Содержание к диссертации
Введение
1 Наклон 13
1.1 Метод нормальных поверхностей Хакена в многообразиях с граничными узорами 13
1.2 Существенные поверхности в многообразиях с граничными узорами
1.3 Наклон и специальная триангуляция 28
2 Плоские поверхности 33
2.1 Алгоритмическое нахождения плоской поверхности с заданным наклоном края 33
2.2 Типы наклонов 37
2.3 Оценка средней длины кривых наклона 40
2.4 Алгоритмическое нахождение плоской поверхности 43
3 Поверхности произвольного рода 46
3.1 Алгоритмическое нахождение граничного наклона ограниченного ориентируемого рода
3.2 Алгоритмическое нахождение граничного инъективного наклона ограниченного рода 55
Библиография 62
- Существенные поверхности в многообразиях с граничными узорами
- Наклон и специальная триангуляция
- Типы наклонов
- Алгоритмическое нахождение граничного инъективного наклона ограниченного рода
Введение к работе
Напомним, что n-мерным многообразием называется хаусдорфово топологическое пространство, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную тг-мерному диску или тг-мерному полудиску. Множество точек n-мерного многообразия М, не имеющих окрестности, гомеоморф-ной n-мерному диску, называется краем и обозначается через дМ. В настоящей работе мы будем рассматривать только компактные, ориентируемые, трехмерные многообразия и вложенные в них поверхности (2-мерные подмногообразия).
Хорошо известно, что любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие можно получить перестройкой по зацеплению. Опишем эту процедуру. В сфере S3 рассмотрим зацепление icS3. Вырежем різ сферы S3 открытую трубчатую окрестность зацепления L. Получим компактное многообразие Сх, называемое дополнительным пространством зацепления L, край которого состоит из набора торов. Приклеим к каждой компоненте края дСь полноторие D2 х S1 по гомеоморфизму края на край. В результате получим замкнутое трехмерное многообразие М. Будем говорить, что М получено перестройкой по зацеплению L. Заметим, что результат вклеивания полнотория определяется указанием образа края его меридионального диска. Таким образом, чтобы задать перестройку по зацеплению L, достаточно указать набор простых замкнутых нетривиальных кривых (образы краев меридиональных дисков приклеиваемых полноторий) по одной для каждой торической компоненты края дСс-
На каждой торической компоненте Г» С дСь выберем систему координат {/Лі,Хі} (гомологический базис для ііГі(ТЇ)). Любая нетривиальная простая замкнутая кривая а С ТЇ может быть представлена в виде а = рщ -I- q\i, где р и q — целые взаимно простые числа. Геометрический смысл чисел р и q заключается в том, что Е равно тангенсу угла наклона геодезической кривой, изотопной а, от параллели А, (смотри рисунок 1). Заметим, что существует взаимно однозначное соответствие между классами изотопных нетривиальных кривых на торе и множе-
Введение
Рис. 1: Кривой а соответствует наклон, равный |.
ством QU {^} наклонов. В дальнейшем, под наклоном на торе мы будем понимать нетривиальную кривую на этом торе, определенную с точностью до изотопии (смотри, например, [9, 14, 17]). Таким образом, чтобы задать перестройку по зацеплению, достаточно указать наклон на каждой торической компоненте края дСь-
Следующее определение обобщает понятие торического наклона на случай произвольной поверхности.
Определение 1.6. Наклоном на замкнутой поверхности S называется набор а = {ai, аг,..., ап} нетривиальных простых замкнутых кривых на S, которые попарно не пересекаются и не изотопны. Два наклона а = {а\,..., ап} и /3 = {0it..., /?„} на S считаются равными, если существует изотопия поверхности S, переводящая набор кривых {ot\,..., ап} в набор {/3jj,..., Pin}, где Рі. Є P.
Объектами исследования в данной работе являются наклоны на крае произвольного трехмерного многообразия.
В трехмерном многообразии М рассмотрим собственную вложенную поверхность F С М и наклон a ={a:i, ct2, > &п} на дМ. Напомним, что вложенная поверхность F в трехмерном многообразии М называется собственной, если FndM = OF. Будем говорить, что край 8F поверхности F имеет наклон а, если dF = k\a\ U К2&2 U U кпап, т. е. 8F состоит из к\ копий кривой се\, / копий кривой аг и т. д., где числа {кг} принимают натуральные значения. Обозначим наклон края поверхности F через
[дп
Среди всех наклонов на крае трехмерного многообразия М выделяют, так называемые, граничные наклоны, т. е. наклоны краев вложенных в многообразие собственных поверхностей. Задача нахождения граничных наклонов весьма интересна с точки зрения классификации трехмерных многообразий, так как вложенные поверхности, а с ними и граничные наклоны, несут информацию о структуре трехмерного многообразия. Од-
Введение
нако, не все собственные поверхности интересны, например такие, которые есть в любом многообразии с краем. На рисунке 2 представлены некоторые "неинтересные" поверхности в кренделе рода 2. Все они либо являются тривиальными сферами или тривиальными дисками, либо сжимаются до тривиальных сфер и дисков (т. е. содержат тривиальные трубки или тривиальные тоннели, сжимающие данную поверхность).
Рис. 2: "Неинтересные" поверхности F\, F%, F3 в кренделе рода 2.
