Геометрия коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2 Оганесян Вардан Спартакович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. 11

1.1 Предварительные сведения. 11

1.2 Классификация коммутирующих дифференциальных операторов 15

1.3 Коммутирующие операторы ранга 2 20

Глава 2. 23

2.1 Коммутирующие дифференциальные операторы с полиномиальными коэффициентами

2.2 Собственные функции коммутирующих дифференциальных 33 операторов ранга 2

2.3 Об операторах вида 4 + () из коммутирующей пары дифференциальных операторов ранга 2 рода .

Заключение 54

Литература 55

Список литературы

• Классификация коммутирующих дифференциальных операторов
• Коммутирующие операторы ранга
• Собственные функции коммутирующих дифференциальных 33 операторов ранга
• Об операторах вида 4 + () из коммутирующей пары дифференциальных операторов ранга 2 рода

Классификация коммутирующих дифференциальных операторов

Кривая Г, определенная соотношением R(z,w) = 0, называется спектральной кривой. Если Lnip = zip, Lmip = wip, то (z,w) Є Г. Для почти всех (z,w) Є Г размерность пространства общих собственных функций г\) одна и та же. Размерность пространства общих собственных функций пары коммутирующих дифференциальных операторов называется рангом.

Мы установили существования формального решения г[)о(х к]Хо) и доказали, что любое формальное решение (1.5) имеет вид А(к)ф(х,к;хо). Рассмотрим характеристическое уравнение (1.3). Уравнение R(z,w) = 0 не зависит от выбора базиса в пространстве решений уравнения Lnifj = zifj. Формальные решения фо(х, к] Хо), где кп = z — линейно независимы над полем формальных Лорановских рядов по к. И ничто не мешает рассмотреть действие оператора Ln на пространстве формальных рядов над полем Лорановских рядов. Ряды фо(х,к]Хо) являются собственными функциями для оператора Lm с собственным значением А(к). Следовательно, п—1 R(z,w) = 1 [ (z — A(kJ)), з=о где оо w(z) = (kJ)m + У, As(kJ)s s=—m+1 — разложение в ряд по к 1 ветвей алгебраической функции w(z): R(z,w) = 0; кп = z. Если ряды А(У) различны при 0 j п — 1, то при больших z, а тогда и при почти всех z, собственные значения Wj(z) различны. В этом случае для точки общего положения (z,Wj(z)) кривой R(z,w) = 0 существует единственная собственная функция ф(х, z, w) операторов Ln и LTO, то есть ранг коммутирующей пары равен 1. Этот случай полностью разобран в [5], [6], где получены явные формулы для ijj(x,z,w) и для коэффициентов оператора Ln

в терминах тэта-функций Римана. Если ряды () совпадают при некоторых различных , то () = (1). Очевидно, что является общим делителем и . При этом j=n—l j=n—l (,) = II ( — (r)) = II ( — (( ))) = з=о j=o j=n-l = II ( — (( ) )) = ( ) 3=0 где = . Кривая : (,) = 0 неприводима, пополняется в бесконечности единственной точкой о, в окрестности которой локальным параметром явля-ется () п. Каждой точке общего положения = (,) кривой отвечает — мерное пространство собственных функций оператора m с собственным значением = (), то есть — ранг коммутирующей пары n, m.

