Содержание к диссертации
Введение
1 Объемы гиперболических многообразий 23
1.1 Многообразия Лёбелля 23
1.2 Компактные и некомпактные многообразия равного объема 35
1.3 Конические многообразия Уайтхеда 56
1.4 Выпуклые оболочки квазифуксовых групп 65
2 Многообразия и орбифолды малого объема 93
2.1 Многообразия малого объема как двулистные накрытия 93
2.2 Многообразие Викса — Матвеева — Фоменко 105
2.3 Многообразия Фибоначчи как 2-листиые накрытия и гипотезы Мей-ерхгофа — Ноймана 119
2.4 Хирургии на орбифолдах Адамса 130
3 Гиперэллиптические многообразия 145
3.1 Многообразия с тремя гиперэллиптическими инволюциями 145
3.2 Трехмерный аналог теоремы Акколы 160
3.3 Гамильтоновы циклы и гиперэллиптичность 167
3.4 Группы Коксетера и гиперэллиптические многообразия 188
3.5 Группы Коксетера и линзово-гиперэллиптические многообразия 192
4 Многообразия с циклической симметрией 199
4.1 Обобщенные многообразия Такахаши 199
4.2 Изометрии циклических разветвленных накрытий двухмостовых узлов 214
4.3 Медианные зацепления и многообразия с богатыми группами симметрий230
4.4 Группы с циклическим представлением 240
Литература 245
- Компактные и некомпактные многообразия равного объема
- Выпуклые оболочки квазифуксовых групп
- Многообразие Викса — Матвеева — Фоменко
- Трехмерный аналог теоремы Акколы
Введение к работе
Объектом исследования в данной работе являются объемы и изометрии трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов и конических многообразий. Первый пример некомпактного неориентируемого трехмерного гиперболического многообразия был построен в 1912 г. Гисекингом. Первые примеры замкнутых ориентируемых трехмерных гиперболических многообразий были построены Ф. Лёбеллем в 1931 г. и К. Вебером и X. Зейфертом в 1933 г. Бурное развитие теории трехмерных гиперболических многообразий началось в последние 25 лет и связано прежде всего с работами У. Терстоиа, его учеников и последователей. В настоящее время теория трехмерных гиперболических многообразий является активно развивающейся областью геометрии и топологии, элегантно сочетающей в себе идеи и методы гиперболической геометрии, теории трехмерных многообразий, теории узлов, геометрической теории групп, теории клейновых групп и многих других разделов современной математики.
Под трехмерным гиперболическим коническим многообразием принято понимать трехмерное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны с сингу-лярностями конического типа вдоль замкнутых геодезических [96]. При этом, каждой компоненте сингулярного множества сопоставлен конический угол, являющийся неотрицательным вещественным числом, не превосходящим 27г. Гиперболические конические многообразия возникают как естественное обобщение гиперболических 3-миогообразий (которые соответствуют случаю, когда все конические углы равны 27г) и гиперболических 3-орбифолдов (которые соответствуют случаю, когда конические углы имеют вид 27г/п для некоторых целых п 1). Таким образом, каждое коническое многообразие С может быть охарактеризовано как тройка С = (Лі, Е, а), где многообразие М является его носителем, Е = U _.1EJ- является его сингулярным мпооїсеством, причем каждая компонента Ел- гомеоморфна окружности, и множеством конических углов a = (cvi,..., ск ), где Oj, j = 1,..., к, соответствует компоненте Ej. При этом, равенство конического угла нулю означает удаление соответствующей компоненты.
Двумерный случай полностью описывается теоремой Гаусса - Бонне. Если М2 — гиперболическая поверхность рода g с к выколотыми точками, то area, М2 — 2ж(2д — 2 + к). В частности, множество площадей гиперболических поверхностей является дискретным, существуют компактные и некомпактные поверхности равной площади и, с точностью до гомеоморфизма, существует лишь конечное число поверхностей равной площади.
В трехмерном случае имеет место теорема Терстона — Ергенсена: множество объемов трехмерных гиперболических многообразий образует па числовой прямой вполне упорядоченное подмножество типа ww и, с точностью до гомеоморфизма, существует лишь конечное число многообразий равного объема.
Введение В [17] СВ. Матвеев и А.Т. Фоменко высказали гипотезу о строении начального отрезка множества объемов, которая была основана на большом количестве компьютерных вычислений объемов. В [83] К. Ходжсон и Дж. Вике уточнили первые десять наименьших многообразий и их объемы, проводя вычисления с помощью разработанной Дж. Виксом компьютерной программы SnapPea [159]. Наименьшее известное замкнутое ориентируемое 3-многообразие Mi, объем которого равен 0.9427..., было независимо обнаружено СВ. Матвеевым и А.Т. Фоменко [17] а также Дж. Виксом [158]. Оно может быть представлено в виде М.\ = W(5, — 2;5, — 1), где через W(m,n;p, q) обозначается многообразие, полученное хирургиями Дэна с параметрами (т, п) и (р, q) на компонентах зацепления Уайтхеда Ж Второе многообразие Лч2, с объемом 0.9813..., было построено Р. Мейерхгофом (см. [157]) с помощью (5,-1)-хирургии Дэна на узле восьмерка. Поскольку узел восьмерка может быть получен (1,1)-хирургией Дэна на одной компоненте зацепления W, это многообразие может быть описано как М.2 = W(l,l;5, —1). Третье многообразие Л43 = W(3, —2; 6, —1) было обнаружено Р. Мейерхгофом и В. Ноймаиом [113]. Его объем равен 1.0149 Авторами были высказаны гипотезы о арифметичности А4з и точном равенстве его объема объему правильного идеального тетраэдра в пространстве Лобачевского Н3.
Наименьший объем некомпактных ориентируемых гиперболических многообразий реализуется для двух многообразий, одним из которых является дополнение к узлу восьмерка [42]. Их объем равен 2,02... и соответствует предельному ординалу.
В [157] У. Терстон поставил вопрос о существовании компактного гиперболического многообразия, объем которого соответствует предельному ординалу.
По-видимому, до сих пор остается открытым вопрос М. Громова [67] о существовании пары трехмерных гиперболических многообразий с иррациональным отношением объемов.
Аналог теоремы Терстона — Ергенсена для трехмерных гиперболических орби-фолдов доказан В. Данбаром и Р. Мейерхгофом [54]. Орбифолды наименьших объемов с нежесткими каспами описаны К, Адамсом [25], и минимальный среди них -орбифолд, униформизируемый группой Пикара PSL(2,Z[i]).
Напомним, что в теории римаиовых поверхностей важную роль играют гиперэллиптические римаиовы поверхности. Обобщая это понятие, будем называть п-мерное многообразие Мп гиперэллиптическим, если оно обладает инволюцией г такой, что фактор-пространство Мп/{т) гомеоморфно n-мерной сфере Sn. При этом г называется гиперэллиптической инволюцией. В случае, когда многообразие допускает введение геометрической структуры, будем подразумевать, что инволюция г является изометрией. Существование гиперэллиптических многообразий в каждой из восьми трехмерных геометрий Терстона [157] установлено А.Д. Медных в [108]. Оценки на число гиперэллиптических инволюций трехмерных гиперболических многообразий были получены М. Рени и Б. Циммерманном [137].
