Мозаики из выпуклых пятиугольников Багина Ольга Георгиевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Определения и обозначения 16

1.1. Центральные плитки мозаики 16

1.2. Метки 21

Глава 2. Мозаики из равносторонних пятиугольников 25

2.1. Соображения Ханта-Хиршхорна 25

2.2. Новое доказательство полноты списка равносторонних пятиугольников 26

Глава 3. Мозаики из пятиугольников с четырьмя равными сторонами 37

3.1. Основные формулы и вспомогательные утверждения 37

3.2. Случай 3 = 4 = 3 47

3.3. Случай 0 = 1 = 2 = 3 51

3.4. Случай 1 = 2 = 3 = 3, 0 = 4 = 4 55

3.5. Случай 0 = 2 = 3 = 3, 1 = 4 = 4 57

3.6. Случай 0 = 1 = 3 = 3, 2 = 4 = 4 61

3.7. Продолжение корон до мозаик 70

Глава 4. Мозаики из пятиугольников типа 11122 84

4.1. Основные формулы и вспомогательные утверждения 84

4.2. Случай 2 = 3 = 4 = 3 89

4.3. Случай 1 = 2 = 3 = 3 90

4.4. Случай 0 = 2 = 3 = 3 92

4.5. Случай 0 = 1 = 3 = 3 95

4.6. Случай 0 = 1 = 2 = 3 = 3 97

4.7. Случай 1 = 3 = 4 99

4.8. Случай 2 = 3 = 4 100

4.9. Продолжение корон до мозаик 105

Глава 5. Мозаики из пятиугольников общего вида 110

5.1. Пятиугольники первых семи типов 110

5.2. Пятиугольники типа () = 11223 116

5.3. Пятиугольники типа () = 11123 121

5.4. Продолжение корон до мозаик 126

Заключение 129

Литература

• Центральные плитки мозаики
• Новое доказательство полноты списка равносторонних пятиугольников
• Продолжение корон до мозаик
• Пятиугольники типа () = 11223

Введение к работе

Актуальность работы.

Одна из областей комбинаторной геометрии — теория замощений пространства интенсивно развивается на протяжении последних ста лет. Однако она имеет древнюю историю. Известно много древних и средневековых орнаментов в Европе, Африке и Азии, составленных из повторяющихся мотивов [5], [7], [10].

Остановимся на замощениях евклидовой плоскости. Совокупность замкнутых ограниченных фигур Т = {Pi, Р2,..., Р&,...} называется замощением плоскости, если фигуры расположены так, что они не имеют общих внутренних точек, и их объединение есть вся плоскость. Плоскость, выложенную фигурами, называют мозаикой, а фигуры замощения часто называют плитками. Рассмотрим задачу замощения плоскости конгруэнтными многоугольниками. Будем говорить, что многоугольник замощает плоскость, если существует замощение плоскости многоугольниками, конгруэнтными данному. Такой многоугольник будем называть мозаичным, а мозаики из конгруэнтных многоугольников называют моноэдральными [10].

Многие мозаики обладают симметриями, то есть они совмещаются с собой под действием некоторого движения плоскости. Если среди симметрии мозаики есть две неколлинеарные трансляции, то мозаика является периодической. В такой мозаике можно выделить область, заполняющую всю плоскость без пробелов и наложений при параллельных переносах. Можно построить периодические и непериодические моноэдральные мозаики, используя одну и ту же плитку [10]. Отдельный класс мозаик составляют изоэдральные мозаики или мозаики, транзитивные на плитках [10]. Изоэдральная мозаика — это мозаика, чья группа симметрии действует транзитивно на плитках, т. е. каждая плитка мозаики может быть переведена в любую другую плитку мозаики с помощью симметрии этой мозаики.

Кроме того, часто рассматриваются мозаики, называемые нормальными (или мозаиками "ребро к ребру"). Мозаика называется нормальной, если пересечение любых двух смежных ее плиток является ребром или вершиной каждой из них.

Если плитка изоэдральной нормальной мозаики — это выпуклый многоугольник, то такую мозаику часто называют правильной. Впервые понятие правильного замощения плоскости и пространства дал Е.С. Федоров в своих работах еще в конце XIX - начале XX вв. Его труды, касающиеся этой темы, переизданы в [3], [4]. Плитку в случае правильного замощения плоскости он называл планигоном. В [1] Б.Н. Делоне предложил идею нахождения всех

типов правильных мозаик на плоскости. В [8], [9] Грюнбаум и Шеппард изучали изоэдральные и изогональные мозаики (под изогональным замощением понимается замощение плоскости, чья группа симметрии действует транзитивно на вершинах разбиения). В работе [6] Долбилин и Шаттшнейдер также описывают многоугольники, допускающие изоэдральные мозаики. Если группа симметрии мозаики действует транзитивно на блоке из к плиток мозаики при к > 1, то мозаика называется /с-блок транзитивной или /с-изоэдральной.

Остается до сих пор нерешенной задача нахождения и классификации многоугольников, которыми можно замостить плоскость. Такие мозаики включают в себя как /с-блок транзитивные (к > 1), так и непериодические мозаики. Любой треугольник и четырехугольник замощает плоскость, при этом мозаики могут быть как изоэдральные, так и непериодические [10].

