Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Классификация простых ростков эквивариантных функций Асташов Евгений Александрович

Классификация простых ростков эквивариантных функций
<
Классификация простых ростков эквивариантных функций Классификация простых ростков эквивариантных функций Классификация простых ростков эквивариантных функций Классификация простых ростков эквивариантных функций Классификация простых ростков эквивариантных функций Классификация простых ростков эквивариантных функций Классификация простых ростков эквивариантных функций Классификация простых ростков эквивариантных функций Классификация простых ростков эквивариантных функций Классификация простых ростков эквивариантных функций Классификация простых ростков эквивариантных функций Классификация простых ростков эквивариантных функций Классификация простых ростков эквивариантных функций Классификация простых ростков эквивариантных функций Классификация простых ростков эквивариантных функций
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Асташов Евгений Александрович. Классификация простых ростков эквивариантных функций: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 01.01.04 / Асташов Евгений Александрович;[Место защиты: ФГБОУ ВО Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова], 2017.- 54 с.

Содержание к диссертации

Введение

1 Введение 4

2 Пространства струй эквивариантных ростков

2.1 Линеаризуемость действия конечной группы на комплексном пространстве 16

2.2 Эквивариантные ростки аналитических функций 17

2.3 Эквивариантные ростки бирациональных автоморфизмов комплексных пространств 19

2.4 Необходимое условие эквивариантной простоты ростка 20

2.5 Доказательство теоремы 1 21

3 Метод полных трансверсалей и теорема о конечной определенности 23

3.1 Метод полных трансверсалей 23

3.2 Теорема о конечной определенности 24

4 Доказательство теоремы 2 25

4.1 Случай (1.6) 25

4.2 Случай (1.7) 28

4.3 Случай (1.8) 29

4.4 Случай (1.9) 29

4.5 Случай (1.10) 31

5 Доказательство теоремы 35

5.1 Случай (1.12) 5.2 Случай (1.13) 38

5.3 Случай (1.14) 38

5.4 Случай (1.15) 39

5.5 Случай (1.16) 40

5.6 Случай (1.17) 42

5.7 Случай (1.18) 42

5.8 Случай (1.19) 43

5.9 Случай (1.20) 43

6 Некоторые обобщения 45

6.1 Случай скалярного действия группы ZTO (m 3) на Cn 45

6.2 Случаи действий группы Ът (m 3) на С2 и С3 с одной нетривиальной компонентой 46

Заключение 49

Список публикаций по теме диссертации 52

Литература

Введение к работе

Актуальность темы

При рассмотрении многообразий, на которых заданы действия фиксированной группы G, возникает понятие эквивариантного отображения (то есть отображения, сохраняющего действие группы).

Определение 1. Отображение G-многообразий /: М —> N называется эквивариантным относительно заданных действий группы G, если для каждой точки х Є М и каждого элемента а Є G выполнено равенство

f((j х) = а f(x).

(Символом «» обозначается действие элемента группы G на точку многообразия М или N соответственно.)

В частности, это понятие применимо к аналитическим функциям многих переменных и их росткам, а также к бирациональным автоморфизмам комплексных пространств и их росткам. В случае, когда действие группы G на многообразии N тривиально, отображение / называют инвариантным относительно действия группы G на многообразии М.

Задачи, связанные с рассмотрением аналитических функций многих переменных или их ростков, эквивариантных относительно заданной пары комплексных представлений какой-либо конечной абелевой группы G, возникают в алгебраической геометрии, топологии, теории особенностей и других разделах математики. Так, В.И. Арнольд1 при изучении особенностей функций на многообразиях с краем рассматривал ростки комплексно-аналитических функций многих переменных, инвариантных относительно действия группы G = Z2 на Сп по первой координате:

(—1) (zi, Z, zn) = (—zi, Z , zn).

При переходе от многообразия Сп с краем z\ = 0 к его двулистному накрытию, разветвленному вдоль края (то есть при замене переменных Z\ = zf, Zi = Zi при і ^ 2), росток f(z\,...,zn) отображается в росток f(zf, Z2-, , zn)i инвариантный относительно указанного выше действия.

1В.И. Арнольд. Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли Bk,Ck,F± и особенности эволют // Успехи математических наук, 33:5 (1978), 91-107.

При решении задачи описания особенностей каустик Вигнера на оболочках лагранжевых подмногообразий аффинного симплектического пространства В. Домитрж, М. Маноэль и П. де М. Риос2 рассматривают ростки нечетных функций, то есть функций, эквивариантных относительно нетривиальных скалярных действий группы G = Z2 на Сп и на С.

