Содержание к диссертации
Введение
1 Минимальные торы в R3 с малым числом плоских концов 10
1.1 Основные определения 10
1.2 Эллиптические функции 12
1.3 Минимальные торы с шестью выколотыми точками . 13
1.4 Минимальные торы с тремя выколотыми точками . 19
2 Минимальные торы в R3 с четным числом плоских концов 32
2.1 Минимальные торы с четным числом выколотых точек 32
Список литературы 61
- Эллиптические функции
- Минимальные торы с тремя выколотыми точками
- Минимальные торы с четным числом выколотых точек
Введение к работе
В данной работе для каждого 2п > 6 построены первые примеры полных минимальных торов в трехмерном евклидовом пространстве R3 с 2п плоскими концами.
Изучение минимальных поверхностей с плоскими концами было инициировано Брайантом в связи с изучением уиллморовских поверхностей в R3 — экстремалей функционала Уиллмора W(M)= [ H2dfi, Jm где Н — средняя кривизна, a dfi — индуцированная; мера.
Этот функционал изучали еще до Уиллмора Герман как "энергию изгибания" поверхности, Бляшке и Томсон как конформную площадь поверхности в сферической геометрии [1, 2].
Брайант [3] показал, что образы полных минимальных поверхностей с плоскими концами под действием инверсии R3 являются уилл-моровскими поверхностями. При этом плоские концы переходят в кратную точку поверхности, а функционал Уиллмора на торе равен 4ятг, где п — кратность точки (или число плоских концов). Действительно, Гакштаттер [4] и Оссерман [5] показали, что имеет место равенство JMKdfi = — 4тг(2 — К) d\h инвариантна относительно конформных преобразований №? U {со}. Поэтому справедливо равенство jM H2 dji = 47ГП для тора.
Брайант также доказал, что все уилл морове кие сферы получаются как образы минимальных сфер с плоскими концами при инверсии [3].
В настоящее время имеется полное описание уиллморовских сфер. Минимальная сфера с одним плоским концом (п = 1) — это стандартная плоскость. В [7] Брайант, используя методы алгебраической геометрии, показал, что не существует минимальных сфер с плоскими концами для п — 2,3,5,7. В [8] Пенг построил примеры минимальных сфер с п плоскими концами для четного п > 4 и для нечетного п > 9.
Образы минимальных поверхностей рода один с плоскими концами задают класс уиллморовских торов, называемых суперминималъпы-ми, а другие уиллморовские торы описываются с помощью решений 4-частичных уравнений Тоды (см., например, [9]).
Суперминимальные торы оказались более сложным объектом для исследования, чем уиллморовские сферы. До сих пор было известно существование минимального тора с четырьмя плоскими концами, построенного Костой [10], Куснером и Шмиттом [11]. Главной сложностью в построении минимальных торов оказалась задача обнуления периодов — проблема периодов. Объясним в чем заключается эта задача.
Рассмотрим риманову поверхность Г рода один с глобально определенным параметром и. Пусть мероморфные функции ф\ и фч на универсальном накрытии v : Т —э- Г такие, что ф\, ф2, ф\фъ опускаются на Г и Wl + І^І^ОнаГ.
Тогда спинорное представление Вейерштрасса
Ф(и) - Re Г (ф2 - фі г{ф2 + ф2), 2фіф2) du:T-> R3, (1) где Wo Є Г — фиксированная точка, задает полную минимальную поверхность в Е3 (см., например, [11,12]). Индуцированная метрика имеет вид (IV'iI 4- \ф2|)2 dzdz.
Всякий полный минимальный тор такой, что |/іСс?р| < со, может быть задай с помощью спинор ного представления Вейерштрасса.
