Содержание к диссертации
Введение
Глава 1, Обобщенная задача прообраза 15
1.1 Введение 15
1.2 Постановка 15
1.3 Примеры 16
1.3.1 "Меры малости" множеств 16
1.3.2 Простейшие примеры 17
1.3.3 О задаче совпадения Брукса-Брауна 18
1.3.4 Более сложные примеры 19
1.3.5 Взаимосвязи разных задач ' 23
1.3.6 Перенос аппарата при помощи преобразований . 25
1.4 Классы Нильсена , 25
1.4.1 Поднятия и накрытия Хопфа 26
1.4.2 Определение, свойства 28
1.4.3 Классы Нильсена в терминах универсальных накрытий 29
1.5 Классы Реидемеистера 32
1.5.1 Посредством групп преобразований накрытий . 32
1.5.2 Посредством фундаментальных групп 33
1.5.3 Посредством накрытий Хопфа 34
1.5.4 7^-миожества , 35
1.5.5 Взаимосвязь классов Нильсена и Реидемеистера . 36
1.6 Топологическое число Нильсена , 36
1.6.1 Вспомогательные понятия и результаты 37
1.6.2 Определение, простейшие свойства 40
1.6.3 Классический случай 41
1.7 Индекс, алгебраическое число Нильсена 46
1.7.1 Индекс в общем случае 46
1.7.2 Случай многообразий 47
1.7.3 Алгебраическое число Нильсена 49
1.7.4 Число Лефшеца 50
1.8 Теоремы типа Янга 53
1.8.1 Результаты типа Брукса-Брауна 53
1.8.2 Основной результат 55
1.9 О локальной теории Нильсена , 60
Глава 2. Минимизация количества классов Нильсена 62
2.1 Введение , 62
2.2 Основная теорема 62
2.3 Примеры и следствия 63
2.4 Вспомогательные утверждения 66
2.5 Доказательство теоремы 2.1 71
Глава 3. Относительная задача прообраза 73
3.1 Введение . 73
3.2 Задача минимизации . 74
3.2.1 Относительные числа Нильсена 74
3.2.2 Минимизациопная теорема 77
3.3 Точки прообраза на дополнении 79
3.3.1 Слабо общие классы 80
3.3.2 Описание слабо общих классов в терминах универсальных накрытий 80
3.3.3 Поведение слабо общих классов при гомотопии . 84
3.3.4 Числа Нильсена для дополнения 85
3.3.5 Теорема одновременной минимизации 86
3.3.6 Замечание о минимизации на дополнении 88
3.4 Случай неизбегаемого подмногообразия 88
3.4.1 Избыточные точки прообраза 89
3.4.2 Избыточное число Нильсена 91
3.4.3 Теорема минимизации для дополнения 92
3.5 Следствия для других задач 94
3.5.1 Относительная задача корней 94
3.5.2 Относительная задача общего прообраза 95
3.5.3 Относительная задача совпадения набора отображений 96
3.5.4 Относительная задача неподвижной точки 98
3.6 Вспомогательные результаты 99
Глава 4. Числа типа Лефшеца для отображений сильно многообразно-подобных пространств 105
4.1 Введение 105
4.2 Сильно многообразно-подобные пространства 105
4.3 Числа типа Лефшеца 108
4.3.1 Задача прообраза 108
4.3.2 Задача пересечения 109
4.3.3 Расширение преобразований МакКорда 109
4.3.4 Теоремы типа Лефшеца 110
4.3.5 Числа типа Лефшеца для других задач 112
Глава 5. Общая неподвижная точка коммутирующих отображений отрезка 114
5.1 Введение 114
5.2 Пилообразные отображения 115
5.3 Кусочные отображения 118
5.4 Теоремы об общей неподвижной точке 122
5.5 Многочлены Чебышева 124
Список литературы 127
Введение к работе
История вопроса и актуальность темы
Одним из разделов теории неподвижных точек является задача минимизации количества неподвижных точек отображения / : X —> X пространства (полиэдра) X в себя в классе отображений, гомотопных данному (см. книги[34], [67], [ТІ])- С. Лефшец в первой из работ цикла [77]—[81], посвященного пересечениям двух подмногообразий многообразия, отметил этот вопрос как основную проблему в изучении отображений. Знаменитое число Лефшеца равно количеству неподвижных точек с учетом их "кратностей", которые могут быть и отрицательны. Таким образом, теорема Лефшеца является теоремой существования. Кроме того, равенство числа Лефшеца нулю, вообще говоря, не является критерием того, что отображение можно "освободить" от неподвижных точек, см. [87], [88]. Первым примером результата существенно иного типа является теорема Нильсена-Брауэра [90], [33] о минимальном количестве неподвижных точек отображения двумерного тора в себя в классе гомотопных данному отображений. Идеи работ Нильсена [90], [91] состояли в том, чтобы разбить множество неподвижных точек на классы (Нильсена), каждому классу приписать некоторый индекс (позднее, с помощью техники работы Хопфа [58], определение индекса распространили на полиэдры [41], [34]) и определить число (Нильсена) Na(f) как количество классов с ненулевым индексом. Предположение Нильсена о гомотопической инвариантности этого числа было доказано Векеном [104], таким образом, число Нильсена дает нижнюю оценку "геометрического количества" неподвижных точек: NJf) ^ min|Fix(#)|. Идеи Лефшеца и
Нильсена получили дальнейшее развитие в работах Рейдемейстера [92] и Векена [105], [106]; подробный исторический обзор содержится в [38]. Векен же получил [10G] теорему, позже усиленную Янгом [Об], о точности этой оценки в случае, когда X является многообразием размерности не менее 3. Теорема Лефшеца о совпадениях [81] также является теоремой существования. Начала теории типа Нильсена для этой задачи были положены в работах [45], [94], см. обзор [2].
Теория типа Нильсена для задачи корней была развита уже Хопфом [57], однако широкое распространение получила лишь после (независимой) работы Брукса [28], см. также обзор [31], книгу [71].
Позже множеством авторов, посредством аналогичных методов, изуча- лись задачи пересечения [84] и прообраза [40], [65].
Возможно дальнейшее обобщение этих постановок, например, так называемые относительные задачи, когда рассматриваются отображения пар (см. статьи [96], [98] и обзоры [100], [113] для задачи неподвижных точек, работы [63], [64], [56] для задачи совпадения и [109], [ПО], [39] для задачи корней); статья [101] посвящена задаче неподвижных точек для отображений триад. В относительных задачах, помимо вопроса о минимизации общего числа точек нужного вида (неподвижных, совпадения) при гомо-топиях отображений пар, также исследуется вопрос о минимизации числа таких точек, лежащих на втором пространстве пары или в дополнении к нему [111], [112], [76].
В связи со сказанным возникают следующие вопросы.
Задачи совпадения и корней являются частными случаями задачи прообраза. Они также тесно связаны (см. [86]) с задачей пересечения. Интересно поставить обобщенную задачу прообраза, объединяющую задачи неподвижной точки, совпадения, пересечения, корней, а также их относительные варианты.