На множестве ростков аналитических функций, эквивариантных относительно заданной пары действий группы G на пространствах С и С, существует естественное отношение эквивалентности.

Определение 2. Два эквивариантных ростка f,g:п,0) —> (С,0) будем называть эквивариантно прав о эквивалентными (в дальнейшем для краткости будем называть их просто эквивалентными) относительно заданной пары действий группы G, если существует эквивариантный относительно того же действия группы G на Сп росток бирационального автоморфизма Ф: (Сп, 0) —> (Сп, 0), для которого д = f о ф.

Эквивариантные ростки аналитических функций многих переменных с критической точкой в начале координат могут иметь достаточно сложные вырождения (как и в неэквивариантном случае), поэтому классификация таких ростков всегда содержит модули (непрерывные параметры). Однако для многих конечных абелевых групп G и их комплексных представлений существуют специальные вырождения, вблизи которых модулей нет; такие вырождения мы будем называть эквивариантно простыми.

Определение 3. Росток эквивариантной функции /: (Сп,0) —> (С,0) с критической точкой 0 Є Сп назовем эквивариантно простым относительно заданных представлений группы G, если:

при всех достаточно больших г Є N достаточно малая окрестность некоторой (а значит, и любой) точки его орбиты в пространстве г-струй ростков эквивариантных функций (Сп,0) —> (С,0) пересекается лишь с конечным числом других орбит (такие орбиты называются примыкающими к орбите ростка д);

число примыкающих орбит в пространстве r-струй ростков эквивариантных функций (Сп, 0) —> (С, 0) остается ограниченным при г —> оо.

2W. Domitrz, M. Manoel, P. de M. Rios. The Wigner caustic on shell and singularities of odd functions // Journal of Geometry and Physics, 71 (2013), 58-72.

Список нормальных форм эквивариантно простых особенностей, тем самым, дает наиболее просто устроенную часть классификации всех эк-вивариантных особенностей (для данной группы G и ее представлений). В связи с этим возникает общая задача классификации ростков аналитических функций (Сп,0) —> (С,0), эквивариантно простых относительно различных пар комплексных представлений заданной конечной абелевой группы G.

Решение этой задачи в неэквивариантном случае получено В. И. Арнольдом3. Именно, доказано, что росток функции многих переменных в критической точке прост тогда и только тогда, когда он приводится к одной из следующих нормальных форм:

Ak '. (z\,..., zn) ь-> zx+ + z2 + ... + zn (k ^ 1);

Dk ' (zi,..., zn) i—> zxZ2 + z2~ +% + ... + zn ^ 4);
Eq : (z\,..., zn) i—> zx + z2 +% + ...+ zn; (1)

7-і \ 3 3 2 2

/7 : (zi,..., znJ 1—> ^ + ZiZ2 + % + ...+ zn;

7-1 / \ З Б 2 2

Eg : {Z\,..., znJ \-^ Zi + z2 + z% + ... + zn.

В уже упомянутой работе В.И. Арнольда4 дается классификация простых особенностей, инвариантных относительно действия группы Ъ2 на Сп по первой координате. В этом случае росток инвариантной функции многих переменных в критической точке прост тогда и только тогда, когда он приводится к одной из следующих нормальных форм:

Вк ' (z\,... , zn) ь-> z1 + z2 + ... + zn ^ 2);

Ck ' (z\,..., zn) 1—> zxz2 + z2 + z3 + ... + zn ^ 2); F4 : (zi,... , zn) 1—> zx + z2 + % + ... + zn.

В. Домитржем, М. Маноэлем и П. де М. Риосом 5 получена классификация простых нечетных особенностей. В частности, доказано, что при п ^ 3 таких особенностей не существует вовсе, а при п = 2 список нормальных

3В.И. Арнольд. Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек, группы Вейля Ak,Dk,Ek и лагранжевы особенности // Функциональный анализ и его приложения, 6:4 (1972), 3–25.

4В.И. Арнольд. Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли Bk,Ck,F4 и особенности эволют // Успехи математических наук, 33:5 (1978), 91–107.

5W. Domitrz, M. Manoel, P. de M. Rios. The Wigner caustic on shell and singularities of odd functions // Journal of Geometry and Physics, 71 (2013), 58–72.

