Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах Файзуллин Рамиль Рашитович

Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах
<
Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах
>

Диссертация, - 480 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Файзуллин Рамиль Рашитович. Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.04 / Файзуллин Рамиль Рашитович; [Место защиты: Ин-т математики им. С.Л. Соболева СО РАН].- Омск, 2007.- 61 с.: ил. РГБ ОД, 61 07-1/1706

Введение к работе

Актуальность темы. Задачи оптимального управления на группах Ли имеют прикладное и теоретическое значение в первую очередь в плане выбора экстремальных (оптимальных) решений проблем. Реальные проблемы очень часто ведут к поиску наилучших решений в непрерывном множестве допустимых.

Определение 1. Метрическое пространство называется пространством с внутренней метрикой, если расстояние между двумя его точками есть точная нижняя грань длин спрямляемых кривых, соединяющих эти точки.

Определение 2. Пространство М с внутренней метрикой р называется однородным, если группа всех движений (изометрий) О пространства М действует транзитивно на М.

Любая точка х однородного пространства М определяет подгруппу Сж = Є О | gx = х} группы движений О. Она называется стабилизатором точки х. Стабилизаторы разных точек сопряжены в группе О с помощью внутренних автоморфизмов. С замкнутой подгруппой Н вида Ох группы О связано некоторое однородное пространство с группой изометрий О — множество

М = G/H левых классов смежности группы О по подгруппе Н, на котором О действует по формуле

g(aH) = (ga)H, д,аеО. Это однородное пространство называется фактор-пространством группы О по подгруппе Н, а подгруппа Н становится стабилизатором точки еН = Н этого пространства, где е — единица группы О.

Любое однородное пространство М с группой изометрий О можно отождествить с фактор-пространством группы О по подгруппе Н = Ох, являющейся стабилизатором фиксированной точки х Є М.

Вариационные задачи имеют обширную предысторию; поэтому здесь мы ограничимся упоминанием недавних работ, связанных с решавшейся проблемой. Так, в работах [5, 4] изучение метрического строения однородных многообразий с внутренней метрикой доставило следующий результат: однородные пространства М с внутренней метрикой — это в точности фактор-пространства О/Н связных групп Ли О по их компактным подгруппам Н, снабженные некоторой инвариантной относительно канонического действия группы О на О/Н метрикой Карно — Каратеодори — Финслера. Всякая такая метрика dc задается вполне неголономным G-инвариантным распределением Д на пространстве М = О/Н и G-инвариантной (финслеровой) нормой

F = F(p,-), ре О/Н,

на линейном подпространстве Д(р) касательного к М в точке р пространства Мр.

Условие вполне неголономности распределения Д вследствие теоремы Рашевского — Чжоу можно выразить требованием того, чтобы любые две точки из М можно было соединить кусочно непрерывно дифференцируемым

путем, касающимся распределения Д. Такой путь также называется горизонтальным.

В иной формулировке это требование означает, что бесконечно дифференцируемые касательные к распределению Д векторные поля своими линейными комбинациями и коммутаторами порождают алгебру L = Х(М) бесконечно дифференцируемых касательных к М векторных полей, а их линейная оболочка L' отлична от L, т.е. Д не совпадает с Т(М), касательным распределением над М. На языке алгебры это требование можно выразить совпадением наименьшего модуля над С(М), содержащего бесконечно дифференцируемые касательные к расслоению Д векторные поля и их скобки Ли, с Х{М) — при том, что Д ^ Т{М).

Метрика dc определяется формулой

dc{p,q) = inf< / F(w(t)) dt, w Є Cpq I,

где Cpq — множество всех кусочно непрерывно дифференцируемых горизонтальных путей в М = О/Н, заданных на отрезке [0,1] и соединяющих точки р, q из М. Финслеровы метрики dc характеризуются дополнительным условием спрямляемости регулярных С1-путей в G/H относительно метрики dc. Если, кроме того, любые два таких пути с общим началом имеют между собой угол по Александрову, то {G/H, dc) изометрично однородному риманову многообразию с внутренней метрикой.

Инвариантность вариационной задачи означает, что соответствующий функционал инвариантен относительно некоторой транзитивной группы движений рассматриваемого однородного риманова пространства, см. [14, 10, 8].

Условия применимости методов теории оптимального управления на группах Ли исследовались в работе В. Н. Берестовского [3], где также перечислены все (связные) группы Ли, на которых всякая левоинвариантная внутренняя метрика будет финслеровой. Из упомянутых результатов следует, что левоинвариантные внутренние метрики групп Ли в точности являются левоинвариантными метриками Карно — Каратеодори — Финслера.

Не исключено, что всякое однородное локально компактное пространство с внутренней метрикой, удовлетворяющее условию локальной единственности кратчайших, представляет собой однородное финслерово многообразие. Этот результат установлен по крайней мере для компактных пространств.