Важно рассмотреть относительную задачу прообраза — это позволило бы объединить и обобщить результаты, известные для задач совпадения и корней.
Содержательные результаты об относительных задачах совпадения, корней известны лишь для отображений пар многообразий (о задаче неподвижной точки — полиэдров); кроме того, для совпадений и корней обычно ограничиваются простейшим случаем — равных размерностей отображаемого пространства и пространства-образа, так что рассматриваемое множество точек, вообще говоря, конечно. (Отметим, однако, работы У. Ко-шорке [73], [74], посвященные задаче совпадения при различных размерностях.) Потому и относительную задачу прообраза имеет смысл рассматривать лишь для пар многообразий, при соответствующих размерностных ограничениях. В случае же общих топологических пространств, а также произвольных размерностей, можно поставить, первоначально — для классической (не относительной) задачи прообраза, более простой вопрос: о возможности одновременного "уничтожения" всех топологически несущественных классов Нильсена. Для задач корней и совпадения этот вопрос был рассмотрен Р. Бруксом [30]. Укажем также на работу [47], где (для задачи корней) ставится и изучается вопрос о возможности одновременной минимизации всех классов Нильсена, т.е. о существовании такой го-мотопии, что все классы одновременно достигают своего минимального количества точек (в частности, все топологически несущественные классы одновременно исчезают).
Важным продвижением является объединение и обобщение теорем Брукса, т.е. получение аналогичного результата для задачи прообраза.
Результаты Брукса получены для локально линейно связных пространств. Б случае пространств с "плохой" локальной структурой развить теорию типа Нильсена уже не удается. Однако для пары отображений сильно многообразно-подобных пространств (термин введен в диссертации) известно определение числа типа Лефшеца: его отличие от нуля гарантирует существование точки совпадения [4]. Представляет интерес введение аналогичного числа для задачи прообраза. Отметим, что каждая компактная связная конечномерная группа согласно теоремам Понтрягина и Баума [22] является сильно Go-подобной, где Gq — некоторая группа Ли. Другому специальному классу сильно Go-подобных пространств, называемых обобщенными соленоидами, посвящена работа [5].
Вопрос о существовании общей неподвижной точки коммутирующих отображений континуума в себя рассматривается во многих работах, см. статьи [44], [61], [27] для отрезка, работы [62], [53], [54] для деревьев и (А)-дендроидов. Грэй и Смит поставили [54] вопрос о существовании общей неподвижной точки у семейства коммутирующих открытых отображений дендрита в себя. Интересно обобщить известный результат Фолкмана [44] на случай более чем двух отображений, получив тем самым ответ на ослабленный вопрос Грэя-Смита (для отрезка). В такой ситуации важно учитывать динамику отображений, поэтому необходимо применение соответствующих методов.
К исследованиям Ритта [93] восходит перечисление всех пар коммутирующих многочленов, см. [26] (которое позволяет исследовать существование общей неподвижной точки на прямой действительных и плоскости комплексных чисел). Интересно получить "непрерывный" аналог теоремы Ритта о коммутирующих многочленах.
Решению перечисленных вопросов и посвящена данная работа.
В данной работе леммы, предложения, теоремы, следствия и замечания имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер леммы (предложения, теоремы, следствия, замечания) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом.
Обозначения и соглашения Пространства
Для полиэдра X через Х^ обозначается его га-мерный остов; / — отрезок [0,1]; Шп — n-мерное евклидово пространство; В\ (-0) — открытый (замкнутый) шар радиуса R в Rn, для R = 1 пишем также Dn {Dn),
Через Хп обозначается произведение п копий пространства X; если А С X, то ДА С Хп — образ А при диагональном произведении п вло-жений А <-) X. Для подпространства А С X через дА (А, Л, X — А) обозначается граница (замыкание, внутренность, дополнение) А в X.
Говоря о і-сечении подмножества М С X х /, имеем в виду множество [M]t = MnXx{t}.
Символом х{Х) обозначается эйлерова характеристика пространства X.
Отображения
Как обычно, idx — тождественное отображение пространства X; fg — композиция отображений /, д. Символ Д{Д} обозначает диагональное произведение отображений семейства {fs}- Через prjY обозначается отображение проекции произведения топологических пространств, одно из которых X, на X.
Для топологических пространств X, Y через С(Х, Y) обозначается множество всех непрерывных отображений X —> Y, снабженное компактно-открытой топологией.
Гомотопии
Для гомотопии F : X х / -> Y и числа t Є I через Ft (а также F(-,t)) обозначается отображение X —У У, х н> F(x, t).
Символом ~ обозначается гомотопия отображений или гомотопия путей (относительно концов, если не указано другое); [а] — гомотопический класс пути а (относительно концов); а /3 — композиция путей а, /?; вообще, F G — "композиция" гомотопии F, G : X X / -» У, где F\ — Go, т.е. отображение, действующее по формуле (x,t) ь-> F(x,t) при t Є [О, j] и (х,і)н- G(x,t) при f Є [|, і].
Опуская отмеченную точку в обозначении (относительных) гомотопических групп, подразумеваем, что соответствующее пространство линейно связно.
Запись 7Гі(Х, А) — 0 означает, что X 1-асферично относительно А [60], т.е. индуцированное вложением оображение щ(А) -> щ{Х) сюръективно.
Для отображения пар / : (Х,Хо) -» (У,Уо) пусть /о — ограничение f\x0 Xq -) У"о. Гомотопии вида (Х,Хо) х / -> (У, У0) называются гомо-топиями отображений пар или относительными гомотопиями, а для относительной гомотопности отображений используется знак ~. Однако, говоря о том, что отображения /, д : (X, Хо) -» (У, Yo) гомотопны относительно Хо, подразумеваем, что существует такая связывающая их гомото-пия {ht} : {Х,Хо) X I -* (У,Уо), что для всех t Є I имеем (ht)\x0 = f\xa (в частности, f\Xo = д\ха)-
Говоря о гомотопической эквивалентности, гомеоморфизме, диффеоморфизме пар (троек, четверок) пространств, имеем в виду отображение пар (троек, четверок), обладающее обратным в соответствующей категории. Я-инвариантность, где И С С(Х х I,Y) — некоторое семейство гомотопии, означает инвариантность относительно всех гомотопии из семейства "К.
Прочее
Символами N (Z, Щ обозначаются множества натуральных (целых, вещественных) чисел (тем же символом Ъ обозначается группа целых чисел).
Через = обозначается гомеоморфизм и диффеоморфизм (из контекста ясно, что именно подразумевается).
Волна над символом пространства означает его универсальное накрытие, над символом отображения — его поднятие в универсальные накрытия; Dx — группа преобразований универсального накрытия рх : X -> X.
