Интегрируемые гамильтоновы системы в римановой и субримановой геометрии Агапов Сергей Вадимович

Содержание к диссертации

Введение

1 Натуральная механическая система на двумерном то ре 17

1.1 Уравнение на коэффициенты разложения в ряд Фурье потенциала 17

1.2 Основные результаты 22

2 Магнитный геодезический поток на двумерном торе 32

2.1 Геодезические потоки и полугамильтоновы системы 32

2.2 Геодезический поток в магнитном поле 34

3 Субриманов геодезический поток для распределения Гурса 38

3.1 Задача оптимального управления на группе Гурса 38

3.2 Поверхности уровня первых интегралов 41

3.3 Экстремальные траектории 45

Заключение 50

Список литературы

• Основные результаты
• Геодезический поток в магнитном поле
• Задача оптимального управления на группе Гурса
• Экстремальные траектории

Введение к работе

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

В диссертации изучаются интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с натуральной механической системой и магнитным геодезическим потоком на двумерном торе, а также с субримановым распределением Гурса в R.

При исследовании многих задач классической механики возникают системы дифференциальных уравнений, которые в подходящих координатах можно записать в следующем виде

x^l = {x^l,H}, рі = {рі,Н}, і = 1,...,п. (1)

Здесь Н : Т* М_п -> I — некоторая функция, определенная на кока-сательном расслоении, которая называется функцией Гамильтона (гамильтонианом), М_п — гладкое многообразие, являющееся конфигурационным пространством рассматриваемой динамической системы, а {, } — скобка Пуассона, которая в канонических координатах имеет следующий вид:

Y^ ( dF дН dF дН\

^-^ дх^г dpi dpi дх^г

_і=1 п п

Системы вида (1) называются гамильтоновыми. Функция F : Т* М_п —> R называется первым интегралом гамильтоновой системы (1), если выполнено F = {F, Н} = 0.

Гамильтонова система (1) называется интегрируемой по Лиувил-лю (или вполне интегрируемой), если она обладает полным набором п первых интегралов F\ = Н, F2, , F_n, функционально независимых почти всюду и находящихся попарно в инволюции, то есть {fj, Fj} = 0 для всех i,j = 1,..., п.

Натуральным механическим системам отвечают гамильтоновы системы (1) с гамильтонианом вида

Н = Т(х ,..., xⁿ,pi,... ,р_п) + V(x ,...,ж^п),

где Т — кинетическая энергия (квадратичная форма по импульсам), V — потенциал. Рассмотрим гамильтонову систему на двумерном торе

х = 1^, у = М-, v\ = —%г-, Vi = -1Г-, Н = ^Р1^^Р2 -\- V(x.y), (2)

dp1 ' Я Ор2 ОХ ' ¹ ^ Оу ' 1 1

где V — периодическая функция на плоскости R² с некоторой решеткой периодов Л С К². Известны следующие случаи наличия дополнительного интеграла (см., например, [):

1. Если V{x,y) = V(ах + /Зу), где а, (З Є К, то существует полиномиальный интеграл вида F\ = ар2 — (Зр\.

2. Если V{x,y) = Vi(a\x + /Зіу) + Viiai'-z + /%у), где а»,/?» Є К — некоторые константы, согласованные с решеткой периодов Л, то существует полиномиальный интеграл вида F + d2)p\ + ^Р\Р2 — (di + d"i)v\ + 2(di — <^2)(Vi + V2), c/j = щ/Pi.

Следуя , полиномиальные интегралы минимальной степени, независимые от интеграла энергии, будем называть неприводимыми. Согласно известной гипотезе, высказанной В.В. Козловым (см. ), максимальная степень неприводимого интеграла гамильтоновой системы (2) не превосходит 2. В полном объеме эта гипотеза до сих пор не доказана.

М.Л. Бялый доказал, что в случае решетки Л = 1?

V{x, у) = V{x + 1, у) = V{x, у + 1),

если у гамильтоновой системы (2) (с гладким V) существует дополнительный интеграл третьей степени по импульсам, то существует интеграл первой степени. В.В. Козлов и Н.В. Денисова обобщили этот результат на произвольную решетку Л.

В также показано, что интеграл четвертой степени сводится к интегралам меньшей степени всегда за исключением, быть может, случая, когда потенциал V имеет вид

V{x, у) = V\{x) + Vi{x + у) + Vs(y) + V±(y — х). (3)

А именно, в не было установлено, может ли гамильтонова система (2) с потенциалом (3) иметь неприводимый интеграл четвертой степени. Исследованию этого случая посвящена глава 1. Разложим Vfc(z), к = 1,..., 4, в ряд Фурье

Vkyz) = у v_ke ,

n= —00

здесь к,п — индексы (п — не степень) в v^. Из вещественности Vj. следует, что v^ry, = гід/. Справедлива

Лемма 1 ( [). Если гамильтонова система (2) с периодическим потенциалом (3) имеет полиномиальный по импульсам интеграл четвертой степени, то каждая из функций Vk содержит бесконечно много ненулевых коэффициентов Фурье в своем разложении.

