Введение к работе
Актуальность темы. Задачи оптимального управления на группах Ли имеют прикладное и теоретическое значение в первую очередь в плане выбора экстремальных (оптимальных) решений проблем. Реальные проблемы очень часто ведут к поиску наилучших решений в непрерывном множестве допустимых.
Определение 1. Метрическое пространство называется пространством с внутренней метрикой, если расстояние между двумя его точками есть точная нижняя грань длин спрямляемых кривых, соединяющих эти точки.
Определение 2. Пространство М с внутренней метрикой р называется однородным, если группа всех движений (изометрий) О пространства М действует транзитивно на М.
Любая точка х однородного пространства М определяет подгруппу Сж = {я Є О | gx = х} группы движений О. Она называется стабилизатором точки х. Стабилизаторы разных точек сопряжены в группе О с помощью внутренних автоморфизмов. С замкнутой подгруппой Н вида Ох группы О связано некоторое однородное пространство с группой изометрий О — множество
М = G/H левых классов смежности группы О по подгруппе Н, на котором О действует по формуле
g(aH) = (ga)H, д,аеО. Это однородное пространство называется фактор-пространством группы О по подгруппе Н, а подгруппа Н становится стабилизатором точки еН = Н этого пространства, где е — единица группы О.
Любое однородное пространство М с группой изометрий О можно отождествить с фактор-пространством группы О по подгруппе Н = Ох, являющейся стабилизатором фиксированной точки х Є М.
Вариационные задачи имеют обширную предысторию; поэтому здесь мы ограничимся упоминанием недавних работ, связанных с решавшейся проблемой. Так, в работах [5, 4] изучение метрического строения однородных многообразий с внутренней метрикой доставило следующий результат: однородные пространства М с внутренней метрикой — это в точности фактор-пространства О/Н связных групп Ли О по их компактным подгруппам Н, снабженные некоторой инвариантной относительно канонического действия группы О на О/Н метрикой Карно — Каратеодори — Финслера. Всякая такая метрика dc задается вполне неголономным G-инвариантным распределением Д на пространстве М = О/Н и G-инвариантной (финслеровой) нормой
F = F(p,-), ре О/Н,
на линейном подпространстве Д(р) касательного к М в точке р пространства Мр.
Условие вполне неголономности распределения Д вследствие теоремы Рашевского — Чжоу можно выразить требованием того, чтобы любые две точки из М можно было соединить кусочно непрерывно дифференцируемым
путем, касающимся распределения Д. Такой путь также называется горизонтальным.
В иной формулировке это требование означает, что бесконечно дифференцируемые касательные к распределению Д векторные поля своими линейными комбинациями и коммутаторами порождают алгебру L = Х(М) бесконечно дифференцируемых касательных к М векторных полей, а их линейная оболочка L' отлична от L, т.е. Д не совпадает с Т(М), касательным распределением над М. На языке алгебры это требование можно выразить совпадением наименьшего модуля над С(М), содержащего бесконечно дифференцируемые касательные к расслоению Д векторные поля и их скобки Ли, с Х{М) — при том, что Д ^ Т{М).
Метрика dc определяется формулой
dc{p,q) = inf< / F(w(t)) dt, w Є Cpq I,
где Cpq — множество всех кусочно непрерывно дифференцируемых горизонтальных путей в М = О/Н, заданных на отрезке [0,1] и соединяющих точки р, q из М. Финслеровы метрики dc характеризуются дополнительным условием спрямляемости регулярных С1-путей в G/H относительно метрики dc. Если, кроме того, любые два таких пути с общим началом имеют между собой угол по Александрову, то {G/H, dc) изометрично однородному риманову многообразию с внутренней метрикой.
Инвариантность вариационной задачи означает, что соответствующий функционал инвариантен относительно некоторой транзитивной группы движений рассматриваемого однородного риманова пространства, см. [14, 10, 8].
Условия применимости методов теории оптимального управления на группах Ли исследовались в работе В. Н. Берестовского [3], где также перечислены все (связные) группы Ли, на которых всякая левоинвариантная внутренняя метрика будет финслеровой. Из упомянутых результатов следует, что левоинвариантные внутренние метрики групп Ли в точности являются левоинвариантными метриками Карно — Каратеодори — Финслера.
Не исключено, что всякое однородное локально компактное пространство с внутренней метрикой, удовлетворяющее условию локальной единственности кратчайших, представляет собой однородное финслерово многообразие. Этот результат установлен по крайней мере для компактных пространств.
В недавних работах [21, 11] решены задачи, связанные с проблемами дифференциальных уравнений, однородных пространств и группового анализа. В частности, в [11] исследовалась задача о геодезических потоках на однородных пространствах. В работе [12] исследовалась задача нахождения минимума функционала f0 F(x,y,yx)dx в пространстве гладких функций, удовлетворяющих некоторым граничным условиям.
