Содержание к диссертации
Введение
1. Продолжение тензорных полей с гладкого многообразия в расслоение дважды ковариантных тензоров
1. Расслоение дважды ковариантных тензоров 11
2. Функции на расслоении дважды ковариантных тензоров, порожденные тензорными полями . 16
3. Вертикальный лифт тензорных полей типа (0,2) 20
4. Полный лифт векторных полей 22
5. Естественное продолжение диффеоморфизма базы в расслоение Т}{МЯ) 24
5. Специальные вертикальные лифты тензорных полей типа (1,1) 28
6. Специальные лифты тензорных полей типа (3,1) 32
7. Горизонтальный лифт векторных полей 35
8. Связь между полным и горизонтальным лифтом векторного поля 39
9. Адаптированные реперы и кореперы на расслоении Т7 (М„ ) 40
10, Специальный вертикальный лифт тензорных полей типа (2,2) 43
11. Специальный горизонтальный лифт тензорных полей типа (3,0) 46
12. Вертикальный лифт линейных форм 49
2. Продолжение линейной связности с гладкого многообразия на расслоение дважды ковариантных тензоров
1. Горизонтальный лифт линейной связности на расслоение дважды ковариантных тензоров 52
2. Операция ковариантного дифференцирования на расслоении Т2 {М„) 59
3. Проектируемые поля и связности на Т%(М„) 64
4. Некоторые свойства горизонтального лифта связности 66
3. Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения дважды ковариантных тензоров со связностью горизонтального лифта
1. Разложение произвольного инфинитезимального аффинного преобразования расслоения (Г2(Л/П), VH) 69
2. Второе разложение произвольного инфинитезимального аффинного преобразования расслоения (Г2с(Л/„), V ) 83
3. Инфинитезимальное аффинное преобразование пространства (7^(Мп), V11) над максимально подвижным не проективно плоским пространством (Мп,У) 89
Библиографический список 106
- Функции на расслоении дважды ковариантных тензоров, порожденные тензорными полями
- Связь между полным и горизонтальным лифтом векторного поля
- Операция ковариантного дифференцирования на расслоении Т2 {М„)
- Второе разложение произвольного инфинитезимального аффинного преобразования расслоения (Г2с(Л/„), V )
Введение к работе
Актуальность темы Теория расслоенных пространств - одна из наиболее быстро развивающихся областей в современной математике, которая в настоящее время активно исследуется. Теория расслоений возникла на стыке геометрии, анализа, теории дифференциальных уравнений, теории групп и других разделов математики и механики.
Первые результаты по теории касательных расслоений принадлежат японским математикам: Сасаки, fl4), Яно, Ишихара. [16]. Наряду с касательными расслоениями с конца 60-х годов прошлого века началось изучение двойственных им кокасательных расслоений, к числу первых можно отнести работы Яно, [15], Мока, [12]. В указанных работах авторы рассматривали теорию продолжения тензорных полей и аффинных связностей из дифференцируемого многообразия в его касательное и кокасательное расслоение. В известной работе Яно и Ишихара [17] подведены итоги развития геометрии касательных и кокасательных расслоений до 1973 года.
Вопросами построения и изучения связностей на векторных расслоениях занимался Б.Н. Шапуков [7]. Им показано, что если на векторном расслоении задана внешняя связность, то при некоторых условиях в расслоении определяется, некоторая внутренняя связность, в общем случае нелинейная
При изучении векторных расслоений особое внимание Б.Н. Шапуко-вым уделено тензорным расслоениям, поскольку здесь появляются специфические структуры [5], [6]. Обзор результатов по дифференциальной геометрии тензорных расслоений изложен Б.Н. Шапуковым в работе [10].
Одним из способов получения внешней связности на расслоении является поднятие базовых связностей в расслоенное пространство. Общая теория лифтов тензорных полей и аффинных связностей с дифференцируемого многообразия в его касательное расслоение была разработана К. Яно, А. Леджером, Ш. Кобаяси. Ш. Ишихарой.
Неоднократно, с различных точек зрения рассматривался полный лифт линейной связности на касательных расслоениях различного порядка. [2] На расслоении линейных реперов он был построен в работе Мока [13], на тензорных расслоениях полный лифт построен Б.Н Шапуковым в работе [8]. Проблему построения полного лифта в аффинорное расслоение рассматривал П.Л. Беляев в [1].
Горизонтальный лифт линейной связности, заданной на базе, в касательное и кокасательное расслоение построен в работе [17] К. Яно и Ш. Ишихара, в тензорном расслоении произвольного типа (p,q) горизонтальная связность изучена Б.Н. Шапуковым в работе [9].
