Многогранные метрики на границах выпуклых гиперболических многообразий и изгибаемость многогранников в пространстве Лобачевского Слуцкий Дмитрий Анатольевич

Вычисление метрических элементов тетраэдра T(t)

Поскольку величины углов в гиперболическом треугольнике больше О и меньше 7г, то синусы углов треугольника неотрицательны и, следовательно, sin9(t) = \J\ — cos29(t), sin (t) = \J\ — cos2/y(t), sin\(t) = \J\ — cos2X(t).

Рассмотрим сферу E единичного радиуса с центром в вершине A(t) тетраэдра T(t). Обозначим через СА{І), АГД() И ВА(І) ТОЧКИ пересечения сферы Е с лучами A(t)C, A(t)N(t) и A(t)B(t) соответственно. Они определяют треугольник ACA{t)NA{t)BA{t), состоящий из точек пересечения сферы Е и лучей, выпущенных из точки A(t) и проходящих через точки грани ACB(t)N(t) тетраэдра T(t). ПО ПОСТрОеНИЮ УГОЛ СферИЧеСКОГО ТреуГОЛЬНИКа ACA(t)NA(t)BA(t) при вершине СА{Ь) равен 7г/2, угол при А () равен ZN(t)A(t), угол при ВА{Ь) равен ZA(t)B(t), длина стороны CU()A () равна /3(t), длина ЫА{Ь)ВА{Ь) равна (t), длина СА{Ь)ВА{Ь) равна S(t). Аналогично строится сферический треугольник ACB{t)NB{t)AB{t), угол которого при вершине CB{t) равен 7г/2, угол при NB{t) равен ZN(t)B(t), угол при AB{t) равен ZA(t)B(t), длина стороны CB{t)NB{t) равна p(t), длина NB{t)AB{t) равна 0(t), длина CB{t)AB{t) равна i(j(t). cos ZA(t)B(t) cos ZN(t)A(t) Дважды применяя теорему косинусов для сферического пространства [36] к треугольнику ACA{t)NA{t)BA{t), получаем формулы: cos (3{t) — cos 7(0 cos S(t) sin7( ) sin() cosS(t) — cos f(t) cos/3(t) sin7( ) sin/3(t) Применяя теперь теорему косинусов для сферического простран 28 ства к треугольнику ACB( )7VB( )AB( ), получаем: cos ZN(t)B(t) = m-coMt)cose(t)_ KJ KJ sin cp(t) sin Є{t)

Напомним, что согласно формуле Шлефли для многогранников в трёхмерном пространстве Лобачевского [36], кривизна которого равна —1, имеет место равенство dV l leMe, (1-25) где dV — вариация объёма многогранника с длинами рёбер le, d9e — вариация двугранного угла многогранника при соответствующем ребре и суммирование ведётся по всем рёбрам.

Покажем, что в качестве многогранника, существование которого утверждается в Теореме 1.1, можно взять многогранник S(0) из семейства подвесок S(t), t Є (—1,1), построенного в разделе 1.1, с образующими элементами тетраэдра Т

Подвеска S(0) нежёсткая, поскольку р, q и а из (1.26) удовлетворяют условию (1.9). Убедимся, что в качестве бесконечно малого изгибания, существование которого утверждается в теореме, можно взять нетривиальное бесконечно малое изгибание из раздела 1.2 с коэффициентами (1.27).

По формуле Шлефли (1.25) с учётом обозначений и замечаний раздела 1.1 вариация объёма многогранника S(t) при t = 0 записы зо вается так: d%1) = _12(в(0) Ш(0) + 6(0) Ш(0)+ + с(0) ШШ(0))Л. (1.28) LLL J Подставляя величины из (1.26) и (1.27) в формулы разделов 1.2 и 1.3, последовательно находим значения гиперболических косинусов длин сторон и вариаций двугранных углов тетраэдра T(t) при

Вполне возможно, что в качестве примера многогранника, удовлетворяющего условиям Теоремы 1.1, можно взять и другие полиэдры (например, построив в пространстве Лобачевского аналог нежёсткого октаэдра Г. Глюка [33]; см. также русский перевод [34]), но здесь мы не будем проверять этого.