Группы Ли с левоинвариантной неголономной метрикой, порождающейся квадратичной формой на касательном вполне неголономном подрасслоении, рассматривались в работах Р. С. Стричартса [22], А. М.Вершика и В. Я. Гершковича [8, 23], В. Н. Берестовского [7].
В работах [6, 7] В. Н. Берестовским исследовались геодезические неголономных левоинвариантных метрик на группе Гейзенберга и на группе движений евклидовой плоскости Е2. Был проведен поиск экстремалей вариационной задачи для функционала
на плоскости Е2, где к — геодезическая кривизна регулярной непрерывно дифференцируемой кусочно дважды непрерывно дифференцируемой кривой x(s), параметризованной длиной дуги s. При этом поиск осуществлялся с помощью построения левоинвариантной неголономной римановой метрики на группе Ли собственных движений рассматриваемого пространства, нахождения ее геодезических и установления соответствия между ними и искомыми экстремалями. Также было высказано мнение о целесообразности подобного исследования для плоскости Лобачевского.
В свое время A.M. Вершик указал, что естественные вариационные задачи для гладких кривых с функционалом, зависящим от высших производных, могут привести к однородным многообразиям с внутренней метрикой.
Сложности, возникающие при решении задач с производными высших порядков в исследуемых функционалах, снимаются тем, что естественной областью определения вышеупомянутой метрики является подмногообразие касательного расслоения первого и высшего порядков над исходным многообразием, и, принимая производные за новые переменные, удается получить новый функционал от производных не выше первого порядка и метрической функцией Финслера на упомянутом подмногообразии при описании однородного многообразия. Вероятно, необходимым является неголономный характер получаемой метрики.
Вариационные задачи на многих пространствах интересны возможностью применения методов, связанных в первую очередь с принципом максимума Понтрягина.
Цель работы.
1. Изучить вопрос о связях геодезических и сфер группы Гейзенберга
с геодезическими и сферами плоскости Грушина, исследуются их свойства.
(Плоскость Грушина — это двумерное пространство с метрическим элементом
ds2 = dx2 + dy2/x2.)
Исследовать инвариантную вариационную задачу на расслоенном пространстве единичных касательных векторов над плоскостью Лобачевского, связанную с поиском экстремальных кривых x(s) (с заданными направлениями в начальной и конечной точках) функционалов JV1 + k2(s) ds и J(l + k2(s)) ds.
С помощью принципа максимума Понтрягина осуществить поиск экстремалей x(s) (с заданными направлениями в начальной и конечной точках) функционала J у/1 + k2(s) ds на расслоенном пространстве единичных касательных векторов над плоскостью Евклида.
Осуществить проверку уравнения Эйлера — Пуассона на решении инвариантной вариационной задачи для функционала J\/1+ k2(s) ds на кривых плоскости Евклида.
Методы исследования. В доказательствах использовались методы метрической геометрии, принцип максимума Понтрягина, свойства неголономных метрик, методы теории дифференциальных уравнений.
Научная новизна работы состоит в следующем.
С помощью нахождения уравнений Эйлера — Лагранжа для экстремалей функционала /(1 + k2(s)) ds на расслоении единичных касательных векторов над плоскостью Лобачевского получена в явном виде часть решений.
Проведено исследование свойств семейства экстремалей, включающего подмножество экстремалей, найденных в явном виде.
С помощью принципа максимума Понтрягина проведено исследование вариационной задачи для функционала J\/ 1 + k2(s) ds на расслоении единичных касательных векторов над евклидовой плоскостью.
Найдены геодезические плоскости Грушина.
Установлена субметричность проекции группы Гейзенберга на модифицированную плоскость Грушина с метрикой ds2 = dr2 + Adz2/г2; показано сохранение проекцией длин спрямляемых кривых.
Доказано, что геодезические группы Гейзенберга Н с началом в центре группы отображаются проекцией на геодезические модифицированной плоскости Грушина.
Установлено, что сферы группы Гейзенберга с центром в единице группы доставляются вращением сфер модифицированной метрики ds2 = dr2 + Adz2/'г2 Грушина с центром в нуле плоскости.
Теоретическая и практическая ценность работы. Работа имеет теоретическое значение. Результаты могут быть использованы в исследованиях вариационных задач на однородных пространствах с определенными свойствами.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах [17, 18, 20, 15, 19]. Одна работа опубликована издательством Челябинского научного центра [16].
Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: 37-й региональной молодежной конференции (30 января -3 февраля 2006 г., Урал), XLIII международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирский государственный университет, 2005 г.), Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю. Г. Решетняка (23 августа -2 сентября 2004 г., Новосибирск, Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН).
Структура и объем работы. Диссертационная работа имеет объем 61 стр., состоит из введения, четырех глав и списка использованной литературы, включающего 39 наименований.