Символами Нт (Нт) обозначаются сингулярные (ко)гомологии, а символом Нт — когомологии Чеха (если коэффициентны не указаны, подразумевается группа Z); lim (Ига) — предел обратной (прямой) последовательности топологических пространств (групп).
Для подгрупп G\, (?2 группы G через G/(Gi;Ga) обозначается множество классов разложения группы G по двойному модулю (Gi^G^).
Через \М\ обозначается мощность множества М.
Другие обозначения также стандартны или приводятся в работе по необходимости.
Соглашения
Предполагается, что все рассматриваемые пространства хаусдорфовы и нормальны, многообразия — без края (как обычно, со счетной базой), отображения непрерывны. Иногда непрерывность подчеркивается специально, но лишь затем, чтобы показать, что от отображения не требуется специальных свойств. По необходимости указывается, являются многообразия гладкими или же топологическими. Говоря, что многообразие М является подмножеством многообразия N (или что (JV, М) —- пара многообразий), мы всегда подразумеваем, что М есть подмногообразие N (в соответствующей категории).
Краткое содержание работы
В первой главе ставится и исследуется обобщенная задача прообраза, частными случаями которой являются многие известные задачи. Указана связь между этими задачами и задачей совпадения в постановке Брукса-Брауна. Получено новое описание классов прообраза в терминах накрытий и поднятий Хопфа, обобщающее известное описание Брукса и Хопфа классов Нильсена задач корней и совпадения. Доказано свойство инвариантности по гомотопическому типу отображаемых пространств для топологического числа Нильсена Nt(f, В) классической задачи прообраза. Даны разные интерпретации числа Рейдемейстера, либо отсутствующие, либо обсуждаемые вскользь в имеющихся публикациях других авторов. Получены условия типа Янга "равноправности" всех классов Нильсена обобщенной задачи прообраза.
Во второй главе изучается задача минимизации числа классов прообраза, рассмотренная для задач корней и совпадения Бруксом: дано непрерывное отображение / : X —> Y Э В, требуется вычислить или оценить значение выражения
МРсі(/, В) — mm |{классы Нильсена множества д~1(В)}\.
Основной результат главы — теорема, объединяющая и обобщающая результаты Брукса. Сформулируем ее:
Теорема 2.1. Пусть f : X -4 Y D В — непрерывное отображение, причем пространства X, Y связны, локально линейно связны; более того, Y полулокально односвязно; пространство В связно, локально линейно связно и замкнуто в Y, aY — В линейно связно. Пусть для некоторого целого п ^ 3 пространство X доминируетсл полиэдром размерности не выше п и тгт(У, Y — В) = 0 для всех 1 ^ т ^ п — 1. Тогда существует такое отображение g ^ f', что все классы прообраза задачи g : X -4 Y D В топологически существенны; в частности, их количество равно Nt(f, В), m.e.Nt{f,B) = MPd(f,B).
Третья глава посвящена относительной задаче прообраза: пусть / : (Х,Хо) -> (У>Уо) ~~ непрерывное отображение пар топологических пространств, (В, Во — ВПУо) С (У, Yq) — пара подпространств; требуется оценить величину MPvM,B) = mm\g-l(B)\ (в отличие от классической задачи прообраза, где для отображения / : X —> Y э В рассматривается число МР(/, В) = min|g-1(B)|, здесь минимум берется по всем отображениям, относительно гомотопным /, т.е. гомотопия имеет вид f ~ g : (X, Хо) х I -> (Y, Yq)).
В предположении, что X, Xq,Y,Yq, В, Вд — гладкие ориентируемые замкнутые многообразия и dimX — dim У — dim В, dimXo — dimYo- dim So, в работе определены относительные числа Нильсена NTe]^(f, fa, В, Во), NtAtAft Л і В, В0), JVrel,+,a(/» /О, В, В0), JVreI,a,t(/t Л, В, Во), Ntd,t,t{fi Л і S, Д)), iVreii+it(/, /о, В, Во), обобщающие классические числа Нильсена JVa(/, В) и Nt{f,B) для задачи прообраза (см. статью [40]) и оценивающие снизу число МРгеі(/, В). Получена теорема одновременной минимизации на всем многообразии X и на подмногообразии Хо:
Теорема 3.1. Пусть / : (Х,Х0) -> (У,Уо) Э (В, Во = В ПУ0) — непрерывное отображение, X, Хо, У, Yq, В, Во — гладкие ориентируемые замкнутые многообразия, dimX = dim У - dim В ^ 3, dimXo = dimyb - dim Во, подмногообразие Хо избегаемо в X, JVa(/o,Во) = МР(/о,Во), dimB ф 1. Тогда существует такое отображение g ~ f, что \g-\B)\ = XreU,a(/,/о,В,Во) и \до\В0)\ = Ха(/0,В0).
Также определены числа Нильсена для дополнения: Ха(/, X — Хо,В), Xt(/,X" - Хо, В), Х+(/,X - Хо, В), оценивающие снизу число
МРге1(/, X - Хо, В) = min ) П (X - Х0)|; доказана теорема одновременной минимизации на всем многообразии X и на дополнении к подмногообразию Хо:
Теорема 3,2. Пусть f : [X,Xq) -ї (Y,Y0) D [B,Bq — BHYq) — непрерывное отображение, X, Xq, Y, Yq, B, Bq — гладкие ориентируемые замкнутые многообразия, dimX — dim У — dim і? ^ 3, dimXo = dimYo — dim Bo, подмногообразияXq uBq избегаемы в X uYq соответственно, Ага(/о, #o) — MP(/o, Bq), dimS ф 1. Тогда существует такое отображение g w f, что \g-\B)\ = JVrolAa(/, /о, В, Во) и ) П (X - Хо)\ = ВДX - Х0, В).
Кроме того, доказана теорема о минимизации числа точек прообраза на дополнении к подмногообразию Xq (без предположения о его избегаемое в X); в качестве следствий полученных результатов выведены (с некоторыми отличиями) известные утверждения других авторов.
В четвертой главе рассматриваются отображения сильно многообразно-подобных пространств. Для задач прообраза и пересечения введены числа типа Лефшеца и доказана соответствующая теорема.
В пятой главе доказаны теоремы об общей неподвижной точке коммутирующих отображений отрезка / — [0,1] в себя.
Теорема 5.3. Пусть отображение f — кусочное порядка не менее 2, fa — кусочно-монотонные с конечным числом интервалов монотонности, g непрерывно и все они коммутируют. Тогда у f, {/<*}, g существует общая неподвижная точка.
Понятие кусочного отображения приведено в диссертации: Определение 26. Функцию /;/—>/ будем называть кусочной, если отрезок / можно так разбить точками 0 = ао < а\ < ... < ап — 1, что для каждого г — 0,..., п — 1 ограничение /|[аі,аі+І] : [(іі, сц+і] -> I является монотонным сюръективным отображением. Число п интервалов монотонности назовем порядком /.
Открытое отображение отрезка в себя является кусочным; таким образом, приведенная теорема обобщает результат Фолкмана и дает частичный ответ на вопрос Грэя-Смита.
