Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 15
2 WY-базис 20
3 О редукции элементов алгебры Ap относительно порядка R 31
4 Треугольные базисы в алгебре Ap 36
Список литературы 56
- Предварительные сведения
- WY-базис
- О редукции элементов алгебры Ap относительно порядка R
- Треугольные базисы в алгебре Ap
Предварительные сведения
Таким образом, исходный элемент Ра по указанному соотношению может быть представлен в виде суммы мономов. Остаётся применить предположе ние индукции к каждому Р, где р \ I, входящему в мономы соотношения ( ). Второе утверждение леммы будем доказывать также по индукции. При а = 2 достаточно воспользоваться соотношением Р2 = т,Р1Р1. Пусть а 2. Предположим, что утверждение верно для всех Рс, где р \ сие а. Тогда для левой части соотношения ( ) утверждение верно, а к степеням, с индексами не делящимися нар, входящим в мономы из суммы правой части ( ), применимо предположение индукции. Лемма 4. Пусть моном М содержит степень Ра, где р \ а. Тогда он может быть представлен в виде: м = у марСа, для некоторых са = рка + рка 1 + ... + 1.
Доказательство. По лемме 3(a) без ограничения общности можно считать, что М содержит в качестве множителей Ра, где а = рк + рк 1 + ... + 1 для некоторого к. Более того предположим, что Ра — крайняя справа степень указанного вида, то есть моном М может быть представлен в виде М = Mm при т = РаРьт, где р \ а и р 6, и индекс каждой степени из т делится на р. Такой подмоном т будем называть минимальным правым подмономом монома М. Доказательство будем вести индукцией по \т\. При \т\ = 1 получаем т = Р1, и утверждение леммы тривиально. Пусть утверждение верно для всех мономов М таких, что \т \ т, где т — минимальный правый подмоном М . Пусть произведение РаРъ является допустимым. Легко проверить, что произведение РрЬра-(р-чь недопустимо. Запишем соотношение 6-1 рр ра-{р- ) _ \ (—іу +гаРа+ грг -\- (—1) + съРаР , г=0 где коэффициент сь равен ( (р — 1)(а — (р — 1)6 — Ь) — 1\ ({р — 1)(а — рЪ) — 1\ рЪ — рЪ о
Заменим произведение РаРъ с помощью этого соотношения. Произведение ррЪра-(р-1)ъ, стоящее в мономе М = МРаРьт, даст слагаемое МРрЬРа р 1 ьт, где индексы всех степеней из т делятся на р, и р \ (а — (р — 1)&), так как р \ а и р 6, откуда его минимальный правый подмоном pa P l brfi. Ясно, что (а — (р — 1)6) + \т\ а + Ъ + \т\ = \т\, поэтому к МРрЬра (р-чът применимо предположение индукции. Аналогичное рассуждение верно для всех слагаемых вида ра+ь грг, где р\ г, входящих в соотношение, где р\%. Рассмотрим слагаемые ра+ь грг, где р і, им соответствуют мономы MPa+b гРгт. Так как р\ а + Ъ — і степени Ра+Ь г применима лемма 3(a): ра+Ь-г = J2MJ. 3 Произведение РаРъ — допустимо, то есть а pb, по предположению а + Ъ ф р + р +... + 1 ни для какого /. То же верно для суммы а + Ъ — і, так как і 6 — 1. Далее а + Ъ — і а + 1 и по утверждению (Ь) леммы (3) каждый моном Mj может быть записан в виде Mj = rhjPp 3+р 3 +" +1Mj, для некоторого х,- и подмоно-мов Mj такого, что индекс каждой входящей в него степени делится нар, и rhj такого, что \fhj\ 0. Последнее означает, что для минимального правого под Ч _і_ а-л 1_і_ _і_і Ч _i_ Ч — 1_і_ _і_і її монома монома Mrhj Pp +р + "+Mjfri верно РР +р +" + Mj-m \т\, и к указанным мономам также применимо предположение индукции. В случае, когда произведение РаРъ не является допустимым, применим к нему соотношение Адема, далее рассуждение аналогично. Лемма 2.1. rypn+...+pk гуа(рп+...+рк) __ / і -і \ г)(а-\-1)(рп-\-...-\-рк) і г / ppn 1+...+pfc 1+l\ В частности, в случае а = р — 1 получим Г)рп+...+рк ра(рп+...+рк) — г / ppn 1+...+pfc 1+l\ Доказательство. Ключевым моментом доказательства является вычисление биномиального коэффициента В при первом слагаемом в соотношении Адема: Г)рп+...+р г а(рп+---+р ) / 1 \pn+---+p D . т){а-\-\){рп-\-...-\-р ) і г / т)Рп + ...+р +1\ По лемме (p — l)a(pn + ... + p ) — 1 apn+ — ap — 1 В = , = = pn + ... + p pn + ... + p p — 1 p — 1 — a p — 1 p — 1 і і о 4 0 a — 1 p — 1 p — 1 p — 1 — a p — 1 p — 1 4_ n-й разряд k-й разряд (p - 1)n-k(p - 1 - a) (-1)n-k+1(a + 1) mod p.
