Метрики на поверхностях, экстремальные для собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами Карпухин Михаил Алексадрович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Введение 3

1.1. Постановка задачи 3

1.2. Краткое содержание работы 8

1.3. Обозначения и сокращения 13

Глава 2. Предварительные сведения 14

2.1. Оператор Лапласа-Бельтрами 14

2.2. Минимальные подмногообразия 16

2.3. Периодическая задача Штурма-Лиувилля 19

2.4. Эллиптические интегралы 23

Глава 3. Новые семейства экстремальных метрик на торе 24

3.1. Конструкция биполярных поверхностей к торам Оцуки 24

3.2. Спектральные свойства биполярных торов Оцуки 35

3.3. Конструкция торов МТО;П 43

3.4. Спектральные свойства

Глава 4. Немаксимальность известных экстремальных метрик

4.1. Нижние оценки для supAn 54

4.2. Торы Оцуки 57

4.3. Поверхности Лоусона 63

4.4. Биполярные поверхности к поверхностям Лоусона 65

4.5. Биполярные поверхности к торам Оцуки 67

4.7. Top Клиффорда 69

Публикации по теме диссертации 73

Список литературы

• Краткое содержание работы
• Периодическая задача Штурма-Лиувилля
• Спектральные свойства биполярных торов Оцуки
• Биполярные поверхности к поверхностям Лоусона

Введение к работе

Актуальность темы. Данная работа посвящена исследованию минимальных поверхностей в сферах и их приложениям к спектральной теории оператора Лапласа-Бельтрами. Минимальные поверхности в сферах или, более общо, гармонические отображения римановых поверхностей в сферу, являются одним из наиболее интересных примеров интегрируемых систем, возникающих в дифференциальной геометрии. При их изучении применяются методы различных областей современной математики: от теории эллиптических уравнений в частных производных до алгебраической геометрии, см., например, , , ]. В последние годы в этой области произошло несколько научных прорывов, в числе которых доказательство Нэвеса и Маркеса гипотезы Уилмора [], а также доказательство Брэндла гипотезы Лоусона ]. Связь теории минимальных подмногообразий с задачей геометрической оптимизации собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами была впервые отмечена в работах Надирашвили ] и Эль Суфи, Илиаса [.

Для произвольной замкнутой (то есть компактной и без границы) поверхности М, оснащенной римановой метрикой д, оператор Лапласа-Бельтрами имеет положительный дискретный спектр,

О = Хо(М,д) < Х\(М,д) ^ \2(М, д) ^ \з(М,д) ^ ... /~ +оо,

где собственные значения записаны с учетом кратности.

Определение 1. Пусть М является замкнутой гладкой поверхностью. Функционал г-го собственного значения Ai(M,g) — функционал на пространстве всех римановых метрик на М, определяемый формулой

Ai(M,g) = Xi(M,g) Area_fl(M).

Ограниченность функционалов Ai(M,g) была доказана Янгом и Яу для г = 1 [, и позднее Коревааром в общем случае ]. Главной задачей геометрической оптимизации является нахождение супремума и максимальных метрик функционалов собственных значений на фиксированной поверхности. Эта задача оказывается крайне сложной и полный ответ известен только для нескольких первых номеров г на поверхностях неотрицательной эйлеровой характеристики. Полный список известных результатов приводится ниже.

А\(²,д): Херш показал в работе ], что стандартная метрика на сфере является единственной максимальной метрикой для А\(²,д).

Лі (MP ,g): Ли и Яу показали в работе ], что стандартная метрика на проективной плоскости является единственной максимальной метрикой для Лі(МР ,g).

А\(Т²,g): Надирашвили показал в работе ], что единственной максимальной метрикой для А\(Т²,g) является плоская метрика на равностороннем торе, то есть торе, соответствующем решетке из равносторонних треугольников.

Лі (K, g): Для бутылки Клейна существует единственная максимальная метрика, соответствующая минимальному погружению гзд, определение которого можно найти в разделе 4.4. Экстремальность данной метрики была показана в [], в то время как ее единственность доказана в ].

Для следующей группы примеров гладких максимальных метрик не существует (эквивалентно можно сказать, что максимальная метрика сингулярна).