Введение С изучением гиперэллиптических инволюций тесно связана следующая проблема, поставленная Дж. Бирман в [92, проблема 3.25]. Пусть К узел в S3, а М2(К) — его двулистное разветвленное накрытие. Будем говорить, что два узла Ki и К2 эквивалентны, если и только если соответствующие многообразия M2(Ki) и М2{К2) гомеоморфны. Проблема состоит в описании классов эквивалентных узлов и преобразований узлов, сохраняющих классы эквивалентности.
Хорошо известно, что группа изометрий трехмерного гиперболического многообразия конечного объема является конечной группой. Как установил С. Коджима [94], каждая конечная группа может быть реализована таким образом. Вычисление группы изометрий заданного многообразия является достаточно трудной задачей, решение которой в отдельных случаях возможно благодаря использованию алгебраических (см., например, [104]), геометрических (см., например, [7]), или компьютерных (см., например, [83]) методов. В то же время, группы симметрии гиперболических узлов и зацеплений изучены достаточно хорошо [39]. Естественно возникает вопрос: можно ли описать группу изометрий п-листного циклического разветвленного накрытия гиперболического узла, исходя из знания группы симметрии этого узла? В частности, можно ли при этом указать оценку на п, гарантирующую отсутствие на 77,-листном накрытии скрытых изометрий т. е. не являющихся поднятиями симметрии узла? Такая оценка, хотя и весьма далекая от точной, была получена М. Реии и Б. Циммерманном [135].
Целью диссертации является развитие теории трехмерных гиперболических многообразий. Основное внимание уделено получению точных формул объемов трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов, конических многообразий, выпук Введение лых оболочек квазифуксовых групп; изучению многообразий и орбифолдов малого объема; построению и исследованию гиперэллиптических многообразий; описанию груші изометрий разветвленных циклических накрытий двухмостовых узлов. В диссертации получены следующие основные результаты:
- установлено существование бесконечного семейства пар компактных и некомпактных трехмерных гиперболических многообразий равных объемов, что дает ответ на вопрос Терстона о предельных порядковых числах в теореме Терстона — Ерген-сена об объемах трехмерных гиперболических многообразий;
- установлено существование трехмерных гиперболических многообразий хегоро-ва рода два со сколь угодно большими объемами и группами изометрий сколь угодно большого порядка;
- дан ответ на вопрос Мейерхгофа — Ноймана о точном значении объема и об арифметичности третьего по объему известного компактного ориентируемого гиперболического трехмерного многообразия;
- получены точные формулы для объемов гиперболических конических многообразий Уайтхеда;
- получены точные формулы для объемов сердцевин выпуклых оболочек квазифуксовых групп проколотого тора;
- развита теория построения трехмерных гиперэллиптических и лиизово-гипер-эллиптических многообразий из многогранников Коксетера;
- установлен трехмерный аналог теоремы Акколы о гиперэллиптичности и лин-зовой-гиперэллиптичности трехлистного неразветвленного накрытия многообразия хегорова рода два;
- в терминах хирургии Дэна получено описание многообразий, являющихся циклическими накрытиями трехмерной сферы, разветвленными над двухмостовыми узлами;
- получена оценка на порядок циклического накрытия трехмерной сферы, разветвленного над гиперболическим двухмостовым узлом, гарантирующая отсутствие на таком гиперболическом многообразии скрытых изометрий.
К другим результатам, имеющим и самостоятельный интерес, отнесем следующие:
- дано единое описание десяти известных наименьших по объему компактных трехмерных ориентируемых гиперболических многообразий в терминах хирургии на зацеплении Уайтхеда и как двулистных разветвленных накрытий трехмерной сферы;
- описано действие группы изометрий на многообразии Викса —Матвеева —Фоменко;
- получены точные формулы объемов многообразий Лёбелля;
- установлена связь между параметрами хирургии на орбифолдах Адамса и параметрами хирургии на накрывающих их некомпактных многообразиях;
Введение - исследованы многообразия, получаемые хирургиями на зацеплении Уайтхеда и обладающие тремя гиперэллиптическими инволюциями; дано описание множеств ветвлений этих инволюций.
Перейдем к точным формулировкам.
В первой главе диссертации исследуются объемы трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов и конических многообразий. При этом, основное внимание уделяется изучению вопросов, связанных с теоремой Терстона - Ергенсена и получению точных формул объемов.
В §1.1 рассматривается классическое многообразие Лёбелля и его естественные обобщения и устанавливаются явные формулы для объемов этих многообразий в терминах функции Лобачевского. f
Пусть R - ограниченный прямоугольный (все двугранные углы равны тг/2) многогранник в пространстве Лобачевского Н3. Обозначим через G группу, порожденную отражениями в гранях R. Для каждой вершины многогранника R ее стабилизатор в группе G изоморфен восьмиэлементной абелевой группе Z2 ф Ъ2 ® Z2 = Щ, которая может быть рассмотрена как векторное пространство над полем 3.F(2). Чтобы описать построение многообразия из восьми экземпляров многогранника R, мы рассмотрим эпиморфизм (р : G - Ъ\.
Лемма 1.1.1 [1 ] Пуст,ъ группа G порождена отражениями в гранях ограниченного прямоугольного многогранника й еН3. Ядро Kertc эпиморфизма tp : G - Щ не содержит элементов конечного порядка тогда и только тогда, когда образы отражений в любых трех гранях многогранника R, имеющих обиі,ую вершину, являются линейно независимыми в группе Щ рассматриваемой как векторное пространство над полем GF(2).
Таким образом, если эпиморфизм р удовлетворяет условию леммы 1.1.1, то М = Н3/Кег является замкнутым гиперболическим 3-миогообразием.
Указанным способом может быть получено классическое многообразие Лёбелля из [102], А именно, рассмотрим прямоугольный (2тг--2)-гранник R(n) верхним и нижним основаниями которого являются тг-угольники, а боковая поверхность состоит из двух циклов пятиугольников (смежных, соответственно, с верхним и нижним основаниями). В частности, R(b) является прямоугольным додекаэдром, а /2(6) является прямоугольным 14-гранником, использованным Ф. Лёбеллем в [102].
Обозначим через G(n) группу порожденную отражениями в гранях R(n). Рассмотрим эпиморфизм (рп : G(n) —у Щ ядро которого Кег(/э„ не содержит элементов конечного порядка. Гиперболическое многообразие L(n) = Ш3/Кег tpn назовем многообразием Лёбелля. Многообразие L(n) зависит от эпиморфизма рп и не определяется однозначно по п. При этом, классическое многообразие Лёбелля, построенное в [102], является могообразием Лёбелля для п = 6. Первый пример замкнутого неори-ентируемого гиперболического 3-многообразия, построенный Н. Аль-Джубори в [28],
Введение является многообразием Лёбелля для п = 5.