В случае наличия в семействе кусочного отображения четного порядка эту теорему можно усилить:
Теорема 5.4. Пусть / — кусочное отображение четного порядка, fa — кусочно-монотонные с конечным числом интервалов монотонности, g непрерывно. Пусть f коммутирует с каждым из отображений {/й}, д. Тогда у f', {fa} j 9 имеется общая неподвижная точка.
Подчеркнем, что здесь не предполагается, что отображения fa, д коммутируют между собой.
Кроме того, в пятой главе описаны непрерывные функции, коммутирующие с многочленом Чебышева (здесь имеется в виду ограничение Т„|[_і ц : [-1,1] ~> [-1,1]):
Следствие 5.4. Если отображение д : [-1,1] -> [—1,1] коммутирует с многочленом Чебышева Тп степени п ^ 2, то имеет место одно из следующих условий: g — постоянное отображение; п четно и g(x) = Тт(х) для некоторого т; п нечетно и g{x) = Тт(х) для некоторого т; п нечетно и g(x) = ~Тт(х) для некоторого т.
Результаты диссертации неоднократно докладывались на конференциях и семинарах. Перечислим сначала конференции:
26-ая и 28-ая конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2004, 2006),
5-й международный топологический симпозиум г. Зиген (Германия) "Многообразия и их Отображения" (2005), конференция "Колмогоровские Чтения - IV" (Ярославль, 2006), международная конференция "Александровские Чтения" (Москва, 2006), "Международная конференция по топологии и приложениям-2006" в г. Аэгион (Греция).
Укажем теперь семинары: научно-исследовательский семинар по общей топологии им. П.С. Александрова (семинар кафедры общей топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ) под руководством профессоров В.В. Федорчука, Б.А. Пасынкова, В.И. Пономарева и В.В. Филиппова (2001, 2004, 2005, 2006), семинар кафедры топологии математического факультета Рурского университета г. Бохум (Германия) под руководством профессоров Г. Лауреса, Р. Штокера, Г. Вассермапна (2004, 2005), семинар кафедры топологии математического факультета университета г. Зиген (Германия) под руководством профессора У. Кошорке (2005).
Тематика работы была поддержана РФФИ (гранты N 00-01-00304, 02-01-06596, 03-01-00705) и DAAD.
Основные результаты данной диссертации опубликованы в 6 работах автора [114]-[119].
Я выражаю свою глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору С.А. Богатому, который руководит моей работой со второго курса, за постановку интересных задач, постоянную помощь и внимание.
Мне приятно выразить свою признательность всем сотрудникам кафедры общей топологии и геометрии Московского университета за поддержку.
Классы Нильсена
Здесь мы получим новое описание классов Нильсена прообраза в терминах накрытий и поднятий Хопфа, а также подробно изучим описание классов Нильсена в терминах универсальных накрытий, до сих пор обсуждавшееся в литературе лишь мельком. Отметим, что можно развить локальную теорию Нильсена, аналогично данной в [43] для задачи неподвижных то чек; в работе [108] выявлена связь этой теории с теорией Нильсена для продолжений отображений [35]. Мы почти не будем заниматься локальной теорией; в разделе 1.9 будут приведены лишь некоторые "локальные" понятия и результаты, необходимые для главы 3. Подчеркнем, что для разделов L4, 1.5 неважно, какое именно семейство % зафиксировано. Изучим сперва одно важное вспомогательное понятие, (5) если f — поднятие Хопфа для / и {ft} — такое поднятие гомотопии {ft} : fo = f fi, что /о — /, то f\ является поднятием Хопфа для Л Доказательство. (1) Возьмем произвольную точку XQ Є X и накрытие р : У -У У, соответствующее подгруппе /#(7ҐІ(Х,ЖО)) С 7Гі(У,/(жо)). Итак, для некоторой точки у0 Є p 1(f(x0)) имеем р#(7Гі(У,уо)) = 1#Ы(Х1хо)) [15, теорема 2.3.6]. Тогда согласно [15, теорема 2.4.5] существует такое поднятие f : X 4-У отображения /, что /(жо) Ш- (Отметим, что подня-тие / не обязательно единственно, из-за возможной неоднозначности в выборе точки щ.) Итак, p#{ i{Y,f(xo))) = f#{-K\{X, XQ)). Так как X линейно связно, равенство р#(7Гі(У,/(ж))) — /#(тгі(Х, х)) справедливо для каждой точки х X. Действительно, возьмем путь 7 : {/, 0,1) - (X, х, XQ)\ тогда (2) очевидно, см. [9, следствие V.6.4]. (3) Возьмем произвольную точку XQ Є X. Имеем: Значит [9, следствие V.6.4], существует такое преобразование р накрытия pf : У/ - У, что /(1)Ы - р/(2)Ы-
Поэтому/(1) = р/ 2 [15, теорема 2.2.2]. (4) докажем одновременно с (5), используя обозначения: (У/,Р/) — на крытие Хопфа для /, {/(} : /о = / /і — гомотопия. Возьмем произволь ную точку хо Є X. Согласно [15, теорема 1.8.7], имеем где и : (/,0,1) - (XJI{XQ)J(X())) определено формулой w(t) = fi{xo). Тогда, полагая (j(t) = /i_t(xo)j получаем - MP it /M))- 1] = М-/#(ЇГІ(А-,ХО))-[И = (/0 ()). Отсюда, так же как и в доказательстве пункта (1), вытекает необходимое утверждение. D Здесь снова предполагается, что топологические пространства X, У связны, локально линейно связны и, кроме того, У полулокально односвязно. Определение 2. [40, Definition (1-2)] Точки о,жі Є /_1( ) эквивалентны (по Нильсену), если существуют такие пути а : (7,0,1) - (X,XQ,X\) и 13 : (/,0,1) -і- (У,/(х0),/(жі)), что j3(I) С В и fa /? (гомотопия в Г). Классы эквивалентности называются классами Нильсена или классами (точек) прообраза задачи (отображения) / : X - Y D В. Из теоремы 1.2 (см. ниже) вытекает такая интерпретация классов (см. [57, Satz III] для задачи корней): Следствие 1.1. Пусть (У,р) и / — накрытие и поднятие Хопфа для отображения f : X » У . Тогда: (1) точки х$,х\ Є /_1(Б) эквивалентны по Нильсену тогда и только тогда, когда точки f(xo), /(#i) лежат в одной компоненте линейной связности множества р 1(В); (2) классы Нильсена задачи / : X - У D В суть непустые множества вида /-1 (С), где С — компонента линейной связности множества р-Имеет место следующее важное утверждение, см, [57, Satz II, Па], [31, Theorem (3.5), Corollary (3.6)] для задачи корней. Следствие 1.2. Пусть (дополнительно к общим предположениям этого раздела) В локально линейно связно. Тогда каждый класс Нильсена задачи / : X - Y D В открыт и замкнут в f 1(B). В частности, если множество /_1(73) компактно, то количество классов Нильсена конечно. Доказательство. Достаточно доказать, что каждый класс открыт в мно жестве точек прообраза. Пусть х Є J 1 (В). Возьмем такую открытую окрестность Vi С У точки f{x), что каждые два пути в У\ с началом в f(x) и одинаковыми конечными точками гомотопны в У. Пусть W С В П У\ — открытая (в В) линейно связная окрестность точки f{x). Тогда W = У ПВ для некоторого открытого множества V2 С У.