В односвязных областях U С Г, где ф\ и ф\ голоморфны, интеграл (1) не зависит от пути интегрирования, но периоды Re / (ф\ - фі) du, Im / {ф\ + фі) du, Re і фгф2 du, (2) по нетривиальным циклам у тора могут быть ненулевыми. Задача подбора ф\ и фъ таких, что периоды (2) по нетривиальным циклам тора равны нулю (в этом случае (1) является погружением тора Г) называется проблемой периодов [13].
Полюсы функций ф\ и ф\ называются концами или выколотыми точками. Если Ф является вложением, то ф\ и ф\ имеют полюсы только второго порядка. В этом случае, если в выколотой точке полюсы ф\ du, ф\ du и ф\фч du имеют нулевой вычет, то конец асимптотичен плоскости и конец называется плоским, иначе конец асимптотичен поверхности вращения, полученной вращением графика логарифмической функции к In х, х (1,оо), для некоторой константы логарифмического роста к Є (0, со). В последнем случае конец называется катепоидалъным [13, 11].
Минимальных торов с одним и двумя плоскими концами не существует по очевидным соображениям. Действительно, если п = 1, то тор лежит в полупространстве. Из теоремы о полупространстве Хоффмана и Микса [14] следует, что такие полные минимальные поверхности не существуют. Шоен [15] показал, что полная минимальная поверхность с двумя выколотыми точками может быть только катеноидом — поверхностью вращения, заданной уравнением ch2 кх = к?(у2 -J- z2) для некоторого к Є (0, со).
Минимальные торы с тремя плоскими концами исследовали Куснер и Шмитт [11]. Они нашли критерий разрешимости проблемы периодов на торах с тремя выколотыми точками, но опустили доказательство того, что проблема периодов не разрешима.
В Главе 1 нами доказана следующая теорема
Теорема 1. Существует трехпараметрическое семейство полных регулярных минимальных торов ей3 с шестью плоскими кон-цами, конформно эквивалентных римановым поверхностям рода 1, заданным уравнениями вида w2 = 4(z-pl)(z-p2)(z-p3), ріЄК, Р2 = зЄ<С, (3) с выколотыми точками (0,рі), (0,р2), (0,Рз)> со, (wa,а) и (—wa,a), где а = л/~(РіР2 + Р№ + РаРз) А wa — 2у/(а - pi){a - р2)(а - р3).
В доказательстве Теоремы 1 мы рассматриваем римановы поверхности Г рода один с голоморфной и антиголоморфной инволюциями, заданные в С2 уравнением (3) и специальный вид функций фг и 1р2 '
1 , (z - а)3 + ф - af + d . , _ w b{z — a)w
В этом случае, найден критерий разрешимости проблемы периодов.
Приведем этот критерий. Пусть а — один из нулей полинома P'{z), определим периоды по нетривиальным циклам тора 71 и 72 S* = [ ^~f dz> U*= f ^ ~3Q) dz, k = -2,0,.., 4,
Лі w Jii w и Д — определитель матрицы
Е3П_2 - 2іП0 - ГоПі + Е_2П3 Е2П_2 - 2Е0П0 + Е_2П2 S4n_2 - 2ЕіПі + Е_2П4 S3n_2 - 2іП0 - ЕоЩ + Е_2П3і Пусть также
ЕзП-2 - ЕіП0 - Е0Пі + Е_2П3 - у/Е
Е2П-2-2ЕоПо + Е_2П2 6 d = -^-(Si + E0c), b = xj— (E4 + 2cS3 + c2E2 + 2rfEi + 2ЫЕ0 + d2E-2). Тогда условие —- (S4 + 2cS3 + c22 + 2rfSx + 2ЫЕ0 + d2_2) > О, Д < 0, bl, является критерием разрешимости проблемы периодов на Г.
Мы приводим пример тора, для которого критерий разрешимости проблемы периодов выполнен. В доказательстве теоремы 1 были использованы методы из анализа комплексных функций, теории эллиптических функций.
Кроме этого, в Главе 1 мы приводим доказательство ключевого технического утверждения из доказательства теоремы Куснера и Шмитта о не существовании полных минимальных торов в R3 с тремя плоскими концами, опущенное в их оригинальной работе [11].