Приведем классификацию скалярных коммутирующих операторов ранга 1 [6]. Нормируем общие собственные функции условием —j(, ; о)\х=Хо = ij, 0 , — 1. г В работе [6] доказано, что функции (,;о) обладает следующими аналитическими свойствами: 1. (, ; о) мероморфны на кривой вне о и имеют по простых полю сов г(о), ij(,o) j(, ; о) 1 , — г(о) в окрестности полюса i(o). 2. Все вычеты ц(,о) пропорциональны одному: = і (о)і,і-і, 0 — 2. 3. Если 1() - локальный параметр на в окрестности о, то имеет место асимптотика: oo ф (ж, Р] XQ) = (/_, С s(x)k )Фо(ж, к; хо, s=0 где ф (ж, Р] XQ) = (фо{%, Р-, xo)i Фі-і{х, Р і хо))і о{%) = (1,0..., 0), s(xo) = 0 , s 1, Фо(ж, &; Жо) = (Фо) решение уравнения Фо = Фо, &Q{XO-, к] XQ) = 5г\ 0 і, j; / — 1, О О О о о о о о о о 5 = k + wo{x) w\{x) if2(ж) ... wi-2(x) 0 Теорема 1.7 [6] Аналитические свойства 1,2,3, произвольные константы (ji,aij) и произвольные функции WQ(X), ...,гу/_2(ж) определяют вектор-функцию ф(х, Р]Хо) и коммутирующую пару Ln, Lm ранга I общего положения.

Доказательство основано на сведении к задаче Римана на кривой Г и не дает эффективных формул для коэффициентов коммутирующих операторов. В [6], [20] предложен метод деформации параметров (7г,ску), позволяющий в ряде случаев получить точные решения. Рассмотрим матрицу Вронского Ф(ж, Р] XQ) = фо Ф\ Ф о Ф і Фі-І ФІ 1-1 1-1 1-1 - iV ... іСЇ вектор функции ф (ж, Р] XQ). Заметим, что ФЖФ 1 не зависит ОТ XQ И фжф 1 = 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 0 0 Xo Xi X2 Xi-i где Xi{xi P) мероморфные функции на кривой Г. При х = Хо полюсы Хг(х-, Р) совпадают с 7i( o), ,7 (жо), а отношения вычетов функции Хг(х-, Р) в точках 7j( o) совпадают с параметрами оц {хо): В окрестности PQ на Г функции Xj{xi Р) имеют вид Xo{xi Р) = к + WQ(X) + 0(к 1)} Xs{xi Р) = ws(x) + 0(к 1), 1 s / — 2, Xi-i(x,P) = 0(к 1). Разложение Xj{xi Р) в окрестности полюса 7«(ж) имеет вид Cij(x) Xi\xi Р) = і гт + di jix) + Oik — 7«(ж)), к — 7j {х) Cij = aiijCij-i, 0 j I - 1, 1 i 1д. Теорема 1.8 [6], [7] Параметры 7«(ж); a«,j( ); 1 1д, 0 j / — 2; удовлетворяет системе уравнений іі Q,/ —1? г О (Л-І,0(Л-І,І—2 г С%і,0Щ,1—1 п,(Ь Общие собственные функции коммутирующих операторов ранга опреде 20 ляются из уравнения г (х, Р) = Xi-i{xi Р)ф (х, Р) + ... + ХоФ(хі P)i (1.7)

Для произвольных функций Wi(x),0 і / — 2, решение системы однозначно определяет набор мероморфных функций Xj{x,P) с необходимыми аналитическими свойствами. По асимптотикам Xj{x,P) в окрестности Ро на Г восстанавливаются коммутирующие операторы. Общая форма коммутирующих операторов ранга 2 для произвольной эллиптической кривой была получена Кри-чевером и Новиковым [7]. Общий вид операторов ранга 3 для произвольной эллиптической кривой (общий вид операторов ранга 3, рода 1 параметризуется двумя произвольными функциями) был найден Моховым [8], [9]. Более того, примеры коммутирующих операторов рода 1 с полиномиальными коэффициентами были построены для произвольного ранга. При этом даже в тех случаях, для которых были получены явные формулы для общего вида коммутирующих операторов, задача выделения коммутирующих операторов с полиномиальными коэффициентами является нетривиальной и полностью не решена до сих пор. Задача полного описания коммутирующих операторов с полиномиальными коэффициентами была поставлена и рассматривалась Моховым в [18].