Доказательство основного утверждения
По лемме 4.3, размерность данной градуировки Лр совпадает с количеством У-мономов в ней. для данной градуировки её размерность совпадает с количеством У-мономов в ней. Покажем, что произвольный моном Р1 = РгРч Р%г может быть представлен в виде суммы У-мономов.
Доказательство будем вести индукцией по размерности. Предположим, что теорема верна для градуировок не выше г — 1. Докажем для г.
Пусть р ik для каждого к. Применим к данному моному делящий гомо I т — Т — Т-) морфизм, получим моном РР = Р Р Р Р PP. По предположению индукции разложим получившийся моном по У-базису: РР = \ Р . Поднимем резуль i тат обратно: домножим каждый из индексов набора Jj, которым задаётся моном PJ, на р для всех і. Получившуюся в результате сумму (допустимых) мономов обозначим PJ. Далее, найдём разложение Р1 и PJ по базису допустимых мономов (Pr)Adm. и (PJ)Adm.. Если разность получившихся разложений {PI)Adm. — {PJ)Adm. равна нулю — разложение найдено. В противном случае данная разность — это совокупность мономов, в каждом из которых есть степень Понтрягина, индекс которой не делится на р. Таким образом остаётся рассмотреть случай, когда моном М имеет степень г и содержит Р-7 для j не делящегося на р.
Пусть М моном указанного вида. По лемме (4) М может быть разложен в виде: л/г \ Л л/г г)рПа+рПа 1+...+1 а К подмономам Ма применимо предположение индукции. По предположению индукции разложим подмоном Ма по У-базису: ма = у 2 а(\ где Ка/з — мультииндекс. Рассмотрим произведение 2КаІЗРрПа+рПа +---+1. Пусть последний У-элемент в мономе Za р задаётся индексами (п, к), то есть 2Ка/3 = ZKaf}Z . При к 0 или п па, указанное произведение является У-мономом. В случае к = 0 и п па применим к произведению 2 РрПа+рПа +---+1 лемму (2), таким образом представим его в виде суммы мономов вида тРр +р +---+1, где I па. Затем применим индукцию по /. Пусть к = 0 и п = па. Предположим, что элемент 2% входит в моном 2Ка/3 в степени с. Если с + 1 р, то моном 2 РрПа+рПа +---+1 является У-мономом. Если же с + 1 = р, то по лемме 2.1 рассуждение может быть сведено к совокупности мономов меньших в смысле правого лексикографического порядка.
WY-базис
Как видно, из определения, Z-мономы строятся из блоков специального ви-да — элементов Zk = Рр Fp Fp . Вместо них можно взять элементы к = РР +Р +---+рГ, где также п к 0, и составлять мономы пользуясь теми же правилами, что и в случае Z-мономов. В этой части будет показано, что получающиеся в результате мономы образуют базис. Более того, построенный базис даёт пример базиса треугольного по отношению к Z-базису.
Определение 6. Назовём WZ-мономом произведение Z Z 1 Z r, где последовательность пар / = ((по, ко),..., (пг, кг)) удовлетворяет тем же условиям, что и для Z-мономов, см. определение 4. Элементы Zk и Zk схожи между собой. Следующее утверждение устанавливает связь между ними в алгебре Лр.
