Введение к работе
Актуальность темы. Теория Морса, нашедшая многочисленные приложения в топологии, имеет естественное обобщение на случай замкнутых 1-форм, поскольку локально такая форма является дифференциалом некоторой функции, определенной с точностью до аддитивной константы. Интенсивное развитие аналога теории Морса для замкнутых 1-форм (или многозначных функций) начато в работах С. П. Новикова [1], [2]. В работах [3] и [4] изучаются поверхности уровня замкнутых 1-форм и доказывается, что они имеют квазипериодическую структуру.
Многозначная функция формально может служить гамильтонианом в теории гамильтоновых систем, поэтому изучение поверхностей уровня замкнутых 1-форм представляет интерес для изучения топологии таких систем. Однако в большинстве известных примеров систем с многозначным гамильтонианом число степенен свободы бесконечно.
В работе [1] приведен пример интересной 3-мерной системы с многозначным гамильтонианом, возникающей в одночастичной полуклассической модели движения электрона в кристаллической решетке L = Z3 под действием однородного постоянного магнитного поля Н. По-лукласснческая модель является одним из важнейших инструментом для исследования зависимости проводимости кристаллов от внешнего поля, которое рассматривается как малое возмущение и учитывается классическим образом (см. [5], [6]).
Состояния системы описываются квазиимпульсом Р, который оп-
[1] С. П. Новиков, Галшльтонов формализм и многозначный аналог теории
Морса, УМН, 37 (1982), 5, 3-49 [2] С. П. Новиков, Критические точки и поверхности уровня многозначных
функций, Труды МИАН, 166 (1984), 201-209 [3] А. В. Зорин, Квазипериодическая структура поверхностей уровня морсов-
ской формы, близкой к рациональной — задача С. П. Новикова, Известия
АН СССР, 51 (1987),6, 1322-1344 [4] Т. К. Т. Ле, Структура поверхностей уровня морсовской формы, Матем.
заметки, 44 (1988), 1, 124-133 [5] Е. М. Лнфшпц, Л. П. Питаевскнн, Физическая кинетика, Москва, Наука,
1979 . [6] А. А. Абрикосов, Основы теории металлов, Москва, Наука, 1987
ределен с точностью до векторов обратной решетки L* = Z3, и, таким образом, может быть рассмотрен как элемент 3-мерного тора Т3. В силу уравнении движения
' = ;"»
сохраняется энергия е(Р) = const, которая является 3-периодической функцией, а также проекция Р на прямую с направляющим вектором II: (Р,Н) = const.
Таким образом, в рассмотренной модели траектории движения, спроецированные в пространство кпазннмпульсов (точнее, в накрывающее пространство 1\ ), представляют собой линии пересечения поверхности є = const с плоскостями, ортогональными //.
Наибольший интерес представляют собой траектории на Ферми-поверхности є(Р) = fi где ер — энергия Ферми. Если на этой поверхности есть незамкнутые траектории, и они обладают асимптотическим направлением, то при увеличении силы магнитного поля составляющая тензора проводимости в перпендикулярном направлении стремится к ненулевой константе. Если все траектории замкнуты, то проводимость во всех направлениях, перпендикулярных Н стремится к нулю.
Таким образом, возникает задача изучения топологии слоения, которое 1-форма Q = Hidxi + ІІ2СІХ2 + Нз(іх3 с постоянными коэффициентами задает на поверхности уровня 3-перноднческой функции в R3.
Данная задача интересна также как случаи динамической системы с трансверсалыюн мерой на поверхности. Динамическим системам на поверхностях, и в частности асимптотическому поведению траекторий, посвящено множество работ, среди которых мы отметим [7], [8],
[7] Д. В. Аносов, Лак могут уходить в бесконечность кривые но универсальной накрывающей плоскости, накрывающая несамопересекающиеся кривые на замкнутой поверхности, Труды МИАН, 191 (1989),34-44
[8] С. X. Арансон, В. 3. Грннес, О некоторых инвариантах динамических систем на двумерных многообразиях (необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности транзитивных систелі), Математический сборник, 90 (1973), 3, 372-402
[9], [10]. Однако наша задача является весьма специальной и представляет собой сильно вырожденный случай с точки зрения общей теории динамических систем.
Цель работы:
Исследовать вопрос о существовании асимптотического направления незамкнутых регулярных компонент линии уровня ограничения постоянной 1-формы в на 3-периодическую поверхность ЇЇ13 и зависимости этого направления от коэффициентов 1-формы.
Методы исследования. Используются методы маломерной топологии, теории Морса, теории графов.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.
-
Доказано, что множество уровней функции на торе Т3, на которых для фиксированной 1-формы есть незамкнутые траектории, является либо отрезком, либо ровно одной точкой.
-
Найдена топологическая характеристика, равенство нулю которой является критерием существования сильного асимптотического направлення.
-
Показано, что если множество уровнен функции, содержащих незамкнутые траектории, является невырожденным отрезком, то сильное асимптотическое направление существует, одинаково для всех траекторий и ортогонально некоторому целочисленному вектору, который устойчив при малых возмущениях.
-
Построена комбинаторная модель, позволяющая строить примеры, когда траектории не обладают асимптотическим направлением, и изучать множество таких примеров.
[9] Н. Masur, Interval exchange trans J'ormations and measured foliations, Annals of
Mathematics, 115 (1982), 1, 169-200 [10] Л. Zorich, Asymptotic Flag of an Orientabte Measured Foliation on a Surface,
Proc. of Geometric Study of Foliations, Tokyo, Nov. 1993, World Scientific, Sin-
gapure, 1994, 479-498
5. Доказано, что совместные линии уровня (п — 1) замкнутых периодических 1-форм в ЇЇІ" обладают сильным асимптотическим направлением.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам в области слоении с инвариантной трансверсальпоп мерой, в области динамических систем на поверхностях, а также могут быть использованы для изучения проводимости в кристаллах.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях "Геометрические методы в математической физике" (С.-Петербург, ноябрь 1992 г.), "Геометрия слоений" (Токио, ноябрь 1993 г.), на научно-исследовательских семинарах в МГУ, на семинаре проф. Р. Занлера (Технический Университет, Берлин).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых представлен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих в себя 13 параграфов, и списка литературы. В тексте диссертации приведено 20 рисунков. Список литературы содержит 20 наименований. Общий объем диссертации — 93 страницы.