Коммутирующие операторы ранга

Допустим, что и{х) имеет изолированные полюса в точках ai,a,2,.... Пусть в окрестности точки а,і ряд Лорана функции и{х) имеет вид ( Фі-к , (fii-k+l , / // ч2 Щх) = 7 \Т + 7 vTT + + «0 + ty?i l( — &г) + U[\X — О,Л ). [X — CLi)k [X — CLi)k 1 Верны следующие теоремы: Теорема 2.5 Если L = дх + и(х) и дифференциальный оператор М порядка 4д + 2 образуют пару коммутирующих операторов ранга 2, то и{х) может иметь изолированный полюс порядка не более 4, (fi-4 = щ(Ащ + 1)(4ПІ + 3)(4ПІ + 4), щ Є N, (fii k-i = 0, где A; = 0, ...,nj, / = 1,2,3. Также (Pi:4r-i = ty?«,4r-3 = 0, где г = щ + 1, ...,g. Функция и(х) не может иметь изолированного полюса в бесконечности.

Следствие 2.6 Предположим, чтои(х) — эллиптическая, периодическая или рациональная функция и не имеет изолированной особенности в бесконечности. Пусть а\ — единственный полюс в фундаментальном параллелограмме, в периодической ленте или на комплексной плоскости соответственно. Тогда оператор Ь = д + и{х) и оператор М порядка 4д + 2 образуют пару ранга 2 тогда и только тогда, когда $\-± = g{ g + l)(4g + 3)(4g + 4), (fii k-i = 0, где к = 0, ...,#, 1 = 1,2, 3. Следствие 2.7 Допустим, что () — эллиптическая функция Вейерштрас 38 са, удовлетворяющая уравнению (р (х))2 = 4pi{x)+g2p{x)+g?,. Тогда оператор Ь = дх + п(4п + 1)(4п + 3)(4п + 4)р (ж), где nGN, коммутирует с оператором порядка 4п + 2 тогда и только тогда, когда д% = 0. Из вычислений видно, что для п меньших 8 спектральная кривая является гладкой для почти всех д

Пример 2.8 Допустим, что р{х) — эллиптическая функция Вейерштрас-са, удовлетворяющая уравнению (р (х))2 = 4р3(ж) + д2р{х) + д? . Рассмотрим оператор Ь = дх + 280р (х) + 280р (х — а). Предположим, что д% = 0 и а = иі\, х 2 или ui\ + L02, где ШІ — полупериоды. Тогда Ь коммутирует с оператором порядка 6.

Анализируя доказательство теоремы 2.4 можно выдвинуть следующую гипотезу: Гипотеза Пусть и(х) — эллиптическая функция с конечным числом полюсов в фундаментальном параллелограмме, периодическая функция с конечным числом полюсов в ленте периодов или рациональная функция без изолиро т ванной особенности в бесконечности. Пусть S = щ + 1, где т являет г=\ ся числом полюсов. Если /?г;_4 = щ{ Щ + l)(4?7,j + 3)(4?7,j + 4), (Pi k-l = 0, (Pi:4r-i = ty?«,4r-3 = 0, где к = 0, ...,ПІ, г = щ + l,..., и I = 1,2,3, то L4 = dxJru(x) коммутирует с неким дифференциальным оператором порядка 45 + 2. Теорема 2.9 Пусть Ь и оператор М порядка 4д + 2 образуют пару коммутирующих операторов ранга 2. Пусть функция и(х) имеет изолированный полюс в точке . Тогда решения уравнения (4)() + ()() = () имеют особенности в точках следующего вида (), где = 1,2,3,4 и () , голоморфная функция в окрестности , 0"І1 = 12{1 — Alii — л/l — 16щ — 16n С"г,2 = 2(1 Пі + \/і ІбЩ — 16п2 с"«,з = 12(5 + 4п — -\/і 16ПІ — 16n2] ,4 = 12(5 + 4 + 1 - 16 - 162 ). То есть собственные функции всегда имеют точки ветвления. Следовательно, 4 не коммутирует с оператором нечетного порядка так как общие собственные функции операторов взаимно простого порядка всегда мероморфны. Рассмотрим L = (дх + 1 (ж)) + И- ж) (2.12)