Лемма 4.1. ([1], Lemma 2.8) Для произвольных целых п к О имеет место равенство Zk = Рр +---+р + LR{PP ). (16) Доказательство. Доказательство будем вести убывающей индукцией по к. При к = п утверждение тривиально. В случае к = п — 1 получим v 7 Т)п / - \рп 1+рп 2 I \Р )\Р г ) \ г)рп-\-рп 1—рп 2 Г)рп 2 По лемме 1 биномиальный коэффициент ( „ i ) равенр—1 = —1( mod р). Откуда получаем Теперь предположим, что утверждение леммы верно в случае +1, докажем для Zk: PpkZVk+l ЕЕ рР (рРП+-+Р +1 + ЬН(РрП )) ЕЕ рРкрРП+-+Рк+1 + ЬН(РрП ) = ( / -і \ / Гї /і -1-1 \ m - ljm + ... +p T ) - 1 \ n+ , & , n-к pp--i-p __ LR{PP ). V Остаётся заметить, что биномиальный коэффициент ур р +"к+р ) ра вен (р — 1) = (—1) mod р. Как видно, Z-мономы и WZ-мономы сформированы по одним и тем же правилам. Это наблюдение и соотношение (16) позволяют доказать следующее утверждение. Теорема 4. Пусть Z1 — произвольный Z-моном, заданный набором индексов I = ((по, ко), , (пг, кг)). Тогда для WZ-монома Z1 выполняется равенство гуПп гуПл гуПг Пп Пл Пг Zk Zk Zk = Zk Zk Zk + L, где L = LR(ZJ). Доказательство. Проведём индукцию по длине набора /. При г = 0 утверждение совпадает с леммой 4.1. Пусть утверждение верно при г = /, то есть имеет место разложение гуПл гуПл гуП] Пл Пл П] ( Пл Пл П] Zk Zk Zk = Zk Zk Zk + L\Zk Zk Zk ). Тогда при г = I + 1 получим = Z kZkl Zkl+1 + LR(ZkZkl Zkl+1).
Следствие 1. Множество WZ-мономов образует базис в Лр. Кроме того, базисы WZ и Z треугольны друг по отношению к другу. Доказательство. Упорядочим WZ-мономы следующим образом: Z1 - ZJ тогда и только тогда, когда Z1 д ZJ. По лемме 4 матрица коэффициентов разложения VKZ-мономов по Z-базису имеет треугольный вид с 1 на главной диагонали. Семейство Р -базисов Напомним, что в алгебре Лр имеются элементы Pls = Р(0,..., 0,ps, 0,...), где ps стоит на месте с номером t, degPj = 2ps(pf — 1). Назовём Р -мономом произведение вида (Pj1)7711... (Pgfc)mfc, где все Ps3. попарно различны и 0 rrij р. В каждом конечном наборе троек целых чисел {(sj,tj,rrij) : j = 1, ...,&, О rrij p,Sj 0,tj 0} зафиксируем линейный порядок и именно в этом порядке будем перемножать (PSjJ)mj. Ниже мы докажем, что множество Вр полученных произведений образует базис Ар, который к тому же является треугольным по отношению базису Милнора. Заметим, что таких базисов бесконечно много, поскольку в каждом Pg-мономе порядок атомарных сомножителей (Ps3)mj, хоть и фиксирован, однако может быть выбран произвольным образом. Зафиксируем базис Вр и построим биекцию 7 : В ми — Вр. Для милноровского элемента P(R) = Р(гі,Г2, ) рассмотрим р-адическое разложение каждого fj = (ik{rj)pk и рассмотрим набор троек целых чисел, построенный по последовательности R: M(R) = {(s,t,as(rt)) если as(rt) 0}.
Положим 7(P(R)) равным произведению элементов (p ) wt) в том порядке, который зафиксирован для набора M(R). Легко проверить, что 7 яв ляется биекцией, сохраняющей градуировку. Интересно отметить, что 7 определено корректно одновременно для всех базисов Вр. Это наблюдение пригодится нам в доказательстве теоремы 5. Для элемента P(R) положим e(P(R)) = rj. Согласно [5] величина 2e(P(R)) совпадает с избыточностью элемента P(R). Для простоты величину e(P(R)) тоже будем называть избыточностью, это не вызовет путаницы.
Определение 7. Для P(R),P(S) Є Вми будем писать P(R) Е P(S), если e(P(R)) e(P(S)), или e(P(R)) = e(P(S)) и P(R) - R P{S).