В недавних работах [21, 11] решены задачи, связанные с проблемами дифференциальных уравнений, однородных пространств и группового анализа. В частности, в [11] исследовалась задача о геодезических потоках на однородных пространствах. В работе [12] исследовалась задача нахождения минимума функционала f0 F(x,y,yx)dx в пространстве гладких функций, удовлетворяющих некоторым граничным условиям.

Группы Ли с левоинвариантной неголономной метрикой, порождающейся квадратичной формой на касательном вполне неголономном подрасслоении, рассматривались в работах Р. С. Стричартса [22], А. М.Вершика и В. Я. Гершковича [8, 23], В. Н. Берестовского [7].

В работах [6, 7] В. Н. Берестовским исследовались геодезические неголономных левоинвариантных метрик на группе Гейзенберга и на группе движений евклидовой плоскости Е2. Был проведен поиск экстремалей вариационной задачи для функционала

на плоскости Е2, где к — геодезическая кривизна регулярной непрерывно дифференцируемой кусочно дважды непрерывно дифференцируемой кривой x(s), параметризованной длиной дуги s. При этом поиск осуществлялся с помощью построения левоинвариантной неголономной римановой метрики на группе Ли собственных движений рассматриваемого пространства, нахождения ее геодезических и установления соответствия между ними и искомыми экстремалями. Также было высказано мнение о целесообразности подобного исследования для плоскости Лобачевского.

В свое время A.M. Вершик указал, что естественные вариационные задачи для гладких кривых с функционалом, зависящим от высших производных, могут привести к однородным многообразиям с внутренней метрикой.

Сложности, возникающие при решении задач с производными высших порядков в исследуемых функционалах, снимаются тем, что естественной областью определения вышеупомянутой метрики является подмногообразие касательного расслоения первого и высшего порядков над исходным многообразием, и, принимая производные за новые переменные, удается получить новый функционал от производных не выше первого порядка и метрической функцией Финслера на упомянутом подмногообразии при описании однородного многообразия. Вероятно, необходимым является неголономный характер получаемой метрики.

Вариационные задачи на многих пространствах интересны возможностью применения методов, связанных в первую очередь с принципом максимума Понтрягина.

Цель работы.

1. Изучить вопрос о связях геодезических и сфер группы Гейзенберга
с геодезическими и сферами плоскости Грушина, исследуются их свойства.
(Плоскость Грушина — это двумерное пространство с метрическим элементом
ds2 = dx2 + dy2/x2.)

  1. Исследовать инвариантную вариационную задачу на расслоенном пространстве единичных касательных векторов над плоскостью Лобачевского, связанную с поиском экстремальных кривых x(s) (с заданными направлениями в начальной и конечной точках) функционалов JV1 + k2(s) ds и J(l + k2(s)) ds.

  2. С помощью принципа максимума Понтрягина осуществить поиск экстремалей x(s) (с заданными направлениями в начальной и конечной точках) функционала J у/1 + k2(s) ds на расслоенном пространстве единичных касательных векторов над плоскостью Евклида.

  3. Осуществить проверку уравнения Эйлера — Пуассона на решении инвариантной вариационной задачи для функционала J\/1+ k2(s) ds на кривых плоскости Евклида.

Методы исследования. В доказательствах использовались методы метрической геометрии, принцип максимума Понтрягина, свойства неголономных метрик, методы теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы состоит в следующем.

  1. С помощью нахождения уравнений Эйлера — Лагранжа для экстремалей функционала /(1 + k2(s)) ds на расслоении единичных касательных векторов над плоскостью Лобачевского получена в явном виде часть решений.

  2. Проведено исследование свойств семейства экстремалей, включающего подмножество экстремалей, найденных в явном виде.

  3. С помощью принципа максимума Понтрягина проведено исследование вариационной задачи для функционала J\/ 1 + k2(s) ds на расслоении единичных касательных векторов над евклидовой плоскостью.

  4. Найдены геодезические плоскости Грушина.

  5. Установлена субметричность проекции группы Гейзенберга на модифицированную плоскость Грушина с метрикой ds2 = dr2 + Adz22; показано сохранение проекцией длин спрямляемых кривых.

  6. Доказано, что геодезические группы Гейзенберга Н с началом в центре группы отображаются проекцией на геодезические модифицированной плоскости Грушина.

  1. Установлено, что сферы группы Гейзенберга с центром в единице группы доставляются вращением сфер модифицированной метрики ds2 = dr2 + Adz2/'г2 Грушина с центром в нуле плоскости.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа имеет теоретическое значение. Результаты могут быть использованы в исследованиях вариационных задач на однородных пространствах с определенными свойствами.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах [17, 18, 20, 15, 19]. Одна работа опубликована издательством Челябинского научного центра [16].

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: 37-й региональной молодежной конференции (30 января -3 февраля 2006 г., Урал), XLIII международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирский государственный университет, 2005 г.), Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю. Г. Решетняка (23 августа -2 сентября 2004 г., Новосибирск, Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН).

Структура и объем работы. Диссертационная работа имеет объем 61 стр., состоит из введения, четырех глав и списка использованной литературы, включающего 39 наименований.