Классификация виртуальных узлов рода 1 малой сложности Акимова Алена Андреевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Классификация примарных проекций на торе Т 19

1.1 Перечисление проекций, имеющих п 5 перекрестков 20

1.2 Перечисление октаэдральных проекций 31

2 Классификация виртуальных узлов рода 1 37

2.1 Перечисление диаграмм на торе Т 38

2.2 Доказательство неэквивалентности диаграмм на торе Т 39

2.3 Доказательство примарности узлов 42

2.4 Построение виртуальных диаграмм 50

Заключение 54

Список литературы

• Перечисление проекций, имеющих п 5 перекрестков
• Перечисление октаэдральных проекций
• Доказательство неэквивалентности диаграмм на торе Т
• Построение виртуальных диаграмм

Введение к работе

Актуальность темы. Напомним, что классический узел представляет собой произвольную простую замкнутую кривую в трёхмерном пространстве М³. При изображении классических узлов удобно использовать их проекции на плоскость. При этом перекрестками называются точки плоскости, в которые проектируются две различные точки узла. Диаграмма узла получается из проекции указанием (путем разрыва нити в окрестности каждого перекрестка), какой из участков узла проходит выше другого.

Основные результаты классификации узлов в М³ получены П. Тэйтом, Д. Рол-фсеном, Дж.Хосте, М. Фиселисвейтом, Дж.Виксом, Др. Бар-Натаном и др.

Тенденция к развитию теории узлов в трехмерных многообразиях, отличных от М³, наблюдающаяся в последние годы, привела к задаче классификации этих узлов. Полученные к настоящему моменту результаты представлены в работах Ю.В. Дроботухиной (узлы в проективном пространстве MP³), Дж. Грина (виртуальные узлы)¹, Б. Грабровсек и М. Мрокзковски (узлы в полном торе).

Теория виртуальных узлов была предложена Л. Кауффманом², как естественное обобщение теории классических узлов. В настоящее время она разработана достаточно хорошо. Однако, такое направление, как классификация виртуальных узлов и составление таблиц значений их инвариантов, практически не было представлено в мировой литературе, за исключением таблицы¹ в интернет-ресурсе. Это контрастирует с тем, что в классической теории узлов классификация играет весьма важную роль, и демонстрирует актуальность задачи классификации виртуальных узлов.

Сама по себе задача классификации узлов, которую называют центральной проблемой теории узлов, чрезвычайно сложна. В первую очередь это связано с вопросом о нахождении метода, позволяющего для двух данных узлов однозначно сказать, являются ли они эквивалентными.

В настоящей диссертации роль инварианта, различающего узлы при классификации, играет обобщенный полином Кауффмана. Аналогичный инварианту, рассматриваемому в статье [1], он представляет собой продолжение на случай узлов в утолщенном торе Т х I полинома Кауффмана классических узлов.

¹Green, J. A table of virtual knots/J. Green// . ²Kauffman, L.H. Virtual knot theory/L.H. Kauffman// Eur. J. Comb. - 1999. - V. 20, N.7. - pp. 663 — 691.

Цели и задачи. Первой целью настоящей диссертации является классификация примарных проекций на торе Т узлов в утолщенном торе Т х I малой сложности. Для этого в настоящей диссертации решаются следующие задачи.

1. Составление таблицы всех абстрактных связных регулярных графов валентности 4 без петель, имеющих п < 5 вершин.

2. Рассмотрение вложений указанных графов и графа одномерного остова октаэдра в тор Т, дающих примарные проекции на торе Т, соответственно, сложности п < 5 и октаэдральные.

3. Доказательство различности всех построенных проекций.

Второй целью настоящей диссертации является классификация примарных виртуальных узлов рода 1 малой сложности: имеющих диаграммы с п < 5 перекрестками и с п = б специального вида. Решаются следующие задачи.

1. Построение всех примарных диаграмм на торе Т сложности п < 5 и ми
нимальных октаэдральных.

1. Преобразование каждой примарной проекции в набор соответствующих ей диаграмм путем указания типов перекрестков.