Наибольший интерес представляют так называемые существенные поверхности, которые не содержат нетривиальных трубок и тоннелей, т. е. являются несжимаемыми и гранично несжимаемыми поверхностями (смотри параграф 1.2).
Определение 3.1. Наклон а на крае трехмерного многообразия М называется граничным, если в М найдется такая собственная существенная поверхность F, что наклон края 3F равен а (смотри, например, [17]).
Знание граничных наклонов в данном трехмерном многообразии М интересно не только для изучения многообразия М, но и для многообразий его содержащих. Например, рассмотрим произвольное компактное ориентируемое многообразие М с торическим краем. Приклеим к нему полноторие по гомеоморфизму края на край, заданному наклоном а, получим новое многообразие М(а), называемое заполнением Дена многообразия М. Известно, что если исходное многообразие М было гиперболическим, то М(а) будет гиперболическим почти для всех наклонов а за исключением конечного числа (исключительные наклоны) (смотри, например, [19]). В последнее время именно исключительные наклоны вызывают большой интерес [5, 7, 17, 18]. В частности, если М(а) является приводимым (содержит существенную сферу), тороидальным (содержит существенный тор), то а — исключительный наклон. В первом случае, в многообразии М найдется собственный существенный проколотый диск, граничные кривые которого лежат в классе а, во втором — существенный проколотый тор.
В настоящей диссертации решается задача алгоритмического нахождения граничных наклонов на крае произвольного трехмерного многообразия. Более точно, строится алгоритм, выясняющий, содержит ли дан-
Введение
ное трехмерное многообразие М граничный наклон, род которого не превосходит данного числа N. Если ответ на этот вопрос положительный, то алгоритм строит один из таких граничных наклонов и существенную поверхность, натянутую на этот наклон. Решение задачи разбито на два основных шага. Во-первых, строится алгоритм для нахождения так называемых плоских наклонов, другими словами, для нахождения существенных поверхностей рода 0 с краем в данном многообразии. Напомним, что родом ориентируемой поверхности F с краем называется род (число ручек) замкнутой поверхности, которая получается из F заклеиванием дисками всех компонент края. Связные поверхности рода О с непустым краем называют плоскими, подчеркивая возможность вложения их в плоскость. Примеры плоских поверхностей вы видите на рисунке 3.
Дне* Кольцо А*0*
с двумя дырками
Рис. 3: Плоские поверхности.
Хорошо известно, что наличие или отсутствие существенных плоских поверхностей может много сказать о многообразии. Поэтому задача их алгоритмического нахождения весьма актуальна. Приведем несколько примеров.
Пример 1. Узел К в трехмерной сфере является тривиальным тогда и только тогда, когда его дополнительное пространство С к содержит существенный диск. Объяснение здесь простое, край этого диска является одной из параллелей узла, которая, конечно, изотопна узлу. Этот факт позволил построить алгоритм распознавания тривиальности узла [8].
Пример 2. Напомним, что трехмерное гиперболическое многообразие не может содержать существенных колец. Поэтому информация о наличии существенных колец весьма важна: если многообразие содержит существенные кольца, то оно не является гиперболическим. Задача алгоритмического нахождения существенных колец также решена (смотри, например, [2]).
Пример 3. Информация о том, содержит ли данное трехмерное многообразие существенные кольца весьма важна для наличия на нем структуры Зейферта (расслоения на непересекающиеся простые замкнутые кривые — слои), поскольку все гранично неприводимые многообразия
Введение
Зейферта с краем содержат существенные кольца.
Пример 4. Обобщая пример неприводимых заполнений Дена, рассмотрим два неприводимых многообразия Мі и М^ с общим краем. Если объединение Mi \JV Мч по гомеоморфизму <р : ЗМ\ —* дМ^ края дМ\ на край дМч является приводимым многообразием, то одно из многообразий Mi, Mi является гранично приводимым, а другое содержит существенную плоскую поверхность.
Как уже отмечалось выше, задача алгоритмического нахождения существенного диска и существенного кольца в данном трехмерном многообразии уже решена (смотри, например, [2, 8]). Решение строится по методу нормальных поверхностей Хакена. Следующий большой результат в этом направлении принадлежит У. Джейко, Э. Седжвику и X. Рубинштейну (смотри [13, 14]). Они построили алгоритм, выясняющий, содержит ли данное многообразие с торическим краем (затем с краем, состоящим из нескольких торов) существенную плоскую поверхность. Важность результата состоит в том, что искомая поверхность может иметь произвольное число граничных кривых. Алгоритм использует теорию нормальных поверхностей Хакена, однако не следует из прямого его применения. Ключевым моментом при построении алгоритма служит оценка средней длины граничных кривых любой существенной плоской поверхности в данном триангулированном многообразии. Эта оценка строится алгоритмически и зависит только от многообразия и выбранной триангуляции (смотри параграф 2.3).
Первым основным результатом диссертации служит следующая теорема.
Теорема 2.4. Существует алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное неприводимое трехмерное многообразие М существенную плоскую поверхность. В случае положительного ответа алгоритм строит существенную в М плоскую поверхность.