Существование ориентируемых и неориентируемых многообразий Лёбелля ддя п 5 устанавливается в следующих теоремах.
Теорема 1.1.1 [1 ] Для любого целого п 5 существует ориентируемое многообразие Лёбелля L{n).
Теорема 1.1.2 [1 ] Для любого целого п 5 существует неориентируемое многообразие Лёбелля L{n).
Последняя теорема подтверждает предположение Ф. Лёбелля [102] о том, что подходящими склеиваниями из восьми экземпляров R(Q) можно получить как ориентируемые, так и неориентируемые многообразия.
Далее показывается, что число многообразий Лёбелля, имеющих равные объемы, не ограничено и доказывается формула для объемов многообразий Лёбелля в терминах функции Лобачевского.
Теорема 1.1.3 [2 ] Для любого целого N существует не менее чем N попарно пегомеоморфных многообразий Лёбелля с равным объемом.
Более того, для указанных многообразий может быть выбран общий фундаментальный многогранник.
Следствие 1.1.1 [2 ] Для любого целого N существует прямоугольный многогранник Н3, который является фундаментальным для по крайней мере N попарно пегомеоморфных замкнутых ориентируемых многообразий.
Напомним, что согласно теореме Терстона — Ергенсена [67], число гиперболических 3-многообразий заданного конечного объема всегда конечно. Теорема 1.1.3 и следствие 1.1.1 показывают, что эти числа не ограничены в совокупности. Другие примеры компактных гиперболических 3-многообразий, иллюстрирующих это свойство, строились в [88], [29] и [170], а некомпактных - в [160].
Строение многогранника R(n) позволяет применить результаты работы [89] для вычисления его объема.
В частности, объем классического многообразия Лёбелля, построенного в 1931 г., равен 48.184368....
В §1.2 дается положительный ответ на вопрос Терстона [157] о существовании компактных многообразий объемы которых соответствуют предельным ординалам в теореме Терстона — Ергенсена. А именно, показывается, что существует бесконечное семейство пар компактных и некомпактных многообразий равного объема. Доказательство основано на получении точных формул в терминах функции Лобачевского
Введение для объемов конических многообразий с сингулярным множество узел восьмерка и орбифолдов с сингулярным множеством 2-компонентное зацепление бз Начнем с рассмотрения семейства трехмерных компактных ориентируемых гиперболических многообразий, униформизируемых группами Фибоначчи. Группы Фибоначчи F(2,m) введены Дж. Конвеем [47] и имеют следующее представление:
F(2,m) = (xi,X2 ... хт ХіХі+і=хі+2, і mod m).
Известно, что группа F(2, тп) конечна тогда и только тогда, когда т = 1,2,3,4,5, 7 (см, обзор [156]). Различные обобщения групп F(2,m) вводились и изучались в [84, 103, 4 ].
Изучении групп Фибоначчи в контексте теории гиперболических многообразий связано с работой [72], где было показано, что группа F(2,2га), п 4, изоморфна дискретной кокомпактной подгруппе группы PSL2(C) — полной группы сохраняющих ориентацию изометрий пространства Лобачевского Шг. При этом, факторпростран-ство Мп = H3/.F(2,2га), п 4, является замкнутым ориентируемым гиперболическим 3-многообразием, которое будем называть гиперболическим многообразием Фибоначчи, Отметим, что группа F(2,4) изоморфна Z5 и действует на S 6 таким образом, что факторпространство М2 — 33/F(2,4) является линзовым пространством L(5,2). А группа F(2, б) изоморфна 3-мерной афинной группе и многообразие JW3 = E3/,F(2,6) является многообразием Ханцше — Вендта, изучавшемся в [164]. Многообразия М2 и М"з также будем называть многообразиями Фибоначчи.
В [76] X. Хилден, М. Лозано и X. Монтесинос установили, что многообразие Фибоначчи Мп, га 2, является циклическим n-листным накрытием сферы S13, разветвленным над узлом восьмерка Т = 4i. Обозначим через Т(а) коническое многообразие с носителем S3 и сингулярным множеством узел восьмерка с сингулярным углом а. Следующее утверждение дает формулу объема конического многообразия Т(а) в терминах функции Лобачевского Л (ж).
Введение Перейдем к рассмотрению семейства некомпактных многообразий. Обозначим через Thn, п 2, замыкание 3-нитиевой косы (с с "1)™, где o i и т2 - стандартные порождающие группы кос на трех нитях. Члены семейства Thn хорошо известны. Б частности, ТІІ2 — это узел восьмерка, Th% — зацепление борромеевы кольца, 37i4 узел турецкая чалма 8i8, a Th5 — узел 10ш в обозначениях [140]. Как показал "У. Тер-стон [157], многообразия S3 \Thn, п 2, являются гиперболическими. Точная формула для объемов этих многообразий приведена в следующем утверждении.
Таким образом, объемы компактных многообразий Фибоначчи М2п соответствуют предельным ординалам в теореме Тёрстона — Ергенсена. В частности, объем многообразия Фибоначчи М4 равен объему дополнения к узлу восьмерка, а объем многообразия Фибоначчи М6 равен объему дополнения к зацеплению борромеевы кольца.
В §1.3 исследуется класс конических многообразий с сингулярностями вдоль зацепления Уайтхеда YV = Ъ\. Определим коническое многообразие Уайтхеда W(a,/3) как коническое многообразие с носителем трехмерная сфера S3 и сингулярным множеством W с коническими углами а и /3, соответствующими его компонентам. Область гиперболичности для УУ(а, /3) была описана в [78]. В частности, если вещественные числа тип превосходят 2.507, то коническое многообразие W(f , ) является гиперболическим. Далее мы всегда будем предполагать, что а и /3 таковы, что W(a,fl) гиперболическое.
Основным результатом этого параграфа является следующая формула объема гиперболического конического многообразия Уайтхеда.
Доказательство этой теоремы основано на вариационной формуле Шлефли (см. [9], [80]), точных вычислениях длин сингулярных геодезических конического многообразия W(a,0) с использованием результатов [ПО].
Следующий параграф, §1.4, посвящен исследованию выпуклых сердцевин квази-фуксовых групп. Напомним, что группа G называется клейновой, если она является дискретной подгруппой PSL(2,C), полной группы изометрий трехмерного гиперболического пространства Н3. Такая группа действует конформными автоморфизмами на римановой сфере С = сШ3. При действии G точки сферы С разбиваются на множество разрывности H(G), на котором действие является собственно разрывным, и предельное множество A(G), на котором действие является минимальным, то есть каждая орбита плотна. Предельное множество A(G) является множеством предельных точек неподвижных точек группы G. Группа G называется квазифуксоеой, если А((7) является топологической окружностью.