2. Группировка построенных диаграмм узлов по классам эквивалентности и доказательство примарности для каждого класса.

2. Преобразование полученных диаграмм на торе Т в виртуальные диаграм
мы тех же узлов.

Научная новизна работы состоит в составлении таблиц малой сложности

примарных проекций на торе Т узлов в утолщенном торе Гх/,

примарных диаграмм на торе Т узлов в утолщенном торе Гх/,

примарных виртуальных узлов рода 1 и в разработке ряда приемов

построения проекций узлов в утолщенном торе Гх/,

минимизации перебора диаграмм, соответствующих данной проекции.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для систематизации дальнейших исследований узлов в трехмерных многообразиях. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов и семинаров для студентов и аспирантов математических специальностей.

Методология и методы исследования. В процессе работы над диссертацией применялись результаты и методы маломерной топологии, отраженные в работах отечественных и зарубежных авторов. В том числе, методы табулирования классических узлов.

Положения, выносимые на защиту.

1. Классификация примарных проекций узлов вТх/, которые

3. или имеют п < 5 перекрестков,

4. или являются вложением одномерного остова октаэдра в тор Т.

2. Классификация примарных виртуальных узлов рода 1, минимальные вир
туальные диаграммы которых

5. или имеют п < 5 классических перекрестков,

6. или соответствуют проекциям, в которых ребра, соединяющие классические перекрестки, образуют одномерный остов октаэдра.

Апробация результатов. Все основные результаты, выносимые на защиту, являются новыми. Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами всех утверждений, приведённых в диссертации, в то время как необходимые значения инвариантов подтверждаются программными вычислениями.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах: в ЧелГУ на семинаре под руководством СВ. Матвеева, в МГУ на спецсеминаре «Узлы и теория представлений» под руководством В.О. Манту-рова, Д.П. Ильютко и И.М. Никонова, в МГУ на семинаре «Современные геометрические методы» под руководством А.Т. Фоменко, в ИММ УрО РАН на семинаре отдела алгебры и топологии под руководством А.А. Махнева.

Результаты диссертации в качестве докладов были представлены на следующих международных конференциях: «Современные проблемы математики и её приложений» (Екатеринбург, 2012, 2013), «Александровские чтения» (Москва, 2012), «Дни геометрии в Новосибирске» (2013), «Квантовая топология» (Магнитогорск, 2014), «Наука будущего» (Санкт-Петербург, 2014), «Квантовая и классическая топология трехмерных многообразий» (Челябинск, 2015). Кроме того, на конференции аспирантов и докторантов ЮУрГУ (Челябинск, 2014).

Содержание работы отражено в публикациях [1] — [10], в т.ч. в [1] — [3] в журналах, включенных в перечень ВАК для кандидатских диссертаций.

В совместных работах соавтору принадлежат постановки задач и общая схема их исследования.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, заключения, списка сокращений и условных обозначений, списка литературы из 43 наименований, приложения. Нумерация теорем, лемм и т.п. в каждой главе своя. Работа изложена на 77 страницах, снабжена 37 рисунками и 5 таблицами.

Перечисление проекций, имеющих п 5 перекрестков

Будем говорить, что проекция G С Т допускает дестабилизацию, если дополнение к ней T\G содержит нетривиальную окружность.

Определение 1.2. Проекция G называется примарной; если она не составная и не допускает дестабилизации.

В параграфе 1.1 перечисляются примарные проекции, имеющие п 5 перекрестков. При построении проекций узлов в утолщенном торе Т X I сложности п рассматриваются вложения абстрактных связных регулярных графов валентности 4, имеющих п вершин, в тор Т. Для построения примарных проекций достаточно рассмотреть вложения графов, не имеющих петель.

Лемма 1.1. Существуют ровно 11 абстрактных связных регулярных графов валентности без петель, имеющих не более 5 вершин.

Теорема 1.1. Существуют ровно 1 1 различных примарных проекций на торе Т, имеющих п Ъ перекрестков, см. Рис. 2.12.