Доказательство теоремы опирается на результаты У. Джейко и др., однако имеет принципиальные отличия. Во-первых, в доказательстве У. Джейко и др. существенно использовалось, что край многообразия состоит різ одного (смотри [14]) или многих (смотри [13]) торов. Для многообразий с произвольным краем их методов недостаточно. Отличительным моментом в настоящей диссертации является использование так' называемых граничных узоров. Суть заключается в том, что мы фиксируем на крае многообразия некоторый граф (граничный узор) и рассматриваем только чистые поверхности, не пересекающие наш граф. Понятие граничного узора было введено К. Йоганнсоном в конце 70-х (смотри [15])! Отметим, что теория нормальных поверхностей для много-
Введение
образий с граничным узором (рассматриваются только чистые поверхности) в идейном смысле мало отличается от теории Хакена. Практически все основные результаты теории Хакена допускают обобщения на случай многообразий с граничными узорами (смотри, например, [2]).
Нужно отметить, что наш метод позволил не только доказать теорему об алгоритмическом нахождении плоских поверхностей в многообразиях с произвольными краями, но и предложить намного более простое доказательство аналогичной теоремы У. Джейко и др. (смотри [13]) для случая многообразий, краями которых являются наборы торов.
Решение задачи алгоритмического нахождения плоских наклонов позволило перейти к вопросу об алгоритмическом нахождении граничных наклонов ограниченного рода. Переформулировать этот вопрос можно так: существует ли алгоритм, выясняющий, содержит ли данное многообразие существенную поверхность, род которых не превосходит данного числа. Наряду с плоскими поверхностями, существенные поверхности более высокого рода также интересны как для самого трехмерного многообразия, так и для его заполнений. Например, большие многообразия Зейферта, многообразия Хакена содержат существенные поверхности, род которых больше нуля.
Второй основной результат настоящей диссертации можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 3.2. Существует алгоритм, который по данному компактному ориентируемому неприводимому гранично неприводимому трехмерному многообразию М и данному числу N > 0 выясняет, содержит ли М существенную ориентируемую поверхность, род которой не превосходит N. В случае положительного ответа алгоритм строит такую существенную ориентируемую поверхность F, что g(F) < N.
Однако, предложенный алгоритм имеет недостаток — в результате его работы мы можем получить замкнутую поверхность. Хотелось бы уметь алгоритмически находить только поверхности с краем, возможно неориентируемые. Заметим, что род неориентируемой поверхности, которая есть связная сумма т проективных поверхностей, равен тг- При решении этой задачи возникла проблема, мы не умеем алгоритмически проверять существенность неориентирумой поверхности (точнее ее несжимаемость). Поэтому рассматриваем более узкий класс поверхностей, инъек-тивные существенные поверхности. Напомним, что связная поверхность F С М называется инъективнощ если гомоморфизм г* : ni(F) —» 7Гі(М), индуцированный вложением г : F «-» М, является инъективным (смотри [2, 12]). Заметим, что инъективная поверхность является несжимаемой.
Введение
Теорема 3.6. Существует алгоритм, выясняющий для данного целого числа N, содержит ли данное ориентируемое компактное неприводимое гранично неприводимое трехмерное многообразие М такую связную инъективную существенную проколотую поверхность F, что g(F) < N. В случае положительного ответа алгоритм строит такую существенную инъективную поверхность F, что g(F) < N.
В диссертации получены следующие основные результаты:
Построен алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное многообразие существенную плоскую поверхность (плоский наклон). В случае положительного ответа, алгоритм строит существенную плоскую поверхность (теорема 2.4).
Построен алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное многообразие существенную ориентируемую поверхность рода не выше N, где JV задано (граничный ориентируе-
Существенные поверхности в многообразиях с граничными узорами
Некоторый класс поверхностей с точки зрения изучения трехмерных многообразий не представляет особого интереса. Например, к такому классу можно отнести поверхности, которые можно найти в любом трехмерном многообразии. Скажем, сфера, ограничивающая шар в многообразии, найдется в любом трехмерном многообразии: по определению трехмерного многообразия, каждая внутренняя точка имеет шаровую окрестность целиком содержащуюся в многообразии, таким образом, нужно просто рассмотреть край этой шаровой окрестности. Если многообразие М имеет непустой край, то рассмотрим в дМ какую-либо дисковую окрестность D некоторой точки из дМ. Изотопией, оставляющей край диска D на месте, продавим диск D внутрь многообразия М. Полученный собственный диск тоже нам не интересен, любое многообразие с краем содержит такой диск. Нас будут интересовать так называемые существенные поверхности. Определение 1.1. [2] Сэюимающим диском собственной поверхности F в трехмерном многообразии (М, Г) называется такой вложенный диск D С (М, Г), что D П F = 8D. Диск D называется несущественным, если 8D является тривиальной кривой на F, т. е. ограничивает диск в F. Иначе, диск D называется существенным. Отметим, что любое многообразие М можно рассматривать как многообразие (М, 0) с пустым граничным узором. В этом случае, определение-существенной поверхности совпадает с классическим [13, 14]. Напомним, что трехмерное многообразие (М, Г) называется неприводимым (гранично неприводимым), если (М, Г) не содержит существенных сфер (существенных дисков). В рамках вопроса нахождения существенных поверхностей стоит отметить, что условия неприводимости и граничной неприводимости проверяются алгоритмически. Теорема 1.2. [2] Существует алгоритм, выясняющий, является ли данное трехмерное многообразие (М, Г) неприводимым. Одну из первых версий теоремы 1.2 можно найти в работе X. Шуберта [4]. В полном объеме доказательство этой теоремы для многообразий без граничного узора (Г = 0) можно найти в работе [11]. Для многообразий с граничными узорами доказательство этой теоремы можно найти в [2]. Теорема 1.3. [2] Существует алгоритм, выясняющий, является ли данное неприводимое трехмерное многообразие (М, Г) гранично неприводимым.