A2(S²,g): Максимум достигается на сингулярной метрике, полученной склеиванием двух копий стандартной сферы по точке. Общая схема доказательства была предложена Надирашвили в работе ], а строгое доказательство дано Петридесом в работе [].

Аз(²,g): Надирашвили и Сир доказали в работе [], что максимум достигается на сингулярной метрике, полученной склеиванием трех копий стандартной сферы.

Л2(ШР ,g): Надирашвили и Пенской доказали в работе ], что максимум достигается на сингулярной метрике, полученной склеиванием стандартной сферы со стандартной проективной плоскостью.

Промежуточным этапом на пути получения максимальных метрик является изучение экстремальных метрик для функционалов Ai(M,g). Согласно наблюдению Надирашвили [], формализованному Эль Су-фи и Илиасом [], метрики на минимальных поверхностях в евклидовых сферах Sⁿ экстремальны для функционала Аі(M,g) для некоторого значения г, которое определяется спектральными свойствами индуцированной метрики. Нахождение этого значения является нетривиальной задачей, решение которой в общем случае неизвестно. В настоящее эта задача решена только для трех семейств минимальных торов и бутылок Клейна в S³ и S⁴, см. работы ], ], ]. Более подробно эти результаты описаны в главе 4. В настоящей диссертации получены два новых семейства экстремальных метрик, индуцированных минимальными вложениями в S⁴ и S⁵ соответственно, вычислен соответствующий номер функционала, а также изучен вопрос максимальности всех известных примеров экстремальных метрик.

Цель работы. Цель работы состоит в описании двух новых семейств экстремальных метрик на торе. Также целью работы является доказательство немаксимальности всех известных экстремальных метрик для функционалов Ai(M,g) с г > 1.

Методы исследования. В диссертации использованы методы математического анализа и дифференциальной геометрии - задача Штурма-Лиувилля, теория минимальных поверхностей. Для построения примеров экстремальных метрик используются конструкции Миронова и Сяна-Лоусона.

При нахождении номера функционала собственного значения, для которого найденные примеры экстремальны, используются теория уравнения Ламе, полиномы Лагранжа и эллиптические интегралы.

Основные результаты диссертации. Диссертация содержит следующие новые определения, результаты и методы:

Получена характеризация биполярных торов Оцуки в терминах конструкции Сяна-Лоусона.

Найдены номера функционалов собственных значений, для которых биполярные торы Оцуки Ор экстремальны.

і

Найдены номера функционалов собственных значений, для которых торы М_т>п максимальны.

Показано, что все известные на данный момент метрики, экстремальные для Лі с г > 1, не являются максимальными.

Научная новизна. Утверждения 3.1.8, 3.1.9, 3.2.1, 3.4.1, 4.0.2, 4.0.4 являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Результаты могут быть полезны математикам, занимающимся теорией минимальных подмногообразий, спектральной теорией оператора Лапласа-Бельтрами и задачей Штурма-Лиувилля.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах:

2 октября 2012 г. доклад «Multiple eigenvalues of Laplace operator» на русско-японской мини-конференции в рамках семинара «Геометрия и Топология» кафедры Высшей Геометрии и Топологии МГУ.

9 октября 2012 г. доклад «Геометрическая оптимизация собственных значений оператора Лапласа на поверхностях» на семинаре добрушинской математической лаборатории ИППИ РАН.

20 марта 2013 г. доклад «Геометрическая оптимизация спектра оператора Лапласа на двумерных поверхностях»на Семинаре отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика».

11 декабря 2013 г. доклад «Максимизация первого собственного значения Лапласиана на компактных поверхностях»на Семинаре отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика».

21 февраля 2017г. доклад «Метрики на поверхностях, экстремальные для собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами» на Семинаре ИППИ FAH «Дискретная и вычислительная геометрия».

1 марта 2017г. доклад «Метрики на поверхностях, экстремальные для собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами» на Семинаре отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика».

Гезультаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. постерный доклад «Spectral properties of bipolar surfaces to Otsuki tori» на «Workshop on the geometry of eigenvalues and eigenfunctions» Монреаль, 4-8 июня 2012 г.