Пользуясь обозначениями раздела 1.4, определим интегральную среднюю кривизну многогранника S(t) в трёхмерном пространстве следующим образом:

M(s(t)) = \Y.l -oe(t)) Р. Александер в [38] доказал, что интегральная средняя кривизна любого многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве стационарна при любом бесконечно малом изгибании. Длины рёбер многогранника S(t) стационарны при бесконечно малом изгибании подвески S(t) из раздела 1.2. Значит, вариация интегральной средней кривизны многогранника S(t) при t = 0 совпадает с вариацией объёма dVs ). Стало быть, из доказательства Теоремы 1.1 автоматически следует, что вариация интегральной средней кривизны для построенного изгибания подвески S не равна нулю. Таким образом мы видим, что интегральная средняя кривизна нежёсткого многогранника не обязательно стационарна в пространстве Лобачевского и сферическом, но обязательно стационарна в евклидовом пространстве.

Проверка необходимого условия изгибаемости на октаэдрах Брикара - Штахеля в трёхмерном пространстве Лобачевского

В 2002 году Г. Штахель [23] доказал изгибаемость аналогов октаэдров Брикара в трёхмерном пространстве Лобачевского. Убедимся в справедливости полученного нами необходимого условия изгибаемости на примере октаэдров Брикара - Штахеля.

Октаэдром О мы будем называть подвеску NABCDS с полюсами N и S и вершинами экватора А, В, С и D. Обратим внимание на то, что в качестве полюсов октаэдра О можно также взять вершины А и С (в этом случае экватором подвески служит четырёхвершин-ник NDSB) и вершины В и D (которым соответствует экватор NCSA). L

Октаэдры Брикара - Штахеля первого и второго типов в пространстве Лобачевского строятся точно так же, как и октаэдры Брикара первого и второго типов в евклидовом пространстве [23], [44].

Любой октаэдр Брикара - Штахеля первого типа в Н3 может быть построен следующим образом. Рассмотрим кусочно-линейную гомеоморфную диску поверхность S в Н3, составленную из четырёх треугольников ABN, BCN, CDN и DAN, причём dms(A,B) = сіиз(С, D) и сіиз(Б,С) = сіиз(І),Л). Известно, что пространственный четырёхвершинник ABCD, у которого длины несмежных сторон равны, симметричен относительно прямой С, проходящей через середины его диагоналей АС и BD (см. Рис. 2.8; для более чёткой аналогии с евклидовым случаем многогранники на этом и последующих рисунках изображены в проективной модели пространства Лобачевского, прямые и плоскости в которой, как известно, являются пересечениями евклидовых прямых и плоскостей Рис. 2.10: Построение октаэдра Брикара Рис. с шаром единичного радиуса). Отразим S относительно L и полученный образ склеим с S по четырёхвершиннику ABCD. Точку, симметричную N относительно L, обозначим символом S (см. Рис. 2.9). Полученная многогранная поверхность NABCDS является изгибаемой (поскольку S изгибаема) и представляет собой октаэдр (согласно данному выше определению). Мы будем называть её октаэдром Брикара - Штахеля первого типа. Из построения следует, что (ЫДАО = dw{C,S), dw(B,N) = dus(D}S), dw(C,N) = d№(A,S)nd№(D,N) = d№(B,S).