Первое доказательство теоремы 1.3 фактически было получено В. Ха-кеном [8] в качестве первого применения метода нормальных поверхностей. В частности, эта теорема дает алгоритм распознавания тривиальности узла, так как узел К в трехмерной сфере является тривиальным тогда и только тогда, когда его дополнительное пространство С к содержит существенный диск, т. е. является гранично приводимым.
Далее мы ограничимся рассмотрением только неприводимых гранично неприводимых трехмерных многообразий. Одним из ключевых моментов теории нормальных поверхностей Ха-кена играет условие алгоритмической проверяемости свойства V поверхности. В нашем случае V включает в себя свойство поверхности быть существенной, в частности, быть несжимаемой и гранично несжимаемой. В некоторых случаях оба последние условия проверяются алгоритмически. Напомним, что вложенная поверхность F в трехмерном многообразии называется двусторонней в М, если нормальное расслоение Fxl в М со слоем
Вернемся к методу Хакена. Напомним, что метод нормальных поверхностей Хакена состоит из трех основных шагов. Первый шаг — выбор триангуляции мы обсудим ниже, в параграфе 1.3. Второй шаг метода состоит в "переходе" к нормальным поверхностям. Допустим, что данное многообразие М содержит поверхность F с требуемым свойством V. Нужно доказать, что в М найдется нормальная поверхность, вообще говоря отличная от F, со свойством V. В [2] описаны процедуры нормализации, применяя которые, любую поверхность в триангулированном многообразии с граничным узором можно привести к нормальной; Остается проверить, сохраняется ли свойство V поверхности при таких преобразованиях. В большинстве случаев процедуры нормализации есть не что иное как изотопия поверхности. Заметим, что свойство поверхности быть существенной сохраняется при изотопии.
Лемма 1.1. [2] Пусть неприводимое гранично неприводимое трехмерное многообразие М с граничным узором Г триангулировано так, что Г состоит из ребер триангуляции. Тогда, если (М, Г) содержит чистую существенную поверхность F, то в (М, Г) найдется нормальная чистая поверхность чисто изотопная F. Доказательство. Смотри теорему 3.3.1 и предложение 3.3.1 в [2]. Третий шаг метода нормальных поверхностей Хакена заключается в "переходе" к фундаментальным поверхностям. Как правило, это самый сложный шаг метода Хакена. В триангулированном многообразии М рассмотрим нормальную существенную в М чистую в (М, Г) поверхность F. Допустим, что поверхность F представлена в виде геометрической суммы двух чистых в (М, Г) поверхностей JF\ И F . При каких условиях F\ и F2 будут существенными поверхностями в Ml Если Г = 0, то этот вопрос решается положительно, достаточно наложить условие минимальности на поверхность F (смотри, например, [12]). Напомним, что нормальная поверхность F называется минимальной, если число точек ее пересечения с ребрами триангуляции минимально среди всех нормальных поверхностей в М изотопных F. В [2] этот результат обобщен на многообразия с граничными узорами, при этом чистая нормальная поверхность F называется минимальной, если число точек ее пересечения с ребрами триангуляции минимально среди всех нормальных поверхностей чисто изотопных F.
Теорема 1.6. [2] Пусть минимальная связная нормальная поверхность F в неприводимом гранично неприводимом трехмерном многообразии (М, Г) представлена в виде суммы F — Fi + F . Тогда, если F является несжимаемой гранично несжимаемой в (М, Г) поверхностью, то F\ и F% будут несжимаемыми гранично несжимаемыми в (М, Г) поверхностями. Более того, ни одна из поверхностей F\, F% не является сферой, проективной плоскостью или чистым диском.
Наклон и специальная триангуляция
Наклоном на торе Т2 называется нетривиальная кривая 5 С Т2, определенная с точностью до изотопии [13, 14]. Мы будем рассматривать понятие наклона в более общем случае, на произвольной замкнутой поверхности — крае трехмерного многообразия. Напомним, что кривая 7 на крае многообразия (М, Г) с фиксированным граничным узором называется тривиальной, если 7 ограничивает чистый диск на д(М, Г). Определение 1.6. Наклоном на замкнутой поверхности S с фиксированным узором Г называется набор а = {а\,аъ,... ,ап} нетривиальных простых замкнутых чистых кривых на S, которые попарно не пересекаются и чисто не изотопны. а=(аьа2,а3) Доказательство. Рассмотрим отдельно случай когда узор пустой, т. е. Г = 0. Так как любой наклон на торе состоит из ровно одной кривой, то при g = 1 лемма верна. Поэтому, будем считать, что g 1. Разрежем S по данному набору кривых. Получим поверхность с 2п компонентами края. Каждая из компонент связности, обозначим их {А , Ai,... ,Ат}, является ориентируемой поверхностью с непустым краем и, в силу выбора набора кривых {ai, ( ..., ап}, отлична от диска и кольца. Поэтому эйлерова характеристика каждой поверхности АІ не превосходит — 1. Так как эйлерова характеристика при разрезании не меняется, то X{S) = Y1T=\ X{Ai) . С другой стороны, эйлерова характеристика связной поверхности не превосходит 2, поэтому выполнено неравенство \ (Д) 4- h 2, где ki равно числу компонент связности края ЭД. Суммируя последнее неравенство по всем і и пользуясь аддитивностью эйлеровой характеристики и числа компонент края, получим: X(S) + 2п 2т.