В работе [11] изучаются обобщения расслоения аффиноров - тензорные расслоения типа (l,q), определяется диагональный лифт римановой метрики с базы в это расслоение.
Большое значение для изучения геометрии расслоенных пространств имеет вопрос об инфинитезимальных преобразованиях связностей в этих пространствах. Он достаточно подробно изучен для касательных расслоений, [17]. И.П. Егоров изучал преобразования в пространствах аффинной связности, а также в различных обобщениях пространств аффинной связности, [3]. Для тензорных расслоений этот вопрос мало изучен. Исходя из выше изложенного, тема настоящей диссертационной работы актуальна.
Целью представленной работы является изучение инфинитезимальных аффинных преобразований расслоения дважды ковариантных тензоров со связностью горизонтального лифта.
Методы исследования. Исследования проводятся в основном локально, с использованием аппарата тензорного анализа. Функции, тензорные поля предполагаются гладкими класса С*.
Теоретическое значение. Работа носит теоретический характер, является продолжением изучения тензорных расслоений типа (0,2) и инфинитезимальных аффинных преобразований связностей на этих расслоениях.
Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего развития теории тензорных расслоений.
Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 12 работ. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на геометрических семинарах в Пензенском государственном педагогическом университете им. В.Г. Белинского (2000 - 2004 гг.), на IX Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 9-12 апреля 2002 года), на Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 1 - 4 декабря 2003 года), на Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 26 сентября - 1 октября 2004 года).
Научная новизна и основные результаты диссертации, выносимые на защиту.
-
Построены лифты с дифференцируемого многообразия в его расслоение дважды ковариантных тензоров, изучены свойства построенных лифтов. Вычислены коммутаторы различных типов векторных полей, полученных на расслоении с помощью этих лифтов.
-
Построена связность на расслоении с помощью горизонтального поднятия линейной связности, заданной на базе, горизонтальное поднятие осуществляется с помощью некоторой другой связности, заданной на этом же многообразии. Изучены свойства поднятой связности и операции ковариантного дифференцирования, определяемой горизонтальным лифтом связности на расслоении.
-
Получено разложение произвольного инфинитезимального аффинного
преобразования пространства (Г2(Л/„), VH). Найдены необходимые и достаточные условия существования этого разложения.
4. Изучены инфинитезимальные аффинные преобразования пространства
(Г20(Л-/„), V") над максимально подвижным не проективно плоским
пространством ( l/„,V). Показано, что все слагаемые, входящие в раз-
6 ложение инфинитезиматьного аффинного преобразования существенны.
Структура и объем диссертации Диссертация изложена на 107 страницах и состоит из введения, трех глав, содержащих 20 параграфов и библиографического списка.
Функции на расслоении дважды ковариантных тензоров, порожденные тензорными полями
Обозначим через 3(А/„) модуль тензорных полей типа (p,q\ заданных на многообразии М„, над алгеброй гладких функций С{Мп). На расслоении Т2 (Мп) определим функции, порожденные тензорными полями типа (2,0) на базе расслоенного пространства. Пусть Т Е30(МП) В карте (U, Xі) имеет вид: Т = T1Jdj 8 dj. Для каждой точки р =(р, /) значение уТ(р) определим следующим образом. Выберем область локальной карты (п х (1)\х1 ,х к) содержащую точку р и положим: Определенная таким образом функция не зависит от выбора локальной карты. Действительно. В карте (ж 1(1/),х\х]к) имеем уТ(р) =7Чг,у. Выберем другую карту {ж (V),xl ,. д ). Если точка р принадлежит пересечению областей этих карт, то уТ ХрУ=Т Хф Используем закон преобразования компонент тензора Тіл координатных функций (1.1), тогда Введенные функции позволяют построить продолжения тензорных полей с базы на расслоенное пространство. Эти построения основаны на следующей теореме. Теорема 1,5. Пусть 2 непрерывное векторное поле на Т2 (Мп). Если Z(yT) = 0для\/Т Доказательство. Пусть векторное поле Z, заданное на расслоенном пространстве Т2{Мп) относительно натурального репера d = представлено в виде: Z -Z dj + Zjkdj и Z(уТ) = 0. В качестве тензора Т возьмем разложимый тензор Тад =да др, тогда ГТар = ар и Z{fr ) = (Zidi+Zjkdjk){x ) = Zafii по условию Z{yTaR ) = 0, следовательно ZQR - 0. Теперь в качестве тензора Т возьмем тензор Тр = хада Ъ , тогда уТ% =xxap и 2(/ )« Рассмотрим те точки, для которых существуют индексы йг,/? такие, что ха« 0, тогда в этих точках компоненты Z 7 обращаются в 0, следовательно, само векторное поле Z обращается в 0. В точках, в которых хар = 0 при любых значениях индексов а и ft в силу непрерывности векторного поля Z компоненты Xа = 0, и поэтому Z обращается в 0. Таким образом, доказано, что если Z(yT) = 0 для V У є 30 (М„), то Z = 0. Из доказанной теоремы легко получить Следствие. Для любых двух непрерывных векторных полей /и7 на Т?(М„) если Х(уТ) = У(уТ) дляУУ,є32(Мн),тогда1 = 7 . Доказательство. Пусть Z=X—У и Z(yT) — G, тогда (А - )(/7 ) = 0, по теореме 1.5 получаем X Вернемся к построенному лифту у и отметим некоторые его свойства, Предложение 1.6. Для любых тензорных полей 1\ W E 30 (Мп ) и любой функции/є С{М„) выполняются следующие равенства: Доказательство. Пусть в карте (U, Xі) Т = Тид; dJtW = Wpqdp dq. Вычислим значение правой части равенств 1 и 2 в точке р =(р,1) є it \U), получим: В силу произвольности выбора точки р делаем вывод о выполнимости равенств 1 и 2.