Остановимся на задаче нахождения выпуклых многоугольников, которыми можно замостить плоскость. Известно, что выпуклым многоугольником, имеющим более 6 сторон, замостить плоскость невозможно, доказательство этого утверждения приведено в [13], [15]. Мозаики из шестиугольников были полностью исследованы в 1918 г. Рейнхардом [14]. Таких шестиугольников оказалось 3 различных типа.

Проблема построения исчерпывающей классификации выпуклых пятиугольников, которыми можно замостить плоскость, остается до сих пор нерешенной. Было найдено 14 типов таких пятиугольников. Но до сих пор нет доказательства полноты имеющегося перечня.

Некоторые мозаики из выпуклых пятиугольников были известны еще в древности [16]. Первая попытка классифицировать пятиугольники, которые замощают плоскость была сделана в 1918 г. Рейнхардом в его докторской диссертации [14]. Он перечислил пять различных типов таких пятиугольников (типы 1 — 5 из списка, приведенного ниже). В 1968 г. Кершнер нашел еще три типа пятиугольников, замощающих плоскость [12] (типы 6, 7, 8). Один тип пятиугольников был найден Джеймсом в 1975 г (тип 10). Еще четыре типа пятиугольников найдены Райе в 1976 — 1977 гг (типы 9, 11, 12, 13). Последний 14 тип в 1985 г. открыл Штейн.

Перечислим 14 типов пятиугольников, которыми можно замостить плоскость. Обозначим последовательные вершины пятиугольника Хо, Х\, Х₂, Хз, Х^і его углы — соответственно Жо, Жі, Х2-, Жз, 3. Длины сторон пятиугольника Сі = |Xj_iXj|, і = 0,1,2,3,4, индексы в последнем равенстве берутся по модулю 5. Известны следующие типы пятиугольников, замощающих плоскость:

1. _{Xo + Xl} = 180;

2. жо + ж₂ = 180⁰,Сі = С₃;

3. xo = x₂ = x₃ = 120, Co = Сі, Сз = C₂ + C₄; 4.жо = ж₂ = 90⁰,Со = Сі,С₂ = Сз;

5. _Ж2 = 2ж₀ = 120, Co = С_ЬС₂ = Сз;

6. жі + жз = 180, х₀ = 2ж₃, Co = Сі = С₂, Сз = С₄;

7. ж₀ + 2х_:і = 360, ж₂ + 2ж_х = 360, С₀ = Сі = С₂ = С₃;

8. хі + 2ж₀ = 360, х₂ + 2ж₃ = 360, С₀ = Сі = С₂ = С₃;

9. жі + 2х_А = 360, ж₂ + 2х₃ = 360, С₀ = Сі = С₂ = С₃;

10. ж₄ = 90, х₀ + ж₃ = 180, 2жі - ж₃ = 180, 2ж₂ + ж₃ = 360, С₀ = С_А = С\ + Сз;

11. х₀ = 90, ж₂ + х₄ = 180, 2жі + х₂ = 360, С₃ = С₄ = 2С₀ + С₂;

12. ж₀ = 90, х₂ + х_А = 180, 2жі +х₂ = 360, 2С₀ = С₃ = С₂ + С₄;

13. х₀ = х₂ = 90, 2жі = 2ж₄ = 360 - ж₃, <^2 = С₃, 2С₂ = С₄;

14. ж₃ = 90, х_{) + х₂ = 180, ж₀ + 2ж₄ = 360, С₀ = 2С₂ = 2С₄.

В работах [10], [16], [18] перечислены все эти типы пятиугольников, и приведены примеры мозаик из таких пятиугольников.

В 1982 г. Шаттшнейдер [17] представила списки выпуклых и невыпуклых равносторонних пятиугольников, замощающих плоскость. В 1985 г. Хант и Хиршхорн [11] доказали полноту списка Шаттшнейдер выпуклых равносторонних пятиугольников, замощающих плоскость. В 2001 г. в [21] и в 2004 г. в [24] приведено новое доказательство полноты этого списка.

Одной из задач проблемы нахождения выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость является задача нахождения выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость нормально. Остановимся на этой задаче.

С 1999 года вышел ряд публикаций японских авторов Сугимото и Ога-ва в японском журнале Forma с результатами их исследований нормальных мозаик. В работах [19], [20] авторы попытались классифицировать известные пятиугольники с четырьмя равными сторонами, замощающих плоскость нормально. В работе Ю.Г. Никонорова и В.В. Чинакова [2] рассматриваются пятиугольники, замощающие плоскость регулярно (под регулярной мозаикой понимается изоэдральная нормальная мозаика, чья группа симметрии включает только собственные преобразования плоскости).

Многие авторы разделяют пятиугольники по типам в соответствии с равенствами длин сторон пятиугольника. С учетом этого имеется ровно 12 различных типов пятиугольников.

В работах многих авторов [6], [19], [20] и в моих работах используется понятие короны для плитки мозаики. Некоторое множество плиток, конгруэнтных Р, называется короной для плитки Р, если выполняются условия: 1) плитки этого множества замощают часть V плоскости; 2) плитка Р содер-

жится внутри V] 3) это множество минимально с условиями 1 и 2.