Пусть М = Н3/С? - трехмерное многообразие, униформизируемое клейновой группой G. Выпуклой сердцевиной C/G многообразия М называется наименьшее замкнутое выпуклое множество, содержащее все замкнутые геодезические многообразия М. При этом, С может быть определено в универсальном накрывающем пространстве Н3 как гиперболическая выпуклая оболочка предельного множества А(бг), называемая также областью Нильсена группы G. Граница дС выпуклой оболочки образована выпуклыми подмножествами гиперболических плоскостей, пересекающихся вдоль попарно непересекающегося множества полных геодезических, называемых складками [41, 57].
Введение числом большим 2 или меньшим — 2. Геометрически, такая изометрия является гиперболическим сдвигом (без поворота) вдоль геодезической.
Для каждого из указанных случаев построены гиперболические многогранники, являющиеся фундаментальными для выпуклых сердцевин квазифуксовых групп проколотого тора, и получены формулы для их объемов. При этом, развиваются два подхода к нахождению соотношений между днинами складок и двугранных углов вдоль них (такие соотношения обычно называют соотношениями складок). С одной стороны, используются соотношения складок, полученные Дж. Паркером и К. Сери-ес в [131]. С другой стороны, эти соотношения и другие формулы, необходимые для вычисления объемов, получаются из матриц Грама многогранников. Это позволяет воспользоваться формулой Шлефли (см. [9, 36, 115]) для нахождения объемов этих многогранников, а следовательно, и объемов сердцевин выпуклых оболочек квазифуксовых групп. Полученные формулы приведены в теореме 1.4.1 и следствии 1.4.3. Результаты этого параграфа опубликованы в [15 ].
Во второй главе диссертации изучаются многообразия и орбифолды малого объема.
Прежде всего, в §2.1 дается единое описание десяти известных наименьших по объему замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий Л4і,..., Лію. Эти многообразия были описаны в [83] в терминах хирургии Дэна на некоторых зацеплениях в Sb выбор которых был обусловлен геодезическими спектрами многообразий. Нетрудно заметить, что эти многообразия допускают единое описание. А именно, все они могут быть получены хирургиями на компонентах зацепления Уайтхеда Ж Это обуславливает важность изучения класса замкнутых 3-многообразий W(m,n;p,q), получаемых хирургиями Дэна с параметрами (т,п) и (р, q) на компонентах зацепления Уайтхеда Ж
В силу теоремы X. Монтесиноса [119], многообразие полученное хирургиями Дэна на строго обратимом зацеплении, может быть представлено как 2-листное накрытие S3, разветвленное над некоторым зацеплением. Применение алгоритма Монтесиноса к случаю многообразий W(m, ТІ; р, q) позволяет получить следующий результат.
Теорема 2.1.2 [19 ] Пусть М = W(m,п;р, q) — замкнутое 3-многообразие, полученное (т,п) и (p,q) хирургиями Дэна па зацеплении Уайтхеда YV. Тогда М является 2-листным накрытием S? , разветвленным, над зацеплением {m,n;p,q), имеющем следующий вид, где + 4 и + 2 обозначают соответствующие рациональные танглы:
Развитие метода из [103] позволяет установить следующий результат.
Теорема 4.4.1 [26 ] Пусть г четно, а т нечетно и взаимно прост,о cr + 2k — l. Тогда обобщенная группа Фибоначчи F(r, in, к) не реализуется как группа гиперболического трехмерного орбифолда конечного объема.
В некоторых случаях удается установить, что группы из рассматриваемых семейств являются группами негиперболических трехмерных многообразий.
Утверждение 4.4.2 [26 ] При к 1 группа F(2,2k + 1,) является фундаментальной группой замкнутого трехмерного многообразия, получаемого как циклическое (2k + 1)-листное накрытие трехмерной сферы, разветвленное над узлом трилистник.
Утверждение 4.4.3 [26 ] При к 2 группа Н(к, 2к — 1, к — 1) является фундаментальной группой замкнутого трехмерного многообразия которое может быть получено как циклическое (2к — 1)-листное накрытие трехмерной сферы разветвленное над торическим (2к — 1,2) узлом.
Компактные и некомпактные многообразия равного объема
В этом параграфе будет показано, что существует бесконечное семейство пар компактных и некомпактных трехмерных гиперболических многообразий равного объема (теорема 1.2.4). Это дает положительный ответ на вопрос Терстона [157] о существовании компактных многообразий объемы которых соответствуют предельным ординалам в теореме Терстона — Ергенсена. Начнем с рассмотрения семейства трехмерных компактных ориентируемых гиперболических многообразий, фундаментальными группами которых являются группы Фибоначчи. Группы Фибоначчи F(2,m) были введены Дж. Конвеем [47] и имеют Первым естественным вопросом, связанным с этими группами, был вопрос об их конечности [47]. Известно, что группа F(2,m) конечна тогда и только тогда, когда т, = 1, 2,3, 4, 5, 7 (см. обзор [156]). Различные обобщения групп F{2, т) вводились и изучались в [84, 103, 4 ]. Новый этап в изучении групп Фибоначчи связан с работой [72], в которой показано, что группа F(2,2n), п 4, изоморфна дискретной кокомпактной подгруппе PSL2(C) — полной группы сохраняющих ориентацию изометрий пространства Лобачевского Н3. Напомним конструкцию из [72]. Обозначим через YTl, п 4, многогранник, состоящий из тг-антипризмы с двумя приставленными к ее нижнему и верхнему основаниям п-пирамидами. Многогранник Yn имеет 2п + 2 вершин, бп ребер и An треугольных граней. Обозначим его вершины через Q, R, Pi,..., Рг , а грани - через Pi,..., Fn и Pf,..., F , как на рис. 1.5, где изображен Y±. Отметим, что Y& является икосаэдром. Итак, мы хотим построить гиперболическое многообразие, униформизируемое группой Фибоначчи, выбрав Yn в качестве фундаментального многогранника. Потребуем, чтобы многогранник Yn был гиперболическим; чтобы гранями Yn являлись 4гг равных равносторонних треугольников; чтобы суммы двугранных углов, соответствующих реберным циклам (1.13) и (1.14) были равны 2тг; и чтобы Yn обладал циклической симметрией порядка п с осью QR, аналогично икосаэдру YB. Существование многогранника Yn С Н3 с указанными геометрическими свойствами было установлено в [72]. Введем следующие обозначения для двугранных углов Yn: a = ZQP2i = ZRP-H-U s = 1,..., га и 0 = ZP,PJ+2, 7 = PjPj+u 3 = 1, , 2n, и обозначим через x гиперболический косинус длины ребра многогранника Yn. Многообразие Мп = M3/F(2,2n), тг 4, будем называть гиперболическим многообразием Фибоначчи.