Любой октаэдр Брикара - Штахеля второго типа в Н3 может быть построен следующим образом. Рассмотрим кусочно-линейную гомеоморфную диску поверхность S в Н3, составленную из четырёх треугольников ABN, BCN, CDN и DAN, причём dms(A,B) = сіиз(Б,С) и сіиз(С, D) = dffii(D,A). Известно, что пространственный четырёхвершинник ABCD, у которого длины смежных сторон при вершинах В и D равны, симметричен относительно плоскости Н, делящей пополам угол между полуплоскостями ABD и CBD (см. Рис. 2.10). Отразим S относительно Н и полученный образ склеим с 5 по четырёхвершиннику ABCD. Точку, симметричную N относительно Н, обозначим символом S (см. Рис. 2.11). Полученная многогранная поверхность NABCDS является изгибаемой (поскольку S изгибаема) и представляет собой октаэдр. Мы будем называть её октаэдром Брикара - Штахеля второго типа. Из построения следует, что с1из(Л,7У) = dip (С, S), dip (С, TV) = d a(A,S), dus(B}N) = dw(B,S) и сМД АО = dB?(D,S).

Нам осталось заметить, что у каждого из рассмотренных выше октаэдров все три экватора имеют по две пары рёбер одинаковой длины. Как следствие, Теорема 2.1 справедлива для октаэдров Брикара - Штахеля первого и второго типов.

Известны три подтипа октаэдров Брикара - Штахеля третьего типа в пространстве Лобачевского [23], при конструировании которых используются окружности, орициклы и гиперокружности соответственно. Принцип построения октаэдров Брикара - Штахеля третьего типа общий для всех его подтипов и не отличается от алгоритма построения октаэдров Брикара третьего типа в евклидовом пространстве. Ai

Штахеля третьего типа на основе Шаг 2. Любой октаэдр Брикара - Штахеля третьего типа в Н3 может быть построен следующим образом. Пусть КАС И КАВ — две различных окружности (орицикла, гиперокружности) в Н2 с общим центром М и пусть А\ и А — две различные конечные точки вне КАС И КАВ- Предположим дополнительно, что КАС-, КАВ, А\ И А ВЗЯТЫ таким образом, что касательные прямые к КАВ-, проходящие через А\ и А2, попарно пересекаясь в конечных точках Н2, образуют четырёх-вершинник А1В1А2В2, касательный к КАВ, а касательные прямые к КАС, проходящие через А\ и А2, попарно пересекаясь в конечных точках Н2, образуют четырёхвершинник А1С1А2С2, касательный к КАС (СМ. РИС. 2.12; для наглядности мы разместили окружности КАВ И КАС таким образом, что их центр совпадает с центром проективной модели пространства Лобачевского — в этом случае КАВ И КАС ЯВЛЯЮТСЯ И евклидовыми окружностями тоже). Многогранник О с вершинами Ai, BJ И Ck, рёбрами A{Bj, AiCk и BjCk и гранями AAiBjCk, i,j,k Є {1,2}, является октаэдром в смысле данного выше определения (см. Рис. 2.13). В качестве его полюсов можно взять пары вершин (Аі, ) (ей соответствует экватор В1С1В2С2), (Bi,B2) (с экватором А1С1А2С2) и (Ci,C2) (с экватором AiBiA2B2). Дополнительно исключим все возможные симметрии фигуры О. Такой октаэдр О мы будем называть октаэдром Брикара - Штахеля третьего типа.

Сходимость выпуклых поверхностей в компактной области пространства Лобачевского Н3

Компактное связное трёхмерное многообразие Л4 вида S х [—1,1], где S — замкнутая связная поверхность рода 2, такое, как описано в формулировке Теоремы 3.5, можно интерпретировать как выпуклую компактную область внутри квазифуксова многообразия М = Н3/Гд , где символ TQF обозначает квазифуксову группу изо-метрий трёхмерного пространства Лобачевского Н3. Отметим, что граница дЛ4 такой области Л4 состоит из двух отдельных локально выпуклых компактных поверхностей в многообразии Л4. Так, метрика h из формулировки Теоремы 3.5 представляет собой пару почти всюду гиперболических метрик за исключением конечного набора конических точек, таких что полный угол вокруг них не превосходит 27г (или другими словами, пару многогранных гиперболических метрик) на связных компактных поверхностях того же рода, что и многообразие Л4. Наша цель — отыскать такие квазифуксову подгруппу TQF изометрий пространства Лобачевского Н3 и выпуклую компактную область Л4 с Л4, что индуцированная метрика её границы дЛ4 совпадает с h.