Объясним, в чем заключается это утверждение. Куснер и Шмитт показали, что если Л = {2и)\п 4- Ім^т \ п, т Є Z} С С — решетка, Im^J > 0, (и) — С-функция Вейерштрасса на торе С/Л, ' — суммирование по ненулевым элементам решетки ш Є Л и а = |(C(w2)wi - C(wi)w2), то условие f l«l2 - 1« 1 M > i, f4 = 20о2(и7іш2 - W2Wi)2E'sr; является критерием разрешимости проблемы периодов на торе С/Л с тремя плоскими концами. Нами доказано следующее утверждение, сформулированное в [11]:
Теорема 2. Для любого тора С/Л условие (4) не выполнено.
В доказательстве Теоремы 2 мы оцениваем \а\ и Х]'^' используя так называемые (/-разложения — ряды с экспоненциально убывающими членами. Была найдена область конформных классов торов, где условие \а\ > 1 не выполнено. Далее показано, что вне этой области равенство из (4) не выполнено. В доказательстве Теоремы 2 использованы различные оценки и факты из теории эллиптических функций. Глава 1 устроена следующим образом. В п. 1.1 и п. 1.2 приведены основные определения, представление Вейериітрасса и необходимые факты из теории эллиптических функций. В п. 1.3 приводится доказательство Теоремы 1. В п. 1.4 доказана Теорема 2.
Эллиптические функции
Пусть Л = {2nwi + 2mw2 п,т 6 2} = 2wjZ + 2ш2 — произвольная решетка, где wi,W2 С . Без потери общности, считаем, что Imu)i/L)2 0 и шг wi. Торы C/(2u;iZ + 2w2S) и C/(2Z + 2 Z) конформно эквивалентны. Поскольку решетки % + CJ2Z = Z + (u?2 + n)Z для любого п Є Z, то считаем Reu l \. Таким образом, все торы С/Л конформно эквивалентны некоторому тору С/{2п + 2тт \ п}тп Є Z}, где \т\ 1, \ Rer -и Imr 0. Мероморфные функции на торе С/Л называются эллиптическими функциями. Важным примером таких функций является эллиптическая функция Вейерштрасса р{и) : р(и) = 2 + У2 ( ( N2 2 ) где J3 означает, что суммирование по ненулевым элементам шЄЛ. Дифференциал р(и) du на С/Л имеет единственный полюс второго порядка с нулевым вычетом. Верна следующая теорема. Теорема. Любая эллиптическая функция ф на торе С/Л может быть представлена в следующем виде: ф = R p) + R2(p)p\ где Ді и і?2 некоторые рациональные функции.
В частности, если / мероморфная функция на С/Л с полюсами только второго порядка с нулевыми вычетами в точках щ,..., иті то / можно представить в виде следующей линейной комбинации: f{u) — «о + аір(и-щ) + ... + amp(u - um), и Є С, (1.1) для некоторых ао,..., Ofm Є С. Легко проверить это утверждение: отношение линейной комбинации (1.1) и / является голоморфной функцией, следовательно, отношение является постоянной функцией на С/Л. Функция на С такая, что С (и) = —р(и), называется С,-функцией Вейерштрасса. Эта функция не является эллиптической. Пусть 771 — (wi),f?2 = С(шг)- Тогда справедливы равенства: C(« + 2wi) = C(«) + 24i, С(« + 2ад2) = С(«) + 2ій, u =C. Кроме этого, справедливо соотношение Лежандра: C(w2)wi - C(CJI)W2 = — Теперь можно легко вычислить период / du по циклам 2u)\t и 2w2 ; t Є [0,1] на С/Л : Р т I /(«) du = 2aQU)k -2 atjTik, fc = 1,2. Определим константы Вейерштрасса д2,5з : = 80. Л-140. Имеет место равенство (р М)2 = 4р3(«) - 52Р(") 5з. Отображение / (м) = (р(и), р (и)) биективно и голоморфно отображает С/Л на Г, заданную в С2 уравнением: w2 = Az3 - g2z - 53. 