При доказательстве Теоремы 1.1 весьма полезным средством оказался прием устранения двуугольной грани проекции узла на торе Т. Этот прием представляет собой аналог для кривых второго движения Рейдемейстера. В результате такого устранения сложность проекции (число ее перекрестков) уменьшается на 2. Таким образом, перечисление проекций сложности п 5, имеющих двуугольные грани, сводится к перечислению проекций сложности т 3 и применению операции восстановления двуугольных граней всеми возможными способами (их немного). Оказалось, что, кроме 3 исключений, любая проекция из таблицы может быть получена указанной операцией из (необязательно включенной в таблицу) проекции сложности т 3 в силу того, что большинство графов, вложения которых рассматриваются, содержит двойные ребра. Разумеется, нужно проверить, что построенная таблица проекций не содержит дубликатов. Это доказывается с помощью сопоставления каждой проекции G ее /-вектора, в качестве координат которого берутся числа углов в гранях рассматриваемой проекции G. Этот метод позволил доказать различность большинства проекций. В немногих оставшихся случаях оказалось достаточным сравнить числа углов в гранях, примыкающих к вершинам.

Ручное перечисление проекций примарных узлов в утолщенном торе Т х I сложности более 5 уже затруднительно — их очень много. С другой стороны, некоторый задел в этом направлении необходим для дальнейших исследований. С целью создания такого задела в параграфе 1.2 классифицируются примарные октаэдральные проекции узлов в Т х /, т.е. примарные проекции, представляющие собой вложение одномерного остова октаэдра в тор Т.

При доказательстве Теоремы 1.2 весьма полезным оказался прием устранения трех треугольных граней проекции на торе Т. В результате такого устранения сложность проекции уменьшается на 4. Таким образом, перечисление октаэдральных проекций сложности п = б, имеющих три треугольные грани, сводится к перечислению проекций сложности m = 2 и применению операции восстановления трех треугольных граней всеми возможными способами (их немного).

Отсутствие дубликатов, как и раньше, доказывается с помощью сопоставления каждой проекции G ее /-вектора, в качестве координат которого берутся числа углов в гранях рассматриваемой проекции G. Этот метод позволил доказать различность большинства проекций. В двух оставшихся случаях оказалось достаточным сравнить числа углов в гранях, примыкающих к вершинам.

В главе 2 строятся все примарные узлы в утолщенном торе Тх/, которые имеют диаграммы или с п 5 перекрестками, или октаэдральные. Построение проводится в два этапа.

1. Преобразование каждой из проекций, построенных в предыдущей главе, в набор соответствующих ей диаграмм путем выбора для каждого перекрестка одного из двух возможных типов. Исключение всех замеченных дубликатов и непримарных узлов. 2. Группировка построенных диаграмм узлов по классам эквивалентности и доказательство примарности для каждого класса. Наконец, преобразовать полученные диаграммы на торе Т узлов в утолщенном торе Т х І в виртуальные диаграммы тех же узлов.

Определение 2.1. Узел К С ТхІ называется составным, если выполнено по крайней мере одно из следующих условий: 1. К является связной суммой нетривиального узла в утолщенном то реТ х I и нетривиального узла в трехмерной сфере S 3. 2. К является нетривиальной круговой связной суммой двух узлов вТ х I. Определение 2.2. Узел К С Т х I называется примарным; если он не

составной и дополнение к нему Т х 1\К не содержит кольца /І Х / с Т х I, где /І С Т — некоторая нетривиальная окружность на торе Т.

Аналогично классическому случаю, узлы в утолщенном торе ТхІ задаются своими диаграммами, т.е. проекциями на тор Т с указанием типа каждого перекрестка, определяющего, какой из участков узла проходит выше другого в смысле величины координаты t Є I. При этом классические преобразования Рейдемейстера сохраняют свою роль: два узла в утолщенном торе ТхІ изотопны тогда и только тогда, когда их диаграммы можно соединить последовательностью преобразований Рейдемейстера Q\ — Q3.