Основной результат первой главы заключается в следующем.

Теорема 1.1 ( ). Пусть v^ry, быстро убывают с ростом \п\ (как коэффициенты Фурье достаточно гладкой функции). Тогда при условиях леммы 1 имеют место равенства \v\ = |«g |, \vV;\ = \v\.

Теорема 1.1 была получена совместно с Д.Н. Александровым.

Теорема 1.1 была независимо доказана Н.В. Денисовой, В.В. Козловым и Д.В. Трещевым в [. Более того, в [ доказано, что если гамиль-тонова система (2) с периодическим потенциалом (3) обладает первым интегралом 4 степени, то существует интеграл 2 степени, независимый от интеграла энергии.

Вопрос о существовании неприводимого первого интеграла более высокой степени у системы (2) остается открытым. В показано, что если гамильтонова система (2) имеет интеграл пятой степени и потенциал V аналитичен, то существует интеграл первой степени (этот результат доказан для произвольной решетки периодов за исключением одного специального типа).

Отметим, что В.В. Козлов и Д.В. Трещев в [8] доказали, что если гамильтонова система интегрируема и потенциал V является тригонометрическим полиномом, то дополнительный интеграл высокой степени по импульсам сводится к интегралу первой или второй степени.

Глава 2 посвящена изучению магнитного геодезического потока на двумерном торе. Напомним сначала некоторые результаты, которые относятся к геодезическому потоку в отсутствии магнитного поля, а затем сопоставим их с результатами, касающимися геодезического потока в магнитном поле.

По сравнению с натуральными механическими системами, геодезический поток на поверхности является более общим (и намного более сложным) объектом. Геодезический поток задается системой уравнений

і = IF, У = IF, Р\ = -F¹, Vi = -тг¹, Н = ±g^ijp_iPi, (4)

dpi ' я ор2 ох ' ¹ ^ оу ' 1 rJ

где д^г-* — тензор, обратный к метрическому тензору дц на поверхности. Связь между натуральными механическими системами и геодезическими потоками дает хорошо известный принцип Мопертюи (см.,

например, [). Вопрос об интегрируемости геодезических потоков по Лиувиллю является очень интересным и сложным.

Напомним теорему В.В. Козлова, которая отражает топологические препятствия к полной интегрируемости.

Теорема 1.2 ( [). Предположим, что на замкнутой ориентируемой поверхности М задана вещественно-аналитическая метрика. Если род поверхности М отличен от 0 или 1 (то есть М не гомеоморфна ни сфере S , ни тору Т ), то система (4) не имеет первого интеграла, аналитического на Т*М и независимого от интеграла энергии.

На двумерном торе существуют два вида римановых метрик, для которых геодезический поток интегрируем. Если метрика имеет вид

ds = A(x)(dx + dy )

или

ds = (Лі(ж) + A2(y))(dx + dy ),

то существует полиномиальный по импульсам первый интеграл степени 1 или 2 (см., например, [).

Неизвестно, существуют ли метрики с неприводимыми полиномиальными интегралами более высоких степеней. Этот вопрос изучался в , [8], [10]. Поиск полиномиального первого интеграла геодезического потока на двумерном торе сводится к вопросу о существовании периодических решений некоторой квазилинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных на метрику и коэффициенты этого интеграла вида

A{U)U_X + B{U)U_y = 0. (5)

Оказывается, системы такого вида, отвечающие интегрируемым геодезическим потокам, обладают замечательными свойствами, в частности, они являются полугамильтоновыми (см. - ). Полугамильтонову систему можно записать в виде законов сохранения, то есть существует такая замена переменных U^T —> (Oi(U),..., O_n(U)), что для некоторых F\(U),..., F_n(U) верны следующие соотношения

{Gj{U))_x + (Fj(U))_y =0, j = 1,..., п.

Более того, в гиперболической области, где все собственные числа Ai,..., А„ матрицы А~¹В или В~¹А (в областях, где хотя бы одна из

матриц А, В невырождена) вещественны и попарно различны, полуга-мильтонова система обладает инвариантами Римана, то есть существует такая замена переменных

U —>(ri(U),...,r_n(U)),

что систему можно записать в виде

(rj)x + ^Aj{r){rj)y = 0, j = 1, , П.