Отметим, что второй случай определения в дальнейшем использоваться не будет и добавлен лишь для того, чтобы порядок был линейным.
Лемма 4.2. Пусть X — допустимая матрица произведения P(R)P(S), соответствующая элементу Р(Т), гдеТ ф R+S. Тогда е(Р(Т)) e(P(R + S)).
Доказательство. Для Р(Т) = P(ti,t2,---) имеем е(Р(Т)) = . По (7) каждое ti равно сумме элементов на г-й диагонали матрицы X = Цж -Ц, откуда е(Р(Т)) = Xij. По (5) сумма элементов вне первого столбца з о равна e(P(S)). По (6) ХІО ХІ для каждого і. Однако по условию Т ф R + 5і, поэтому в матрице X для некоторых и 0 и v 0 найдётся элемент Xuv ф 0. Поэтому имеет место строгое неравенство хио ги, и следовательно, сумма элементов первого столбца матрицы X строго меньше e(P(R)), то есть ex[ Хл ж«о e(P(R)). Тогда [P(T)) = xhj = = / %ІО + / Xij e(P(R)) + e(P(S)) = e(P(R + 5 )). i 0 3 Следствие 2. Если e(P(U)) e(P(R)), то каждое слагаемое P(T) в разложении произведения P(U)P(S) (или Р(S)Р(U)) по базису Милнора имеет избыточность строго меньшую, чем P(R+ S): е(Р(Т)) e(P(R + S)). Теорема 5. Для любого в Є Вр имеет место равенство (6)ми = a{0)l ( ) + / 11;и где Є(ЦІ) е(7_1(#)) и а{6) Є Ъ/р отлично от 0. Доказательство. Пусть в = (Pi1)7111 ... (Plk)mk. Проведём индукцию по длине к одновременно для всевозможных базисов Вр. Индукцией по т легко проверить, что (Ps)m = !-Р(0,..., 0,mps, 0,...) + Vj, где е(ц) е(Р(0,..., 0,mps, 0,...))). А так как7_1(( )т) = (0 0,mps, 0,...), то база индукции верна. Теперь рассмотрим произведения в = (Pi1)7111... {Pstzl)mk 1 и # = 9 (Plk)mk. Пусть P(ri,... ,гто) = 7_1( )- Тогда по определению отображения 7 имеем равенство 7 1( /) = (гь rt ps, t+b irrn) По предположению индукции для в утверждение теоремы верно, т.е. (0 )мп = a(e Yf {в ) + У ЦІ, где e(/ij) е(гу 1(в )) и а (в ) Є Ъ/р отлично от 0. Тогда ($)МІІ = {(0 )м\\{РІк)тк)м\\ = = а{в ){ {0 ){РІ )тк)м\\ + {ім{РІІ)тк)м\\ = = а{в ) І7 (6r)(mhf ((Psk)mk) + / j)) + / {ім{РІІ)тк)м\\ = J Mil J = a(6 )m\ (4 (0 ) {{РІк)тк)\,.л+а{9 ) (Ч_ (#/Vi)Nh,r.1 + (д?( !А:)тА:)мл По лемме 4.2 наибольшее значение избыточности в первом слагаемом имеет P(ri,... ,rm), причем, как легко подсчитать, соответствующий коэффици ент (8) отличен от 0. По следствию 2 во второй и в третьей сумме избыточ ности слагаемых строго меньше e(P(ri,..., гт)). Из доказанной теоремы немедленно следует, что любой набор вида Вр является базисом Лр, причем треугольным по отношению к базису Милнора. При этом на Вр рассматривается порядок, индуцированный биекцией 7 и порядком - Е на множестве Вми.