Рассмотрим трехмерное многообразие (М, Г) и чистую собственную поверхность F С (М, Г). Если край поверхности F состоит из нетривиальных кривых, то под наклоном ее края будем понимать такой набор {аі, «2) } попарно чисто неизотопных кривых, лежащих в OF, что каждая компонента края 8F чисто изотопна одной из кривых CKj, и обозначать через [8F]. Таким образом, если [OF] = {оц,... ,осп}, то край поверхности F имеет вид 8F = k\(X\ U 0:2 U U knan, т. е. состоит из ki копий кривой аь 2 копий кривой а2 и т. д., где числа {ki} принимают натуральные значения (смотри рисунок 1.12). [9F]={aba2}
Поверхность F в кренделе рода 2 имеет наклон {«i, a } В параграфе 1.1 описана процедура геометрического суммирования нормальных кривых. Исследуем поведение наклона при таком суммировании. Предположим, что наклоны a = {a\,..., an} VL (3 = {P\,..., 0m} на крае триангулированного многообразия (М, Г) состоят из кривых, нормальных относительно триангуляции. Произведя геометрическое суммирование кривых {«і,..., an, Pi,..., Рт}, получим набор кривых. Наклон полученного набора обозначим через 7- Как связаны а, р и 7? На рисунке 1.13 изображена развертка триангулированного тора, {/л, А} — меридиан и параллель тора. Кривая 7і на торе имеет наклон {, кривые
На триангулированном торе кривая 7i — ос\-\- Р\ а.\, Р\ — наклоны j и , соответственно. Легко видеть, что кривые 7i, Oil Pi попарно не изотопны, и 71 = &\ + Р\- Таким образом, наклон не сохраняется при геометрическом суммировании кривых. Однако, нас будут интересовать не просто кривые, а кривые, являющиеся краем существенной поверхности. В [14] доказано, что в специально триангулированных многообразиях, края которых состоят из одного тора, наклоны краев существенных поверхностей сохраняются при геометрическом суммировании. Доказательство этого утверждения опирается на свойства тора и тот факт, что торический наклон состоит из ровно одной кривой. В случае произвольного многообразия идея преодоления этой трудности состоит в рассмотрении специальных триангуляции.
Доказательство. Пусть симплициальное кольцо АІ, где 1 г п, удовлетворяет условиям леммы 1.6. По построению кольцо АІ является регулярной окрестностью кривой аг, поэтому кривая аі чисто изотопна в (М, Г) средней линии кольца Д.
Кольцо Аг триангулировано таким образом, что все вершины и ровно одно ребро триангуляции лежат на крае дАі. Любая нормальная относительно триангуляции Та замкнутая нетривиальная кривая 7 в IntAi не пересекает дАі, следовательно, пересекает каждый треугольник триангуляции кольца АІ по дуге, параллельной ребру, лежащему на крае кольца. Так как кривая 7 не имеет самопересечений и замкнута, то она изотопна средней ЛИНИИ кольца АІ. Отметим, что построенная изотопия является чистой в (М, Г), так как Г П IntAi = 0. Таким образом, кривая 7 чисто изотопна кривой (.
Заметим, что для любого 1 г п, нормальная относительно Та нетривиальная кривая в 1пЬАг пересекает каждое внутреннее ребро триангуляции кольца АІ ровно в одной точке. Поэтому общее число кривых в IntAi равно числу точек пересечения кривых с каким-либо внутренним ребром триангуляции кольца АІ. ДЛЯ доказательства последнего утверждения теоремы осталось заметить, что геометрическое суммирование не меняет число точек пересечения кривых с ребрами триангуляции.
Типы наклонов
Будем говорить, что наклон а на крае многообразия (М, Г) удовлетворяет условию А, если (М, Г) содержит такую чистую существенную плоскую поверхность F, что [8F] С а. Будем говорить, что наклон а удовлетворяет условию В, если (М, Г) содержит такую чистую существенную плоскую поверхность F, что 8F не пересекает кривых наклона а и имеет ровно одну или ровно две кривые чисто не изотопные в (М, Г) никакой кривой наклона а.
Рассмотрим неприводимое гранично неприводимое ориентируемое компактное трехмерное многообразие (М, Г). Разобьем множество всех наклонов на крае д(М, Г) на три типа. Будем говорить, что наклон а имеет тип I, если а удовлетворяет условию А. Наклон а имеет тип II, если а удовлетворяет условию В и не удовлетворяет условию А. Наклон а имеет тип III, если а не удовлетворяет ни условию А, ни условию В.
Наша ближайшая задача состоит в доказательстве того, что тип наклона можно распознать алгоритмически. Возможность алгоритмического распознавания принадлежности наклона к типу I непосредственно следует из теоремы 2.1. Докажем, что наклоны типа II тоже алгоритмически распознаваемы (вместе с ними наклоны единственного оставшегося типа III тоже алгоритмически распознаются).