1.3 Минимальные торы с шестью выколотыми точками В данном параграфе мы строим трехпараметрическое семейство минимальных погружений тора с шестью выколотыми точками. Пусть риманова поверхность Г рода 1 задана в С2 уравнением: vP- = P(z) = 4(г - pi)(z - p2)(z - р2), (1.2) где рі Є R, р2 Є С такие, что 0 ІР2-Р2І ІР1-Р2І Выберем мероморфные 1-формы на Г следующим образом: _ h\z) -1 ,. ft2( ) +1 ... ,„ _ 2ft(z) , . где Mz) = т (( - о)3 + c(z - a)2 + d) , a — один из корней уравнения P {z) 0, а &, end- вещественные числа, которые определим позже. Дискриминант полинома P {z) равен ІРі — Рг2 — ІР2 Р2І2} поэтому а — вещественное в силу ограничений на р\ и р2 Теперь для того, чтобы представление Вейерштрасса Ф(Г) = Re f (iplt ІР2, Рз) : Г -) R3, (1.4) J То где То Є Г — фиксированная точка, задавало минимальное погружение с плоскими концами необходимо, чтобы і, (р2 и з имели в выколотых точках полюса только второго порядка с нулевыми вычетами (см. п. 1.1). В нашем случае tpit (р2 и (рз имеют полюса второго порядка в точках ветвления Pi = (0,pi), / = (О1Р2), Рз = (0,)) Pi = oot в. также в Р5 = (wai а) и Рб = (—wa, а), где ги0 = у/Р(а).
Заметим, что на Г определены голоморфная и анти голоморфная инволюции: a : (w,z) -)(—w,z), p : (го,z) \-ь (W z). Представим Г как две плоскости С ("нижний,ри "верхний"лист) с разрезами по отрезкам [pi,co] и [р2)Р2І- Выберем циклы 71 и 72 как показано на рис. 1. Многоточием обозначены части циклов, расположенные на "нижнем" листе римановой поверхности. Рис. 1 Они образуют базис в #і(Г; Q), который не является каноническим (не является базисом над Щ и преобразуется инволюцией р по формулам: Pli = 7ь Р72 = -72 Выберем постоянные Ь, с и d следующим образом: Ь = Е_Ї (Е4 + 2сЕ3 + с22 + 2di + 2ЫЕ0 + d2E_2), (1.5) с = Е3П-2 - ЕіП0 - Е0Пі + Е-2П3 - у/К Е2ІІ_2 — 2SoIIo + 2_2ІІ2 d = S_: (Еі + Е0с), (1.6) (1.7) где A — определитель матрицы Е3П_2 - НіПо - ЕоЩ + Е_2П3 Е2П_2 - 2Е0П0 + Е_2П2 Е4П-2 - 2Sini + Е-2П4 Е3П_2 - ЕХП0 - Е0Пі + Е-2Пз, Ниже мы покажем, что Ejt — вещественные числа, П& — чисто мнимые. Справедливо и S =/ W (z - a)k z-dz, к = -2,0,..,4. W Предложение 1. Вычеты мероморфных 1-форм ри ф2 w (/ з в полюсах Pi,.., Рб равны нулю. Если а, Ь, с и d — вещественные числа, то имеют место равенства Re F7« f рк = 0, т = 1,2; к = 1,2,3; (1.8) и, следовательно, отображение Ф корректно определено на Г. Отметим, что у?