форм простых нечетных особенностей имеет следующий вид:

D'ik/2 ' {zii z'i) ь^ z\z'i + z2 (к ^ 2);

E%/2 ' {zli z'l) l>" z\ + z\] JlO/2 ' {zli z'l) b^ z\ + z\z2'> ^12/2 : {zli z'l) b^ z\ + z2-

Имея список нормальных форм простых особенностей, эквивариантных относительно действий некоторой конечной абелевой группы, можно изучать, например, вопрос о том, какие из этих особенностей могут иметь функции, заданные многочленами фиксированной степени, мультистепе-ни или квазистепени. Изучению такого рода вопросов в неэквивариант-ном случае посвящены некоторые работы Я. Коллара, СМ. Гусейн-Заде, Н.Н. Нехорошева, СЮ. Оревкова и автора.6

Цель работы

Основная цель настоящей работы состоит в классификации с точностью до правой эквивалентности особых ростков функций (Сп,0) —> (С,0), экви-вариантно простых относительно различных представлений циклических групп ZTO конечного порядка на С и С.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Получено необходимое условие эквивариантной простоты ростка относительно конечных циклических групп в аналитической и геометрической форме. С его помощью доказано отсутствие эквивариантно

6См., например, J. Kollar. An effective Lojasiewicz inequality for real polynomials // Periodica math. hung., 38:3 (1999), 213-221; СМ. Гусейн-Заде, Н.Н. Нехорошев. Об особенностях типа Ak на плоских кривых фиксированной степени // Функциональный анализ и его приложения, 34:3 (2000), 69-70; Е.А. Асташов. Алгебраические кривые фиксированной степени со сложными особенностями // ”Дни студенческой науки. Весна-2011.” Сборник научных трудов — М.: МЭСИ (2011), 28-38; S. Yu. Orevkov. Some examples of real algebraic and real pseudoholomorphic curves // Perspectives in Analysis, Geometry and Topology . Progr. in Math. 296, Birkhauser/Springer, N. Y. (2012), 355-387; E. Astashov. On algebraic hypersurfaces of fixed degree in Cn with prescribed singularities // Proc. Int. miniconf. “Qualitative theory of differential equations and applications” (16 June 2012). M.: MESI (2013), 5-19; Е. А. Асташов. Об особенностях типа Ak на кривых и поверхностях заданной степени, квазистепени и мультистепени // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика, 6 (2015), 3-9.

простых ростков в случае согласованных скалярных действий конечной циклической группы на пространствах Сп и С.

  1. Метод полных трансверсалей и теорема о конечной определенности адаптированы для применения к классификации эквивариантно простых особенностей.

  2. Получена полная классификация эквивариантно простых ростков функций двух и трех переменных относительно всевозможных нетривиальных действий группы из трех элементов.

  3. Получена классификация эквивариантно простых ростков функций многих переменных относительно некоторых нетривиальных действий конечных циклических групп.

Основные методы исследования

В работе используются результаты и методы топологической теории особенностей. Результаты диссертации опираются на работы В. И. Арнольда о классификации простых особенностей в пространстве Сп и на многообразиях с краем, метод полных трансверсалей для классификации особенностей Дж. Брюса, Н. Кирка и А. Дюплесси, методы теории Морса, а также на некоторые результаты и методы теории особенностей, изложенные в работах В. И. Арнольда, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде. Указанные методы обобщены автором для применения в эквивариантном случае.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение при решении задач эквивариантной топологии и теории особенностей.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях.

1. Семинар «Топология особенностей» под руководством проф. С. М. Гусейн-Заде (Москва, 2014-2016 гг.).

  1. Международная школа-семинар “XVII Diffiety school” (Италия, Лиц-цано ин Бельведере, июль 2014 года).

  2. Международная школа-семинар “Geometrie Algebrique en Liberte” (Бельгия, Лёвен, июнь 2015 года).

  3. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных

«Ломоносов-2016» (Москва, апрель 2016 года).

  1. Семинар «Алгебраическая топология и её приложения» под руководством чл.-корр. РАН В. М. Бухштабера, проф. А. В. Чернавского, проф. И. А. Дынникова, проф. Т. Е. Панова, доц. Л. А. Алания, проф. А. А. Гайфуллина, доц. Д. В. Миллионщикова (Москва, апрель 2016 года).

  2. Международная школа-семинар “Jeunes Singularitistes a Nice” (Франция, Ницца, апрель 2016 года).

  3. Международная конференция “DIFF2016” по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, июль 2016 года).

  4. Международная конференция «Анализ, вероятность и геометрия» (Москва, сентябрь 2016 года).

  5. Семинар «Избранные задачи математического анализа и теории чисел» под руководством проф. М. П. Минеева, проф. В. Н. Чубарикова (Москва, ноябрь 2016 года).