Доказанное предложение позволяет сделать вывод о том, что лифт у является полулинейным отображением 30(Мп) в С(Т2 (Мл)) относительно вертикального лифта функций. Напомним определение полулинейного отображения, [3]. Пусть К - модуль над алгеброй А, 1С - Л -модуль. Отображение f:K— K называется полулинейным относительно гомоморфизма р : А — А , если оно удовлетворят следующим условиям: Определим на расслоенном пространстве функции, порожденные тензорным полем типа (4,0) на базе расслоения. Пусть К є з{Мп) в карте (U, Xі) имеет вид: К = K dj dj др bq. Для каждой точки р {ptt) принадлежащей области карты (л: (U), х ,xjk) значение у К{р) определим следующим образом: Покажем, что определенная таким образом функция не зависит от выбора локальной карты. Пусть в карте (тг (JJ\x\xjk) у К (р) =fCmXijXpq, Выберем другую карту (тг (У),х1 , ; ) на расслоенном пространстве. Если точка р принадлежит пересечению областей этих карт, то у К (р) = К ХіуХру . Используем закон преобразования компонент тензора К и координатных функций (1.1), тогда 3. Вертикальный лифт тензорных полей типа (2,2) Определим вертикальный лифт тензорных полей типа (0,2) с базы М» в расслоение 7 2(M„). Пусть в локальной карте {U, х ) тензорное поле Q є \(Мп ) имеет разложение: О = (9,, dx1 dx1. Определение 1.7. Вертикальным лифтом тензорного поля О Qe32(Mn), назовем векторное поле О1, заданное на расслоении Т2 (Ми), удовлетворяющее следующему условию: Получим компоненты разложения векторного лоля Q1 относительно натурального репера в карте (я-1 (U),x , xjk). представление функций уТ (1.4) получим: Возьмем в качестве тензора Тразложимый тензор: Тар = Эа да, тогда Qn Ksp = %gс 5 6 ) Теперь в качестве Т рассмотрим тензор тК х да 2 д тогда, учитывая полученное выше равенство, будем иметь Osxpqds (xr5g5p)=Q, Отсюда получим: Таким образом, в локальной карте (ж 1(и%х\х ) вертикальный лифт тензорного поля О типа (0,2) имеет вид: Вертикальные векторные поля являются касательными к слою ж 1(х). Рассмотрим некоторые свойства вертикальных векторных полей Q . Предложение 1.8. Для произвольных тензорных полей О, W є 3 (Л „) и любых функций/є С (Мд) выполнены следующие равенства: Доказательство. Проведем доказательство локально в карте (тг-1 (/), х1, xjk ). Пусть на базе расслоения в карте (U, х ) тензорные поля Q , W типа (0,2) заданы следующим образом: Q = Qj dx dx , Для доказательства первого равенства вычислим значение его левой части в точке р є пл(Ц): Докажем второе равенство используя локальное представление вертикальных векторных полей Для доказательства третьего равенства найдем значение левой и правой части этого равенства на функциях уТ в точке р є ж (U). Значения векторных полей совпадают на функциях уТ, на основании следствия теоремы 1.5, векторные поля (fQ)vn f Qvсовпадают. Докажем четвертое равенство используя локальное представление вертикальных векторных полей (1.7) и свойства коммутатора. Из второго и третьего равенств предложения 1.8 следует, что вертикальный лифт тензорных полей типа {0,2) является полулинейным отображением модуля 32(Л/„) тензорных полей типа (0,2) на базе в модуль 30(?2 (Л „)) векторных полей на расслоенном пространстве относительно вертикальных лифтов функций.