Основная идея доказательства Теоремы 3.5 состоит в том, чтобы (1) аппроксимировать метрику h с коническими сингулярностями последовательностью {Ьт}пещ С-гладких метрик, для которых применима Теорема Лабури - Шленкера 3.6, и значит, найдутся такие квазифуксовы группы Гп изометрий пространства Н3 и такие выпуклые компактные области Л4п в квазифуксовых многообразиях Мп = Н3/Гп, что индуцированные метрики на границах дМп множеств Мп совпадают с hn, п є N; (2) отыскать последовательность натуральных чисел rik ос к—т оо такую, что подпоследовательности групп {ГПй}/;Є и областей {Л4Пк}кеп сходятся к некоторым пределам (типы сходимости будут уточнены позднее); (3) а также показать, что индуцированная метрика на границе пре дельной области М совпадает с h. Для удобства давайте введём новые обозначения для некоторых объектов, о которых мы уже упоминали ранее: для области Л4 и ква-зифуксова многообразия Л4 мы будем использовать символы Л оо и М соответственно. Мы также обозначим связные компоненты границы дМоо предельной области Л оо за S+ и S , а индуцированные метрики поверхностей S+ и S — за /г+ и h соответственно. Таким образом, определить метрику h из формулировки Теоремы 3.5 означает предоставить пару многогранных гиперболических метрик

К и К 3.1.1 Построение последовательностей метрик, сходящихся к заданным метрикам В этом параграфе мы докажем два вспомогательных результата. Лемма 3.1. Предположим, что поверхность S снабжена многогранной гиперболической метрикой h (то есть, секционная кривизна которой равна —1 всюду, за исключением конечного множества конических точек, таких что полный угол вокруг них не превосходит 1ж). Тогда существует сходящаяся к h последовательность {hn}nn С-гладких метрик на S, кривизны которых всюду — 1. Рис. 3.1: Круговой конус р в модели Клейна К пространства Лобачевского Ш .

Доказательство. Рассмотрим сингулярную точку Р є S многогранной гиперболической метрики h вместе с её окрестностью Up с S, не содержащей других сингулярных точек h. Область Up, снабжённая метрикой h\uP, являющейся ограничением метрики h, изомет-рична куску кругового конуса (р в трёхмерном пространстве Лобачевского Н3, сингулярная точка Р при этом соответствует вершине конуса р.

Модель Клейна К3 пространства Лобачевского Н3 можно представлять себе как шар единичного радиуса с центром в начале О декартовой системы координат Oxyz трёхмерного евклидова пространства М3. Напомним, что геодезические пространства Лобачевского в модели К3 суть ограничения евклидовых прямых на единичный шар в М3. Это означает, что конус пространства Лобачевского в проективной модели К3 выглядит как обыкновенный евклидов конус в Ш3. Поместим конус р в модель Клейна К3 так, чтобы его вершина совпадала с началом О декартовой координатной системы Oxyz, а ось Oz была бы осью симметрии (р (см. Рис. 3.1). Тогда конус р является поверхностью вращения вокруг оси Oz графика функции вида где параметр /І есть отрицательное целое число. Напомним следующий классический результат:

Теорема 3.7 (Теорема из 2.4 Главы I [49], стр. 13). Для всякой функции ф є Lp найдётся последовательность {фк}к&п С-гладких функций, сильно сходящихся к ф. При доказательстве Теоремы 3.7 в [49] регулярные аппроксимации фь, к є N, функции ф строятся как свёртки отображения ф с шапочками Соболева — функциями вида , ч — е 2-г 2, х Е \—г,г], Г ? j, шг\х) = r in где константа cr = etA-rAdt. { 0, xGl\[-r,r], J-г (3.1) а параметр г есть некоторое положительное вещественное число.

