец = 7_1( 0 С Е1 с помощью формулы При этом для каждого 5 Є А Если :VxT - у _ другая карта расслоения и V П / 0, то верны равенства Таким образом, действия Ru и Rv связаны на Еу ц соотношением где отображение rju : V C\U — Тк определено формулой (1). Определение 1.5 Пусть A(U) - атлас главного расслоения , а отображения Ru : Еи х А — Еи заданы с помощью карт и Є A{U) и формулы (1.5). Набор 1Z = {1ZU\U Є Щ мы будем называть псев-додействием группы А на пространстве расслоения , ассоциированным с А(Ы). Определение 1.6 Пусть 71 = {7ZU\U Є U} - псевдодействие группы А на пространстве главного расслоения , ассоциированное с атласом Л(Ы). Если drju = 0 для всех U,V U и 6 Є А (то есть Л(и) - почти А-атлас), то 7Z назовем многозначным действием. Из равенств (2.1) и (2.2) следует, что Щ : Ец — Ец - автоморфизм сужения над 17 расслоения . Определение 1.7 Для многозначного действия 7Z набор {TZ \U Є U} назовем многозначным автоморфизмом расслоения . При этом А становится группой многозначных автоморфизмов. Рассмотрим главные расслоения и с проекциями р : Е — В и р : Е — В и структурной группой Тк, морфизм / : — и псевдодействия TZVLTV группы А на пространствах расслоений и . Пусть Ru Є г и Я/К Є 7г , тогда To есть действия Ru и R v связаны равенством где отображение aju :VC\U-+Tk определено формулой (1.3). Предложение 1.3 Пусть задан морфизм f : — , а расслоения w обладают почти А-структурами А и А!. Тогда f - морфизм почти А-расслоений р = (, Л) и р = ( , А ) тогда и только тогда, когда найдутся атласы A(U) Є Л и A (U) Є А такие, что f эк-вивариантно относительно многозначных действий группы А на пространствах расслоений и , ассоциированных с А{Ы) и А (Ы), т.е. f о RV(v) = R du(f(v)) для \fv Є Е, 6 Є A, U Є U. Доказательство. Если / - морфизм почти А-расслоений, то по предложению 1.1 существуют такие гладкие функции Си і что vu = Cv + tvu- ;u,VU,VeU, UnV Q, и Положим &/(а, t) = с/(а, — Cu{a) + t). Этим определены карты некоторого атласа А(Ы). Тогда Таким образом, vu = Cv + vi/ — Си- Поэтому карты {u\U Є W} образуют почти А-атлас. Согласно (1.9), он эквивалентен атласу А(Ы), т.е. A(U) Є Л. При этом Обратно, пусть foRf v(a,t)) = #J; (/(j/(a,t))). Следовательно, согласно формуле (1.8), для функций перехода С,и от карт у к картам / при морфизме / имеет место Так как / : —» - морфизм главных расслоений, то функции перехода от карт расслоения к картам расслоения связаны равенством vu = Су + \л{/ — Сг/. Из равенства (1.10) следует, что для функций Си выполняется условие d(uRs—Cu) = 0- Следовательно, по предложению 1.1, / - морфизм почти А-расслоений.П Рассмотрим главные расслоения и с проекциями р : Е — В и р : Е — В и структурной группой Тк, морфизм / : — и Т -связности Я на 7 и Я7 на , удовлетворяющие равенству Я = df(Hv) при всех v Є Е. Выберем карты & и (, расслоений и и элемент J Є А.