О редукции элементов алгебры Ap относительно порядка R
По лемме 4.2 наибольшее значение избыточности в первом слагаемом имеет P(ri,... ,rm), причем, как легко подсчитать, соответствующий коэффици ент (8) отличен от 0. По следствию 2 во второй и в третьей сумме избыточ ности слагаемых строго меньше e(P(ri,..., гт)). Из доказанной теоремы немедленно следует, что любой набор вида Вр является базисом Лр, причем треугольным по отношению к базису Милнора. При этом на Вр рассматривается порядок, индуцированный биекцией 7 и порядком - Е на множестве Вми. Следствие 3. Пусть P(R) Є Вми U {P(R))MU = P{R)+ i P(R%) Тогда выражение (P(R))P = ryP(R) + У (P(Ri))p і задаёт рекуррентную формулу для вычисления (P(R))p — разложения P(R) по базису Вр. Х-базис Построим на множестве Вми некоторый специальный порядок. Затем построим биекцию 7 : Вми — Вх. Рассмотрим милноровский элемент Р(го, ,тто). Каждому rj сопоставим его р-адическое разложение гз = / ai(rj)p
Из всевозможных otij = OLiifj) сформируем таблицу так, что первые индексы меняются вдоль столбцов, вторые — вдоль строк; нумерация строк начинается с 0 и идёт снизу вверх; столбцы нумеруются с 0. Например, при р = 3 для элемента Р(4,9, 6) получается таблица 1 0 (Т\
Таким образом, в j-м столбце стоит р—адическое разложение г , и г-я строка содержит последовательность г-х разрядов (а (го),... , оц{гт)) набора (го,..., гт). Такую таблицу будем называть таблицей разрядов последовательности R.
Определение 8. Развёрткой таблицы будем называть следующую последовательность её элементов («00, СКої, СКю, «02, СКЦ, . . .). Очевидно, сопоставление таблицы и её развёртки фиксированному мил-норовскому элементу взаимно-однозначно. Приведённой выше таблице соответствует последовательность (1,0,1,0, 0,0, 0, 2,1,0,...). Левый лексикографический порядок L на множестве развёрток естественным образом задаёт порядок на множестве элементов базиса Милнора. Будем обозначать этот порядок тем же символом . Определение 9. Пусть элементу Р(го,... ,гто) соответствует развёртка («00, СКої, СКю, «02, СКЦ, . . .). i+hotij Заменим элементы данной последовательности по правилу о - ь- (Х ((Х)а (Х )ао1 (X )aw fX2)"02 ) Возьмём их произведение в имеющемся порядке (при otij = 0 соответствующий Х\ 3 в произведение не входит, поэтому произведение конечно): и с оо 01 10 02 (X )а (X ]01 (X ]10 (X ) В итоге получим некоторый Х-моном. Описанное соответствие задаёт отображение множества милноровских элементов в множество Х-мономов 7 : P(i"o,... ,гто) ь- (Х0)аоо(Х0)ао1(Х1)а10(Х0)а2... Лемма 4.3. Отображение 7 взаимно однозначно и сохраняет степень. ные им базисные элементы Со Cm в алгебре А и будем рассматривать Доказательство. Напомним, что А = Ъ/р [i,2? ], где deg = %Рк 2. В место элементов базиса Милнора Р(го, , тто), рассмотрим двойственно0 Cm в алгебре Д отображение 7 : С " Cm (Хв)а(XQ1)"01 {X\)aw(XQ)"02 ..., задающееся аналогично отображению 7. В частности, Cn-k+i ь к, причём указанные элементы имеют одну и туже степень 2(pn+l —рк). Тогда обратное отображение 7-1 переводит Х в ,n-k+v Остаётся заметить, что образующие ;« коммутируют между собой, откуда получаем, что по данному Х-моному элемент двойственной алгебры строится однозначным образом.
Теорема 6. Пусть в — произвольный X-моном. Тогда его разложение (в)ми по базису Милнора имеет вид (в)ми = 7 ( ) + / ЦІЇ і где 7_1( ) ь ЦІ для всех г. Доказательство. Сначала проверим утверждение для в = Х\. В самом деле, Р{рк) = Рр = Х% и гу(Р(рк)) = Х\. Тем самым, (Х )ми = 1 1{Х ). Далее рассмотрим моном в = XJ X 1 Х7 1. Возможны два случая: к = п и к п. Сначала разберем первый случай. Моном в может быть записан в виде (Х Х 1 Х , где 0 w р. Предположим по индукции, что утверждение теоремы верно для монома (X)w lX X 1. Тогда y[Xn) Х г Х )м и = \P \{Xn) X 1 XfcjMUJMii = — ( pp (Р(Д) + \ P{QI)))MU = (Pp P(R))MU + (/ Pp P{QI))MUI (17) где P(R) = Р(го,г\,... ,rTO) = 7 1((X )W_1X 1 X 1) и P(R) L P(QI) для любого /. Последовательности R соответствует таблица разрядов, в которой на п-й диагонали и ниже стоят нули, исключая элемент апо = w. Кроме того, fj = fj при j 0 и fo + рп = Го.