Поскольку нам достаточно рассматривать лишь маленький кусочек конуса (р, помещённого внутрь евклидова шара единичного радиуса с центром в начале координат О (интересующая нас часть конуса соответствует окрестности Up точки Р є S), мы можем считать, что отображение /Дж) определено на отрезке [—1,1]. Следовательно, будучи непрерывной функцией с компактным носителем, Д принадлежит пространству Лебега Ьр для всех р. Стало быть, выбрав монотонно убывающую последовательность вещественных по ложительных чисел rk 0 и осуществив свёртку функции /м с к— оо отображениями соГк, к є N, мы можем построить последовательность ВЫПУКЛЫХ ЧёТНЫХ фуНКЦИЙ {z = ffi{x) = fjj UJr x)} , сходящихся к /м. Из доказательства Теоремы 3.7 книги [49] следует, что функции fk, к є N, являются С-гладкими.

Рассмотрение Ситуации 1 в случае, когда условие ортогональности выполнено

Отметим, что индуцированная из трёхмерного пространства Лобачевского метрика цилиндра Cylo является плоской в смысле Н2, то есть её секционная кривизна всюду равна —1. Разогнём теперь пару гиперболических треугольников, образующих FD(Cylo) так, чтобы получился четырёхугольник R+R Q+Q с Н2 на плоскости Лобачевского, изометричный фундаментальной области FD(Cylo) посредством отображения, которое ставит в соответствие вершины с "тильдами" множества FD(Cylo) С Н3 точкам с теми же наименованиями, но без символа "тильда в плоскости Лобачевского Н2 (см.

Мы будем рассматривать четырёхвершинник R+R Q+Q в качестве фундаментальной области цилиндра Суіо в его универсальном накрытии внутри плоскости Лобачевского Н2. Обозначим символами XR И XQ геодезические линии в Н2, содержащие отрезки (в смысле пространства Лобачевского) R+R и Q+Q соответственно. Отметим, что связная область между прямыми XR И XQ В И2 (обозначим её FD CIJIQ)) является фундаментальной областью неограниченного гиперболического цилиндра Су1$, содержащего Cyk). В самом деле, фундаментальная группа тті(СуІ ) = Z . Таким образом, бесконечный цилиндр СуЩ содержит замкнутую геодезическую х, а в Н2 существует геодезическая %, служащая поднятием для х и связанная с изометрией х плоскости Лобачевского Н2 так, что Cyl = Ш2/(х). Продемонстрируем существование такой геодезической х Лемма 4.1. Пусть XRUXQ две непересекающиеся геодезические в Ш2, не являющиеся асимптотическими, с отмеченными точками R є XR U Q Є XQ- Существует единственная геодезическая х в Ш2 такая, что углы пересечения х с XRU XQ равны. Более того, если мы обозначим дополнительно В! = хд П X и Q = XQ П Х то сіИ2(Л, В!) = d (Q,Q ), причём точки R и Q лежат в одной полуплоскости относительно \ Доказательство. Рассмотрим модель Бельтрами - Клейна К2 плоскости Лобачевского Н2. Напомним, что К2 — это диск единичного радиуса на евклидовой плоскости Ш2, а все геодезические в К2 — это ограничения прямых евклидовой плоскости на этот диск. Не умаляя общности, мы будем считать геодезические Хд С К2 И Хд с К2 симметричными относительно оси Ох декартовой системы координат в Ш2, расположенными на некотором расстоянии ( от Ох. Пусть прямая XR лежит в верхней, а прямая %д — в нижней полуплоскости Ш2 относительно Ох. Наконец, зафиксируем произвольные точки

R є XR И Q Є XQ По построению, любая геодезическая в К2, проходящая через начало О нашей декартовой системы координат в Ш2, либо пересекает прямые XR И XQ ПД ОДНИМ И тем же углом, либо не пересекает ни одну из них. Рассмотрим семейство Фт таких геодезических RTQT, лежащих между прямыми OR и OQ, где RT є хд, QT Є XQ r обозначает расстояние в смысле пространства Лобачевского между точками R и RT, а прямая OQ є Фт этого семейства соответствует значению т параметра т.