Теорема 2.2. Существует алгоритм, выясняющий имеет ли тип II данный наклон а не типа I на крае данного неприводимого гранично неприводимого ориентируемого компактного трехмерного многообра- зия (М, Г). В случае положительного ответа алгоритм строит такую чистую плоскую существенную в (М, Г) поверхность F, что 8F не пересекает кривых наклона а. и имеет ровно одну или ровно две кривые, чисто не изотопные в (М, Г) никакой кривой наклона а. Доказательство. Если наклон а = {0} и а не типа I, т. е. а не удовлетворяет условию А, то остается выяснить, удовлетворяет ли а условию В. Для этого достаточно проверить, содержит ли неприводимое гранично неприводимое ориентируемое компактное трехмерное многообразие (М, Г) собственные чистые существенные диск или кольцо. Этот вопрос решается алгоритмически (смотри, например, [2]). Предположим, что а ф {0}. В этом случае требуемый алгоритм строится по методу нормальных поверхностей Хакена. Действительно, зафиксируем триангуляцию Та многообразия (М, Г) и набор симплициаль-ных колец {Д}, удовлетворяющие условиям 1-4 леммы 1.6. Допустим, что а имеет тип II, т. е. многообразие (М, Г) содержит такую чистую существенную плоскую поверхность F, что 8F не пересекает кривых наклона а и имеет ровно одну или ровно две кривые чисто не изотопные в (М, Г) никакой кривой наклона а. Применив, если нужно, чистую изотопию, можем считать, что все граничные кривые поверхности F, чисто изотопные кривым наклона а, лежат в UilntAi, остальные же кривые, их ровно одна или ровно две, не пересекают UJCL4J. Выберем новый граничный узор Г" = Г U (UJCM;). (М, Г"), так же как и (М, Г), является неприводимым гранично неприводимым компактным ориентируемым многообразием с триангуляцией Та. Существенная в (М, Г) поверхность F является чистой существенной в (М, Г"). По лемме 1.1 (М, Г") содержит нормальную чистую поверхность F , чисто изотопную поверхности F. Без ограничения общности можем считать, что F является минимальной поверхностью среди всех нормальных чистых в (М, Г") поверхностей, чисто изотопных в (М, Г") поверхности F. Любую чистую нормальную поверхность можно представить в виде геометрической суммы конечного числа фундаментальных нормальных чистых непустых связных поверхностей (смотри теорему 1.1) F = Fi + F2 + + Fm. По следствию 1.1 каждая из поверхностей Fj, 1 j m, является существенной в (М, Г) и отлична от проективной плоскости.
Триангуляция Та и набор симплициальных колец {А{\ выбраны таким образом, что число граничных кривых, лежащих в ІЛУЦ, аддитивно при геометрическом суммировании (смотри лемму 1.7). Напомним, что эйлерова характеристика поверхности также аддитивна при геометрическом суммировании. Поэтому справедливо равенство m где ka, kia,..., kma — числа граничных кривых, лежащих в UilntAi, поверхностей FN, Fi, F2,..., Fm, соответственно. По предположению, FN является плоской поверхностью, край которой имеет вид: несколько кривых, возможно ноль, чисто изотопны кривым наклона а и лежат в \JiIntAi, остальные кривые, их ровно одна или ровно две, не пересекают и Д. Поэтому X(FN) + ka равно 0 или 1. Следовательно, найдется такое J Є {1, 2,..., m}, что x{Fj) + kja 0. Так как данный наклон а не имеет тип I, и Fj — связная поверхность, то для 1 j 7?г выполнено неравенство x(Fj) + kja 2. Поэтому либо найдется такое 1 j m, что x(Fj) + kja = 1, либо для любого 1 j m выполнено равенство x{Fj) + fy = 0. В первом случае, когда существует такое 1 j m, что x(Fj) kja = 1, x(Fj) + kj равно 2 или 1, где kj — число компонент связности dFj. — Если x(Fj) + kj = 2, то Fj, отличная от сферы, является фундаментальной плоской поверхностью, край которой состоит из нескольких кривых, лежащих в UilntAi, и ровно одной кривой, не лежащей в UilntAi. Последняя кривая чисто не изотопна в (М, Г) ни одной из кривых наклона а, так как иначе, наклон а имеет тип I, что противоречит условию. — Если x(F}) + kj = 1, то рассмотрим нормальное удвоение поверхности F . 2FN является минимальной существенной в (М, Г") поверхностью так же как и двусторонняя поверхность F . Так как справедливо равенство 2Fff = Е .12і -, то по следствию 1.1 2Fj является существенной в (М, Г) поверхностью отличной от проективной плоскости. Заметим, что двусторонняя поверхность 2Fj имеет 2kj компонент края, и x(2Fj) = 2x(Fj). Таким образом, имеет место равенство x( Fj) + 2kj = 2. Поэтому 2F3 является существенной плоской поверхностью, все граничные кривые которой лежат в UilntAi, т. е. [d(2Fj)\ С а, что противоречит условию, что наклон а не имеет тип I.