Две диаграммы D и D называются эквивалентными, если пары (Т, D) и (Т , D ) гомеоморфны, при этом дополнительно разрешается одновременная смена типов всех перекрестков на противоположные.

Диаграмма узла К С Т х I называется минимальной, если её сложность (число перекрестков) не превосходит сложности любой диаграммы каждого узла, эквивалентного К. Диаграмма D С Т примарна, если она соответствует некоторому примарному узлу К С Т х I.

Составные и октаэдральные диаграммы получаются из соответствующих проекций указанием типов перекрестков.

В параграфе 2.1 каждая из проекций на торе Т, построенная в главе 1 и имеющая п б перекрестков, преобразуется в набор из 2П диаграмм на торе Т. В силу того, что заведомо эквивалентные или неминимальные диаграммы не представляют интереса, этот перебор можно удержать в разумных пределах за счет следующих соображений.

Перечисление октаэдральных проекций

Предположим, что G не содержит двуугольных граней. Тогда двойные ребра G образуют две отдельные нетривиальные окружности на Т, которые разбивают Т на два кольца. Оставшиеся 4 ребра расположены в этих кольцах: m ребер — в первом кольце, п — во втором. Комбинации (m,n) = (0,4) или (2,2) невозможны, потому что в таких случаях G либо допускает дестабилизацию, либо является проекцией зацепления. В случае (т,п) = (1,3) получается проекция 4ю ШАГ 5. Рассмотрим проекцию G типа f,g: или j.

Предположим, что G содержит 2 отдельные двуугольные грани. Удалив их, получаем проекцию G : имеющую 1 вершину и 2 петли. В случае, когда обе петли тривиальны, существуют 2 подходящие пары точечных дуг. Они определяют проекции 5i4 и бід. Если только одна петля тривиальна, то существуют 9 подходящих пар точечных дуг. Они определяют проекции 5i, 64, 65, 67, 5в, 5ц, 5із, 5іб и 5і7- Наконец, в случае, если обе петли нетривиальны, получаются проекции 52, 5з, 5б, 5g, 5і2, 5і5- На Рис. 1.8 показаны подходящие пары точечных дуг, о которых шла речь, а на Рис. 2.12 — соответствующие им проекции.

Предположим, что G содержит двуугольную грань, но не содержит двух отдельных двуугольных граней. В результате удаления двуугольной грани получается проекция G : которая содержит 3 вершины и п 2 петель, а потому имеет тип 2і, 22, или 6, см. Рис. 1.9.

Предположим, что G имеет тип 2і, т.е. является незамкнутой цепочкой из 4 окружностей. Каждая окружность может быть тривиальной на Т или нет. Пусть число тривиальных окружностей равно t. Случай t 2 невозможен в силу того, что на каждой тривиальной окружности должен находиться конец точечной дуги, поскольку G не содержит двух отдельных двуугольных граней. Для каждого из значений t = 0,1, 2 существует только одна проекция типа а\, допускающая подходящую точечную дугу, и эта дуга единственная. Выполнив

Движение L-1, ПОЛучаеМ Проекции 522, $27 и 5з2 Предположим, что G имеет тип а,2- Тогда G может быть получена из проекции 2\ (см. Рис. 2.12) добавлением тривиальной петли. Рассмотрим F — двуугольную грань G. Существуют 3 случая.

Пусть G имеет тип Ъ. Она состоит из 3 окружностей таких, что любые 2 из них имеют общую точку. Предположим, что точка пересечения некоторой пары окружностей трансверсальна. Тогда, как и в ШАГЕ 3, можно показать, что G эквивалентна проекции Зі. Существуют 4 неэквивалентных пути проведения точечной дуги, но только 3 из них определяют неэквивалентные проекции, а именно 5ю, 526 и 28- Теперь предположим, что все точки пересечения окружностей нетрансверсальны. Как и в ШАГЕ 1, заменим каждую из них на пунктирную дугу, как показано на Рис. 1.4. Получим такой циклически упорядоченный набор из 3 отдельных окружностей на торе Т, что каждая окружность соединена со следующей пунктирной дугой. Эти дуги также отдельные. В результате сжатия их в точку можно восстановить проекцию G. Пусть число тривиальных окружностей среди рассматриваемых трех равно t. Легко видеть, что если t = 1, то G эквивалентна проекции З2 на Рис. 2.12. Существуют 4