Обозначим У — У\ П Уг. Возьмем такую открытую линейно связную окрестность U С X точки х, что f(U) С У. Пусть у UDf l(B). Возьмем пути a : (/,0,1) - {U,x,y) и /? ; (7,0,1) -+ (WJ(x),f(y)). Тогда образ fa : (7,0,1) - (VJ{x)J{y)) гомотопен (в У) пути j3\ таким образом, точки х, у принадлежат одному классу Нильсена. П Следствие 1.3. Пусть (дополнительно к общим предположениям этого раздела) В локально линейно связно и выполнено хотя бы одно из следующих условий: (1) X компактно, а В замкнуто в Y; (2) f собственно, а В компактно. Тогда количество классов Нильсена конечно. Напомним, что непрерывное отображение топологических пространств / : X - Y называется собственным, если прообраз /_1(С) каждого компактного в Y множества С компактен в X. Доказательство. В обоих случаях множество f l(B) компактно. Приме нение следствия 1.2 завершает доказательство. Замечание 1.2. В предположениях и доказательстве [40, Theorem (1.3)] содержится другой набор условий на пространства X, Y, В, обеспечивающий открытость классов Нильсена и конечность их количества.
Теоремы типа Янга
Здесь мы получим условия типа Янга (см. [34, VII], [67, Chapter II, 4], [71, Chapter III]) топологической/алгебраической "равноправности" всех классов Нильсена обобщенной задачи прообраза. 1,8.1 Результаты типа Брукса-Брауна В этом пункте мы приведем понятия и результаты, являющиеся аналогами данных Бруксом и Брауном [32]. Пусть пространства X, В связны, локально линейно связны, X компактно (так что число классов Нильсена для f : X Y D В конечно), а У линейно связно, полулокально односвязно. Пусть J(XQ) — bo & В. Обозначим При % = С(Х X /, У) будем писать просто T(f, хо). Множество T(f, %, XQ) является подгруппой ni(Y, bo), в определенном смысле не зависящей от выбора точки хо (см, [67, lemma 3.9] для неподвижных точек; в этом случае эта группа носит имя Янга; для / — id это группа Готтлиба). Отметим еще, что изоморфизм группы 7Гі(У,&о) и группы преобразований универсального накрытия пространства У позволяет дать другую интерпретацию для T{f,H,x0) (см. [67, П.З]). Пусть Т(/, М, XQ)/R — множество всех классов Рейдемейстера 7Гі (У, bo)/R (см. раздел 1.5,2), имеющих представителя в Т(/, H XQ). Определение 12. Число J(/,%,I?) = \(T(f,?{,xo)/R)\ назовем числом Янга для обобщенной задачи прообраза / : X -» У D В,%. Согласно сказанному выше, это определение корректно (правая часть формулы не зависит от точки XQ Є f 1(B)). Как и раньше, в случае полного семейства И соответствующий символ будем опускать. Определение 13.
Классы Нильсена Ло, Лі С /-1(В) называются 7І-эквивалентными по Янгу, если Ло {ft}-соответствует А\ для некоторой гомо ТОПИИ {ft} Є 4f. Замечание 1,7. "Н-эквивалентные по Янгу классы одновременно топологически существенны или топологически несущественны; кроме того, их индексы равны (в случае, когда индекс определен). Следующий результат вытекает из [32, теоремы 1,4]. (Отметим, что и наоборот, теоремы Брукса-Брауна, используемые в этом доказательстве, вытекают из данного утверждения.) Предложение 1,22, (1) Если iVt(/, %,В) ф О, то имеет место иераееп (2) Если группа 7Гі(У,бо) абелева, то J{f H}B) делит каждое из чисел Доказательство. Рассмотрим задачу совпадения, в которую переходит данная задача / ; X - У Э В при преобразованиях МакКорда. Это /ь/2 : X х В -» У, где /i = /prx, /2 = inclprB. Соответствующее семейство допустимых гомотопий % состоит из всех таких отображений (Я , F ) еС{ХхВх1Х)х С{Х х В х /, У), что Н : X х В х I -4 У имеет вид (я, 6, t) н- Я (я, 2), где Я : X х 7 - Г, Я Є Я, a F : X х Б х / - У имеет вид (ж, 6, ) н-» 6. Имеем (см. раздел 1.3.6): і(/,Я,В) = і(/і,/2,Я ), mB) = 4fi,f2),Nt{f,n,B) = NCt(fi,h,n ). (Здесь /(/1,/2, Я ) и 11(/1,/2) — числа Янга и Рейдемейстера задачи со впадения /і, /2 : X X Л - У, см. [32] и раздел 1,3.6.) Нужные результаты вытекают теперь из [32, теоремы 1,4]. Тогда либо все классы прообраза являются Н-несущественными, то есть t(/j ! В) — О, либо все классы прообраза являются И-существенными и ВД,Я,В} = Щ/,Б). Доказательство. Если iVt(/, Я, В) — О, доказывать нечего. Предположим, что Nt(f,H,B) 0, Согласно п.(1) предложения 1.22, имеем J(/, Я,В) Nt(f, Я, В). Но из предположения вытекает, что J(/, Я, В) = R(/, 5). Вме сте с предложением 1.9 отсюда вытекает, что iVt(/, Я, В) = R(/, В), в част ности (т.к. в силу компактности X число классов Нильсена конечно), все классы прообраза являются Я-существенными, D 1.8.2 Основной результат Теперь мы дадим другое, как мы увидим — более слабое, чем в формулировке следствия 1.8, условие Я-"равноправности" всех классов Нильсена. Оно извлечено нами из идей [39, lemma 4,6]. В данном пункте предполагаем, что топологические пространства X, Y связны, локально линейно связны, и, кроме того, Y полулокально одно связно. Пусть дана задача / : X -4 Y D В, Я. Пусть р : Y - Y, f : X - Y — накрытие и поднятие Хопфа. Отображение р : Y - Y индуцирует отображение р : С(Х xI,Y) —У С(Х xI,Y). Прообраз р Н подмножества Я при этом отображении можно мыслить себе как набор всех поднятий в Y гомотопий семейства Я. Заметим, что / Є р Я. Теорема 1.4. Пусть BR, BR — компоненты линейной связности множества р 1{В), Я = /_1(Вл) ф 0, Я! = ! 1{BRI). Каждое из приводимых ниже условий влечет последующее: (1) существует такал гомотопия U : Y х I - Y, что (Уі) (р 1 Н) С p:1ntVQ = idf,V{1{Ba) = BR; (2) существует такая гомотопия Н : X х I Y, что Н Є К, Щ = J, причем для ее поднятия В : X х І -ї Y, начинающегося в Но = f, имеем Н\ = Ф/ для некоторого такого отображения Ф : Y - Y, что Ч-\Ви) =Впи ФДр;1 ) С р П; (3) если R является топологически Л-несущественным классом, то и R является топологически Ті-несущественным классом (или пусто). Здесь отображения ) : C(XxI,Y) - С(Хх/,У Ф : C(XxI,Y) -J-С(Х х /, Y) индуцированы U\ и Ф соответственно. Доказательство. Импликация (1) = (2) очевидна: достаточно взять Н — pU{f х idfr H = U(jx fy), = UL (2) = (3).