Для того, чтобы существовала мозаика из выпуклого пятиугольника, необходимо, чтобы существовала корона для каждой плитки мозаики. В 2005 г. в [25], а затем в 2009 г. в [26] приведена идея нахождения пятиугольников, замощающих плоскость нормально. Эта идея включает в себя полный перебор, который был проведен с помощью пакета математических вычислений "Maple". Результаты этих исследований докладывались автором на конференциях. В дальнейшем компьютерный перебор был полностью исключен [28] — [31].

Цели работы.

Перечисление всех выпуклых пятиугольников, которые замощают плоскость нормально.

Доказательство, что полученный список выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость нормально, полный.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Описаны все типы выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость нормально. Доказано, что этот список полный.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях разбиений плоскости и пространства.

Основные результаты.

1. Доказана

Теорема 1. Выпуклый пятиугольник тогда и только тогда замощает плоскость нормально, когда он относится к одному из следующих типов:

1. х₀ + xi = 180, С₀ = С₂ или С₃ = С₄;

2. х₀ + х₂ = 180, С\ = С₃, Со = С₂;

3. хо = х₂ = 90, С₀ = С_иС₂ = Сз;

4. х₂ = 2хо = 120,Со = C_hC₂ = Сз;

5. xi + ж₃ = 180, хо = 2ж₃, С₀ = С_х = С₂, С₃ = С₄;

6. хо + 2x_:i = 360, х₂ + 2жі = 360; С₀ = С_г = С₂ = С₃;

7. xi + 2ж₀ = 360, х₂ + 2ж₃ = 360, С₀ = С_х = С₂ = С₃;

8. xi + 2х_А = 360, х₂ + 2х₃ = 360, С₀ = С\ = С₂ = С₃.

2. Доказано утверждение, что в любой нормальной пятиугольной мозаике найдется хотя бы один пятиугольник, для которого набор степеней вершин один из следующих: (3,3,3,3,3), (3,3,3,3,4), (3,3,3,3,5), (3,3,3,3,6), (3,3,3,4,4).

3. Приведено новое доказательство полноты списка выпуклых равносторонних пятиугольников, замощающих плоскость.

4. Найдены все новые выпуклые неравносторонние пятиугольники, име-

ющие корону.

5. Доказано, что ни одна из корон из найденных пятиугольников не может быть продолжена до мозаики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и научных конференциях: II Всесибирский конгресс женщин-математиков, КрасГУ, Красноярск, 2002; III Всесибирский конгресс женщин-математиков, КрасГУ, Красноярск, 2004; Международная конференция "Мальцевские чтения" Институт математики СО РАН, Новосибирск, 2005; Международная конференция "Мальцевские чтения", Институт математики СО РАН, Новосибирск, 2009; Общегородской алгебраический семинар, руководитель: проф., д.ф.-м.н. В.Н. Ремесленников, Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2011; Семинар "Геометрия, топология и их приложения", руководитель: академик, д.ф.-м.н. И.А. Тайманов, Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2012; Семинар "Инварианты трехмерных многообразий", руководитель: чл.-корр., д.ф.-м.н. А.Ю. Веснин, Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2012; Международная конференция "Дни геометрии в Новосибирске, 2012", Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 30 августа - 1 сентября 2012 г; Семинар кафедры математического анализа КемГУ, руководитель: д.ф.-м.н., профессор Н.К. Смоленцев, Кемеровский государственный университет, 2013 г; Семинар кафедры математического анализа АлтГУ, руководитель: к.ф.-м.н., А.И. Саженков, Алтайский государственный университет, 2013 г.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 4 статьях, а также в тезисах докладов на конференциях. Список указанных работ приведен в конце автореферата [21] — [31].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из содержания, введения, пяти глав, заключения, списка литературы, содержащего 41 наименование, включая работы автора. Дополнительно представлено приложение на 15 страницах. Общий объем диссертации 149 страниц.

Центральные плитки мозаики

Если наложить на конфигурацию плиток ограничения, то задача классификации мозаик становится обозримой. Рассмотрим задачу замощения плоскости конгруэнтными многоугольниками. Будем говорить, что многоугольник замощает плоскость, если существует замощение плоскости многоугольниками, конгруэнтными данному. Такой многоугольник будем называть мозаичным, а мозаики из конгруэнтных многоугольников называют моноэдраль-ными [27].

Многие мозаики обладают симметриями, то есть они совмещаются с собой под действием некоторого движения плоскости. Если среди симметрий мозаики есть две неколлинеарные трансляции, то мозаика является периодической. Можно построить периодические и непериодические моноэдральные мозаики, используя одну и ту же плитку. Существуют мозаики, в которых одна единственная плитка может оставаться неподвижной при действии группы симметрий мозаики, а остальные плитки переводятся при этом в какие-либо другие плитки [27].

Отдельный класс мозаик составляют изоэдральные мозаики или мозаики, транзитивные на плитках [27]. Изоэдральная мозаика — это мозаика, чья группа симметрий действует транзитивно на плитках, т. е. каждая плитка мозаики может быть переведена в любую другую плитку мозаики с помощью симметрии этой мозаики.