Мы покажем, что в разложении (Рр P(R))MU имеется слагаемое, равное P{R), а все остальные слагаемые больше P(R). Затем мы покажем, что в сумме (РрПP(QI))MU все слагаемые больше P(R).
Треугольные базисы в алгебре Ap
Сначала выясним, при каких допустимых матрицах в формуле для произведения произведения Рр P(R) могут встретиться слагаемые, не превосходящие P(R). Произведению Рр P(R) соответствуют допустимые матрицы вида Т) Го — р — Si Гі — S2 ... Tn-i — Sn Гп ... (18) SO Si S2 ... Sn 0 . . . Отсюда, в частности, следует, что для такой матрицы коэффициент с(Х), определенный соотношением (8), находится из формулы ТТ (ti\ с{Х) =11 , (19) s где ti удовлетворяют равенству (7). Далее, из Sip1 = рп следует, что Si рп г для всех і. Более того, если при каком-то і достигается равенство Si = рп , то Sj = 0 при j ф г. Из условия на нулевые элементы в таблицах разрядов R и R следует, что pn i+l\rj при j = 1,...,п. Если допустимая матрица ( 18) соответствует слагаемому, меньшему чем P(R), то для нее с необходимостью выполняются условия р гп + sn Vі I Гп-1 - s„ + Sn_i рП \ Г\ — S2 + S\. Рассматривая их последовательно и учитывая неравенства Si рп , получаем, что sn = sn-i = ... Si = 0. Таким образом, остается единственная возможность so = Vа. Такая допустимая матрица соответствуют P(R).
Теперь обратимся ко второму слагаемому в (17) и докажем, что если R L Q, то все слагаемые в ((Ppn)P(Q))MU больше P(R).
Из равенства рп = ргві следует, что хотя бы одно Sj Ф 0. Предположим сначала, что Sj Ф 0 для некоторого j 0 (иначе So = рп, и этот случай мы рассмотрим позже). У этого числа Sj один из разрядов р-адического разложения отличен от 0. А именно, пусть в сумме Sj = pmf3m коэффициент /Зт Ф 0. Напомним, что Sj ра , поэтому j + т п. Предположим, что соответствующий этой допустимой матрице милноровский элемент Р(Т) присутствует в разложении ((РрП)Р(3))ми. Тогда произведение коэффициентов (19) отлично от 0, в частности, ( т) ф 0. Из леммы 1 следует, что гп-й разряд Sm р-адического разложения числа tj отличен от 0. Но этот элемент появляется в таблице разрядов последовательности Т не выше п-й диагонали, следовательно, Р(Т) L P(R).
Рассмотрим теперь допустимую матрицу для so = jf\, S\ = S2 = = 0. Легко видеть, что тогда для соответствующей последовательности Т = (to, 1,...) выполняются равенства to = qo + рп и tj = qj при j 0. Аналогичным образом связаны R и R: г о = Го + рп и rj = fj при j 0. Тогда если &п{Яо) V 1, то из Q ь R следует, что Т L R. Если же an(qo) = р — 1, то коэффициент (19) равен 0, так он содержит сомножитель (qo+Pn\ равный 0 по лемме 1. Поэтому такой соответствующий такой последовательности мил-норовский элемент Р(Т) в разложении (Рр P(R))MU не встречается. Теперь рассмотрим случай к п. Предположим по индукции, что утверждение верно для монома Х Xvkl Хк1. Тогда = (Рр (P(R) + / P{QI)))MU = (Рр P{R))MU + (/ Рр P{QI))MUI (20) где P(R) = Р(го,гі,... ,rTO) = 7_1(X X kl X kl) и P(R) L P(QI) для любого /. Из условия на последовательность R следует, что для чисел rn_ +i,..., гп имеет место делимость рг+1 rn-j, а для чисел Го,... ,rn-k — делимость V I n—j . Допустимая матрица для произведения Рр P(R) 0 1 1 $2 п—к—1 \ Р S n—к п—к V &п—к+1 (21) SQ S\ 02 S n—k $s—k-\-l Как отмечалось выше, из равенства Sip1 = рп следует, что Si рп г для всех г; если же при каком-то і достигается равенство Si = рп , то Sj = 0 при 3 Ф і. Допустимая матрица, для которой sn-k = рп к, а остальные Sj равны О, дает слагаемое в разложении Рр P(R) в точности равное P(R). Теперь мы покажем, что не существует ни одной допустимой матрицы, отличной от только что описанной, которая дает слагаемое Р{Т), у которого в таблице разрядов на п—1-й диагонали и ниже, а также на n-й диагонали в строках с 0-й по к—1-ю стоят нули стоят нули. Отсюда будет следовать, что в разложении Рр P(R) все слагаемые, отличные от P(R), больше этого слагаемого. Из условий на делимость элементов rj следуют аналогичные условия на делимость элементов tj, откуда р гп + sn Vі І Гп-1 - s„ + Sn_i Р Т п—к-\-\ $п—к-\-2 г Sn—k+1 Рассматривая утверждения последовательно и учитывая, что для всех Si рп-г получаем, что sn-k+i = ... = sn = 0. Например, из первого условия следует, что р sn, но sn р, поэтому sn = 0, и т.п.