Публикации

Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно и опубликованы в работах [1], [2], список которых приведен в конце автореферата, в журналах из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации

Эквивариантные ростки бирациональных автоморфизмов комплексных пространств

Замечание. Поскольку всякое конечномерное комплексное представление представимо в виде прямой суммы одномерных представлений, из предыдущей теоремы следует, что действие на Сп каждой образующей любой конечной группы G задается диагональной матрицей размера п х п, и эти матрицы удовлетворяют групповым соотношениям (если таковые имеются в группе G). В частности, если G = ZTO, то действие образующей этой группы задается диагональной матрицей, в которой на диагонали стоят корни степени m из единицы.

Замечание. Утверждение теоремы 4 является частным случаем теоремы Бохнера о линеаризации (см. [9], а также [10, теорема 2.2.1]).

Определение 4. Пусть а = (скі,... ,ап) — упорядоченный набор натуральных чисел (весов). Росток д : (Сп,0) — С,0) называется а-квазиоднородным степени г, если для всех t Є С выполнено равенство g(taixi,..., tanxn) = fg(xi,..., хп). Число г называют также а-квазистепенью ростка g и обозначают dega g. Каждый росток голоморфной функции /: (Сп,0) — (С,0) задаётся в окрестности начала координат в Сп некоторым рядом. Условие эквивариантности этого ростка относительно действий группы ZTO на С и С равносильно тому, что квазистепени (с некоторыми весами) всех мономов ростка / дают один и тот же определённый остаток по модулю т. Если образующая а Є ZTO действует на Сп по формуле ( ( Щ\\ [ Щп\ \ а (zi,..., zn) = exp z\}... , exp zn , (2.2) m m то в качестве набора весов можно взять а = (скі,..., ап), где fly mod m, если си ф 0 (mod т), х,- = (2.3) m, если j = 0 (mod m). При таком выборе весов всегда будет не более чем конечное число слагаемых каждой квазистепени. Отметим, однако, что указанный способ выбора весов — не единственный, обладающий таким свойством.

Определение 5. Набор весов а = (скі,... ,ап) Є Nn будем называть допустимым относительно представления (2.2) группы ZTO на Сп, если все мономы, эк-вивариантные относительно представления (2.2) группы ZTO на Сп и некоторого представления этой же группы на С, имеют квазистепени с весами а, которые дают одинаковый остаток по модулю т, причем существует не более чем конечное число слагаемых каждой квазистепени.

В частности, набор (2.3) является допустимым относительно представления (2.2).

Пример. Пусть группа G = Ъ% действует на С2 и на С по формулам: а (х,у) = (тх, ту); а z = TZ, (2.4) где т = ехр(2-7гі/3). Если взять а = (1,2) (набор, построенный по формулам (2.3)), то все мономы, эквивариантные относительно указанных действий, будут иметь а-квазистепени, делящиеся на 3 с остатком 1. Если взять /3 = (2,1), то все мономы, эквивариантные относительно указанных действий, будут иметь /3-квазистепени, делящиеся на 3 с остатком 2. Легко видеть, что мономов каждой а-квазистепени и мономов каждой /3-квазистепени существует не более чем конечное число. Поэтому «и/5- различные наборы весов, допустимые относительно представлений (2.4).

Можно интерпретировать понятие допустимого набора весов геометрически. Для этого каждому моному z ... z n сопоставляется точка (к\,..., кп) Є п п Мономам а-квазистепени d соответствуют точки, лежащие на гиперплоскости, заданной уравнением а\к\ + ... + апкп = d c вектором нормали (скі,..., ап). Набор а является допустимым, если: каждая точка с целочисленными неотрицательными координатами, которая отвечает эквивариантному моному, содержатся в одной из гиперплоскостей с уравнением а\к\ + ... + апкп = d, где d Є N; каждая такая гиперплоскость содержит не более чем конечное число таких точек; в уравнениях этих гиперплоскостей свободные члены сравнимы по модулю т.