Отметим, что точки R и Q лежат в одной полуплоскости по отношению к каждой прямой RTQT Є Фт. При монотонном возрастании параметра г от 0 до f расстояние C1]HI2(Q,QT) МОНОТОННО убывает от значения d$p {Q,Qt) ДО 0, а значит, существует единственное значение переменной то Є [0, т] такое, что dM2(R,RTo) = dM2(Q,QTo). В качестве х возьмём прямую RToQTo Є Фт. Прямая \ единственная, поскольку существует лишь одно подходящее значение параметра Замечание 4.1. Пусть Set(R ) = {x$-R \x$ є (х)} (по построению, Q є Set(R )). Тогда для каждой точки R7 є Set(R ) выполнено неравенство с1И2(Д+, R ) сіИ2(Л+, Rr).

Доказательство. По построению, сіиз(Л+,Л") = d (R+,R ), а поверхности (x).R+R Q+Q с Н2 (которая есть объединение Ux є(х) XpR+R Q+Q четырёхвершинников xpR+R Q+Q , изомет-ричных R+R Q+Q ) и (x).FD(Cylo) С Н3 изометричны в своих внутренних метриках. С очевидностью, для любых точек Ті и Т2 в {x).FD(Cylo) справедливо, что dM3(fbf2) {f)FDiCylo){fhf2), где Ш FD(cvi0)( i ) обозначает расстояние во внутренней метрике множества (x)-FD(Cylo). Наконец, часть 2) определения цилиндра Cylo типа Cyl позволяет установить справедливость Замечания 4.1.

Замечание 4.2. Пусть R Q — сегмент геодезической х с Н2 между прямыми пространства Лобачевского XR и XQ являющийся фундаментальной областью для х с СуЦ на х (здесь R є XR а Q є XQ)- Тогда либо R Q с R+R-Q+Q-, либо R!Q ПR+R Q+Q =

Доказательство. Напомним, что точки R+ и Q+ являются прообразами в Н2 одной и той же точки цилиндра Cylo, и каждая из них может быть получена из другой при помощи некоторой изомет-рии плоскости Лобачевского Н2, которая является элементом группы (х), оставляющей геодезическую х неподвижной. Следовательно, точки R+ и Q+ расположены в одной полуплоскости Н2 относительно прямой х и значит, сегмент R+Q+ не пересекается с геодезической х- Точно так же, R Q П х = 0. Мы можем заключить, что если сегменты R+Q+ и R Q лежат в одной и той же полуплоскости Н2 относительно х, то R Q П R+R Q+Q = 0. В противном случае, если отрезки R+Q+ и R Q расположены в разных полуплоскостях по отношению к прямой \ плоскости Лобачевского, то R Q с R+R Q+Q . В этом параграфе мы будем изучать четырёхвершинники специального типа на плоскости Лобачевского, а также полуокрестности геодезических, содержащих одну из сторон таких четырёхвершин-ников, которые либо описаны около, либо вписаны в наши четырёхвершинники. Некоторые свойства этих объектов нам понадобятся для получения оценок возможных размеров цилиндров типа Cyl.

Рассмотрим четырёхвершинник ОО РР с Н2 со сторонами dM2(0,0/) = /, dM2(P,P/) = V и dff(0,P) = dM2(0/,P/) = h , в котором рёбра OP и О Р перпендикулярны стороне ОО . Нарисуем кривую 7/i точки которой равноудалены от геодезической, содержащей отрезок ОО на расстояние h h , и такую, что jh пересекает геодезические, содержащие ОР и О Р в точках Т и Т соответственно. Обозначим сегмент кривой 7/1 между ОР и О Р за ТТ , а его длину (в смысле пространства Лобачевского) — за // .