Полный лифт векторных полей с базы в тензорное расслоение типа (p,q) определен Б.Н. Шапуковым в [19]. Для расслоения Т2 (Мп) компоненты полного лифта векторного поля X в локальной карте (п (U\x} ,Xjk) имеют вид: Имеет место Теорема 1.9. На расслоенном пространстве т(Мп) существует и притом единственное векторное поле X , удовлетворяющее условию: где LxT - обозначение производной Ли тензорного поля Т типа (2,0) вдоль векторного поля X. Доказательство. Докажем существование. Определим компоненты поля X в карте (я-1 (/), х1, xJk). Пусть X = Xі8j + ХjkdJk, тогда X (уТ) = (Xіdj +XjkdJk)(Ixpq) = XsxpqdsTM + Х„Т". С другой стороны y(LxT) = (XsdsTij dsX TsJ д3Х ГІ5)х . Возьмем в качестве тензора 7 разложимый тензор: Тад= да д я, тогда Xrsead% =(-dsXld adJg dsXJд1ад „)х , получим Хсф =-daX xifi-dfiXJxaj. Теперь в качестве Трассмотрим тензор ТК = х да д#, тогда: Х Хсф +ХавхУ Х Хоф +{-даХ1Хш -dgXJxaj)xy. В силу независимости координатных функций, получим Xу -Xу. Таким образом, в локальной карте (я-1 (С/), ,xJk) векторное поле X имеет вид: Единственность . Предположим, что на расслоении существует другое векторное поле X , удовлетворяющее условию (1.9), так как значения векторных полей X и X совпадают на функциях уТ, то по следствию теоремы 1.5 эти векторные поля совпадают. На основании доказанной теоремы можно сделать вывод, что векторные поля, удовлетворяющие условию (1.9), являются полными лифтами в смысле определения Б.Н. Шапукова. Доказанная теорема позволяет вводить новые лифты, доказывать тождества, не обращаясь к локальным координатам. Предложение 1.10. Для любых тензорных полей X, У єЗо(Л/н), О є 32(М„) выполняются следующие равенства: Доказательство. Для доказательства первого равенства вычислим коммутатор \)г , Q1] в локальной карте (л 1(и),х ,х к) используя локальное представление полей л , Q1 (1.8) и (1.7). Докажем второе равенство. Для этого найдем значение его левой и правой части на функциях Согласно предложению 3.4, [7], Ьх уІ -ЩЬх Цх, ц Т. Следовательно, [Xе, Iх ] (уГ)- [X, У] (уТ) = у{Ь\х,цї)7 тогда, используя следствие теоремы 1.5, делаем вы- Рассмотрим другой подход к полным лифтам векторных полей; для расслоения линейных реперов он описан в [7].
Связь между полным и горизонтальным лифтом векторного поля
Получим выражение полного лифта векторного поля X через горизонтальный лифт этого векторного поля. В локальной карте (л (U),xl ,Xjk) на расслоении Т2(Мп) имеем следующие разложения полного и горизонтального векторных полей в натуральном репере: Найдем их разность: Х3Гп!і + діХ -компоненты ковариантного дифференциала ЧХвекторного поля X, где компоненты связности V связаны с компонентами связности V следующим равенством I)j = Ги. Адаптированные реперы и кореперы на расслоении 72 (М„) Построим на расслоении дважды ковариантных тензоров Т2 (М„ ) подвижной репер, адаптированный к связности V, заданной на базе расслоенного пространства. Рассмотрим в карте (n l(U),x ,xjk) векторные поля: Предложение 1.24. Множество {Dit DJ} является подвижным репером на расслоении Г2 Доказательство.Локажеді, что в каждой точке расслоения Т2 (№„) множество /Ц, DJ} образует базис касательного пространства к расслоению в этой точке. Докажем,что система {Dit DJ} -линейно независима. Составим линейную комбинацию векторов этой системы и предположим, что она равна нулю. Подействуем этой линейной комбинацией на координатные функции xs. так как Эу (xs) = 0 и, учитывая, д/ (xs) = 5,- (JCJ ) = 5/, получим Таким образом, Xs = 0. Подействуем линейной комбинацией векторных полей Д, DJ на координатные функции JC . Таким образом, линейная комбинация векторных полей Д XV равна О тогда и только тогда, когда Л1 = 0, //д. = 0. Следовательно, система линейно независима. Определение 1.25, Построенный подвижной репер /Д = e$l, Djk = &к} называется репером, адаптированным к связности V, Предложение 1.26. Пусть /Д, Dj} - подвижной репер, адаптированный к связности V. Тогда имеют место соотношения. где Rqu - компоненты тензора кривизны связности V. Доказательство. Используем доказанные свойства вертикальных и горизонтальных векторных полей, предложение 1.23, предложение 1,18. Учитывая, что Dj = df, Djk = {dxJ dxk)v = djk, получим: [DiJtD J = Q, [D» Dik] = [$!, &k] = {-rfpbkq - гб)Зи, Рассмотрим разложение вычисленных коммутаторов в адаптированном репере /Д, D}}t компоненты этого разложения обозначим Q с- Предложение 1.27. Компоненты объекта неголономности в карте (n l(U),x ,xjk) имеют вид: Из утверждения 1.27 следует, что адаптированный репер {D,-, D Jk} является, вообще говоря, неголономным. Из полученных равенств следует Предложение 1.28 Подвижной репер {Dit D }} является голономным тогда и только тогда, когда база, на которой задана связность, является локально плоской.