Предположим, что V C\U ф$. Предложение 1.4 #сли связность Н инвариантна относительно преобразования R$ : Ец — Ец, то Н инвариантна на E vnU относительно R J : Е у - Е у тогда и только тогда, когда определенное формулой (1.3) отображение a)fu : V Г) U — Тк локально постоянно. Доказательство. Предположим сначала, что связность Н инвариантна на E vnu относительно R s . Выберем компоненту связности W пересечения VnU, точки а0 яі Є W и путь х : I —» W с началом х(0) = оо и концом х(1) = 2і. Для некоторого to Є Tk положим о = u(ao,to)- Рассмотрим горизонтальный относительно связности Н лифт у пути х с начальной точкой y(Q) = VQ. Тогда найдется такое і Є Т , что у(1) = V\ = 7( 1, 1). Положим Уи = f R-s У и уу = Rf6 о / о у. Пути уи : I — Е и уу : I — Е горизонтальны относительно связности Н . Так как в силу горизонтальности у относительно связности Н, то пути уи : I - Е к уу : I — Е горизонтальны относительно связности Н . Кроме того, p oyjj = р оуу. Поэтому существует элемент t Є Tfc, при всех s Є Iудовлетворяющий равенству yu(s) — yv{s). В частности, для г = О,1. С другой стороны в силу (1.8) Согласно (1.11) и (1.12) aju(ai) = t. Этим доказано, что aju локально постоянно. Допустим далее, что для і = 0,1 и любого (5 Є А верно предыдущее равенство. Положим St{v ) = v t для всех V Є і? . В силу (1.12) S о f о R% = R of на Eyr\u- Рассмотрим формы о; и-о/ связностей # и Я7. По определению Sltcu = о/. Согласно условию f u = ш и (R%) UJ = ш. Поэтому Так как / : Е —+ Е - диффеоморфизм, то из доказанного следует равенство (R Y) LJ = и .П Определение 1.8 Рассмотрим псевдодействие TZ группы А на Е. Если связность Н инвариантна относительно всех Ru Є 71, то мы будем говорить, что она инвариантна относительно многозначного действия 71 группы А на Е. Определение 1.9 Пусть G = А х Тк, р — (,«4) - почти Д-расслоение и Тк-связность Н на его пространстве Е инвариантна относительно многозначных действий группы А, ассоциированных с атласами А{Ы) Є А. Тогда Н будет называться G-связностью.

Расслоения с плоскими связностями и гомоморфизмы голономии

Пусть р = (, А) - почти Д-расслоение с характеристическим классом [F]A = 0. Рассмотрим его проекцию р : Е — В и G-связность Я, для которой форма связности и удовлетворяет равенству du = p F. Тогда F = dA, где А - инвариантная относительно Д 1-форма на В со значениями в пространстве Шк. При этом, согласно предложению 1.6, и = ш — р А- форма G-связности на Е и dw = 0. Таким образом, для почти Д-расслоения р включение [р] Є ker rj эквивалентно существованию на его пространстве плоской G-связности Я. Предположим, что х : I — В - кусочно-гладкая петля, а х : I — Е ее горизонтальный лифт относительно плоской G-связности Н. Тогда найдется элемент т#(я;) Є Тк, удовлетворяющий равенству х(1) = х(0) -тціх). Согласно [34] элемент тн(х) зависит только от гомологического класса цикла х Є Z\{JS). Кроме того, тн(х + у) = тн(х) +тн{у) и тн{—х) = —тн(х). Следовательно, формула Тя([#]) = тн(х) корректно определяет гомоморфизм тн Н\(В) — Тк, который мы называем гомоморфизмом голономии связности Я. Предложение 2.2 Пусть р = (, А) - почти А-расслоение с проекцией р : Е —» В, Н и Я - плоские G-связности на Е, и и и - их формы связности. Тогда ш = ш + р А, где A G (5,Rfc), и тн =тн-Ехро1[А]. Доказательство. Существование и инвариантность формы А относительно Д следуют из предложения 1.6, ее замкнутость - из равенств du — du = 0. Рассмотрим петлю х : I— В и ее горизонтальные лифты х : I — Е и х : I — Е относительно связностей Я и Я . Тогда найдется такой кусочно-гладкий путь г : I — R , что х = х (Ехрог). При этом Из