і, У2 и Уз одновременно не обращаются в нуль, поэтому Ф является погружением. Согласно лемме 2 числитель и знаменатель в формуле (1.6) суть чисто мнимые. Поэтому число с является вещественным, если А 0. Таким образом, по лемме 2 числа 6, с и d — вещественные, если —- (Е4 + 2с3 + 0 + 2dT,t + 2cd0 + d2E_2) О, А 0. (1.9) Для р\ — 1, р2 = " р вычисления на компьютере показывают, что -(E4+2cE3+c2E2+2rfEi+2crfEo+rf2E_2) и 0.3966..., А и -3.805.. (1.10) Условие вещественности b, си d аналитически зависит от pi и р2. Следовательно, отображение Ф для (рі,рг) Є Е х С достаточно близких к (1, — ) задает минимальное погружение Ф : Г \ {Рь ..., Р6} -э- Е3 с шестью плоскими концами, поэтому верна следующая теорема. Теорема 1. Существует трехпараметрическое семейство полных регулярных минимальных торов sR3 с шестью плоскими концами, конформно эквивалентных римановым поверхностям рода 1, заданным уравнениями вида w2 = 4(z - pi)[z - p2){z - p3), p! Є Ж, р2 = р3 Є С, с выколотыми точками (0,pi), (0,2)) (0,Рз) ) (wa,a) и {—wa,a ), где w, а = \/-(РіР2 + РіРз + Р2Р3) А а = 2\/(а - Pi) (а - р2)(а - рз) Доказательство предложения 1. Предложение 1 вытекает из лемм 1-3. В лемме 1 мы докажем, что 1-формы t ij V2 и (р% имеют полюсы только второго порядка с нулевыми вычетами. Из леммы 2 следует, что Re / щ — Re Г ip2 Re f р$ = 0. В лемме 3 докажем, что Re fyi щ = Re /7з tp2 = Re /7i tpz = 0. Справедлива Лемма 1. 1-формы tpii p2 и (рз имеют полюсы второго порядка с пулевыми вычетами в Pi,,.., Рб. Других полюсов нет. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Равенство нулю вычетов в точках Pi7..., Р4 следует из очевидного равенства a ipk = pkl k = 1,2,3, и из того, что точки Pi,..., Р4 являются неподвижными при инволюции СТ. Пусть t — z — а локальный параметр в окрестности точек р$ и р$. Тогда = W- + (P(i + )fc0f + O(l). Поэтому R-esP5 4)2wa = -Res , = 0, так как Р (а) - 0. Следовательно, ResPj pk = 0, j = 5,6, k = 1,2,3. Лемма 1 доказана. Имеет место Лемма 2. Пусть 1-форма ip такая, что р р = Тр. Тогда период ip по циклу 7i является вещественным, а по циклу 7з - чисто мнимым числом. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение следует из равенств: / р= / Ч — \ Р Ч / ч \ J li J (Пі J PPli 71 Лемма 2 доказана. Для 1-форм tpi, І(р2 и tpz с вещественными а, 6, с и d выполнено условие леммы 2, поэтому Re / (pi — Re ip$ = Re Р2 — 0. Ъ "П J її Справедлива Лемма 3. Имеют место равенства Re (pi = Re (р2 — Re / (рз = 0. J ll Jl2 J її ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ИЗ d — -(2i + Е0с)/Е_2 следует, что Re / з = Ei + E0c + E_2d = 0. Выбор 62 = Ъ ( 4 + 2S3C+ S2C2 + 2Eirf + 2E0cd + E_2d2) обнуляет Re f tpi = -2 (E4 + 2E3c + E2c2 + 2Eid+ 2E0cd + E_2d2 J - E_2. Подставив значения d, b2 в Re J p2 = і Ш4 + 2П3с + П2с2 + 2nxrf + 2UQcd + n_2rf2 J + П_2) получим следующий квадратичный трехчлен: Re 4 Ч 2 - (22П_2 - 2Е0П0 + _2П2)с2+ (S3n_2 - 2іП0 - ЕоПі + Е_2П3)с + Е4П_2 - 2ЕіПі + Е_2П4 = 0. (1.11) Значение с является корнем (1.11). Лемма 3 доказана.