По построению, Мп, п 4, является замкнутым ориентируемым гиперболическим 3-многообразием. Отметим, что многогранник Y2 может быть реализован в сферическом пространстве, а Уз - в евклидовом пространстве. При этом группа .F(2,4) изоморфна Ъъ и действует в 53 таким образом, что М2 = S3/F(2}4) является линзовым пространством L(5,2). А группа F(2,6) изоморфна 3-мерпой афинной группе и многообразие М3 = W?/F(2,6) является многообразием Ханцше — Вендта, изучавшемся в [164]. Многообразия М2 и М3 мы также будем называть многообразиями Фибоначчи. Связь между многообразиями Фибоначчи и узлом восьмерка 4i была установлена X. Хилденом, М. Лозано и X. Монтесиносом в [76]. А именно, они показали, что многообразие Фибоначчи Мп п 2, является циклическим n-листным разветвленным накрытием сферы Ss, разветвленным над узлом восьмерка. Отметим, что доказательство этого результата, основанное на описании многообразий Мп хирур-гиями, получили А. Кавикиоли и Ф. Спажиари в [46]. Накрытия S3, разветвленные над узлом восьмерка, также изучались Дж. Хемпелем в [74]. Продемонстрируем связь между группой Фибоначчи и группой узла восьмерка. По построению, многогранник Yn обладает циклической симметрией порядка п, являющейся вращением вокруг оси QR. Обозначим это вращение через р. Тогда, для і — 1,... ,2п, имеем: Таким образом, группа Г„ с представлением (1.28) является группой орбифолда с носителем S3 и сингулярным множеством узел восьмерка с индексом сингулярности п (т. е. с сингулярным углом 2-к/п). Будем далее обозначать этот орбифолд через Т(2-к/п). Сформулируем накрывающее свойство многообразий Фибоначчи в терминологии теории орбифолдов: Теорема 1.2.2 [76] Многообразие Фибоначчи Мп, п 2, является n-листным регулярным циклическим накрытием орбифолда F(2ir/n). Далее через Т мы будем обозначать узел восьмерка 4ц, а через Т{а) - коническое многообразие, носителем которого является 53, а сингулярным множеством - узел восьмерка с сингулярным углом а. При этом будем считать, что (0) = 53 \ Т. Напомним, что Т(ТГ) является сферическим орбифолдом, Т(2ТТ/3) является евклидовым орбифолдом, а при а Є [0,27г/3) коническое многообразие Т(а) является гиперболическим.
Следующее утверждение дает формулу объема Т{а) в терминах функции Лобачевского А(х). При отождествлениях f,gjnh все вершины А, В, С, D и Е принадлежат одному классу эквивалентности, и их линки образуют один касп. Его структура изображена на рис. 1.10, где треугольники и четырехугольники А, В, С, D и Е соответствуют вершинам многогранника V. Метки на векторах обозначают изометрии, отождествляющие ребра смежных многоугольников. Для группы узла восьмерка выберем порождающее у Б качестве меридиана и элемент в качестве параллели. Напомним, что х = /-1 ж у = д. Таким образом, в порождающих /ид параллель примет вид и, используя h fg lf lQ-, получим На рис. 1.10 меридиан у = д соответствует сдвигу, переводящему четырехугольник с меткой "А" в соседний четырехугольник с меткой "А" по направлению стрелки. Этот сдвиг реализуется на комплексной плоскости как умножение на следующее произведение комплексных параметров: Параллель і соответствует сдвигу, переводящему четырехугольник "А" из правого нижнего угла в четырехугольник "А" в левом верхнем углу по направлению стрелок, задающих выражение (1.39) для . Этот сдвиг реализуется на комплексной плоскости как умножение на следующее произведение комплексных параметров: В случае конического многообразия T{a) с сингулярным углом а получаем систему условий на комплексные параметры z и го идеальных тетраэдров Tg HTW: Используя соотношение z(X —w) ега, получаем уравнение для w. которое имеет решения Поскольку а Є [0, у), то — cosa 1 и — 1 cos о; — \. Следовательно, мы можем выбрать Поскольку нас интересует такое решение, что Im w 0, мы выбираем решение со знаком " + " : Заметим, что Imz 0 для всех a Є [0, Щ-). При этом, Imw 0 если а Є [0, arccos ), Im го = 0 если a = arccos (в этом случае Tw вырождается в плоский тетраэдр), и Ітгг; 0 если а Є (arccos , ) (в этом случае Tw становится "отрицательным" тетраэдром, т.е. объем конического многообразия равен разности объемов тетраэдров % и Tw). Для нахождения объема идеального тетраэдра Tw с комплексным параметром w найдем значения аргументов следующих комплексных чисел:
Выпуклые оболочки квазифуксовых групп
Напомним, что группа G называется клейповой, если она является дискретной подгруппой PSL(2,C), полной группы изометрий пространства Н3. Такая группа действует конформными автоморфизмами на римановой сфере С = 9Ы3. При действии G точки сферы С разбиваются на мпооїсество разрывности 2((3), на котором действие является собственно разрывным, и предельное множество A(G), на котором действие является минимальным, то есть каждая орбита плотна. Предельное множество A(G) является множеством предельных точек неподвижных точек группы G. Клейнова группа G называется фуксовой, если Л(С?) является окружностью. Пусть S - ориентированная поверхность с отрицательной эйлеровой характеристикой, гомеоморфная замкнутой поверхности с конечным числом проколов. Ко-нечнопорожденная клейнова группа G называется квазифуксовой, если Н3/с7 гомео-морфно произведению такой поверхности на открытый интервал (0,1) и П(с7) имеет ровно две односвязные G-инвариантные компоненты Г2+ и Ог. Это эквивалентно тому, что G — TTI(S) и A(G) является топологической окружностью. В этом случае фактор-пространства l+/G и D, /G оба являются римановыми поверхностями, го-меоморфными S. Пусть М — H3/G - трехмерное многообразие, униформизируемое клейновой группой G. Выпуклой сердцевиной C/G многообразия М называется наименьшее замкнутое выпуклое множество, содержащее все замкнутые геодезические многообразия М. Это означает, что С может быть определена в универсальном накрывающем пространстве Н3 как гиперболическая выпуклая оболочка предельного множества Л(б?), называемая также областью Нильсена группы G. Если G является квазифуксовой, то граница ОС имеет ровно две компоненты ЭС+ и дС , которые «ограничивают» компоненты П+ и П области разрывности П. Фактор-пространства дС+ /G и дС [G гомеоморфны l+/G и fi /G, соответственно, и, следовательно, гомеоморфны S. Если группа G фуксова, то С лежит в плоскости. Граница дС выпуклой оболочки образована выпуклыми подмножествами гиперболических плоскостей, пересекающихся вдоль попарно непересекающегося множества полных геодезических, называемых складками или линиями изгиба {см. подробнее в [41] и [57]).