Перейдем теперь к магнитному геодезическому потоку на двумерном торе, который задается гамильтоновой системой

х³ = [х³, Н}_тд, pj = {pj, Н}_тд, ,7 = 1,2

в магнитном поле с гамильтонианом Н = T,q^%3ViV-i и скобкой Пуассона следующего вида:

г п тп v~^^F dH dF дН ₁ о&F дН

{Ь,Н\_т„ = у—7 ——г + \1{х ,х )—

^—' ох¹ дрц дрц ох¹ др\ др2

Если {F, Н}_тд = 0, то функция F является первым интегралом магнитного геодезического потока. Магнитные геодезические потоки (или, эквивалентно, системы с гироскопическими силами) изучались, например, в [18] - .

Магнитный геодезический поток на двумерном торе, вероятно, вообще не допускает неприводимого первого интеграла степени выше 1 на всех уровнях энергии. Пример интегрируемого геодезического потока с дополнительным интегралом первой степени по импульсам можно найти в .

Существование дополнительного первого интеграла магнитного геодезического потока на двумерном торе (в конформных координатах) на фиксированном уровне энергии эквивалентно существованию периодических решений квазилинейной системы дифференциальных уравнений вида (5), которая, как было доказано М. Бялым и А.Е. Мироновым в [, также является полугамильтоновой.

Напомним, что для полугамильтоновой системы выполняются следующие соотношения на собственные значения ( , ):

О у A fc О у /Л fc / - / I

о_г^г = о_г , г ф j ф к ф г.

¹ Лі — Afc " Xj — Afc

Это означает, что существует такая диагональная метрика

ds = Н₁ {r)dr^ + . .. + H_n(r)dr_n,

что её символы Кристоффеля удовлетворяют следующим соотношениям:

1 _ы =, г ф к.

Aj — Л],

Диагональная метрика называется егоровской, если её коэффициенты вращения /Зы симметричны:

Pkl = Рік, Pkl =77 , & ф I,

Нк

или, эквивалентно, существует такая функция а(г), что д_Гка(г) = Н%(г). Здесь Ні — коэффициенты Ламе этой метрики, Hf = да. Следуя , соответствующие полугамильтоновы системы мы будем называть его-ровскими.

Основной результат главы 2 заключается в следующем. Предположим, что магнитный геодезический поток на двумерном торе имеет дополнительный первый интеграл произвольной степени N на фиксированном уровне энергии Н = tj. Это эквивалентно наличию периодических решений полугамильтоновой системы вида (5) с некоторыми матрицами А, В ( , см. также главу 2). Тогда верна следующая теорема.

Теорема 2.1 ( ). Система (5) является егоровской для любого N.

Глава 3 посвящена изучению субриманова геодезического потока для распределения Гурса в R. Распределение Гурса двумерных плоскостей в R (см., например, [) задается векторными полями

fi(q) = (1, 0, — Ж2, , — ж_п_і), /2(9) ^ (0,1,0,..., 0),

где q = (жі, Ж2,..., ж„) Є К". В силу теоремы Рашевского — Чоу [ любые две точки qo,qi К можно соединить кусочно-гладкой траекторией системы

q = uifi(q) + «2/2(9)1 ^и Є R , (6)

при этом \q\ = \/и\ + и\.

По теореме Филиппова любые две точки

траекторией, на которой достигается минимум следующего функционала

I = / \q\ dt, (7)

о

где (/(0) = (/о, я(Т) = q\. Такие траектории называются оптимальными. Легко показать, что задача минимизации функционала (7) эквивалентна задаче минимизации функционала

f^Tu\ + ul ₇

J = at. (8)

o 2

Для исследования нормальных оптимальных траекторий в задаче (6), (8) удобно воспользоваться принципом максимума Понтрягина . Согласно этому принципу, оптимальные траектории системы (6) описываются гамильтоновой системой

дН . дН

Хі =—, pi = ——, г = I, ..., п, (9)

Opi OXi

где гамильтониан

H{p,q,u) = (р, мі/і + U2J2) (10)

максимизирован по управлению:

H(p(t), q(t), u(t)) = max H(p(t), q(t), u).

иЄК2

Принцип максимума Понтрягина не дает описания анормальных траекторий, но в данной работе мы не будем их исследовать.

Гамильтонова система (9) с гамильтонианом (10) задает субриманов геодезический поток для распределения Гурса. Известно, что он вполне интегрируем (см., например, [).

Теорема 3.1 ( ). Гамильтонова система (9), отвечающая задаче (6), (8), обладает следующими первыми интегралами:

F\ = Н = —((pi — Х2Р3 — ... — x_n-ip_n) + р₂), 2

2 „п-2
^2 = Р2 — t^Xi — -Г4—; ... — Ь_п

2! (n — 2)!