2. 6 июня 2013 г. доклад «Extremal metrics on torus and Klein bottle» на «Workshop on spectral theory and geometry» Нешатель, 4-8 июня 2013 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 3 работах (3 в рецензируемых журналах), список которых приведен в конце диссертации.

Структура работы. Диссертация состоит из четырех глав и списка литературы. Первая глава – введение. В ней формулируются основные вопросы, изучаемые в этой работе, дается общий обзор хода доказательства, обозначаются перспективы дальнейших исследований, вводятся используемые обозначения. Во второй главе даются предварительные сведения, касающиеся понятий, возникающих в работе, а также техники работы с ними. Третья глава диссертации посвящена описанию двух новых семейств экстремальных метрик. В четвертой главе мы изучаем немаксимальность известных семейств экстремальных метрик.

Краткое содержание работы

Изучение экстремальных метрик возможно благодаря их тесной связи с минимальными подмногообразиями в сферах, о которой пойдет речь ниже. Пусть М Я-+ п — минимально погруженное подмногообразие единичной сферы п С Mn+1. Обозначим за А оператор Лапласа-Бельтрами на М, ассоциированный с индуцированной метрикой д на М. Считающая функция Вейля определяется следующей формулой, N{X) = #{i\\i(M,g) А}. Примеры экстремальных метрик могут быть построены с помощью следующей теоремы. Теорема 1.2.1 (Эль Суфи и Илиас, [EI2]). Пусть М Я-+ п — минимально погруженное подмногообразие единичной сферы п С Kn+1. Тогда метрика, индуцированная на М этим погружением, является экстремальной для функционала кк{А\т{м)){М д).

Тот факт, что размерность многообразия М появляется в аргументе функции Вейля объясняется следующей классической теоремой, доказательство которой можно найти в книге [KN].

Теорема 1.2.2. Пусть М Я-+ п — минимально погруженное подмногообразие единичной сферы Sn С Kn+1. Тогда ограничения х1\м, %п+1\м координатных функций являются собственными функциями оператора Лапласа-Бельтрами на М с собственным значением dimM.

Теоремы 1.2.1 и 1.2.2 верны для многообразий произвольной размерности, но вследствие неограниченности функционала Л в размерностях больше двух (см. [CD]), они особенно интересны в случае поверхностей.

Таким образом, для нахождения экстремальной метрики достаточно рассмотреть минимальную поверхность М в сфере, затем вычислить N(2) и заключить, что метрика, индуцированная на М данным вложением максимальна для функционала Лдг(2)(М, д). В таком виде этот метод был впервые сформулирован А. В. Пенским в работе [P1] и им же успешно применен в работах [P1, P2] в случае поверхностей Лоусона и торов Оцуки соответственно. Тем не менее, следует отметить, что некоторые из предложенных Пенским идей были впервые использованы Ляпуантом в работе [Lap] при изучении спектральных свойств биполярных поверхностей Лоусона. Его работа была, в свою очередь, основана на статье [JNP], в которой Д. Якобсон, И. Полте-рович и Н. Надирашвили показали, что метрика на биполярной поверхности Лоусона гзд экстремальна для Лі(К,д). Позднее, Эль Суфи, Джакомини и Жазар доказали единственность экстремальной метрики для Лі (К, д).

Глава 3 посвящена описанию двух новых примеров экстремальных метрик на торе. Первым результатом данной работы является изучение спектральных свойств биполярных торов Оцуки. Определения торов Оцуки и биполярных поверхностей даны в разделе 3.1. Торы Оцуки могут быть получены с помощью теоремы редукции Сяна-Лоусона для минимальных подмногообразий. На данном этапе, в целях формулировки результата, достаточно отметить, что для любого рационального числа -, такого что (p,q) = 1, - - —, существует минимально погруженная поверхность в , в дальней-q 2 шем обозначаемая OR. Экстремальные свойства этих поверхностей собраны q в следующей теореме. Теорема 1.2.3. Биполярная поверхность ОЕ К тору Оцуки является то q ром. Если а нечетно, то метрика, на OR, индуцированная погружением, q экстремальна для функционала Л2д+4р—2 (ТГ2, _д). Если же q четно, то эта метрика экстремальна для функционала Ag+2p-2 (Т2;, д).