Кроме того, часто рассматриваются мозаики, называемые нормальными (или мозаиками "ребро к ребру"). Мозаика называется нормальной, если пересечение любых двух смежных ее плиток является ребром или вершиной каждой из них.

Если плитка изоэдральной нормальной мозаики — это выпуклый многоугольник, то такую мозаику часто называют правильной. Впервые понятие правильного замощения плоскости и пространства дал Е.С. Федоров в своих работах еще в конце XIX - начале XX вв. Его труды, касающиеся этой темы, переизданы в [14], [15]. Плитку в случае правильного замощения плоскости он называл планигоном. Расположение плиток вокруг каждой плитки в правильной мозаике всегда одинаковое, то есть все плитки имеют один и тот же набор степеней вершин.

В [10] Б.Н. Делоне предложил идею нахождения всех типов правильных мозаик на плоскости. В своих исследованиях он использовал теорему Шубникова-Лавеса о существовании 11 топологически различных типах правильных сеток на плоскости, эти сетки часто называют сетками Лавеса. Его исследования продолжил в 1968 г. Хеш [28]. Окончательно в 1978 г. Делоне в [11] перечислил 93 сорта правильных замощений плоскости.

Грюнбаум и Шеппард изучали изоэдральные мозаики, в которых плитка не обязательно является выпуклым многоугольником. В 1977 г. в работе [25] независимо от Делоне, но, используя схожие методы, они перечислили 81 тип изоэдральных замощений плоскости. В 1978 г. в работе [26] они перечислили 91 тип изогональных замощений плоскости, здесь под изогональным замощением понимается замощение плоскости, чья группа симметрий действует транзитивно на вершинах разбиения. В работе [22] Долбилин и Шаттшнейдер также описывают многоугольники, допускающие изоэдральные мозаики.

Если группа симметрий мозаики действует транзитивно на блоке из плиток мозаики при к 1, то мозаика называется к-блок транзитивной или /с-изоэдральной.

Остается до сих пор нерешенной задача нахождения и классификации многоугольников, которыми можно замостить плоскость. Такие мозаики включают в себя как /с-блок транзитивные (k 1), так и непериодические мозаики. Любой треугольник и четырехугольник замощает плоскость, при этом мозаики могут быть как изоэдральные, так и непериодические [27].

Многие авторы исследуют невыпуклые многоугольники, замощающие плоскость. Мозаики из таких многоугольников могут быть /с-блок транзитивными, непериодическими и спиральными.

Остановимся на задаче нахождения выпуклых многоугольников, которыми можно замостить плоскость. Известно, что выпуклым многоугольником, имеющим более 6 сторон, замостить плоскость невозможно, доказательство этого утверждения приведено в [31], [34]. Мозаики из шестиугольников были полностью исследованы в 1918 г. Рейнхардом [33]. Он перечислил все выпуклые шестиугольники, которыми можно замостить плоскость, и доказал, что все мозаики из выпуклых шестиугольников изоэдральные. Таких шестиугольников оказалось 3 различных типа.

Проблема построения исчерпывающей классификации выпуклых пятиугольников, которыми можно замостить плоскость, остается до сих пор нерешенной. Было найдено 14 типов таких пятиугольников. Но до сих пор нет доказательства полноты имеющегося перечня.

Некоторые мозаики из выпуклых пятиугольников были известны еще в древности [35]. Первая попытка классифицировать пятиугольники, которые замощают плоскость была сделана в 1918 г. Рейнхардом в его докторской диссертации [33]. Он перечислил пять различных типов таких пятиугольников (типы 1 — 5 из списка, приведенного ниже). Каждый тип пятиугольника определяется множеством условий на углы и стороны пятиугольника, и каждое та кое множество гарантирует, что выпуклый пятиугольник, удовлетворяющий этим условиям, существует. Рейнхард показал, что существует, по крайней мере, одно замощение плоскости пятиугольником каждого типа. Каждый из пяти типов, описанных Рейнхардом, может порождать изоэдральную мозаику, и мозаики могут быть нормальными и не являться таковыми. В 1968 г. Кершнер нашел еще три типа пятиугольников, замощающих плоскость [30] (типы 6, 7, 8). Эти пятиугольники допускают только нормальные мозаики, не транзитивные на плитках. Один тип пятиугольников был найден Джеймсом в 1975 г (тип 10). Такой тип допускает только мозаики, не транзитивные на плитках и не являющиеся нормальными. Еще четыре типа пятиугольников найдены Райс в 1976 — 1977 гг (типы 9, 11, 12, 13). Пятиугольники девятого типа допускают только нормальные мозаики, не транзитивные на плитках, пятиугольники типов 11, 12, 13 допускают только мозаики, не транзитивные на плитках и не являющиеся нормальными. Последний 14 тип в 1985 г. открыл Штейн. Мозаики из таких пятиугольников всегда не транзитивные на плитках и не являются нормальными.