Предположим, что G не содержит двуугольных граней. В силу того, что каждый из графов f,g,j включает 2 отдельных двойных ребра, G содержит 2 отдельные нетривиальные окружности, которые разбивают Т на 2 кольца: А\ и А . Каждая окружность содержит 2 вершины G, а оставшаяся вершина лежит во внутренности одного из колец — скажем, внутри А\. Пусть число ребер внутри А\ и A i равно, соответственно, тип. Тогда т 4 и т+п = 6. Случаи (т, п) = (6, 0) или (4, 2) невозможны, иначе G либо допускает дестабилизацию, либо является проекцией зацепления. В случае (т,п) = (5,1) получается примарная проекция 5з4, см. Рис. 2.12.

ШАГ 6. Теперь рассмотрим примарную проекцию G типа /с, см. Рис. 1.3. Отметим, что G содержит 5 граней, а общее число углов в этих гранях равно 20. Учитывая, что G не содержит двуугольных граней, легко показать, что G содержит либо четырехугольную грань Q, либо, по крайней мере, 3 треугольных грани.

ШАГ 6.1. Предположим, что G содержит четырехугольную грань Q. Тогда Q и два ребра ж, у, соединяющие противоположные вершины Q, образуют, своего рода, пару «меридиан-параллель» на Т, см. Рис. 1.11 слева.

Таким образом, дополнение к x\Jy\J Q п&Т является диском, содержащим оставшуюся вершину v проекции G и 4 ребра, соединяющие v с вершинами Q. Для каждой вершины w четырехугольной грани Q существуют ровно 2 неизо топные дуги, соединяющие w с v. Каждую из них можно определить, изобразив её маленький начальный сегмент. Всего существуют 16 различных способов выбрать такие сегменты. Тем не менее, в силу того, что пара {Т, х U у U Q) очень симметрична, можно свести число возможностей всего к 4 случаям, см. Рис. 1.11 справа. Три из них определяют проекции зацеплений, и только одна — проекцию узла 5зз типа к.

ШАГ 6.2. Теперь предположим, что С содержит 3 треугольные грани. Нетрудно проверить, что для любых трех треугольных циклов в полном графе к на 5 вершинах по крайней мере 2 из них имеют общее ребро. Следовательно, существуют 2 треугольные грани С, имеющие общее ребро. Их объединение Q\ является четырехугольником на Т. Обозначим его вершины А, В,С, D так, что {АС) является общим ребром этих граней. Рассмотрим v — оставшуюся вершину С, ц — объединение ребер {vA), {AC), {Cv) проекции С, А — объединение ребер {АВ), {BD), {DA) проекции С. Очевидно, что /І и Л образуют «меридиан — параллель» пару на Т. Оставшиеся 2 ребра {vB) и {vD) должны подходить к/іс одной стороны, а к Л — с разных, иначе С является проекцией зацепления. Единственный путь получения проекции узла показан на Рис. 1.12. Эта проекция содержит четырехугольную грань (она закрашена). В соответствии с ШАГОМ 6.1, такая проекция эквивалентна проекции 5зз

Доказательство неэквивалентности диаграмм на торе Т

Единственное отличие от представленной в параграфе 2.2 обобщенной нормализованной скобки Кауффмана Х(К) (2.1) состоит в том, что теперь нетривиальные окружности рассматриваются с точностью до изотопии на торе Т. Здесь множитель х(р, q) соответствует нетривиальной окружности типа (р, q) на торе Т, делающей р оборотов вокруг параллели и q оборотов вокруг меридиана тора Т, a 6(s) — число таких нетривиальных окружностей в наборе DS: полученном на торе Т в результате разрешения диаграммы D согласно состоянию s.