Отсюда следует, в частности, что такая гиперплоскость не должна быть параллельна ни одной из координатных осей, поэтому в допустимом наборе для все і = 1,..., п выполняется условие OLi ф 0. 2.3 Эквивариантные ростки бирациональных автоморфизмов комплексных пространств Пусть группа G = ZTO действует на Сп и на С по формулам (2.2). Каждый росток эквивариантного автоморфизма (Сп,0) — (Сп,0) задаётся с помощью п рядов вида (ij{k)Z , (2.5) J(fc)GZ0 где J k = lj\ ,..., jn ) — мультииндекс суммирования, (ij(k) Є С — коэффициен j{k) j[k) Лк) v n .(к) _, ты, z\,..., zn — новые переменные, z = zl ... zJnn , причём если 2- s=l3s Qk (mod m), то (ij(k) = 0 (условие эквивариантности автоморфизма), а матрица коэффициентов линейных частей этих рядов — невырожденная. Нас будет интересовать действие такого ростка на струи ростков эквивариантных функций. Под струёй в этом случае понимается сумма всех мономов ограниченной квазистепени (в смысле выбранного допустимого набора весов). Лемма 1 (о действии эквивариантного автоморфизма на ненулевую струю экви-вариантного ростка минимальной квазистепени). Пусть ср : (Сп,0) — (Сп,0) — росток бирационального автоморфизма, эквивариантный относительно действия (2.2) группы Ът наСп и заданный формулами (2.5). Пусть /: (Сп,0) — (С,0) — росток аналитической функции, эквивариантный относительно действия (2.2) группы Ът на Сп и некоторого действия этой же группы на С. Пусть а = («і,..., ап) — набор весов, допустимый относительно представления (2.2). Пусть г — наименьшее натуральное число, для которого г-струя ростка f в смысле выбранного набора весов — ненулевая. Тогда г-струя ростка f о ср в смысле выбранных весов зависит только от тех членов рядов (2.5), показатели степеней которых удовлетворяют условию

Метод полных трансверсалей

Если росток / содержит мономы z7, x2z и y3z и не содержит мономов rryz, y2z и yz4, то по теореме о конечной определенности он с помощью эквивариантной замены переменных приводится к виду z7 + x2z + y3z и является эквивариантно простым.

Если росток / содержит мономы z7 и x2z и не содержит монома y z, то он не является эквивариантно простым. Это следует из того, что классификация форм (6, 3, 2)-квазистепени 14 в силу леммы 2 содержит модули.

Если росток / не содержит мономов степени 1 по переменной z, кроме монома x2z} то он не является эквивариантно простым: в этом случае к нему примыкают все ростки вида x2z + ykz + z4, к 2.

Если 7-струя (в смысле (3,3,1)-квазистепени) эквивариантно простого ростка / содержит только моном z7, то росток должен содержать какие-то из мономов x z, x2yz, xy2z, у3. Это следует из того, что в силу леммы 2 классификация форм (3, 3, 2)-квазистепени 14 содержит модули. Более того, если f(x,y,z) = д(х, у) z + h(x, у, z) z4, то росток д(х, у) должен быть простым как росток функции двух переменных (это доказывается так же, как аналогичное утверждение выше для ростка с 4-струей zA). Поэтому, как следует из классификации простых особенностей, росток д(х,у) может иметь один из типов Dk, EQ, 7, Eg. В последних трёх случаях к ростку / будут примыкать ростки (6,3, 2)-квазистепени 14, классификация которых, как уже было отмечено, содержит модули; значит, в этих случаях росток / не будет эквивариантно простым. То же самое относится к случаям ростков Dk, к 5. В случае ростка D4, который можно привести к виду Xі + у3, росток / по теореме о конечной определенности приводится к виду (ж3 + у3) z + z7 и является эквивариантно простым.

Наконец, рассмотрим случай, когда 7-струя (в смысле (3,3,1)-квазистепени) эквивариантного ростка / содержит только моном xzA. В этом случае к ростку / примыкают все ростки вида axzA + byzA + Q%{x)y)z) где а, Ь Є С, а Q3 кубическая форма. По лемме 2 классификация таких ростков (то есть ростков (3, 3, 2)-квазистепени 11) содержит модули, и в этом случае росток / не является эквивариантно простым.

Этот случай разбирается аналогично предыдущему. Все эквивариантно простые ростки в случае (1.13) получаются умножением соответствующих эквивариантно простых ростков для случая (1.12) на z. Исключение составляет росток z2 (он получается умножением на z ростка z, который в случае (1.12) является эквива-риантным, но не эквивариантно простым, поскольку не имеет критической точки в нуле). Этот росток является эквивариантно простым. В самом деле, всякий примыкающий к нему эквивариантный росток имеет вид z2{\ + єд(х,у, z)), где д(х, у, z) — инвариантный росток, є Є С . С помощью эквивариантной замены переменных х = х,у = y,z = Z\J\ + єд(х,у, z) такой росток приводится к виду z2. Отсюда следует, что он является эквивариантно простым. Остальные нормальные формы эквивариантно простых ростков получаются так же, как в случае (1.12).