Приведем компоненты вертикального лифта тензорных полей типа (0,2), а также компоненты полного и горизонтального лифта векторных полей в адаптированном репере. Qv Корепер { , д}, адаптированный к связности V, дуальный к реперу {D,- D jkj определяется следующими условиями: Найдем разложение форм 7, в . в корепере dx , dxab на расслоении Найдем компоненты форм . Распишем подробнее условия: (Dpq ) = 0, 0 (Dj ) = 0 (ЄHj ) Из последнего равенства получим A : = Oijxtk + 4Х/ )- Таким образом, адаптированный к связности V корепер на расслоении дважды ко вариантных тензоров имеет вид: 0 = dx1, 0jk = (- Закон преобразования полей адаптированного репера имеет вид: 8xJ дхк 11. Специальный вертикальный лифт тензорных полей типа (2,2) Введем специальные лифты, которые понадобятся при изучении инфи-нитезимальных аффинных преобразований. Определим лифт Уу тензорных полей типа (2,2) с базы М„ в Т (Мп), следующим образом; Определение 1.29. Лифтом Vy тензорного поля С єЗ 2(А/„), назовем векторное поле С1у, заданное на расслоенном пространстве Т(М„)и имеющее следующее представление в карте Имеет место Предложение 1.30. Лифт Y тензорного поля С не зависит от выбора локальной карты. Доказательство.В карте {n x(U\xl ,Xjk) имеем: CVy = Cf xpqdrs. Пусть (ж {V),x ,Xj ) - другая карта на расслоенном многообразии и QfVy = Qpq Xf) q drs . Используем законы преобразования компонент тензорного поля С на базе, закон преобразования полей натурального репера (1.2) и координатных функций (1.1). Получим: dxr 8xs дхр dx4 dxp dxq dxl dxm pq Рассмотрим некоторые свойства лифта Vy. Предложение 1.31. Для произвольных тензорных полей С, Сі, С2 є 322(A/„), Q є 32(Мп), X єЗ Мд), Т є 32о(А/„) выполняются следующие равенства: Доказательство. Доказательство этих равенств проведем локально. Для доказательства второго равенства исполльзуем локальное представление полей 6 Здесь свертка (О»С)-тензорное поле типа (0,2) на базе, которое определяется в карте (U, х1) равенством: Докажем третье равенство, используя разложение CVr, (1.18), А (1.16) в локальной карте (я (U\x , х -k ).
Получим: Доказательство четвертого равенства проведем локально. [Сj , 2 J=Cr5 - ух/ klXV расслоения. С\»С2 CtfCrs1 dp dq dx - тензорное поле типа (2,2) на базе расслоения. Используя локальное представление лифта Vy, можно легко показать, что этот лифт является полулинейным отображением относительно верти- кального лифта функций модуля 3 г(Мп) в модуль 3 о(Т2 (№п)), 12. Специальный горизонтальный лифт тензорных полей типа (3,0) Определим продолжение тензорных полей типа (3,0), Определение 1.32. Лифтом Ну тензорного поля Ає33о(Мя) назовем векторное полеА1Гу, заданное на расслоенном пространстве Т2 (Мп), и имеющее следующее представление в карте (7т"1 (U), х , xjk ): Имеет место Предложение 1.33. Лифт Ну тензорного поля А не зависит от выбора локальной карты. Доказательство. В карте (n ](U\xl, xjk ) имеем: А "7 = Aimp х 1пгдр г. Пусть (ж (V),x ,Jf, jt ) —другая карта на расслоенном многообразии. Используем законы преобразования компонент тензорного поля А на базе, а также закон преобразования полей адаптированного репера (1.17). Получим: дх1 дхт дхр дх1 дхт дхр Р Рассмотрим некоторые свойства лифта Ну. Предложение 1.34. Для произвольных тензорных полей У4 Є 3 а(Мп) , О є 32(М„) Де 3lo(Mn)t :Гє32о(А/„) выполняются следующие равенства: Доказательство. Доказательство этих равенств проведем локально. А у%7)= А я (7%) = Almpxlmdpn (7 = Almp x}m(dp Р +7 fph +fh / др Tj +Г ; Ґр{, +ThI pi, = (V7yjP - компоненты ковариантного дифференциала тензорного поля Г, тогда типа {4,0), имеющее разложение в карте (/, х ): Докажем второе равенство. Используем разложение полей Q , А1 г в карте {п (U),x txjk) в адаптированном репере 1.16), (1Л9). Тогда Докажем третье равенство, используя локальное представление А Иг,Х11 (1.19),(1.16). компоненты Гц = Г п. 5 X2AlmpRktsp R(XtA) A - тензорное поле типа (3,1) на базе расслоенного пространства, R ju - компоненты тензора кривизны связности V.