Для того, чтобы определить тип нетривиальной окружности А, полученной на торе Т в результате некоторого разрешения диаграммы, достаточно зафиксировать одну из двух ориентации на А и посчитать индекс пересечения А со сторонами квадрата, на котором нарисована диаграмма. Первая координата кривой — это индекс пересечения с вертикальными сторонами, вторая координата — с горизонтальными. Например, на Рис.2.5 каждому из четырех состояний диаграммы 2i соответствует набор, содержащий ровно одну нетривиальную кривую, причем в первом состоянии это кривая типа (1,1), а в трех других — типа (1, —1).

Две обобщенные нормализованные скобки Кауффмана (с учетом изотопических типов нетривиальных окружностей) эквивалентны тогда и только тогда, когда существует гомеоморфизм тора на себя, переводящий набор кривых (pi, qi): соответствующий слагаемым в первом полиноме, в набор кривых (р , д ), соответствующий слагаемым во втором полиноме, с сохранением полиномиальных коэффициентов для всех І. Лемма 2.4. Обобщенная нормализованная скобка Кауффмана (с учетом изотопических типов нетривиальных окружностей) является инвариантом узлов в утолщенном торе Т х I.

Доказательство. Ивариантность построенной конструкции можно показать ана логично инвариантности нормализованной скобки Кауффмана классических узлов. В самом деле, число нетривиальных окружностей в наборах DS: соот ветствующих состояниям диаграмм, отличающихся только фрагментами дви жений Рейдемайстера Q\ — Г2з, одинаково, в то время как в результате гомео морфизма тора на себя нетривиальные окружности переходят в нетривиальные, при этом их изотопический тип изменяется по одинаковому правилу действия гомеоморфизма.

Следствие 2.1. Пусть Х(К) = Хл (а) x(PiiQi)Ui- Если полиномы Pi (а) не имеют нетривиального общего делителя для всех г, то узел К С Т х I не может быть представлен в виде нетривиальной связной суммы узла в утолщенном торе Т х I и узла в трехмерной сфере S?\

Таким образом, узлы 45,5із, 628,614,639 и 644, которые не удовлетворяют условию Следствия 2.1, не являются нетривиальной связной суммой узла в утолщенном торе Т х I и узла в трехмерной сфере 5 3.

Лемма 2.6. Пусть узел К С Т х I имеет диаграмму D С Т такую, что существует нетривиальная окружность /ІСТ, пересекающая D трансвер-сально в одной точке. Тогда Х(К) = Pi (а) ж(1, qi).

Доказательство. Узел К удовлетворяет условию Леммы 2.3, поэтому Х(К) = Р(а)-х. Осталось показать, что в каждом состоянии нетривиальная окружность имеет тип (1, qi).

Рассмотрим диаграмму D и нетривиальную окружность /І, пересекающую D трансверсально в одной точке. Обозначим эту точку М. В результате разрешения диаграммы согласно любому выбранному состоянию s получается набор окружностей на торе, который, как и раньше, обозначим Ds. Окружность, содержащая точку М (обозначим ее As), нетривиальна, потому что пересекает нетривиальную окружность /І трансверсально ровно в одной точке М.

Выберем представление тора Т в виде квадрата с отождествленными проти воположными сторонами таким образом, что одна из сторон квадрата является нетривиальной окружностью /І. Зафиксируем одну из двух ориентации на As и посчитаем индекс пересечения As со сторонами квадрата, на котором нарисо вана диаграмма. Индекс пересечения со стороной, соответствующей /І, равен 1, поскольку fin Xs пересекаются в единственной точке М. Следовательно, кривая As имеет тип (1,). Таким образом, узлы 639 и 644, которые не удовлетворяют условию Леммы 2.6, не являются круговой связной суммой двух узлов в утолщенном торе.

Осталось показать, что узлы 5із и 614 не являются нетривиальной круговой связной суммой двух узлов в утолщенном торе, а узел 647 — нетривиальной связной суммой узла в утолщенном торе Т х I и узла в трехмерной сфере 5 3. Это можно проверить в рамках гипотезы, которая утверждает, что сложность составного узла равна сумме сложностей слагаемых.