Мономы ростков /: (С3,0) — (С,0), эквивариантных относительно представлений (1.11)ош, имеют (3,1,1)-квазистепени, делящиеся на 3 с остатком 1. Мономы (3,1,1)-квазистепени 1 — это только мономы у и z, которые не могут входить в росток с особенностью в начале координат. Поэтому все мономы эквивариантно простого ростка имеют квазистепени не ниже 4. 4-струя эквивариантно простого ростка (в смысле (3,1,1)-квазистепени) имеет вид аху + bxz + /4(2/, z), где fiiy z) — форма степени 4. С помощью линейных эквивариантных замен переменных в плоскости (у, z) можно привести эту 4-струю к аналогичному виду с 6 = 0. Предположим сначала, что а ф 0, тогда с помощью масштабирования перемен ных можно получить а = 1. Тогда 4-струя ростка / будет иметь вид J4f(x, y,z) = ху + у д(у, z) + cz , где д — росток, инвариантный относительно первого из представлений (1.11)ош. С помощью эквивариантной замены переменной х = х + д(у, z) можно привести 4-струю ростка к виду ху + czA. Если с 0, то с помощью масштабирование переменных можно получить с = 1, и по теореме о конечной определенности росток будет эквивалентен своей 4-струе. Если же с = 0, то 4-струя ростка / не является достаточной. Тогда его 7-струя будет иметь вид jV/(#, у, z) = ху + у д(у, z) + dz . Рассуждая аналогично предыдущему, получим, что либо 7-струя ростка приводится к виду ху + z1 и является достаточной, либо 7-струя недостаточна, и необходимо рассматривать 10-струю, и так далее. Продолжая по индукции, докажем, что росток приводится к одному из видов ху + z?ik+l (к 1).

Если же на первом шаге классификации а = Ъ = 0, то есть 4-струя ростка / не содержит членов, зависящих от ж, то росток — не эквивариантно простой. Это следует из того, что классификация форм степени 4 от двух переменных содержит модули, а замена переменной х в этом случае не будет влиять на 4-струю. Значит, уже классификация 4-струй ростков, не содержащих мономов ху и xz, содержит модули, поэтому все такие ростки не являются эквивариантно простыми. В частности, если 4-струя ростка (в смысле (3,1,1)-квазистепени) — нулевая, то росток не является эквивариантно простым в силу леммы 2

Случай (1.8)

Случай скалярного действия группы Ът (т 3) на Сп Следующий результат обобщает результаты теоремы 2 (случай (1.9)) и теоремы 3 (случай (1.18)). Теорема 7. Пусть действие группы Ът (т 3) на Сп (п 2) и на С задано формулами о (z\,..., zn) = (TZ\, ... ,rzn); a z = r z, (6.1) где а Є ZTO — образующая, r = exp(2-7ri/m). Пусть f: (Cn,0) — (C,0) — росток с особенностью в нуле, эквивариантный относительно представлений (6.1). Росток f является эквивариантно простым относительно этих представлений тогда и только тогда, когда он эквивалентен в смысле определения 2 одному из ростков z + + z2 + ... + zn (к Є Z o)- (6.2)

Доказательство. Доказательство теоремы 8 проводится по аналогии с доказательством теоремы 3 для случая (1.18). В окрестности начала координат росток / с помощью эквивариантной замены координат х = x(zi,..., zn), у = y(zi,..., zn) приводится к виду f(x,y) = tp(x) + Q{y), где Q — невырожденная квадратичная форма, dim{y} = rk( i2/o) = p, dimjrr} = n — p (это утверждение доказывается аналогично лемме 14). При этом имеет место неравенство р п — 1. В самом деле, если р п — 1, то р — эквивариантный росток функции двух или более переменных с нулевой {га + 1)-струей. Но классификация форм степени 5 и выше от двух и более переменных содержит модули, поэтому росток / в этом случае не будет эквивариантно простым.

Если в выбранных выше обозначениях р = п, то / представляет собой невырожденную квадратичную форму от трех переменных, которую с помощью линейных замен координат можно диагонализировать, то есть привести к виду (6.2), где к = 0.

Если же р = п — 1, рассмотрим эквивариантную функцию одной переменной р. Если производные всех порядков функции ср в нуле равны 0, то росток / — не простой (к его орбите примыкают все орбиты вида х? к+2 + Q{y)). Если же (/?W(0) = 0 при 0 і ЗА; + 1, но р к+2 (0) Ф 0 (к Є N), то росток / приводится к виду (6.2) с тем же к. Каждый из ростков (6.2) сам является эквивариантно простым: его малая окрестность в пространстве r-струй эквивариантных ростков при г ЗА; + 2 пересекает лишь конечное число орбит (это орбиты ростков вида zl + + zf + ... + z2, 0 / к). Замечание. Утверждение теоремы 8 останется верным, если в формулах (6.1) /2-7гі\ Ґ2ттік\ всюду заменить ехр на ехр , где НОД(А;,т) = 1: такое изменение m m представлений группы соответствует выбору другой образующей в группе ZTO.