Будем считать, что R! ф 0. Пусть Яц — тот класс прообраза задачи Л : X х / — Y D В, для которого 0-сечение [І?я]о — # - Тогда ([%]оНДя ) = , значит, [Ля]0 С #_1(Дя ). Поскольку Yjj = Y (предложение 1.2), то RJJ H l{Bj ). Тогда Согласно предположению, R как класс прообраза отображения / является -несущественным. Итак, существует такая гомотопия К : X х I — Y D В, что /Со — /, и для некоторого класса RK прообраза имеем \RK\U = R, Щк]х = 0- Пусть К : X х / - Y — поднятие К с началом KQ — f. Так как Значит (в силу Y% = К, см. предложение 1.2), RK = К-1{Вп). Определим гомотопию L : X х I - Y формулой
Задача минимизации
В этой главе / : (X, XQ) (У, Уо) — непрерывное отображение пар топологических пространств, (В, Во = В Л Уо) С (У, YQ) — пара подпространств. Задача минимизации состоит в оценке величины MPrcl(/,B) = mm 1 (5)(. Подчеркнем, что здесь, в отличие от классической задачи прообраза, минимум берется по всем отображениям, относительно гомотопным /, т.е. гомотопия имеет вид f д : {X,XQ) х / - (У,Уо)- Классическая ("абсолютная") задача прообраза является частным случаем относительной при XQ = X и YQ = У, или при XQ = YQ = $. Ясно, что МРтс1(/, В) МР{/, В) (предложение 1.13). Но число МРгеі(/, В) может быть значительно больше, чем МР(/,); числа Na(f,B), Nt(f,B), JV+(/, В), вообще говоря, не дают точной оценки МРГС](/, В), поэтому нам необходимы новые, лучшие, оценивающие инварианты. Соглашение. На протяжении всей главы, если не указано иное (см., например, раздел 3.4.3) X, XQ, Y, YQ, В, BQ — гладкие ориентируемые замкнутые многообразия и Напомним, что, говоря о многообразии М как подмножестве многообразия N (или что (N, М) — пара многообразий), мы всегда подразумеваем, что М есть подмногообразие JV (в соответствующей категории). Относительная задача "состоит" из двух взаимосвязанных задач прообраза: / : X - У э В и /о : Х0 - У0 Э 0, где /0 = f\Xo. Из определения 2 с очевидностью вытекает, что каждый класс Нильсена задачи /о : XQ -» Уо Э BQ содержится в некотором классе задачи / : X - У Э В. Пусть Ncom if, /о, В, В0) (-/Vcl)m,t,a(/, /о, В, В0) и WCom,+,a(/, /о, В, В0)) — количество алгебраически существенных {соответственно топологически и топологически относительно существенных, см. определения 10, 4, 5) классов прообраза задачи / : X -4 У D В, содержащих алгебраически существенный класс прообраза задачи /о : XQ - Уо Э BQ, a iVCom,a,t(/) Лі В, BQ) (соответственно AUu,u(/,/o,-8,A)) и com,+,t(/,/o,S,j50)) — количество алгебраически существенных (соответственно топологически и топологически относительно существенных) классов прообраза задачи / : X - Y D
В, содержащих топологически существенный класс прообраза задачи Для относительной задачи корней, т. е. при одноточечном В = Во, числа tfreuatf, /о, В, 50), JVrelitia(/, /0, В, В0), iW(/ /о, В, Во), JW/, /о, В, В0) совпадают с относительным числом Нильсена из работы [109], а числа Wrei.+.alf./o.BjBo), A ii+jt(/,/o,B,Bo) — с инвариантом, введенным в [39, определение 2.2]. Заметим еще, что ЛЦуІ/, /о, В, В0) и iVreii+,t(/, /0] В, Во) определены (но, возможно, бесконечны) и в случае произвольных топологических пространств. Предложение 3.1. (1) Числа NreU (fJQ,B,BQ), Nve[M{f,fo,B,Bo), JV«i,+,a(/, /о, В, Во), iVreW(/, /о, В, В0), JVrd,tlt(/, /0} В, В0), JV«i,+,t(/, /о, В, В0) инвариантны при относительных гомотопиях. (2) Имеют место неравенства ЛіфцЛ/. /О, 5 В0) JVxd.t.aC/, /О, В, Во) Лы,+,а(/, Л, В, В0) МРге1(/, В), JW(/, /о, В,В0) iVrei,t.t(/,/о, В, Во) iVrei,+,t(/,/о, В,В0) МРге1(/,В), w каждое из чисел первой цепочки не превышает соответствующего числа второй цепочки. Доказательство. (1) В силу предложений 1.18, 1.12 достаточно доказать инвариантность Ncom (f, /0, В, В0), iVcom,t,a(/, /о В, В0), Л от,+,а(/, /0, В, Во), - com,a,t{/,/o,B,B0), com,t,t(/,/o,B,B0), Ncom,+yt(f,f0,B,BQ). ЭТО легко получается аналогично рассуждениям [96, теорема 3,3]. Для примера рассмотрим число Ncom UA{fJo,B,B0). Именно, пусть Н ; (Л",Х0) х / - (У,К0) — гомотопия, #(:г,0) = f(x), Н(х,1) = ?(z). Пусть F — алгебраически существенный класс /, содержащий алгебраически существенный класс FQ отображения /о- Тогда существуют алгебраически существенные класс G прообраза д, //"-соответствующий классу F, а также класс Go прообраза до, Яо-соответствующий классу Fo (где #о — В\х0), см. предложение 1.15. Однако из определения Я-соответствия (см. п.(2) теоремы 1.2) вытекает, что Go С G. Отсюда вытекает нужное утверждение. Оставшиеся пять чисел рассматриваются аналогично. (2) Докажем справедливость неравенств первой цепочки. Алгебраически существенный класс прообраза основной задачи является топологически существенным, а топологически существенный — топологически относительно существенным. Отсюда вытекают первые два неравенства цепочки.