Операция ковариантного дифференцирования на расслоении Т2 {М„)
Построенная в 1 связность V на Т2 (Мп) определяет операцию ковариантного дифференцирования. Рассмотрим некоторые свойства этой операции. Предложение 2.4. Для произвольных тензорных полей X, У e30 (Mn), О е32(ВД, S, К є ЗДМ,), Доказательство. Доказательство проведем локально, используя разложения векторных полей }f\ S в карге (к l(U) x\xjk) в адаптированном репере; предложение 1.28s формулу (1.10). + Sa{l tr хть + Г(Ьхгт)3 ) = X [6t Заметим, что Xі(д{ {Sra) -SrqҐ/а + Srfm) = (Vxs)a компоненты ковариантной производной тензорного поля S вдоль векторного поля JT, тогда Vй SV =(VxSyaxrbdab=(Vxsfi. Для доказательства второго используем разложение векторных полей в адаптированном репере и свойства линейной связности. Доказательство третьего и четвертого аналогично первому и второму. Докажем пятое равенство.В локальной карте (тС (U),x ,Д д) имеем Где (О $) -тензорное поле типа (0,2), (0 S) = Qp(fS dxr dxq, Доказательство шестого и седьмого аналогично предыдущему. Свертка (QmS) - тензорное поле типа {0,2) в карте (л (U),x ,xjf.)имеет разложение (?)=Qki Sj d dxJ. Девятое равенство: Докажем десятое равенство.В локальной карте (к (U),x ,Хд) имеем (S К)- тензорное поле типа (2,2) на базе расслоения. (5 Я) ( , 3, , &\ dEc ) = S)Kkq . Доказательство одиннадцатого равенства аналогично доказательству десятого. Доказательство двенадцатого аналогично десятому. (К S) - тензорное поле типа (2,2) на базе расслоения. Для доказательства тринадцатого равенства используем связь полного и горизонтального лифта векторного поля У формула (1.15), а также выше доказанное первое равенство. Доказательство оставшихся свойств аналогично предыдущим. Свертки, используемые в правых частях определены следующим образом. 3. Проектируемые поля и связности на Т2 (Мп ) Понятие проектируемых полей и связностей было введено Б.Н. Шапуковым, [12]. Приведем необходимые для дальнейшего изложения определения. Пусть (Е, jr,M)-расслоенное пространство, ж\ Е- М - каноническая проекция, {dn)p - дифференциал канонической проекции в точке р Е, отображение из касательного пространства Тр(Е) в Тягр\(М),Х- векторное поле, заданное на базе Мрасслоенного пространства.