полученного равенства следует, что dr/ds = —A{dx/ds) или По построению пути г и гомоморфизма гя имеем: другой стороны, х (1) = х (0) (тн ([х]). Таким образом, В силу (2.11) последнее влечет за собой доказываемое равенство. Пусть для произвольного п Є N Лемма 2.1 Отображение ІА : #(J3,Rfc) - Нотд(Я„(В),К ), определенное формулой (2.12), является изоморфизмом. Доказательство. Корректность определения 1А и его гомо-морфность очевидны. Если /д([-Р]д) = 0, то согласно теореме Де Рама F — dA, где Л Є Л""1 (, Rfc). Полагая получим форму А є Лд х (В, R ).. Легко видеть, что dA = F. Следовательно, [F]A = 0 в #(#,Rfc) и ker/д = 0. Пусть далее h Є HomA(#n(?),Rfc). По той же теореме Де Рама гомоморфизму /г соответствует форма Ф Є 2п(В,Шк), удовлетворяющая равенству /СФ = h([c]) для всех [с] Є Нп(В). Положим, как и выше, Поэтому IA([F]A) = h и гомоморфизм /д сюръективен.П Следствие 1

Сужение гомоморфизма 1д также является изоморфизмом. Для почти Д-расслоения р с нулевым характеристическим классом и плоской С?-связности Н на его пространстве рассмотрим гомоморфизм голономии тн Є Яот(Ні(В),Тк) и гомоморфизм Exp : HomA(#i(B),Rfc) - Нот(Яі(),Т ), определенный формулой Exp (/i) = Exp oh. Положим Предложение 2.3 Формула (2.13) корректно определяет отображение щ : кегт7 - Нот(Яі(),Г )/ітЕхр . Доказательство. Пусть р и р - почти Д-расслоения, Я и Н -плоские G-связности на их пространствах, шиш - формы связно-стей Я и Я . Если / : р — р - морфизм, то CJ — f u - форма некоторой плоской G-связности Я на пространстве расслоения р. При этом тн = тн1 и справедливы все утверждения предложения 2.2. В такой ситуации для любых [х] Є Н\(В) и 5 Є Д Следовательно, Expo/ j є imExpf и потому смежные классы т# + imExpf и тН + imExpf совпадают. П Таким образом, смежный класс гя +imExp гомоморфизма голономии тн является инвариантом расслоения р. С точки зрения алгебры построенный инвариант представляет собой препятствие к тому, чтобы гомоморфизм голономии тн : Н\{В) —» Тк мог быть представлен в виде композиции тн = Expof, где т : Н\(В) — Жк - некоторый гомоморфизм, инвариантный относительно действия группы Д. Предложение 2.4 Рассмотрим почти А-расслоение р = (, А) с проекцией р : Е — В, плоскую G-связность Н на его пространстве Е и гомоморфизм голономии Тн : Н\{В) — Тк. Тогда существует почти А-атлас А{Ы) Є А, обладающий свойствами: 1) локальные формы иц связности Н тождественно равны нулю 2) функции перехода уи локально постоянны для любых U, V Є U, При этом если х : I — В - петля, 0 = SQ Si 5/ = 1- разбиение отрезка I = [0,1], KUi,...,KUi - компоненты связности элементов покрытия Ы, удовлетворяющие условиям x([si-i, si]) Доказательство. Рассмотрим покрытие Ы базы В с теми же свойствами, что и в предложении 2.1. Пусть .A(W) - ассоциирован-ный с Ы атлас из Д, {vu} ее система функций перехода, а { 2 и} соответствующий набор локальных форм связности Н. По условию на связность и выбору покрытия для всех U Є U найдутся функции фи : U — Efe, удовлетворяющие равенству оіфц = &и- Положим фи = Бхр офи и для карт & Є A(U), точек а Є U и элементов t Є Tfc. Этим определены карты & U х Тк — E er расслоения . Если U, V Є U и V П С/ 0, то и vt/ — ФУ + vt/ — Фи - функция перехода от карты у к карте у. Согласно (1.13), формы шц 7 — г/ тождественно равны нулю. Следовательно,

Классы эквивалентности почти Д-расслоений с плоскими связностями