2 „n-3

^3 = P3 — Г4Х1 — r^—— ... — b_n ,

2! [n — 3)1

^n-2 = Pn-2 — Гп-іХі — tn—, rn-l = Pn-1 — tnX\, rn=Pn-

2!

Интегралы Fi, і = l,...,n, почти всюду функционально независимы и находятся в инволюции:

{ffcj fj} = t; ^ ^ n— = 0.

г=1

oxi dpi dpi oxi

Следующая теорема дает представление о том, как устроены поверхности уровня первых интегралов, приведенных в теореме 3.1. Введем отображение

<р : R ^п —> Rⁿ, ip(x,p) = (Fi(x,p),..., F_n(x,p)).

Теорема 3.2 ( [). Если С Є Rⁿ — регулярное значение отображения <р, то у^-'(С) гомеоморфно либо двум экземплярам R, либо si непересекающимся цилиндрам S¹ х R^n_1, где 0 < si < п — 2.

Если С — критическое значение <р, то у^-1 (С) гомеоморфно либо R, либо объединению Гі U ... U Г15, к < п — 2. Здесь Tj гомеоморфны либо R^n_1, либо R^n_1 х 7, где 7 ^— окружность или замкнутая кривая с s самопересечениями.

Основной результат главы 3 заключается в следующем.

Теорема 3.3 ( ). Среди решений системы (9) найдутся такие, что их проекции на плоскость Ох\хч образуют замкнутые кривые, симметричные относительно оси Ох\.

В [ показано, что решения системы (9) (экстремальные траектории) при п = А (случай распределения Энгеля) находятся в терминах эллиптических функций. Кроме того, в [ показано, что существуют такие экстремальные траектории, что их проекции на плоскость Охухч являются замкнутыми кривыми либо без самопересечений, либо с одним самопересечением. В показано, что в общем случае экстремальные траектории распределения Гурса выражаются через гиперэллиптические интегралы.

Целью диссертации является изучение свойств интегрируемых га-мильтоновых систем.

В работе получены следующие основные результаты.

1) Исследована натуральная механическая система на двумерном
торе с гамильтонианом

pi + Т~>2

п = Ь Vlx, у)

и потенциалом

V{x, у) = V\{x) + V^(x + у) + Vs(y) + V±(y — х).

Найдены необходимые условия на потенциал, при которых она обладает неприводимым первым интегралом 4 степени (в неразделимом соавторстве с Д.Н. Александровым).

2. Доказано, что полугамильтонова система дифференциальных уравнений, отвечающая наличию у магнитного геодезического потока на двумерном торе на фиксированном уровне энергии (в конформных координатах) дополнительного полиномиального первого интеграла произвольной степени, является системой егоровского типа.

3. Выписаны первые интегралы субриманова геодезического потока для распределение Гурса в R и построены поверхности уровня первых интегралов. Приведены примеры нормальных траекторий, которые отвечают движению вдоль "запрещенных" направлений.

Научная новизна и значимость работы. Работа носит теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Результаты работы могут быть использованы при дальнейшем исследовании интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» под руководством академика И. А. Тайманова (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2014, 2015, 2016); семинаре «Интегрируемые системы» под руководством д.ф.– м.н. А. Е. Миронова (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2013, 2014); семинаре лаборатории геометрической теории управления под руководством д.ф.–м.н., профессора А. А. Аграчева (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2013, 2014); семинаре «Семинар отдела анализа и геометрии» под руководством академика Ю.Г. Решетняка (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2016).

Результаты диссертации были представлены на Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический про-

гресс» (Новосибирск, 2011, 2013); 44-ой Международной молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2013); Международной конференции «Геометрия и анализ на метрических структурах» (Новосибирск, 2013); Международной молодежной конференции «Геометрия и управление» (Москва, 2014); Международной школе-конференции «Геометрическая теория управления и анализ на метрических структурах» (Артыбаш, 2014); Международной научной конференции «Наука будущего» (Санкт-Петербург, 2014); Школе - конференции «2-ая Зимняя геометрическая школа» (Переславль-Залесский, 2015); Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске - 2015» (Новосибирск, 2015); Международной конференции «Метрические структуры и управляемые системы» (Новосибирск, 2015); Международной конференции «Динамика в Сибири» (Новосибирск, 2016); Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске - 2016» (Новосибирск, 2016).

Публикации. Полученные результаты опубликованы в 6 научных изданиях — , 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [ — [, 3 — в тезисах докладов и материалах конференций — [. Все сформулированные результаты являются новыми и получены при личном участии автора. Результаты глав 2, 3 получены получены автором самостоятельно. Результаты главы 1 были получены совместно с Д.Н. Александровым. Вклад авторов в совместную работу равноправен и неделим.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Список литературы насчитывает 38 наименований. Общий объем диссертации составляет 58 страниц.