Следующий результат обобщает результаты теоремы 2 (случаи (1.6), (1.7)). Теорема 8. Пусть действие группы Ът (т 3) на С2 и на С задано формулами (ж, у) = (ж, ту)] а z = Trz, (6.3) где (т Є Z3 — образующая, т = exp(2-7ri/m), г Є {1,... ,т — 1}. Пусть /: (С2,0) — (С,0) — росток с особенностью в нуле, эквивариантный относительно представлений (6.3). Росток f является эквивариантно простым относительно этих представлений тогда и только тогда, когда он эквивалентен в смысле определения 2 одному из следующих ростков: уг (только при г 2); хуг] х Уг + ym+r (k 2); хЗуг+у2т+г. xkyr + xym+r (fc 3); х уг + у +г (к 3).

Доказательство. Сравним множества эквивариантных мономов в случае действий (1.5)оп и в случае действий (6.3). В первом случае эквивариантный моном может иметь любую степень по переменной х и степень, делящуюся на 3 с остатком 1, по переменной у. Во втором случае эквивариантный моном может иметь любую степень по переменной х и степень, делящуюся на т с остатком г, по переменной у. Отсюда следует, что между множествами эквивариантных мономов, соответствующих этим двум случаям, существует биекция Vm r . X у I г x у Биекция ЬтіГ продолжается на множество эквивариантных функций и их ростков в начале координат, а также не множество эквивариантных бирациональных автоморфизмов пространства Сп и их ростков в начале координат. Очевидно. что эта биекция сохраняет отношение примыкания орбит ростков (см. определение 3) в пространствах струй любой длины. Поэтому при г = 1 под действием отображения 6ТО;Г множество эквивариантно простых ростков в случае действий (1.5)он переходит в множество эквивариантно простых ростков в случае действий (6.3) совпадают. Отличие случая г 1 только в том, что в случае действий (6.3) эквивариантно простым оказывается также росток уг (его прообраз у при отображении 6ТО;Г не является эквивариантно простым, поскольку не имеет критической точки в начале координат). Следующий результат обобщает результаты теоремы 3 (случаи (1.12), (1.13)). Теорема 9. Пусть действие группы Ът (т 3) на С3 и на С задано формулами а (x,y,z) = (x,y,rz); a-w = rrw (6.4) где о" Є Z3 — образующая, т = exp(2-7ri/m), г Є {1,... ,т — 1}. Пусть /: (С2,0) — (С,0) — росток с особенностью в нуле, эквивариантный относительно представлений (6.3). Росток f является эквивариантно простым относительно этих представлений тогда и только тогда, когда он эквивалентен в смысле определения 2 одному из следующих ростков: zr (только при г 2); xzr] F1(x,y)-zr + zm+r] (х2 +y2,)-zr + z2m+r] (x3 +y2,)-zr + z2m+r] (x + у ) zr + z m+r (k 3), где F\ — любой (неэквивариантно) простой росток функции двух переменных типов Ak Dk-jEk (см. формулы (1.1)).

Случай (1.17)

в нуле, эквивариантный относительно представлений (6.1). Росток f является Случай скалярного действия группы Ът (т 3) на Сп Следующий результат обобщает результаты теоремы 2 (случай (1.9)) и теоремы 3 (случай (1.18)). Теорема 7. Пусть действие группы Ът (т 3) на Сп (п 2) и на С задано формулами о (z\,..., zn) = (TZ\, ... ,rzn); a z = r z, (6.1) где а Є ZTO — образующая, r = exp(2-7ri/m). Пусть f: (Cn,0) — (C,0) — росток с особенностью эквивариантно простым относительно этих представлений тогда и только тогда, когда он эквивалентен в смысле определения 2 одному из ростков z + + z2 + ... + zn (к Є Z o)- (6.2)

Доказательство. Доказательство теоремы 8 проводится по аналогии с доказательством теоремы 3 для случая (1.18). В окрестности начала координат росток / с помощью эквивариантной замены координат х = x(zi,..., zn), у = y(zi,..., zn) приводится к виду f(x,y) = tp(x) + Q{y), где Q — невырожденная квадратичная форма, dim{y} = rk( i2/o) = p, dimjrr} = n — p (это утверждение доказывается аналогично лемме 14). При этом имеет место неравенство р п — 1. В самом деле, если р п — 1, то р — эквивариантный росток функции двух или более переменных с нулевой {га + 1)-струей. Но классификация форм степени 5 и выше от двух и более переменных содержит модули, поэтому росток / в этом случае не будет эквивариантно простым.