Эта теорема доказывается в разделе 3.2. Отметим, что в разделе 3.1 в процессе доказательства мы приводим альтернативную конструкцию биполярных торов Оцуки, используя теорему Сяна-Лоусона о редукции.

Вторым результатом настоящей работы является пример нового семейства экстремальных метрик, для которого минимальное погружение в сферу задается явными формулами. Для любой пары взаимно простых натуральных чисел (т,п), т п рассмотрим погружение tpm;n - K2/(2-7rZ2) — S5, заданное следующим образом, Аи,п(ж,2/) m + n irn„ rn + n ncos2x msin x _,v ,„ , V 2m + n \ m + 2n ym + 2n e y sin Ж, л / e y cos ж, 1 e H«+«jy 2m + n \ m + 2n m + 2n 2m + n (1.2.1) где S5 рассматривается как множество векторов единичной длины в С3. Обозначим за МТО;П образ отображения (/?т;П. Явная формула (1.2.1) была впервые упомянута во введении к статье [M1]. Это погружение может быть получено с помощью общей конструкции, описанной А. Е. Мироновым в работе [M2], см. также раздел 3.3 ниже. Следует отметить, что поверхности МТО;П были описаны в конформных координатах с помощью эллиптических функций в работах [Ha, J].

Спектральные свойства МТО;П собраны в следующей теореме.

Теорема 1.2.4. Для любой пары взаимно простых натуральных чисел т, п, т п погружение (рт:П минимально. Соответствующая поверхность МТО;П является тором. Если тп четно, то метрика, индуцированная на МТО;П этим погружением экстремальна для функционала Л4(то+п)_з(Т2,д). Если же тп нечетно, то метрика, индуцированная на МТО;П этим погружением экстремальна для функционала Л2(то+п)_з(Т2,д).

Доказательство этой теоремы приводится в разделе 3.4 и местами следует работе А. В. Пенского [P1]. Тем не менее, наше изложение значительно упрощено, например, мы не используем теорию уравнений Магнуса-Уин-клера-Айнса. Также как и в работе [P1], основной идеей доказательства является применение теории уравнения Ламе. Кроме того, мы даем строгое доказательство Предложения 20 из работы [P1], которое было опущено в работе Пенского.

Глава 4 посвящена изучению максимальности экстремальных метрик. Список известных экстремальных метрик длиннее, чем список известных точных значений супремума функционалов Ai(M,g), однако до сих пор максимальность этих экстремальных метрик не была изучена. В данной работе мы заполняем этот пробел и проверяем максимальность всех известных экстремальных метрик, а известны следующие: (A) метрики на торах Оцуки , которые были изучены в работе [P2]; (Б) метрики на Лоусоновых торах и бутылках Клейна ,, которые были изучены в работе [P1]; (B) метрики на биполярных Лоусоновых поверхностях ,, которые были изучены в работе [Lap]; (Г) метрики на биполярных поверхностях , которые изучены в главе 3 данной работы; (Д) метрики на поверхностях ,, которые также изучены в главе 3 данной работы.

Периодическая задача Штурма-Лиувилля

Метрики, экстремальные для функционалов Ai(M,g) В следующей теореме устанавливается связь между экстремальными метриками и минимальными погружениями в сферу Считающая функция Вейля N(X) определяется формулой N(X) = #{i\\i(M,g) А}. Теорема 2.2.6 (Эль Суфи, Илиас, [EI2]). Пусть М 9- - п — поверхность, минимально погруженная в единичную сферу п С Mn+1. Тогда метрика, индуцированная на М этим погружением, является экстремальной для функционала Лдг(2)(М, д).

Появление номера N(2) в формулировке теоремы неслучайно, так как это в точности номер собственного значения, соответствующего собственным функциям хг\м, см. Теорему 2.2.4.

Таким образом, для нахождения экстремальной метрики достаточно рассмотреть минимальную поверхность М в сфере, затем вычислить N(2) и заключить, что метрика, индуцированная на М данным вложением максимальна для функционала Лдг(2)(М, д). В таком виде этот метод был впервые сформулирован А. В. Пенским в работе [P1]. В общем случае задача нахождения N(2) крайне трудна. Во всех случаях, для которых эта задача была решена, на многообразии (М, д) действует непрерывная группа изометрий, что позволяет понизить размерность и переформулировать задачу в терминах семейства периодических операторов Штурма-Лиувилля.