Перечислим 14 типов пятиугольников, которыми можно замостить плоскость. Обозначим последовательные вершины пятиугольника Хо, Х\, Х2, Хз, Х4, его углы — соответственно жо, Жі, Х2, Жз, х±. Длины сторон пятиугольника СІ = Xj_iXj, і = 0,1,2,3,4, индексы в последнем равенстве берутся по модулю 5. Известны следующие типы пятиугольников, замощающих плоскость:

Новое доказательство полноты списка равносторонних пятиугольников

Мы видим, что 1244 . Симметричный данному набору меток является набор из трех меток 220, 112, 441. Для него в пункте 2.C доказано (см. также таблица 3.6, II.C.1), что существуют короны и дополнительно существует лишь одна метка длины 4. Это означает, что для нашего набора меток с условием 1 = 4 = 4 существуют короны с набором меток: 011, 1442, 200, 313, 4421. Корона для с симметричной нумерацией вершин показана на рис. 3.8(b). В таблице 3.6, IV.1, указано решение -системы соответствующей данному набору меток. Мы видим, что это набор углов, симметричный набору (2) условия теоремы. Теперь перейдем к пунктам A-E. A. 002,002,331. Нетрудно вычислить, что 1244 — тоже метка. Однако в этой ситуации она не может соответствовать вершине 1. Имеется лишь пять различных меток длины 4, отвечающих вершине 1: 1110, 1111, 1112, 1134, 1144. Для метки 1134 выполняется равенство Хо + Х\ = 180 и следовательно Р Є Ті. Если имеет место метка 1144, то Хо = я?з, и тогда Р Є Tj. Для каждой из трех оставшихся меток имеются короны при этом Р ТІ для всех і. Короны имеют следующие последовательности меток: (002, и, 002, 331,1244), где и Є {1110,1111, 1112}, рис. 3.16, 3.15, 3.22.

Из таблицы 3.6, IV.A.1-3, видно, что имеется ровно по одному решению -систем, соответствующих каждому из трех наборов меток. Следовательно указаны все короны и в этом случае.

Это наборы углов (8),(7),(13) теоремы. B. 000,332,332. Тогда для вершины 4 допустимо лишь пять меток: 1144, 0144, 1244, 3444, 4444. Если 1144 Є Л4, то Хо = я?2, теперь можно применить лемму 3.10. Если 1244 Є Л4, то Хо = х\, затем применяем лемму 3.11. Для метки 0144 — хз + 4 = 180, значит Р Є Ті. Для каждой из двух оставшихся меток 3444, 4444 -система, определяемая метками, имеет ровно по одному решению, таблица 3.6, IV.B.2,3. Однако, в каждом из этих двух случаев нет меток длины 4, отвечающих вершине 1. Этим случай B исчерпан. C. 110,332,332. Отметим, что в этом случае обязательно имеет место метка 0244. Однако, она не отвечает вершине 1. Кроме нее для вершины 4 допустимы еще лишь четыре метки: 0044, 0144, 1244, 2244. В первом и четвертом случаях хо + х = 180, во втором — х% + х = 180, стало быть во всех трех случаях Р Є Ті. Для метки 1244 выполняется равенство хо = х\, значит можно применить лемму 3.11. Обратимся теперь к вершине 1. Если 1122 Є Л4, то Р Є Т\. Кроме названной еще допустимы лишь три метки: 0012, 0122, 1222.

Если 0012 Є Л4, то 441 є Л4, а тогда Р Є Tg. В двух оставшихся случаях -системы имеют ровно по одному решению, таблица 3.6, IV.C.1, 2. Следовательно для каждого из них получается новый пятиугольник, имеющий корону.

Для метки 0122 имеются короны, они изображены на рис. 3.21(a) и рис. 3.21(b), где г, j = 0,2, а суммы і + 2, j + 2 берутся по модулю 4. Набор из пяти меток для всех четырех корон один и тот же: (011, 1022, 233, 323, 4402).

Для метки 1222 имеются короны, рис. 3.14(a) и рис. 3.14(b). Набор меток каждой вершины короны один: (011, 1222, 233, 323, 4402) Это наборы углов (12),(6) теоремы. D. 002,332,332. Для вершины 4 допустимы шесть меток: 1144, 0144, 1244, 3444, 3344, 4444. Если 3344 є Л4, то Р Є Т\. Если 0144 є Л4, то хо + х = 180, а тогда Р Є Ті. Если 1244 є Л4, то 001 Є Л4, а тогда Р Є Tj. Если 3444 Є Л4 или 4444 Є Л4 / -система имеет ровно по одному решению, таблица 3.6, IV.D.1, 2. В вершине 1 должна быть обязательно метка вида 12г/, но среди меток для полученных углов нет такой метки. Если 1144 Є Л4, то согласно таблице 3.6, IV.D.3, существует единственное решение -системы. Для него получается новый набор углов, для которого имеются короны: (002,1112, 233, 323, 4411). Короны изображены на рисунке 3.18. Эти короны соответствует набору углов (10) теоремы. E. 220,332,332. Для вершины 4 имеется лишь пять меток: 0144,1144, 1244, 3344, 3444. Для меток 0144 и 3344 — х% + х = 180, значит Р Є Ті. Для метки 1144 получаем хо = я?2, далее лемма 3.10. 1244 є Л4, то 001 є JM, а тогда Р Є Tj. Для оставшейся метки 3444 -система, определяемая метками, имеет ровно одно решение, таблица 3.6, IV.E. Однако, в этом случае нет меток длины 4, отвечающих вершине 1.