Опять вспомним, что этот оператор коммутирует с некоторым оператором М порядка Ад + 2, причем спектральная кривая пары L, М имеет род д, тогда и только тогда, когда найдется полином (см. [12]) Q = z9 + a1{x)zg + a2{x)z9 + ... + ag-1{x)z + ад(х), для которого выполняется следующее соотношение: Qy ) -)- 41/Q/// + 6V Q" + 2Q {2z — 2W + У") — 2QW = 0, (2.13) Если У (ж) = 0, то Q + 2Q {2z — 2W) — 2QW = 0, (2.14) Aw = AF{z) = AzQ + {Q") — 2Q Q " + 2QQ ). Из (2.14) имеем 4Q z = — QK + 2QW + 4ц/ Ил Таким образом, мы получили следующую систему : а\ = W/2 + Сі A.a 2 = —а\ + 2a\W + 4а/1И/Г 4a +1 = — a\ + 2(iiW + 4a VK 4a/ = — crj + 2ag-iW + 4a 1И/Г 0 = —a + 2agW + Aa W Таким образом результат в [12] может быть переформулирован следующим образом. Пусть а\ = W/2 + Сі, где Сі — произвольная константа. Определим а с помощью рекурсии (2.15) 1 [( (5) w , /і ТЯЛЛ 0"1-\-\ г+1 + - (—а- + 2а,; И/ + \a;vv )ах. Мы видим, что если V(x) = 0, то оператор (2.12) коммутирует с неким оператором порядка 4д + 2 и эти операторы образуют пару операторов ранга 2 тогда и только тогда, когда ад+\ = const. Обозначим L4 = 9Ж + ІІ(Ж). Условием коммутации оператора L и оператора М порядка б, где L4, М образуют пару ранга 2, является уравнение на функцию и{х) АС\и {х) + 6и(х)и \х) — и 5 (х) = 0, для некоторой константы 1. Рассмотрим рекуррентное соотношение (5) , u(x)fj(x) Jj [X) jj+i(x) = Ci+\ + (u(x)jAx) H )ax, (2.16) где u[x) ji = C\-\ . Мы видим, что L коммутирует с оператором порядка 4д + 2 тогда и только тогда, когда существуют такие константы Сі,..., Сд, что fg+\ = const. Доказательство теоремы 2.5 Допустим, что ІІ(Ж) имеет полюса в точках 2і, 22, из С. Лемма 1 Если L4 коммутиует с неким оператором порядка 4д + 2, то и{х) может иметь полюса в С только четвертого порядка. Доказательство Предположим, что и{х) имеет полюс порядка к в точке а . Так как L коммутирует с оператором порядка 4д + 2, то f +1 = 0. Предположим, что fg имеет изолированный полюс в точке порядка , то ()() + ()() имеет u (x)fg(x) 2 полюс порядка к + т + 1 и / (ж) имеет полюс порядка m + 5. Следовательно,

Собственные функции коммутирующих дифференциальных операторов ранга

Рассмотрим fk, где к щ + 1. Допустим, что и{х) имеет т полюсов в фундаментальном параллелограмме, в ленте периодов или на комплексной плоскости. г=т ПуСТЬ S = Пі + 1. ЕСЛИ (fii k-l = 0, (Pi:4r-1 = і,4г-3 = 0, где к = 0, ...,щ и г=1 г = щ + 1,..., S. Из леммы 3 видно, что степень полюса в точке щ не превосходит п; для всех к . Но Ah _л„ линейно зависит от Сл,..., Сь-п-, Ah _л„ ,А линейно зависит от Сі, ...,Cfc_ni+i, t-4 линейно зависит от Ci, ...,Cfc. Мы должны выбрать константы таким образом, чтобы обратить в нуль S — 1 выражений и у нас есть 5 переменных. Скорее всего данная система всегда имеет решения, но это пока не доказано.