Минимальные торы с тремя выколотыми точками
Пусть Л = {2шіп + 2w2m п, т Є Щ С С — решетека, Im - 0, (гі) — -функция Вейерштрасса на торе С/Л, ]Г — суммирование по ненулевым элементам решетки о; Є Л и а = (СЙМ - CW ). (1.12) 7Г Имеет место следующая теорема. Теорема 2. Длл любого тора С/Л условие { а2 - Н4 = 20 (57 - S72Wi)2E ; \а\ 1, (1.13) не выполнено. Для доказательства теоремы 2 докажем леммы. Справедлива Лемма 4. Справедливость условия (Л. IS) зависит только от конформного класса тора. Для краткости мы доказываем лемму 4 иначе чем в [11]. Поскольку каждый тор конформно эквивалентен [11] тору с полупериодами 10\ = 1 и U2 Є П = {г 6 С : т 1, - Re г --, Im г 0}, то достаточно доказать утверждение 1 для торов с ш\ = 1 и w2 б П. Пусть Ji(n) и тз(п) обозначают суммы всех натуральных делителей тт ИИ п в степени один и три соответственно. Для q = є "і имеют место следующие равенства: eOJVPmw, + 2п )-4 = ж = Й (1 + 240 "=1 r3(n)«»), С(Ші)=Чі = Й(і-24Е =і і(»)9") Теперь мы представим оба выражения (1.13) в виде степенных рядов. Константу С(шг) выразим через С(ші) с помощью уравнения Лежандра [И]: C(wa)wi - C(wi) 2 = у Область Г2 рассматриваем как объединение двух областей: fli = {rfi: Im г f (1 - КГ3)}; fi2 = {rfi: f(l-KT3) Imr }; Справедлива Лемма 5. Пусть ш\ = 1. Тогда справедливы неравенства 1) а - 1 0, w2 Пі; 2) а2-1 10-2, Imw2 Є [-(1-10-3),-(1 + 10 )1:(1.15) 3) о-1 0, Ітш2Є (-(1 + НГ3),со\ Также имеет место Лемма 6. При Ш\ — 1 длд всех ьзъ Є Пг справедливо —т. W Из лемм 5 и 6 следует, что теорема 2 справедлива для ші = 1 и W2 П. Поэтому из леммы 4 следует теорема 2 для множества всех торов. Доказательство леммы 4.
Для А Є С справедливо соотношение [22]: і С(Ашг; Awi, Аш2) = дС(ші; wi, шг), (1.16) где С(и;ші)шг) С-функция Вейерштрасса на C/{2o;iZ + 2 2 }-Из (1.12) и (1.16) следует, что а(\соъХи}2) = -=ra(wi,W2), А где а(с ,Ш2) — постоянная (1.12) naC/{2wiZ + 2cj2Z}. Следовательно, a(Awi,Aw2) = a(wbw2). Рассмотрим правую часть (1.13). Простые выкладки показывают, что a2(Awi, Aw2)(AwiAw2 - Aw2Awi)2 - - = (1.17) а2(шиш2)(шіш2 - а72ші)2 —. Из (1.17) и а(Аші, Ашг) = а(ші,Ш2) следует, что на торе C/{2wiZ+ 2ш2Щ- условие (1.13) верно если и только если (1.13) верно на торе C/{2Z + 2 Z}. Поэтому далее считаем ш\ — 1, а a /aJi обозначим как г. Таким образом, мы установили, что (1.13) не зависит от преобразования тора C/{2wiZ + 2w2Z} н C/{2Z + 2 Z}, а зависит только от так называемого конформного параметра тора т = шг/ і Рассмотрим группу преобразований тора » f (;Эе"ад (іл8) порожденную двумя своими элементами Ті : г т + 1, Т2: г і-)- —. г Покажем, что уравнение (1.13) не зависит от преобразований вида (1.18). Для этого достаточно доказать инвариантность (1.13) относительно Т\ и Тг. Функции 7/1 и Qi инвариантны относительно г \-Ь Т\Т согласно [22]. Очевидно, выражения й)\Ь)2 — 20 1 == г21т г (1-19) и \ a = -(C(wa)wi - C(wi)wa) = Чі -1 (1.20) также инвариантны относительно Ті. Здесь мы воспользовались соотношением Лежандра ( ) — щт Ч- у. Согласно [22], для любого Im т 0 справедливы соотношения w = (-9-i? (L22) где й(т) и r?i(r) — постоянные Вейерштрасса (1.14) на C/{2Z + 2rS}. Кроме этого, прямыми выкладками получаем равенства; 1 "I oJiW2 — 2Wi = 2г1га т = 2rrflmf — J = 2гттІт( J и e(r) = 2rrlm ( - І) (±М=Щ +=)-1 =2=Ч-;)( (-;Н=И-Э Подставив полученные выражения для а и дч в уравнение (1.13), убеждаемся в том, что (1.13) инвариантно относительно Т2.