Во втором случае, когда для любого 1 j m выполнено равенство x(Fj) + kja — 0, найдется такое 1 j m, что kj — kja 0. Это следует из того, что поверхность FH содержит граничные кривые, не лежащие в UjntAi. Таким образом, x(Fj) + kj равно 2 или 1. — Если x{Fj) + kj = 2, то Fj является фундаментальной плоской поверхностью, край которой состоит из нескольких кривых, лежащих в UilntAi, и ровно двух кривых, не лежащих в UilntAi. Так как наклон а не имеет тип I, то хотя бы одна из граничных кривых, не лежащих в UilntAi, чисто не изотопна в (М, Г) ни одной из кривых наклона а. — Если x(Fj) + kj = 1, то рассмотрим поверхность 2FN, являющуюся, так же как PI двусторонняя поверхность F/v, минимальной существенной в (М, Г") поверхностью. Справедливо равенство 2F = E L i . По следствию 1.1 2Fj является существенной в (М, Г) поверхностью отличной от проективной плоскости. Заметим, что двусторонняя поверхность 2Fj имеет 2kj компонент края, и x(%Fj) = %x(Fj)- Таким образом, имеет место равенство xftFj) + / = 2. Поэтому 2Fj является существенной плоской поверхностью, край которой состоит из нескольких кривых, лежащих в UjntAi, и ровно двух параллельных кривых, не лежащих в UilntAi. Так как наклон а не имеет тип I, то обе граничные кривые, не лежащие в UjntAi чисто не изотопны в (М, Г) ни одной из кривых наклона а. Таким образом, если многообразие (М, Г) содержит нормальную чистую в (М, Г") существенную в (М, Г) плоскую поверхность, край ко торой содержит ровно одну или ровно две граничные кривые чисто не изотопные в (М, Г) ни одной из кривых наклона а, то чистая в (М, Г") существенная в (М, Г) плоская поверхность, край которой содержит ровно одну или ровно две граничные кривые чисто не изотопные в (М, Г) ни одной из кривых наклона а, найдется либо среди фундаментальных, либо среди удвоенных фундаментальных поверхностей. Требуемый алгоритм состоит из следующих шагов. ШАГ 1. Нужно выбрать триангуляцию многообразия (М, Г) и набор {А,,} симплициальных колец, удовлетворяющие условиям 1-4 леммы 1.6. Задать новый граничный узор Г" = Г U (UtdAt) на крае данного многообразия М. ШАГ 2. Выписать множесгво чистых в (М, Г") фундаментальных поверхностей (напомним, что их конечное число). ШАГ 3. Проверить, найдется ли среди фундаментальных или удвоенных фундаментальных поверхностей такая существенная в (М, Г) плоская поверхность F, что x(F) + ka равно 0 или 1 и к — ка 0.
Алгоритмическое нахождение граничного инъективного наклона ограниченного рода
В этом параграфе мы рассмотрим задачу алгоритмического нахождения поверхностей ограниченного рода с непустым краем (мы включим в рассмотрении не только ориентируемые, но и неориентируемые поверхности). Под родом неориентируемой поверхности F, равной связной сумме т проективных поверхностей, мы будем понимать число . Как и в ориентируемом случае, род незамкнутой поверхности F равен роду g(F), где поверхность F получается из F приклеиванием дисков ко всех граничным окружностям из 8F. Заметим, что как и в ориентируемом случае род неориентируемой поверхности F с к граничными кривыми равен — -=— -.
Однако, решение поставленной задачи вызвало ряд проблем, одна из которых состоит в том, что алгоритм распознавания несжимаемости данной поверхности работает только с ориентируемыми поверхностями (смотри теорему 1.4). Один из вариантов выхода из этой ситуации — наложить более сильное, но алгоритмически проверяемое, условие на рассматриваемые поверхности, чем несжимаемость. Таким условием является, например, инъективность. Определение 3.3. Связная поверхность F С М называется инъектив-ной, если индуцированный гомоморфизм г : TTI(F) — rci(M) является инъективным (смотри [2, 12]). Заметим, что инъективная поверхность является несжимаемой. Обратное не верно, смотри [2, 10]. Рассмотрим в триангулированном ориентируемом трехмерном многообразии М нормальную поверхность F. Обозначим через 2F нормальное удвоение поверхности F. Лемма 3.3. Пусть F — нормальная собственная поверхность в три-ангулированном трехмерном многообразии М. Тогда выполнены следующие условия: 1. Если поверхность F является двусторонней, то F несжимаема F инъективна; 2. Если поверхность F является односторонней, то 2F несжимаема О F инъективна = F несжимаема. Доказательство. Смотри лемму 3.3.1 [2]. Теорема 3.4. Существует алгоритм, выясняющий, является ли данная связная поверхность F в данном неприводимом гранично неприводимом колтактном ориентируемом трехмерном многообразии инъек-тивной. Доказательство. Утверждение теоремы следует из леммы 3.3 и тео рем 1.4 и 1.5. Лемма 3.4. Пусть нормальная минимальная поверхность F в триан-гулируемолі неприводимом гранично неприводимом компактном ориентируемом трехмерном многообразии М представлена в виде геометрической суммы F\ + F2 поверхностей. Если поверхность F является инъективной, то F\ и F i такие же. Доказательство. Пусть F С М является нормальной минимальной поверхностью и представлена в виде геометрической суммы F\ + F2 нормальных поверхностей. Рассмотри нормальное удвоение 2F поверхности F в многообразии М. Так как поверхность F является минимальной инъ-ективной, то по лемме 3.3 поверхность 2F является минимальной несжимаемой в М, и справедливо равенство 2F = 2Fi + 2F2. По теореме 1.7 поверхности 2Fi и 2/ являются несжимаемыми в М, что эквивалентно условию, F\ и i 2 являются инъективпыми поверхностями. Следствие 3.1. Пусть нормальная минимальная поверхность F в триангулируемом неприводимом гранично неприводимом компактном ориентируемом трехмерном многообразии М представлена в виде геометрической суммы 53ILi - i поверхностей. Если поверхность F является иньективной, то Fi такие otce для любого г {1,..., п}. Доказательство. Представим поверхность F в виде F = F± -\- F , где F — jyi=2 i- По лемме 3.4 поверхность Fi является инъективной М. Аналогично, остальные поверхности Fi, где 2 г п, являются инъек тивными в М. П Теорема 3.5. Существует алгоритм, который для данного целого числа N, для данного неприводимого гранично неприводимого компактного ориентируемого трехмерного многообразия М без существенных плоских поверхностей и данного наклона а на дМ выясняет, содерэюит ли М такую связную инъективную существенную проколотую поверхность F, что [dF] С а и g(F) N. В случае полоэюителъного ответа алгоритм строит такую поверхность. Доказательство. Требуемый алгоритм строится при помощи метода нормальных поверхностей Хакена. Докажем, что выполнены все шаги метода нормальных поверхностей Хакена. Выберем триангуляцию Та многообразия М и набор симплициальных колец {Д}, удовлетворяющие условиям 1-4 леммы 1.6. Пусть граничный узор Г состоит из всех ребер триангуляции края дМ, не лежащих в Ui/піЛ,. Многообразие (М, Г ) так же как и многообразие М является неприводимым и гранично неприводимым, ввиду выбора граничного узора Г .