Определение и спектральные свойства Периодическая задача Штурма-Лиувилля записывается в виде d ( d Л —г P\t) r l\t) + Якч кч = Агш/гш, (2.3.1) dt dt где p(t),r(t) 0, и p(t + to) = p{t),q{t + to) = q(t),r(t + to) = r{t). Задача состоит в нахождении значений А, для которых существует решение h(t), удовлетворяющее тем или иным граничным условиям. Спектральная теория для таких уравнений описывается в следующем предложении, доказательство которого можно найти, например, в книге [CL].

Предложение 2.3.1. Обозначим за Aj и hi(t) (і = 0,1, 2,...) собственные значения и собственные функции задачи (2.3.1) с периодическими граничными условиями h(t + to) = h(t). (2.3.2) Обозначим также за \ и hi(t) (і = 1,2,...) собственные значения и собственные функции задачи (2.3.1) с антипериодическими граничными условиями h(t + to) = —h(t). (2.3.3) Тогда имеют место следующие неравенства, Ао Ai А2 Ai А2 A3 А4 A3 А4 ... Для А = Ао существует единственная (с точностью до умножения на константу) собственная функция ho(t). Для і 0; если Х2І+1 МІ+2, то существует единственная (с точностью до умножения на константу) собственная функция /і2«+і(); соответствующая собственному значению Mi+i кратности 1, и существует единственная (с точностью до умножения на константу) собственная функция /i2«+2(t), соответствующая собственному значению Л2І+1 кратности 1. Если \2І+\ = МІ+2, то существует двухмерное собственное пространство, порожденное /i2«+i(t) and /i2«+2(t), соответствующее собственному значению А = \2І+\ = МІ+2 кратности 2. Аналогичные утверждения верны, если \2І+\ МІ+2 или Х2І+1 = МІ+2

Собственная функция ho(t) не имеет нулей на [0,to). Каждая из собственных функций Ii2i+i(t) и Ii2i+2{t) имеет в точности 2г + 2 нулей на [О,to). Каждая из собственных функций /i2«+i(t) и /i2«+2(t) имеет в точности 2г + 1 нулей на [0,to). Вариационный принцип и отношение Рэлея Одним из главных инструментов для получения оценок на собственные значения является отношение Рэлея, которое в случае задачи (2.3.1) имеет вид R[v] = JQ p(t)v2 + q(t)v2dt J0 r{t)v2dt Доказательство следующего предложения можно найти, например, в книге [Hen]. Предложение 2.3.2 (Вариационный принцип). Для собственного значения \k задачи (2.3.1) с граничными условиями (2.3.2) имеет место следующая формула, \k = inf sup R[v], k VEE/. где инфимум рассматривается среди всех (к + 1) -мерных подпространств в пространстве Соболева Н1Щ/(ЬоЕ)] to-периодических функций. Более того, инфимум достигается на пространстве 14, порожденном первыми (к + 1) собственными функциями.

Для собственных значений А& задачи (2.3.1) с граничными значениями (2.3.3) имеет место равенство \k = inf sup R[v], где инфимум рассматривается среди всех к-мерных подпространств в пространстве to-антипериодических функций пространства Соболева. Более того, инфимум достигается на пространстве 14, порожденном первыми к собственными значениями. Следствие 2.3.3. Для любой гладкой to-периодической функции f имеет место неравенство Ло R[f] Для любой гладкой to-антипериодической функции g имеет место неравенство \\ R[g\ Предложение 2.3.4. Предположим, что потенциал q(t) = q(t,l) зависит от параметра I и что q(t,h) qit h) при /і її- Тогда соответствующие собственные значения Xi(l) задачи (2.3.1) строго возрастают как функции параметра I.

Доказательство. Обозначим за Ri[f] отношение Рэлея для задачи (2.3.1) с q(t) = q(t, I) и обозначим за 14(0 пространство, порожденное первыми (k + 1) собственными функциями. Отметим, что если 1\ /2, то -R/J/] Ri2[f].