Определение 2.5. Векторное поле X „ заданное на расслоении (", к, М) называется проектируемым тогда и только тогда, когда существует векторное поле Хна базе, что (1жХ = X, [12]. Определение 2.6, Линейная связность V на расслоенном пространстве Е называется проектируемой тогда и только тогда, когда существует линейная связность V на базе расслоенного пространства, такая, что для любых проектируемых векторных полей X и Y на Е выполнено Рассмотрим проектируемые векторные поля и связности на расслоении Г2(Л/„). Известно, что (d!r{X))K g X(goK)Y}, [7], goK=gV вертикальный лифт функции на расслоении является функцией, постоянной на слоях. Пусть в карге (тс (/),х1 х&)векторное поле X имеет вид: В локальной карте (л (U),x ,х%) горизонтальный лифт векторного поля X = 5, имеет следующее разложение в натуральном репере: dn{X )=X dj =Х. Горизонтальный лифт векторного поля X является проектируемым векторным полем. Полный лифт векторного поля X = X dt- является проектируемым векторным полем. Локальное представление полного лифта имеет вид Xе Хкдк -(5,Г%, +dfX xlt)diJ. Предложение 2,7. Если X — проектируемое векторное поле на Т2 (Мп), то X -X - вертикальное векторное поле. Доказательство. Докажем сначала следующее утверждение: векторное поле V - является вертикальным тогда и только тогда, когда dK{V) 0. Действительно, если V = У&д - вертикальное векторное поле, то, учитывая равенство (2.2), получим: d7t(V)=0. Обратно, если йс(У)=0, где V =У;д + VJkdJk, то d7t(V) = Vidi =0, тогда V; - 0 и V = Vj d - вертикальное векторное поле. Докажем, что векторное поле X—X является вертикальным. йж{Х - X ) = с1ж(Х) - скг(Х ), так как, X - проектируемое векторное поле, то по определению 2.5 существует векторное поле X dnX, горизонтальный лифт векторного поля X является проектируемым, то есть, йж{Х ) ХУ отсюда, diz(X X ) = 0, используя доказанное в первой части утверждение, делаем вывод, что векторное поле Х—Х является вертикальным. Предложение 2.8, Горизонтальный лифт V связности V, заданной на базе М„, является проектируемой связностью на Т2 (Мп). Доказательство. Пусть X, У - проектируемые векторные поля, тогда по предложению 2.7 = +К, Y=Yil+W.
Используя определение 2.6, найдем На основании определения 2.6 и доказанного равенства связность V является проектируемой. 4, Некоторые свойства горизонтального лифта связности Известно, [7], что пространством рекуррентной кривизны называется пространство аффинной связности, в котором V/f = R p, где - р ковектор в этом пространстве, R - тензор кривизны связности V. Найдем условия, при которых связность V на Т2 (Ми) будет с рекуррентной кривизной R: VHR = R00, где Ф- линейная форма на расслоении. Для произвольных тензорных полей X, Y, Z, Ає Зо М,,), Q є 32(М„), На остальных наборах векторных полей значение V R равно 0. Из первого равенства, с учетом рекуррентности кривизны R, следует лифты векторных полей являются полулинейными отображениями относительно вертикального лифта функций, получим: А следует Второе равенство с учетом всего выше сказанного выполняется тождественно. Действительно, = (-() R(X,Y)-Q R(X,Y)) -(Ф,Л ) . Тогда, учитывая полулинейность вертикального лифта тензорных полей типа (0,2) относительно вертикального лифта функций, получим Легко показать и обратное, если база расслоения (М„, V) -пространство с рекуррентной кривизной, то есть, VR = R ф, то расслоение (Г2 (Mrt), V ) является пространством рекуррентной кривизны R . Из всего выше сказанного следует Предложение 2.9, Расслоенное пространство 7 2(Л/Н) является пространством рекуррентной кривизны связности V тогда и только тогда, когда база расслоения - пространство рекуррентной кривизны связности V. Глава 3. Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения дважды ковариантных тензоров со связностью горизонтального лифта 1. Разложение произвольного инфнннтезимального аффинного преобразования расслоения (7 (MM),VH) Известно, что для того, чтобы произвольное векторное поле X являлось инфинитезимальным аффинным преобразованием пространства аффинной связности необходимо и достаточно, чтобы производная Ли от объекта связности вдоль этого векторного поля обращалась в 0. Для пространства (Т2 (Л/„), V ) это условие имеет вид: Пусть в локальной карте (% (11) х1 ,х к) в адаптированном репере векторное поле X имеет разложение: X = X Щ + Xrsd . Найдем локальное представление производной Ли от горизонтального лифта связности в адаптированном репере.