Докажем третье неравенство. В силу п.(1) достаточно показать, что tfnd,+,a(/)/oiB,Bo) 1/-1(Я)1- Нам гарантировано наличие iVa(/0,Bo) алгебраически существенных точек прообраза отображения /о. Далее, разность N+(f, В) — Ncamt+iB_(f, /о, В, Во) есть количество топологически относительно существенных классов Нильсена задачи / : X — Y Э В, не содержащих алгебраически существенных классов задачи /о : XQ — Yo D BQ. Значит, каждый такой класс дает хотя бы одну еще не учтенную точку, откуда получается последнее неравенство цепочки. Неравенства второй цепочки доказываются аналогично. Покажем, что iVrc]Aa(/, /0, В, В0) Л Д/, /о,В, В0). Это неравенство равносильно следующему: iVcom,a,t(/, /о, В, Во) - А сот,а,а(/, /0) В, В0) ВД, В0) - ВД, В0). Разность слева есть количество алгебраически существенных классов прообраза задачи / ; X — Y Э В, не содержащих алгебраически существенных классов задачи /о : Хо — YQ Э Во, но содержащих топологически существенный класс этой задачи (который, следовательно, не является алгебраически существенным). Ясно, что это значение не превышает количества топологически существенных классов прообраза задачи /о : Хо - Yo D BQ, не являющихся алгебраически существенными, т. е. числа Nt(/o, Во) - Na(/o) Во). Неравенство доказано. Оставшиеся два неравенства получаются аналогично. О 3.2.2 Миїїимизациошіая теорема Дадим достаточное условие того, что оценка NTC\j&t&(f, /о, В, BQ) МРгеі(/, В) точна. Более того, наша теорема позволяет достичь наименьшего количества точек прообраза одновременно на всем пространстве X и на подпространстве XQ, Важную роль в этой задаче играет свойство избегаемое (см. определение 18 и замечание 2.2). Ниже (в разделе 3.4.3) мы отдельно рассмотрим неизбегаемый случай. Теорема 3.1. Пусть / : (X, XQ) -» (У, Y0) D {В,В0 = ВП У0) — непрерывное отображение, X, XQ, Y, Y$, В, BQ — гладкие ориентируемые замкнутые многообразия, dimX — dimy — dimB 3, dimXo = dimVo — dim g, подмногообразие XQ избегаемо e X, Xa(/0, Д)) = MP(/o,-B0), dim В ф 1.
Тогда существует такое отображение g f, что Доказательство. Применим к отображению / лемму 3.1 (см. раздел 3.6). Обозначим окрестность из этой леммы через U, отображение — снова через /. Имеем 1/ (5())1 = Ха(/0,В0). Рассуждения [40, п. (3.2), (3.3)] показывают, что существует такая гомотопия отображения / с носителем в X — U, что каждое из множеств всех эквивалентных между собой лежащих в X — XQ точек прообраза превращается либо в пустое множество, либо в одну точку ненулевого индекса. Обозначим полученное таким образом отображение снова через /. Итак, точки f l[B) П (X — XQ) имеют ненулевой индекс и попарно неэквивалентны. Для завершения доказательства остается уничтожить точки прообраза на X - XQ, классы которых содержат алгебраически существенный класс прообраза задачи fo : XQ - YQ Э BQ. Равенство \!Q1{BQ)\ = JVa(/o, Во) влечет алгебраическую существенность каждого класса прообраза задачи /о : Хо - YQ D BQ. Значит, мы должны уничтожить все точки множества f 1(B) П (X — Хо), эквивалентные точкам из /0-1(Во). Итак, пусть (различные) точки прообраза х\,..., хп Є X — Хо эквивалентны соответственно (возможно, повторяющимся) точкам х\,...,х Є Хо- Для каждого к = 1,...,п возьмем такой гладкий, несамопересекающийся путь ак ; (/,0,1) — (X,х х ), что од((0,1]) С Х-Хо, а ((0,1))ПГ1{В) = 0 и ((0,1])П ((0,1]) = 0 при і ф j. Возьмем еще такие окрестности Е/& множеств а&((0,1]), что Uk С X — Х0, (Uk,Uk) (", "), ЩПГ ІВ) = {хк}, дикПГ\В) = {хк} и UiHUj - 0 при і ф j. Существование таких путей и окрестностей вытекает из избе гаемости подпространства XQ В X и неравенства dimX 3. Теперь точки Хк удаляем по лемме 3.2 (см. ниже) гомотопией относительно X — U=14, которая является, очевидно, гомотопией отображений пар. В силу [40, теорема 3.4] получаем Следствие 3.1. Пусть f : {Х,Х0) {Y, У0) Э (S,B0 = В Г) YQ) — непрерывное отображение, X, XQ, Y, YQ, В, BQ — гладкие ориентируемые замкнутые многообразия, dimX — dimF—dimB, dimXo = dim o—dimB0. Пусть подмногообразие XQ избегаемо в X, dimXo 3, dim В ф 1. Тогда существует такое отображение g и /, что (/-1(В) = ІУгеі,аіа(/, /о, В, В0) u\9Ql(B0)\ = Na(fQ,Bo). В силу [48, theorem 4.6] получаем Следствие 3.2. Пусть f : (X, XQ) -J- (У, YQ) D (B, B0 = В П У0) — непрерывное отображение, Х, XQ, Y, YQ, В, BQ — гладкие ориентируемые замкнутые многообразия, причем dim X = dim У —dimB, XQ, YQ — связные поверхности, подмногообразие XQ избегаемо в X, dimX 3, dimB ф 1, о Во одноточечно. Пусть, кроме того, выполнено одно из условий: (a) существует такое отображение g к /, что Здесь R(/o, В0) — число Рейдемейстера; оно равно Coker(/o)#, где (/о)# : KI[XQ,XQ) - тгі(Уо,/о(жо)) индуцированный гомоморфизм (т.е. индексу подгруппы (fo)#(ir](Xo,x0)) С тгі(Уо,/о(а:о))), см. раздел 1.5.2. Очевидно, получается также Следствие 3.3. Пусть f : (X,XQ) - (У,У0) Э {В,В0 = В П У0) — непрерывное отображение, X, XQ, Y, YQ, В, BQ — гладкие ориентируемые замкнутые многообразия, dimX = dim У — dimB. Пусть XQ = YQ = S1, dimX 3, dimB ф 1, а Во конечно. Тогда существует такое отображение g& f, что \g {B)\ = JVreiAa{/,/о,В,В0) и І0-1(Во) = NA{fo,Bo) = deg(/o)-B0. Замечание 3.1. Полагая в следствии 3.1 XQ — Y — 0 или XQ = X, YQ = Y, формально мы получаем только частный случай "абсолютного" результата [40, теорема 3.4], т. е. с ограничением dimB ф 1. Однако из следствия 3.1 можно вывести указанный результат в полной общности, например, "вложив" данную задачу / : X - Y D В в относительную задачу / х id52 : {X х S2, Хо х { }) 4{Ух 52, Г0 х { }) D {В х S2, В0 х { }). Замечание 3.2. В условиях теоремы 3.1 все неравенства обеих цепочек п. (2) предложения 3,1 являются равенствами. При dimX = 2 эти неравенства могут быть строгими уже для абсолютной задачи. Как указано в [8(), с. 175], для каждой поверхности 5 отрицательной эйлеровой характеристики рассуждения работ [68], [69] дают примеры таких задач прообраза вида /Aids : S - S х S Э AS, что Для любых двух поверхностей Si, S2 постоянное отображение дает пример ("абсолютной") задачи корней с : Si -ї S2 D { }, обладающей свойством Векена. В действительности, условия, приведенные в следствии 3.2, являются критерием того, что /о обладает свойством Векена, см. [48, theorem 4.6], а также [3].