Легко видеть, что один из полиномов, в произведение которых раскладывается полином узла 5із, отличен от полиномов узлов в утолщенном торе, минимальные диаграммы которых имеют не более 3 перекрестков. В случае узла 647 оба полинома отличны от полиномов узлов в утолщенном торе, минимальные диаграммы которых имеют не более 4 перекрестков.

Заметим, что Х(6и) = Х(К): где К — некоторый составной узел. Этот полином получен в результате перемножения двух экземпляров обобщенной нормализованной скобки Кауффмана диаграммы Зі, в одном из которых произведена замена переменной а — а 1. Таким образом, диаграмма искомого составного узла К может быть получена из двух экземпляров диаграммы Зі, в одном из которых либо типы всех перекрестков заменены на противоположный, либо диаграмма зеркально отражена. Зафиксируем положение первого экземпляра диаграммы Зі. Каждый из вторых экземпляров можно расположить справа от первого четырьмя способами. Таким образом восстанавливаются диаграммы всего двух составных узлов. Обобщенный полином Кауффмана каждого из этих двух узлов совпадает с полиномом узла 614. Для того, чтобы показать, что и эти три узла на самом деле различны, можно использовать обобщенный полином Кауффмана (с учетом изотопических типов нетривиальных окружностей). Эти полиномы диаграммы 614 и обеих составных диаграмм различны, поэтому различны и все три соответствующих узла.

Покажем теперь, что ни один из узлов, изображенных на Рис. 2.13 и Рис. 2.14, не имеет диаграммы, допускающей дестабилизацию по некоторой нетривиальной окружности на торе Т.

Лемма 2.7. Если Х(К) узла К С ТхІ содержит по крайней мере два элемента вида x(p}q) и x(p\q ), для которых выполняется хотя бы одно из условий Р " Р і Я " я то ни одна из диаграмм узла К не допускает дестабилизацию. Доказательство. Рассмотрим некоторый узел К: полином Х(К) которого со держит хотя бы два элемента x(p,q) и x(pf,qf), соответствующих нетривиаль ным окружностям различных изотопических типов. Предположим, что суще ствует диаграмма D узла К: допускающая дестабилизацию по некоторой нетри виальной окружности /І С Т, имеющей тип (ро, qo)- Тогда в результате разреше ния диаграммы D согласно любому состоянию s получается набор окружностей на торе Т, в котором все нетривиальные окружности не пересекают /І, а пото му параллельны ей и имеют тот же изотопический тип (ро,Яо)- Таким образом, в полиноме узла К все элементы x(p,q) = x(po,qo)- Значение инварианта не зависит от диаграммы, поэтому получено противоречие с тем, что полином со держит хотя бы два различных элемента х(р, q) и х(р } q ). Таким образом, для того, чтобы показать, что ни одна из диаграмм, изображенных на Рис. 2.13 и Рис. 2.14, не эквивалентна некоторой диаграмме, допускающей дестабилизацию, достаточно вычислить их обобщенные нормализованные скобки Кауффмана (с учетом изотопических типов нетривиальных окружностей). Такая возможность реализована в программе [22]. Соответствующие значения инварианта приведены в Таблице 3 и Таблице 4. Легко видеть, что во всех полиномах присутствуют элементы, отвечающие различным изотопическим типам нетривиальных окружностей на торе Т, а потому соответствующие узлы не могут быть расположены в утолщенном кольце.

Построение виртуальных диаграмм

Виртуальный узел называется составным, если он может быть представлен в виде связной суммы двух нетривиальных виртуальных узлов, которая определяется аналогично соответствующей операции для классических узлов. А именно, каждая диаграмма разрезается в некоторой точке, после чего диаграммы соединяются с сохранением ориентации, выбранной на каждой из них. Отметим, что, в отличие от связного суммирования классических узлов, эта операция не определена однозначно. В частности, результат её зависит от выбора разбивающей точки. Подробнее о связной сумме виртуальных узлов см. в работе [11]. Виртуальные узлы, не являющиеся тривиальными или составными, называются примарними.