Доказательство теоремы 2.9 Рассмотрим дифференциальное уравнение dnw(x) , dn lw(x) dw(x) h гл (х) : h ... + Рп-1 (х) h Pn(x)w(x) = 0. (2.24) dxn v dxn l dx 51

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что (см. [32] глава 16) если w(x) имеет особенность в точке а, то РІ(Х) имеет особенность в точке а для некоторого і. Особенность называется регулярной если функция Pk имеет полюс порядка не более чем к для всех к. Без потери общности будем считать, что а = 0 и мы можем переписать (2.24) в следующем виде: dnw(x) і dn lw(x) dwix) X h X Pi (x) : h ... + хРп-Л (x) h Pn[X)W[X) = 0, где коэффициенты Pi(x) не имеют полюса в точке а. Решения в окрестности регулярной особой точки имеют вид (см. [32] глава 16) w{x) = 2_.стХт+а (2.25) т=0 т ndnw(x) , п — \ т I \dn lrw(x) т I \dw(x) , Обозначим через L оператор х , „ + х Рл (х) , „_-, + ... + хР„-л [х) , + dxn L dxn L "J L v / dx Pn(x)w(x) = О и [a + m]n = (a + m)(a + m — 1)...( т + n — m + 1). Имеем 00 00 Lw = L\S cmxm+a) = 2_, cmxm+a f\x, m + r), m=0 m=0 где f(x,m + (j) = [a + m]n + Рі(ж)[ т + m]n_i + [a + т]іРп_і(ж) + Pn(x) = J f\{m + a)xx. Если Lw; = 0, то A=0 cofo(a) = 0 ci/o(c" + 1) + Cofi(a) = 0( + ) + -11( + - 1) + ... + 0() = 0. Так как 0 = 0, то мы имеем 0() = [] + []-11(0) + ... + []1-1(0) + (0) = 0. (2.26) Пусть –(2.26). Если 0( + ) = 0, где –целое число, то можно вычислить константы по следующим формулам (см. [32] глава 16) С- пп (-1)0() f0((j + l)f0((j + 2)...f0((j + m) где Fm{(j) = /1( 7 + m —1), f2icr + m — 2), ..., /m_1( 7 + l), fm{v) /0( 7 + m — 1), /1( 7 + m —2), ..., /m_2( 7 + l), fm-1((j) 0, f0{(T + m — 2), ..., /т_3( 7 + 1), fm-2((j)

То есть, если 7j, 7j являются корнями /0(с) = 0 и О"І — 7j - не целое число для любого і т J, то все решения (2.24) имеют вид хад(х), где д(ж)-голоморфная функция. Если для некоторых г, j число 7j — 7j Є Z, то решения могут иметь вид д0(х)1пкх + g1(x)lnk 1x + ... + дк(%), где #І(Ж) могут быть равны нулю. Рассмотрим оператор L4 = д4 + и{х). Мы доказали, что если L4 коммутирует с неким оператором порядка Ад + 2, то и(х) может иметь полюса только четвертого порядка и (/?j;_4 = щ(4щ + 1)(4ПІ + 3)(4ПІ +4). Это значит, что собственные функции L4 имеют регулярные особенности. Решения (2.26) имеют вид 0"І1 = 12(1 — 4П — \/l — 16ПІ — 16n С"г,2 = 2(1 4Пі + \/і 16?7 і — 16n2 С"г,3 = 12(5 + 4П — л/і — ІбПі — 16п С"г,4 = 12(5 + 4П + \/і 16?7 і — 16n2). То есть решения могут иметь логарифмические слагаемые так как сг 3 — &І,1 = с"«,4 — сг«,2 = 4п + 2. Но мы доказали,что если Ь4 коммутирует с оператором порядка Ад + 2, то (f4k-i = 0, А; = 0, ...,щ, I = 1,2,3. Следовательно, собственные функции в окрестности a,i имеют вид фг к(х) = а0хаі к+а4хаі к+4+..Ла4п.хаі к+4пі+а4п.+1хаі к+4пі+1+а4п.+2 53 Легко проверить,что мы можем явно найти все коэффициенты. То есть логарифмических слагаемых не будет. Теорема 2.8 доказана. Заключение В этом разделе мы опишем возможные обобщения полученных в работе результатов и направления дальнейших исследований. 1. Если проанализировать доказательство теоремы 2.1, 2.2 и 2.3, то мож но выдвинуть следующую гипотезу Гипотеза. Если оператор L = (дх + Апхп + ... + AQ) + Bn_2%n + -Во, Ап ф 0,п Є N коммутирует с оператором М порядка 4д + 2, g 1, то п 6. При попытке построить оператор М мы получим систему алгебраических уравнений, где уравнений намного больше чем переменных. Из этих систем видно, что они наверняка не имеют решений. 2. Было бы интересно узнать каким спектральным кривым соответству ют коммутирующие операторы с полиномиальными или рациональными коэф фициентами. На данный момент известно, что любая эллиптическая кривая вида W = Z + Ob iZ + CL\Z + 2о является спектральной кривой пары коммутирующих операторов ранга 2 с полиномиальными или рациональными коэффициентами. Также известно, что любая гиперэллиптическая кривая вида