Хорошо известно, что клейнова группа геометрически конечна тогда и только тогда, когда ее выпуклая сердцевина имеет конечный объем. Более того, конечнопо-рожденные квазифуксовы группы являются геометрически конечными. Мы рассмотрим случай, когда S гомеоморфна проколотому тору. При этом, G является группой проколотого тора и задается следующим образом: G = (X, Y [X,Y] - параболический элемент), где X и Y - изометрии пространства Н3, а [X, Y] = XYX lY l. Нас будут интересовать случаи, когда некоторые элементы группы (X, Y) являются чисто гиперболическими. Изометрия X пространства И3 называется чисто гиперболической если для соответствующей матрицы X из SL(2, С) след tr(X) является вещественным числом большим 2 или меньшим —2. Геометрически такая изометрия является гиперболическим сдвигом (без поворота) вдоль геодезической. Ниже мы найдем гиперболические многогранники, являющиеся фундаментальными для выпуклых сердцевин некоторых квазифуксовых групп проколотого тора. А именно, будут рассмотрены следующие два случая групп проколотого тора (X, Y) для которых: (і) изометрии X и Y являются чисто гиперболическими; (іі) изометрии XY и XY-1 являются чисто гиперболическими. Эти квазифуксовы группы проколотого тора обладают следующим свойством. Складка каждой компоненты границы выпуклой оболочки является простой замкнутой геодезической и либо эти геодезические являются парой соседних, либо они имеют общего соседа. Для каждого из этих двух типов групп мы укажем многогранник и отождествление пар его граней, дающее выпуклую сердцевину квазифуксова многообразия. Все диэдральные углы этих многогранников, кроме двугранных углов вдоль складок, будут равны ЇГ/2. МЫ опишем два подхода к нахождению соотношений между длинами складок (изгибов) и двугранных углов вдоль них. Такие соотношения далее мы будем называть соотношениями складок. С одной стороны, мы воспользуемся соотношениями складок, полученными Дж. Паркером и К. Сериес в [131]. С другой стороны, мы получим эти соотношения и другие формулы, необходимые для вычисления объемов, из матриц Грама многогранников. Это позволит воспользоваться формулой Шлефли (см. [9, 36, 115]) для нахождения объемов этих многогранников. В частности, мы приведем формулы объемов в терминах функции Лобачевского Л(х), которая традиционно используется для выражения объемов трехмерных гиперболических многогранников и трехмерных гиперболических многообразий. В заключение мы укажем зацепления и конические многообразия, связанные с рассматриваемыми многогранниками. В первом случае сингулярным множеством конического многообразия является трехкомпонентное зацепление известное как борромеевы кольца, а во втором - приведенное на рис. 1.26 шестикомпонеитное зацепление.
Начнем со случая, когда X и У являются чисто гиперболическими изометриями. 1.4.1. Построение многогранника. Пусть матрицы X и Y из SL(2, С), представляют изометрии X и Y пространства И3, порождающие группу проколотого тора. Поскольку X и Y - чисто гиперболические, то будем считать, что tr(X) и tr() оба вещественны и больше 2. Поскольку [X, Y] является параболической изометри-ей, будем предполагать, что tr[X,Y] = —2 (нетрудно проверить, что предположение tr[X, Y] = 2 приводит к случаю фуксовой группы). Определим мультипликатор Л(М) матрицы М условием tr(M) = 2chA(M) (см. [131]). Обозначим х = chA(X) = tr(X) и у = chA(Y) = tr(Y). Таким образом, х и у оба вещественны и больше 1. Как установлено в теореме 6.3 из [131], либо группа (X, У) является фуксовой, либо оси элементов X и Y являются складками границы выпуклой оболочки для {X, Y). А именно, эта теорема утверждает следующее. Утверждение 1.4.1 [131, Теорема 6.3] Предположим, что {X, Y) является группой проколотого тора с параметрами х = chA(X) 1 и у = chA(Y) 1. (п) Если х2 + у2 х2у2, то {X, Y) квазифуксова и оси .элементов X uY являются складками. С этого момента мы предполагаем, что х2 + у2 х2у2, то есть, что имеет место квазифуксов случай. Мы построим фундаментальный многогранник для выпуклой оболочки предельного множества (области Нильсена) группы {X, Y). Он будет обозначен через V = Т(а, 0). Поскольку X, YX 1Y 1 и их произведение YX 1Y 1X все имеют вещественные следы, то соответствующие изометрии X и YX xY l порождают фуксову группу. Аналогично, поскольку Y, Х"1"1Х и их произведение YX-1Y"lX все имеют вещественные следы, то соответствующие изометрии У и X 1Y 1X также порождают фуксову группу. Пусть П+ - инвариантная плоскость группы {X, УХ-1У 1), а П„ - инвариантная плоскость группы (У, X lY lX). Как будет видно из приведенного ниже построения, П+ и П_ являются несущими плоскостями границы выпуклой оболочки группы (X, У). В [131] этот факт был установлен другим методом. Определим геодезические 7х, 1У и 7о: пусть 7х ось изометрии X, 7r ось изометрии У, а 7о - общий перпендикуляр 7х и уу. Полуповоротом мы будем называть эллиптическую изометрию второго порядка, оставляющую неподвижной некоторую геодезическую. Определим полуповороты /0, /і и 12: пусть /о - полуповорот, оставляющий неподвижной 7о положим Д — /0Х и обозначим через 7г сь инволюции /і, положим /2 = У/о и обозначим через 72 ось ИНВОЛЮЦИИ І2- Лемма 1.4.1 [15 ] Полуповорот I2 оставляет инвариантной плоскость U.+, а полуповорот 1\ оставляет инвариантной плоскость П_. Доказательство. Поскольку I2XI2 = YX_1Y l, то 12 меняет местами оси изометрии X и УХУ"1. Так как эти оси содержатся в плоскости П+, то она остается инвариантной при полуповороте 12.
Многообразие Викса — Матвеева — Фоменко
Напомним, что наименьшим известным замкнутым ориентируемым трехмерным гиперболическим многообразием является многообразие Викса — Матвеева — Фоменко Mi- В [118] Е. Молнар построил фундаментальный многогранник в И3 для фундаментальной группы многообразия М,\ и заметил, что группа изометрий этого многообразия содержит группу диэдра В6 порядка 12. В [83] было установлено, что группа изометрий многообразия М,\ имеет ровно 12 элементов. Цель этого параграфа описать решетку действия группы изометрий Isom(Aii) на многообразии М\. А именно, мы опишем все орбифолды, которые возникают как фактор-пространства М.\ при действии подгрупп группы Isom(A i)- В частности, будут явно получены упомянутые в предыдущем параграфе описания многообразия М\ как 2-листного накрытия Зг, разветвленного над узлом 94д и как регулярного 3-диетного накрытия S3, разветвленного над двухмостовым узлом 52. Обозначим через Г = 7гі(.Мі) фундаментальную группу многообразия Викса — Матвеева — Фоменко М.і- Как показал Е. Молнар [118], группа Г имеет представление: Начнем с рассмотрения подгрупп группы G = Isom(,Mi). Заметим, что группа G = (R,S,T) = 1 имеет, с точностью до сопряжения, десять подгрупп: тривиальная группа (1); три подгруппы (R), (S) и (Т) порядка 2; подгруппа (ST) порядка 3; подгруппа {R,S) порядка 4; три подгруппы (S,T), {RS, RT) и {R,RT) порядка 6; и группа G = (R,S,T) порядка 12. Хорошо известно, что эти подгруппы группы G образуют решетку по включению, которая приведена на рис. 2.16. Здесь обозначения индекса 2 в В; когда А является нормальной подгруппой индекса 3 в В; и когда А является подгруппой индекса 3 в В, но не нормальной подгруппой. Сформулируем это свойство подгрупп группы G как следующее Утверждение 2.2.1 ДЛЯ группы G решетка подгрупп с точностью до сопряжения имеет вид, приведенный на рис. 2.16. Напомним хорошо известную связь между подгруппами группы изометрий G многообразия М И3/Г и его фактор-пространствами. Обозначим через р канониче- Обозначим через 949 (2) орбифолд с носителем Sz и сингулярным множеством узел 9 9 с индексом сингулярности 2. Таким образом, многообразие М. является двулистным накрытием орбифолда 94э(2). Как видно из диаграммы на рис. 2.16, группа G содержит три (с точностью до сопряжения) подгруппы порядка 2. Следователь-но, накрытие М,\ — 9йэ(2) может быть индуцировано одной из трех инволюций: R, S или RS.