Предложение 2.3 Формула (2.13) корректно определяет отображение щ : кегт7 - Нот(Яі(),Г )/ітЕхр . Доказательство. Пусть р и р - почти Д-расслоения, Я и Н -плоские G-связности на их пространствах, шиш - формы связно-стей Я и Я . Если / : р — р - морфизм, то CJ — f u - форма некоторой плоской G-связности Я на пространстве расслоения р. При этом тн = тн1 и справедливы все утверждения предложения 2.2. В такой ситуации для любых [х] Є Н\(В) и 5 Є Д Следовательно, Expo/ j є imExpf и потому смежные классы т# + imExpf и тН + imExpf совпадают. П Таким образом, смежный класс гя +imExp гомоморфизма голономии тн является инвариантом расслоения р. С точки зрения алгебры построенный инвариант представляет собой препятствие к тому, чтобы гомоморфизм голономии тн : Н\{В) —» Тк мог быть представлен в виде композиции тн = Expof, где т : Н\(В) — Жк - некоторый гомоморфизм, инвариантный относительно действия группы Д. Предложение 2.4 Рассмотрим почти А-расслоение р = (, А) с проекцией р : Е — В, плоскую G-связность Н на его пространстве Е и гомоморфизм голономии Тн : Н\{В) — Тк. Тогда существует почти А-атлас А{Ы) Є А, обладающий свойствами: 1) локальные формы иц связности Н тождественно равны нулю 2) функции перехода уи локально постоянны для любых U, V Є U, При этом если х : I — В - петля, 0 = SQ Si 5/ = 1- разбиение отрезка I = [0,1], KUi,...,KUi - компоненты связности элементов покрытия Ы, удовлетворяющие условиям x([si-i, si]) Доказательство. Рассмотрим покрытие Ы базы В с теми же свойствами, что и в предложении 2.1. Пусть .A(W) - ассоциирован-ный с Ы атлас из Д, {vu} ее система функций перехода, а { 2 и} соответствующий набор локальных форм связности Н. По условию на связность и выбору покрытия для всех U Є U найдутся функции фи : U — Efe, удовлетворяющие равенству оіфц = &и- Положим фи = Бхр офи и для карт & Є A(U), точек а Є U и элементов t Є Tfc. Этим определены карты & U х Тк — E er расслоения . Если U, V Є U и V П С/ 0, то и vt/ — ФУ + vt/ — Фи - функция перехода от карты у к карте у.

Согласно (1.13), формы шц 7 — г/ тождественно равны нулю. Следовательно, и фи о Rs — фи - локально постоянное отображение для всех U GU и S Є Д. А это значит, что Л(Ы) = {u\U Є U} - почти А-атлас и A(U) Є А. Рассмотрим локальные формы ши связности Н относительно ат /Ч ласа Л{Ы). В силу (2.15) &и = uJu-\-dфu По построению отображения фи отсюда следует, что иц = 0 для всех U ЄІ4. Для любых U, V Є U, V П U Ф 0, в силу (2.6) и согласно доказанному dvu = 0- Поэтому функции перехода атласа A(U) локально постоянны. Пусть х : I — Е - горизонтальный лифт петли х относительно Н. В силу равенства нулю локальных форм связности существуют такие элементы U Є Tfc, что для всех s Є [si-i, S{] и г = 1,..., I. Так как щ Є KUi-i П КЩ, то из (2.16) следуют равенства (si) = щ-Л к,и-1) = ZuifaiU)- Поэтому U = Ї/І-ІЮ + -І- Применяя эту рекуррентную формулу и (2.16), получим: Последнее равносильно (2.14).П Предложение 2.5 Определенное формулой (2.13) отображение rjo : ker77 — Hom(iJi( ),Tfc)/imExpf является гомоморфизмом групп. Доказательство. Рассмотрим почти Д-расслоения р и р , для которых [/?],[//] Є kerr/, и плоские G-связности Я и Я на их про странствах. Для некоторого покрытия W базы В найдутся почти А - атласы Л(Ы) и Л (Ы) этих расслоений, обладающие свойствами из предложения 2.4. Пусть {vu} и {(//} системы функций перехода атласов A(U) и Л (Ы). Согласно определению сложения в группе B(B,Tk,A,R) некоторое почти А-расслоение р" Є [р] + [р ] обладает набором функций перехода {#} , где ,yV = ,vu + ічу- При этом на пространстве расслоения р" существует ( -связность Н" с локальными формами связности {и ц = 0}. Но тогда для произвольной ПетЛИ X : 1 —» В И ГОМОМОрфиЗМОВ ГОЛОНОМИИ Тя, ТН И Гя" имеют место формулы вида (2.14). Следовательно, тн» = ТнЛ-тн1 и Доказательство. Рассмотрим элемент е = т + imExpf, где г Є Hom(ifi(5),Tfc). Выберем точку 6 Є В и покрытие / многообразия Я такое же, что и в предложении 2.1. Точно так, как в предложении 2.1, для компонент связности K(VU) пересечений V DU множеств U,V Є U и точек а Є K(VU) построим петли xaK,VUs : I — В. Положим По выбору покрытия U для любых а, а Є K(VU) циклы xaK,VUs и xK(vu) гомологичны. Следовательно, уи V DU — Тк - гладкое локально постоянное отображение. При этом для каждого 6 Є А разность vu R5 — vu также является локально постоянным отображением из V П U в Тк. Если U,V,W Є Ы и а Є W П V П U, то имеет место равенство (2.9). Поэтому существует почти А-расслоение р = (, Д) с атласом A(U) Л, имеющим систему функций перехода {vu}- Поскольку набор 1-форм {UJU = 0} удовлетворяет условию (2.6), то на пространстве расслоения р имеется (7-связность Н с локальными формами связности {шц}. Рассмотрим петлю а; : I —» В, разбиение 0 = So S\ 5/ = 1 отрезка / и компоненты связности KUi, ,KUi множеств из U такие, что rr([sz-_i,s;]) С KU{. Положим щ = x(si). Тогда по предложению 2.4 справедливо равенство (2.14). Отсюда в силу (2.17) следует, что Поскольку ПеТЛИ —{.Хц щ f" " UiUi—i "Ь Ь i Ui ) Ж гомологичны, то (2.18) эквивалентно равенству r#([#]) = т"(И)- Этим доказано, что тн = т и т]о({р}) = е..П Предлолсение 2.7 Ядро ker?7o состоит только из нейтрального элемента группы В(В, Tfc, A, R). Доказательство. Пусть р = (, Л) - почти А-расслоение с проекцией р : Е —» Ву обладающее плоской (7-связностью Н на его пространстве ", и г]о([р]) = 0. Тогда существует гомоморфизм f Є HomA(#i(i3),]Rfc), удовлетворяющий равенству тя = Expof. В силу доказанной выше леммы ему соответствует такая форма А Є Zi(B,Rk), что /Д([І4]Д) = f. Рассмотрим форму ш связности Н и положим ш = и+р А. Тогда по предложению 1.6 - форма некоторой G-связности Н на і?. Согласно предложению 2.2, построению формы А и определению (2.12) Tfj = тн — Ехр 1[А\ — Ехр о (г — I[A]) = 0. Таким образом, группа го-лономии G-связности Н тривиальна. Отсюда по предложению 1.7 вытекает, что [р] = 0 в группе В(Б, Тк, А, ІЦ.

Характеристические классы Д-расслоений в категории JC(B,Tk,A,R)

Пусть Сп(В), Zn(B) и Вп(В) - группы кусочно гладких п-мерных сингулярных цепей, циклов и границ многообразия В с целыми коэффициентами. Введем обозначения: Предложение 3.1 Пусть p = (,Д) - А-расслоение, H - G-связность на его пространстве Е, и - форма связности Н, F -замкнутая 2-форма на базе В udw = p F, где р : Е — В - проекция расслоения. Тогда для произвольной цепи с Є Ci(B, A\Z) справедливо включение Г F Є Zk. Доказательство. Для обоснования предложения 3.1 нам понадобятся некоторые вспомогательные конструкции. Начнем с их построения. Рассмотрим кусочно-гладкую петлю х : / —» В с начальной точкой а; (0) = х{1) = Ь и ее горизонтальный лифт х относительно связности Н. Поскольку точки х(0) и х(1) лежат в одном слое расслоения, то найдется элемент тн{х) Є Tk, удовлетворяющий равенству х(1) = х(0) тн(х). Этим определен гомоморфизм Тн Z\{B) — Tk. В силу инвариантности связности Н относительно действия группы А на Е имеет место Фактор-отображение 7Г : В — f?