Об операторах вида 4 + () из коммутирующей пары дифференциальных операторов ранга 2 рода

Теорема 2.5 Если L = дх + и(х) и дифференциальный оператор М порядка 4д + 2 образуют пару коммутирующих операторов ранга 2, то и{х) может иметь изолированный полюс порядка не более 4, (fi-4 = щ(Ащ + 1)(4ПІ + 3)(4ПІ + 4), щ Є N, (fii k-i = 0, где A; = 0, ...,nj, / = 1,2,3. Также (Pi:4r-i = ty?«,4r-3 = 0, где г = щ + 1, ...,g. Функция и(х) не может иметь изолированного полюса в бесконечности.

Следствие 2.6 Предположим, чтои(х) — эллиптическая, периодическая или рациональная функция и не имеет изолированной особенности в бесконечности. Пусть а\ — единственный полюс в фундаментальном параллелограмме, в периодической ленте или на комплексной плоскости соответственно. Тогда оператор Ь = д + и{х) и оператор М порядка 4д + 2 образуют пару ранга 2 тогда и только тогда, когда $\-± = g{ g + l)(4g + 3)(4g + 4), (fii k-i = 0, где к = 0, ...,#, 1 = 1,2, 3. Следствие 2.7 Допустим, что () — эллиптическая функция Вейерштрас 38 са, удовлетворяющая уравнению (р (х))2 = 4pi{x)+g2p{x)+g?,. Тогда оператор Ь = дх + п(4п + 1)(4п + 3)(4п + 4)р (ж), где nGN, коммутирует с оператором порядка 4п + 2 тогда и только тогда, когда д% = 0. Из вычислений видно, что для п меньших 8 спектральная кривая является гладкой для почти всех д

Пример 2.8 Допустим, что р{х) — эллиптическая функция Вейерштрас-са, удовлетворяющая уравнению (р (х))2 = 4р3(ж) + д2р{х) + д? . Рассмотрим оператор Ь = дх + 280р (х) + 280р (х — а). Предположим, что д% = 0 и а = иі\, х 2 или ui\ + L02, где ШІ — полупериоды. Тогда Ь коммутирует с оператором порядка 6. Анализируя доказательство теоремы 2.4 можно выдвинуть следующую гипотезу: Гипотеза Пусть и(х) — эллиптическая функция с конечным числом полюсов в фундаментальном параллелограмме, периодическая функция с конечным числом полюсов в ленте периодов или рациональная функция без изолиро т ванной особенности в бесконечности. Пусть S = щ + 1, где т являет г=\ ся числом полюсов. Если /?г;_4 = щ{ Щ + l)(4?7,j + 3)(4?7,j + 4), (Pi k-l = 0, (Pi:4r-i = ty?«,4r-3 = 0, где к = 0, ...,ПІ, г = щ + l,..., и I = 1,2,3, то L4 = dxJru(x) коммутирует с неким дифференциальным оператором порядка 45 + 2.