Далее, рк (rn-k — рк + sn-k), откуда рк \ sn-k. Теперь заметим, что sn-k рк, тем самым у нас две возможности: sn-k = рк , которая обсуждалась выше, и sn-k = 0, которую мы сейчас рассмотрим. Имеем P I n—k—1 r V r Sn—k—1 F n—k—l n—k—Y \ n—k—l откуда PU 1 Г\ — S2 + S\ pn Го — Si + So, pk+l pk + Sn_fc_1 A;+2 I _ , p n—k—1 n—k—l pn l - S2 + Si pn — Si + So Теперь домножим первое число на рп к, второе — на рп к 1,..., последнее — п—к—1 на р, и полученные числа сложим. Полученное число рп + s +1 — г=0 п—к—1 J s p должно делиться нарп+1. Пользуясь равенством Sip1 = рп, нетруд г=1 но понять, что это число равно рп +pn+l —рп + so, откуда следует, что So = О, т. к. оно не превосходит рп. Теперь, рассмотрев условия рп \ — S\ РП 1 - S2 + Si pk+2 -sn-k-1 +sn-k-2 pk+1 pk +sn-k-1 в указанном порядке, последовательно получим s1 = s2 = ... = sn-k-1 = 0, и тогда из последнего условия должно следовать, что рк делится на pk+l. Полученное противоречие показывает, что в разложении (Рр P(R))MU все слагаемые, отличные от P(R), больше чем P(R). Теперь обратимся ко второй сумме в формуле (20) и докажем, что если R L Q, то все слагаемые в ((Ppn)P(Q))MU больше P(R). Рассмотрим произвольную допустимую матрицу для произведения (Ppn)P(Q) Qo Si Ці — S2 Ці — s/+i (22) Пусть ей соответствует милноровский элемент Р(Т).
Из равенства рп = plsi следует, что Sj 0 для некоторого j. Пусть m — отличный от нуля т-й разряд р–адического разложения Sj, т. е. am(sj) Ф 0. Предположим, что милноровский элемент Р(Т) входит в разложение ((Ppn)P(Q))MU с ненулевым коэффициентом, см. (8). Тогда по лемме 1 имеем am(tj) Ф 0. Таким образом, если m + j п или m + j = п, но при этом j п — к, то Р(Т) L P(R).
Остается рассмотреть случай, когда не найдется am(sj) отличного от 0 для m + j п или же m + j = п и j п — к. Из равенства рп = plsi тогда следует, что Sj = pn i для некоторого j п — к, а остальные S/ = 0.
Заметим, что если aa(qT) ф 0 при а + г п — 2 или при а + г = п — 1 и г п — к, то в последовательности Т, соответствующей рассматриваемой допустимой матрице имеем aa(tT) 0и тогда Р(Т) L P(R).
Теперь рассмотрим случай, когда aa(qT) ф 0 при а + г п — 2 или при 7 + т = п — 1 и т п — к. В этом случае из равенства а (гп-А;-і) = 1 следует, что ак(Цп-к-і) 1. Если при этом j п — к, то ak{tn-k-i)