Этим исчерпан рассматриваемый в этом пункте случай. Случай VQ = V\ = -из = 3, v i = v± = 4 В этом пункте докажем, что при указанном условии Р Є Т, і = 1, 2, б, 7,8, или Р имеет углы указанные в теореме, наборы (1), (3), (6), (11), (12), (14). Если Р Ті, то как отмечалось в пункте 2 в вершинах 0 и 1 возможны лишь по семь меток: 000, 001, 110, 002, 220, 330, 440 — для вершины 0; 111, 001, 110, 112, 221, 331, 441 — для вершины 1. Составим такую же как и в пункте 4 7 х 7—таблицу, строки который помечены метками вершины 1, а столбцы — метками вершины 0. Все пояснения к таблице из пункта 4 сохраняют силу для новой таблицы 3.5.

Заметим, что симметрии здесь тоже нет, нам необходимо заполнить все 49 клеток таблицы. Все обозначения точно такие же, что и в таблице 3.4. Прочерк в клетке таблицы 3.5 означает, что соответствующие метки несогла-сованы.

Случаи, в которых информации о Р нет, помечены либо латинскими буквами А —Е, либо ссылками на таблицу 3.6.

Римская цифра отсылает к таблице 3.6, в которой в соответствующей строке указано решение -системы, определяемой данным набором меток. Таких клеток 13. -Система не имеет ни одного решения (II.B.1, V.8, V.9). В остальных случаях -система имеет ровно одно решение. Для этого решения либо нет ни одной дополнительной метки (I.1, V.1, V.3), либо дополнительные метки для вершины 2 не могут быть согласованы с метками, отвечающим вершинам 1 и 3 (II.D.1, IV.1, V.2, V.4, V.6, V.7). Наконец, в одном случае

Продолжение корон до мозаик

Теорема 3.2. Пятиугольники, имеющие один из четырнадцати наборов углов, перечисленных в теореме 3.1, имеют короны, но ни одна из таких корон не может быть продолжена до мозаики.

Доказательство. Далее рассматриваются 14 пунктов в соответствии с наборами углов, перечисленных в теореме 3.1. Во многих случаях пятиугольник может иметь несколько корон, но на соответствующих рисунках обычно приводится одна из корон. Количество возможных корон и пояснения к рисункам приведены в тексте.

1. Углы пятиугольника: Пятиугольник с такими углами имеет четыре короны (рис. 3.7). Символы , меток вершины 2 принимают значения: = 0, = 2 или = 2, = 0. В вершине 3 плитка, смежная с по вершине, может занимать два положения. Во всех случаях препятствием для продолжения замощения плоскости служит вершина, обведенная на рисунке кружочком.

В указанной вершине возможны лишь метки вида 00i... &, = 1, 2 .... Все возможные метки для этого пятиугольника приведены в таблице 3.6, II.D.1. Среди меток, указанных в таблице, меток такого вида нет. 2. Углы пятиугольника:

Пятиугольник с такими углами имеет четыре короны (рис. 3.8(a), 3.8(b)). В вершине 3 плитка, смежная с по вершине, может занимать два положения. Во всех случаях препятствием для продолжения замощения плоскости служат вершины, обведенные на рисунках кружочком.

В указанной вершине возможны лишь метки вида 00i... &, = 1, 2 .... Все возможные метки для этого пятиугольника приведены в таблице 3.6, II.C.1. Среди меток, указанных в таблице, меток такого вида нет.

Пятиугольник с такими углами имеет четыре короны (рис. 3.9). В вершинах 2 и 4 плитки, смежные с по этим вершинам, могут занимать по два положения. Во всех случаях препятствием для продолжения замощения плоскости служит вершина, обведенная на рисунке кружочком.

В указанной вершине возможны лишь метки вида 04i... &, = 1, 2 .... Все возможные метки для этого пятиугольника приведены в таблице 3.6, V.C.5. Среди меток, указанных в таблице, меток такого вида нет.

Пятиугольник с такими углами имеет 18 корон. Символы , меток вершины 2 на рисунках 3.10(a), 3.10(b) принимают значения: = 0, = 2 или = 2, = 0. На рисунке 3.10(c) символы ,, меток вершины 2 принимают значения: = 0, = 2, = 1, или = 2, = 0, = 1, или = 2, = 4, = 4, в вершине 0 плитка, смежная с по вершине, может занимать два положения. Препятствием для продолжения замощения плоскости служат вершины, обведенные на рисунках кружочком.

На рисунке 3.10(a) в указанной вершине возможны лишь метки вида 33i...fc, = 1,2.... При этом не может быть метки из трех символов, иначе плитка имела бы две стороны типа 2, и по крайней мере два символа из набора \... k обязательно должны принадлежать множеству {3, 4}.

Все возможные метки для этого пятиугольника приведены в таблице 3.6, I.2 и V.C.4. Среди меток, указанных в таблице, меток такого вида нет. На рисунке 3.10(b) в указанной вершине возможны лишь метки вида 13ї... k, = 1,2.... При этом по крайней мере один из символов набора \... k обязательно должен принадлежать множеству {3,4}.