Допустим, что многообразие М содержит такую связную инъекти-ную существенную проколотую поверхность F С М, что g(F) N и [OF] С а = {а\,..., ап}. Триангуляция Та многообразия М выбрана таким образом, что каждая кривая щ лежит в симплициальном кольце А% С дМ. При помощи изотопии в М сдвинем поверхность F так, чтобы для каждого г компоненты края dF, изотопные кривой а,, лежали внутри кольца Аг. Получим поверхность Fc С М, которая не пересекает граничный узор Г , и, следовательно, является чистой поверхностью в (М, Г ). Так как F является инъективной существенной в М, то Fc, изотопная поверхности F, будет инъективной существенной поверхностью в М. Из леммы 1.1 следует, что в многообразии (М, Г ) найдется нормальная чистая поверхность F чисто изотопная поверхности Fc- Без ограничения общности можем считать, что поверхность FN минимальна в (М, Г ), т. е. пересекает ребра триангуляции в наименьшем числе точек среди всех нормальных чистых в (М, Г ) поверхностей чисто изотопных в (М, Г ) поверхности FN- Если поверхность FN является фундаментальной, то теорема доказана. Предположим, что FN не является фундаментальной, и существует разложение в геометрическую сумму фундаментальных непустых связных чистых в (М, Г ) поверхностей. По следствию 1.1 и 3.1 каждая из поверхностей Fj, где 1 J ї?г, является инъективпой существенной в М и отлична от проективной плоскости. Нетривиальные компоненты края любой нормальной чистой поверх ности в (М, Г"), в силу выбора граничного узора, лежат в объединении DilntAi. Поэтому все кривые из dFj, 1 j то, лежат в UilntAi. Бо лее того, из леммы 1.7 следует, что к = ki + / Н Ь кт, где к, к\,..., кт — числа компонент связности краев 8FN, dF\,..., dFm, соответственно. Из условия аддитивности эйлеровой характеристики при геометрическом суммировании имеем равенство: т X(FN) + к = 2 №) + к,). 3=1 Заметим, что так как неприводимое многообразие М не содержит собственных существенных плоских поверхностей, то для любого j Є {1,2,..., то} справедливо неравенство x(Fj) + kj 1. Более того, если найдется такое 1 j то, что x(Fj) + kj = 1, то нормальное удвоение инъективной существенной поверхности Fj, отличной от проективной плоскости, даст существенную плоскую поверхность 2Fj С М, что противоречит условию теоремы. Напомним, что поверхность FN имеет непустой край, следовательно, найдется такое j Є {1, 2,..., m}, что dFj ф 0. Без ограничения общности можем считать, что 8F\ ф 0. Так как выполнены равенство g(F) = g(Fi) — j=2 2— и неравенство 9(F) N, то g(Fi) N.
Таким образом, если данное многообразие М содержит такую связную инъективную существенную проколотую поверхность F, что [OF] С а и g(F) N, то среди фундаментальных поверхностей найдется такая чистая в (М, Г ) связная инъективная существенная в М проколотая поверхность Fp, что g(Fp) АГ. Более того, все компоненты dFp, в силу выбора граничного узора, лежат в UilntAi, поэтому [8FF] С а. Следовательно, поверхность Fp будет искомой. Требуемый алгоритм состоит в выполнении следующих шагов: ШАГ 1. Нужно задать триангуляцию многообразия М и набор сим-плициальных колец {АІ}, удовлетворяющие условиям 1-4 леммы 1.6. Затем выбрать новый граничный узор Г как граф, состоящий из тех ребер триангуляции края ОМ, которые не лежат в Uilnt(Ai). ШАГ 2. Выписать все чистые в (М, Г") фундаментальные поверхности (их конечное число и существует процедура их перечисления [2]). ШАГ 3. Выяснить, найдутся ли в списке чистых в (М, Г") фундамен тальных поверхностей такие инъективные существенные в М проколо тые поверхности, что g(F) N. Найденные таким образом поверхности будут искомыми. Если таких поверхностей нет, то в данном многооб разии такой инъективной существенной проколотой поверхности F, что g(F) NVL [OF] С а, нет.