В настоящей диссертации классифицируются примарные узлы малой сложности в утолщенном торе Т х I. Эта задача эквивалентна задаче табулирования примарных виртуальных узлов рода 1 — согласно Теореме 2.4, в силу того, что тор Т является поверхностью рода 1.

Построим виртуальные диаграммы узлов, имеющих диаграммы на торе Т, изображенные на Рис. 2.13. Для того, чтобы диаграмму узла, изображенную на торе Т, представленном в виде квадрата с отождествленными противоположными сторонами, преобразовать в соответствующую ей виртуальную диаграмму, достаточно выполнить следующие два шага.

Замкнуть диаграмму, нарисованную на квадрате, по аналогии с замыканием косы. С этой целью соединить дугой каждую пару точек на противоположных сторонах квадрата, соответствующих одной и той же точке на торе Т. Точки пересечения добавленных дуг обозначить виртуальными перекрестками. 2. Удалить лишние виртуальные перекрестки, применив подходящую последовательность обобщенных движений Рейдемейстера, см. Рис.2.9. Две полезные комбинации обобщенных движений Рейдемейстера, которые часто используются при таком упрощении виртуальных диаграмм, показаны на Рис. 2.10.

В результате применения этого процесса ко всем диаграммам на торе Т, показанным на Рис. 2.13 и 2.14, получается таблица соответствующих виртуальных диаграмм тех же узлов в утолщенном торе Тх /, изображенная на Рис. 2.15 и 2.16 . Построенные виртуальные диаграммы неэквивалентны между собой, потому что соответствуют узлам в утолщенном торе Тх/, различность которых была доказана ранее. В силу этого, справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.3. Существуют ровно 90 различных примарных виртуальных узлов рода 1, имеющих диаграммы с не более чем 5 классическими перекрестками. Диаграммы этих узлов показаны на Рис.2.15.

Теорема 2.4. Существует ровно 51 различный примарный виртуальный узел рода 1, имеющий минимальные диаграммы, в которых ребра, соединяющие классические перекрестки, образуют одномерный остов октаэдра. Эти диаграммы показаны на Рис.2.16. Заключение

Первым основным результатом настоящей диссертации является классификация примарных проекций узлов в утолщенном торе Т х I малой сложности. Доказаны следующие теоремы. Теорема 1.1 Существуют ровно 1 1 различных примарных проекций на торе Т, имеющих п Ъ перекрестков, см. Рис. 2.12. Теорема 1.2 Существуют ровно 8 различных примарных октаэдральных проекций на торе Т, см. Рис. 1.13. Вторым основным результатом настоящей диссертации является классификация примарных виртуальных узлов рода 1 малой сложности. Доказаны следующие теоремы. Теорема 2.3 Существуют ровно 90 различных примарных виртуальных узлов рода 1, имеющих диаграммы с не более чем 5 классическими перекрестками. Диаграммы этих узлов показаны на Рис.2.15. Теорема 2.4 Существует ровно 51 различный примарный виртуальный узел рода 1, имеющий минимальные диаграммы, в которых ребра, соединяющие классические перекрестки, образуют одномерный остов октаэдра. Эти диаграммы показаны на Рис.2.16.

В процессе решения поставленных задач разработан ряд приемов, которые могут быть использованы при табулировании узлов в утолщенных поверхностях. Именно, разработаны приемы построения проекций узлов в утолщенном торе Гх/, минимизации перебора диаграмм, соответствующих данной проекции. Кроме того, рассмотрено обобщение полинома Кауффмана классических узлов на случай узлов в утолщенном торе Гх/и составлен список значений этого инварианта построенных узлов.

Выполненная в рамках настоящего диссертационного исследования классификация виртуальных узлов с учетом двух параметров (рода виртуального узла и числа истинных перекрестков в его виртуальной диаграмме) естественнее и перспективнее классификации с учетом только второго параметра.