При этом возникают три фактор-орбифолда: Mi((R) = В силу теоремы Армстронга [32], фундаментальная группа носителя орбифолда Н3/Д изоморфна фактор-группе Д/До, где Д0 - нормальная подгруппа группы Д, порожденная всеми элементами конечного порядка. Найдем фундаментальные группы носителей трех указанных выше орбифолдов. Начнем с носителя орбифолда Mij{R) с фундаментальной группой (Г,г) /Ncl(r), где через Ncl(r) обозначено нормальное замыкаиие элемента г в группе (Г,г). Аналогично, обозначим через Ncl(s) и Ncl(rs) нормальные замыкания элементов s и rs в группах (T,s) и {T,rs), соответственно. Из (2.1) и (2.3) получаем которое совпадает с представлением группы орбифолда 949 (2), гДе 1,тиг изобрал(е-ны на рис. 2.17. Поскольку оба компактных орбифолда Aii/{R) и 94э(2) являются гиперболическими и их фундаментальные группы изоморфны, то в силу теоремы жесткости, орбифолды изометричиы. (Здесь и далее в случае орбифолда мы всегда подразумеваем орбифолдную фундаментальную группу.) Таким образом, установлено следующее свойство. При этом порождающие и и и из (2.12) соответствуют петлям указанным на рис. 2.18. Диаграмма, приведенная на рис. 2.18, является неальтернированной. С помощью преобразований Райдемайстера легко убедиться в том, что данный узел является узлом 52 в общепринятых обозначениях [140]. Обозначим через 52(3) орбифолд с носителем S? и сингулярным множеством узел 52 с индексом сингулярности 3. Поскольку орбифолд 52(3) является гиперболическим [157], из приведенных выше рассуждений вытекает следующее свойство. Лемма 2.2.2 [18 ] Имеют место следующие изоморфизм групп и изометричность орбифолдое: 2.2.3. Изометрии орбифолда 52(3). Хорошо известно [75, 93], что группа симметрии дополнения S3 \ 5э состоит из четырех элементов и все нетривиальные симметрии являются инволюциями. Покажем, что эти инволюции индуцируют инволюции орбифолда 52(3), которые поднимаются до инволюций г, s и rs на универсальном накрывающем пространстве М3.
Напомним, что группа ЇГІ(52(3)) изоморфна группе Ki(-Mi/{ST)) и в силу (2.12) имеет следующее представление; где и — st и v = ua = sta. Из (2.4) имеем і2 = a 1, откуда получаем v — st 1. Рассматривая действие инволюций г, s и rs на порождающих и и у, используя (2.4), Обозначим изометрии орбифолда 52(3) определяемые формулами (2.14), (2.15) и (2.16) через г, 5 и rs, как и соответствующие изометрии пространства Н3. Оси инволюций sirs изображены на рис. 2.18, при этом ось инволюции г перпендикулярна этим осям. Рассмотрим фактор-пространства орбифолда 52(3) по действию изометрии г, s и rs, и обозначим получаемые орбифолды следующим образом: 2.2.4. Орбифолд 7f (2,3). По определению, орбифолд 7f(2,3) является фактор-пространством орбифолда 52(3) по действию инволюции г. Следовательно, носителем орбифолда 7 (2,3) является S3. Поскольку ось инволюции г и сингулярное множество орбифолда 5г(3) не пересекаются, сингулярным множеством фактор-орбифолда является двухкомпонентное зацепление, Одна его компонента имеет индекс сингулярности 2, а другая - индекс 3. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что данное двухкомпонентное сингулярное множество является двухкомпонентным зацеплением с семью двойными точками, которое имеет обозначение 7\ в таблице узлов и зацеплений [140]. Этим объясняется обозначение 7 (2,3) используемое для орбифолда. Лемма 2.2.3 [18 ] Имеют, место следующие изоморфизм групп и изометричность орбифолдов: Доказательство. В соответствии с действием автоморфизмов г и зі на группе Г, имеем: Как нетрудно убедиться непосредственно (используя алгоритм Виртингера), представление (2.20) группы (Г, г, st) является также представлением группы орбифолда 72(2,3), при этом порождающие war соответствуют петлям на рис, 2.19. (Стандартная диаграмма зацепления 1\ с семью двойными точками приведена на рис. 2.20.)
Трехмерный аналог теоремы Акколы
В этом параграфе будет установлен трехмерный аналог теоремы Акколы о гиперэллиптических и эллиптико-гиперэллиптических римановых поверхностях. Отметим, что любое 2-листное иеразветвленное накрытие римановой поверхности рода 2 является гиперэллиптическим [23, 56, 58]. В [112] показано, что аналогичный результат верен и в размерности три: любое 2-листное иеразветвленное накрытие замкнутого ориентируемого трехмерного многообразия хегорова рода два является гиперэллиптическим. Что касается 3-листных неразветвленных накрытий римановых поверхностей, то в этом случае имеет место следующий результат Акколы. Теорема 3.2.1 [24, Corollary 1] Пуст,ъ S4 — S2 - 3-листное иеразветвленное накрытие замкнутых римановых поверхностей рода четыре и рода два, соответственно. (і) Если накрытие является регулярным (накрытием Галуа), то поверхность S является 1-гиперэллиптической (называемой в [34] эллиптико-гиперэлл-иптической), т. е. 2-лист,ным накрытием римановой поверхности рода один (см. таксисе [59, р.249]). (И) Если накрытие является нерегулярным, то поверхность S является гиперэллиптической. Напомним, что (разветвленное или иеразветвленное) накрытие является регулярным если группа накрывающих преобразований действует транзитивно на каждом слое, а потому базисное пространство получается как фактор-пространство по действию группы накрывающих отображений. Это эквивалентно тому, что накрытие соответствует нормальной подгруппе (орбифолдной) фундаментальной группы базисного пространства, и группа накрывающих отображений изоморфна соответствующей фактор-группе.