Тогда, согласно вариационному принципу, \к{1\) supfeVn\ -R/J/]. Этот супремум достигается для некоторой функции g Є 14( 2) Тогда k{h) Rh[9\ Rh[9\ sllP = kifa), что и доказывает предложение. Симметрии Предположим, что все коэффициенты p(t), q{t), г(t) имеют общий период меньше чем to- Тогда некоторые из собственных функций имеют тот же период. Предложение 2.3.5. Предположим, что hi(t) — собственная функция пе 1 0 риодическои забачи Штурма-Лиувилля (2.3.1,2.3.2) с —-периодическими коэффициентами. Іогда —-антипериодические решения задачи (2.3.1 — это в точности функции /І2П(2АЧ-І)-І() и h2n(2k+i)(t) г е к Є Z o Доказательство. Рассмотрим следующую задачу Штурма-Лиувилля, —— рш + qujhu) = Агш/гш, at at дш = —д г H .

Спектральные свойства биполярных торов Оцуки

Рассмотрим частный случай М = {(х\} Х2, xz)mx\ + пх\ — (т + п)х\ = 0} С М3. Тогда по теореме 3.3.1, погружение ip минимально и лагранжево. Кроме того, легко видеть, что в этом случае образ ср является конусом С(МШ;П) над МТО;П. Из классической теории минимальных подмногообразий следует, что конус С(Мт п) минимален в С3 тогда и только тогда, когда подмногообразие МТО;П минимально в 5 С С3, см., например, работу [S].

Симметрии погружения (рт п В этом разделе мы докажем следующее предложение. Предложение 3.3.2. Еслитп нечетно, то (ртуП(х,у) = ( ТО;П(ж+7г,;у+7г), и фт,п[о,2тг)х[о,2тг) является почти всюду двойным накрытием. Еслитп четно, то (рт:П [о,2тг)х [о,2тг) почти всюду взаимно однозначно. Таким образом для всех т,п 0, (т,п) = 1 поверхность МТО;П является тором.

Замечание 3.3.3. На самом деле, согласно работе [M2], предложение выше верно и без использования выражения “почти всюду". Доказательство. Так как (т,п) = 1, то не существует симметрий ви да (ж,у) ь- (х,у + а). Рассматривая последнюю координату (/?т;П, мы видим, что единственная возможная симметрия имеет вид (ж, у) ь- ( (—l)lx + (—1)Є27Г, у -\—Щ-) , где є; = 0,1. Подставляя это выражение в остальные координаты (/?т;П, получаем утверждение предложения. Соответствующая периодическая задача Штурма-Лиувилля Содержание этого раздела очень схоже с соответствующим разделом для тором . По этой причине, мы опускаем все доказательства. Введем обозначения (j{x) = \/m2 + 4mn + n2 — (m2 — n2) cos 2x , p(x) = (m + n)(m + n — (m — n) cos 2x). Прямые вычисления показывают, что метрика на МТО;П записывается в следующем виде, д = р{х){(т{х) dx -\—dy ). Более того, имеет место следующая формула для оператора Лапласа Бельтрами, 1 / d ( df\ 2/\ А/ = а\х)— а\х)— + 2— . (3.3.1) р[х) ox ox оу Предложение 3.3.4. Пусть тп четно. Значение А является собственным для оператора (3.3.1) тогда и только тогда, когда существует І Є Z o, такое что периодическая задача Штурма-Лиувилля d ( dh(x)\ 27 — cr(x)— а(х)— + 2/ h(x) = Xp{X)h{x)} dx dx (3.3.2) h(x + 2TT) = h(x) имеет решение. Соответствующее собственное пространство порождено функциями вида h(l,x) sin їх и h(l,x) cos їх, где І — любое натуральное число, такое что существует решение задачи (3.3.2), а h(l,x) — соответствующее решение.

Если тп нечетно, то утверждение остается тем же самым с той лишь разницей, что граничные условия принимают вид h{x + 7г) = (—1) h{x). (3.3.3)

Из предыдущего раздела мы знаем, что поверхности , являются торами. В настоящем разделе приводится доказательство следующей теоремы.