Если в выбранных выше обозначениях р = п, то / представляет собой невырожденную квадратичную форму от трех переменных, которую с помощью линейных замен координат можно диагонализировать, то есть привести к виду (6.2), где к = 0. Если же р = п — 1, рассмотрим эквивариантную функцию одной переменной р. Если производные всех порядков функции ср в нуле равны 0, то росток / — не простой (к его орбите примыкают все орбиты вида х? к+2 + Q{y)). Если же (/?W(0) = 0 при 0 і ЗА; + 1, но р к+2 (0) Ф 0 (к Є N), то росток / приводится к виду (6.2) с тем же к. Каждый из ростков (6.2) сам является эквивариантно простым: его малая окрестность в пространстве r-струй эквивариантных ростков при г ЗА; + 2 пересекает лишь конечное число орбит (это орбиты ростков вида zl + + zf + ... + z2, 0 / к). Замечание. Утверждение теоремы 8 останется верным, если в формулах (6.1) /2-7гі\ Ґ2ттік\ всюду заменить ехр на ехр , где НОД(А;,т) = 1: такое изменение m m представлений группы соответствует выбору другой образующей в группе ZTO.

Следующий результат обобщает результаты теоремы 2 (случаи (1.6), (1.7)). Теорема 8. Пусть действие группы Ът (т 3) на С2 и на С задано формулами (ж, у) = (ж, ту)] а z = Trz, (6.3) где (т Є Z3 — образующая, т = exp(2-7ri/m), г Є {1,... ,т — 1}. Пусть /: (С2,0) — (С,0) — росток с особенностью в нуле, эквивариантный относительно представлений (6.3). Росток f является эквивариантно простым относительно этих представлений тогда и только тогда, когда он эквивалентен в смысле определения 2 одному из следующих ростков: уг (только при г 2); хуг] х Уг + ym+r (k 2); хЗуг+у2т+г. xkyr + xym+r (fc 3); х уг + у +г (к 3).

Доказательство. Сравним множества эквивариантных мономов в случае действий (1.5)оп и в случае действий (6.3). В первом случае эквивариантный моном может иметь любую степень по переменной х и степень, делящуюся на 3 с остатком 1, по переменной у. Во втором случае эквивариантный моном может иметь любую степень по переменной х и степень, делящуюся на т с остатком г, по переменной у. Отсюда следует, что между множествами эквивариантных мономов, соответствующих этим двум случаям, существует биекция Vm r . X у I г x у Биекция ЬтіГ продолжается на множество эквивариантных функций и их ростков в начале координат, а также не множество эквивариантных бирациональных автоморфизмов пространства Сп и их ростков в начале координат. Очевидно. что эта биекция сохраняет отношение примыкания орбит ростков (см. определение 3) в пространствах струй любой длины. Поэтому при г = 1 под действием отображения 6ТО;Г множество эквивариантно простых ростков в случае действий (1.5)он переходит в множество эквивариантно простых ростков в случае действий (6.3) совпадают. Отличие случая г 1 только в том, что в случае действий (6.3) эквивариантно простым оказывается также росток уг (его прообраз у при отображении 6ТО;Г не является эквивариантно простым, поскольку не имеет критической точки в начале координат). Следующий результат обобщает результаты теоремы 3 (случаи (1.12), (1.13)). Теорема 9. Пусть действие группы Ът (т 3) на С3 и на С задано формулами а (x,y,z) = (x,y,rz); a-w = rrw (6.4) где о" Є Z3 — образующая, т = exp(2-7ri/m), г Є {1,... ,т — 1}. Пусть /: (С2,0) — (С,0) — росток с особенностью в нуле, эквивариантный относительно представлений (6.3). Росток f является эквивариантно простым относительно этих представлений тогда и только тогда, когда он эквивалентен в смысле определения 2 одному из следующих ростков: zr (только при г 2); xzr] F1(x,y)-zr + zm+r] (х2 +y2,)-zr + z2m+r] (x3 +y2,)-zr + z2m+r] (x + у ) zr + z m+r (k 3), где F\ — любой (неэквивариантно) простой росток функции двух переменных типов Ak Dk-jEk (см. формулы (1.1)).