/A индуцирует гомоморфизм 7Г : i() - Z B/A). Положим Z{{B/A) = іттг . Если z Є Zl(B/A), то найдется цикл z Є Zi(B), для которого 7r (z) = z . При этом, согласно (3.1), формула T#(Z ) = TH{Z) корректно определяет гомоморфизм тя : Z (B/A) — Тк. По построению Так как Z (B/A) - подгруппа свободной группы Zi(B/A), то она также свободна. Отсюда следует существование гомоморфизма тя : Z{(B/A) — Kfc, удовлетворяющего равенству Положим тя — т о 7Г . Тогда тя G Hom( i(B),Rfc). Согласно (3.3) и (3.2), Кроме того, для любых х Є Лі (5) и 6 Є А Следовательно, Приступим к доказательству самого предложения 1.11. Для этого рассмотрим 2-цепь с = 2акасг0, многообразия В такую, что с-Л Є Z2{B). Без ограничения общности можно считать, что ка О для всех а. Тогда д та = ]Г)І=І ucd, где uai : I — В - пути. Зафиксируем точку Ъ Є В и пути va : І — В с начальной точкой а(О) = b и конечными точками гіа(1) = паі(0). Положим Этим определены петли ха : I —+ В и хс : I —»5с начальной точкой 6. Для каждого элемента 5 Є А выберем путь ги$ : I — В с началом ws(0) = Ъ и концом ws(l) = b-6. При этом будем считать, что единице группы А соответствует постоянный путь. Положим По построению соответствующая петле у одномерная цепь является границей 2-цепи с А. Но с Є С2{В, А2), потому д{с А) = 0. Отсюда следует, что тн{у) = 0. С другой стороны, в силу (3.6) и (3.5), Таким образом, Дт#(#с) = 0 в Шк, что возможно только при Пусть теперь ха : I — Е - горизонтальный лифт пути ха, а za : I — р_1(6) - вертикальный путь, гомотопный пути ха. При этом ха(0) = za(0) и ха(1) = za(l). Кроме того, в Е имеется 2-цепь са с границей дса = za — xa. Положим са = р (са). Тогда по формуле Стокса Рассмотрим далее горизонтальный лифт хс петли хс. Он имеет вид где xai - горизонтальные лифты петель ха.

Разумеется, начало каждого пути в произведении (3.9) совпадает с концом предыдущего, если таковой имеется. Пусть zai : I —» р 1(Ъ) - вертикальные пути, гомотопные путям Xai и Тогда из равенств (3.4) и (3.7) следует, что z : I —+ р х(6) - петля. Поэтому Если CQX - 2-цепь в Е с границей dcai = za\ — ха\, то 2-цепь cai = Cai Ехр((г - ї)тн(ха)) имеет границу dcai = zai - xai. При этом p (cm) = са для любого і Є {1,..., &а}. Отсюда и из равенств (3.8) и (ЗЛО) следует, что Так как дса = ха = даа: то разность аа — са является двумерным циклом. Поскольку [F] - характеристический класс расслоения р, то значение интеграла от формы F по циклу аа — са принадлежит группе Zk. Следовательно, Согласно (3.11), этим предложение 1.11 доказано. Таким образом, классы форм [F]&. Є Н] (В,Ш.к), удовлетворяющих условию: Предложение 3.2 Если F - замкнутая и инвариантная относительно действия группы А 2-форма на В и f F Є Zfc для всех с Є С2{В, A\Z), то существует А-расслоение р с характеристическим классом [F]. оказательство. Известно, что для произвольной точки Ъ Є В существует такая ее окрестность Sb С В, что выполняются следующие условия: 1) если Дь - стационарная подгруппа в точке 6, то Sb 5 = Sb для бе Тогда Sb называют срезом действия группы Д в точке 6, а объединение U = UseASb-s — трубкой вокруг орбиты точки Ъ [5]. Эти трубки образуют открытое покрытие U = {U} базы В. Выберем локально конечное подпокрытие Ы С.Ы. Для любого U (zU каждая компонента связности KU является срезом в некоторой точке. Обозначим его центр символом аки, а множество центров всех таких срезов - буквой А. Рассмотрим включение %А А — В и конус В — соп(гл) над ним. Конус В получен приклеиванием фактор-пространства (А х 1)/{А х 0) к В посредством отображения %А А х 1 —» В, определенного формулой ІАІ&КІ),1) = 2А(а/ш) = Яке/- Точку из В, соответствующую паре {aKu,t) Є (А х /), обозначим символом хки() При этом точка Хки{$) не зависит от компоненты KU и является вершиной конуса. Ее обозначим символом &о Формулой XKu{t) S — XKU-s(t), где t Є I и 5 Є Д, распространим действие группы Д на В. В каждой орбите О действия R : С/ х Д — С/ выберем точку а Є О. Допустим, что она лежит в компоненте KU множества U. Зафиксируем путь у и : / —» iff/ с началом 2/ (0) = а у и концом 2/ІШ(1) — а- Для всех Є Д положим 2/ = 2/ [/ .