Теорема 3.4.1. Если ran четно, то метрика, индуцированная на МТО;П экстремальна для функционала Л4(то+п)_з(Т2,д). Если же ran нечетно, то метрика, индуцированная на МТО;П экстремальна для функционала Л2(то+п)_з(Т2,д). Набросок доказательства теоремы 3.4.1 По теореме 2.2.4, компоненты (/?т;П являются собственными функциями оператора Лапласа-Бельтрами на МТО;П. Так как функция cos2 sin2 + +2 2+ не зануляется на [0, 2), то можно считать, что ncos2x msin х ао(т + n, x) = 1 , m + 2n 2m + n и Xo(ra + n) = 2. Согласно предложению 2.3.4, неравенство Ao(/) 2 имеет место для всех I т + п. Аналогичным образом, sin ж и cos ж имеют 2 нуля на [0, 27г). Таким образом, опять же по предложению 2.3.4, либо \\{т) = 2 и \2{п) = 2, либо Ai(n) = 2 и \2{га) = 2. В последнем случае, мы приходим к противоречию, так как т п, и 2 = Ai(n) Ai(m) A2(m) = 2. Следовательно, Ai(/) 2 при / m, и Аг(/) 2 при / п. Завершающая часть доказательства основывается на следующем предложении, которое будет доказано ниже.

Предложение 3.4.2. Для собственного значения 3() задачи (3.3.2) имеет место неравенство 3(0) 2. Напомним, что каждому ХІ(І) при / 0 соответствуем двухмерное собственное пространство оператора Лапласа-Бельтрами на МТО;П. Элементарный подсчет завершаем доказательство в случае тп = 0 mod 2.

Если тп = 1 mod 2, то необходимо принять во внимание симметрию (ж, у) ь- (х + 7Г, у + 7г). Если / четно, то необходимо считать только 7г-периодические решения уравнения (3.3.2), а если / нечетно, то необходимо считать только 7г-антипериодические решения уравнения (3.3.2). Доказательство завершается элементарным подсчетом с применением предложений 2.3.5, 2.3.6.

Мы завершаем третью главу настоящей работы доказательством предложения 3.4.2. Уравнение Ламе В этом разделе собраны факты об уравнении Ламе, которое обычно записывается в следующем виде, (Pip 2 + (h — піп + 1)к sn z)(f = 0. (3.4.1) dz2 Для нас более удобной является тригонометрическая форма уравнения Ламе, ,2-,d2(P ,2 dtp п Ч2п II — (к cos у)2 + к smycosy—Ь [а — п(п + ljikcosy) \(р = 0, (3.4.2) ау ау которая получается из уравнения (3.4.1) заменой переменных 7Г snz = cosy Ф у = amz, где am — функция амплитуды Якоби, см., например, книгу [EMOT]. Предложение 3.4.2 будет доказано с помощью следующего промежуточного результата. Предложение 3.4.3. Положим п = 1. Тогда третье собственное значение hs(k) уравнения Ламе удовлетворяет неравенству hs(k) 2 для всех 0 к 1. Доказательство. В работе [V] показано, что собственное значение hs(k) может быть охарактеризовано как первое собственное значение задачи (3.4.2) с граничными условиями (р(у + 7г) = (р(у); ср(у) =—ср (тг — у). (3.4.3)

Перепишем уравнение (3.4.2) в виде л ті df v/1 — {kcosx)z— dx d ( г г, dtp\ h — 2(kcosx)2 — \/1 — {kcosx)z— H if = 0. (3.4.4) dx dx J\ — (hcosx)2 Положим p{x) = \J\ — (kcosx)2. Рассмотрим вспомогательную задачу Штурма-Лиувилля, d dcp —т Р\х)г -\-p(x)(fi = Xpixjip. (3.4.5) dx dx Очевидно, что функция (f(x) является решением уравнения (3.4.4) с h(k) = 2 тогда и только тогда, когда (р(х) является решением уравнения (3.4.5) с Х(к) = 3. Таким образом, если отношение Рэлея р(к, x)((f) + / ) dx Rk[f] = (3.4.6) p(k,x)f dx больше чем 3 для всех функций / Є Н1[0}7г], удовлетворяющих условиям (3.4.3), то hs(k) ф 2. Действительно, согласно вариационному принципу, первое собственное значение Хо{к) задачи (3.4.5) с граничными условиями (3.4.3) совпадает с inf R[f], где инфимум рассматривается на подпространстве С функций / Є Н1(Ш), удовлетворяющих условиям (3.4.3).