Среди меток, указанных в таблице 3.6, I.2 и V.C.4, меток такого вида нет. На рисунке 3.10(c) в указанной вершине возможны лишь метки вида 00i...k, = 1,2.... Среди меток, указанных в таблице 3.6, I.2 и V.C.4, меток такого вида нет. 5. Углы пятиугольника:

Пятиугольник с такими углами имеет 6 корон (рис. 3.11(a), 3.11(b), 3.12). На всех рисунках в вершине 2 плитка, смежная с по вершине, может занимать два положения. Препятствием для продолжения замощения плоскости служат вершины, обведенные на рисунках кружочком.

В указанной вершине возможны лишь метки вида 04i... k или 02i.. .k, = 1,2.... Все возможные метки для этого пятиугольника приведены в таблице 3.6, 0.1. Среди меток, указанных в таблице, меток такого вида нет.

Пятиугольник с такими углами имеет 16 корон (рис. 3.13(a), 3.13(b), 3.14(a), 3.14(b)). Символы , меток вершины 4 на рисунках принимают значения: = 0, = 2 или = 2, = 0. Во всех случаях препятствием для продолжения замощения плоскости служат вершины, обведенные на рисунках кружочком.

На рисунках 3.13(a) и 3.14(a) в указанной вершине возможны метки вида 33ї... k, = 1, 2 .... При этом не может быть метки из трех символов, иначе плитка имела бы две стороны типа 2, и по крайней мере два символа набора \... k обязательно должны принадлежать множеству {3,4}. Все возможные метки для этого пятиугольника приведены в таблице 3.6, IV.C.2 и V.E.3. Среди меток, указанных в таблице, меток такого вида нет.

На рисунках 3.13(b) и 3.14(b) в указанной вершине возможны метки вида 13ї... k, = 1,2.... При этом по крайней мере один из символов набора \... k обязательно должно принадлежать множеству {3,4}.

Пятиугольник с такими углами имеет восемь корон (рис. 3.15). Символы , меток вершины 0 на рисунке принимают значения: = 0, = 2 или = 2, = 0. В вершинах 1 и 4 плитки, смежная с по этим вершинам, могут занимать по два положения. Препятствием для продолжения замощения плоскости служит вершина, обведенная на рисунке кружочком.

В указанной вершине возможны лишь метки вида 22i... k, = 1, 2 .... Все возможные метки для этого пятиугольника приведены в таблице 3.6, IV.A.2. Среди меток, указанных в таблице, меток такого вида нет.

Пятиугольник с такими углами имеет восемь корон (рис. 3.22). В вершинах 1 и 4 плитки, смежные с по этим вершинам, могут занимать два положения. Препятствием для продолжения замощения плоскости служит вершина, обведенная на рисунке кружочком.

В указанной вершине возможны лишь метки вида 34i... k, = 1, 2 ..., Рис. 3.22. при этом не может быть метки из трех символов, и по крайней мере два символа набора \... & обязательно должны принадлежать множеству {3,4}. Все возможные метки для этого пятиугольника приведены в таблице 3.6, IV.A.3. Среди меток, указанных в таблице, меток такого вида нет. 14. Углы пятиугольника: о = 360 — 2з, \ = з, 2 = 180 — ±, \\J . Пятиугольник с такими углами имеет две короны (рис. 3.23). В вершине 4 плитка, смежная с по этой вершине, может занимать два положения. Препятствием для продолжения замощения плоскости служит, например, вершина, обведенная на рисунке кружочком.

Пятиугольники типа () = 11223

Доказательство. Вначале несколько простых замечаний, которые в дальнейшем используются без дополнительных ссылок. 1) Если выполняется одно из условий: о + \ = 180, 2 + % = 180, з + 4 = 180, то Є і. 2) Если одна из меток ООП, 0044, 2233, 012, 014, 234 принадлежит Л (), то Є і. 3) Если одна из пар меток: 220,110; 221,001; 440,110; 441, 001 содержится в Л (), то Є і. 4) Пусть з = 90. Если {220,441} с Л4() или {221,440} С Л (), то Є і.

Пусть плитка i приложена к стороне 34 плитки . Сначала разберем случай, когда и i ориентированы одинаково.

Если s = 3, то вершине 3 отвечает метка 234. Значит Є і. То же самое верно и в случае, если = 3. Если % = 4, то вершине 3 отвечает единственная метка длины 4: 3344. Следовательно Р Є Т\. Поскольку из двух вершин центральной плитки по крайней мере одна имеет степень 3 или 4, то этим случай, когда плитка Р\ ориентирована одинаково с Р, исчерпан.

Пусть Р и Pi имеют разные ориентации, рис. 5.11(a). Точно также можно считать, что плитка Р}, приложенная к стороне 3 плитки Р, ориентирована с Р тоже противоположно. Ясно, что г з 4. Учитывая возможность перенумерации по правилу 0 -о- 1, 2 -о- 4, достаточно рассмотреть случаи: 1) v% = v = 4; 2) 0 = 3 = 4; 3) г з 4 и остальные вершины имеют степень 3. 1) Пусть г з = V4 = 4. Тогда ж з = 90. Все используемые обозначения на рис. 5.11(a). Вершине 2 отвечают две метки: 220, 221. Вершине 4 отвечает пять меток: 0044, 0144, 1144 (если 6(a) = 1), 2244 (если 6(a) = 2), 4444 (если 6(a) = 3). Для первой и последней меток этого списка сразу получаем Р Є Т\. Таким образом можно считать, что вершине 4 отвечает одна из трех меток: 0144, 1144, 2244. Вершине 0 отвечает одна из пяти меток: 000, 001, 110, 220, 440; вершине 1: 000, 001, 110, 220, 440.