Минимальные торы с четным числом выколотых точек
Теорема 3. Для каждого 2п 6 существует полный минимальный тор в R3 с 2п плоскими концами, конформно эквивалентный римановой поверхности вида w2 = 4(г - pi)(z - p2){z - рз), Рі,Р2,РзЄ і с бшса/і077шлш точкалш. Вкратце изложим нашу конструкцию. Рассмотрим риманову поверхность Г рода 1, заданную в С2 уравнением w2 = P(z)=4{z-pi)(z-p2){z-p3), Рі,р2)Рз Є Ш. (2.1) Пусть 71 и 72 — базис J2i(r,Z2). Минимальные погружения Ф : Г - R3 мы задаем с помощью представления Вейерштрасса (п. 1.1): т Ф(Г) = Re/ W - Фіг( ф2 + $),2 ) , (2.2) Го где То Є Г — фиксированная точка, ф , ф\ и ф\фч — мероморфные функции на Г. Следовательно, на универсальной накрывающей v : Т — Г для 7 : [0,1] — Т таких, что v(7) гомотопически эквивалентна 7i или 72 j справедливы равенства (7(0)) = (7) 1(7(1)), 2(7(0)) = 6(7) 2(7(1)), е(7) = ±1 Тогда фі и фч являются сечениями так называемой спин-структуры на торе. В нашей конструкции є(71) и (72) равны 1, т. е. ф\ и фч _ мероморфные функции, а (2.2) не может быть вложением [11]. В нашей конструкции функции ф\ и фч имеют вид 0i = , Ф2 } — T z Pi lzfz-Pj (2.3) =i" " і«іг"« где m 4 — целое число, ai,..., am, /Зі,..., f3m Є С и pi,..., рт Єї попарно различны. Несложно проверить, что функции ф\ и фч имеют полюсы первого порядка в точках ветвления Р0 = (оо, оо), Pi = (pi, 0), Р2 = (pa, 0), Р3 - (рз, 0) и в точках pf = (j h-\Jp(Pj)) P? = (Ph\fPfa)) І = 4 го. Определим пространство К(р) = V(pi,... ,pm) функций вида (2.3) I ( 1,...,J m) ЄкегМ СС1 где матрица М = ( і і і ffa) 1 P4-Pl Р4-Р2 Р4 РЗ 4Р(р4) Р4-Р5 1 1 1 1 Р ІРб) Р5-Р1 Р5-Р2 РЗ-РЗ Р5-Р4 4Р(р5) \ Р4-Ртл Р5-Рт 1 \Pm-Pl Рт-р2 рт-РЗ Рт Pi Рт РЪ P iPm) , 4РЫ/ действует на вектор-столбец умножением слева. Справедливо Предложение 1. 1, Для функций фі,ф2 Є У(р) имеет место равенство Фі&йг resQ = О, w 3deQ = P07...tPbPt,---,f%. 2. Для почти всех pi,... ,рт Є R таких, что Pi + р2 + Рз = О, справедливо равенство dimcV(p) = 3. Таким образом, представление Вейерштрасса (2.2) для ф\,ф2 Є V(p) задает минимальную поверхность с плоскими концами. Теперь необходимо выбрать ф\ и ф% из V(p) так, чтобы разрешить задачу обнуления периодов (2.2). При этом мы имеем шесть свободных комплексных параметров (так как фі, ф2 Є У(р) и по предложению 1 dim cV(p) = 3). Ключевую роль при решении проблемы периодов играет Предложение 2. Существуют симметрические билинейные формы A : V(p) х V(p) - С, В(р) : V(p) х V{p) -4 С такие, что lkAtyufo) +шкВ(р;фиф2) = - Ф\Фг , к = 1,2, (2.4) 7 где 1 f zdz 1 f dz , 2J w 2J w 7 7fc Форма А не зависит omp\,... ,pm и является положительно определенной на V{p).