Теорема 2.9 Пусть Ь и оператор М порядка 4д + 2 образуют пару коммутирующих операторов ранга 2. Пусть функция и(х) имеет изолированный полюс в точке . Тогда решения уравнения (4)() + ()() = () имеют особенности в точках следующего вида (), где = 1,2,3,4 и () голоморфная функция в окрестности , 0"І1 = 12{1 — Alii — л/l — 16щ — 16n С"г,2 = 2(1 Пі + \/і ІбЩ — 16п2 с"«,з = 12(5 + 4п — -\/і 16ПІ — 16n2] ,4 = 12(5 + 4 + 1 - 16 - 162 ). То есть собственные функции всегда имеют точки ветвления. Следовательно, 4 не коммутирует с оператором нечетного порядка так как общие собственные функции операторов взаимно простого порядка всегда мероморфны. Рассмотрим L = (дх + 1 (ж)) + И- ж) (2.12) Опять вспомним, что этот оператор коммутирует с некоторым оператором М порядка Ад + 2, причем спектральная кривая пары L, М имеет род д, тогда и только тогда, когда найдется полином (см. [12]) Q = z9 + a1{x)zg + a2{x)z9 + ... + ag-1{x)z + ад(х), для которого выполняется следующее соотношение: Qy ) -)- 41/Q/// + 6V Q" + 2Q {2z — 2W + У") — 2QW = 0, (2.13) Если У (ж) = 0, то Q + 2Q {2z — 2W) — 2QW = 0, (2.14) Aw = AF{z) = AzQ + {Q") — 2Q Q " + 2QQ ). Из (2.14) имеем 4Q z = — QK + 2QW + 4ц/ Ил Таким образом, мы получили следующую систему : а\ = W/2 + Сі A.a 2 = —а\ + 2a\W + 4а/1И/Г 4a +1 = — a\ + 2(iiW + 4a VK 4a/ = — crj + 2ag-iW + 4a 1И/Г 0 = —a + 2agW + Aa W

Таким образом результат в [12] может быть переформулирован следующим образом. Пусть а\ = W/2 + Сі, где Сі — произвольная константа. Определим а с помощью рекурсии (2.15) 0"1-\-\ г+1 + - (—а- + 2а,; И/ + \a;vv )ах. Мы видим, что если V(x) = 0, то оператор (2.12) коммутирует с неким оператором порядка 4д + 2 и эти операторы образуют пару операторов ранга 2 тогда и только тогда, когда ад+\ = const. Обозначим L4 = 9Ж + ІІ(Ж). Условием коммутации оператора L и оператора М порядка б, где L4, М образуют пару ранга 2, является уравнение на функцию и{х) АС\и {х) + 6и(х)и \х) — и 5 (х) = 0, для некоторой константы 1. Рассмотрим рекуррентное соотношение (5) , u(x)fj(x) Jj [X) jj+i(x) = Ci+\ + (u(x)jAx) H )ax, (2.16) где u[x) ji = C\-\ . Мы видим, что L коммутирует с оператором порядка 4д + 2 тогда и только тогда, когда существуют такие константы Сі,..., Сд, что fg+\ = const. Доказательство теоремы 2.5 Допустим, что ІІ(Ж) имеет полюса в точках 2і, 22, из С. Лемма 1 Если L4 коммутиует с неким оператором порядка 4д + 2, то и{х) может иметь полюса в С только четвертого порядка. Доказательство Предположим, что и{х) имеет полюс порядка к в точке а . Так как L коммутирует с оператором порядка 4д + 2, то f +1 = 0. Предположим, что fg имеет изолированный полюс в точке порядка , то ()() + ()() имеет u (x)fg(x) 2 полюс порядка к + т + 1 и / (ж) имеет полюс порядка m + 5. Следовательно, если f +1 = 0, то & + m + 1 = т + 5. То есть к = А.