Теорема минимизации для дополнения
Теорема 3.3. Пусть f : (Х,Х0) (Y,Y0) D {В,В0 = В П Y0) — непрерывное отображение, X, XQ, Y, YQ, В, BQ — гладкие замкнутые многообразия, Х, Y, В ориентируемы, dimX = dim У — dimB 3, dimXo 1, MP(/o,So) oo, подпространство BQ избегаемо в YQ и dim.B ф 1. Тогда SNa,(f, X — XQ, В) MPrei{/, X — XQ, В), т.е. существует такое отображение gnf, что \д {В) П{Х-Х0)\ = SNa{f,X- XQ,В). Подчеркнем, что, в отличие от предложения 3.7, здесь мы не требуем избегаемости XQ В X. Доказательство. Возьмем отображение / а / из леммы 3.1. Для каждого (X - Хо)-класса Нильсена N задачи / ; X - У Э В применение процедур уничтожения и создания [40, п. (3.2), (3.3)] позволяет относительной гомо-топией превратить все точки множества JV либо в одну точку ненулевого индекса, либо в пустое множество. Обозначим полученное отображение снова через /. Пользуясь леммами 3.2 и 3.4, "передвинем" точки неизбыточных (X — Хо)-классовсХ — XQ наХо- Именно,пусть х\,... ,Xk Є /_1(В) Л(Х —Хо) — все точки, (X—Хо)-классы которых неизбыточны. Пусть а; : (/, 0, [0,1),1) - (X, ХІ, X - XQ, XQ), РІ : І -Ї Y И -{І : І - Y — пути из определения 22, т.е. ft(J) С В, Согласно неравенству dimX 3 можно предполагать, что для всех і — 1,. ,.,k пути 0 гладкие и несамопересекающиеся, Oj((0,1)) П /_1(Б) = 0. Если среди точек оц(1) есть совпадающие, то (напомним, что dimXo 1) заменим пути щ на такие пути щ $І, ЧТО образы 5{(1) С XQ "малы" (содержатся в множествах VJ П XQ, где (V , Ц Л XQ) = {Dn, Dn)) и потому пути с ; Si могут быть заменены на гомотопные им, удовлетворяющие определению 22; обозначим полученные пути снова символом щ. Далее, можем считать, учитывая неравенство dimX 3, что а;([0,1])ЛаД[0,1]) = 0 при і ф j. Возьмем еще такие окрестности U{ множеств аг-([0,1)), что Ut С Х-Х0, фиЩ) (D Dn), и{ПГ\В) = {xj, ОДпГЦБ) = {щ(1)} и Ui Л Uj = 0 при і ф j. Для каждого і — 1,..., рассмотрим два случая. СЛУЧАЙ 1. Если а (1) /-1(В), то создадим в точке aj(l) эквивалентную ХІ точку прообраза по лемме 3.4 и удалим XJ по лемме 3.2. СЛУЧАЙ 2. Если щ{1) f l{B), то сразу уничтожаем хі по лемме 3.2.
Полученное в результате всех возможных "передвижений" отображение и есть искомое д. Действительно, построенная гомотопия является гомо топией отображений пар; и на X — XQ остались попарно неэквивалентные точки ненулевого индекса, принадлежащие избыточным классам, а их ко личество и есть SNa{f, X — XQ, В). П Следствие 3.8. Пусть f : [Х,Х0) - {Y, Y0) Э {B,BQ = ВГ\ Y0) — непрерывное отображение, X, XQ, Y, YQ, В, BQ — гладкие замкнутые многообразия, X, Y, В ориентируемы, dimX = dim У — dim В 3, dimXo = dimKo-dimSo 1 и&тВф 1. Тогда SNa(f,X - Х0,В) = MPrei(/,X -XQ,B), т.е. существует такое отображение g f, что \д 1(В) П (X — XQ)\ = SN,(f,X-XQ,B). Отметим, что в силу предложения 3.13 из теоремы 3.3 вытекает и предложение 3.7. Замечание 3.8. Полученные в данной главе результаты можно распространить и на более обшую постановку: когда рассматриваемые пространства являются объединением попарно непересекающихся многообразий различных размерностей. Подробнее: пусть задача / : (X, XQ) — (У, Уо) Э (В, BQ = BDYQ) "распадается" на конечное количество "независимых подзадач" fk : (Xk, XQ,k) {Yk, %) D (Bjt, B0,k = Bk П Y0ik), где для каждого k Xk, Xa,k, Yk, lo.fcj Bk, Bo,k — гладкие замкнутые многообразия и выполнены другие необходимые предположения. Относительные числа Нильсена в этом случае определяются как суммы соответствующих чисел по "подзадачам" . Замечание 3.9. Видимо, техника работы [65] может быть применена для распространения результатов этой главы на случай топологических многообразий, необязательно замкнутых и ориентируемых; об относительной задаче совпадения для этой более общей ситуации см. статью [64]. Приведем (лишь наиболее простые, а также полученные ранее другими авторами) следствия из теорем 3.1, 3.2, 3.3. Полагая в следствии 3.1 В — BQ — {Ь}, получаем следствие для относительной задачи корней (см. [ПО, теорема 2.3], а также в более общей ситуации, с вытекающей из доказательства, но не сформулированной явно, одновременной минимизацией, [39, теорема 3.3]): Следствие 3.9.
Пусть / : (X,XQ) - (Y, YQ) — отображение пар гладких ориентируемых замкнутых многообразий, dimX = dim К, dimXo = dimVo 3 и подпространство XQ избегаемо в X. Пусть В — BQ = { } С YQ. Тогда существует такое отображение g и /, что \д 1(Ь)\ = Лпа.и/,/о, S, Во) « Ьо_1(&)1 = Ла{/о,В0). Другие очевидные следствия приводить не будем. Введем обозначения (см. разделы 1.3.5, 1.3.6; условия, при которых определены числа в правой части, дают нам условия определенности левых частей): Следствие 3.10. Пусть fh...Jr:(X,Х0) -+ (У,У0) Э (В, В0 = В ПУ0) — непрерывные отображения) г 1; X, XQ, Y, YQ, В, BQ — гладкие ориентируемые замкнутые многообразия, diraX = г dim У — dimB, dimXo = rdim — dim Во 3; подпространство XQ избегаемо в X, dimB ф 1. Тогда: