Эластичные три-ткани Джукашев Камиль Рамилевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Эластичные три-ткани 16

1.1 Многомерные три-ткани 16

1.2 Структурные уравнения многомерной три-ткани 21

1.3 Эластичные три-ткани 25

1.4 Дифференциальная окрестность пятого порядка эластичной три-ткани 39

2 Эластичные ткани ранга1 59

2.1 W-алгебра эластичной ткани ранга 1 59

2.2 Структурные уравнения эластичной три-ткани ранга 1 62

2.3 Три-ткани E1r 64

2.4 Уравнение три-ткани E1r в локальных координатах 67

2.5 Доказательство эластичности ткани E1r 75

2.6 Три-ткани E2r 77

2.7 Доказательство эластичности ткани E2r 83

2.8 Тензоры кручения и кривизны тканей E1r и E2r 85

2.9 Об A-свойствах три-тканей E1r и E2r 89 2.10 Сердцевины эластичных три-тканей ранга 1 100

3 Эластичные ткани ранга2 106

3.1 Структурные уравнения основного класса эластичных три-тканей ранга 2 106

3.2 Уравнение три-ткани E2r(2) в локальных координатах 113

3.3 Доказательство эластичности три-ткани E2r(2) 116

3.4 Пример эластичной ткани ранга 119

• Структурные уравнения многомерной три-ткани
• Дифференциальная окрестность пятого порядка эластичной три-ткани
• Структурные уравнения эластичной три-ткани ранга
• Тензоры кручения и кривизны тканей E1r и E2r

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Интерес к многомерным три-тканям возник в 20-е годы XX века. В 1927 году появились работы В. Бляшке и его ученика Г. Томсена, посвященные новому разделу дифференциальной геометрии. Уже в первых работах было отмечено, что особую роль в теории три-тканей имеют условия замыкания конфигураций, образованных слоями криволинейной ткани. Кроме того было установлено, что теория три-тканей тесно связана с алгебраической теорией квазигрупп и луп. В 1928 году была опубликована работа К. Рейдемейстера, а в 1932 году - работа Х. Кнессера, в которых было показано, что с помощью произвольной группы можно построить полную три-ткань. А позже в работе Г. Бола было отмечено, что полную ткань можно построить с помощью группоида более общего вида, а именно - с помощью квазигруппы. С другой стороны, каждая три-ткань с точностью до изотопии определяет единственную квазигруппу, которая называется координатной квазигруппой этой три-ткани.

В своих работах В. Бляшке и его ученики - Г. Томсен, К. Рейдемейстер и Г. Бол рассмотрели условия замыкания некоторых конфигураций, образованных слоями ткани, и показали, что им соответствует некоторые тождества, выполняемые в координатных квазигруппах и координатных лупах ткани. В работах Бляшке и Томсена появилось условие шестиугольно-сти (H), в работе Рейдемейстера - условия замыкания Рейдемейстера и Томсена, а в работах Бола - три условия Бола.

Дифференциальные уравнения три-ткани, образованной тремя r-мерными слоениями на 2r-мерном многообразии, впервые получил С. Черн. М.А. Акивис записал структурные уравнения тканей в современной компактной инвариантной форме. Это позволило ему и его ученикам эффективно изучать общую теорию тканей и исследовать отдельные классы тканей. В частности, М. Акивис ввел понятие касательной W-алгебры многомерной три-ткани, обобщающей алгебру Ли. В терминах этой W-алгебры были охарактеризованы основные классы многомерных три-тканей.

Исследования специальных классов тканей имеет прикладное значение: как уже отмечалось выше, теория три-тканей тесно связана с теорией квазигрупп, а вследствии этого, с разделами физики, в которых используются неассоциативные структуры. Неассоциативные структуры, не являющиеся, вообще говоря, алгебрами, и в некотором смысле близкие к группам, начала изучать Рут Муфанг. Она рассмотрела группоид со свойством однозначной разрешимости и с двусторонней единицей, в котором выполняется тождество (xy)(zx) = x((yz)x) (теперь он называется лупой Муфанг). Тождество Муфанг вытекает из тождества ассоциативности, но обратное, вообще говоря, неверно. Муфанг доказала, что лупа Муфанг диассо-циативна – любые два ее элемента порождают ассоциативную подлупу. Три-ткани, в коорди-3

натных квазигруппах которых выполняется тождество Муфанг, называются соответственно тканями Муфанг (М).

Аналитические лупы, близкие у группам Ли, начал рассматривать А.И. Мальцев. Он ввел понятие локальной аналитической лупы, ее касательной алгебры, показал, что теория аналитических луп Муфанг во многом повторяет теорию групп Ли. Например, для первых также имеет место формула Кэмпбелла-Хаусдорфа, а их касательная алгебра (теперь она называется алгеброй Мальцева) определяется некоторым кубическим тождеством на структурный тензор (тождество Сейгла) — аналогом тождества Якоби.

Следующие (по сложности) за тканями Муфанг многообразия тканей — левые, правые и средние ткани Бола. Левые и правые ткани определяются соответственно тождествами (x(yx))z = x(y(xz)), x((yz)y) = ((xy)z)y, выполняемыми в координатных лупах этих тканей. Ткани Бола интересны, в частности, тем, что на них естественным образом возникает структура симметрического пространства. Любая ткань Муфанг является правой, левой и средней тканью Бола, но обратное, вообще говоря, неверно.

Ткани Бола характеризуются тем, что их тензор кососимметричен по какой-либо паре нижних индексов. Класс четырехмерных тканей Бола был подробно изучен в работах А.Д. Иванова. В частности, он доказал, что четырехмерные ткани Бола алгебраизуемы и могут быть заданы с помощью поверхности второго порядка и плоскости. Это позволило ему провести их полную классификацию. Достаточность тензорных условий, характеризующих ткани Бола произвольной размерности, получены В.И. Федоровой. В частности, она рассмотрела основные классы шестимерных тканей Бола.

Настоящая работа посвящена классу три-тканей Е, образованных r-мерными слоениями на 2r-мерном гладком многообразии, в координатных лупах которых выполняется тождество эластичности х(ух) = (ху)х. Несмотря на простой вид тождества эластичности, класс тканей Е изучен мало. Впервые данный класс тканей описан А.М. Шелеховым. Он доказал, что класс эластичных тканей (ткани Е) содержится в классе средних тканей Бола. В настоящее время неизвестно других классов тканей (или луп) промежуточных между тканями (лупами) Бола и Муфанг. Также им проведена классификация шестимерных эластичных тканей и доказано, что существует всего две неэквивалентые эластичные ткани, названные им тканями Е\ и Е₂, а нетривиальных (немуфанговых и негрупповых) эластичных тканей меньшей размерности не существует. В работах Г.А. Баландиной было начато исследование дифференциальной окрестности пятого порядка эластичной три-ткани. Примеры нетривиальных восьмимерных эластичных тканей были найдены М.В. Антиповой, которая изучала средние ткани Бола с тензором кривизны минимального ранга.

Цель работы. Изучить эластичные три-ткани, описать их геометрические свойства и провести их классификацию. Более подробно изучить эластичные три-ткани с тензором кручения минимального ранга.

Основные задачи исследования. В ходе диссертационного исследования были поставлены следующие задачи:

найти тензорные соотношения для класса эластичных тканей до пятого порядка включительно;

построить адаптированный репер для тканей ранга 1, записать в этом репер структурные уравнения ткани, проинтегрировать их и найти конечные уравнения;

описать основные свойства тканей 7(1), в частности, А-свойства, найти сердцевину тканей 7(1);

построить адаптированный репер для тканей ранга 2, записать в этом репер структурные уравнения ткани, проинтегрировать их и найти конечные уравнения;

описать основные свойства тканей 7(2), в частности, А-свойства, найти сердцевину тканей 7(2);

определить класс эластичных тканей с тензором кручения произвольная ранга - W₂ (р), описать их свойства.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в ходе диссертационного исследования, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Исследованы дифференциальные окрестности ткани Е до пятого порядка включительно; показано, что все тензорные соотношения в дифференциальной окрестности пятого порядка получаются в результате дифференциальных продолжений соотношений, найденных в дифференциальной окрестности четвертого порядка.

2. Определен класс эластичных три-тканей с тензором кручения минимального ранга (ткани 7(1)), найдены и исследованы их структурные уравнения.

3. Показано, что существует два основных класса тканей 7(1), найдены структурные и конечные уравнения каждого из этих классов.

4. Исследованы свойства каждого из классов 7(1), в частности, найдены их сердцевины и доказано, что ткани Е\{1) являются Д^-тканями, а ткани Е^ІХ) - ^-тканями.

5. Определен один из классов эластичных тканей с тензором кручения ранга 2 - (2), найдены структурные уравнения таких тканей.

6. Исследованы свойства тканей (2), в частности, найдены их сердцевины и доказано, что они являются А-тканями.

7. Определен класс эластичных тканей ранга р (р) и исследованы их основные свойства.

Методы исследования. В теории многомерных эластичных три-тканей применяются методы тензорного анализа, внешнее дифференциальное исчисление, теория связностей, теория групп Ли, теория симметрических пространств, методы проективной и аффинной геометрии и т.д. Основным методом исследования является метод внешних форм и подвижного репера Э. Картана, адаптированный М.А. Акивисом, В.В. Гольдбергом, А.М. Шелеховым и др. для изучения теории многомерных три-тканей. Результаты, полученные в работе, имеют локальный характер.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы при чтении спецкурсов в рамках специализации по геометрии тканей и теории локальных аналитических квазигрупп и луп.

Апробация работы. Основные результаты были доложены на следующих конференциях и семинарах:

третья Российская школа-конференция для молодых ученых с международным участием "Математика, информатика, их приложения и роль в образовании" (Тверь, февраль 2013 г.);

международная конференция "Геометрия в Одессе - 2013" (Одесса, май 2013 г.);

международный геометрический семинар имени Г.Ф. Лаптева "Лаптевские чтения -2013" (Пенза, сентябрь 2013 г.);

международная научно-техническая конференция "Математические методы и модели: теория, приложения и роль в образовании" (г. Ульяновск, апрель 2014 г.);

международная конференция "А-геометрия" (Астрахань, май 2014 г.);

международная конференция "Геометрия в Одессе - 2014" (Одесса, май 2014 г.);

седьмая международная конференция по дифференциальным и функционально--дифференциальным уравнениям "DFDE-2014" (Москва, август 2014 г.);

международная конференция "Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественнонаучного образования" (Москва, декабрь 2014 г.);

международная конференция "Геометрия в Одессе - 2015" (Одесса, май 2015 г.);

международный геометрический семинар имени Г.Ф. Лаптева "Лаптевские чтения -2015" (Пенза, сентябрь 2015 г.).

Структура диссертации. Диссертация изложена на 125 страницах печатного текста, состоит из введения, трех глав, включающих 18 параграфов, и списка цитируемой литературы. Список литературы содержит 30 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

Структурные уравнения многомерной три-ткани

В теории квазигрупп такая тройка функции Ja называется изотопией. В частности, три-ткани эквивалентные параллельной ткани Wo, называются па-раллелизуемыми или регулярными.

Классификация три-тканей тесно связана с условиями замыкания конфигураций, образованных слоями три-ткани. На рис.1.1 изображена шестиугольная конфигурация или фигура Н, при этом слои первого, второго и третьего семейств ткани изображаются вертикальными, горизонтальными и наклонными линиями соответственно. Фигура Н получается следующим образом. Пусть р - произвольная точка в области определения три-ткани W. Через нее проходят три слоя этой ткани. Возьмем на одном из них точку а, и проведем через нее вертикальный слой ткани, который пересекает наклонный слой в точке Ъ. Аналогичным образом получаем точки с, d, е и /. В общем случае точки а и / не лежат на одном наклонном слое ткани. Если же эти точки лежат на одном слое, то говорят, что шестиугольная фигура (abodef) замыкается. Если на три-ткани замыкаются все фигуры Н, то такую три-ткань называют шестиугольной или тканью Н.

Условие замыкания фигуры Н может быть записано с помощью умножения в координатной квазигруппе. Обозначим параметры и слои как указано на рисунке 1.1. Равенство z = f(x,y) = ху означает, что наклонный слой z проходит через точку пересечения слоев х и у. Поэтому условия замыкания фигуры Фигура H

Соотношения, описывающие условия замыкания конфигураций на три-ткани, принимают более простой вид, если вместо координатной квазигруппы / использовать ее LP-изотопы или координатные лупы [14] (лупой называется квазигруппа с единицей). Координатная лупа l(a,b)(o) : Аз х Аз На рисунках 1.3 - 1.8 изображены основные конфигурации на три-тканях и соответствующие условия замыкания.

Определение 3. Если на три-ткани W замыкаются все фигуры Т (R, Вт, Bi, Вг или Е), то три-ткань W называется три-тканью Т или тканью Томсена (соответственно тканью R (Рейдеместера), тканью Вт (средней х2 х3 тканью Бола), тканью Bl (левой тканью Бола), тканью Br (правой тканью Бола) или тканью E (эластичной)). Класс три-тканей, на которых замыкаются фигуры Бола трех типов: Bl, Bm и Br, называются тканями Муфанг или тканями M.

Теорема 1. [14] Три-ткань W является тканью R, T, Bl, Br, M, E, H или Bm тогда и только тогда, когда все ее координатные лупы будут соответственно группами, абелевыми группами, левоальтернативными, пра-воальтернативными, альтернативными, эластичными лупами или лупами с тождеством:

Пусть х , а = 1,2,3, - линейные формы со значениями в r-мерном про а странстве, которые определены в области U многообразия М и которые аннулируются на слоениях Ха ткани W соответственно. Соответствующие координатные формы обозначим и/. Тогда, согласно [14], слоения три-ткани будут заданы вполне интегрируемыми системами форм Пфаффа ш = 0, ш =

Теорема 2. [14] Две три-ткани W и W, заданные на многообразиях X и X одинаковой размерности, эквивалентны тогда и только тогда, когда их тензоры аг-к и аг-к, Щк1 и Щк1 совпадают в некоторых реперах. Тензор кручения задает на некотором линейном пространстве бинарную, а тензор кривизны - тернарную операции, определяемые формулами:

Определение 4. W-алгеброй или алгеброй Акивиса называется линейное пространство, в котором определены две полилинейные операции: бинарная [,??] и тернарная (,??, (), причем первая из них кососимметрична и эти операции связаны обобщенным тождеством Якоби. [14]

Из вышесказанного следует[14], что тензорные поля кручения и кривизны определяют алгебру Акивиса в касательном пространстве единицы каждой координатной лупы три-ткани W. Дифференцируя структурные уравнения, найдем другие тензоры три-ткани - ковариантные производные тензора кривизны:

Величины с = (с -Ыт) и с = {сглкіт) связаны с величинами а = (а)к) и Ъ = (Ьг-к1) соотношениями:

Других соотношений, связывающих между собой а, 6, с и с, нет [29]. Аналогичным образом можно найти следующие ковариантые производные.

Если три-ткань задана уравнением вида z = /(ж, у), то согласно [14] тензоры кручения и кривизны вычисляются по формулам: Перечисленные выше классы тканей могут быть охарактеризованы тензорными условиями.

Теорема 3. [14] Ткань W является тканью Т (R, В) тогда и только тогда, когда a = b = 0(b = 0,b кососиметричен по каким-либо двум нижним индексам).

Одними из наиболее хорошо изученных классов тканей являются ткани Бола. Эти классы эквивалентны друг другу с точностью до нумерации слоев, поэтому достаточно изучить только один из классов, например, класс средних тканей Бола Вт. Тензор кривизны средних тканей Бола удовлетворяет равенству

На базе третьего слоения средних тканей Бола естественным образом возникает структура локального симметрического пространства [14]. Симметрическая структура определяется бинарной операцией, называемой сердцевиной [18]. Сердцевина три-ткани Bm определяется на базе третьего слоения X3 уравнением:

Определение 5. Три-ткани, на которых замыкаются все фигуры E (рис.1.8), называются тканями E или эластичными три-тканями. Как уже отмечалось выше, данное условие эквивалентно тому, что все локальные лупы являются эластичными, т.е. в них выполняется тождество эластичности: x(yx)=(xy)x (1.34) (в дальнейшем для удобства записи операцию в координатной лупе ткани мы обозначаем не x y, а xy).

Дифференциальная окрестность пятого порядка эластичной три-ткани

Будем, как и выше, записывать умножение в алгебре Д определяемой тензором кручения, в виде z = [ху]. Тогда равенство (1.51) можно переписать в виде b(x,y,z) = 0, где z = [ху] - элемент производной алгебры А . Ввиду этого, имеет смысл классифицировать три-ткани Е по размерности алгебры А . Размерность алгебры А будем называть рангом.

Рассмотрим ткани Е, для которых ранг равен единице. Выберем семейство адаптированных реперов ткани таким образом, чтобы пространство А определялось базисным вектором Єї, тогда где индексы с шапочкой принимают значения от 2 до г. Т.к. формы UJ и UJ линейно независимы, то отсюда следует Ьг-к1 = b\A[. А по скольку Щы = —Щ1к, то Щы = Ъ1щ = —b\ij = —Ь\кл = Ь\-к = Щік = —Щкі. Отсюда находим, что Щы = 0, т.е. тензор кривизны имеет ненулевые компоненты только вида bl-kl. Доказано Предложение 3. Тензор кривизны эластичной три-ткани ранга 1 также имеет ранг 1, причем производные алгебры от алгебр являются одним и тем же одномерным пространством (в случае канонизации (2.1) — пространством, определенным вектором е\).

С учетом полученных соотношений структурные уравнения (2.9) рассматриваемой ткани Е принимают вид:

Как видно, система уравнений UJX = 0 является вполне интегрируемой. Следовательно, можно сузить семейство адаптированных реперов, положив UJ\ = 0. В результате структурные уравнения ткани Е примут вид:

Дифференциальные уравнения (1.31) на тензор кривизны сведутся к следующим: \/Ь\"" = db\"" = 0, откуда Ь1"-- = const. Таким образом в рассматри J ГЬІ 3 3 ваемом репере компоненты тензоров а1 и blcc являются постоянными, ком-поненты вида а\?, вообще говоря, переменные, остальные компоненты равны

Предложение 4. Пусть W - три-ткань Е\ с тензором кручения ранга 1, причем адаптированный репер этой ткани выбран так, что al-k 0, остальные компоненты нули. Тогда семейство адаптированных реперов допускает сужение, на котором ненулевые компоненты тензора кривизны ткани W могут быть записаны в виде (2.21). Величины а1 , и «j.--—А образуют структурный тензор некоторого семейства нильпонентных алгебр Ли Q, Q = {е{\.

Отметим, что соотношения (2.21) и (2.22) — единственные, связывающие компоненты тензоров ткани Е\. Действительно, новые соотношения могли бы появиться при дифференцировании уравнений системы (2.14)-(2.19) (что не произошло) и при дифференцировании самих соотношений (2.21) и (2.22). Но первое из них содержит только постоянные, а при дифференцировании вторых, как несложно проверить, получаются тождества. 2.4 Уравнение три-ткани Е\ в локальных координатах

С учетом всех полученных соотношений структурные уравнение ткани Е[ имеют следующий вид: где aj = const, Xg = —Xfy = const, а компоненты a\- удовлетворяют соотношениям (2.19) и (2.22). Система (2.15) и (2.17) вполне интегрируемы, значит она задает расслоения многообразия рассматриваемой ткани на двумерные многообразия с базисными формами сиг и и/, которые удовлетворяют структурным уравнениям duj =0, duj = 0. (2.30) Эти два уравнения определяют двумерную регулярную ткань, образованную слоениями со1 = 0, со1 = 0 и со1 + со1 = 0. Обозначим ее VK2. Таким образом, мы доказали, что наша ткань расслаивается на двумерные три-ткани W2.

С другой стороны, уравнения duil = 0 сами определяют регулярную три-ткань на многообразии с такими базисными формами. Эта фактор-ткань Wr 2 = W/W2 [14]. Таким образом, ткань Е\ является полупрямым произведением регулярных тканей W2 и Wr 2.

Чтобы узнать структуру полупрямого произведения, мы найдем уравнения ткани в локальных координатах. Проинтегрируем систему (2.14)-(2.19). 1) Из уравнений (2.15) и (2.17) следует, что формы сиг и сиг являются пол 12 ными дифференциалами:

Данное уравнение означает, что вектор а = (а}2! а1з! а14) ортогонален вектору С = [С\А] С\2] С\%). Следовательно, существует вектор р = (р2,Рз,Р4) (данная индексация означает, что компоненты вектора р зависят от компонент вектора а), такой что С = р х а. Таким образом,

В этих уравнениях Л23 0 и хотя бы одна из величин а\2) 2}з отлична от нуля, иначе из формулы (2.21) получаем нулевой тензор кривизны и, согласно [14], с. 21, уравнения (2.52) задают группу Ли, а ткань является групповой. Считая, что ткань не групповая и а\2 0, сделаем изоморфное преобразование: 12 13-3 23 3

Доказательство. Необходимо показать (см. п. 1), что тождество эластичности выполняется во всех координатных лупах ткани Е[, или, что то же самое, что на ткани Е\ замыкаются все конфигурации Е1, изображенные на рис. 1.8. Условие замыкания конфигурации Е равносильно так называемому условному тождеству: последнее из равенств

Структурные уравнения эластичной три-ткани ранга

Рассмотрим три-ткани Е1, для которых dim А = 2. Будем говорить в этом случае, что тензор кручения имеет ранг 2 и такие ткани будем обозначать Ег(2). Поместим в плоскость А базисные векторы е\ и Є2, тогда [е е ] = oh\fi\ + е2, то есть

При этом выполняются следующие условия неснижаемости ранга: I) хотя бы одна из компонент а1-к отлична от нуля; II) хотя бы одна из компонент а2-к отлична от нуля; III) компоненты а1-к и ahk не пропорциональны. Наиболеее общая ситуация состоит в том, что для некоторых значений индексов первая скобка обращается в нуль, а при других значениях индексов — вторая скобка обращается в нуль. Рассмотрим только два крайних случая: либо все первые скобки обращаются в нуль, либо вторые: либо для любых j, к, т. Эти классы тканей будем называть основными. В случае (3.5) с помощью (3.2) получаем, что все Xjk одинаковы, Xjk = X. Но тогда из (3.4) получаем, что условие III не выполняется. Следовательно, для основных классов тканей должны выполнятся условия (3.6). Из них получаем причем по индексу j суммирование не производится. 3) Положим в равенствах (1.69) к = т и воспользуемся соотношениями (3.1), (3.3) и (3.4). После преобразований получим:

В случае (3.8), как и выше найдем, что условие III не выполняется. Поэтому будем считать, что выполняются соотношения (3.9). Но тогда из (3.9) и (3.7) следует Рассмотрим случай Б. Из равенства (3.13) следует, что для любого вектора = &ез справедливо: [, Єї] = [ е ,еі] = CJ[ejiei] = CJajiei = (Oei Это значит, что вектор е\ является собственным вектором с собственным числом А() присоединенного представления А{ ) алгебры А. Верно и обратное: если любое присоединенное представление А{ ) сохраняет направление вектора е\, то выполняется равенство (3.13). В случае Б) из равенств (3.4) следует

Условия (3.13), (3.14), (3.16) и (3.17) означают, что производная алгебра А является центром алгебры А.

В силу полученных соотношений обобщенные тождества Якоби (1.17) примут вид: причем суммирование по индексам j, к не производится. Из соотношений (1.29) и (3.1) имеем: 7 (I V (I (IT) (I %) 7 (І / -с i\ причем тензоры кручения и кривизны удовлетворяются соотношениям: dabc -buMd("d 2 abc const, їйa(bc) 0, їй[abc] 0. (3.36) (3.37) (3.38) (3.39) Можно проверить, что система (3.31)-(3.35) замкнута относительно операции внешнего дифференцирования. Следовательно, рассматриваемый класс тканей Е существует, обозначим его E l).

Учитывая всё вышеизложенное, получаем 1) адаптированный репер выбран таким образом, что аа-к = 0, а для остальных компонент выполняются условия I-III неснижаемости ранга; 2) любое присоединенное представление алгебры А, определяемой тензором кручения, сохраняет направление вектора е\.

Тогда семейство адаптированных реперов допускает сужение, на котором структурные уравнения ткани Е (2) имеют вид (3.31)-(3.35), а ненулевые компоненты тензора кручения и кривизны удовлетворяют соотношениям (3.36)-(3.39). Рассматриваемая три-ткань Е (2) существует, причем является полупрямым произведением ([14]) двух регулярных тканей размерностей 2г — 4 и 4.

Последнее утверждение вытекает из вида уравнений (3.31)-(3.35) (см. [14]). Найдем уравнение три-ткани Е (2) в локальных координатах. Для этого проинтегрируем систему уравнений (3.31)-(3.35). 1) Из уравнений (3.32) и (3.34) следует, что формы сиа и сиа являются полными дифференциалами: сиа = dua, (3.40) сиа = dva. (3.41) Подставим найденные формы в уравнения (3.35) и (3.36). После интегрирования получаем:

Рассмотрим форму dQ = —bvabcucdua Л dub. Она является полным интегралом, т.к. при внешнем дифференцировании обращается в нуль. Преобразуем ее с помощью соотношений (1.17) и (1.46): dQ = —bvab(ucdua Л du = —(bvab(ucdua Л du + bbcauadu Л duc + О +bvcahu duc Л iwa) = —{bvahcucdua A du + bbcauadu Л iwc — — {bvabc + bbca)u duc Л iwa) = —{bvabc{ucdua f\du + и dua Л iwc) +

Чтобы найти уравнения ткани E2r(2) в локальных координатах, следует исключить локальные координаты ui и vi из уравнений слоений (3.46), (3.47) и (3.48). В результате получим: xu + yu - buabc(xc + yc)xaxb - buabc(xa + ya)(xb + yb)xc + cua b(xb + yb)xa = zu, xa +ya = za, или, с учетом кососимметричности тензора кривизны, zu = xu +yu + buabc(xa -ya)ybxc +cua bybxa, (3.49) za = xa +ya, где buabc = -buacb = const, cua b = -cub a = const.

Методы исследования. В теории многомерных эластичных три-тканей применяются методы тензорного анализа, внешнее дифференциальное исчисление, теория связностей, теория групп Ли, теория симметрических пространств, методы проективной и аффинной геометрии и т.д. Основным методом исследования является метод внешних форм и подвижного репера Э. Картана, адаптированный М.А. Акивисом, В.В. Гольдбергом, А.М. Шелеховым и др. для изучения теории многомерных три-тканей. Результаты, полученные в работе, имеют локальный характер.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы при чтении спецкурсов в рамках специализации по геометрии тканей. Апробация работы. Основные результаты были доложены на следующих конференциях и семинарах

Структура диссертации.Диссертация изложена на 125 страницах печатного текста, состоит из введения, 3 глав, включающих 18 параграфов, и списка цитируемой литературы. Список литературы содержит 30 наименования работ отечественных и зарубежных авторов. Краткое содержание диссертации Первая глава "Эластичные три-ткани" содержит необходимый для дальнейшего теоретический материал. В ней исследуются тензорные соотношения эластичных тканей до дифференциальной окрестности пятого порядка включительно.

В 1.1 "Многомерные три-ткани" дается определение многомерной три-ткани, функции три-ткани и фигур, образованных слоями ткани, формулируются условия замыкания фигур. Определяется эквивалентность три-тканей, вводятся понятия координатной квазигруппы и лупы. С помощью условий замыкания определяются классы три-тканей: шестиугольные, регулярные (парал-лелизуемые), групповые, левые, средние и правые ткани Бола. Эти классы тканей охарактеризованы тождествами, выполняемыми в их координатных лупах (теорема 1).

В 1.2 "Структурные уравнения многомерной три-ткани" рассматриваются структурные уравнения три-ткани и основные тензоры ткани, в частности, тензоры кручения и кривизны. Приводятся соотношения, связывающие основные тензоры, и формулируется теорема об однозначном задании три-ткани ее тензорами (теорема 2). В этом же параграфе приводятся формулы для вычисления основных тензоров три-ткани через производные от функции ткани. Приводятся тензорные условия, характеризующие основные классы тканей. Рассматривается наиболее важный для дальнейшего класс средних тканей Бола. Приводятся соотношения, связывающие основные тензоры тканей Бола. Как будет показано далее, класс эластичных тканей образует подкласс тканей Бола.

В 1.3 "Эластичные три-ткани" дается определение эластичных три-тканей, в координатных лупах которых выполняется тождество эластичности. Находятся тензорные соотношения, описывающие эластичные три-ткани, до четвертого порядка включительно. Для этого мы используем разложение в ряд Тейлора операции умножения в координатной лупе, с помощью него расписываем тождество эластичности, приравниваем соответствующие члены и получаем соотношения на коэффициенты ряда. Далее используем соотношения, связывающие коэффициенты ряда с тензорами три-ткани, найденные в [14] и [28], и находим соотношения на основные тензоры. Вычисления в первой и второй дифференциальной окрестности не дают соотношений, кроме тождественных. Рассматривая третью дифференциальную окрестность, находим, что тензор кривизны эластичной три-ткани кососимметричен по двум последним нижними индексам. Таким образом, эластичные три-ткани являются тканями Бола, а так как существуют ткани Бола, не являющиеся эластичными, то эластичные три-ткани образуют собственный подкласс тканей Бола. Рассматривая четвертую дифференциальную окрестность, находим единственное нетривиальное соотношение, связывающие основные тензоры ткани,