Биполярные поверхности к поверхностям Лоусона

Изложение организовано следующим образом. В разделе 4.1 мы докажем нижнюю оценку для supAn(T2,g) и для supAn(K, g). Эти оценки будут использованы для доказательства немаксимальности метрик (А)-(Д). Разделы 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 посвящены доказательству немаксимальности экстремальных метрик (А)-(Д) соответственно, что и завершает доказательство теоремы 4.0.2. Наконец, раздел 4.7 содержит доказательство предложения 4.0.4.

Предложение 4.1.1. Имеют место следующие неравенства, supЛП(Т , д) 07Г п — 1 Н—-р , supAn(K, д) 87г(п — 1) + 12иЕ , где Е(к) обозначает полный эллиптический интеграл второго рода. Приклеивание ручек по Шавелу-Фельдману Пусть — компактное риманово многообразие размерности 2. Выберем две различные точки і,2 Є и для достаточно малого определим е := объединение открытых геодезических шаров радиуса вокруг \ и Если \ и 2 лежат в одной компоненте связности , то выбирается меньше четверти радиуса инъективности и меньше четверти расстояния между \ и 2. Мы говорим, что многообразие е получено из добавлением ручки вдоль Гє, если

Обозначим спектр оператора Лапласа-Бельтрами на и е через j и j() соответственно. Шавел и Фельдман в работе [CF] получили достаточное условие сходимости при , стремящемся к нулю. Перед тем, как перейти к формулировке этого условия, необходимо дать следующее определение.

Определение 4.1.2. Для любого компактного риманова многообразия размерности 2 изопериметрическая константа \{) определяется выражением Y (min(voln(i), voln(2)))n-1 где V01& — это -мерный риманов объем, а пробегает все компактные ( - 1)-мерные подмногообразия в , разделяющие на 2 открытых подмногообразия i, 2 с общей границей . (voln-i())n \{) = ini Теорема 4.1.3 ((Шавел, Фельдман [CF])). Пусть е связно для всех и существует такая константа О, что \{Є) для всех 0. Тогда lim j() = j для = 1, 2,...

Замечание 4.1.4. В предположениях теоремы limvoln() = voln(). Дей-ствительно, достаточно выбрать = Гє в определении 4.1.2.

В той же самой статье Шавел и Фельдман предъявляют конструкцию многообразий е для любой поверхности и почти любой пары точек

Теорема 4.1.5. Пусть компактное двумерное риманово многообразие гауссовой кривизны , и = (\ l(0)) U int_1(0) — плотное открытое подмножество . Пусть также і,2 Є , и имеет место один из следующих случаев

Тогда существуют многообразия такие, что предположения теоремы 4.1.3 выполнены. В частности, Агеа(є) — Агеа() при — 0. Замечание 4.1.6. Следует отметить, что в работе [CF] был рассмотрен только случай связного многообразия . Однако приведенные там аргументы почти без изменений переносятся на случай несвязного многообразия в форме, указанной выше. Доказательство предложения 4.1.1 Рассмотрим плоский тор щ с решеткой из равносторонних треуголь л , 42 ников. Для подходящего растяжения решетки, мы имеем Агеа(е(?) = —=, а л/3 также Xi(req) = 2. Для стандартной сферы 2 площади 4-7Г также имеет место Ai(2) = 2. Возьмем п — 1 экземпляр 2 и обозначим их Si, і = 1, 2,..., n — 1. n—1 Таким образом, для Тп = тЄ(? ]J мы имеем Хп(Тп) = 2, а следователь г=1 но, Ап(Тп) = 8тт І п — 1 Н— = ). Последовательное применение теоремы 4.1.5 дает существование последовательности многообразий Ме, диффеоморфных тору, таких что Ап(Мє) — Ап(Тп) при є, стремящемся к нулю. Это завершает доказательство первого неравенства. Второе неравенство доказывается схожим образом, только вместо тщ нужно использовать биполярную поверхность Лоусона тзд (см. определе [] і-. / 2\/2 ние в 4.4). В работе JNP было доказано, что Лцтзі) = 12тіЕ Подходящим масштабированием метрики на тзд можно добиться того, что Лі( Гз,і) = 2, и применить конструкцию из предыдущего абзаца.