В этом параграфе мы покажем, что результат аналогичный теореме Акколы имеет место и в трехмерном случае (см. теоремы 3.2.2 и 3.2.3). Как обычно, будем говорить, что многообразие Ы является тг-листным разветвленным накрытием зацепления L С 3, если М является тг-листным накрытием 3-сферы S A разветвленным над зацеплением L. В этом случае будем использовать обозначение М —У S (L). Нам потребуется оценка хегорова рода многообразия М в терминах п и мостового числа зацепления L. Следующее свойство является специальным случаем более общего результата о связи между хегоровыми сплетениями и мостовыми числами для произвольных разветвленных накрытий зацеплений (см., например, [39, р. 169, Proposition 11.3], Утверждение 3.2.1 Трехмерное многообразие, являююреся 3-листнъш разветвленным накрытием т-мостового зацепления L С S3, с индексом накрытия равным 2 на каждой компоненте L, допускает хегорово сплетение рода т — 2. Трехмерным аналогом теоремы Акколы для случая регулярного накрытия является следующая Теорема 3.2.2 [16 ] Пусть W2 - трехмерное многообразие хегорова рода два, aW -его регулярное 3-листное неразветвленпое накрытие. Тогда W является 2-листным разветвленным накрытием 3-многообразия, допускающего хегорово сплетение рода один (га. е. накрытием 3-сферы, линзового пространства или S2 х S1). Доказательство. Поскольку W% трехмерное многообразие хегорова рода два, оно обладает гиперэллиптической инволюцией т. При этом носитель фактор-орби-фолда И А" гомеоморфен S3, а его сингулярным множеством (множеством ветвления накрытия) является 3-мостовое зацепление L (см. [10]). Обозначим через т автоморфизм группы (И ) индуцированный инволюцией т. Поскольку 3-листное накрытие W W2 является регулярным, то iri(W) является ядром некоторого эпиморфизма tp : 7Гі(ИУ — %% Покажем, что группа TTI(W) = Кегір инвариантна при действии г . Так как сингулярным множеством орбифолда W%jr = Sb(V) является 3-мостовое зацепление L, то его орбифолдная фундаментальная группа порождена тремя инволюциями elt Є2 и ез, соответствующими меридианным петлям зацепления L: тгтЪ(S&(L)) = {е!,Є2,е3). Группа ir(W2) является подгруппой индекса 2 в группе (еі,е2,е3) и состоит из всех слов четной длины в этих порождающих. В частности, тгі(И ) порождается элементами А = е\е и В = Єіе3 (поскольку е2е3 = е2еі ЄіЄз = А"1 В). С точностью до внутреннего автоморфизма, действие г на TTI(W) задается по правилу: Обозначим %% = (с\с3 — 1). С точностью до выбора обозначений, эпиморфизм fp : TTI{W2) — S3 действует на Л и Б одним из следующих трех способов: В каждом из этих случаев т индуцирует автоморфизм А : с — с-1 группы Ъ3 удовлетворяющий соотношению Отсюда, для каждого х Є Кег р получаем (р(т (х)) = А( р(а;)) = А(1) = 1, т. е. г (ж) Є Ker ір. Таким образом, группа щ (W) = Кег р инвариантна при действии т и инволюция т поднимается до инволюции і многообразия W. Группа G накрывающих преобразований 6-листного накрытия W — W%jr — SZ(L) имеет порядок шесть и, следовательно, изоморфна циклической группе Z& или диэдралы-юй группе Юз порядка шесть. Поскольку 71 (5 (1/)) порождается тремя инволюциями и 7Titb(Ss(L))/Tri(W) = G, то G также порождается тремя инволюциями. Следовательно, G изоморфна D3MG= (С, tje3 = t2 = (ct)2 = 1). Таким образом, W является двулистным накрытием орбифолда N = W/{t), который, в свою очередь, является 3-листным нерегулярным накрытием орбифолда W/{c,t) = W Kr) = S3(L) и следующая диаграмма коммутативна (здесь «3» обозначает регулярное, а «(3)» -нерегулярное 3-листиое накрытие): Для завершения доказательства осталось показать, что носитель орбифолда N допускает хегорово сплетение рода один.
Поскольку L - трехмостовое зацепление, в силу утверждения Множество неподвижных точек инволюции т на ТФг является прообразом L зацепления L. Каждая компонента зацепления L поднимается в W до трех различных компонент, которые переставляются под действием группы накрывающих преобразований Z3. В самом деле, три поднятия инволюции г на W имеют вид i, etc"1 и c2tc 2. Поскольку эти инволюции попарно сопряжены, их множества неподвижных точек попарно гомеоморфны и переставляются под действием Z3. Каждое из этих множеств проецируется на L С Wi и на L С З3. При факторизации W по t множество неподвижных точек инволюции t проецируется в множество ветвления накрытия W - N — Wft, а множества неподвижных точек инволюций etc-1 и c2tc 2 (которые сопряжены при помощи t поскольку ifcitr1) -1 = (tct)t{tc l{) с гіс = c2tc 2) проецируются в множество ветвления нерегулярного накрытия N = W/t -» S3(L) индексом ветвления 2 в каждой точке. D Трехмерным аналогом теоремы Акколы для случая нерегулярного накрытия является следующая Теорема 3.2.3 [16 ] Пусть W2 - трехмерное многообразие хегорова рода два, и W - его нерегулярное 3-листное неразветвленное накрытие. Тогда W является гиперэллиптическим. Приведем некоторые предварительные результаты, которые будут использованы при доказательстве теоремы 3.2.3. Напомним (см. например (16)), что конечнопорожденная абелева группа G может быть представлена как прямая сумма G = Zr@T2T2/, гдеТ2 -подгруппа, состоящая из элементов порядки которых являются степенью двойки, Т2 - подгруппа, состоящая их элементов порядки которых нечетны. Назовем подгруппу Тг S-кручением, подгруппу Ту - нечетным кручением, а г - рангом группы G. Отметим, что Г2 и Ту являются характеристическими подгруппами группы G (при этом, подгруппа II характеристической, вообще говоря, не является). Следующая лемма хорошо известна в теории конечных групп преобразований. Лемма 3.2.1 [16 ] Пусть N - компактное трехмерное многообразие па котором действует инволюция и, a Nu - носитель факторпространства N/u. Обозначим через Hi(N)u подгруппу первой группы, гомологии Hi(N), состоящую из элементов, остающихся неподвижными при индуцированном действии и на ffi(N). Тогда ранг и нечетное кручение первой группы гомологии Hi(Nu) носителя Nu совпадают с рангом и нечетным кручением, соответственно, группы Hi(N)u. Доказательство. Воспользуемся стандартными аргументами из гомологической теории групп преобразований (см., например, [5, гл. 3], [6, гл.З]. [20, гл. 3]).