Геометрия гладких гипоредуктивных луп Исса Абду Нуру

Введение к работе

Актуальность темн_п Понятия группы я алгебры (в чаотноо-ти - группы Ли я алгебры Ли) играют фундаментальную роль в геоматряя. Новейшее развятпа геометрия показывает, что существенную роль в геометрия играют и такие алгебраические структу-ри, как квазигруппы и лупы. Впервые попятив гладкой локальной лупы появилось в работа А.И.Мальцова /4/ в связи с обобщением теория групп Ля, однако вне связи с дифференциальной геометрией. Связь теория квазигрупп и луп с геометрией впервые установил ОДооо /3/ показав, что симметрическое пространство ыох-по рассматривать как гладкую квазигруппу (идемпотентную, лево- обратимую, ловодястрябутивную). Вслед за Лоосом ряд математиков продолжили развитие дифференциальной геометрии различных классов квазигрупп, как например, s -структуры. Следует заметить, что такая алгебраическая структура (т.е. & - структура) на многообразия порождает некоторую геометрию (геометрию пространства редуктявной аффинной связности), тесно связанную со структурой квазигруппы. В связи с этим, отметим работы М.Киккавы /9/ я Л.В.Сабинина /5/, в которых было введено понятие геодезической лупы пространства аффинной связности: в окрестности каждой точки пространства аффинной связности можно единственным образом определить операцию умножения, по отношению к которой выделенная окрестность'становится лупой.

Для изучения геометрия специальных классов квазигрупп я луп удобно использовать некоторый инфянитезимальный аппарат, т.е. построить я изучить касательные полилинейные алгебры. Такие касательные алгебраические объекты описывают геометрию соответствующих квазигрупп и луп. Здесь нужно откатить аналогию со случаем теории Ли: вместо групп Ля и алгебр Ли появляются квазигруппы, лупы я касательные структуры такие, как тройные системы Ла, тройные алгебры Ли, алгебры Бола и т.п.

М."А.Акивисом /I/ введена в рассмотрение конструкция би-парно-тернарной алгебры, касательной к геодезической лупа, свя-1-занной с произвольной точкой пространства аффинной связности. Заметим, что в общем случае структура геодезической лупы описывается соответствующей касательной бинарно-тернарной алгеброй неоднозначно. В частном случае гладких локальных луп Бола такая однозначность тем на менее имеет место, и в работа Л.В. Сабинина и П.О.Нихеева /8/ были описаны условия, необходимые

-! И

(————— .

! в достаточные для того, чтобы данную абстрактную бянарнс— тернарную алгебру можно было рассматривать как касательную для некоторой гладкой локальной лупы Бола.

Одним из замечательных классов луп является класс лево-моноальтернативных специальных (редуктивных) луп, который включает в себя подкласс симметрических луп. Общеизвестно эна^-ченяе локально редуктивных и (см./З/) локально симметрических пространств в современной дифференциальной геометри. Геометрия редуктивных луп и симметрических луп тесна связана с геометрией локально редуктивных и локально симметрических пространств, т.к. (Л.В.Сабинин /6/) гладкая локальная лупа (Q, * , ^G ) может служить геодезической лупой некоторой локально редуктявной связности v на а (т.е. VTeO ,VReO в том и только том случае, есля локально Va,b,c

(левое специальное свойство)

I I - 1 , ^ut,a ^uu.,a - 4t»u\a

(свойство девой моноальтернативности). ' ' I

В указанных условиях локально редуктивная связность V опре-« і даляется однозначно.

| Б работе /7/ І.Б. Сабининым был введен новый, более общий j

і класс гипоредуктивных луп. Лупа ( Q , *, є) называется гипо-і : редуктявной слева, есля для любых а, Ь, с из О, существует j тагов Я(а,М, что Х(*,И- Xta.e^. е a Vt.ueiR

(левое гипоспециельное свойство),

(свойство левой моноальтернатявностя).

Нетрудно видеть, что класс гяпоредуктивных луп обобщает класс
редуктивных луп; он обобщает я класс луп Бола, В работе /7/
было предложено инфиндтезикальное описание классы гладких лс— і
калышх гипоредуктивных слева луп в терминах касательных гипо-і
редуктивных тройных систем векторных полей. ;

Цель настоящей диссертации состоит в построение даффе-ронцяально-геометрячэской интерпретации теория гипоредуктив-ннх луп и построоїшо методами дифференциальной геометрии теории абстрактних алгебр, касательных к гладким локальным гипо-редуктявнш лупам.

Общая методика исследования.. В настоящей диссертационное работе используются методы гаомотряи пространства афїштой связности я неассоциатявной алгебра.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Рассмотрена дифференпяально-геометрячвская характоря-запдя гладких гппоредуктивных луп в терминах специального вида пространств аффинной связности кулевой кривизны. Описана реализация гяпоредуктявных тройных алгебр векторных полей гя~ породуктявноЗ гладкой лупы в виде совокупности коваряантно постоянных вакторных полай на многообразия лупы.

2. Ввэдаяо понятие правильной гяпоредуктивной тройной алгебры векторных полей, алгебры 1а в правильном гяпорадуктяв-' ном разложения.

3. Рассмотрены абстрактные гнпоредуктивныа алгебры. Посредством развитой дяффаренцяально-гоомэтраческой твхішкя доказано, что произвольная 'абстрактная ^гяпоредуктнвная алгебра соответствует некоторой гяпоредуктивной тройной алгебре векторных полей.

4. Дана классификация абстрактных гяпоредуктявных алгебр размерности два.

Теоретическая я практическая значимость. Работа носит теоретический характер я ориентировала на приложение в дифференциальной геометрия, теории однородных пространств и в не--ассоциативной алгебре. Полученные результаты представляют собой новый вклад в теории гладких неассоциативпых алгебраических систем, связанную с дифференциальной геометрией, они могут найти приложение в теоретической физика.

Апробация работа. Сформулированные в диссертации результаты корректно обоснована, они докладывались в 19В7-1992гг. на заседаниях семинара по алгебре и геометрия кафедры матеыа-тического анализа РУДН и на ежегодных научных конференциях факультета физяко-матенатических и естественных наук РУДН.

IL: .... - _ж

Птблякапии. Основные результата диссертация достаточно полно отражены в работах, цитируемых в списке П. Все работы выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация выполнена на 68 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав и списка литературы, насчитывающего 50 наименований,