Если 6(b) = 1, 6(c) = 1 и в вершинах 0 и 1 выбраны разные метки, то Хо = Х\ = Х2 = 120. Тогда х% + х = 180 и значит Р Є Т\. Будем считать, что метки этих вершин одинаковы. Тогда это — метки 001 или 110. Метка 001 вершины 1 согласовано только с меткой 221 вершины 2, а тогда Р Є Т\. Если обеим вершинам 0 и 1 отвечает метка 110, то вершине 2 отвечает метка 220, иначе метка вершины 1 не согласована с метками вершин 0 или 2. Так как 220,110 Є Л4(Р), то Р Є Т\. Это означает, что при 6(b) = 1, 6(c) = 1 плитка Р Є Ті. Пусть 6(b) = 2, 6(c) = 1. Тогда вершине 0 отвечает метка 220, рис. 5.11(b). Если вершине 2 отвечает метка 221, то какая бы ни была метка в вершине 1 получаем хо = х\ = 120, а тогда Р Є Ті. Можно считать поэтому, что вершине 2 отвечает метка 220. Тогда вершине 1 отвечает метка 111, а вершине 4 одна из двух меток: 0144, 1144. Для первой метки соответствующая система линейных уравнений несовместна, а для второй она имеет единственное решение, для которого о = 180.

Пусть () = 3, () = 1. Тогда вершине 0 отвечает метка 440, а вершине 4 — 0144. Однако наличие таких двух меток влечет \ = 0. Противоречие показывает, что этот случай невозможен.

Мы помним, что вершине 2 отвечает отвечает одна из двух меток: 220, 221. Вершине 4 теперь тоже отвечает одна из двух меток 440, 441. В силу замечания (4), сформулированного в начале доказательства, можно считать, что выполняется одно из двух включений: {220,440} С Л4(), {221,441} С Л4(). В любом случае имеет место равенство 2 = {.

Если 110 Є Л4(), то мы получаем набор углов (1) из условия леммы. Заметим, что в этом случае вершине 0 отвечает единственно возможная метка 0000. Здесь мы имеем дело с короной, для которой полный набор меток имеет вид

Если метка 221 отвечает вершине 1, рис. 5.12(b), то меткой вершины 0 может быть одна из трех: 0001, ООП, 0122. Однако, в первых двух случаях тогда о + \ = 180, значит Є \. Третья метка несовместима с меткой 221.

Тем самым случай, когда Q = % = 4 исследован полностью. 3) з 4 и остальные вершины имеют степень 3. Из двух ребер и (рис. 5.12(c)) одно обязательно имеет первый тип. Можно считать, что это ребро . Иначе перейдем к симметричному варианту за счет перенумерации вершин 0 -о- 1, 2 -о- 4. Мы уже видели, что вершине 2 отвечает одна из двух меток 220, 221, а вершине 4 — 440, 441. Вершине 0 с учетом предположения относительно ребра отвечает одна из трех меток: 000, 001, 110.

Пусть вначале вершине 4 отвечает метка 440. Тогда вершине 0 отвечает одна из меток: 001, 110. Если 110 Є Л4, то Є \. Можно считать поэтому, что вершине 0 отвечает метка 001. Если теперь 221 Є Л4, то Є \. Считаем поэтому, что вершине 2 отвечает метка 220 (рис. 5.12(d)). Теперь видим, что вершине 1 отвечает одна из двух меток: 111, 441. В обоих случаях Є \.

Пятиугольник Р имеет две короны, соответствующие набору меток 110, 110, 2244, 330, 0044. Препятствием для продолжения замощения плоскости при Х4 90 служит вершина А на рисунке 5.14(a), при х 90 — вершина В. Степень этих вершин не меньше четырех (иначе Р имел бы смежные стороны типов 2 или 3).

Так как х Жз, то наименьшей суммой четырех углов при вершине А при условии, что Р и Р ориентированы одинаково, будет 4 4 360. Если Р и Р ориентированы противоположно, и поскольку Х2 Х4 при Х4 90, то наименьшей суммой является Х2 + Хз + 2 4 270 + х 360. (На рисунке 5.14(a) Р и Р ориентированы противоположно.) Таким образом в любом случае при Х4 90 продолжить замощение за пределы точки А невозможно.

Пусть Х4 90. Тогда Х2 90. Если существует продолжение замощения, охватывающее вершину , то в этой вершине сходилось бы не менее четырех углов, равных х\ или я?2, сумма которых больше 360. Противоречие.

Возможны еще две короны с набором меток 110, 110, 2221, 330, 0044 (рис. 5.14(b)). Углы пятиугольника — это частный случай рассматриваемого набора углов: хо = 72, х\ = 144, Х2 = 72, х% = 144, х = 108.