Под положительной определенностью формы Л мы понимаем следующее: т А(ф7ф) 0 для ф = У" -І— V(p), (і/ь ...tum) Rm\{0} Из положительной определенности А вытекает, что в пространстве V{p) можно выбрать базис i, &j з в котором А задается единичной матрицей, а В(р) диагональна. Таким образом, имеет место Лемма 1. Существует базис ь &, з в пространстве V(p) такой, что /&&—= 0, г J = 1,...,3, J w т для і ф j и 7 = 7ь 72 Существование такого базиса позволяет разрешить проблему периодов в явном виде. Для I ,/(-1,0,1,2,2 + ,3,.-.,2 Рга) 1(-1,0, l,2,2 + i,3,..,f,l + і) при m нечетном, -f f) при m четном при достаточно малых Є К справедливо Предложение 3. Положим фі = и (г, s)& + 6, 2 = ж(г, s)i + y(r, s)f2 + u(r, s)&, u(r,s) = ±W- -(c2 + 2«bnd± \/(№ + 2nmrf)2-4jc2d); (2.5) / ч -02» - hs { v ., я(г, 5) = г—; y(r, s) = air + M; i;(r, s) u{r, s) = W — (a\v{r, s) — aix2(r, s) - а2У2{г, s) + a2). (2.6) V «з e»-/d$. 6 = /« f- =1.2,3; і 7a 263 + a3b2 - («263 - 362)(( + M): (aibz 4- 0361) d(r s) = -( T A)(a2r + 62s) ЇЬгда существует открытая область Сі С R такая, что для почти всех (г, s) Є Гї cnpaeed/швы равенстеа (2). Теорема 3 вытекает из предложений 1-3 и 5. Таким образом, получаем двупараметрическое семейство торов с плоскими концами при фиксированных ръ... ,рт.
У погружения (2.2) нет точек ветвления, если (\ф1\ + )(Х) Ф О для всех Т Є Г. Это условие зависит от m + 2 свободных параметров г,s,pi,..-,pm, что делает неравенство очевидным для параметров в общем положении, но строгое доказательство этого утверждения технически сложно. Как упоминалось выше, мы можем показать это лишь для малых п = 2пг — 2. Доказательство теоремы 3 Докажем вспомогательные леммы. Лемма 2.
Представим Г в виде склейки двух экземпляров плоскостей С («нижний» и «верхний» листы) с разрезами вдоль отрезков [рі,рг] и [рз,оо]. В этом представлении точкам (tu, z) и (—ги, z) из Г соответствуют точки z на «нижнем» и «верхнем» листах римановой поверхности. Рассмотрим тор T = С/{2и){1 + 2ш2Щ с локальным параметром и. На Т существует единственная мероморфная функция с полюсом второго порядка в 0 со следующим разложением в окрестности нуля: р(и) = - + о(и) + ..