Второе разложение произвольного инфинитезимального аффинного преобразования расслоения (Г2с(Л/„), V )
Найдем такое разложение произвольного инфиннтезимального аффинного преобразования расслоения дважды ковариантных тензоров со связностью горизонтального лифта, в котором каждое слагаемое являлось бы, самостоятельно, инфинитезимальным аффинным преобразованием. Для этого заменим горизонтальный лифт векторного поля его выражением через полный лифт, (1.15). Получим разложение векторного поля X : Рассмотрим отдельно (УВ) l +(VB) 2+ С Л Перейдем к локальным представлениям векторных полей, входящих в эту сумму, в локальной карте (7z \U),x ,xJk): Докажем Предложение 3.3. Тензорное поле Р єЗг (МО, с компонентами Pr =(VB)f dj +(VB)qsdf +Cff в карте (f7, Дне зависит от выбора локальной карты. Доказательство. Возьмем на многообразии Мп другую карту (Г, х), так, чтобы [/п 0,тогда p f = (VB) 5? + (VB)%Sp! + Ср ,1. Используем закон преобразования тензорных полей на базе, получим Таким образом, компоненты тензорного поля Р не зависят от выбора локальных координат. Имеет место Теорема 3.4. Для того чтобы произвольное векторное поле X являлось инфинитезимальным аффинным преобразованием на расслоении {T2{Mn),V ), необходимо и достаточно, чтобы на Мп существовали тензорные поля А є Зо\М„\ В є 301(Мп\ Р є 322(МД D є 32(М,), удовлетворяющие следующим условиям: X = AfIr+lf+PVr+Df , УЛ=0, V 2D=0, LBV 0, A R=0, А У =0, VP =0. Доказательство. Найдем значение производной Ли вдоль В , Учитывая значения производной Ли вдоль каждого слагаемого, получим (QlvxA)H -(oiv Vtf+ О У)Г -(QU{B,X))V --(Q R(B,X)f -((Q R( ,X)) A-h(Q R(A,X)) Afr +0 + В силу независимости горизонтальных, вертикальных лифтов и лифта Vy, получим. Следствия этой системы: LB V = 0, V D = 0. Теорема доказана. 3. Инфинитезималыюе аффинное преобразование пространства {Т2 (M)t), VH) над максимально подвижным не проективно плоским пространством (М„, V) Рассмотрим расслоение дважды ковариантных тензоров над максимально подвижным не проективно плоским пространством R" с объектом связности /д = 5[(8jSji +djS)x , j ,y = l,w. Тензор кривизны этого пространства имеет компоненты Пусть X =АНґ+Е +Plr+Dv - произвольное инфинитезимальное аффинное преобразование пространства (Г2(М„), V11). Тензорные поля А є Z3Q(Mn), В є 3j(AfH), і є 3 ( ,,), О є 35(Afw) удовлетворяют следующей системе. Проинтегрируем систему (3.2) и определим компоненты тензорных полей А, В, Р, D на базе. Эта система распадается на четыре независимых системы. Рассмотрим смешанную систему дифференциальных и алгебраических уравнений (3.3).
Найдем условия интегрируемости этой системы. Запишем систему (3.3) в развернутом виде. Условие интегрируемости этой системы имеет вид: VjViAlr"k - ViVjAlmk =0. Используя тождество Риччи, получим RirijArmk + R-Airk + RkjAlmr =0. Учитывая вторую группу уравнений системы (3,7), получим. Подставим в эту систему компоненты тензора кривизны. Придавая различные значения индексам, получим первую серию условий интегрируемости; Чтобы получить вторую серию условий интегрируемости продифференцируем каждое уравнение первой серии и подставим значения частных производных d -idfsl +Sf5l)x2( S[Amk + S{nA!rk +5 А1тг). (3.S) (3.8) является развернутой записью первого равенства системы (3.7). Каждое из уравнений второй серии является следствием некоторых уравнений первой серии, следовательно, система уравнений (3.3) имеет только одну серию условий интегрируемости. Придавая различные значения индексам, проинтегрируем систему (3.8), d,Atak = -( 3 +3?5})х\ 5{Атк +S?Alrk +SfA,mr). Пусть і Ф 2 и і Ф 3, тогда система принимает вид д(А т О, отсюда получим, что Alm = ір(х2,х3) есть некоторые функции, зависящие только от переменных х2,х3. Пусть / = 3, тогда система принимает вид дъА1пк = -х2{ SlA2mk +д?Апк +SfA!m2), учитывая условия интегрируемости системы, получим Далее Э2 333=0, следовательно, 333=с333 есть постоянная. Подставим полученное значение в предыдущие уравнения и проинтегрируем, получим: 52У2 =—х С , тогда Подставляем все полученные значения в уравнения д2А1тк = х2( д{Аітк Проинтегрируем систему дифференциальных уравнений (3.4). Обозначив VjcDjj=PkiJi систему (3.4) дифференциальных уравнений второго порядка сведем к системе уравнений первого порядка: Рассмотрим первую группу уравнений, входящих в эту систему. Условия их интегрируемости имеют вид: V,VftDff-VjtV.D O. Используя тождество Риччи и подставляя значения компонент тензора кривизны, получим следующую систему: Аналогично можно получить условия интегрируемости второй группы уравнений системы (3.9). В итоге, первая серия условий интегрируемости системы (3.9) примет вид: Продифференцировав каждое из уравнений первой серии условий интегрируемости, получим новые условия, добавим их к условиям первой серии, получим вторую серию условий интегрируемости. Новые условия имеют вид: Продифференцируем новые условия, получим уравнения, которые являются следствием ранее полученных условий. Таким образом, условия интегрируемости системы (3.9) состоят из двух серий и имеют вид.
